Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ορθοκανονικοποίηση, Ορίζουσες, Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Σελίδα
Σκοποί ενότητας 4 Περιεχόμενα ενότητας 4 3 Ορθογώνιοι Πίνακες, Πίνακες με Ορθοκανονικές Στήλες 5 3 Παραλληλόγραμμοι πίνακες με ορθοκανονικές στήλες 6 3 Ορθοκανονικοποίηση Gramm Schmdt 7 4 Ορίζουσες 9 4 Βασικές ιδιότητες της ορίζουσας 4 Παράγωγες ιδιότητες της ορίζουσας 43 Υπολογισμός της det ( A ) : Ανάπτυξη σε συμπαράγοντες 44 Υπολογισμός του A 45 Ορίζουσα = Όγκος παραλληλεπιπέδου 5 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 4 5 Πώς βρίσκουμε τις ιδιοτιμές; 6 5 Πώς βρίσκουμε τα ιδιοδιανύσματα; 6 53 Διαγωνιοποίηση και διαγώνια μορφή πίνακα 8 54 Διαγώνια μορφή συμμετρικών πινάκων 9 55 Φασματικό θεώρημα 9 Σελίδα 3
Σκοποί ενότητας Παρουσιάζονται θέματα Γραμμικής Άλγεβρας που είναι απαραίτητα για τον χρηματοοικονομικό και λογιστικό αναλυτή Περιεχόμενα ενότητας Ορθογώνιοι Πίνακες, Πίνακες με Ορθοκανονικές Στήλες, Παραλληλόγραμμοι πίνακες με ορθοκανονικές στήλες, Ορθοκανονικοποίηση Gramm Schmdt, Ορίζουσες, Βασικές ιδιότητες της ορίζουσας, Παράγωγες ιδιότητες της ορίζουσας, Υπολογισμός της det ( A ) : Ανάπτυξη σε συμπαράγοντες, Υπολογισμός του A, Ορίζουσα = Όγκος παραλληλεπιπέδου, Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα, Πώς βρίσκουμε τις ιδιοτιμές, Πώς βρίσκουμε τα ιδιοδιανύσματα, Διαγωνιοποίηση και διαγώνια μορφή πίνακα, Διαγώνια μορφή συμμετρικών πινάκων, Φασματικό θεώρημα Σελίδα 4
3 Ορθογώνιοι Πίνακες, Πίνακες με Ορθοκανονικές Στήλες Έστω,, m, αν = j q qk με q, qj =, δηλαδή τα q, αν j,, qk έχουν μήκος και είναι κάθετα μεταξύ τους Τότε λέγονται «ορθοκανονικά» Ένας πίνακας Q λέγεται ορθογώνιος αν οι στήλες του είναι ορθοκανονικές [ ] Q q q q = m με q,, qm Τότε: QQ [ q q] ορθοκανονικά q q = m = q m Μπορεί να δείξει κανείς ότι αν { q q } αντιστρέψιμος Q = Q Παράδειγμα: Η στροφή κατά θ,, m ορθοκανονικά ανεξάρτητα και άρα ο Q είναι cosθ sθ cosθ sθ cos( θ) s( θ) Q= Q Q sθ cosθ = = = sθ cosθ s( θ) cos( θ) Βασική ιδιότητα: Ο μετασχηματισμός x Qx διατηρεί γωνίες και μήκη: Qx = x και Qx, Qy = x, y, διότι: Qx, Qy = ( Qx) Qy = x Q Qy = x y = x, y Ι Ενδιαφέρουσα εφαρμογή: Για κάποιο m b βρες x,, xm με b= x q+ + xm qm Ψάχνω x Qx b x Q b Q b : q, b x q, b x = = = = qm, b x m Άρα b= q, b q+ + qm, b qm P b P b q qm b = άθροισμα των προβολών του στα q (μόνο όταν τα q είναι ) Σελίδα 5
3 Παραλληλόγραμμοι πίνακες με ορθοκανονικές στήλες Q m με < m [ ] Q= q q με m q, q, ορθοκανονικά, q Τότε Τί είναι ο QQ= I και άρα ο QQ ; Q είναι αριστερός αντίστροφος του Q, αλλά ο Q δεν είναι αντιστρέψιμος Ας υπολογίσουμε τον πίνακα προβολής P στο Spa( q,, q ) P Q Q Q Q QQ = ( ) = Άρα q, b PRQ ( ) b= QQ b= Q = q, b q+ + q, b q= Pqb+ + P qb q, b (διαφορά με πριν: έχω λιγότερα q ) Παρατήρηση: Όταν τα q, q είναι ορθοκανονικά τότε η προβολή κάποιου b στο Spa( q, q ) ταυτίζεται με το άθροισμα των προβολών του στα q Αυτό δεν ισχύει αν τα q δεν είναι κάθετα μεταξύ τους Σχήμα Απεικόνιση της προβολής του b στο Spa( q, q ) Σελίδα 6
3 Ορθοκανονικοποίηση Gramm Schmdt Πρόβλημα: Έχω υπόχωρο U με βάση { v v } και θέλω ορθοκανονική βάση του U : { q q },, k Η διαδικασία Gramm Schmdt ορθοκανονικοποιεί τα { v v } και παράγει τα { q q },, k,, k Ας τη γνωρίσουμε στο παράδειγμα k = 3 και a v, b v, c v3 a a ο βήμα: Διαιρώ το a με το μήκος του για να πάρω διάνυσμα μήκους : q = a = aa,,, k ο βήμα: b ' b' = b Pb q = b bq, q και q = b' Σχήμα Απεικόνιση του δεύτερου βήματος της ορθοκανονικοποίησης Gramm Schmdt Σε κάθε βήμα αφαιρώ από το v k την προβολή του στα προηγούμενα q,, qk που έχω φτιάξει μέχρι εκεί Μετά διαιρώ με το μήκος του διανύσματος που προέκυψε 3 ο βήμα: c' = c Pc Pc= c q, c c q, c q q q c ' q3 c ' Σελίδα 7
Παράδειγμα: a =, b =, c = a a q = = = a b' = bq, q = = = q b' b' = = = b' c' = c cq, q cq, q = c q q = = q 3 c ' = = c ' Σελίδα 8
4 Ορίζουσες Ορισμός: Έστω σύνολο S {,,, } = μετάθεση των στοιχείων του S ονομάζεται κάθε διατεταγμένη -άδα στην οποία κάθε στοιχείο του S εμφανίζεται ακριβώς μια φορά σ = σ() σ() σ( ) Παράδειγμα: Εάν S = {,, 3 }, θα έχουμε τις ακόλουθες 6 δυνατές μεταθέσεις: (,,3), (,3,), (,,3), (,3,), (3,,), (3,,) Γενικά, μπορεί να αποδειχθεί ότι κάθε σύνολο με στοιχεία έχει! μεταθέσεις Ορισμός: Μια μετάθεση του συνόλου S {,,, } = παρουσιάζει αντιστροφή εάν κάποιο στοιχείο προηγείται στην σ κάποιου μικρότερού του (Δηλαδή αν για < j έχουμε σ() > σ( j) ) Μία μετάθεση του συνόλου S ονομάζεται περιττή (άρτια), εάν σε αυτή παρατηρείται περιττός (άρτιος) αριθμός αντιστροφών Το πρόσημο μιας μετάθεσης σ του, συμβολίζεται με sg( s ) και ορίζεται ως εξής: +, εάν η σ είναι άρτια sg( s ) =, εάν η σ είναι περιττή Παράδειγμα: Εάν = {,,3 }, στη μετάθεση (3,,) έχουμε 3 αντιστροφές, γιατί το σ()=3 προηγείται του σ()= και του σ(3)= και το σ()= του σ(3)= και άρα το πρόσημο της είναι - Ορισμός: Ονομάζουμε ορίζουσα μιας μήτρας sg( s ) a () a s s() a, s( ) s a a A = a a τον αριθμό όπου το άθροισμα θεωρείται πάνω σε όλες τις μεταθέσεις S {,,, } = Συμβολίζεται det ( A ), A ή a a a a Παράδειγμα: Η ορίζουσα της a a A = a a Λύση: A = a a a a Σελίδα 9
Η ορίζουσα ( det ) είναι μία συνάρτηση που απεικονίζει ένα αριθμό ( A) A det πίνακα A σε ένα πραγματικό Την απεικόνιση αυτή θέλουμε να την ορίσουμε με τρόπο που να μας δίνει ένα είδος γενικευμένου όγκου του πίνακα Τι εννοούμε; Στην περίπτωση =, οι δύο γραμμές του πίνακα δίνουνε ένα παραλληλόγραμμο Θέλουμε η det ( A) να μας δίνει το εμβαδόν αυτού του παραλληλογράμμου Στην περίπτωση = 3, οι τρείς γραμμές του πίνακα μας δίνουνε ένα παραλληλεπίπεδο Θέλουμε η det ( A) να μας δίνει τον όγκο αυτού του παραλληλεπιπέδου Για > 3 det A να μας δίνει ένα είδος γενικευμένου όγκου του -διάστατου σχήματος που δίνουν οι γραμμές του πίνακα, θέλουμε η ( ) 4 Βασικές ιδιότητες της ορίζουσας Για να μπορεί η det να ισούται με κάτι τέτοιο, πρέπει να απαιτήσουμε από αυτήν τις εξής βασικές ιδιότητες τις οποίες έχει ο όγκος: H det είναι γραμμική σε κάθε γραμμή του πίνακα (ξεχωριστά): α + α α α α = α + α det det det και α α α λ α α α = α det λ det α α Για να σιγουρευτείτε ότι αυτές τις ιδιότητες πρέπει να τις έχει ο όγκος πάρτε την περίπτωση όπου = και α α, α α Σχήμα 3 Απεικόνιση του όγκου στην περίπτωση όπου = και α α, α α Σελίδα
α α Θέλουμε η det να δίνει ένα όγκο με προσανατολισμό : det = det α α Η εναλλαγή γραμμών προκαλεί εναλλαγή προσήμου Ο όγκος του σχήματος που δίνεται από τα μοναδιαία διανύσματα,,, θέλουμε να ισούται με, άρα det (ταυτοτικού)= Θα δούμε ότι αυτές οι βασικές ιδιότητες φτάνουν για να ορίσουν πλήρως την det 4 Παράγωγες ιδιότητες της ορίζουσας Από τις βασικές ιδιότητες μπορούμε να συμπεράνουμε μία προς μία τις εξής παράγωγες ιδιότητες (χωρίς απόδειξη): Αν δύο γραμμές του A είναι ίδιες τότε det ( A ) = Οι στοιχειώδεις μετασχηματισμοί γραμμών (πρόσθεση πολλαπλάσιου μιας γραμμής σε μια άλλη) δεν αλλάζουν την det Αν ο A έχει μία μηδενική γραμμή, τότε det ( ) = A Αν ο A είναι τριγωνικός τότε det( A) = γινόμενο των στοιχείων της διαγωνίου του A A ιδιόμορφος det ( A ) = A αντιστρέψιμος det( ) det( A B) = det( A) det( B) det( A ) = det ( A) ( A) det( A ) det = A Αν P A = L D U τότε det = ± γινόμενο των οδηγών Έχουμε: + αν ο P κάνει ζυγές εναλλαγές γραμμών αν ο P κάνει μονές εναλλαγές γραμμών 43 Υπολογισμός της det ( A ) : Ανάπτυξη σε συμπαράγοντες Έστω M o ( ) ( ) j γραμμή και πίνακας που σχηματίζεται όταν από τον A σβήσουμε ολόκληρη την j στήλη Συμπαράγοντας + j A του A ονομάζεται η A : = ( ) det( M ) j Μπορούμε να υπολογίσουμε την ( A) det A = α A + α A + + α A σταθερό): ( ) j j det αναπτύσσοντας την κατά την γραμμή (διαλέγουμε ένα Σελίδα
Παρομοίως μπορούμε να υπολογίσουμε την det ( A) κατά την j στήλη (για κάποιο σταθερό j ) Ο παρακάτω τύπος ανάγει το πρόβλημα του υπολογισμού της det ενός πίνακα, στον πινάκων) Συνήθως αναπτύσσουμε κατά μία γραμμή ή στήλη που υπολογισμό det ( ( ) ( ) έχουν πολλά μηδενικά: πχ det 3 5 6 3 det det = = = 3 Κατά πρώτη γραμμή Κατά τελευταία στήλη a b det = a det( d ) b det( c) = a d b c c d 44 Υπολογισμός του A Αποδεικνύεται ότι : A = det ( A) A A det A υπολογισμό ( det( ), det( ( ) ( ) ) πχ = A A (Προσοχή: Αλλαγή γραμμών & στηλών του A,) A j ) Εδώ χρειαζόμαστε a b d = c d a d c b c b a 45 Ορίζουσα = Όγκος παραλληλεπιπέδου Ορίσαμε την ορίζουσα απαιτώντας να ικανοποιεί τις τρείς βασικές ιδιότητες, ελπίζοντας να φτιάξουμε μια συνάρτηση που να δίνει τον όγκο Εδώ θα δούμε ότι αυτό πράγματι επιτεύχθηκε Έστω A ο πίνακας με γραμμές δίνεται από τα a,, a a,, a και έστω P ( a,, a ) Θα δείξουμε ό,τι det( A ) : P( a,, a ) = ο όγκος του παραλληλεπιπέδου που Θέτουμε l = : a : Σελίδα
Τα a,, a l = P a,, a l l = l είναι κάθετα μεταξύ τους Τότε ( ) l A A και det( A A ) = l l Όχι ορθογώνια μεταξύ τους, = P Επιπλέον Τότε det( A ) det( A A ) = l l P( a,, a ) = = a a λ a ( a, a ) = a h = P( a, a P ( a ) και ( ) a P ( a ) det A det = det = det a a Από την πρώτη περίπτωση έχουμε ότι το τελευταίο ισούται με P( a, a P ( a ) a ισούται με (,a P a ) Άρα συνολικά det( A ) = P( a, a ) a a a που πριν είδαμε ότι P a a Σχήμα 4 Απεικόνιση των α, α και Όχι ορθογώνια, οποιοδήποτε Όπως στη δεύτερη περίπτωση φαίνεται ότι ούτε η P () ούτε η () det αλλάζουν αν διαδοχικά από κάθε γραμμή αφαιρούμε την προβολή της στις προηγούμενες γραμμές Αυτό όμως είναι η διαδικασία Gramm-Schmdt που μας φέρνει στην ορθογώνια περίπτωση δηλαδή την πρώτη Σελίδα 3
5 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Μέχρι τώρα ασχοληθήκαμε κυρίως με μετασχηματισμούς γραμμών A U, απλοποιήσεις δηλαδή που αφήνουν αναλλοίωτο το μηδενόχωρο του A, εκείνα δηλαδή τα x που στην x A x απεικονίζονται στο Στα επόμενα κεφάλαια θα ασχοληθούμε πιο πολύ με την εικόνα της x A x : Τι απεικονίζεται που; Ιδιαίτερα μας ενδιαφέρει το ερώτημα: Υπάρχουν x τέτοια ώστε το x και το A x να είναι συγγραμμικά; Αυτό θα αποδειχτεί κλειδί και μας οδηγεί στις Ιδιοτιμές και τα Ιδιοδιανύσματα Ψάχνουμε λοιπόν ζευγάρια λ, x τέτοια ώστε (μπορεί λ = ): A x = λ x Οι τιμές του λ που έχουν αυτή την ιδιότητα λέγονται Ιδιοτιμές του A και τα αντίστοιχα x λέγονται Ιδιοδιανύσματα του A στις ιδιοτιμές λ = Παράδειγμα: Αν D διαγώνιος = d τότε d j posto D = d j e e j j άρα ο D έχει ιδιοτιμές τα d,, d και σε κάθε d j το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι το e j j = e j Ορισμός: Ένας αριθμός λ Κ = ( η ) ονομάζεται ιδιοτιμή της μήτρας Α, αν υπάρχει διάνυσμα στήλη Χ με: A X = λ X Κάθε X ονομάζεται ιδιοδιάνυσμα της μήτρας Α που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ Ισοδύναμα έχουμε ( λ ) A I X = όπου Ι είναι η μοναδιαία μήτρα Ορισμός: Έστω A M ονομάζουμε χαρακτηριστικό πολυώνυμο της μήτρας Α, το πολυώνυμο p ( ) A I A λ = λ Σελίδα 4
α λ α α α α λ α Η εξίσωση p ( λ) = A λ I = A = α α α λ χαρακτηριστική εξίσωση της μήτρας Α ονομάζεται Ορισμός: Το σύνολο τον ιδιοτιμών μιας μήτρας ονομάζεται φάσμα της μήτρας και συμβολίζεται σ ( A) Ορισμός: Η ποσότητα ρ( ) max{ λ } Παρατηρήσεις: Α = ονομάζεται φασματική ακτίνα της Α Αν λ > για κάθε, τότε η μήτρα Α είναι θετικά ορισμένη Αν λ > για κάθε, τότε η μήτρα Α είναι θετικά ορισμένη Αν λ για κάθε, τότε η μήτρα Α είναι θετικά ημι-ορισμένη Αν λ για κάθε, τότε η μήτρα Α είναι θετικά ημι-ορισμένη Αν μερικές λ > ενώ μερικές λ <, τότε η μήτρα Α είναι απροσδιόριστη Πρόταση: Έστω A M και λ,, λ είναι οι ιδιοτιμές του, τότε ισχύει: tra = λ + λ + + λ (ίχνος της μήτρας Α) A = λ λ λ Ορισμός: Έστω A M θα λέμε ότι η μήτρα Α είναι όμοια με τη μήτρα B M ( A B) αν υπάρχει ομαλός πίνακας P ( P ) τέτοιος ώστε B = P AP Σελίδα 5
5 Πώς βρίσκουμε τις ιδιοτιμές; Έστω λ ιδιοτιμή του A x : A x = λ o x : x ( A I ) x = λ o Ο μηδενόχωρος του A λ I δεν είναι μόνο το μηδενικό στοιχείο o Ο πίνακας A λ I είναι ιδιόμορφος det ( A λ I ) = o o Επομένως: Ιδιοτιμές του A είναι εκείνα τα λ που λύνουν την εξίσωση det ( I ) = Το ( A λ I ) A λ det είναι ένα πολυώνυμο -στου βαθμού στο λ και λέγεται χαρακτηριστικό det A λ I = C λ λ C + C + + πολυώνυμο ( ) Πχ a A = c det b A λ I = d a λ c b d λ ( A λ I ) = ( a λ) ( d λ) b c = λ ( a + d ) λ + a d b c Για να βρούμε λοιπόν τις ιδιοτιμές ενός πίνακα, υπολογίζουμε την ( A λ I ) λύσεις της det ( I ) = A λ, δηλαδή τις ρίζες του πολυωνύμου det και βρίσκουμε τις Η Άλγεβρα μας διδάσκει ότι ένα πολυώνυμο -στου βαθμού έχει πάντα ακριβώς ρίζες : λ,,λ (ενδεχομένως μιγαδικές) Κάποιες από αυτές μπορεί να είναι διπλές, τριπλές κλπ ρίζες Έστω λοιπόν ότι έχουμε ρίζες λ, =,, r (διαφορετικές μεταξύ τους) η κάθε μια με πολλαπλότητα k, με k + + kr = Τότε η άλγεβρα μας διδάσκει ότι μπορούμε να γράψουμε το πολυώνυμο ως k k ( A λ I ) = ( λ λ ) ( λ λ ) r det C r Τα k ονομάζονται αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής 5 Πώς βρίσκουμε τα ιδιοδιανύσματα; Έστω λ ιδιοτιμή του A Παρατήρηση: Αν υπάρχουν δύο ιδιοδιανύσματα x, x στο λ τότε: A x + x = A x + A x = x + λ x = λ x + λ ( ) λ ( ) και το ( ) x Παρομοίως με πολλαπλάσια Άρα: x + είναι ιδιοδιάνυσμα της λ x Τα Ιδιοδιανύσματα μιας ιδιοτιμής λ είναι υπόχωρος, τον οποίο ονομάζουμε Ιδιόχωρο της λ Η διάσταση αυτού του ιδιόχωρου λέγεται γεωμετρική πολλαπλότητα της λ Έχουμε: x Ιδιόχωρο της λ A x x = ( A λ I ) x = x ℵ( A λ I ) λ Σελίδα 6
Επομένως: Ιδιόχωρος της λ = ( A I ) ℵ λ Για να τον βρούμε λοιπόν σχηματίζουμε τον A λ I και βρίσκουμε βάση του μηδενόχωρου του, δηλαδή κάνουμε Αλγόριθμο Gauss,,ελεύθερες / βασικές μεταβλητές Προσοχή: Αν δε βρούμε ελεύθερες μεταβλητές, τότε το λ που πήραμε δεν είναι ιδιοτιμή ή κάναμε λάθος στις πράξεις Ορίζουμε: πλήθος ελεύθερων μεταβλητών = γεωμετρική πολλαπλότητα της λ Ισχύει γενικώς (χωρίς απόδειξη): Γεωμετρική πολλαπλότητα της λ αλγεβρική πολλαπλότητα της λ, για κάθε ιδιοτιμή λ Περίληψη: Υπολόγισε ( A λ I ) Για κάθε det =πολυώνυμο Βρες τις ρίζες του λ,,λr ( r ) λ, λύσε το σύστημα ( I ) x A λ = για να βρεις τον Ιδιόχωρο της λ Πχ 4 5 4 λ 5 A =, A λ I = 3 3 λ det ( λ I ) = ( 4 λ) ( 3 λ) + = λ λ A β ± β 4 α γ λ = λ = = α λ = Ενώ τα ιδιοδιανύσματα θα είναι: 5 5 A I = x = 3 Της : ( ) Της : 5 5 A I = x = 5 Ενδιαφέρον θεώρημα: A m και λ,,λ λ + + λ = α + + = tr( A) = ίχνος ( ) α : λ = ( A) λ det ιδιοτιμές του A Τότε: A Σελίδα 7
53 Διαγωνιοποίηση και διαγώνια μορφή πίνακα Θεώρημα: Έστω A Εάν ο A έχει ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα x,, x τότε λ όπου Λ =, με λ ως στήλες τα ιδιοδιανύσματα λ τις ιδιοτιμές του A και S [( x ) ( x ) ( )] x A = S Λ S, = ο πίνακας που έχει Αν ο A έχει ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα λέγεται διαγωνιοποιήσιμος και η διαγώνια μορφή του A = S Λ S λέγεται Παρατήρηση: Δεν έχουν όλοι οι πίνακες ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα 3 3 λ Πχ Ο έχει det( A λ I ) = det = ( 3 λ) 3 3 λ Έχει λοιπόν την ιδιοτιμή 3 με αλγεβρική πολλαπλότητα αλλά έχει μόνο ένα ανεξάρτητο διάνυσμα ( A 3 I ) x = x : = x =, άρα γεωμετρική πολλαπλότητα του 3 = dm( ℵ( A 3 I )) = < Θεώρημα: Εάν ο πίνακας A έχει τις διαφορετικές μεταξύ τους ιδιοτιμές λ,,λk, τότε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε διαφορετικά λ είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα Επομένως: Για να είναι διαγωνιοποιήσιμος ένας πίνακας πρέπει για κάθε ιδιοτιμή του να ισχύει: Αλγεβρική πολλαπλότητα της λ = Γεωμετρική πολλαπλότητα της λ, για κάθε ιδιοτιμή λ, =,, r Διότι τότε θα έχουμε k ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα από κάθε ιδιοτιμή και εφόσον το θεώρημα διασφαλίζει ότι θα είναι και όλα μαζί ανεξάρτητα θα έχουμε συνολικά ιδιοδιανύσματα k + + k = r ανεξάρτητα Για να ελέγξουμε λοιπόν αν ένας πίνακας είναι διαγωνιοποιήσιμος πρέπει για κάθε λ να βρούμε τον ιδιόχωρο ( A I ) ℵ λ και να βεβαιωθούμε ότι η διάσταση του ισούται με την αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής λ Ειδική περίπτωση: Αν έχω διαφορετικές μεταξύ τους ιδιοτιμές και άρα k = k, τότε ο πίνακας θα είναι προφανώς διαγωνιοποιήσιμος = = Σελίδα 8
54 Διαγώνια μορφή συμμετρικών πινάκων Παρατήρηση: Έστω K = διάνυσμα δεν μένει ακίνητο, ο οποίος συμβολίζει μια στροφή κατά 9 όπου κανένα det( K λ I ) = λ + δεν έχει ιδιοτιμές αλλά μιγαδικές ± ( K I ) x = x = ( K + I ) x = x = Πραγματικοί πίνακες μπορεί να έχουν μιγαδικές ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα, όχι όμως οι συμμετρικοί Οι ιδιοτιμές/ιδιοδιανύσματα συμμετρικών πινάκων έχουν τις εξής ιδιότητες: Αν λ ιδιοτιμή λ τα ιδιοδιανύσματα Αν λ µ ιδιοτιμές με αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα x, y x y Αν λ ιδιοτιμή του A με αλγεβρική πολλαπλότητα = ρ και η γεωμετρική πολλαπλότητα = ρ Συμμετρικοί πίνακες είναι διαγωνιοποιήσιμοι 55 Φασματικό θεώρημα Αν A συμμετρικός Θα υπάρχουν Λ διαγώνιος και U ορθοκανονικός τέτοιοι ώστε A Ο λ Λ = είναι ο πίνακας των ιδιοτιμών Ο U = [ q q q ] περιέχει τα ιδιοδιανύσματα σε λ αντίστοιχη σειρά = U Λ U Προσοχή: Αν θέλω να φτιάξω τον U, πρέπει για κάθε ιδιοτιμή λ με αλγεβρική πολλαπλότητα k να βρω βάση του ℵ ( A λ I ) (θα έχει k ανεξάρτητα διανύσματα) και μετά αυτή τη βάση να την ορθοκανονικοποιήσω με Gramm-Schmdt και αυτό για κάθε ιδιοτιμή ξεχωριστά (Για διαφορετικές ιδιοτιμές τα ιδιοδιανύσματα είναι αυτόματα κάθετα) Χρήσιμη ισότητα: U Λ U = λ q q + + λ q q Σελίδα 9
Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση Σημείωμα Αναφοράς Copyrght Οικονομικό Πανεπιστήμιον Αθηνών, Ανδριανός Ε Τσεκρέκος, 5 Ανδριανός Ε Τσεκρέκος «Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα» Έκδοση: Αθήνα 5 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https://opecoursesauebgr/modules/documet/?course=loxr Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creatve Commos Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4 [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων πχ φωτογραφίες, διαγράμματα κλπ, τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων» [] http://creatvecommosorg/lceses/by-c-sa/4/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (πχ διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων
το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους Σελίδα
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους Σελίδα