ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Transcript

1

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Γράφημα μιας πραγματικής συνάρτησης : ή ( )/ σύνολο: f Οι θέσεις του κινητού σημείου G ( x, y)/ y f( x), xa. f A y f x A είναι το M x, y, ώστε y f( x), x A (δηλαδή κατά καθορισμένο τρόπο), στο ορθοκανονικό σύστημα αξόνων x, y (ή απλά xy) δίνουν τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f x. Τότε οι συντεταγμένες του M είναι καρτεσιανές συντεταγμένες (σχ. 1). Γνωρίζουμε ότι ένα διάνυσμα u ΑΒ καθορίζει, αλλά και καθορίζεται πλήρως από τη διεύθυνση (ευθεία ΑΒ), τη φορά (είδος κίνησης επί της ευθείας ΑΒ από το ένα άκρο του διανύσματος στο άλλο) και το μέτρο AB. Έστω ότι τα σημεία ΑΒ, ορίζονται από καρτεσιανές συντεταγμένες, δηλαδή A ( x1, y1) και B ( x, y). Τότε έχουμε το διάνυσμα AB ( x x1, y y1), με μέτρο AB ( x x ) ( y y ). 1 1 Αν τώρα επανέλθουμε στη συνάρτηση y f( x)/ A, τότε σε κάθε σημείο της M x, f( x), x A αντιστοιχίζεται μοναδικό διάνυσμα: y M y x, f ( x) M x f ( x )., με Άρα οι θέσεις του κινητού σημείου Μ καθορίζονται επίσης από τις διανυσματικές ακτίνες (διανύσματα θέσης) M όταν M x, f ( x) (σχ. ), οπότε γράφουμε y f( M) M x, f ( x)., με 11

3 1. Στοιχεία από τη διανυσματική ανάλυση σχ. 1 σχ. Κατανοούμε ότι M xi f ( x) j, όπου i το μοναδιαίο διάνυσμα του άξονα Οx και j το μοναδιαίο διάνυσμα του άξονα y. Αναφέρουμε εδώ ότι το αντίστοιχο μοναδιαίο διάνυσμα του τυχαίου διανύσματος α 0 είναι το διάνυσμα: α α e, αφού e α α 1. α α α α Τα παραπάνω γενικεύονται και για συναρτήσεις περισσότερων μεταβλητών (σχ. 3 και σχ. 4). σχ. 3 σχ. 4 Επομένως, όταν ένα σημείο Μ κινείται σε κάποιον χώρο κατά συγκεκριμένο τρόπο, δηλαδή μέσω συνάρτησης μίας ή και περισσότερων μεταβλητών, αυτόματα έχουμε τη δημιουργία αντίστοιχων διανυσμάτων θέσης. Έτσι, παράγεται η έννοια των διανυσματικών συναρτήσεων, που με τη μελέτη τους ασχολείται η διανυσματική ανάλυση. 1

4 Ολοκληρώματα ΙΙ 1.. ΠΕ ΙΟ Πεδίο ονομάζουμε τον χώρο μέσα στον οποίο κατανέμεται ένα μέγεθος. Εφαρμογές i. Το πεδίο των θερμοκρασιών ενός κλειστού χώρου. ii. Το πεδίο των ταχυτήτων των μορίων ενός υγρού που ρέει μέσα σε έναν σωλήνα ΕΙ Η ΠΕ ΙΩΝ Έχουμε δύο είδη πεδίων: i. Τα βαθμωτά ή αριθμητικά πεδία. ii. Τα διανυσματικά ή ανυσματικά πεδία. Βαθμωτό ή αριθμητικό ονομάζεται ένα πεδίο όταν το μέγεθος που κατανέμεται μέσα σε αυτό είναι βαθμωτό, δηλαδή όταν στο τυχαίο σημείο του P( x1, x,..., x ν ) αντιστοιχεί ένας μοναδικός πραγματικός αριθμός. Ο αριθμός αυτός είναι ο y f( x1, x,..., x ν ). Διανυσματικό ή ανυσματικό ονομάζεται ένα πεδίο όταν το μέγεθος Παραδείγματα που κατανέμεται μέσα σε αυτό είναι διανυσματικό, δηλαδή όταν στο τυχόν σημείο του P( x1, x,..., x ν ) αντιστοιχεί μοναδικό διάνυσμα. Το διάνυσμα αυτό είναι το y yp ( ) yx ( 1, x,..., x ν ). i. Βαθμωτά πεδία είναι: το πεδίο των θερμοκρασιών ενός κλειστού χώρου, ii. η κατανομή της πυκνότητας σε ένα σώμα, η κατανομή της διηλεκτρικής σταθεράς σε κάποιο μέσο κτλ. Διανυσματικά πεδία είναι: το πεδίο μέσα στο οποίο κατανέμονται οι δυνάμεις στον χώρο, το πεδίο μέσα στο οποίο κατανέμονται οι ταχύτητες των μορίων του νερού που ρέει σε έναν σωλήνα κτλ. 13

5 1. Στοιχεία από τη διανυσματική ανάλυση 1.4. ΜΕΓΕΘΗ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΩΝ ΠΕ ΙΩΝ Για τη μελέτη των πεδίων χρησιμοποιούμε κάποια βασικά μεγέθη, που είναι τα εξής: ΚΛΙΣΗ Η κλίση (gradien, για συντομία γράφουμε grad) αφορά βαθμωτά πεδία, δηλαδή πεδία που παρέχονται από βαθμωτές συναρτήσεις, οι οποίες είναι συνηθισμένες συναρτήσεις της μορφής f x,y ή f x,y,z. Αν δίνεται μια συνάρτηση f x, y που έχει μερικές παραγώγους πρώτης τάξης και ένα σημείο της P( x0, y 0), τότε η κλίση της (grad) στο P ορίζεται ως εξής: f f grad P f( x, y) i j. x y Αν δίνεται μια συνάρτηση f x, y,z που έχει μερικές παραγώγους πρώτης τάξης και ένα σημείο της P( x0, y0, z 0), τότε η κλίση της στη θέση του P ορίζεται ως εξής: f f f gradp f ( x, y, z) i j k. x y z Δηλαδή η κλίση της f ( xyz,, ) grad f( xyz,, ) Ρ στο σημείο P είναι ένα διανυσματικό μέγεθος που προέρχεται από ένα βαθμωτό πεδίο. Εφαρμογές Έστω η συνάρτηση f ( xyz,, ) xyz και ένα σημείο της 1,, 1 P 1,, 1 P P P. Για να βρούμε την κλίση της στο σημείο, κάνουμε τις εξής κινήσεις: f f f α. Βρίσκουμε τις μερικές παραγώγους xyz, x z, x y. x y z β. Αντικαθιστούμε x=1, y=, z=1 και παίρνουμε: f f f 4, 1, x P y z. P P 14

6 Ολοκληρώματα ΙΙ grad f xyzi x zj x yk 4i j k (4,1,). Έτσι, έχουμε p Γεωμετρικά Το grad p f, δηλαδή η κλίση της f στο σημείο P της επιφάνειας f, έχει την εξής γεωμετρική ερμηνεία: Αν θεωρήσουμε το εφαπτόμενο επίπεδο της επιφάνειας στο σημείο της P, τότε το gradp f παριστάνει το κάθετο διάνυσμα στο εφαπτόμενο επίπεδο και στο σημείο P με συντεταγμένες f f f,,, όταν στις θέσεις x y z των x,y,z τεθούν οι αντίστοιχες συντεταγμένες του σημείου P. Στο προηγούμενο παράδειγμα είναι το διάνυσμα 4,1,. Δηλαδή η κλίση (grad) ενός πεδίου σε ένα σημείο του P είναι το κάθετο διάνυσμα στο εφαπτόμενο επίπεδο της επιφάνειας στο εν λόγω σημείο. Για την κλίση επίπεδης γραμμής f x, y έχουμε το σχ ΑΠΟΚΛΙΣΗ Η απόκλιση (diverge, για συντομία γράφουμε div) αφορά διανυσματικά πεδία, δηλαδή πεδία που παρέχονται από διανυσματικές συναρτήσεις. Οι διανυσματικές συναρτήσεις είναι συναρτήσεις της μορφής: α Pxyz (,, ), Qxyz (,, ), Rxyz (,, ). Η απόκλιση diva δίνεται από τον τύπο: P Q R divα. x y z Άρα πρόκειται για ένα βαθμωτό μέγεθος, που δεν επιδέχεται γεωμετρική ή φυσική ερμηνεία και αποκτά έννοια σύμφωνα με το πεδίο αναφοράς. p x z σχ. 5.1 σχ. 5. grad f p p f(x,y,z) y 15

7 1. Στοιχεία από τη διανυσματική ανάλυση Εφαρμογή Έστω η διανυσματική συνάρτηση α ( x y, yz, zx). Τότε η απόκλιση του α είναι divα xy z x, αφού: ( x y) ( yz ) ( zx) xy, z, x. x y z ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ Ή ΣΤΡΟΒΙΛΙΣΜΟΣ (rot ή curl) Η περιστροφή ή στροβιλισμός (rotation, για συντομία γράφουμε rot ή curl) αφορά επίσης διανυσματικά πεδία. Συγκεκριμένα, αν έχουμε μια συνάρτηση α Pxyz (,, ), Qxyz (,, ), Rxyz (,, ) η περιστροφή rot ή στροβιλισμός curl δίνεται από την ορίζουσα: i j k R Q P R Q P curlα - i - j - k. x y z y z z x x y P Q R R Q P R Q P Δηλαδή curlα -, -, -. y z z x x y Βλέπουμε λοιπόν ότι η περιστροφή είναι διανυσματικό μέγεθος, που αφορά διανυσματικά πεδία. Στην περίπτωση όμως που η διανυσματική συνάρτηση αναφέρεται στο επίπεδο, τότε έχουμε δύο συντεταγμένες, δηλαδή α Pxy (, ), Qxy (, ), οπότε η περιστροφή της α είναι βαθμωτό μέγεθος και Q P ορίζεται ως curlα -. x y Επομένως, όταν γράφουμε curlα 0, εννοούμε 0 ή 0. Η περιστροφή αποκτά φυσική έννοια ανάλογα με το πεδίο αναφοράς. Στην πυρηνική φυσική rotation είναι η ιδιοστροφή του ηλεκτρονίου., 16

8 Ολοκληρώματα ΙΙ Παρατηρήσεις 1. Το grad (κλίση ενός πεδίου) αφορά βαθμωτά πεδία και είναι διανυσματικό μέγεθος.. Το div (απόκλιση) αφορά διανυσματικά πεδία και είναι βαθμωτό μέγεθος. 3. Το rot ή curl (περιστροφή ή στροβιλισμός) αφορά διανυσματικά πεδία και είναι διανυσματικό μέγεθος Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΤΕΛΕΣΤΗ ΑΝΑ ΕΛΤΑ Όταν στα μαθηματικά μιλάμε για τελεστή, εννοούμε ένα σύμβολο που από μόνο του δε λειτουργεί. Αποκτά έννοια όταν αναφέρεται σε μια συνάρτηση. Για παράδειγμα, ο τόνος ' από μόνος του δε σημαίνει κάτι. Όμως για τη συνάρτηση f το ' f παριστάνει την παράγωγο της f. Γνωρίζουμε ήδη ότι το grad της βαθμωτής συνάρτησης f x,y, z δίνεται από τον τύπο: f f f gradf,,. x y z f f f Αν θεωρήσουμε το μέγεθος,, και το παραστήσουμε σε μορφή γι- x y z νομένου,, f, δηλαδή f f f,,,, f, τότε έχουμε x y z x y z x y z τον τελεστή,, x y z, δηλαδή έχουμε ένα συμβολικό διάνυσμα που αναφέρεται στη συνάρτηση f x,y,z. Ο τελεστής αυτός ονομάζεται ανάδελτα ή τελεστής του Hamilton και, όπως είδαμε, συμβολίζεται με. Άρα έχουμε gradf f ( x, y, z), που είναι διάνυσμα. Έστω τώρα ότι τον (ανάδελτα) ακολουθεί μια διανυσματική συνάρτηση α ( PQR,, ). Τότε: P Q R α,, ( PQR,, ), x y z x y z 17

9 1. Στοιχεία από τη διανυσματική ανάλυση οπότε α divα. Άρα η απόκλιση, όταν α ( PQR,, ), παριστάνεται ως εσωτερικό γινόμενο α, που είναι βαθμωτό μέγεθος. Επίσης η περιστροφή ή στροβιλισμός της διανυσματικής συνάρτησης α ( PQR,, ) παριστάνεται και ως εξωτερικό γινόμενο xα. Δηλαδή xα rotα ή xα curlα, που είναι διανυσματικό μέγεθος. Παρατήρηση Σε πολλές περιπτώσεις τα διανυσματικά μεγέθη απαντούν με τον τελεστή. Ορισμοί i. Θα λέμε ότι ένα διανυσματικό πεδίο α ( PQR,, ) είναι αστρόβιλο, όταν curl α 0. ii. Θα λέμε ότι ένα διανυσματικό πεδίο α ( PQR,, ) είναι σωληνοειδές, όταν divα 0. Σημαντική Παρατήρηση Όταν ένα πεδίο είναι αστρόβιλο, δηλαδή curl α 0 (ακριβές διαφορικό), τότε υπάρχει βαθμωτή συνάρτηση f ( xyz,, ) τέτοια ώστε gradf από πράξεις έχουμε: x y x y z α, οπότε μετά, f ( xyz,, ) Pxyzdx (,, ) Qx (, yzdy, ) Rx (, y, zdz ) όπου 0, 0, 0 x0, y0, z0 ανήκει στο πεδίο ορισμού των P,Q,R (για να μην έχουμε τιμές που μηδενίζουν κάποιον παρονομαστή ή ποσότητα στην οποία αναφέρεται λογάριθμος). x y z αυθαίρετες τιμές, που όμως η διατεταγμένη τριάδα Η συνάρτηση αυτή f x,y,z ονομάζεται δυναμική συνάρτηση ή δυναμικό του πεδίου και έχει μεγάλη χρησιμότητα στα επικαμπύλια ολοκληρώματα, όπως επίσης και στη φυσική, στα συντηρητικά πεδία. Άρα, όταν λέμε ότι μια συνάρτηση απορρέει από δυναμικό, αυτό σημαίνει ότι curlα 0, που ισοδύναμα σημαίνει ότι το πεδίο είναι αστρόβιλο. z 18

10 Ολοκληρώματα ΙΙ 1.6. ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Βρισκόμαστε στον χώρο των τριών διαστάσεων, όπου έχουμε μια γραμμή και δύο σημεία της ΑΒ,. Έστω ότι έχουμε μια συνεχή επί της καμπύλης συνάρτηση f x,y,z. Τη γραμμή τη θέλουμε με παραμετρικές εξισώσεις x xt (), y yt (), z zt (). Τότε έχουμε: x A z B dl (x,y,z) σχ. 6 y f(x,y,z) ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 1ου ΕΙ ΟΥΣ Επικαμπύλιο ολοκλήρωμα 1ου είδους της f x,y,z επί d πάνω στη γραμμή από το σημείο Α έως το σημείο Β, όπου d είναι στοιχειώδες τμήμα της γραμμής, είναι το ολοκλήρωμα που συμβολίζεται με f( x, y, z) d και υπολογίζεται από τον τύπο: AB, AB, 1 t (,, ) (), (), () () () () f x y z d f x t y t z t x t y t z t dt, t όπου x () t η παράγωγος του x ως προς t, y () t η παράγωγος του y ως προς t, zt () η παράγωγος του z ως προς t, με t 1 t. Το ολοκλήρωμα αυτό γεωμετρικά δεν παριστάνει τίποτα. Ορίζεται με διαμέριση κατά Riemann χωρίς να έχει γεωμετρική ερμηνεία. Παρατηρούμε λοιπόν ότι ο υπολογισμός του επικαμπύλιου ολοκληρώματος 1ου είδους γίνεται με τη βοήθεια του ορισμένου ολοκληρώματος. Σημαντικές Παρατηρήσεις, τότε το επικαμπύλιο ολοκλήρω- 1. Όταν η γραμμή είναι κλειστή A B μα συμβολίζεται με f x,y,z d. 19

11 1. Στοιχεία από τη διανυσματική ανάλυση. Δεν πρέπει να συγχέουμε τις παραμετρικές συντεταγμένες με τις πολικές συντεταγμένες. Στις παραμετρικές συντεταγμένες έχουμε μία παράμετρο, έστω την t, ενώ στις πολικές έχουμε δύο παραμέτρους, τις ρ, θ (όπου θ γωνία). Τις παραμετρικές συντεταγμένες τις χρησιμοποιούμε στα επικαμπύλια ολοκληρώματα, ενώ τις πολικές συντεταγμένες στα διπλά ολοκληρώματα. Εφαρμογή Υπολογίστε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα x yd, αν y x AB, :, από το σημείο Α 1,1έως το σημείο Β,4. Λύση Η συνάρτηση είναι η f ( xy, ) xy. Θα μετατρέψουμε τις x,y σε παραμετρική μορφή. Αυτό γίνεται εύκολα, αρκεί να θέσουμε x=t, οπότε y=t, καθότι η γραμμή έχει εξίσωση y x. Τώρα θα βρούμε τα άκρα ολοκλήρωσης t 1,t, ώστε t1 t είτε από τη μεταβολή του x είτε από τη μεταβολή του y. Συμφέρει να επιλέξουμε τη μεταβλητή με την απλούστερη ως προς t έκφραση. Άρα εδώ θα βρεθούν με βάση τη μεταβολή της x=t, που είναι πρώτου βαθμού. Έχουμε x 1t 1, για x t, άρα t 1 1 και t 1 t1 t. Έτσι, έχουμε τον υπολογισμό: c AB, 4 x yd x () t y() t x () t y () t dt t t 1 () t dt t 14 t dt Είδαμε ότι η μετατροπή μιας καρτεσιανής μορφής σε παραμετρική είναι σχετικά εύκολη (στο παράδειγμά μας θέσαμε όπου x το t, οπότε πήραμε y t ). Σε κάθε καρτεσιανή μορφή αντιστοιχούν άπειρες παραμετρικές, οπότε επιχειρούμε την απλούστερη. Για παράδειγμα, όταν η γραμμή είναι κύκλος x y α, οι πλέον συμφέρουσες παραμετρικές είναι 0

12 Ολοκληρώματα ΙΙ x ασυνt και y αημt, όταν η γραμμή είναι έλλειψη, θέτουμε x ασυνt και y βημt κτλ. x α y β 1 Εφαρμογή Υπολογίστε το xyd, αν : x y 9. Λύση Θεωρούμε x 3συνt και y 3ημt (Παρατήρηση 3), οπότε έχουμε: π π xyd 3συνt3ημt 9ημ t 9συν tdt 7 συνtημtdt ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ου ΕΙ ΟΥΣ Βρισκόμαστε στον χώρο των τριών διαστάσεων, z όπου έχουμε μια γραμμή και δύο ση- μεία της ΑΒ,. Έστω ότι έχουμε μια συνεχή συνάρτηση A (x,y,z) B f(x,y,z) f x, y, zεπί της καμπύλης. Τη γραμμή τη θέλουμε με παραμετρικές εξισώσεις. Τα δεδομένα y εδώ είναι ίδια με εκείνα του 1ου εί- x σχ. 7 δους. Η διαφορά είναι ότι μας ζητούν επικαμπύλιο ολοκλήρωμα από το Α έως το Β της συνάρτησης f x, y, zεπί dx ή dy ή dz (στο πρώτο είδος είχαμε επί d). Δηλαδή εδώ έχουμε: f( x, ψ, z) dx ή dy ή dz. AB, Το ολοκλήρωμα αυτό και πάλι δεν παριστάνει γεωμετρικά τίποτα. Ισχύει ο εξής τύπος υπολογισμού του: f( x, y, z) dx f x(), t y(), t z() t x () t dt, με t1 t AB, 1 t t 1

13 1. Στοιχεία από τη διανυσματική ανάλυση ή f ( x, y, z) dy f x(), t y(), t z() t y () t dt, με t 1 < t AB, 1 t t ή f x, y, zdz f x(), t y(), t z() t z () t dt, με t 1 < t. AB, 1 t t Για συγκριτικούς λόγους τα παραδείγματα που θα εξετάσουμε θα είναι ίδια με του 1ου είδους. Εφαρμογή 1 Υπολογίστε το ολοκλήρωμα AB, x ydy, όταν : y x από Α(1,1) έως Β(,4). Λύση Θεωρούμε x t y t. Παρατηρούμε ότι 1 t. Άρα t 1, t. Επομένως AB, Εφαρμογή 3 5 x ydy t t tdt t dt Υπολογίστε το ολοκλήρωμα xy dx, με : x y 9. Λύση Θεωρούμε x 3συνt και y 3ημt, οπότε: π 3συνt3 ημt( 3 ημt) dt 7 συνtημ tdt ΕΠΙΚΑΜΠΥΛΙΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Έστω η διανυσματική συνάρτηση α Pxyz (,, ), Qxyz (,, ), Rxyz (,, ), η γραμμή : x x( t), y y( t), z z( t), όπως επίσης και δύο σημεία της γραμμής, τα ΑΒ,. Ο λόγος γίνεται εδώ για το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα πάνω στη γραμμή από

14 Ολοκληρώματα ΙΙ το σημείο Α έως το σημείο Β του αdr, όπου dr στοιχειώδης συμβολική διανυσματική ακτίνα. Τότε συμβολίζουμε αdr. AB, Το επικαμπύλιο αυτό ολοκλήρωμα δίνεται από τον τύπο: α dr P( x, y, z) dx Q( x, y, z) dy R( x, y, z) dz, AB, AB, AB, AB, δηλαδή ισούται με το άθροισμα τριών επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων δεύτερου είδους. Συμφωνούμε να το συμβολίζουμε ως εξής: αdr P( x, y, z) dx Q( x, y, z) dy R( x, y, z) dz. AB, AB, Το dr μπορεί να αντικατασταθεί με το Τds, όπου Τ το μοναδιαίο εφαπτομενικό διάνυσμα της, οπότε: dr αdr αt ds α dt. dt AB, AB, AB, Παρατηρήσεις 1. Το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα διανυσματικής συνάρτησης ονομάζεται κυκλοφορία και παριστάνει το έργο που παράγει δύναμη α όταν κινείται εφαπτομενικά στη γραμμή από το σημείο Α έως το σημείο Β. Στην περίπτωση που το πεδίο είναι αστρόβιλο, δηλαδή αν cur α 0, τότε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα είναι ανεξάρτητο από τη γραμμή και εξαρτάται από τα άκρα ΑΒ,. Αυτό σημαίνει ότι όποιον δρόμο και αν ακολουθήσουμε από το σημείο Α έως το σημείο Β, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο. Στην περίπτωση αυτή υπάρχει μια βαθμωτή συνάρτηση f x, y, z (ή δυναμική συνάρτηση ή το δυναμικό του πεδίου) τέτοια, που το gradf να ισούται με α. Τότε θα έχουμε: x y f ( xyz,, ) Pxyzdx (,, ) Qx (, yzdy, ) Rx (, y, zdz ) x y z z σχ. 8, οπότε: 3

15 1. Στοιχεία από τη διανυσματική ανάλυση c AB, B α dr f( x, y, z) f( B) f( A). A. Αν η γραμμή είναι κλειστή, με cur α 0, και η διανυσματική συνάρτηση α=(p, QR, ) ορίζεται στο επίπεδο χωρίο που περιέχει τη γραμμή, τότε α dr 0, αφού Α Β. AB, Σχόλιο: Τα παραπάνω αποτέλεσαν μια απλή αναφορά στη διανυσματική ανάλυση. Στα αντίστοιχα ειδικά κεφάλαια θα ασχοληθούμε εκτενέστερα με τα επικαμπύλια και επιφανειακά ολοκληρώματα. 4