ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
|
|
- Δευκαλίων Σπηλιωτόπουλος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα. Να εξετάσετε από τις παρακάτω συναρτήσεις ποιές ικανοποιούν τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [ αβ, ] που δίνεται και στη συνέχεια για εκείνες που ισχύει το θεώρημα, να βρείτε όλα τα ξ ( α, β ) για τα οποία f( ξ ) =... 3 f() = +, [,] 5 g() =, [, ] 3. h() =, [, ] 4., [, ) k() = 3, [,]. Η f είναι συνεχής στο [,] και παραγωγίσιμη στο (,) ως πολυωνυμική και ισχύει f() = f() =. Άρα ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle, οπότε υπάρχει ξ (,) έτσι ώστε ξ = ξ + = ξ=± δεκτή μόνο η ξ= (,) f( ) 3 3. Η g είναι συνεχής στο [, ] και παραγωγίσιμη στο (, ) ως πολυωνυμική. Όμως g( ) = 3 = g(). Συνεπώς δεν ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle [, ] 3. Η h μπορεί να γραφεί ως h() =,, (, ] κλάδους ως πολυωνυμική και επίσης η οποία είναι συνεχής στους lim h() = lim ( ) = = lim h() = lim ( ) + + άρα είναι συνεχής στο [, ] όμως δεν είναι παραγωγίσιμη στο (, ) διότι
2 h() h() + lim = lim = + + ενώ h() h() + lim = lim =, + συνεπώς δεν ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle. 4. Η k παρατηρούμε ότι δεν είναι συνεχής στο [,] διότι 3 lim k() = lim ( ) = = lim k() = lim, + + άρα δεν ικανοποιούνται οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle.. Διαπιστώνουμε αν η συνάρτηση f που μας δίνεται ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [ αβ, ] που μας έχει δοθεί.. Βρίσκουμε την παράγωγο f () και στη συνέχεια λύνουμε την εξίσωση f ( ξ ) = με ξ ( α, β )
3 Παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση κ +λ < f() = µ + +,,. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς κ, λ, μ αν ισχύουν για την f οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο διάστημα [,]. Αφού για την f ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle τότε: f ( ) = f () κ+λ+ =µ+ 4 κ+λ µ= 3 () Συνεχής στο [,]. Αρχικά f () =. Επίσης = µ + + = άρα λ= () lim f () lim ( ) + + Παραγωγίσιμη στο [,]. lim f () lim ( ) = κ +λ =λ και f () f () ( ) µ + + µ + lim = lim = lim = lim ( µ + ) = και f() f() ( ) κ +λ κ lim = lim = lim = lim ( κ ) = κ λόγω της (). Άρα κ= (3). Από τις (), (), (3) βρίσκουμε ότι και µ= 3. Στο διάστημα που μας δίνουν δημιουργούμε τόσες εξισώσεις όσες είναι οι άγνωστες παράμετροι από: f( α ) = f( β ) Συνέχεια (και στο σημείο που αλλάζει μορφή η f ). Παραγωγισιμότητα (και στο σημείο που αλλάζει μορφή η f ). 3
4 Παράδειγμα 3. Δίνεται η συνάρτηση f() = ηµ. Να αποδείξετε ότι: Για την f ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [, π ]. Η εξίσωση ηµ + συν = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, π ). Αρχικά παρατηρούμε ότι η συνάρτηση f έχει για πεδίο ορισμού της το. Επειδή η καθώς και η ηµ είναι παραγωγίσιμες συναρτήσεις στο, άρα και η f θα είναι παραγωγίσιμη συνάρτηση αφού προκύπτει ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Συνεπώς θα είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [, π ] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (, π ). Επίσης f() = = f( π ). Άρα ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [, π ] και επομένως θα υπάρχει ξ (, π ) τέτοιο ώστε f( ξ ) = ηµξ + ξσυνξ = δηλαδή η εξίσωση ηµ + συν = έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (, π ). ( f ( ) = ηµ + συν ). Όταν έχουμε μία συνάρτηση f και μία εξίσωση και μας ζητούν να δείξουμε την ύπαρξη τουλάχιστον μίας ρίζας της εξίσωσης, τότε εξετάζουμε αν η συνάρτηση της εξίσωσης είναι παράγωγος της συνάρτησης f. 4
5 Παράδειγμα 4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ln =, > έχει το πολύ μία ρίζα. Μεταφέρουμε όλους τους όρους στο ο μέλος δηλαδή ln + =. Θεωρούμε ως f() το πρώτο μέλος της εξίσωσης οπότε έχουμε f () = ln + με πεδίο ορισμού Α = (, + ). Έστω τώρα ότι η f έχει δύο ρίζες ρ, ρ > με ρ ρ, οπότε f( ρ ) = f( ρ ) =. Επίσης η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο Α = (, + ) ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων, άρα θα είναι συνεχής στο [ ρ, ρ ] και παραγωγίσιμη στο ( ρ, ρ ). Συνεπώς ισχύει για την f το θεώρημα Rolle στο [ ρ, ρ ] δηλαδή υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( ρ, ρ ) έτσι ώστε f( ξ ) =. Αυτό όμως είναι άτοπο διότι (, + ). f () = + > για κάθε Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = f() g(). Βρίσκουμε σε ποιό σημείο μηδενίζεται (ρίζα). Δεχόμαστε ότι υπάρχει και δεύτερη ρίζα και με το θεώρημα Rolle καταλήγουμε σε άτοπο. 5
6 Παράδειγμα 5. 3 Έστω η συνάρτηση f( ) = + +. Να εξετάσετε αν ισχύει το Θεώρημα του Rolle στο διάστημα [,]. Αν ισχύει να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός (,) τέτοιος ώστε f ( ) =. Η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το D f =. Η f είναι συνεχής στο [,] ως πολυωνυμική. Η f είναι παραγωγίσιμη στο (,) ως πολυωνυμική. f( ) = και f( ) =, άρα f( ) f( ) =. Ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle, άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα (,) έτσι ώστε f ( ) =. Έχουμε f ( ) = 3 +. Λύνουμε την εξίσωση f () = στο διάστημα (,). ( ) = + = = (απορρίπτεται γιατί δεν ανήκει στο (,) f 3 = (,) (δεκτή), άρα =. 3 3 ), ή Υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle: Η f είναι συνεχής στο [ αβ., ] Η f είναι παραγωγίσιμη στο ( αβ, ). f( ) f( ) α = β. Συμπέρασμα του Θεωρήματος του Rolle: Υπάρχει τουλάχιστον ένα ( αβ, ) τέτοιο ώστε ( ) f =. 6
7 Παράδειγμα 6. Να εξετάσετε αν ισχύει το Θεώρημα του Rolle στο διάστημα [, 4] για την συνάρτηση [ ] 3 +,, f() = , (, 4] Αν ισχύει να βρεθεί ο πραγματικός αριθμός (, 4) τέτοιος ώστε ( ) f =. Για κάθε η f είναι συνεχής σαν άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. Για να είναι συνεχής στο [, 4] αρκεί να είναι συνεχής στο. Έχουμε: lim 3 ( + ) = lim ( ) = = f ( ) + Άρα η f συνεχής στο. Επομένως η f συνεχής στο [, 4 ]. Η f είναι παραγωγίσιμη στα διαστήματα (,) και (, 4) σαν άθροισμα παραγωγισίμων συναρτήσεων. Εξετάζουμε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο. o f f 3 + lim = lim = lim = lim 3 = ( ) ( ) ( ) 3( ) ( ) ( )( ) ( )( ) lim ( lim ) 3 3 = = ( )( ) lim = ( ) = o + f f lim = lim = lim = lim 3 7 = ( ) ( ) 3( ) 7( ) ( ) lim 3 7( )( + ) = + ( )( + ) ( + ) lim = =. Άρα έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f lim = lim =. + 7
8 Δηλαδή η f είναι παραγωγίσιμη στο, έτσι έχουμε: 3, (,) f () =, = 7 3, (, 4) ή 3, (,] f () = 7 3, (, 4) f( ) = και f( 4) =, άρα ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle, οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα (, 4) τέτοιο ώστε f ( ) =. Αν (,) τότε 3 f ( ) Αν = τότε ( ) Αν (, 4) = = ή (,) f =. 9 = απορρίπτεται. 4 τότε f ( ) = 3 = ή (, 4) 7 49 = δεκτή. 36 Αν η συνάρτηση f δίνεται με πολλαπλό τύπο, τότε εργαζόμαστε ως εξής: ο Βήμα: Εξετάζουμε την συνέχεια και την παραγωγισιμότητα στα επί μέρους διαστήματα. ο Βήμα: Εξετάζουμε την συνέχεια και την παραγωγισιμότητα στα σημεία που αλλάζει τύπο η συνάρτηση. 3 ο Βήμα: Εξετάζουμε αν f( ) f( ) α = β. 8
9 Παράδειγμα 7. Να εξετάσετε αν ισχύει το Θεώρημα του Rolle στο διάστημα [, 4] για την συνάρτηση [ ] + f() = + 4, (, 4] 4,, Αν [,) (, 4], η συνάρτηση f είναι συνεχής ως πολυωνυμική. Αν = έχουμε ( ) ( ) lim f lim 4 4 lim f = lim + 4 = 4 και = + =, ( ) ( ) f( ) = 4, άρα ισχύει lim f ( ) lim f ( ) f ( ) + Επομένως η f είναι συνεχής στο [, 4]. Ισχύει ( ) ( ) ( ) f = + 4=, f 4 = 4+ 4=. + + = =, άρα η f είναι συνεχής στο. Αν (,) (, 4) η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική. Εξετάζουμε αν η f είναι παραγωγίσιμη στο =, ( ) ( ) ( ) f f lim = lim = lim ( ) = ( ) ( ) ( ) f f lim = lim = lim ( ) = Η συνάρτηση f δεν είναι παραγωγίσιμη στο =, άρα δεν ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle. Αν η συνάρτηση f δίνεται με πολλαπλό τύπο, τότε εργαζόμαστε ως εξής: ο Βήμα: Εξετάζουμε την συνέχεια και την παραγωγισιμότητα στα επί μέρους διαστήματα. ο Βήμα: Εξετάζουμε την συνέχεια και την παραγωγισιμότητα στα σημεία που αλλάζει τύπο η συνάρτηση. 3 ο Βήμα: Εξετάζουμε αν f( ) f( ) α = β. 9
10 Παράδειγμα 8. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί αβγ,, ώστε για τη συνάρτηση ( ) f +α +β = γ +, [, ) 5, [, ] να εφαρμόζεται το θεώρημα του Rolle στο διάστημα [, ] και στη συνέχεια να βρείτε τουλάχιστον μια οριζόντια εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στα διαστήματα [, ) και (, ] ως πολυωνυμική, άρα για να ισχύει το θεώρημα του Rolle, πρέπει να είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο = και να ισχύει f( ) = f( ). Η συνάρτηση ( ) Πρέπει lim ( 5 ) lim ( ) f ( ) γ + = +α +β =, άρα β= (). + ( ) ( ) ( ) ( ) f f f f γ 5 + +α +β lim = lim lim = lim + + ( ) ( γ 5) ( +α) ( ) ( ) lim = lim lim γ 5 = lim +α, άρα α= 5 (). + + Επίσης πρέπει να ισχύει ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f = f 4 α+β= 4γ = 4γ + γ= 6. Η παράγωγος της f( ) + = + 5, [, ) 6 5, [, ] είναι η f ( ) 5, [, ) = 5, [, ]. Λύνουμε την εξίσωση f ( ) = στο διάστημα (, ). ( ) Αν (, ) 5 f = 5 = = (, ) (απορρίπτεται). 5 [, ) f = 5 = = [, ). (δεκτή) Αν ( ) 5 Έτσι έχουμε f 5 3 =, άρα στο σημείο M, 4 της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. έχουμε μια οριζόντια εφαπτομένη
11 Γεωμετρικά το Θεώρημα του Rolle σημαίνει, ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α, β ) έτσι ώστε η εφαπτομένη της C στο σημείο Μξ (,f ( ξ )) να είναι παράλληλη στον άξονα. f
12 Παράδειγμα 9. α β Αν α, β, γ με + +γ= να δείξετε ότι η εξίσωση 5 3,. τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα ( ) 4 α +β +γ= έχει μια ο Βήμα: Εξετάζουμε αν εφαρμόζεται το Θεώρημα του Bolzano για την συνάρτηση f,. 4 ( ) =α +β +γστο διάστημα [ ] Η συνάρτηση f είναι συνεχής ως πολυωνυμική στο διάστημα [, ]. f( ) = γ και f( ) =α+β+γ, παρατηρούμε ότι δεν μπορούμε να βγάλουμε συμπέρασμα για το πρόσημο των αριθμών f(,f ) ( ), άρα δεν εφαρμόζεται το Θεώρημα του Bolzano. ο Βήμα: Βρίσκουμε μία αρχική συνάρτηση της f στο, δηλαδή μία παραγωγίσιμη συνάρτηση F, έτσι ώστε F ( ) = f( ) για κάθε. α 5 β 3 Εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για την συνάρτηση F( ) = + +γ. 5 3 Η F( ) είναι συνεχής στο [, ] ως πολυωνυμική: Η F( ) είναι παραγωγίσιμη στο (,) ως πολυωνυμική. F ( ) = και ( ) α β F 5 3 = + +γ= ( ) ( ) F = F =, άρα ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle, οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα (,) έτσι ώστε ( ) 4 Και επειδή F ( ) =α +β +γ, η εξίσωση στο (, ). F =. 4 α +β +γ= έχει τουλάχιστον μια ρίζα Όταν θέλουμε να δείξουμε ότι μια εξίσωση f( ) = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα [ αβ,, ] ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο Βήμα: Τα μεταφέρουμε στο πρώτο μέλος και θεωρούμε την συνάρτηση f() με πεδίο ορισμού το [ αβ., ] Αν η εξίσωση έχει παρανομαστές κάνουμε απαλοιφή παρανομαστών ώστε να ορίζεται στο διάστημα [ αβ., ] ο Βήμα: Για την εύρεση της ρίζας εφαρμόζουμε τους παρακάτω τρόπους:
13 ος Τρόπος: Χρησιμοποιούμε το Θεώρημα του Bolzano. ος Τρόπος: Βρίσκουμε το σύνολο τιμών, δηλαδή αν f( A) είναι το σύνολο τιμών της συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το Α και f( A), τότε η εξίσωση f( ) = έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο Α από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών. 3 ος Τρόπος: Θεωρούμε μια παράγουσα της f( ) (δηλαδή F () f ( ) το θεώρημα του Rolle. 4 ος Τρόπος: Βρίσκουμε μια προφανή ρίζα. = ) και εφαρμόζουμε 3
14 Παράδειγμα α + α+β 3α β+ =, με α, β έχει 3 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( ) μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (, ). 4 3 Θεωρούμε την συνάρτηση f( ) = + ( α ) + ( α+β ) ( 3α+β ). Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle για την συνάρτηση f( ) στο διάστημα [ ],. Η συνάρτηση f( ) είναι συνεχής ως πολυωνυμική στο, άρα συνεχής και στο διάστημα [, ]. Η συνάρτηση f( ) είναι παραγωγίσιμη ως πολυωνυμική στο, άρα παραγωγίσιμη και στο διάστημα (, ). f( ) = 4 3 ( ) ( ) ( ) ( ) f = + α + α+β 3α+β = + α +α+β 3α β+ = Και επειδή f( ) = f( ), ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle. Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα (,) έτσι ώστε ( ) 3 f ( ) = 4 + 3( α ) + ( α+β ) 3α β+. Άρα η εξίσωση 3 ( ) ( ) διάστημα (, ). f =. Έχουμε α + α+β 3α β+ = έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο Αν θέλουμε να δείξουμε ότι η εξίσωση ( ) f = έχει τουλάχιστον μια ρίζα σε ένα διάστημα Δ και δεν εφαρμόζεται το Θεώρημα του Bolzano, τότε βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση F της f F f F στο Δ.,( ( ) = ( )), και εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για την ( ) 4
15 Παράδειγμα. συν, Έστω η συνάρτηση f( ) =. Να εξετάσετε αν ισχύει το Θεώρημα του Rolle, = στο διάστημα, π και να δείξετε ότι η εξίσωση + εφ = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα, π. Αν, π συναρτήσεων. τότε f( ) Αν =, τότε = συν, άρα η f είναι συνεχής σαν γινόμενο συνεχών συν = συν συν και επειδή lim( ± ) =, lim f = = f. Άρα είναι συνεχής και στο από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε ( ) ( ) =. Επομένως η f είναι συνεχής στο, π. Η f είναι παραγωγίσιμη στο, σαν γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων με π f ( ) = συν ηµ = συν ηµ = συν + ηµ f( ) = και π f = συν = συν =. π π π π Επομένως ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle, άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα, τέτοιο ώστε f ( ) =, οπότε έχουμε π ηµ συν + ηµ = συν + ηµ = + = + εϕ = συν 5
16 ( συν, γιατί αν συν = τότε ηµ =, που είναι άτοπο). Αν ζητείται η ρίζα μιας εξίσωσης της μορφής g( ) = να έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα Δ, εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για μια αρχική της g( ), g ( ) f( ) οποία μας δίνεται. ( ) =, η 6
17 Παράδειγμα. Αν η συνάρτηση f είναι δύο φορές παραγωγίσιμη στο [, ] με f( ) = και g( ) = f( )( 4), τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα (, ) τέτοιο ώστε ( ) g =. Η εξίσωση g( ) = με g() = f()( 4), έχει ρίζες τους αριθμούς,, γιατί g ( ) = f ( )( 4) =, g( ) = f( )( 4 4) = και ( ) ( )( ) g = f 4 4 =. Επίσης η συνάρτηση g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Rolle για την συνάρτηση g( ) στα διαστήματα [,] και [ ] θα έχουμε δύο αριθμούς (, ), (, ) έτσι ώστε g ( ) = και g ( ) =. Επίσης η συνάρτηση g είναι παραγωγίσιμη ως γινόμενο παραγωγισίμων συναρτήσεων. Εφαρμόσουμε το Θεώρημα Rolle για την συνάρτηση g ( ) στο διάστημα [, ] υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε g ( ) =., άρα θα,, Αν έχουμε εξίσωση της μορφής g ( ) =, εφαρμόζουμε δύο φορές το Θεώρημα του Rolle για τις συναρτήσεις g( ),g ( ). 7
18 ΘΕΜΑ Γ Παράδειγμα. Δίνονται οι συναρτήσεις f() = e + +, και 3 g() e = +,. Να αποδείξετε ότι οι άξονα yy. C f, C g έχουν ένα μόνο κοινό σημείο το οποίο βρίσκεται πάνω στον Παρατηρούμε αρχικά ότι και οι δύο συναρτήσεις είναι συνεχείς και παραγωγίσιμες στο ως άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. 3 Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = f() g() = e + e + με πεδίο ορισμού το, παραγωγίσιμη στο ως διαφορά παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι η εξίσωση h() = έχει μοναδική ρίζα. Παρατηρούμε ότι f () = και g() = δηλαδή f () = g() = f () g() = h() = που σημαίνει ότι η h έχει ρίζα το. Άρα ένα κοινό σημείο των C f, C g είναι το σημείο A(, ). Τη μοναδικότητα της ρίζας της h() θα την αποδείξουμε ως εξής: έστω ότι υπάρχει και άλλη ρίζα ρ με h( ρ ) = h() =. Η h είναι παραγωγίσιμη στο [, ρ ] ή [ ρ, ] όπως προαναφέραμε, οπότε σύμφωνα με το θεώρημα Rolle θα υπάρχει ξ (, ρ ) ή ξ ( ρ,) τέτοιο ώστε h( ξ ) =. Όμως h () f () g () e e 6 = = + + +, δηλαδή h ( ) e e 6 ξ ξ = + + ξ + ξ και επειδή ξ = ξ > ως άθροισμα θετικών όρων, οδηγούμαστε σε άτοπο h ( ξ). ξ h( ) e ξ e 6 Συνεπώς το κοινό σημείο A(, ) είναι μοναδικό. Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = f() g(). Βρίσκουμε σε ποιό σημείο μηδενίζεται η h(). Δεχόμαστε ότι υπάρχει και δεύτερη ρίζα και με το θεώρημα Rolle καταλήγουμε σε άτοπο. 8
19 Παράδειγμα. π Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο, υπάρχει τουλάχιστον ένα π, π = + έτσι ώστε f f( ) έτσι ώστε ( ) f = συν. Να δείξετε ότι Θεωρούμε τη συνάρτηση h() = f() ηµ η οποία είναι αρχική ή παράγουσα της f ( ) συν π Η συνάρτηση h() = f() ηµ είναι παραγωγίσιμη στο, ως διαφορά π παραγωγίσιμων συναρτήσεων, άρα είναι παραγωγίσιμη και στο,. π Η συνάρτηση h() = f() ηµ είναι συνεχής στο, π (επειδή είναι παραγωγίσιμη στο, ) h() f () π π π π h( ) = f( ) ηµ = + f() = f() h = h. = και ( ) π Άρα ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος Rolle για την h στο,. Οπότε υπάρχει π τουλάχιστον ένα, έτσι ώστε h ( ) = δηλαδή f ( ) = συν. Αξιοποιούμε τις συνθήκες που μας δίνουν προκειμένου να βρούμε μία συνάρτηση στην οποία θα εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle. 9
20 Παράδειγμα 3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση μία ρίζα στο (,3). π = + εϕ κπ + κ έχει τουλάχιστον 5 ( 5 6),, Έχουμε 5 = ( 5 + 6) εϕ ( 5) συν = ( 5 + 6) ηµ ή ( 5+ 6) συν + ( 5+ 6)( συν ) = [( 5+ 6) συν ] =. Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = ( 5 + 6) συν με πεδίο ορισμού το. Η f είναι συνεχής στο [,3] και παραγωγίσιμη στο (,3) ως γινόμενο συνεχών και παραγωγίσιμη συναρτήσεων. Επίσης ισχύει f() = f(3) =. Άρα σύμφωνα με το θεώρημα Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,3) με f( ξ ) = οπότε η εξίσωση f () = ( 5) συν = ( 5 + 6) ηµ 5 = ( 5 + 6) εϕ θα έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (,3) (η λύση είναι δεκτή γιατί ξ (,3) και π ξ κπ + ) Μεταφέρουμε όλους τους όρους της εξίσωσης στο πρώτο μέλος. Θεωρούμε το πρώτο μέλος ως συνάρτηση f. Αν f( α)f( β ) < τότε εφαρμόζουμε το θεώρημα Bolzano στο [ αβ, ]. Αν δεν ισχύει η προηγούμενη περίπτωση, τότε βρίσκουμε μία αρχική συνάρτηση F της f και εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle.
21 Παράδειγμα 4. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση ηµ + συν = έχει μόνο δύο ρίζες στο [ π, π ]. Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = ηµ + συν με. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο, άρα και στο [ π, π ]. Παρατηρούμε ότι f( π ) = π <, f() = >, f( π ) = π <. Αρχικά παρατηρούμε ότι το π και το π δεν είναι ρίζες της συνάρτησης f, οπότε εφαρμόζοντας το θεώρημα Bolzano σε καθένα από τα διαστήματα [ π, ] και [, π ] στα οποία η f είναι συνεχής έχουμε ότι υπάρχουν ξ ( π,) και ξ (, π ) ώστε f( ξ ) = και f( ξ ) =, δηλαδή η f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. Θα αποδείξουμε ότι είναι μοναδικές. Έστω ότι υπάρχει και τρίτη ρίζα ξ 3, τότε θα ισχύει f( ξ ) = f( ξ ) = f( ξ 3) =. Υποθέτουμε ότι ξ <ξ <ξ 3. (χωρίς βλάβη της γενικότητας) Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle στα διαστήματα [ ξ, ξ] και [ ξ, ξ 3] διότι οι υποθέσεις του θεωρήματος ισχύουν για την f και f () = ηµ + συν ηµ = συν = συν. ( ) Άρα θα υπάρχουν ρ ξ (, ξ ) και ρ ξ (, ξ 3) έτσι ώστε f( ρ ) = f( ρ ) =, αυτό όμως είναι άτοπο γιατί η εξίσωση f () = ( συν ) = = ή συν = (αδύνατη) έχει μοναδική ρίζα την =. Αποδεικνύουμε με θεώρημα Bolzano ότι η εξίσωση έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. Εφαρμόζουμε το θεώρημα Rolle στο διάστημα των δύο ριζών και αποδεικνύουμε με την «εις άτοπο απαγωγή» ότι δεν έχει άλλη ρίζα.
22 Παράδειγμα 5. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f στο [ αβ, ] η οποία διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [ αβ, ]. Δίνονται επίσης οι μιγαδικοί αριθμοί z f ( )[f ( ) ] i = β α + και z f ( ) i = β. 3 Αν Re(z+ z ) = f ( α ) να δείξετε ότι η εξίσωση f () = έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο ( αβ, ). ( τρόποι επίλυσης) Παρατηρούμε ότι z z f( ) f ( ) f ( ) i f ( ) i f( ) f ( ) i + = α β β+ + β = α β+. Επειδή 3 Re(z z ) f ( ) + = α, έχουμε 3 f ( α= ) f( α ) f ( β ) f( α ) [f ( α ) f ( β )] =. Αλλά f( α) διότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο [ αβ, ]. Α τρόπος Συνεπώς f ( ) f ( ) f( ) f( ) [ αβ, ] θα έχουμε f( α ) = f( β ). α = β α =± β και επειδή η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Άρα η συνάρτηση f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle, οπότε θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( α, β ) έτσι ώστε f ( ξ ) = που είναι και το ζητούμενο. Β τρόπος Θεωρούμε τη συνάρτηση g() = f () η οποία ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος Rolle διότι είναι παραγωγίσιμη στο [ αβ, ] (άρα και συνεχής ) και g( α ) = g( β ). Άρα θα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ ( α, β ) έτσι ώστε g( ξ ) =, οπότε ( ) f ξ f( ξ) f ( ξ ) = f ( ξ ) = που είναι και το ζητούμενο. Αξιοποιούμε τις συνθήκες που μας δίνουν προκειμένου να βρούμε μία συνάρτηση στην οποία θα εφαρμόσουμε το θεώρημα Rolle.
23 Παράδειγμα 6. Δίνεται συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το, δύο φορές παραγωγίσιμη, έτσι ώστε να O,,A, 3,B 3,3 και η συνάρτηση διέρχεται από τα σημεία ( ) ( ) ( ) g( ) = f( ) +α +β +. αβ ώστε να ισχύει για την συνάρτηση ( ) Θεώρημα του Rolle στα διαστήματα[, ], [, 3 ]. i. Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς, f ξ = 4. ii. Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,3), έτσι ώστε ( ) g το i. Η συνάρτηση διέρχεται από τα σημεία O(, ),A, ( 3 ),B( 3,3), έτσι θα έχουμε f ( ) =, f ( ) = 3, f ( 3) = 3. Επειδή για την συνάρτηση g( ) = f( ) +α +β + ισχύει το Θεώρημα του Rolle στα διαστήματα[, ], [, 3 ], θα έχουμε g ( ) = g ( ) και g ( ) = g3 ( ) α+β= 3 α+β= 3 α= f( ) + = f( ) +α+β+ = f( 3) + 9α+ 3β+ 9α+ 3β= 3 3α+β= β= 5 ii. Η συνάρτηση g γίνεται g( ) = f ( ) Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle για την συνάρτηση g( ) στα διαστήματα[ ] [ ] οπότε υπάρχουν (, ), (, 3) τέτοια ώστε να ισχύει g ( ) = g ( ) =. Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle για την συνάρτηση g ( ) f ( ) 4 5 [, ] :,,, 3, = + στο διάστημα Η συνάρτηση g ( ) είναι παραγωγίσιμη (άρα και συνεχής) στο διάστημα [, ] (η g είναι δύο φορές παραγωγίσιμη). ( ) ( ) g = g =. Άρα ισχύουν οι υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle, δηλαδή υπάρχει τουλάχιστον ένα,3 g ξ = f ξ 4= f ξ = 4. ξ ( ), έτσι ώστε ( ) ( ) ( ) Όταν ζητείται η απόδειξη μιας σχέσεως που έχει δεύτερη παράγωγο, εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle σε κατάλληλη συνάρτηση που έχει την πρώτη παράγωγο. 3
24 Παράδειγμα 7. Δίνεται η συνάρτηση f( ) = ( π) συν. Να δείξετε ότι: i. Η συνάρτηση f ικανοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήματος του Rolle στο διάστημα π, π. π ii. Η εξίσωση σϕ = π έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα, π. i. Η συνάρτηση f( ) = ( π) συν είναι συνεχής στο ως γινόμενο συνεχών π συναρτήσεων, άρα θα είναι και συνεχής στο διάστημα, π. Η συνάρτηση f( ) = ( π) συν είναι παραγωγίσιμη στο ως γινόμενο παραγωγισίμων π συναρτήσεων, άρα θα είναι και παραγωγίσιμη στο διάστημα, π. π π π f = π συν = και f( π ) = ( π π) συνπ =. Άρα ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle. ii. Αφού η συνάρτηση f( ) = ( π) συν ικανοποίει τις υποθέσεις του Θεωρήματος του π Rolle, θα υπάρχει τουλάχιστον ένα, π έτσι ώστε f ( ) =. Έχουμε f ( ) = ( π) συν + ( π)( συν ) = συν ( π) ηµ συν ηµ f ( ) = συν ( π) ηµ = συν = ( π) ηµ = ( π) ηµ ηµ π σϕ = ( π ), ( ηµ,, π ). π Άρα η εξίσωση σϕ = π έχει τουλάχιστον μια ρίζα στο διάστημα, π. Αν ζητείται η ρίζα μιας εξίσωσης της μορφής f( ) =, να έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα Δ, εφαρμόζουμε το θεώρημα του Rolle για μια αρχική της f( ), F ( ) f( ) οποία και μας δίνεται. ( ) =, η 4
25 ΘΕΜΑ Δ Παράδειγμα. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το (, + ) έτσι ώστε να ισχύει ( ) f( e) = (). Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα (, e) e ( ) + = (). f f ln έτσι ώστε ο Βήμα: Στην σχέση () βάζουμε όπου το και έχουμε ln ln f ( ) + ln = f ( ) + = f ( ) + = Από τη σχέση () και με βάση την πιο πάνω ισοδυναμία παρατηρούμε ότι το είναι ρίζα της εξίσωσης ( ) ln f + =. ο Βήμα: Θεωρούμε την συνάρτηση g( ) = f( ) + με πεδίο ορισμού το D (, ) ln 3 ο Βήμα: Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle για την g( ) στο διάστημα [, e ] : ln H g( ) = f( ) + είναι παραγωγίσιμη στο [ ] ln g( ) = f( ) + = f( ) και ( ) ( ) ( ), e, άρα και συνεχής. ( ) ln e g e = f e + = f e + = f e e ( ) g = +. Άρα ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle. Οπότε υπάρχει τουλάχιστον ένα (, e) έτσι ώστε ( ) ln ln g ( ) f ( ) = + = f ( ) + ( ) ( ) ( ) g =. ln g = f + = f + ln = 5
26 Για να δείξουμε ότι υπάρχει (, ) βήματα: ο Βήμα: Στη σχέση βάζουμε όπου την εξίσωση g( ) =. αβ, ώστε να ισχύει μια σχέση, ακολουθούμε τα εξής και τα φέρνουμε όλα στο πρώτο μέλος έτσι έχουμε ο Βήμα: Βρίσκουμε μια αρχική G( ) της συνάρτησης g (αν δεν εφαρμόζεται το Θεώρημα του Bolzano). 3 ο Βήμα: Εφαρμόζουμε το Θεώρημα Rolle για την G( ) στο διάστημα [, ] αβ. 6
27 Παράδειγμα. Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το, έτσι ώστε f( ) ef( ) Να δείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,) τέτοιο ώστε f ( ξ ) + f ( ξ ) = (). = (). ο Βήμα: Στη σχέση () βάζουμε όπου ξ και τα φέρνουμε όλα στο πρώτο μέλος, έτσι πολ / µε e ( ) f + f = e f + e f = e f =. έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ο Βήμα: Θεωρούμε την συνάρτηση g( ) e f( ) = με πεδίο ορισμού το D g =. 3 ο Βήμα: Εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle για την g( ) στο διάστημα [, ]: H g( ) είναι παραγωγίσιμη στο [, ], άρα και συνεχής. g( ) = e f( ) = f( ) και ( ) ( ) ( ) g ef f( ) = =. Επομένως ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος του Rolle. Άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα ξ (,) έτσι ώστε g ( ξ ) =. Αλλά ( ) g = e f ( ) + e f( ) ξ ξ g ξ = e f ξ + e f ξ = f ξ + f ξ =. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Το Θεώρημα του Rolle, του Bolzano και των ενδιαμέσων τιμών λύνουν πολλά θεωρητικά προβλήματα σε θέματα ύπαρξης αριθμού έτσι ώστε να ισχύει μια σχέση. Σ αυτή την περίπτωση αρκεί να βρούμε την κατάλληλη συνάρτηση σε κατάλληλο διάστημα. Καταρχήν, αν στα ζητούμενα υπάρχει παράγωγος τον πρώτο λόγο έχει το Θεώρημα Rolle. Τα βήματα που πρέπει να ακολουθήσουμε είναι: ο Βήμα: Πρώτα στη θέση του ζητούμενου βάζουμε και τα φέρνουμε όλα στο πρώτο μέλος. ο Βήμα: Αν f( ) είναι η συνάρτηση του πρώτου μέλους θεωρούμε την παράγουσα της ( ) τέτοια ώστε F ( ) = f( ), και εφαρμόζουμε το Θεώρημα του Rolle για την ( ) διάστημα. Ειδικά στις σχέσεις τις μορφής f ( ) + g( ) f( ) πολλαπλασιάζουμε με G ( ) = g( ), έτσι θα έχουμε ( ) ( ) ( ) ( ( )) G ( ) G ( ) G ( ) e f e g f e f + =. F, F σε κατάλληλο G ( ) e, όπου Ημερομηνία τροποποίησης: 3/8/ 7
0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
να είναι παραγωγίσιμη Να ισχύει ότι f Αν μια από τις τρεις παραπάνω συνθήκες δεν ισχύουν τότε δεν ισχύει και το θεώρημα Rolle.
Κατηγορία η Συνθήκες θεωρήματος Rolle Τρόπος αντιμετώπισης:. Για να ισχύει το θεώρημα Rolle για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ) πρέπει:
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση 1. Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 3 + + + 3= (1) έχει ακριβώς μία πραγματική
ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE
ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT [Ενότητες Η Έννοια του Τοπικού Ακροτάτου Προσδιορισμός των τοπικών Ακροτάτων πλην του Θεωρήματος Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.
1. Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού
Θεωρήματα Διαφορικού Λογισμού α Θεώρημα Rolle Αν μία συνάρτηση f είναι: Συνεχής στο κλειστό διάστημα [ αα ] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( αα ) και f( α) = f( ) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα ( α )
1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 0: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE. τέτοιο ώστε. στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα χχ. της γραφικής παράστασης της f x με. Κατηγορίες Ασκήσεων
Διατύπωση: Εάν για μια συνάρτηση ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE x ισχύουν Η x συνεχής στο [α,β] Η x παραγωγίσιμη στο (α, β) a τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ' 0 Γεωμετρική Ερμηνεία : Γεωμετρικά το θεώρημα ROLLE
Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.
Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ
Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός
ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...
Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).
Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ MICHEL ROLLE Μία μορφή του θεωρήματος Rolle δόθηκε από τον Ινδό αστρονόμο Bhaskara
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3.1 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ [Αρχική Συνάρτηση του κεφ.3. Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγουσα της συνάρτησης f() =,
A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται
A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x
Μαθηματικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ - ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός Θεωρούμε μια συνάρτηση f συνεχή σ' ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. α) Θα λέμε ότι η f είναι κυρτή ή στρέφει τα κοίλα άνω στο Δ, αν η f
2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.
Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..: Κανόνες Παραγώγισης του
- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ [Ενότητες Ορισμός της Συνέχειας Πράξεις με Συνεχείς
τα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE
ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Θεώρημα Rolle Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α, β], παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α, β) και ισχύει ότι f(α) f(β), τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να βρείτε τις ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f με τύπο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ DE L HOSPITAL - ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..9: Ασύμπτωτες Κανόνες de l Hospital Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ
Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),
********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********
********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ27 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου] ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Εύρεση
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ. 2.1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου].
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΕΝΝΟΙΑ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ [Κεφ 1: Έννοια της Παραγώγου του σχολικού βιβλίου] ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1 ΘΕΜΑ Β Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης
Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )
Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση
Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017
Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2019 ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΟ ο ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 9 ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 5/4/9 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία-Ορισμός,σχολικού
ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων.
ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f () = 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σ' όλο το διάστημα Δ. Πόρισμα Αν δύο συναρτήσεις
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..: Παραγωγίσιμες Συναρτήσεις Παράγωγος Συνάρτηση - Κεφ..: Κανόνες Παραγώγισης του
Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:
Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η
Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα
8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)
αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί Μία συνάρτηση f λέγεται: 1 γνησίως αύξουσα σ' ένα υποσύνολο Β του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε 1, Β με 1 < ισχύει ότι f( 1 ) < f( ) γνησίως φθίνουσα σ' ένα υποσύνολο Β
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΘΕΜΑ Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε
ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ
Διατύπωση: Αν μια συνάρτηση είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα ( α β) τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον ξ ( α β) τέτοιο ώστε: ( ( β) ( α) β α Γεωμετρικά αυτό σημαίνει
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 7: ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ [Κεφ..6: Συνέπειες του Θεωρήματος της Μέσης Τιμής πλην της Ενότητας Μονοτονία Συνάρτησης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
z i z 1 z i z 1 z i z i z 2 z 1 z zi iz 1 z 2 z 1 i z z 2 z i 2vi 2 k v v k v k 0 v 0
ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ -4 Λύσεις Θέμα ο α) H f παραγωγίσιμη στο (,) ως άθροισμα παραγωγίσιμων συναρτήσεων με: f() για κάθε (,). Αφού η f είναι συνεχής στο (,) και f() για κάθε (,) είναι γνησίως αύξουσα στο (,) άρα
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 18 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2016 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x = x 6x + 3, x 1, 1. Η f είναι συ-
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 8 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 06 ΘΕΜΑ Α Α. i. Σωστό ii. Λάθος iii. Λάθος iv. Λάθος v. Λάθος ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ f = 6 +,,. Η f είναι συ- Α. Θεωρούμε συνάρτηση ( ) [ ]
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
13 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης
3 Μονοτονία Ακρότατα συνάρτησης Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρημα Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστημα Δ, τότε: Αν f ( ) > 0για κάθε εσωτερικό του Δ, η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Αν
#Ευθύνη_Μαθηματικά ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 11 ΣΕΛΙΔΕΣ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 9 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΝΤΕΚΑ (11) ΘΕΜΑ Α Α1. Σχολικό
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.
Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε
V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr
V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν
f(x) = και στην συνέχεια
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε
2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα
Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 3 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ 8//06 έως τις 05/0/07 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Ιανουαρίου 07 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω η συνάρτηση ()
1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:
Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ
Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του
ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2018 A ΦΑΣΗ
ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Σάββατο 13 Ιανουαρίου 18 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α1. Απόδειξη
2.6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ
6 ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν θέλουμε να δείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ αποδεικνύουμε ότι η είναι συνεχής στο Δ και ότι για κάθε
5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016
5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε
5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A
5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν η f διατηρεί πρόσημο στο α,,β ότι το
Κανόνες de L Hospital
4.6 Κανόνες de L'Hospital 4.6.Α Κανόνες de L Hospital Για τα όρια πηλίκου που οδηγούν σε απροσδιόριστες μορφές, ± ± ισχύουν τα επόμενα θεωρήματα, που είναι γνωστά ως κανόνες de L Hospital Αυτοί οι κανόνες
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ.3.7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
). Πράγματι, στο διάστημα [ x, x 1 2 ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του Θ.Μ.Τ. Επομένως, υπάρχει ξ x 1,
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΔΕΥΤΕΡΑ 8 MAΪΟΥ 0 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Αποδεικνύουμε το θεώρημα στην περίπτωση που
, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και
f '(x 0) lim lim x x x x
Α Θ Ε Μ Α A Θ Ε Ω Ρ Η Μ Α ( F e r m a t ) Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ Αν η παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε:
A. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( 3 διδακτικές ώρες)
A ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Μάθημα: Μαθηματικά κατεύθυνσης, Τάξη: Γ Λυκείου Ενότητα: Θεώρημα Bolzano ( διδακτικές ώρες) 1 Σκοποί Στόχοι α Σκοποί: Οι μαθητές να συνειδητοποιήσουν ότι τα Μαθηματικά μπορεί να είναι
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Θεωρία, Μεθοδολογία και Ασκήσεις Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης Αθήνα Περιεχόμενα ΕΝΟΤΗΤΑ η:... ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ... ΕΝΟΤΗΤΑ η: ΟΡΙΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,
Π Ρ Ο Ο Π Τ Ι Κ Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2015 ΘΕΜΑ Α. Α1. Απόδειξη σελίδα 194. Α2. Ορισμός σελίδα 188. Α3. Ορισμός σελίδα 259
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 5 Α. Απόδειξη σελίδα 94 Α. Ορισμός σελίδα 88 Α. Ορισμός σελίδα 59 Α4. α) Λ, β) Σ, γ) Λ, δ) Σ, ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β. z yi, yir z 4 z ( 4) yi 4 ( ) yi ( 4) 4( y ) 4 y...
Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ
Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f
ΟΙ πιο πάνω έννοιες εκφράζουν όπως λέμε τη μονοτονία της συνάρτησης.
3 Μονοτονία συναρτήσεων 3 Μονοτονία συναρτήσεων 3Α Μονοτονία συνάρτησης Έστω f μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Γνησίως αύξουσα συνάρτηση Η συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα στο Δ αν για κάθε, Δ, με
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Α. Θεωρία (Θεώρημα σελίδα 5 σχολικού βιβλίου) Α. Α) ΨΕΥΔΗΣ Β) Θα δώσουμε ένα αντιπαράδειγμα Έστω η συνάρτηση
ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ
ΥΠΑΡΞΗ ΣΕ ΙΣΟΤΗΤΑ Ή ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Πρακτικές και καινοτομίες στην εκπαίδευση και στην έρευνα. Χρόνης Χ. Παναγιώτης pachronis@gmail.com Περίληψη Στόχος της εργασίας αυτής είναι να καταδείξει
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
5 ΧΡΟΝΙΑ ΕΜΠΕΙΡΙΑ ΣΤΗΝ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α A. Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]. Αν η f είναι συνεχής στο [α,β]
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
5 Σεπτεμβρίου 7 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απαντήσεις Θεμάτων Επαναληπτικών Πανελλαδικών Εξετάσεων Ημερησίων και Εσπερινών Γενικών Λυκείων ΘΕΜΑ
ΜΕΡΟΣ Β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΜΕΡΟΣ Β ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ η Έκδοση, Ιανουάριος 7 Γιάννης Καραγιάννης
Τελευταία Επανάληψη. την ευθεία x=1 και τoν x x. 2 1 x. Λύση. x 2 1 x 0, άρα. x 1 x. x x 1. γ) x 1 e x x 1 x e ln x 1 x f x.
Δίνεται η συνάρτηση ln Τελευταία Επανάληψη α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της β) Να μελετήσετε την ως προς την μονοτονία της γ) Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης e, δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ. Ερώτηση 1. Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f. στο x = x o?
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση 1 Αν το x o δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης f, έχει νόημα να μιλάμε για παράγωγο της f στο x = x o? Δεν έχει νόημα Ερώτηση 2 Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο
2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί
Ορισμός παραγώγου Εξίσωση εφαπτομένης
9 Ορισμός παραγώγου Εξίσωση εφαπτομένης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ι Ορισμός παράγωγου αριθμού Ορισμός 1 Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο του πεδίου ορισμού της, αν f( f( υπάρχει
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ
Μαθηματικά Γ Λυκείου
Μαθηματικά Γ Λυκείου Θέμα Α Α. Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ()= για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 0 ΘΕΜΑ ο : Έστω, C με Re( ) και Re( ) Αν f() ( )( )( )( ) και
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ) ΔΙΑΔΙΚΤΥΑΚΟ
y = 2 x και y = 2 y 3 } ή
ΘΕΜΑ Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί z, w για τους οποίους ισχύουν οι σχέσεις z = και w i =. i). Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των z και w. ii). Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχουν μιγαδικοί αριθμοί z,
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Άσκηση i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε ότι
Μαθηματικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ( ) ( ) ( ) α β, παραγωγίσιμη στο ( ) β με. β α β α. f β f α. g ( ξ ) = 0, δηλαδή
Κεφάλαιο: ιαφορικός Λογισμός Το θεώρημα μέσης τιμής αποτελεί γενίκευση του θεωρήματος Rolle Λόγω όμως των πολλών και σημαντικών εφαρμογών του θεωρείται ένα από τα πλέον θεμελιώδη θεωρήματα της ανάλυσης
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο
Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ
Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». * Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β], παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) και f (α) = f (β), τότε υπάρχει τουλάχιστον
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)
ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΣ
ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ - ΟΡΙΣΜΟΣ 3.1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: f x = { x e 1/ x,αν x 0 x ημx,αν x 0} είναι παραγωγίσιμη στο 0. 3.2. Δίνεται η συνάρτηση f x = { x 2 αx 1,αν x 1 2x 2, αν x 1 } η οποία
1. Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:
Υπολογίστε, όπου αυτές υπάρχουν, τις παραγώγους των συναρτήσεων:, g, h Απάντηση: Η με έχει παράγωγο 4 Μπορούμε όμως να εργαστούμε ως εξής: Είναι άρα 4 Η g με g έχει παράγωγο : g Η συνάρτηση h με h έχει
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο 1, 2, 3)
3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 0: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο,, 3) ΘΕΜΑ Α. (i) Βλέπε σχολικό βιβλίο «Μαθηματικά θετικής
Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης
Εφαπτομένη Γραφικής Παράστασης Συνάρτησης 1 Στοιχεία Θεωρίας Εφαπτομένη γραφικής παράστασης συνάρτησης Αν η f συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο 0, τότε η εφαπτομένη ε της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
g(x) =α x +β x +γ με α= 1> 0 και
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ..3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα.
5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε
Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική
( ) f( x ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. (ενδεικτικές λύσεις)
Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ ΤΗΛ : 777 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ ΤΗΛ : 99 9494 www.sygrono.gr Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ενδεικτικές