Αρχή ιατήρησης Στροφορµής Ύστερα από Κρούση Σωµάτων

Αρχή ιατήρησης Στροφορµής Ύστερα από Κρούση Σωµάτων Η διπλή τροχαλία του σχήµατος αποτελείται από δύο ενωµένους οµόκεντρους δίσκους, που µπορούν να περιστρέφονται ενιαία ως ένα σώµα ύρω από οριζόντιο άξονα περιστροφής, που διέρχεται από το κέντρο τους. Η ακτίνα του ωτερικού δίσκου είναι R =0, και η µάζα του Μ =8kg. Η ακτίνα του εσωτερικού δίσκου είναι R =0, και η µάζα του Μ =4kg. Στα αυλάκια, που φέρουν οι δύο δίσκοι είναι τυλιµένα δύο λεπτά αβαρή µεάλου µήκους και µη εκτατά νήµατα, στα κάτω άκρα των οποίων είναι δεµένα δύο σώµατα Σ και Σ, µε µάζες =kg και =5kg αντίστοιχα. Τα σώµατα συκρατούνται αρχικά στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο και τη χρονική στιµή t=0s, αφήνουµε το σύστηµα ελεύθερο, οπότε αρχίζει να περιστρέφεται χωρίς τα νήµατα να ολισθαίνουν στα αυλάκια των δίσκων. Ταυτόχρονα αφήνουµε να πέσει ελεύθερα ένα δαχτυλίδι µάζας =0kg το οποίο απέχει από το σώµα µάζας ύψος h=6 όπως φαίνεται στο σχήµα. Το δαχτυλίδι καθώς κατέρχεται δεν ακουµπάει στο νήµα ενώ θεωρούµε ότι η κρούση είναι πλαστική και ίνεται ακαριαία. α) Να βρεθεί η ροπή αδράνειας του συστήµατος των δύο τροχαλιών αν η ροπή αδράνειας κάθε δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της είναι Ι = ½ Μ R, όπου Μ η µάζα του κάθε δίσκου και R η ακτίνα του κάθε δίσκου. β) Να υπολοιστεί η επιτάχυνση των σωµάτων Σ και Σ όταν το σύστηµα αφεθεί ελεύθερο. ) Να υπολοίσετε πότε τα σώµατα και θα συκρουστούν. δ) Την ωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας αµέσως µετά την κρούση. ε) Πόση είναι η ενέρεια που χάθηκε κατά την κρούση; στ) Να βρείτε την καινούρια ωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας µετά την κρούση. h R M R M Σ Σ Απάντηση α) Η ροπή αδράνειας του συστήµατος των τροχαλιών θα ισούται µε το άθροισµα των ροπών αδράνειας των σωµάτων από τα οποία αποτελείται το σύστηµα ως προς τον άξονα στροφής. IΣ υσ = Ι Ι = MR M R = 4 0, 8 0, = 0, 0 0,6 I = 0,8 kg Συσ Β Τ R M R M Γ Τ β) Για να βρούµε προς τα πού θα στραφεί η διπλή τροχαλία υπολοίζουµε τη συνισταµένη των ωτερικών ροπών Σ τ, των ωτερικών δυνάµεων, που ασκούνται στο σύστηµα διπλή τροχαλία σώµατα ως προς τον άξονα της περιστροφής. Οι ασκούµενες ωτερικές δυνάµεις είναι τα βάρη των σωµάτων α Τ Τ Α α w w

w = gκαι w = g, το βάρος της τροχαλίας W και η δύναµη στήριξης F από τον άξονα. Απ αυτές ροπή προκαλούν µόνο τα βάρη των σωµάτων, καθώς το βάρος της τροχαλίας και η δύναµη στήριξης ασκούνται στον άξονα και έτσι δεν προκαλούν ροπή. Θεωρώντας θετική φορά την διόστροφη, έχουµε: Σ τ = g R g R Σ τ = 0 5 0, 0 0, = 8 N Εφόσον η Σ τ έχει θετικό πρόσηµο, το σύστηµα θα περιστραφεί στην κατά σύµβαση θετική φορά, δηλαδή διόστροφα. Εφαρµόζουµε το Θεµελιώδη Νόµο της Στροφικής Κίνησης ια τη Στροφική κίνηση της τροχαλίας (ροπή δηµιουρούν µόνο οι τάσεις T και T ενώ το βάρος της τροχαλίας Mg και η δύναµη F από τον άξονα όχι). Επειδή το κάθε νήµα δεν ολισθαίνει στην τροχαλία και παραµένει τεντωµένο, όλα τα σηµεία του κάθε νήµατος έχουν την ίδια ταχύτητα. Το σηµείο Β συµµετέχει µόνο στη στροφική κίνηση της τροχαλίας και έτσι έχει ταχύτητα µόνο αιτίας της στροφικής κίνησης. Το σηµείο Α εκτελεί µόνο µεταφορική κίνηση όπως το Σ. Οπότε: υ = υ ωr = u ω R = u και παραωίζοντας α R = a () Β Α c, Αντίστοιχα ια τα σηµεία Γ και υ = υ ω R = u ω R = u και παραωίζοντας α R = a () Γ c, όπου ω και α είναι η κοινή ωνιακή ταχύτητα και επιτάχυνση των δύο δίσκων της τροχαλίας. Για την τροχαλία: Σ τ = Ια Τ R Τ R = Ι α Τ 0, Τ 0, = 0,8 α Τ Τ =,8 α τρ συσ Επειδή το νήµα είναι αβαρές και µη εκτατό και συνεχώς τεντωµένο ασκεί ίσου µέτρου τάσεις στα σώµατα, που «ενώνει». T = T και T = T Τ Τ =,8 (3) Εφαρµόζουµε το Θεµελιώδη Νόµο της Μηχανικής ια τη Μεταφορική κίνηση κάθε σώµατος στον κατακόρυφο άξονα (θετική φορά παίρνουµε τη φορά της επιτάχυνσης του κάθε σώµατος δηλ., η προς τα κάτω ια το Σ και η προς τα πάνω ια το Σ ): Για το Σ : Σ F = a T g = a T 0 = a T 0 = a R T 0 = 0, a T = 0 0, a (4) Για το Σ : () α

(3) Σ F = a g T = a 50 Τ = 5α R 50 Τ = a Τ = 50 α (5) (4) (3) (50 a ) (0 0, a ) =,8 α 00 a 0 0, a =,8 α (5) 80 80 = 4a α = α = 0 r / s 4 α =α R =0 0, α =/s α =α R =0 0, α =4/s ) Το σώµα εκτελεί ελεύθερη πτώση και το Σ οµαλά επιταχυνόµενη προς τα πάνω µε επιτάχυνση α =/s. Όταν τα σώµατα συκρουστούν θα ισχύει: y y = 6 ½ g t ½ α t = 6 5t t =6 t=s δ) Για να υπολοίσουµε την ωνιακή ταχύτητα της τροχαλίας θα πρέπει να εφαρµόσουµε την Αρχή ιατήρησης της Στροφορµής, καθώς το σύστηµα στερεό-σ -Σ - είναι συνδεδεµένο µε νήµατα µέσω των οποίων, όσο είναι τεντωµένα, ασκούνται αρκετά µεάλες δυνάµεις, ώστε να µην µπορούµε να θεωρούµε τα σώµατα ανάρτητα. Η ταχύτητα του πριν την κρούση είναι αντίθετη της κίνησης του Σ και έτσι προκαλεί επιπλέον τέντωµα στο νήµα. Εφαρµόζοντας την Αρχή ιατήρησης της Στροφορµής ως προς τον άξονα περιστροφής του στερεού έχουµε: Στ. = 0 Lαρχ = Lαρχ L L L L L L L τρ = τρ, ( ) ( ) I ω υ R υ R υ R = I ω υ R υ R c c c c I ω υ R υ R υ R = I ω ω R ω R c c I ω υcr υcr υr 0,8 0 5 4 0, 0, 0 0 0, ω = = I R ( ) R 0,8 5 0, 0, 3,6 40, 4 0 ω = = = 4rad / s 0,8 0, 0, 0,5 [ ] Το αρνητικό πρόσηµο σηµαίνει ότι η τροχαλία θα στραφεί αριστερόστροφα, το συσσωµάτωµα ( -) θα κατέβαίνει και το θα ανεβαίνει. υ h υ υ c = α t = = / s υ c = α t = 4 = 4 / s ω = α t = 0 = 0r / s υ = g t = 0 = 0 / s Σ R y M R y M ω Σ υ 3

ε) Q = Κ ολ,πριν Κ ολ,µετά Q = Κ,πριν Κ,πριν Κ,πριν Κ τρ,πριν Κ ( ),µετά Κ,µετά Κ τρ,µετά Q = u u u Ι ω ( ) u u Ι ω Q = 5 4 0 0 0,8 0 0, 4 5 0,8 0,8 4 Q = 4 40 500 36 0, 96, 6, 44 = 580 4 Q = 576J στ) Μπορούµε να παρατηρήσουµε θεωρώντας θετική φορά την διόστροφη, ότι: Σ τ = g R ( ) g R Σ τ = 0 5 0, 0 0, = N Εφόσον η Σ τ έχει αρνητικό πρόσηµο, το σύστηµα θα αποκτήσει αριστερόστροφη ωνιακή επιτάχυνση. Μάλλιστα επειδή από το ερώτηµα δ το σύστηµα αλλάζει φορά περιστροφής, αµέσως µετά την κρούση θα ξεκινήσει απευθείας επιταχυνόµενη κίνηση αριστερόστροφα δηλ. αντίθετης φοράς από την αρχική χωρίς να υπάρξει µεταβατικό στάδιο επιβράδυνσης. Για την τροχαλία: Σ τ = Ια Τ R Τ R = Ι α Τ 0, Τ 0, = 0,8 α Τ Τ =,8 α τρ συσ Επειδή το νήµα είναι αβαρές και µη εκτατό και συνεχώς τεντωµένο ασκεί ίσου µέτρου τάσεις στα σώµατα, που «ενώνει». T = T και T = T Τ Τ =,8 (6) α Για το (Σ ): Σ F = ( ) a T ( ) g = ( ) a 0 T = a 0 T = a R 0 T =, a T = 0, a (7) Για το Σ : Σ F = a T g = a Τ 50 = 5α R Τ 50 = a Τ = 50 α (8) (7) (6) (0, a ) (50 a ) =,8 α 0, a 00 a =,8 α (8) 0 0 = 5a α = α = 4 r / s 5 4

Σχόλιο. Για την αωή της επιτάχυνσης αν δεν νωρίζουµε την φορά της µπορούµε να θεωρήσουµε θετική φορά ια τις δυνάµεις τη φορά των ταχυτήτων και ια τις ροπές τη φορά της ωνιακής ταχύτητας. Στο συκεκριµένο παράδειµα η τροχαλία ξεκινούσε απευθείας επιταχυνόµενη κίνηση αντίστροφης φοράς. Παρόλα αυτά θα µπορούσαµε να θεωρήσουµε θετική φορά την αρχική φορά περιστροφής και ότι στρέφεται όπως αρχικά και στο τέλος να καταλήξουµε σε αρνητική ωνιακή επιτάχυνση. Αυτό θα ήταν πιο λοικό να ίνει αν το σύστηµα συνέχιζε να στρέφεται διόστροφα όπου αν καταλήαµε σε αρνητική ωνιακή επιτάχυνση θα σήµαινε ότι αρχικά θα επιβραδυνόταν λόω αδράνειας και ύστερα θα άλλαζε φορά περιστροφής. X. Αριόδηµας chagriodias@yahoo.gr 5