Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ο δυϊκός χώρος Όνομα Καθηγητή: Ανδρέας Αρβανιτογεώργος Τμήμα: Μαθηματικών
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
Kefˆlaio 1 O duðkìc q roc 1.1 Basikèc idiìthtec 'Estw V, W dôo dianusmatikoð q roi epð enìc s matoc F (kurðwc F = R C) kai jewroôme ton dianusmatikì q ro L(V, W ) ìlwn twn grammik n apeikonðsewn T : V W. Ja melet soume thn idiaðterh perðptwsh ìpou W = F, dhlad to sônolo L(V, F) = {f : V F f grammik } Orismìc 1.1. O dianusmatikìc q roc L(V, F) onomˆzetai o duðkìc q roc tou V (dual space) kai sumbolðzetai me V. Ta stoiqeða tou V onomˆzontai kai grammikˆ sunarthsoeid grammikèc morfèc. Parˆdeigma 1.1. 'Estw V = R 3 kai f : V R me f(x, y, z) = x + y + z. Parˆdeigma 1.2. 'Estw V = M n n (F) kai f : V F me f(a) = tr A. Parˆdeigma 1.3. 'Estw V = {x : [0, 2π] R : x suneq c} kai g V. OrÐzoume th sunˆrthsh f : V R me. f(x) = 1 2π x(t)g(t)dt 2π 0 Sthn perðptwsh pou h g(t) isoôtai me sin(nt) cos(nt), tìte to sunarthsoeidèc f(x) onomˆzetai n ostìc suntelest c Fourier thc x. Parˆdeigma 1.4. 'Estw V ènac dianumatikìc q roc peperasmènhc diˆstashc kai èstw B = {x 1,..., x n } mia diatetagmènh bˆsh tou V. Gia kˆje i = 1,..., n
2 O duðkìc q roc orðzoume f i : V F me f i (x) = a i, ìpou x = n i=1 a ix i [x] B. To sunarthsoeidèc f i onomˆzetai h i-sunˆrthsh suntetagmènwn wc proc th bˆsh B. EpÐshc, eðnai f i (x j ) = δ ij ìpou δ ij eðnai to dèlta tou Kronecker. Eˆn o V eðnai peperasmènhc diˆstashc, tìte dim(v ) = dim(l(v, F)) = dim(v ) dim(f) = dim(v ), sunep c oi V kai V eðnai isìmorfoi. Ja doôme p c mporoôme na broôme mia bˆsh tou V eˆn gnwrðzoume mia bˆsh tou V. Je rhma 1.1. 'Estw V ènac dianusmatikìc q roc diˆstashc n kai èstw B = {β 1,..., β n } mia diatetagmènh bˆsh tou V. An f i (1 i n), eðnai h i-sunˆrthsh suntetagmènwn wc proc th bˆsh B, tìte to sônolo B = {f 1,..., f n } apoteleð mia bˆsh tou V. Epiplèon, gia kˆje f V isqôei f = n i=1 f(β i)f i. Orismìc 1.2. H bˆsh tou Jewr matoc 1.1 onomˆzetai h duðk bˆsh thc B. Gia th bˆsh aut isqôei f i (β j ) = δ ij. ApodeiknÔoume to Je rhma 1.1. Apìdeixh. Oi dianusmatikoð q roi V kai V èqoun thn Ðdia diˆstash, ˆra arkeð na deðxoume ìti to sônolo B parˆgei to V, dhlad ìti f = f(β i )f i Jètoume g = f(β i )f i. Tìte gia kˆje 1 j n eðnai ( ) n g(β j ) = i=1 f(β i)f i (β j ) = n i=1 f(β i)f i (β j ) = n i=1 f(β i)δ ij = f(β j ) Oi grammikèc sunart seic g kai f sumfwnoôn se mia bˆsh B, ˆra eðnai Ðsec, dhlad f = g. Parˆdeigma 1.5. 'Estw h diatetagmènh bˆsh B = {(1, 2), (3, 4)} tou R 2. Zhtˆme th duðk thc bˆsh B = {f 1, f 2 }. Ja broôme touc tôpouc twn apeikonðsewn f 1 kai f 2. 'Estw {e 1, e 2 } h kanonik diatetagmènh bˆsh tou R 2. Tìte ex' orismoô thc B h f 1 ikanopoieð 1 = f 1 (1, 2) = f 1 (e 1 + 2e 2 ) = f 1 (e 1 ) + 2f 1 (e 2 ) 0 = f 1 (3, 4) = f 1 (3e 1 + 4e 2 ) = 3f 1 (e 1 ) + 4f 1 (e 2 )
1.2. ASKŸHSEIS 3 LÔnontac tic parapˆnw exis seic wc proc f 1 (e 1 ) kai f 1 (e 2 ) brðskoume ìti f 1 (e 1 ) = 2 kai f 1 (e 2 ) = 3, sunep c 2 f 1 (x, y) = f 1 (xe 1 + ye 2 ) = xf 1 (e 1 ) + yf 1 (e 2 ) = 2x + 3 2 y Parìmoia, prokôptei ìti f 2 (x, y) = x 1y. 2 Dojèntoc enìc dianusmatikoô q rou V, orðsame ton duðkì V kai wc dianusmatikìc q roc èqei kai autìc ton duðkì tou (V ) V. Ja apodeðxoume ìti an o V eðnai peperasmènhc diˆstashc tìte upˆrqei ènac kanonikìc isomorfismìc ψ : V V. 'Estw x V. OrÐzoume ψ(x) : V F wc ψ(x)(f) = f(x) gia kˆje f V. H apeikìnish ψ(x) eðnai grammik ˆra ψ(x) V. Ja deðxoume ìti h ψ eðnai isomorfismìc. L mma 1.1. 'Estw V dianusmatikìc q roc peperasmènhc diˆstashc kai èstw x V. An ψ(x)(f) = 0 gia kˆje f V tìte x = 0. Apìdeixh. Upojètoume ìti x 0. Ja deðxoume ìti upˆrqei f V ste ψ(x)(f) 0 to opoðo eðnai ˆtopo. Prˆgmati, èstw B = {x 1,..., x n } mia diatetagmènh bˆsh tou V tètoia ste x 1 = x kai èstw B = {f 1,..., f n } h duðk bˆsh thc B. Tìte isqôei ψ(x)(f 1 ) = f 1 (x 1 ) = 1 0 pou eðnai ˆtopo. Je rhma 1.2. 'Estw V dianusmatikìc q roc peperasmènhc diˆstashc. Tìte h apeikìnish ψ : V V ìpwc orðsthke parapˆnw eðnai isomorfismìc. Apìdeixh. Skiagrˆfhsh EÐnai aplì na deiqjeð ìti h ψ eðnai grammik. Lìgw tou L mmatoc 1.1 h ψ eðnai 1-1. Epeid dim(v ) = dim(v ) kai h ψ eðnai 1-1 prokôptei ìti h ψ eðnai isomorfismìc. 1.2 Ask seic 'Askhsh 1.1. Gia touc parakˆtw dianusmatikoôc q rouc V kai thn antðstoiqh bˆsh B, na breðte th duðk bˆsh tou q rou V. (α) V = R 3, B = {(1, 0, 1), (1, 2, 1), (0, 0, 1)}. (β) V = P 2 (R), B = {1, x, x 2 }.
4 O duðkìc q roc 'Askhsh 1.2. 'Estw V = P 1 (R) kai W = R 2 me antðstoiqec bˆseic B = {1, x} kai Γ = {e 1, e 2 }. OrÐzoume th grammik apeikìnish T : V W me T(p) = (p(0) 2p(1), p(0) + p (0)), ìpou p eðnai h parˆgwgoc tou poluwnômou p. (α) An f W eðnai h grammik morf me upologðste thn T t (f). (β) BreÐte ton pðnaka [ T t] B Γ f(a, b) = a 2b, me apeujeðac upologismì. (γ) BreÐte ton pðnaka [T] Γ B kai ton antðstrofì tou, kai sugkrðnete to apotèlesmˆ sac me to er thma (β).
BibliografÐa [1] S. Axler: Linear Algebra Done Right, 2nd Edition Springer, 1997. [2] S. H. Friedberg - A. J. Insel - L. E. Spence: Linear Algebra, 4th Edition, Prentice Hall, 2003. [3] Y. Katznelson - Y. R, Katznelson: A (Terse) Introduction to Linear Algebra, American Mathematical Society, 2008. [4] S. Lipschutz - M. Lipson: Linear Algebra, 3rd Edition, Schaum s Outlines, 2003. [5] H. E. Rose: Linear Algebra: A Pure Mathematical Approach, Birkhauser, 2002. [6] F. Zhang: Linear Algebra. Challenging Problems for Students, 2nd Edition, The Johns Hopkings University Press, 2009. 5