2 Η ΠΡΟΟΔΟΣ Ενδεικτικές λύσεις κάποιων προβλημάτων Τα νούμερα στις ασκήσεις είναι ΤΥΧΑΙΑ και ΟΧΙ αυτά της εξέταση Ένας τροχός εκκινεί από την ηρεμία και επιταχύνει με γωνιακή ταχύτητα που δίνεται από την, όπου και σταθερές. Πόσες περιστροφές (όχι αναγκαστικά ακέραιος αριθμός) συμπληρώνει ο τροχός σε χρόνο δευτερολέπτων; Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω αριθμητικά δεδομένα για τις ποσότητες (σε ), (σε ) και (σε ) αντίστοιχα:,, Ολοκληρώνουμε για να βρούμε τη γωνία Στο δεδομένο χρόνο: Αντικαθιστώντας Μετατροπή σε περιστροφή (η 1 περιστροφή αντιστοιχεί σε ):
Μια μπάλα του τένις μάζας η οποία προσπίπτει σε ρακέτα με ταχύτητα μέτρου και γωνία (όλες οι γωνίες αναφέρονται ως προς τον άξονα- ), δέχεται μια στιγμιαία δύναμη από αυτήν ώστε μετά την επαφή να ταξιδεύει με ταχύτητα και γωνία. Να βρεθεί η γωνία σε μοίρες της. Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω αριθμητικά δεδομένα για τις ποσότητες, (όλα σε ) και (σε ) αντίστοιχα:,,. Η αρχική ορμή της μπάλας έχει μέτρο και διεύθυνση ίδια με της ταχύτητας και έτσι οι συνιστώσες της είναι ίσες με: Η τελική ορμή της μπάλας έχει μέτρο και διεύθυνση ίδια με της ταχύτητας και έτσι οι συνιστώσες της είναι ίσες με: Η ώθηση της δύναμης έχει συνιστώσες: Η διεύθυνσή της συμπίπτει με τη διεύθυνση της δύναμης και περιγράφεται από τη γωνία δίνεται από την η οποία
Σώμα το οποίο έχει αρχική ορμή μέτρου και ταξιδεύει με ταχύτητα η οποία σχηματίζει γωνία ως προς τον άξονα-, εκτρέπεται από την πορεία του λόγω μιας δύναμης που ασκείται επάνω του μεταξύ των χρονικών στιγμών η οποία έχει συνιστώσες και όπου και σταθερές. Να βρεθεί η -συνιστώσα της τελικής ορμής σε μονάδες S.I. στο πέρας των δευτερολέπτων. Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω αριθμητικά δεδομένα για τις ποσότητες (σε μονάδες S.I.), (σε ) και (σε ) αντίστοιχα:,,. Η αρχική ορμή της μπάλας έχει μέτρο και διεύθυνση ίδια με της ταχύτητας και έτσι οι συνιστώσες της είναι ίσες με: Από το θεώρημα ώθησης ορμής στον άξονα- : έχουμε για την -συνιστώσα της τελικής ορμής Αντικαθιστώντας:
Ένα σώμα κινείται στη μια διάσταση κάτω από την εφαρμογή μιας μοναδικής συντηρητικής δύναμης η οποία περιγράφεται από δυναμική ενέργεια που είναι συνάρτηση του και δίνεται από την έκφραση: Εάν το σώμα διαθέτει συνολική ενέργεια, να βρεθεί η έκφραση όπου και είναι το ελάχιστο και μέγιστο σε αντίστοιχα της κίνησης που εκτελεί το σώμα. Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω αριθμητικά δεδομένα για τις ποσότητες (σε ), (σε ) και (σε ) αντίστοιχα:,,. Προφανώς πρόκειται για δέσμια Τα και είναι εκεί όπου ισχύει Δευτεροβάθμια εξίσωση, διακρίνουσα Λύσεις Η διαφορά τους είναι ίση με Έτσι το ζητούμενο είναι ίσο με
Ένα σώμα κινείται στη μια διάσταση κάτω από την εφαρμογή μιας μοναδικής συντηρητικής δύναμης η οποία περιγράφεται από δυναμική ενέργεια που είναι συνάρτηση του και δίνεται από την έκφραση: Να βρεθεί η απομάκρυνση σε του πλησιέστερου σημείου ευσταθούς ισορροπίας ως προς την αρχή των συντεταγμένων Ο. Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω αριθμητικά δεδομένα για τις ποσότητες (σε ), (σε ) και (αδιάστατο) αντίστοιχα:,, Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση του. Λόγω της αρχικής φάσης, η γραφική παράσταση του συνημιτόνου είναι ελαφρά μετατοπισμένη προς τα αριστερά (επειδή η αρχική φάση είναι θετική) και έτσι το πρώτο ελάχιστο Ε στα δεξιά είναι πιο κοντά στο Ο από ότι το αντίστοιχο πρώτο ελάχιστο στα αριστερά. Ο E Επομένως το Ε είναι το ζητούμενο σημείο ευσταθούς ισορροπίας. Ως γνωστό, το ελάχιστο του συνημιτόνου (τιμή: ) εμφανίζεται στη γωνία και έτσι: Αντικαθιστώντας
Ο Εφαρμογή κεντρικής δύναμη: Όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, λεπτός σιδερένιος δίσκος ακτίνας και μάζας περιστρέφεται ελεύθερα γύρω από την αρχή Ο. Επάνω του βρίσκεται προσκολλημένος μικρός μαγνήτης σε μορφή σημειακής μάζας σε απόσταση από το Ο και το όλο σύστημα περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα. Η κατάσταση στο είναι όπως στο σχήμα με την επάνω στον άξονα. Παράλληλα, δεύτερη σημειακή μάζα που βρίσκεται ελαφρά πάνω από τη σελίδα και κινείται κατά μήκος του αρνητικού άξονα, προσπίπτει ελαστικά επάνω στην αφού ο δίσκος έχει εκτελέσει μια πλήρη περιστροφή, αναγκάζοντάς την να προσκολληθεί σε νέα θέση επάνω στον δίσκο η οποία απέχει απόσταση από το Ο ενώ η φεύγει προς τυχαία κατεύθυνση (δεν υπάρχει βαρύτητα στο πρόβλημα). Εάν η δύναμη της κρούσης θεωρηθεί κεντρική, να βρεθεί η νέα γωνιακή ταχύτητα του συστήματος και. Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω αριθμητικά δεδομένα για τις ποσότητες (αδιάστατο) και (σε ) αντίστοιχα:, Παρόλο που η δύναμη κρούσης είναι εξωτερική, εντούτοις είναι κεντρική δύναμη και άρα η στροφορμή του συστήματος διατηρείται. Επομένως μπορούμε να γράψουμε για την κατάσταση πρινμετά: Η αρχική απόσταση της από τον άξονα περιστροφής είναι ενώ η τελική. Οι αντίστοιχες ροπές (δίσκος + σημειακή μάζα) πριν και μετά την κρούση, είναι ίσες με:
Αντικαθιστώντας Επομένως
Ο A Σ Όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, ένας λεπτός δίσκος ακτίνας βρίσκεται στη σελίδα και μπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα γύρω από την αρχή Ο ενώ το Α είναι ένα σημείο του στην περιφέρειά του το οποίο αρχικά βρίσκεται επάνω στον άξονα, όπως στο σχήμα. Τη χρονική στιγμή και ενώ ο δίσκος ηρεμεί, εφαρμόζεται κάποια ροπή η οποία προσδίδει μη σταθερή γωνιακή επιτάχυνση στον δίσκο ίση με όπου μια σταθερά. Παράλληλα ένα σημειακό σώμα Σ κινείται κατά μήκος του αρνητικού άξονα με σταθερή ταχύτητα και συναντάει το σημείο Α αφού αυτό έχει εκτελέσει πλήρεις περιστροφές. Να βρεθεί κατ απόλυτο τιμή η ταχύτητα (σε ) εάν στο το Σ απέχει απόσταση από το Ο. Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω αριθμητικά δεδομένα για τις ποσότητες (σε ) και (σε ) αντίστοιχα:, Από την ολοκλήρωση της και λαμβάνοντας υπόψιν ότι ο δίσκος βρίσκεται αρχικά σε ηρεμία, βρίσκουμε για την γωνιακή του ταχύτητα την εξής έκφραση: Ολοκληρώνοντας ακόμα μια φορά και λαμβάνοντας υπόψιν ότι η αρχική γωνία του σημείου Α είναι μηδέν, βρίσκουμε για την γωνία του σε τυχαία χρονική στιγμή την εξής έκφραση: Οι πλήρεις περιστροφές αντιστοιχούν σε γωνία οπότε αντικαθιστώντας στην παραπάνω έκφραση, βρίσκουμε για τον αντίστοιχο χρόνο το εξής:
Το Σ απέχει απόσταση από το Ο και άρα απόσταση από το Α (στην αρχική του δέση). Επομένως η ταχύτητα του Α κατ απόλυτη τιμή είναι ίση με:
Ένα κινητό κινείται επάνω σε κύκλο ακτίνας με γωνία (ως προς τον -άξονα) που δίνεται από την έκφραση όπου και σταθερές. Να βρεθεί ο λόγος κ των μέτρων της κεντρομόλου επιτάχυνσης δια την επιτρόχιο επιτάχυνση κατά τη χρονική στιγμή. Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω αριθμητικά δεδομένα για τις ποσότητες (σε ) και (σε ) αντίστοιχα:, Από την δεδομένη γωνία βρίσκουμε για την γωνιακή ταχύτητα και γωνιακή επιτάχυνση Η κεντρομόλος επιτάχυνση δίνεται από την ενώ η επιτρόχιος Παίρνοντας λόγους Τη χρονική στιγμή έχουμε
A Ο Β Στο παραπάνω σχήμα δυο σημειακές μάζες Α και Β κινούνται επάνω στον ίδιο κύκλο ακτίνας με διαφορετικές σταθερές γωνιακές ταχύτητες και. Το σχήμα απεικονίζει την κατάσταση στο όπου η Β βρίσκεται επάνω στον άξονα ενώ το Α έχει μια αρχική γωνία. Όταν οι δυο μάζες θα συναντηθούν, να βρεθεί το ποσοστό του κύκλου που έχει διανύσει η Α σε σχέση με την αρχική της θέση (π.χ. για μισό κύκλο εισάγετε ). Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω αριθμητικά δεδομένα για τις ποσότητες (σε ) και (σε ) αντίστοιχα:, Η κίνηση και των δυο μαζών είναι ομαλή κυκλική και επομένως θα ισχύει: (η Α έχει μια αρχική γωνία ενώ η Β δεν έχει). Η γωνιακή ταχύτητα της Β είναι to της Α οπότε. Εφόσον η Α είναι πιο γρήγορη αλλά και επειδή ξεκινάει και πιο ψηλά από την Β, όταν συναντηθεί με την Β θα έχει διανύσει ένα επιπλέον κύκλο, δηλαδή Από τις παραπάνω σχέσεις μπορούμε να βρούμε τον χρόνο της συνάντησης των δυο μαζών Η γωνία που θα έχει εκτελέσει η Α από την αρχική της θέση θα ισούται με
Θέλουμε το % ποσοστό σε σχέση με το (ένας πλήρης κύκλος) και έτσι
Ένα κινητό κινείται επάνω σε κύκλο ακτίνας με γωνία (ως προς τον -άξονα) που δίνεται από την έκφραση όπου και σταθερές. Να βρεθεί η απόλυτη τιμή της -συνιστώσας της γραμμικής ταχύτητας (επιτρόχιας) του κινητού σε κατά τη χρονική στιγμή. Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω αριθμητικά δεδομένα για τις ποσότητες (σε ), (σε ) και (σε ) αντίστοιχα: 2,, Από την δεδομένη γωνία βρίσκουμε για την γωνιακή ταχύτητα Η αντίστοιχη γραμμική ταχύτητα ισούται με: Α O Τη χρονική στιγμή η ταχύτητα ισούται με ενώ η γωνία του κινητού που είναι στην ουσία η γωνία του διανύσματος θέσης (δείτε παραπάνω σχήμα) ισούται με: Η γραμμική ταχύτητα είναι κάθετη στο και άρα η γωνία της είναι κατά μεγαλύτερη από τη Έτσι η απόλυτος τιμή της -συνιστώσας του διανύσματος είναι ίση με:
Στο παραπάνω σχήμα το σημείο Μ εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση γωνιακής ταχύτητας επάνω σε κύκλο ακτίνας ο οποίος εφάπτεται στην αρχή των αξόνων Ο. Εάν στο το Μ βρίσκεται στο Ο, να βρεθεί το μέτρο του διανύσματος θέσης του Μ στο. Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω αριθμητικά δεδομένα για τις ποσότητες (σε ) και (σε ) αντίστοιχα:, Το διάνυσμα θέσης είναι το ενώ η γωνία δίνεται στην ομαλή κυκλική κίνηση από την Στο Οι αποστάσεις και είναι ίσες με την ακτίνα του κύκλου. Από τον νόμο των συνημιτόνων: οπότε
Στο παραπάνω σχήμα οι τέσσερις σημειακές μάζες (δυο και δυο ) είναι τοποθετημένες επάνω σε αβαρές πλαίσιο σχήματος τετραγώνου. Εάν, και οι ροπές αδράνειας του παραπάνω συστήματος μαζών ως προς τους άξονες περιστροφής #1, #2 και #3 (ο τρίτος κάθετος στη σελίδα), να υπολογισθεί το γινόμενο σε μονάδες Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω αριθμητικά δεδομένα για τις ποσότητες, (όλες σε ) και (σε ) αντίστοιχα:,, Η ροπή αδράνειας μιας σημειακής μάζας είναι ίση με όπου είναι η απόσταση από τον άξονα περιστροφής. Έτσι για τους τρεις άξονες: και Αντικαθιστώντας
Στο παραπάνω σχήμα εφαρμόζεται μια σταθερή δύναμη επάνω στη σφήνα και δυο άλλες δυνάμεις και ασκούνται μέσω ιδανικών νημάτων στον δίσκο. Το όλο σύστημα περιστρέφεται ελεύθερα γύρω από το σημείο Ο με γωνιακή ταχύτητα με τη φορά που σημειώνεται στο σχήμα (όχι αναγκαστικά σταθερή) και υπάρχει βαρύτητα προς τα κάτω. Εάν ο συντελεστής κινητικής τριβής μεταξύ σφήνας και τροχού είναι, να βρεθεί η συνιστάμενη ροπή (κατ απόλυτη τιμή) που ασκείται στον τροχό. Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω αριθμητικά δεδομένα για τις ποσότητες (σε ), (σε ) και αντίστοιχα:,, Υπάρχουν τρεις δυνάμεις στο σχήμα και άρα τρεις ροπές (υπάρχει και μια τέταρτη δύναμη στήριξης του τροχού η οποία δρα στο Ο και άρα δεν συνεισφέρει στην περιστροφή). Οι δυο δυνάμεις είναι ίσες με ενώ η τρίτη είναι δύναμη τριβής ολίσθησης Είναι όλες κάθετες στην ακτίνα του δίσκου και άρα στον τύπο της ροπής δεν υπάρχει εξάρτηση από την γωνία αφού. Οι και δρούνε με βραχίονα ενώ η με βραχίονα. Λαμβάνοντας υπόψη τη συμβατική φορά περιστροφής (αρνητική η φορά των δεικτών του ρολογιού) βλέπουμε ότι οι και είναι αρνητικές ενώ η θετική. Έτσι οι τρεις ροπές που δρουν στον τροχό είναι οι εξής:
Επομένως η συνιστάμενη ροπή είναι ίση με Κατ απόλυτη τιμή
αρχική θέση Στο παραπάνω σχήμα ο λεπτός δίσκος μάζας και ακτίνας βρίσκεται επάνω σε δάπεδο και μπορεί και περιστρέφεται ελεύθερα χωρίς τριβές γύρω από σταθερό σημείο Ο που βρίσκεται στην περιφέρειά του. Στο και ενώ ο δίσκος ηρεμεί στην αρχική του θέση που φαίνεται στο σχήμα, εφαρμόζεται μια σταθερή ροπή επάνω στο δίσκο γύρω από το Ο. Να βρεθεί η γωνία σε ακτίνια κατά τη χρονική στιγμή. Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω αριθμητικά δεδομένα για τις ποσότητες (σε ), (σε ) και (σε ) αντίστοιχα:,, Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς το κέντρο μάζας του είναι ίση με Επειδή όμως ο άξονας περιστροφής είναι μετατοπισμένος κατά από το κέντρο μάζας του δίσκου, πρέπει να εφαρμόσουμε το θεώρημα του Steiner για να βρούμε την ροπή αδράνειας ως προς το Ο: Από το νόμο του Νεύτωνα στην περιστροφική κίνηση, λύνουμε ως προς τη γωνιακή επιτάχυνση Αφού το είναι σταθερό, μπορούμε να εφαρμόσουμε τις εξισώσεις της ομαλά επιταχυνόμενης περιστροφικής κίνησης:
Ο δίσκος εκκινεί από ηρεμία και άρα και έτσι. Επομένως. Επίσης η γωνία μετράει από την αρχική θέση του δίσκου
Ο Α Β Ράβδος Όπως φαίνεται στο παραπάνω σχήμα, δυο σημειακές μάζες και είναι προσδεμένες επάνω σε κατακόρυφη αβαρή ράβδο η οποία μπορεί και αιωρείται ελεύθερα γύρω από την αρχή των συντεταγμένων Ο (δεν υπάρχει βαρύτητα). Μια άλλη σημειακή μάζα κινείται οριζόντια με σταθερή συντεταγμένη και οριζόντια ταχύτητα και προσκολλάται στην. Να βρεθεί η στροφορμή του συστήματος ράβδου-μαζών σε μονάδες S.I. αμέσως μετά την προσκόλληση λαμβάνοντας υπόψιν ότι στο σύστημα αυτό όλες οι δυνάμεις είναι εσωτερικές. Χρησιμοποιήστε τα παρακάτω αριθμητικά δεδομένα για τις ποσότητες (σε ), (σε ) και (σε ) αντίστοιχα:,, Αφού όλες οι δυνάμεις είναι εσωτερικές, η συνολική ροπή που ασκείται στο σύστημα ράβδου-μαζών είναι μηδέν και άρα η στροφορμή διατηρείται. Επομένως η στροφορμή μετά την προσκόλληση ισούται με την στροφορμή πριν που δίνεται από την εξίσωση: όπου είναι η απόσταση της μάζας από την αρχή Ο, δηλαδή το μέτρο του διανύσματος θέσης, και είναι η γωνία μεταξύ του και του. Από απλή γεωμετρία μπορούμε να δούμε ότι το είναι ίσο με την απόσταση ΟΑ που είναι η συντεταγμένη της μάζας. Επομένως