ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύττας Ενόττα 8: Το Γεωειδές Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μχανικών Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
Άδειες Χρήσς Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσς Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσς, άδεια χρήσς αναφέρεται ρτώς. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκς Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
Χρματοδότσ Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδμαϊκά Μαθήματα στο Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκς» έχει χρματοδοτήσει μόνο τν αναδιαμόρφωσ του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρσιακού Προγράμματος «Εκπαίδευσ και Δια Βίου Μάθσ» και συγχρματοδοτείται από τν Ευρωπαϊκή Ένωσ (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκς Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΑΠΘ/ΤΑΤΜ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας 4 ο Εάμνο Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Introduction to gravit field Ακαδμαϊκή Χρονιά: 4 5 Πρόγραμμα: Τετάρτ 9: 3: Διδάσκοντες: Η.Ν. Τζιαβός, Γ.Σ. Βέργος Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
http://web.auth.gr/e-topo/ http://olimpia.topo.auth.gr/courses/ Ιστοσελίδες ΔΕΠ Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας Η. Τζιαβός ή Γ. Βέργος Μαθήματα - εργασίες Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΞΕΛΙΞΕΙΣ ΣΤΗ ΓΕΩΔΣΑΙΣΙΑ ΚΑΙ ΤΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΤΗΣ ΓΗΣ Εικόνα Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ / Έως τις αρχές τς δεκαετίας του 8 επίγειες τεχνικές μέτρσς σε στεριά, θάλασσα και από αέρα κλασικός εοπλισμός (βαρυτήμετρα ) Υψλό κόστος Χρονικά ασύμφορες Μ ομογενής διακριτική ικανόττα Μ ομογενής και ενιαία ακρίβεια Έλλειψ δεδομένων σε δύσκολα προσβάσιμες περιοχές Λίγα δεδομένα για τους ωκεανούς Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ / Δορυφορική γεωδαισία (από τ δεκαετία του 9) Υψλή ακρίβεια Συνδυασμός δορυφορικών και επίγειων πγών δεδομένων Προοδευτική αύσ διακριτικής ικανόττας Εασθένσ του σήματος τς βαρυτικής έλς λόγω του ύψους περιστροφής Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΠΑΡΑΚΟΛΟΥΘΗΣΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΤΟΥ ΠΛΑΝΗΤΗ ΜΑΣ Γεωδαιτικά δεδομένα και γεωδαιτικές τεχνικές συμβάλλουν στν μέτρσ και παρακολούθσ των φυσικών διεργασιών τς Γς Προσδιορισμός, μέσω κατάλλλων και στατιστικά αιόπιστων μεθόδων του σχήματος, των διαστάσεων και των μεταβολών του πεδίου βαρύττας τς Γς Γεωειδές ~ ΜΣΘ Εικόνα από Michelle Lana Μοντέλα βαρύττας (βάσεις δεδομένων βαρύττας) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΒΑΡΥΤΗΤΑ ΚΑΙ ΜΕΛΕΤΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΤΗΣ ΓΗΣ Εικόνα Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
Βαρύττα Πρωτογενείς μετρήσεις Επίγειες - από αέρα - δορυφορικές Γεωμετρία Γς ΕΕΠ Συστήματα υψών Μοντέλα Γς Γεωδυναμικά μοντέλα Γεωειδές n = -36, n=-4 Δορυφορικά EGM8 Συνδυασμού 5 km km 5 cm 5 cm Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
Γεωδυναμικό μοντέλο συνδυασμού Βαρύττα σε παγκόσμια κλίμακα Διακριτική ικανόττα 5 km Εύρος τιμών [ -3 mgal 3 mgal ] Γεωδυναμικό μοντέλο συνδυασμού Γεωειδές σε παγκόσμια κλίμακα Διακριτική ικανόττα km Εύρος τιμών [ - m mgal ] Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΜΟΝΤΕΛΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ EGM8 (5 arcmin) Εικόνα 3 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΓΕΩΕΙΔΕΣ ΑΠΌ ΤΟ EGM8 Διακριτική ικανόττα km ακρίβεια cm Εικόνα 4 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΔΟΡΥΦΟΡΙΚΕΣ ΑΠΟΣΤΟΛΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Εικόνα 5 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
Η ΓΕΩΔΑΙΣΙΑ ΚΑΙ ΟΙ ΔΙΑΦΟΡΟΙ ΚΛΑΔΟΙ ΤΗΣ Εικόνα 6 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΤΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ = φ Φ = (λ Λ)cosφ h = Η + Ν Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΤΟ ΔΥΝΑΜΙΚΟ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΤΗΣ ΓΗΣ V M G l δυναμικό έλς V V V z V Είσωσ Laplace (εκτός των ελκτικών μαζών) T W U διαταρακτικό δυναμικό g g ανωμαλίες βαρύττας R T gs( ) d 4 Λύσ του προβλήματος συνοριακών τιμών Θεωρία Stokes Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΠΕΔΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΤΟ ΓΕΩΕΙΔΕΣ τα δεδομένα επίγεια, από αέρα, δορυφορικά γεωδυναμικά μοντέλα ανωμαλίες βαρύττας αποκλίσεις κατακορύφου ψφιακά μοντέλα εδάφους/βάθους (αναγωγές βαρύττας) υψόμετρα από GPS / γεωμετρική χωροστάθμσ οι μέθοδοι αναλυτικές oλοκλρώματα (Stokes ) (αναλυτική ολοκλήρωσ, FFT) στοχαστικές σμειακή προσαρμογή Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΥΣΤΗΜΑΤΑ ΥΨΩΝ ΓΕΩΕΙΔΕΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ STOKES / MOLODENSKY h H N h H μέσο H km Hkm Εικόνα 7 N H ( N). N H στ θάλασσα Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΤΟ ΓΕΩΕΙΔΕΣ. και οι απεικονίσεις του σε διάφορες κλίμακες Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
Αλτιμετρικό γεωειδές - δορυφορικά 5 arcmin τοπικής κλίμακας λύσ Εικόνα 8 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
Γεωειδές συνδυασμού - δορυφορικά και επίγεια - 5 arcmin τοπικής κλίμακας λύσ Εικόνα 9 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΓΕΩΕΙΔΕΣ ΣΥΝΔΥΑΜΟΥ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ 5 arcmin Δεδομένα Δg, γεωδ. μοντέλο Εικόνα Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΤΟ ΓΕΩΕΙΔΕΣ ΣΤΗ ΜΕΣΟΓΕΙΟ Το γεωειδές στ Μεσόγειο Λύσ περιφερειακής κλίμακας Δορυφορικά δεδομένα Εικόνα Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
Γεωειδές από γεωδυναμικά μοντέλα παγκόσμια λύσ Εικόνα www.gfz-potsdam.de Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
Γεωειδές από γεωδυναμικά μοντέλα παγκόσμια λύσ Εικόνα 3 www.gfz-potsdam.de Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΓΕΩΕΙΔΟΥΣ. ανάλογα με το είδος των χρσιμοποιούμενων δεδομένων αστρογεωδαιτικές (αστρονομική/αστροβαρυτμετρική χωροστάθμσ) αλτιμετρικές (θάλασσα) βαρυτμετρικές (γεωδυναμικό μοντέλο, βαρύττα, DTM..) λύσεις συνδυασμού Γεωδυναμικό μοντέλο επιφάνεια (λύσ) αναφοράς Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΓΕΩΕΙΔΟΥΣ. ανάλογα με το είδος των χρσιμοποιούμενων αλγορίθμων κλασικές πολυωνυμικές τεχνικές (περιορισμέν ακρίβεια ) ολοκλρωματικοί τύποι (Stokes ) αριθμτική ολοκλήρωσ, FFT στοχαστικές μέθοδοι σμειακή προσαρμογή Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΣΥΝΕΙΣΦΟΡΑ ΕΤΕΡΟΓΕΝΕΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Συνεισφορά ετερογενών πγών δεδομένων στον προσδιορισμό του γεωειδούς Εικόνα 4 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΓΕΩΕΙΔΟΥΣ Εικόνα 5 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΓΕΩΕΙΔΟΥΣ εσωτερική ακρίβεια αλγορίθμου εωτερική ακρίβεια αιολόγσ - σύγκρισ με υψόμετρα από GPS/γεωμ. χωροστάθμσ για τν ρά - σύγκρισ με υψόμετρα από τ δορυφορική αλτιμετρία για τ θάλασσα Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΑΚΡΙΒΕΙΕΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΥ ΤΟΥ ΓΕΩΕΙΔΟΥΣ Δh - GPS ~ - ppm Βάσεις (baselines) km 4mm s δίκτυο Α τάς ΔΗ γεωμ. Χωρ. 8mm s δίκτυο Β τάς 6mm s δίκτυο Γ τάς ΔΝ γεωειδές βαρύττα ~ 3 ppm Βάσεις km Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΗ ΧΩΡΟΣΤΑΘΜΗΣΗ ΔΝ ds -Ε cosα sinα Δ ds-ε Ε ορθομετρική διόρθωσ Ε* κανονική διόρθωσ Εικόνα 6 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΗ ΧΩΡΟΣΤΑΘΜΗΣΗ θ ΔN s θ s ΔN cosα sinα ds d cos α d sin α cosα s Δ s sin α s Δ s ΔN Δ Δ ΔN ΔN N N θ θ s sin συμβατόττα μονάδων ΔΝ Ν Ν.9 Δφ Δλcosφ m μέσα πλάτ ελλνικός χώρος Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΜΟΝΤΕΛΟ ΣΥΝΟΡΘΩΣΗΣ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΗ ΧΩΡΟΣΤΑΘΜΗΣΗ Γενικές σχέσεις N N ΔN b v b v N k N i i k Δ ik i k Δ ik είσωσ παρατήρσς -N k ΔN k N i ΔN i Δ Δ ik ik b i b i v v i i Δ Δ ik ik b k b k v v k k Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΜΟΝΤΕΛΟ ΣΥΝΟΡΘΩΣΗΣ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΗ ΧΩΡΟΣΤΑΘΜΗΣΗ A r u X u B r n v n w r Γενική είσωσ του μικτού μοντέλου συνόρθωσς Πίνακες σχεδιασμού A B - Δ ik - Δ ik - Δ ik - Δ ik Πίνακας διαφορών w - N k N i - Δ ik b i b k Δ ik b i b k Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4 i k ΔN ΔN ΔN ΔN Χ i i k k v v v v v v v v v n n m m m m Q n n m m m m P T T BQB B BP M A M A N T u N ˆ w M A u T minimum Pv v Pv v T T ΔN N N διάνυσμα λύσς πίνακας μεταβλ./συμμεταβλ. πίνακας βαρών υπόλοιπα Λύσ συνθήκ ελαχιστοποίσς τελικά συνορθωμένα υψόμετρα ΜΟΝΤΕΛΟ ΣΥΝΟΡΘΩΣΗΣ ΣΤΗΝ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΚΗ ΧΩΡΟΣΤΑΘΜΗΣΗ
ΑΣΤΡΟΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟ ΔΙΚΤΥΟ WESTHARZ Σταθμοί απόκλισς κατακορύφου Κλεισίματα τριγώνων αστρογεωδαιτικών σταθμών Εικόνα 7 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΑΠΟΚΛΙΣΕΙΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟΥ ΣΤΟΝ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΧΩΡΟ Τιμές θ Εύρος " - 3 " Εικόνα 8 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΑΣΤΡΟΓΕΩΔΑΙΤΙΚΟ ΓΕΩΕΙΔΕΣ ΣΤΟΝ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΧΩΡΟ παρεμβολές τιμών και ED5 Εικόνα 9 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΑΣΤΡΟΒΑΡΥΤΗΜΕΤΡΙΚΗ ΧΩΡΟΣΤΑΘΜΗΣΗ αποκλίσεις κατακορύφου από αστρονομικές παρατρήσεις και από βαρύττα θ gr gr cos α gr sin α δθ θ a - θ gr δθ P δθ A δθ B s AB δθ A s AP θ i θ gr i δθ i gr a cosφ sinφsin λ sinφ cosφ cosφ λ sinφ δ cosφ cos λ λ sin φcos λ δ λ δn / a συστματικές διαφορές gr a sinφ sin λ λ δ cos λ λ δ cosφ sin λ λ δn / a ˆ A T A A T Ab προσδιορισμός συστματικών διαφορών a gr a gr minimum (ελάχιστα τετράγωνα) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΣΥΓΚΡΙΣΕΙΣ ΥΨΟΜΕΤΡΩΝ ΤΟΥ ΓΕΩΕΙΔΟΥΣ βαρύττα αστρονομικές παρατρήσεις N gr N a cosφ sinφ sinφ cosφ sin λ sinφ sinφ λ a cosφ cosφ cos λ δ cosφ cos λ λ λ aδ δn N a N gr minimum N gr N a cosφ cos λ δ cosφ sin λ δ sin φδz gr a R sinφ cos λ δ sinφ sin λ δ cosφ δz συστματικές διαφορές gr a R sin λ δ cos λ δ Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
Αστρογεωδαιτικές αποκλίσεις τς κατακορύφου και αποκλίσεις κατακορύφου από βαρύττα gr a R (sinφ cosλ sinφ sin λ cosφ z ) gr a R (sinλ cosλ ) εφαρμογή νόμου μετάδοσς σφαλμάτων a, a ά ί ά gr R (sin φ cos λ δ sin φ sin λ δ cos φ δz ) gr R (sin λ δ cos λ δ ) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
Αστρογεωδαιτικά υψόμετρα του γεωειδούς και υψόμετρα γεωειδούς από βαρύττα Ν gr Ν a cosφ cosλ cosφ sinλ sinφ z εφαρμογή νόμου μετάδοσς σφαλμάτων Ν a ά ί ά Ν gr R (cos φ cos λ δ cos φ sin λ δ sin φ δz ) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΑΣΚΗΣΗ (σελ. 9) Αστρογεωδαιτικές και βαρυτμετρικές αποκλίσεις κατακορύφου γνωστές σ δ σ δ σ δz 5m Να βρεθεί ακρίβεια των βαρυτμετρικών στο: φ 4 λ.5 R 637m gr a R sinφ cos λ δ sinφ sin λ δ cosφ δz gr a R sin λ δ cos λ δ σδ σδ σδz 5m σ gr σ gr R R sin sin φcos λσ λσ δ δ sin cos λσ φsin δ λσ δ cos φσ δz Νόμος μετάδοσς των σφαλμάτων Πράεις. σ σ.6 gr gr Η ακρίβεια αυτή είναι τς ίδιας τάς με τν ακρίβεια αστρογεωδαιτικών τιμών που αντιστοιχούν σε αστρονομικό προσδιορισμό Α τάς (. -. 5 ) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΑΣΚΗΣΗ ΜΕ ΥΨΟΜΕΤΡΑ ΓΕΩΕΙΔΟΥΣ Ν gr Ν a cosφ cosλ cosφ sinλ sinφ z Ν a ά ί ά Ν gr R (cos φ cos λ δ cos φ sin λ δ sin φ δz ) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΟΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΓΕΩΕΙΔΟΥΣ n i j N P,P cij Αριθμός όρων χωρίς το σταθερό όρο q ( n ) i, j Για 3ου βαθμού πολυώνυμα είναι: c c c c c c 3 3 3 3 3 3 c c c c c 3 3 3 3 3 c c c c 33 3 3 c Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4 n r n r n r r r n r r r n r n n r r r n n n n n n n n n n n n A nn n n n n c c c c c c c c c ˆ minimum v v N T N Ab A A A T T ˆ ΜΟΝΤΕΛΟ ΣΥΝΟΡΘΩΣΗΣ
Σμείωμα Χρήσς Έργων Τρίτων Το Έργο αυτό κάνει χρήσ των ακόλουθων έργων: Εικόνες/Σχήματα/Διαγράμματα/Φωτογραφίες Εικόνες, 6, 7, 8, 9,,, 4, 5, 6: Αραμπέλος Δ και Τζιαβός ΗΝ (7) Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας τς Γς. Εκδόσεις Ζήτ, Θεσσαλονίκ. Εικόνες 3, 4: F. G. Lemoine, S. C. Kenon, J. K. Factor, R.G. Trimmer, N. K. Pavlis, D. S. Chinn, C. M. Co, S. M. Klosko, S. B. Luthcke, M. H. Torrence, Y. M. Wang, R. G. Williamson, E. C. Pavlis, R. H. Rapp and T. R. Olson, The Development of the Joint NASA GSFC and NIMA Geopotential Model EGM96, NASA Goddard Space Flight Center, Greenbelt, Marland, 77 USA, Jul 998. Εικόνες 7, 8, 9: Tziavos ΙΝ (984) Μελέτ του βέλτιστου συνδυασμού ετερογενών δεδομένων στον προσδιορισμό του γεωειδούς με εφαρμογές στον Ελλνικό χώρο. Dr. Eng. Thesis (in Greek), Thessaloniki, Greece. Εικόνα : Βέργος ΓΣ (6) Μελέτ του πεδίου βαρύττας και τς θαλάσσιας τοπογραφίας στον Ελλνικό χώρο με συνδυασμό επίγειων δεδομένων και δεδομένων των νέων δορυφορικών CHAMP και GRACE. Διδακτορική Διατριβή, Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας, Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μχανικών, Πολυτεχνική Σχολή, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκς Εικόνες, 3: http://icgem.gfz-potsdam.de/icgem/ <Τελευταία επίσκεψ:.5.5 > Εικόνα 5: http://smsc.cnes.fr/icgoce/goce.jpg. <Τελευταία επίσκεψ:.5.5 > Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκς Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
Σμείωμα Αναφοράς Copright Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκς, Ηλίας Τζιαβός Γεώργιος Βέργος. «Εισαγωγή στο Πεδίο Βαρύττας. Το Γεωειδές». Έκδοσ:.. Θεσσαλονίκ 4. Διαθέσιμο από τ δικτυακή διεύθυνσ: http://eclass.auth.gr/courses/ocrs374/. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκς Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
Σμείωμα Αδειοδότσς Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους τς άδειας χρήσς Creative Commons Αναφορά - Παρόμοια Διανομή [] ή μεταγενέστερ, Διεθνής Έκδοσ. Εαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσς τους στο «Σμείωμα Χρήσς Έργων Τρίτων». Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο εχωριστή άδεια να χρσιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήσ, εφόσον αυτό του ζτθεί. [] http://creativecommons.org/licenses/b-sa/4./ Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκς Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τέλος ενόττας Επεεργασία: Δαλάκς Νικόλαος Θεσσαλονίκ, 6/9/4 Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
ΣΗΜΕΙΩΜΑΤΑ Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4
Διατήρσ Σμειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σμείωμα Αναφοράς το Σμείωμα Αδειοδότσς τ δήλωσ Διατήρσς Σμειωμάτων το Σμείωμα Χρήσς Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκς Εισαγωγή στο πεδίο βαρύττας Η.Ν. Τζιαβός - Γ.Σ. Βέργος 3-4