Αλλαγή µεταβλητής στο τριπλό ολοκλήρωµα ( ) Β R Jordan µετρήσιµα υποσύνολα του U. R, ανοικτό µε. y y y συµβολίζει την ορίζουσα του πίνακα Jacobi

Transcript

1 8 λλαγή µεταβλητής στο τριλό ολοκλήρωµα Υενθυµίζουµε ( Θεωρηµα ) το γενικό τύο αλλαγής µεταβλητής στο ολλαλό ολοκλήρωµα: f ( y) dy= f ( g( x) ) det J g( x) dx (), Β= g n όου, Β Jodan µετρήσιµα υοσύνολα του συντεταγµένων µε g( ) =Β, U n, : n, ανοικτό µε g U n µετασχηµατισµός U και f : Β ολοκληρώσιµη συνάρτηση Στην ερίτωση n= ( ερίτωση τριλού ολοκληρώµατος ) ο τύος () γράφεται: ( g( ) =Β,, Β, g : U, U ) ( x, y, ( u, v, f ( x, y, d( x, y, = f ( x( u, v,, y( u, v,, z( u, v, ) d( u, v, Β= g () όου ( x, y, ( u, v, x x x u v ω y y y συµβολίζει την ορίζουσα του ίνακα Jacobi u v ω z z z u v ω g u, v, ω = x u, v, ω, y u, v, ω, z u, v, ω µετασχηµατισµού συντεταγµένων Είσης αό τον τύο () για f ( x, y, z ) = ( η σταθερή συνάρτηση ίση µε ) ( x, y, αίρνουµε τον όγκο V( Β ) του Β : V( Β ) = d( u, v, ( u, v, Εφαρµογές ) Ο µετασχηµατισµός των κυλινδρικών συντεταγµένων Έστω g : : g, θ, z = cos θ, sin θ, z δηλ x= cos θ, y= sinθ και z = z () Έεται ότι η g είναι µία C αεικόνιση καθώς οι συντεταγµένες συναρτήσεις x(, θ,, y(, θ,, z(, θ, της g είναι C διαφορίσιµες Η τριάδα (, θ, είναι οι κυλινδρικές συντεταγµένες ενός σηµείου ( x, y, { (,, : z } Με άλλα λόγια αν ένα σηµείο ( x, y, z ) δεν ανήκει στον άξονα των z, τότε µετατρέουµε το ( x, y ) σε ολικές συντεταγµένες και αφήνουµε την συντεταγµένη z αµετάβλητη Η αεικόνιση ου ορίζουν οι εξισώσεις () δεν είναι βέβαια, αν όµως εριορίσουµε κατάλληλα το εδίο ορισµού της γίνεται Έτσι αν ααιτήσουµε θ, θ, g, +, είναι > και [ ) ( ή ( ] ) τότε η [ ) συνάρτηση και g( V) = { (,, : z }, όου V (, ) [,) ( x, y, (,, V του = + Έτσι αν δεν ανήκει στον άξονα των z οι εξισώσεις () έχουν µοναδική λύση θ ν εριορίσουµε εραιτέρω την g στο ανοικτό

2 U = (, + ) (, ) τότε και η g : U g( U) είναι µια αµφιδιαφόριση {,, : και } 9 g U = x z x z ανοικτό σύνολο Ο όρος κυλινδρικές συντεταγµένες δικαιολογείται αό το γεγονός ότι αν C = a, θ, z : θ,, z, όου a θετική σταθερά τότε { [ ) } (,, ) : {, θ, z : a, θ, και z } { x, y, z : x y a } g C = x y z x + y = a =κυλινδρική ειφάνεια ακτίνας a κάθετη στο xy είεδο Η εικόνα του [ ) είναι το = µέσω της g Β= +, δηλαδή το εσωτερικό του κυλίνδρου ακτίνας a µαζί µε την κυλινδρική ειφάνεια (, θ, ) = ( cos θ, sin θ, ) g V ( V (, ) [,) = : { (,, ) : } και h( x, y, (, θ, g z z Η αντίστροφη της h g z z = + ) είναι η = µε = x + y και θ = η

3 µοναδική γωνία στο [, ) µεταξύ του θετικού ηµιάξονα Ox και της ηµιευθείας { t( x, y) : t } Η Ιακωβιανή ορίζουσα της αεικόνισης g είναι η ( x, y, (, θ, cos θ sin θ ( g) = sin θ cos θ = = det J Εοµένως η g U (, ) (,) µε (,, ) : και = + είναι ένας µετασχηµατισµός συντεταγµένων g U = x z x z, αφού g U, C διαφορίσιµη και det J = > εί του U g Ο τύος () γίνεται τότε για U, Jodan µετρήσιµο, Β= g( ) και f : Β ολοκληρώσιµη συνάρτηση, f ( x, y, d( x, y, = f ( cos θ, sin θ, d(, θ, και V d(, θ, Β = Β Σηµείωση Οι κυλινδρικές συντεταγµένες είναι χρήσιµες για την ανααράσταση κυλινδρικών ειφανειών εκ εριστροφής µε άξονα τον z ' z Καρτεσιανή εξίσωση x + y = a κυλινδ εξίσωση = a κώνος x + y = z = z αραβολοειδές x + y = az = az υερβολοειδές x + y z = = z +

4 ) Ο µετασχηµατισµός των σφαιρικών συντεταγµένων Θεωρούµε την αεικόνιση g : µε (,, ) ( ρ sinϕ cos θ, ρ sinϕ sin θ, ρ cosϕ) g ρ θ ϕ = Η g είναι C διαφορίσιµη αεικόνιση και αν την εριορίσουµε σε κατάλληλο υοσύνολο του γίνεται Η g ερµηνεύεται γεωµετρικά ως εξής: Έστω ( x, y, x, y, z να µην ανήκει µε στον άξονα των z Θέτοµε, ρ = x + y + z και αριστάνουµε τα x και y µε ολικές συντεταγµένες στο xy είεδο: x= cosθ και y= sinθ,όου = x + y και θ [, ) την ροβολή της ηµιευθείας { t( x, y, : } δίνεται αό τον τύο z = ρ cosϕ, όου ϕ (, ) ηµιευθείας { t( x, y, : } ορίζεται αό τον άξονα των z και το διάνυσµα ( x, y, z )) ( θ είναι η γωνία ου σχηµατίζει ο ηµιάξονας Ox µε t στο xy είεδο Η συντεταγµένη z η κυρτή γωνία µεταξύ της t και της ηµιευθείας Oz, ( εργαζόµαστε στο είεδο ου Χρησιµοοιώντας το εσωτερικό γινόµενο, µορούµε να εκφράσουµε την ϕ ως εξής: v κ v κ cosϕ =, δηλαδή ϕ cos = v v εδοµένου ότι ρ sinϕ σηµείου (,, ) ( όου v= ( x, y, και (,,) κ = ) = καταλήγουµε στις σφαιρικές συντεταγµένες (,, ) x y z ( µε x + y > ) ρ θ ϕ του x= ρ sinϕ cosθ, y= ρ sinϕ sinθ, z = ρ cosϕ όου ρ >, θ <, < ϕ < Παρατηρούµε ότι η g εριορισµένη στο (, ) [, ) (, ) g( ) = { (,, : z } ν την εριορίσουµε στο ανοικτό U = (, + ) (, ) (, ) τότε g( U) ( x,, : x, z V ρ θ = + είναι και = = Η g είναι τότε µια αµφιδιαφόριση µεταξύ των ανοικτών συνόλων U, V ϕ

5 Η Ιακωβιανή ορίζουσα της gστο ( x, y, ( ρ, θ, ϕ) ευρίσκεται ως εξής: sinϕ cos θ ρ sinϕ sin θ ρ cosϕ cosθ = sinϕ sin θ ρ sinϕ cos θ ρ cosϕ sinθ cos ϕ ρ sin ϕ νατύσσοντας ως ρος την τρίτη γραµµή αίρνουµε: ( x, y, ρ sinϕ sin θ ρ cosϕ cosθ sinϕ cos θ ρ sinϕ sinθ = cosϕ ρ sinϕ = ρ, θ, ϕ ρ sinϕ cos θ ρcosϕsinθ sinϕ sin θ ρsinϕcosθ ρ cos ϕ sinϕ sin θ ρ cos ϕ sinϕ cos θ ρ sin ϕ cos θ ρ sin ϕ sin θ = ρ cos ϕ sinϕ ρ sin ϕ = ρ sinϕ Παρατηρούµε ότι det J g = ρ sinϕ εί του U = (, + ) (, ) (, ) Έεται ότι η g V : U {( x,, : x, z } είναι ένας µετασχηµατισµός συντεταγµένων ( οι σφαιρικές συντεταγµένες µετασχηµατίζονται σε καρτεσιανές) Έτσι αν Jodan µετρήσιµο µε U g =Β τότε και = ( ρ ϕ θ ρ ϕ θ ρ ϕ) ρ ϕ ( ρ θ ϕ) f x, y, z d x, y, z f sin cos, sin sin, cos sin d,, Β= g ( V ( x, y, = ρ sinϕ, καθώς ϕ (, ) ( ρ, θ, ϕ) ρ sin ϕd( ρ, θ, ϕ) Β = ( ο όγκος του Β ) και sinϕ ) και Σηµειώσεις ) Οι σφαιρικές συντεταγµένες ( σχετίζονται µε το γεωγραφικό µήκος και λάτος ) και είναι χρήσιµες στην ανααράσταση σφαιρών, κώνων καθώς και καταλλήλων ειέδων, ( ροβλήµατα ου αρουσιάζουν σφαιρική συµµετρία) a) Η σφαίρα ρ = α α > (β) O ηµικώνος ϕ = a < a<

6 (γ) κάθετο ηµιείεδο θ = a Ο όρος σφαιρικές συντεταγµένες δικαιολογείται αό τις ακόλουθες αρατηρήσεις (α) ν g είναι ο µετασχηµατισµός καρτεσιανών σε σφαιρικές συντεταγµένες τότε ([, ] [,] [, ] ) (,, ) : (( ] [ ) [ ] ) το αραλληλείεδο [, a] [, ] [, ] Β (, a) a> ) και g a = x y z x + y + z a ( g, a,, = x, y, z : x + y + z a,, z : a z a δηλαδή αεικονίζεται στην κλειστή σφαίρα (β) Είσης ( [ ) [ ] ) Β (, a) g a,, = x, y, z : x + y + z = a =η ειφάνεια της (γ) κόµα αρατηρούµε ότι: g [, a] [, ], = ( x, y, : x + y + z a και z,, και ακτίνας a> ηµισφαίριο κέντρου =το άνω Παραδείγµατα ) Βρείτε την εξίσωση σε κυλινδρικές συντεταγµένες της ειφάνειας z= x + y ( ελλειτικό αραβολοειδές ) Λύση Θέτοµε z= z, x= cosθ και y= sinθ

7 4 ( cosθ) ( sinθ) ( cos θ sin θ) (( sin θ) + sin θ) = ( + sin θ) z= x + y = + = + = )Να βρεθεί ο όγκος του στερεού χωρίου Β στο ρώτο ογδοηµόριο του χώρου ου φράσσεται αό τον κύλινδρο x + y = y τον ηµικώνο είεδο Λύση Η καµύλη x y y z = x + y και το xy + = στο xy είεδο είναι ο κύκλος κέντρου (, ) και ακτίνας ( x y y x + y = ) Άρα η ειφάνεια + = { x, y, z : x y y και z } + = είναι κυλινδρική µε ακτίνα και άξονα την κάθετη ευθεία στο xy είεδο και στο σηµείο (, ) Η ειφάνεια µε εξίσωση z = x + y z = x + y και z> είναι ο ορθός κώνος µε κορυφή στο (,, ) ου βρίσκεται στον άνω ηµίχωρο µε άξονα τον άξονα των z και µε γενέτειρα µια ηµιευθεία του άνω ηµίχωρου ου σχηµατίζει γωνία 4 µε την ηµιευθεία Ο z ( Η z x y της Ευκλείδειας νόρµας του f x, y = x + y δηλαδή = +, είναι το γράφηµα της ) Οι εξισώσεις του κυλίνδρου και του κώνου σε κυλινδρικές συντεταγµένες είναι = sinθκαι z = αντίστοιχα Κύλινδρος: x + y = y = sinθ = sinθ Κώνος: z = x + y και z = Το Β σε καρτεσιανές συντεταγµένες είναι χωρίο τύου : {( x, y, : y, x y y } και z x y Β= +

8 5 Εειδή το στερεό χωρίο Β βρίσκεται στο ρώτο όγδοηµόριο του χώρου xyz ( x, y και z ), έχουµε ότι θ Έτσι το χωρίο Β= g( ) εριγράφεται σε κυλινδρικές συντεταγµένες ως εξής: z, sinθ και θ ( Σηµειώνουµε ότι ο ηµιδίσκος { x, y : y και x y y } του xy ειέδου εριγράφεται στο ολικό είεδο θ ως (, θ) : θ και sinθ ) Το στερεό χωρίο = (, θ, : θ, sin θ και z ( όου ϕ (, θ ) = και ϕ (, θ ) = ) είναι του τύου στον χώρο θ z καθώς η ροβολή του στο ολικό είεδο θ είναι χωρίο τύου Έτσι έχουµε αό τον τύο αλλαγής µεταβλητής σε κυλινδρικές συντεταγµένες σε συνδυασµό µε την γνωστή συνέεια του θεωρήµατος Fubini ( ου αφορά την διαδοχική ολοκλήρωση ) ( θ ) sinθ = ddθ = V Β = d x, y, z = d,, z = dzddθ = sinθ = Β= g 8 8 dθ = sin θdθ = ( cos θ) sinθdθ = sinθ ( Για τον υολογισµό του ολοκληρώµατος : έχουµε sin θdθ = ( θ) 8 cos θ 6 cos θ + = 9 cos sinθdθ = ( cos θ) d( cosθ) = ( t ) dt t = t =, θέτοντας t = cosθ ) = ( ) t dt )Γράψτε τις ακόλουθες εξισώσεις σε σφαιρικές συντεταγµένες: (α) της σφαίρας x + y + z = a ( a> ), (β) του αραβολοειδούς z= x + y Λύση Έχουµε ότι x= ρ sinϕ cos θ, y= ρ sinϕ sin θ, z= ρ cosϕ () ( σφαιρικές καρτεσιανές ) (α) Εειδή ρ = x + y + z ρ = x + y + z ρ = a ρ = a αφού ρ > Άρα η εξίσωση της σφαίρας σε σφαιρικές συντεταγµένες είναι ρ = a (β) z= x + y ό τις εξισώσεις () λαµβάνουµε = + ( ρ ϕ θ) ρ cosϕ ρ sin ϕ( cos θ sin θ) ρ cosϕ ρ sinϕ cosθ sin sin ρ sin cosϕ ϕ ρ = sin ϕ = + =

9 6 4)Υολογίστε τον όγκο της σφαίρας κέντρου (,, ) και ακτίνας > Λύση Γνωρίζουµε ότι ο µετασχηµατισµός των σφαιρικών συντεταγµένων =,,, του χώρου θϕ στην αεικονίζει το αραλληλείεδο [ ] [ ] [ ] σφαίρα Β= ( x, y, : x + y + z Έεται ότι, Β= g V Β = d x, y, z = ρ sin ϕd ρ, θ, ϕ = ολοκληρώνουµε µια συνεχή συνάρτηση σε αραλληλείεδο) = ρ sin ϕ d ρ d ϕ d θ = [ cos ] ρ= ρ = sinϕ dϕdθ = ρ= 4 ϕ dθ = dθ = = ρ sinϕdϕdθdρ =( εειδή 5)Υολογίστε το ολοκλήρωµα της συνάρτησης (,, ) σφαίρας Β= ( x, y, : x + y + z < sinϕdϕdθ f x y z x y z = + + εί της Λύση Θα χρησιµοοιήσουµε τον σφαιρικό µετασχηµατισµό g Η ανοικτή µοναδιαία σφαίρα Β είναι εικόνα του ανοικτού ορθογωνίου =,,, του θϕ χώρου µέσω της g ( µε την αραλληλειέδου εξαίρεση του ηµιδίσκου x + z < µε x του xz ειέδου ) ντικαθιστούµε f x, y, z τις συντεταγµένες x, y, z µε x= ρ sinϕ cosθ, y= ρ sinϕ sinθ και στην = και βρίσκουµε f ( ρ sinϕ cos θ, ρ sinϕ sin θ, ρ cosϕ) z ρ cosϕ =ρ sin ϕ cos θ +ρ sin ϕ sin θ + ρ cos ϕ = ρ sin ϕ( cos θ + sin θ) + ρ cos ϕ = ρ sin ϕ ρ cos ϕ ρ sin ϕ cos ϕ = + = + = ρ Έεται ότι f ( x, y, d( x, y, f ( ρ sinϕ cos θ, ρ sinϕ sin θ, ρ cosϕ) Β ρ sin ϕd( ρ, θ, ϕ) = ρ ρ sin ϕd( ρ, θ, ϕ) = ρ 4 sin ϕd( ρ, θ, ϕ) 5 ρ= 4 ρ ρ sinϕdρdϕdθ = sinϕ 5 ρ= 4 = = = [ cosϕ] dθ dθ = dϕdθ = σκήσεις sinϕ 5 d ϕ d θ ddθ στις )Σχεδιάστε το χωρίο D και υολογίστε το διλό ολοκλήρωµα f (, θ ) ακόλουθες εριτώσεις: (α) e ddθ, (β) 4 cos θddθ D

10 7 (γ) 4 dd θ, (δ) + sinθ ddθ )Χρησιµοοιείστε ένα διλό ολοκλήρωµα για να υολογίσετε το εµβαδόν του χωρίου D ου ερικλείουν οι καµύλες: (α) = 4, (β) = cosθ, (γ) = και = sinθ )Χρησιµοοιείστε ολικές συντεταγµένες για τον υολογισµό των διλών ολοκληρωµάτων: (α) ydxdy όου D ο δίσκος x + y 4 D (β) ( x + y ) dxdy όου D είναι το χωρίο ου φράσσεται αό τον άξονα των x, D την ευθεία y (γ) D = x και τον κύκλο x + y = xdxdy, όου D είναι η τιµή των χωρίων ου ερικλείονται αό τις καµύλες = sinθ και = cosθ 4)Έστω ότι η Τ : ορίζεται αό την σχέση Τ u, v, ω = u cos v cos ω, u sin v cos ω, u sinω (α) είξτε ότι Τ ( ) = S δηλαδή κάθε (,, ) ( x, y, =Τ ( u, v, για κάοιο ( u, v, ω ) (β) είξτε ότι η Τ δεν είναι x y z µε x + y + z = γράφεται σαν f x, y, z = x + y + z άνω στον κύλινδρο 5) (α) Ολοκληρώστε την συνάρτηση x y z +, (β) είξτε ότι η ειφάνεια z= x + y χωρίζει τον κύλινδρο x + y a, z a ( 4 a> ), σε δύο στερεά χωρία ου έχουν ίσους όγκους ( = a ) 6)Έστω η µοναδιαία σφαίρα ολοκλήρωµα dxdydz Β + x + y + z 7)Υολογίστε το ολοκλήρωµα { x, y, z : x y z } Β= + + του dxdydz S x + y + z Υολογίστε το, όου S το στερεό ου φράσσεται αό τις σφαίρες x + y + z = a και x + y + z = b,όου < b< a Είσης ( x y z ) f x, y, z = x + y + z e + + εί του S και υολογίστε το ολοκλήρωµα της

11 8 ακόµη υολογίστε (αν υάρχει) το ολοκλήρωµα {( x, y, : x y z } Β= + + dxdydz Β x + y + z, εί της σφαίρας 8)Με την χρήση σφαιρικών συντεταγµένων υολογίστε το ολοκλήρωµα της f ( ρ, θ, ϕ) = άνω στο χωρίο του ρώτου ογδοηµορίου του ου φράσσεται ρ αό τους κώνους θ =, ϕ = actan και την σφαίρα ρ = 6 4 9)Η αεικόνιση ( u, v) ( u v, uv) Τ = µετασχηµατίζει το ορθογώνιο u, v του ειέδου uv σε ένα χωρίο του ειέδου xy (α) είξτε ότι η Τ είναι στο ανοικτό δεξί ηµιείεδο (β) Βρείτε το εµβαδόν του χρησιµοοιώντας τον τύο αλλαγής µεταβλητής )Με την χρήση κυλινδρικών συντεταγµένων υολογίστε τα ολοκληρώµατα: (α) xydxdydz, όου είναι ο κύλινδρος x + y µε z, 4 4 (β) ( + + ) x x y y dxdydz, όου είναι ο κύλινδρος και (γ) + x + y a µε z z x y dxdydz, όου είναι το στερεό ου φράσσεται αό άνω αό το είεδο z = και αό κάτω αό την ειφάνεια )Υολογίστε τον όγκο V( Ω ) του στερεού z= x + y { } Ω= x, y, z : x + y ax, z 4 a x y, a> [άντηση: 8 4 ] V Ω = a