Ε Θ Ν Ι Κ Ο Μ Ε Τ Σ Ο Β Ι Ο Π Ο Λ Υ Τ Ε Χ Ν Ε Ι Ο Σ Χ Ο Λ Η Ε Φ Α Ρ Μ Ο Σ Μ Ε Ν Ω Ν Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ω Ν Κ Α Ι Φ Υ Σ Ι Κ Ω Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ω Ν Τ Ο Μ Ε Α Σ Φ Υ Σ Ι Κ Η Σ Εαναλητική εξέταση στο µάθηµα ΕΙ ΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΣΧΕΤΙΚΟΤΗΤΑΣ 7 Σετεµβρίου ιάρκεια εξέτασης: ώρες Τα θέµατα είναι ισοδύναµα Θέµα (α) Μια ευθεία ΟΡ βρίσκεται στο είεδο xy και σχηµατίζει γωνία θ µε τον άξονα των x, στο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς S Ποια είναι η γωνία θ ου σχηµατίζει η ευθεία µε τον άξονα των x στο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς S, το οοίο κινείται µε σταθερή ταχύτητα V= V x ˆ ως ρος το σύστηµα S; (β) είξετε ότι το µονοχρωµατικό φως αό µια ηγή ου αοµακρύνεται αό εµάς ακτινικά µε ταχύτητα,6c έχει διλάσιο µήκος κύµατος αό το µήκος κύµατος ου έχει στο σύστηµα της ηγής + Θέµα Ένα ουδέτερο καόνιο διασάται σε δύο ιόνια, + Αν το αραγόµενο αρνητικό ιόνιο είναι ακίνητο, οια είναι η ολική ενέργεια του θετικού ιονίου; Ποια ήταν η ολική ενέργεια του καονίου; ίνονται οι µάζες ηρεµίας: του, m = 498 MeV / c και των ±, m = 4 MeV/ c Θέµα 3 Ένα σωµατίδιο µε µάζα ηρεµίας m και ταχύτητα υ συγκρούεται µε ακίνητο σωµατίδιο µε µάζα ηρεµίας m Τα δύο σωµατίδια ενώνονται σε ένα συσσωµάτωµα µε µάζα ηρεµίας Μ, ου κινείται µε υ= mγυ / mγ ταχύτητα υ είξετε ότι είναι ( ) ( ) και γ M = m m, όου γ = υ / c Θέµα 4 Ποια είναι η ενέργεια κατωφλίου για την αραγωγή αντιρωτονίου ( p ) κατά τη σύγκρουση ηλεκτρονίου (e) µε ακίνητο ρωτόνιο (p) κατά την αντίδραση e+ p e+ p+ p+ p ; ίνονται οι ενέργειες ηρεµίας: του ηλεκτρονίου mpc = 938 MeV mec =,5 MeV και του ρωτονίου
Σχετικιστική Κινηµατική: Τυολόγιο Μετασχηµατισµός της θέσης: Αν ένα σύστηµα αναφοράς S' κινείται µε ταχύτητα V x ˆ ως ρος ένα σύστηµα αναφοράς S, και οι άξονες των δύο συστηµάτων συµίτουν όταν t= t =, τότε: V x = γ ( x Vt) y = y z = z t = γ t x c όου V β c γ β Συστολή του µήκους: l= l / γ ( l = µήκος ηρεµίας, δηλ για ράβδο ακίνητη) ιαστολή του χρόνου: t= γ t ( t = ιδιοχρόνος, δηλ για ρολόι ακίνητο) υx V υ y Μετασχηµατισµός της ταχύτητας: υ x =, υ υ xv = υz y υ x γ V, υ = z υ x c V γ c c + β cosθ Φαινόµενο Doppler: λ= λ β Σχετικιστική υναµική: m = m() m= m( υ) = γ m όου γ =, υ = ταχύτητα του σωµατιδίου ( υ / c) 4 p= mυ=γ m υ = mc = γ mc = mc + p c Για φωτόνια: hc = hf = λ = pc p x = γ px V / c p y = py p z = pz = γ Vp x Μετασχηµατισµός ορµής-ενέργειας: ( ) ( ) Ισοδυναµία µάζας-ενέργειας: = m c Ηλεκτροµαγνητισµός: Μετασχηµατισµός του ηλεκτροµαγνητικού εδίου: x = x y = γ( y VBz) z = γ( z + VBy) x = Bx By = γ( By + Vz / c ) Bz = γ( Bz Vy / c ) B
Θέµα (α) Μια ευθεία ΟΡ βρίσκεται στο είεδο xy και σχηµατίζει γωνία θ µε τον άξονα των x, στο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς S Ποια είναι η γωνία θ ου σχηµατίζει η ευθεία µε τον άξονα των x στο αδρανειακό σύστηµα αναφοράς S, το οοίο κινείται µε σταθερή ταχύτητα V= V x ˆ ως ρος το σύστηµα S; (β) είξετε ότι το µονοχρωµατικό φως αό µια ηγή ου αοµακρύνεται αό εµάς ακτινικά µε ταχύτητα,6c έχει διλάσιο µήκος κύµατος αό το µήκος κύµατος ου έχει στο σύστηµα της ηγής (α) Οι ροβολές της ευθείας άνω στους δύο άξονες του συστήµατος S έχουν µήκη Στο σύστηµα S, αυτά τα µήκη είναι P P x = L cosθ και y = L sinθ P P ( ) x = x / γ = L cos θ / γ και y = y = L sinθ P P Εοµένως, η κλίση θ της ευθείας στο σύστηµα αναφοράς S δίνεται αό τη σχέση tanθ y x P = = ( L ) P L sinθ cos θ / γ = ή θ arctan( γ tanθ) tanθ γ tanθ = (β) Στο φαινόµενο Ντόλερ, η σχέση ανάµεσα στα µήκη κύµατος είναι λ= λ θεωρείται θετικό όταν η ηγή αοµακρύνεται αό εµάς Για β =, 6, είναι + β, όου το β β +,6,6 λ= λ = λ = λ 4= λ, 6, 4
+ Θέµα Ένα ουδέτερο καόνιο διασάται σε δύο ιόνια, + Αν το αραγόµενο αρνητικό ιόνιο είναι ακίνητο, οια είναι η ολική ενέργεια του θετικού ιονίου; Ποια ήταν η ολική ενέργεια του καονίου; ίνονται οι µάζες ηρεµίας: του, m = 498 MeV / c και των ±, m = 4 MeV/ c Έστω ότι η µάζα ηρεµίας του είναι Μ και των ± είναι m Η διάσαση φαίνεται στο σχήµα Αφού το + είναι το µόνο σωµατίδιο ου κινείται µετά τη διάσαση, η διατήρηση της ορµής υαγορεύει η ορµή του να είναι ίση µε την ορµή p του Αν είναι η ολική ενέργεια του, η διατήρηση της ενέργειας µας δίνει = +, () mc mc γ Όµως, η ολική ενέργεια του + είναι mc γ ( mc ) ( pc) και του καονίου ( Mc ) ( pc) Αντικαθιστώντας τις Εξ () και (3) στην (), έχουµε Υψώνοντας στο τετράγωνο, = = + () = + (3) ( ) Mc + ( pc) = mc + ( mc ) + ( pc) ( Mc ) + ( pc) = ( mc ) + ( mc ) + ( pc) c ( mc ) + ( pc) ( ) ( ) Mc mc = mc και, εοµένως, Αντικαθιστώντας στην Εξ (), M = mc m M = mc + = mc m ή M c = m Η ολική ενέργεια του θετικού ιονίου είναι: Για το καόνιο βρίσκουµε: 498 = = 886 MeV 4 498 = 4 = 746 MeV 4
Θέµα 3 Ένα σωµατίδιο µε µάζα ηρεµίας m και ταχύτητα υ συγκρούεται µε ακίνητο σωµατίδιο µε µάζα ηρεµίας m Τα δύο σωµατίδια ενώνονται σε ένα συσσωµάτωµα µε µάζα ηρεµίας Μ, ου κινείται µε υ= mγυ / mγ ταχύτητα υ είξετε ότι είναι ( ) ( ) και γ M = m m, όου γ = υ / c Οι αρχές διατήρησης δίνουν: Ενέργεια: m c γ c = Mc γ () Ορµή: mγυ = Mγυ () όου γ = υ / c Ααλείφοντας το γινόµενο Mγ ανάµεσα στις Εξ () και (), έχουµε mγυ mγυ = mγυ υ, η οοία δίνει υ= mγ Αό αυτή την τιµή ροκύτει ότι mγ β = β = γ mγ + m Υψώνοντας την Εξ () στο τετράγωνο και αντικαθιστώντας για το M = ( mγ ) = ( mγ ) mγ β, γ γ γ γβ M m m m m m = + +, ( ) /γ, έχουµε = γ β + + γ M m m m m και, τελικά, γ M = m m
Θέµα 4 Ποια είναι η ενέργεια κατωφλίου για την αραγωγή αντιρωτονίου ( p ) κατά τη σύγκρουση ηλεκτρονίου (e) µε ακίνητο ρωτόνιο (p) κατά την αντίδραση e+ p e+ p+ p+ p ; ίνονται οι ενέργειες ηρεµίας: του ηλεκτρονίου mpc = 938 MeV mec =,5 MeV και του ρωτονίου Για διαθέσιµη ενέργεια ίση µε την ενέργεια κατωφλίου, τα σωµατίδια ου αράγονται θα είναι ακίνητα στο σύστηµα αναφοράς µηδενικής ορµής Στο σύστηµα αναφοράς του εργαστηρίου, εοµένως, όλα τα αραγόµενα σωµατίδια θα κινούνται µε την ίδια ταχύτητα, έστω β c, όως φαίνεται στο σχήµα Έχουµε, c = 3m c γ () διατήρηση της ενέργειας: e p ( p e) διατήρηση της ορµής: e e ( e ) ( 3 p e) = = + () p c m c m m c βγ όου e και p e είναι η ενέργεια και ορµή, αντίστοιχα, του ροσίτοντος ηλεκτρονίου Η Εξ () δίνει ( 3 ) γ ( 3 ) γ ( ) 4 e = p + e p p + e + p m m c m c m m c m c και η Εξ () ( 3 ) β γ ( ) 4 e p e e = m c c Εξισώνοντας, και διαιρώντας διά ( ) ( ) ( ) 4 c ροκύτει η σχέση p e γ β p p e γ p e 3m m 3m m = Όµως, γ ( β ) = και έτσι p e p e 9m 6m m m + ( 3m m ) γ m m + + = p p e p e Εοµένως, p + e p p + e m 6m m 5m 3m γ = = m 3m m 3m ( 3 ) = m e p e ( + ) p p e 5mp + 3me c m ( ) pc = 4mp + 3me c 3m p e p e Η κινητική ενέργεια του ηλεκτρονίου είναι: ( ) e e e p e = m c = m c Αντικαθιστώντας, βρίσκουµε την ενέργεια κατωφλίου e = ( 938+,5) = 3753 MeV