Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
|
|
- Ματταθίας Παυλόπουλος
- 4 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Κεφάλαιο 6 Ορισμοί Έστω Α ένας πίνακας με πραγματικά στοιχεία Ο πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός λ καλείται ιδιοτιμή του πίνακα Α εάν υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα v με πραγματικά ή μιγαδικά στοιχεία τέτοιο ώστε Av v Το μη μηδενικό διάνυσμα v καλείται ιδιοδιάνυσμα του πίνακα Α που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ 6 Έστω A παρατηρώ ότι είναι ιδιοτιμή του πίνακα Α και το 64 A οπότε το το αντίστοιχο ιδιονιάνυσμα 6 Επίσης A 4 8 οπότε το 4 είναι ιδιοτιμή του πίνακα Α και το το αντίστοιχο ιδιονιάνυσμα Έστω ένας πραγματικός πίνακας A τέτοιος ώστε A και A A Να βρείτε τις ιδιοτιμές το χαρακτηριστικό πολυώνυμο και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A Επειδή A A και A ο πίνακας A έχει την ιδιοτιμή την ιδιοτιμή με αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα το με αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα με αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα και την ιδιοτιμή Έστω Α ένας πίνακας με πραγματικά στοιχεία Ο πραγματικός ή μιγαδικός αριθμός λ είναι ιδιοτιμή του πίνακα Α εάν και μόνο εάν det( A)
2 Κεφάλαιο 6 Απόδειξη: Εάν αριθμός λ είναι ιδιοτιμή του πίνακα Α από τον ορισμό αυτό ισχύει εάν και μόνο εάν: Av v Όπου το v είναι μη μηδενικό διάνυσμα οπότε έχουμε τις ισοχυναμίες: Δηλαδή το ομογενές σύστημα με πίνακα: Av v Av v A v A a a a a a a I a a a έχει και άλλες λύσεις εκτός από την μηδενική λύση Αυτό σημαίνει ότι ο πίνακας του έχει μηδενική ορίζουσα (δείτε το κεφάλαιο των οριζουσών) Δηλαδή οι ρίζες του det( A) είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα μιας και αυτές είναι οι μοναδικές τιμές οι οποίες μηδενίζουν την ορίζουσα του συστήματος Το πολυώνυμο p( ) ( ) det( A ) ονομάζεται χαρακτηριστικό πολυώνυμο η παραπάνω εξίσωση det( A) χαρακτηριστική εξίσωση και οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα ενός πίνακα χαρακτηριστικά μεγέθη Εάν a a a a τότε p( ) ( ) det A ( ) a a a a a a a a a Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός πίνακα Α είναι ένα πολυώνυμο βαθμού με μορφή: p( ) b b b Η χαρακτηριστική εξίσωση έχει στο σύνολο πραγματικές και μιγαδικές ρίζες οι οποίες είναι και οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου οπότε ο πίνακας Α έχει στο σύνολο πραγματικές ή μιγαδικές ιδιοτιμές Καθεμία από αυτές τις ρίζες μπορεί να εμφανίζονται παραπάνω από μία φορές στο ανάπτυγμά του πολυωνύμου σε γινόμενα πρωτοβάθμιων πολυωνύμων Δηλαδή ισχύει r r p m r ( ) ( ) ( ) ( ) m
3 όπου οι m διακεκριμένες (διαφορετικές μεταξύ τους) ρίζες του m χαρακτηριστικού πολυωνύμου (δηλαδή ιδιοτιμές του πίνακα) με πολλαπλότητα r r r m αντίστοιχα όπου ισχύει r r rm Η πολλαπλότητα κάθε ρίζας του χαρακτηριστικού πολυωνύμου ονομάζεται αλγεβρική πολλαπλότητα της αντίστοιχης ιδιοτιμής Εάν λ=a+bi μία μιγαδική ιδιοτιμή τότε και η συζυγής της λ=a-bi είναι ιδιοτιμή του πίνακα Επίσης το ιδιοδιάνυσμα της μίας ιδιοτιμής είναι το διάνυσμα με στοιχεία τα συζυγή στοιχεία του ιδιοδιανύσματος της άλλης Το σύνολο των ιδιοτιμών ενός πίνακα λέγεται φάσμα του πίνακα και συμβολίζεται συνήθως με σ(α) Εάν v είναι ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί σε μία ιδιοτιμή ενός πίνακα Α τότε το κv για κάθε k πραγματικό είναι ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ίδια ιδιοτιμή του Av v A kv kv πίνακα Α Πράγματι Εάν v v είναι ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε μία ιδιοτιμή ενός πίνακα Α τότε το κv +μv για κάθε kμ πραγματικούς είναι ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ίδια ιδιοτιμή του πίνακα Α Πράγματι Av v A kv kv A kv v kv v Av v A v v Για να βρούμε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα ενός πίνακα: Υπολογίζουμε τις ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου p( ) ( ) det A λύνοντας την εξίσωση p( ) ή ισοδύναμα την χαρακτηριστική εξίσωση A I det Για κάθε μία από αυτές λύνουμε το ομογενές σύστημα A I v Να βρεθούν τα χαρακτηριστικά μεγέθη του πίνακα A det AI Η χαρακτηριστική εξίσωση του Α είναι η Η χαρακτηριστική εξίσωση έχει ρίζες οι οποίες είναι οι ιδιοτιμές του Α Για καθεμία από αυτές θα βρούμε τώρα τα ιδιοδιανύσματα Για έχουμε: A I
4 Κεφάλαιο 6 Το σύστημα έχει λύση οπότε και οπότε το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι v Για έχουμε: A I Το σύστημα έχει λύση οπότε και οπότε το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι v Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A det AI Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει ρίζες τις ιδιοτιμές του Α i i Θα βρούμε τώρα τα ιδιοδιανύσματα Για i έχουμε: A I i Το σύστημα έχει λύση i i οπότε i v i i και οπότε το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι Για i έχουμε: A I i i Το σύστημα έχει λύση i οπότε i αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι ii και οπότε το 4
5 Δίνεται ο πίνακας βρείτε τα ιδιοποσά του πίνακα Από την χαρακτηριστική εξίσωση πολυώνυμο που προκύπτει βρίσκουμε τις ιδιοτιμές: det( A ) ( ) ( ) ( ) Για κάθε μια ιδιοτιμή λ λύνουμε τώρα το σύστημα A I γραμμοπράξεις και βρίσκουμε τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα ως εξής: με Για λ = βρίσκουμε ότι οι μη μηδενικές λύσεις του συστήματος [ ] [ ] όπου {} δίνουν το ιδιοδιάνυσμα [ ] Παρόμοια για λ= οι λύσεις του δίνουν τη λύση από όπου παίρνουμε και τελικά το ιδιοδιάνυσμα [ ] ενώ για λ= οι λύσεις του δίνουν τη λύση από όπου παίρνουμε και τελικά το ιδιοδιάνυσμα [ ] Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A 5 Σύμφωνα με τη θεωρία η χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα είναι det AI (5 ) (( ) ( ) ( ))(5 ) 5 ( 6 9 4)(5 ) ( 6 5)( 5) ( 5) ( ) 5
6 Κεφάλαιο 6 Οπότε έχουμε δύο ιδιοτιμές την και τη διπλής αλγεβρικής πολλαπλότητας 5 Για τα ιδιοδιανύσματα προκύπτουν από την λύση του συστήματος ( A I) Οπότε το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί σε αυτήν την ιδιοτιμή είναι της μορφής u u u Για 5τα ιδιοδιανύσματα προκύπτουν από την λύση του συστήματος 5 ( A 5 I) ί Οπότε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε αυτήν την ιδιοτιμή είναι της μορφής και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα της ιδιοτιμής είναι τα Ιδιοχώροι Έστω λ ιδιοτιμή του πίνακα Α και έστω E v : Av v Το σύνολο αυτό είναι ένας υπόχωρός του (ο χώρος με τα διανύσματα με μιγαδικά στοιχεία και καλείται ιδιόχωρος του πίνακα Α που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ Η διάσταση dimε λ του ιδιοχώρου μίας ιδιοτιμής καλείται γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής και ισούται με την μηδενικότητα του πίνακα Α-λΙ Η γεωμετρική πολλαπλότητα είναι μικρότερη ή ίση από την αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής 6
7 Επίσης ισχύουν: Έστω Α ένας πίνακας με πραγματικά στοιχεία όπου m m διακεκριμένες (διαφορετικές μεταξύ τους) ιδιοτιμές του πίνακα στις οποίες αντιστοιχούν v v v ιδιοδιανύσματα Τότε τα ιδιοδιανύσματα αυτά είναι m γραμμικά ανεξάρτητα Έστω Α ένας πίνακας με πραγματικά στοιχεία τότε ο πίνακας έχει γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα εάν και μόνο εάν η γεωμετρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιμής είναι ίση με την αλγεβρική πολλαπλότητά της Για τον πίνακα A είχαμε βρει 5 Για τα ιδιοδιανύσματα το ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί σε αυτήν την ιδιοτιμή είναι της μορφής Για 5τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε αυτήν την ιδιοτιμή είναι της μορφής και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα της ιδιοτιμής είναι τα Οπότε για 5 E spa με διάσταση Η γεωμετρική πολλαπλότητα αυτής της ιδιοτιμής είναι όση και η αλγεβρική οπότε και τα τρία διανύσματα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα Για τον B η χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα είναι det BI ( ) Οπότε έχουμε ιδιοτιμή διπλής αλγεβρικής πολλαπλότητας 7
8 Κεφάλαιο 6 Για τα ιδιοδιανύσματα προκύπτουν από την λύση του συστήματος ( B I) και το παίρνει αυθαίρετες τιμές οπότε για την ιδιοτιμή έχουμε ιδιοδιάνυσμα οπότε η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής είναι Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του 9 A Σύμφωνα με τη θεωρία η χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα είναι det AI 5 8 ( ) ( ) 7 7 Οπότε έχουμε την τριπλής αλγεβρικής πολλαπλότητας Για τα ιδιοδιανύσματα προκύπτουν από την λύση του συστήματος 9 ( A I) ί Οπότε τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν σε αυτήν την ιδιοτιμή είναι της μορφής και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα της ιδιοτιμής είναι τα Άρα η ιδιοτιμή έχει γεωμετρική πολλαπλότητα Ιδιότητες ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων Έστω το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός πίνακα Α οπότε ισχύει και η ορίζουσα του πίνακα p( ) ( ) det( AI) b b b p( ) ( ) ( ) ( ) rm det r r m A ( ) m b Οπότε οι ακόλουθες προτάσεις είναι ισοδύναμες: 8
9 det A το είναι ιδιοτιμή του πίνακα ο σταθερός όρος b του χαρακτηριστικού πολυωνύμου είναι ο πίνακας είναι ιδιάζοντας και δεν αντιστρέφεται Το άθροισμα των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου ενός τετραγωνικού πίνακα το ονομάζουμε ίχνος του τετραγωνικού πίνακα Α (trace) και συμβολίζουμε: i tr( A) a a a a Για τις ιδιοτιμές ενός τετραγωνικού πίνακα ισχύει: Επίσης σ(α)=σ(α Τ ) tr A m Εάν Α τριγωνικός τότε ιδιοτιμές είναι τα διαγώνια στοιχεία του Εάν Αv=λv και Βv=μv τότε το (Α+Β)v=(λ+μ)v και (ΑΒ)v=(λμ)v Έτσι συμπεραίνουμε Α v=λ v και γενικεύοντας όταν λ ιδιοτιμή του Α τότε λ m ιδιοτιμή του Α m Επίσης εάν λv χαρακτηριστικά ποσά του Α τότε λ - v χαρακτηριστικά ποσά του πίνακα Α - Στο παράδειγμά μας όπου έχουμε πραγματικό πίνακα A τέτοιος ώστε A A και Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του A είναι ii A p( ) ( ) det A I 6 Δεν υπάρχει ο det A A διότι Οι ιδιοτιμές του 8 είναι 8 8 Δίνεται ο τετραγωνικός πίνακας 8 και 8 8 A πίνακα A είναι βρείτε τις υπόλοιπες ιδιοτιμές του Αφού και γνωρίζουμε ότι ισχύουν οι σχέσεις: trace( A) det( A) Αρχικά υπολογίσουμε την δεδομένου ότι μία ιδιοτιμή του 9
10 Κεφάλαιο 6 det( A) ( 8) Οπότε οδηγούμαστε στο σύστημα (8 ) Ομοιότητα πινάκων διαγωνοποίηση Δύο πίνακες ΑΒ καλούνται όμοιοι εάν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P τέτοιος ώστε Β=P - AP Ισοδύναμος ορισμός είναι εάν ισχύει PΒ=AP Φυσικά για τον Q=P - θα ισχύει BQ=QA Έστω Ισχύει 4 A B 5 και P 4 PB 5 και AP Έστω A 8 D και P Ισχύει PA και 4 4 DP Εάν δύο πίνακες ΑΒ καλούνται όμοιοι τότε έχουν το ίδιο χαρακτηριστικό πολυώνυμο οπότε και τις ίδιες ιδιοτιμές
11 Ένας πίνακας Α καλείται διαγωνοποιήσιμος εάν υπάρχει διαγώνιος πίνακας D όμοιος με τον Α Δηλαδή υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P ώστε D=P - AP Ένας πίνακας Α είναι διαγωνοποιήσιμος εάν και μόνο εάν έχει γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Δηλαδή είναι διαγωνoποιήσιμος εάν και μόνο εάν η γεωμετρική πολλαπλότητα της κάθε ιδιοτιμής είναι ίση με την αλγεβρική πολλαπλότητά της Εάν οι ιδιοτιμές και v v v τα αντίστοιχα γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα τότε: D και ο πίνακας P έχει ως στήλες τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα Για αυτούς τους πίνακες ισχύει P v v v [ ] D=P - AP Ένας πίνακας Α με διακεκριμένες ιδιοτιμές είναι διαγωνοποιήσιμος Εφόσον ισχύει D=P - AP ισχύει και Α=PDP - οπότε και k k k A PDP PDP PDP PDP PD P φορές Στο γνωστό παράδειγμά μας όπου έχουμε πραγματικό πίνακα A τέτοιος ώστε A A και A Επειδή οι ιδιοτιμές είναι διακεκριμένες (δηλαδή όλες διαφορετικές) ο πίνακας είναι διαγωνοποιήσιμος Ο δε πίνακας P με στήλες τα ιδιοδιανύσματα δηλαδή
12 Κεφάλαιο 6 P είναι αντιστρέψιμος διότι τα ιδιοδιανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα αφού αντιστοιχούν σε διαφορετικές ιδιοτιμές Υπολογίζουμε τον P AP Από τη σχέση P και επαληθεύουμε την ισότητα P AP A P P 5 5 Για τον B έχουμε δείξει ότι έχει διοτιμή λ= διπλής αλγεβρικής πολλαπλότητας με γεωμετρική πολλαπλότητα Οπότε ο πίνακας δεν διαγωνοποιείται 9 Για τον A 5 8 έχουμε την τριπλής αλγεβρικής πολλαπλότητας 7 με γεωμετρική πολλαπλότητα Συμπέρασμα δεν διαγωνοποιείται Για τον πίνακα A είχαμε βρει: 5 Για την μονής αλγεβρικής πολλαπλότητας ιδιοτιμή που αντιστοιχεί ιδιοδιάνυσμα της μορφής
13 Για την διπλής αλγεβρικής πολλαπλότητας ιδιοτιμή 5τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν είναι της μορφής οπότε ο ιδιοχώρος της συγκεκριμένης ιδιοτιμής είναι ο E spa έχει διάσταση Άρα η γεωμετρική πολλαπλότητα αυτής της ιδιοτιμής είναι όση και η αλγεβρική οπότε και τα τρία διανύσματα είναι γραμμικώς ανεξάρτητα Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι ο πίνακας διαγωνοποιείται και P D 5 5 Μπορούμε να το πιστοποιήσουμε χωρίς να βρούμε τον αντίστροφο αφού 5 5 AP 5 PD Έστω ο πραγματικός πίνακας A υπολογίστε τον Α4 Σε προηγούμενο παράδειγμα είχαμε δει ότι ο πίνακας έχει δύο διαφορετικές ιδιοτιμές ( με αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα v και με αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα είναι v ) Επειδή ο Α είναι ένας πίνακας που έχει δύο διακεκριμένες ιδιοτιμές ο Α διαγωνοποιείται Έστω Τότε Ρ - ΑΡ P (οι στήλες του Ρ είναι ιδιοδιανύσματα του Α)
14 Κεφάλαιο 6 A PDP A P P Θεώρημα Cayley-Hamilto Έστω Α ένας πίνακας με πραγματικά στοιχεία τότε ο πίνακας επαληθεύει το χαρακτηριστικό του πολυώνυμο δηλαδή ισχύει: p( A) A b A b A b I αυτός Από αυτό το θεώρημα όταν b δηλαδή το μηδέν δεν είναι ιδιοτιμή του πίνακα οπότε και det A οπότε ο πίνακας αντιστρέφεται μπορούμε να βρούμε τον αντίστροφο του Α A b A b A b I b I A b A b A Έστω ο πραγματικός πίνακας Α = πολυώνυμο του A b A A b A b A b I Εκφράστε τον πίνακα A ως Λύση Τα χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α είναι p( ) Αφού ο σταθερός όρος του χαρακτηριστικού πολυωνύμου δεν είναι μηδέν το δεν είναι ιδιοτιμή του πίνακα οπότε ο Α είναι αντιστρέψιμος Από το Θεώρημα Cayley Hamilto έχουμε A A A I και πολλαπλασιάζοντας με τον A παίρνουμε A A A I Με ανάλογο τρόπο πολλαπλασιάζοντας την παραπάνω με Α - παίρνουμε A A I A 5 Άρα A A I A A I A I 4 4 Να βρεθεί ο αντίστροφος των πινάκων A και B με τη χρήση του θεωρήματος Caley-Hamilto 4
15 A 4 B 4 α) p( ) ( ) det AI 5 P 4 Αφού ο σταθερός όρος δεν είναι μηδέν το δεν είναι ιδιοτιμή του Α οπότε ο Α είναι αντιστρέψιμος Τότε P A A 5A I A A 5I I β) A A I B I p( ) ( ) det Αφού ο σταθερός όρος δεν είναι μηδέν το δεν είναι ιδιοτιμή του Β οπότε ο Β είναι αντιστρέψιμος Άρα P B B B B 6I B B B I 6I B B B I Για το παράδειγμα που είχαμε δει με A 6 A det AI Είχαμε δει ότι A Εφαρμόζοντας το θεώρημα Cayley-Hamilto έχουμε P A A I A I να υπολογισθεί ο πίνακας 5
16 Κεφάλαιο 6 οπότε 6 A A A A I I I I i i i Άλλος τρόπος : Αν P έχουμε P AP D i Άρα 6 6 i i A P D P i i i i και i i i i i i i i A P D P i i 6 Τότε A A Ασκήσεις: Έστω f μια γραμμική απεικόνιση με τύπο : f ([ y z] ) [ y z 4y 4z 4y 4z] α) Να βρεθεί ο πίνακας Α της f ως προς τη συνήθη βάση e e e του και να βρεθούν τα χαρακτηριστικά του μεγέθη β) Δείξτε ότι ο πίνακας Α διαγωνοποιείται και βρείτε μια διαγωνοποίησή του Στη συνέχεια βρείτε έναν τύπο για τον πίνακα Λύση: f ([ ] ) e e e A f ([] ) 4 e 4e 4e 4 και f ([ ] ) 4 e 4e 4e Άρα ο πίνακας Α ισούται με Θα βρούμε πρώτα το χαρακτηριστικό πολυώνυμο τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα αυτού Έχουμε p A I ( ) ( ) det( ) ( ) 4 4 ( 9) 4 4 λοιπόν το και το 9 Ιδιοτιμές είναι 6
17 Ιδιοδιανύσματα για το : (A- Ι) = ή Α = y z 4 4 y 4y 4z 4 4 z 4y 4z y z Άρα y z y y y z z z Ιδιοδιανύσματα για το 9: (A-9 Ι) = 8 8 y z 5 4 y 5y 4z 4 5 z 4y 5z 8 y z 8 4z z 5y 4z z y 9y 9z y z Άρα y z Β) Θεωρούμε τον πίνακα P που έχει στήλες τα ιδιοδιανύσματα και Τότε έπειτα από υπολογισμούς μπορούμε να βρούμε ότι: Οπότε P / 9 5 / 9 4 / 9 / 9 4 / 9 5 / 9 / 9 / 9 / 9 A P P P P P P PDP 9 A
18 Κεφάλαιο 6 Δίνεται ο πίνακας A (α) Να βρείτε έναν πίνακα Ρ τέτοιον ώστε ο Ρ - ΑΡ να είναι διαγώνιος (β) Να υπολογίσετε τον πίνακα A Λύση: (α) Υπολογίζουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α p(λ) ( ) det( AI) ( ) ( )( ) Οι ιδιοτιμές του είναι διακεκριμένες και συνεπώς ο πίνακας διαγωνιοποιείται Ιδιοδιανύσματα: λ= y z y y y y z y z 4 Άρα τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή είναι της μορφής λ= 4 z z y z y y z z y z Άρα τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή είναι της μορφής λ=- z z y z z y y y z z y z Άρα τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχούν στην ιδιοτιμή είναι της μορφής z z z z 8
19 4 Σχηματίζουμε από τα ιδιοδιανύσματα τον πίνακα Ρ= Τότε P 4 Επαληθεύουμε ότι (β) Ισχύει Επομένως D D ( ) A ( PDP ) PD P PDP P P 4 A Έστω ο πραγματικός πίνακας A (α) Εξετάστε αν ο πίνακας Α διαγωνοποιείται Αν ναι να βρεθεί ένας πίνακας Ρ τέτοιος ώστε ο Ρ - ΑΡ να είναι διαγώνιος (β) Να βρεθεί τα χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α και να υπολογίστε τον πίνακα A Λύση: α) Υπολογίζοντας την ορίζουσα det(a λi) βρίσκουμε το χαρακτηριστικό p( ) λ Οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι οι ρίζες του πολυώνυμο χαρακτηριστικού πολυωνύμου του συνεπώς λ λ Επειδή ο Α είναι ένας πίνακας που έχει δύο διακεκριμένες ιδιοτιμές ο Α διαγωνοποιείται Τα ιδιοδιανύσματα είναι οι λύσεις των αντίστοιχων συστημάτων της μορφής A I που μετά από γραμμοπράξεις δίνουν για λ το ιδιοδιάνυσμα { a a / a R {}} και για λ το a a / a R {}} { 9
20 Κεφάλαιο 6 Έστω ο πίνακας P οι στήλες του P είναι τα ιδιοδιανύσματα του Α Κάνοντας τις πράξεις έχουμε ότι ο πίνακας P AP είναι πράγματι διαγώνιος β) Από το χαρακτηριστικό πολυώνυμο που υπολογίσθηκε στο α) ερώτημα και το Θεώρημα Cayley-Hamilto έχουμε A I A I Πολλαπλασιάζοντας με Α την τελευταία σχέση επανειλημμένα με Α έχουμε A I A A A A I A A A A I κλπ Από εδώ παρατηρούμε (εύκολα αποδεικνύεται με επαγωγή) ότι για A όταν k+ k ισχύει A I όταν k k 4 Δίνονται οι πίνακες A και B Δείξτε ότι ο πίνακας Α διαγωνοποιείται και εκτελέστε την διαγωνοποίησή του Δείξτε ότι ο πίνακας Β δεν διαγωνοποιείται Να υπολογιστεί ο A και με βάση το αποτέλεσμα αυτό να υπολογίστε το 4 I A A A Λύση Σύμφωνα με τη θεωρία έχουμε: Για τον Α το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα είναι p( ) ( ) det( A I) ( )( ) ( )( ) Οπότε έχουμε ιδιοτιμές και - (Σημείωση: Επειδή ο πίνακας είναι τριγωνικός θα μπορούσαμε να πούμε άμεσα ότι οι ιδιοτιμές του είναι τα διαγώνια στοιχεία) Για τα ιδιοδιανύσματα προκύπτουν από την λύση του συστήματος ( A I) και το παίρνει αυθαίρετες τιμές οπότε για την ιδιοτιμή έχουμε ιδιοδιάνυσμα Για τα ιδιοδιανύσματα προκύπτουν από την λύση του συστήματος ( A I) οπότε για την ιδιοτιμή - έχουμε ιδιοδιάνυσμα και το παίρνει αυθαίρετες τιμές
21 Η ορίζουσα του πίνακα είναι διαφορετική από το μηδέν (-/) οπότε οι στήλες του είναι γραμμικώς ανεξάρτητα διανύσματα Η διαγωνοποίηση του A επιτυγχάνεται με τους πίνακες P D P όπου P AP D Για τον B τo χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα είναι p( ) ( ) det( B I) ( )( ) ( ) Οπότε έχουμε ιδιοτιμή διπλή Για τα ιδιοδιανύσματα προκύπτουν από την λύση του συστήματος ( B I) και το παίρνει αυθαίρετες τιμές οπότε για την ιδιοτιμή έχουμε ιδιοδιάνυσμα οπότε ο πίνακας δεν διαγωνοποιείται δεν διαγωνοποιείται γιατί η διάσταση του ιδιοχώρου της διπλής ιδιοτιμής είναι Έχουμε ότι A PDP A PD P όπου D οπότε για άρτιο D I και για περιττό D D Συνεπώς Για άρτιο A PIP I Για περιττό A PDP A Οπότε 4 I A A A A I I 6 5 Σημείωση Για τον υπολογισμό του A μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε και τον εξής συλλογισμό Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του Α είναι το Από το Θεώρημα των Cayley-Hamilto έχουμε A I δηλαδή A ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το παρόν υλικό δεν αποτελεί αυτόνομο διδακτικό υλικό βασίζεται στο σύγγραμμα που διανέμεται και στην προτεινόμενη βιβλιογραφία του μαθήματος Το περιεχόμενο του αρχείου απλά αποτελεί περίγραμμα των παραδόσεων του μαθήματος Αποτελεί υλικό της διδασκαλίας του μαθήματος από το διδάσκοντα για δική του χρήση και παρακαλώ να μη χρησιμοποιηθεί και να μην αναπαραχθεί και διανεμηθεί για άλλο σκοπό
Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 6 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Ορισµοί Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Έστω Α ένας πίνακας µε πραγµατικά στοιχεία Ο πραγµατικός ή µιγαδικός αριθµός λ καλείται ιδιοτιµή του πίνακα Α εάν υπάρχει µη
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Χαρακτηριστικά Ποσά Τετράγωνου Πίνακα (Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ).
1 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ ΠΙΝΑΚΑ: Έστω Α ένας n nπίνακας επί ενός σώματος F. Για χ στο F, ορίζεται το πολυώνυμο ( ως προς χ ) : h ( x) = det( A- xi ). A n Πόρισμα 1: Ο βαθμός του χαρ/κου πολυωνύμου ενός
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 Ορθογώνιοι Πίνακες
Κεφάλαιο 7 Ορθογώνιοι Πίνακες Εσωτερικό Γινόμενο και ορθογωνιότητα Έστω V ένας διανυσματικός χώρος, υπόχωρος του n. Κάθε συνάρτηση ορισμένη στο VV (την οποία θα συμβολίζουμε με ) ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα
Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΔιαγωνοποίηση μητρών. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας
Διαγωνοποίηση μητρών Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Όμοιες μήτρες Ορισμός: Οι τετραγωνικές μήτρες Α=[α ij ] nxn & B=[b ij ] nxn όμοιες (Α~Β): αν υπάρχει ομαλή μήτρα Ρ τ.ώ. Β = Ρ -1 Α Ρ A~B Β~ Α Ρ ομαλή μήτρα
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις
Ασκήσεις 5 Βασικά σημεία Ιδιότητες ιδιόχωρων: Έστω,, Ισχύουν τα εξής Ασκήσεις Διαγωνίσιμες Γραμμικές Απεικονίσεις κάποιες διακεκριμένες ιδιοτιμές της γραμμικής απεικόνισης : V V, όπου o Αν v v 0, όπου
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις3 Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα.
Ασκήσεις 0 Ασκήσεις Διαγωνισιμότητα Βασικά σημεία Διαγωνίσιμοι πίνακες: o Ορισμός και παραδείγματα o H -στήλη του P P είναι E αν και μόνο αν η -στήλη του P είναι ιδιοδιάνυσμα του που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος
6/6/06 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 0 Δίνεται ο πίνακας A =. Nα υπολογίσετε την βαθμίδα του και να βρείτε τη διάσταση και από μία βάση α) του μηδενοχώρου
Διαβάστε περισσότερα8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα
Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 2 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 28 Νοεμβρίου 2011
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 8 Νοεμβρίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Ιανουαρίου 0 Οι ασκήσεις
Διαβάστε περισσότεραΈντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
Διαβάστε περισσότεραb. Για κάθε θετικό ακέραιο m και για κάθε A. , υπάρχουν άπειρα το πλήθος πολυώνυμα ( x) [ x] m και ( A) 0.
Ασκήσεις4 46 Ασκήσεις 4 Τριγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις, Θεώρημα των Cayley-Hamilton Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Κριτήριο τριγωνισιμότητας
Διαβάστε περισσότερα1. a. Έστω b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα του A Έστω A και ( x) [ x]
σκήσεις Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Ιδιόχωροι, διάσταση ιδιόχωρου, εύρεση βάσης ιδιόχωρου Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Οι πρώτες δύο ασκήσεις αναφέρονται στις έννοιες γραµµική ανεξαρτησία, γραµµικός
Διαβάστε περισσότεραβαθμού 1 με A 2. Υπολογίστε τα χαρακτηριστικά και ελάχιστα πολυώνυμα των
Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου γραμμικής απεικόνισης και ιδιότητές του Κριτήριο διαγωνισιμότητας
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα Επιμέεια: Ι. Λυχναρόπουος. Έστω ο πίνακας 3. Δείξτε ότι το διάνυσμα v (,3) είναι ένα ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή
Διαβάστε περισσότερα1 ιαδικασία διαγωνιοποίησης
ιαδικασία διαγωνιοποίησης Εστω V ένας R-διανυσματικός χώρος (ή έναςc-διανυσματικός χώρος) διάστασης n. Είναι γνωστό ότι κάθε διάνυσμα (,,..., n ) του χώρου V μπορεί να παρασταθεί και σαν πίνακας στήλη
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο
Γραμμική Άλγεβρα II Εαρινό εξάμηνο 0-0 Υποδείξεις/Απαντήσεις των Ασκήσεων Περιεχόμενα Ασκήσεις Πολυώνυμα Ασκήσεις Ιδιοτιμές-Ιδιοδιανύσματα 6 Ασκήσεις Διαγωνίσιμες γραμμικές απεικονίσεις 9 Ασκήσεις4 Τριγωνίσιμες
Διαβάστε περισσότεραA, και εξετάστε αν είναι διαγωνίσιμη.
Ασκήσεις 6 Ασκήσεις Ελάχιστο Πολυώνυμο Βασικά σημεία Ορισμός ελαχίστου πολυωνύμου πίνακα και ιδιότητές του Θεώρημα (Κριτήριο διαγωνισιμότητας) Ένας είναι διαγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x) γινόμενο διακεκριμένων
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις4 48. P AP τριγωνικό. Αφού δείξτε ότι ο A δεν είναι διαγωνίσιμος, βρείτε αντιστρέψιμο A 1 3 1
Ασκήσεις4 48 Ασκήσεις4 Τριγωνισιμότητα Βασικά σημεία Ορισμός τριγωνίσιμου πίνακα, ορισμός τριγωνίσιμης γραμμικής απεικόνισης Θεώρημα: είναι τριγωνίσιμος αν και μόνο αν ( x ) γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις2 8. ; Αληθεύει ότι το (1, 0, 1, 2) είναι ιδιοδιάνυσμα της f ; b. Να βρεθούν οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα της γραμμικής απεικόνισης 3 3
Ασκήσεις 8 Ασκήσεις Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Βασικά σημεία Ορισμός ιδιοτιμων και ιδιοδιανυσμάτων, υπολογισμός τους Σε διακεκριμένες ιδιοτιμές αντιστοιχούν γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα Αν ΑΧ=λΧ,
Διαβάστε περισσότερα2 3x 5x x
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9 1 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
Σελίδα από 58 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα 9. Ορισμοί... 9. Ιδιότητες... 9. Θεώρημα Cayley-Hamlto...9 9.. Εφαρμογές του Θεωρήματος Cayley-Hamlto... 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυμο...40 Ασκήσεις του Κεφαλαίου
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων
7 Βασικά σημεία Ασκήσεις6 Διαγωνοποίηση Ερμιτιανών Πινάκων Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορισμός, Ερμιτιανού πίνακα και μοναδιαίου πίνακα Ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραΗ ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDAN
Η ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ JORDN Εάν ένας πίνακας δεν διαγωνοποιείται, τότε ο στόχος μας είναι υπολογίσουμε μέσω ενός μετασχηματισμού ομοιότητας, έναν απλούστερο πίνακα, «σχεδόν διαγώνιο» όπως ο παρακάτω πίνακας
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
Κεφάλαιο Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο συμβολίζουμε με Σε αυτό το σύνολο γνωρίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα II. Ασκήσεις με Υποδείξεις - Απαντήσεις. Περιεχόμενα
Γραμμική Άλγεβρα II Ασκήσεις με Υποδείξεις - Απαντήσεις ΜΜ Περιεχόμενα Ασκήσεις0: Όμοιοι Πίνακες Ασκήσεις: Πολυώνυμα 6 Ασκήσεις: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ασκήσεις: Διαγωνισιμότητα Ασκήσεις4: Τριγωνισιμότητα
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 19/6/2018 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 9/6/08 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Έστω A= k και w = 3 0. Να βρεθεί η τιμή του k για την οποία
Διαβάστε περισσότεραΈντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί
Κεφάλαιο 5 Γραμμικοί Μετασχηματισμοί 5 Γενικά Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Μία σχέση μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων Α,Β αντιστοιχίζει στοιχεία του Α με στοιχεία του Β άλλου μέσω ενός κανόνα που μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουος Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα 3. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές ποαπότητες
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 Διανυσματικοί Χώροι
Κεφάλαιο Διανυσματικοί Χώροι Διανυσματικοί χώροι - Βασικοί ορισμοί και ιδιότητες Θεωρούμε τρία διαφορετικά σύνολα: Διανυσματικοί Χώροι α) Το σύνολο διανυσμάτων (πινάκων με μία στήλη) με στοιχεία το οποίο
Διαβάστε περισσότερα= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις
1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις6 Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο
Ασκήσεις6 7 Ασκήσεις6 Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και Βασικά σημεία Το σύνηθες εσωτερικό γινόμενο στο και (ορισμοί και ιδιότητες) Ορθοκανονικές βάσεις και η μέθοδος Gram-Schmidt Ορθογώνιο συμπλήρωμα
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018html Παρασκευή 23 Μαρτίου
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 121: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΣ 11: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 3 1. Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα των πιο κάτω πινάκων: 1 0 3 1 1 1 1 1 3 1 1 4 a b.
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ 12 - Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα
5 Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα Χαρακτηριστικό πολυώνυμο Έστω ο πίνακας Α: Αν από τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου α,α αφαιρέσουμε τον αριθμό λ, τότε προκύπτει ο πίνακας: του οποίου η ορίζουσα είναι η εξής:
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ορθοκανονικοποίηση, Ορίζουσες, Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότεραΠαραγοντοποιήσεις πίνακα
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΠΜΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΒΙΟΪΑΤΡΙΚΗ Παραγοντοποιήσεις πίνακα Θεωρία Perro-Frobeus Μαρία Αδάμ ΛΑΜΙΑ, 08 KΕΦΑΛΑΙΟ Παραγοντοποίηση πίνακα Άλγεβρα πινάκων
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Σεπτεμβρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, Αυγούστου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες: 0.5] Υπολογίστε
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα
ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 6 / 009-0 ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ Γραμμικές απεικονίσεις, Αλλαγή βάσης, Ιδιοτιμές, Ιδιοδιανύσματα Έστω η γραμμική απεικόνιση T : με (α) Βρείτε τον πίνακα της T, I Ως προς την κανονική βάση
Διαβάστε περισσότεραΧαρακτηριστική Εξίσωση Πίνακα
Έστω ο n nτετραγωνικός πίνακας A της μορφής a L a M O M an L a όπου aij, i n, j n πραγματικές σταθερές Ονομάζουμε χαρακτηριστική εξίσωση του πίνακα A την εξίσωση A λi, όπου I ο n n μοναδιαίος πίνακας και
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 9 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 9. Ορισµοί... 9. Ιδιότητες...7 9. Θεώρηµα Cayley-Hamilto...4 9.. Εφαρµογές του Θεωρήµατος Cayley-Hamilto...6 9.4 Ελάχιστο Πολυώνυµο...5 Ασκήσεις του
Διαβάστε περισσότεραΙδιάζουσες τιμές πίνακα. y έχουμε αντίστοιχα τις σχέσεις : Αυτές οι παρατηρήσεις συμβάλλουν στην παραγοντοποίηση ενός πίνακα
Ιδιάζουσες τιμές πίνακα Επειδή οι πίνακες που παρουσιάζονται στις εφαρμογές είναι μη τετραγωνικοί, υπάρχει ανάγκη να βρεθεί μία μέθοδος που να «μελετά» τους μη τετραγωνικούς με «μεθόδους και ποσά» που
Διαβάστε περισσότερα{ } ΠΛΗ 12: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι 2 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. Απαντήσεις. 1. (15 µονάδες)
Σελίδα από 8 (5 µονάδες) ΠΛΗ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Απαντήσεις i Εξηγείστε γιατί κάθε ένα από τα παρακάτω υποσύνολα του R δεν είναι υπόχωρος του R {[ xyz,, ] T z } {[ xyz,,
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές
Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 2: Ανασκόπηση Στοιχείων Γραμμικής Άλγεβρας Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση/υπενθύμιση
Διαβάστε περισσότεραΕάν A = τότε ορίζουμε την ορίζουσα του πίνακα ως τον αριθμό. det( A) = = ( 2)4 3 1 = 8 3 = 11. τότε η ορίζουσά του πίνακα ισούται με
Κεφάλαιο Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί a b Εάν A τότε ορίζουμε την ορίζουσα του πίνακα ως τον αριθμό a b ad bc Συμβολίζουμε την ορίζουσα του πίνακα και ως A Εάν A τότε ( ) 8 Εάν a a a A a a a a a a τότε η
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 23 Μαρτίου 2018
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 2008
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Ιανουαρίου 8 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 8 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις
Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Εξέταση Σεπτεμβρίου 009 Όνομα συνοπτικές ενδεικτικές λύσεις ΑΜ Ημ/ία Αίθουσα 1 Σύνολο Η εξέταση αποτελείται από θέματα. Κάθε θέμα αξίζει 4 μονάδες. Το άριστα είναι μονάδες και η βάση
Διαβάστε περισσότεραΠΛΗ ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓ_2 ΣΕΛ. 1/11
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεμβρίου 007 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Δεκεμβρίου 007 Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος
9/6/5 Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση Ι. Λυχναρόπουλος Άσκηση (Μονάδες ) 5 Δίνεται ο πίνακας A 5. Αν διαγωνοποιείται να τον διαγωνοποιήσετε και στη συνέχεια να k υπολογίσετε το A όπου k θετικός
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 10
Γραµµικη Αλγεβρα ΙΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 0 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθοι Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laiihtml
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ
Κεφάλαιο 3 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Στο πρώτο μέρος αυτού του κεφαλαίου συνοψίζουμε όσα είναι απαραίτητα για την εύρεση ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων ενός τετραγωνικού πίνακα Στο δεύτερο μέρος αναπτύσσονται
Διαβάστε περισσότερα5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα
Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει
Διαβάστε περισσότερα1 1 A = x 1 x 2 x 3. x 4. R 2 3 : a + b + c = x + y + z = 0. R 2 3 : a + x = b + y = c + z = 0
Γραμμική Άλγεβρα Ι Θέματα Εξετάσεων Ιανουαρίου 6. (α Υπολογίστε τον πίνακα X R και την ορίζουσα det(x 5 αν AX = B + C και ( ( ( 3 3 A = B = C =. 4 3 (β Θεωρούμε πίνακα A R n n τέτοιον ώστε A = 4A 4I n.
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 6 Νοεµβρίου 005 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας
Διαβάστε περισσότεραΘέμα 1. με επαυξημένο 0 1 1/ 2. πίνακα. και κλιμακωτή μορφή αυτού
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουλίου 0 Θέμα α) (Μον.6) Να βρεθεί η τιμή του πραγματικού
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ. Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 2010 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ119)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ -ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Λύσεις των Θεμάτων της Εξέτασης Ιανουαρίου 00 στο μάθημα: «Γραμμική Άλγεβρα» (ΗΥ9) Ηράκλειο, 7 Ιανουαρίου 00 Θέμα. (μονάδες.5) α) [μονάδες:.0]. Υπολογίστε
Διαβάστε περισσότεραΣτοχαστικά Σήµατα και Εφαρµογές
Στοχαστικά Σήµατα & Εφαρµογές Ανασκόπηση Στοιχείων Γραµµικής Άλγεβρας ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών ΤµήµαΜηχανικώνΗ/Υ και Πληροφορικής ιανύσµατα Ορίζουµετοδιάνυσµα µε Ν στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 00- ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΕΡΓΑΣΙΑ 6 ΛΥΣΕΙΣ. (5 µον.) ίνεται ο πίνακας 0 0 A. 0 (α) (α) Να βρεθούν όλες οι ιδιοτιµές και τα ιδιοδιανύσµατα του πίνακα Α. (β) Είναι δυνατή η διαγωνιοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουλίου Θέμα ( μονάδες) 4 Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο και τον υποχώρο του V που παράγεται
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΟΡΙΣΜΟΙ Δίνεται ο πίνακας Παρατηρήστε τι γίνεται όταν ποαπασιάζουμε τον Α με το διάνυσμα u u u παίρνουμε δηαδή ένα διάνυσμα ποαπάσιο του u. Η αναζήτηση διανυσμάτων που έχουν παρόμοια
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ12 «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 16 Ιουλίου 2003
http://edueapgr/pli/pli/studetshtm Page of 6 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΠΛΗ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι» Επαναληπτική Τελική Εξέταση 6 Ιουλίου Απαντήστε όλα
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ech and Math wwwtechandmathgr ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Νοεµβρίου 006 Ηµεροµηνία Παράδοσης της
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΜΑ CAYLEY-HAMILTON. Έστω A πίνακας ν ν. Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton συµπεραίνουµε ότι το σύνολο των πολυωνύµων p( λ ), ώστε p( A)
Γραµµική Άλγεβρα ΙΙ Σελίδα από Μάθηµα 7 ο ΘΕΩΡΗΜΑ CYLEY-HMILTON Θεωρία : Γραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 6, σελ 60 Ασκήσεις :,,, σελ 6 Ελάχιστο πολυώνυµο πίνακα Έστω πίνακας ν ν Από το θεώρηµα Cayley-Hamilton
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/2017 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Άσκηση (Μονάδες.5) Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τελική Εξέταση 8/6/07 Διδάσκων: Ι. Λυχναρόπουλος Προσδιορίστε το c R ώστε το διάνυσμα (,, 6 ) να ανήκει στο
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebraii/laii2018/laii2018.html Παρασκευή 16 Μαρτίου 2018
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΗ ΒΙΟΙΑΤΡΙΚΗ Συμπίεση δεδομένων ως εφαρμογή της SVD παραγοντοποίησης πίνακα Αναστασία-Θεοδώρα Ταμπούκου ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 05 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος
Διαβάστε περισσότερα1. Για καθένα από τους ακόλουθους διανυσματικούς χώρους βρείτε μια βάση και τη διάσταση. 3. U x y z x y z x y. {(,, ) } a b. c d
Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις6: Βάση και Διάσταση Βασικά σημεία Βάση διανυσματικού χώρου (ορισμός, παραδείγματα, μοναδικότητα συντελεστών) Θεώρημα (ύπαρξη, πρώτη μορφή) Έστω V K μη μηδενικός με K πεπερασμένο
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις1 Πολυώνυμα. x x c. με το. b. Να βρεθούν όλες οι τιμές των a, Να βρεθεί ο μκδ και το εκπ τους
Aσκήσεις1 1 Βασικά σημεία Ευκλείδεια διαίρεση πολυωνύμων Ορισμός και ιδιότητες μκδ και εκπ Ιδιότητες σχετικών πρώτων πολυωνύμων Τα ανάγωγα πολυώνυμα στο [ ] και [ ] Ασκήσεις1 Πολυώνυμα Ανάλυση πολυωνύμου
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦ.6:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ. ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ
ΚΕΦ:ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ Τετραγωνικές μορφές: Συναρτήσεις με τύπο Q ν α ι j j, j [ ] ν α α ν αν α νν ν Τ Χ ΑΧ Για παράδειγμα εάν v Q α + α + α + α α + α + α + α δηλ a a a a α + α + α
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί
Κεφάλαιο 0 Μιγαδικοί Αριθμοί 0 Βασικοί ορισμοί και πράξεις Είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει πραγματικός αριθμός που επαληθεύει την εξίσωση x Η ανάγκη επίλυσης τέτοιων εξισώσεων οδηγεί στο σύνολο των μιγαδικών
Διαβάστε περισσότερα( 1)( 3) ( ) det( ) (1 )( 1 ) ( 2)( 2) pl( ) det( L ) (5 )( 7 ) ( 1) ( ) det( M ) (1 )(1 )
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 0 Θέμα Δίδονται οι πίνακες K= 5 4, L=, M=. 9 7 A) (8 μονάδες) Για κάθε
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 1 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 20 Οκτωβρίου 2008
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 0 Οκτωβρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Νοεμβρίου 008 Πριν
Διαβάστε περισσότεραNovember 27, v + u V
Γραμμική Άλγεβρα Προετοιμασία Seemous-IMC 2019 Παναγιώτης Μισιακός - pmisiakos@hotmailcom November 27, 2018 Εισαγωγή Η γραμμική άλγεβρα αποτελεί κλάδο των μαθηματικών με μεγάλη επιρροή και σημασία τόσο
Διαβάστε περισσότερα, ορίζουμε deta = ad bc. Πρόταση Ένας πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος τότε και μόνο αν deta 0.
Για κάθε πίνακα Α ορίζουμε μία τιμή που λέγεται ορίζουσα και συμβολίζεται deta ή Α Ο ορισμός γίνεται επαγωγικά για = 2, 3, 4, και ισχύουν τα εξής: a b Για 22 πίνακα Α = c d, ορίζουμε deta = ad bc a 1 b
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες
Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος
Διαβάστε περισσότεραΜία απεικόνιση από ένα διανυσματικό χώρο V στον εαυτό του, L : V V την ονομάζουμε γραμμικό τελεστή στο V (ή ενδομορφισμό του V ). Ορισμός. L : V V γρα
Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 15 Αναλλοίωτοι Υπόχωροι, Ιδιόχωροι Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 2/5/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 15 2/5/2014 1 / 12 Μία απεικόνιση από ένα διανυσματικό
Διαβάστε περισσότερα7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)
77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ακαδηµαϊκό έτος 5-6 ΜΑΘΗΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Καθηγητής: Σ Πνευµατικός ΑΣΚΗΣΕΙΣ 7 ης ΕΒΔΟΜΑΔΑΣ ΟΙ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ JORDAN Θεωρούµε ένα n-διάστατο διανυσµατικό χώρο E στο σώµα Κ = ή και
Διαβάστε περισσότεραΤα διανύσματα xy, R είναι κάθετα αν και μόνο αν x y 0. Για το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων. Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός υπόχωρου
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ο ανάστροφος πίνακας του [ j ] σημειώνεται με [ j ] (δηλαδή οι γραμμές γίνονται στήλες αντίστροφα Ιδιότητες: ( ( B B ( R ( B B Ο αντίστροφος ενός τετραγωνικού πίνακα [ j ]
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n
Διαβάστε περισσότεραΠαναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής
Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 5: Κανονικοί Πίνακες Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 6
Μαθηµατικά β Σελίδα από 6 Μάθηµα 9 ο ΑΩΝΠΗΣΗ ΠΝΑΚΑ Θεωρία : ραµµική Άλγεβρα : εδάφιο 5, σελ 5 (µόνο την Πρόταση 6) Τα παραδείγµατα που αντιστοιχούν στην ύλη έχουν διδαχθεί Ασκήσεις :,, 4, 8, 9, σελ 58
Διαβάστε περισσότερα1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό
1 Επανάληψη εννοιών από τον Απειροστικό Λογισμό 1.1 Όρια ακολουθιών Λέμε ότι η ακολουθία { n } συγκλίνει με όριο R αν για κάθε ϵ > 0 υπάρχει ακέραιος N = N(ϵ) τέτοιος ώστε (1.1) n < ϵ για κάθε n > N, και
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ , Β= 1 y, όπου y 0. , όπου y 0.
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 9 Ιουνίου 8:-: ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα (Α) ( 5 μονάδες) Δίδονται οι πίνακες Α=,
Διαβάστε περισσότεραKεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 2. Σταύρος Παπαϊωάννου
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα
ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2009-2010 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ένα σύνολο m εξισώσεων n αγνώστων που έχει την ακόλουθη
Διαβάστε περισσότεραt t Αν κάποιος από αυτούς είναι αντιστρέψιμος, υπολογίστε τον αντίστροφό του. 2. Υπολογίστε την ορίζουσα του Δείξτε τα εξής.
Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις4: Ορίζουσες Βασικά σημεία Ορισμός και ιδιότητες οριζουσών (ιδιότητες γραμμών και στηλών, αναπτύγματα οριζουσών, det( B) det( )det( B)) Ένας τετραγωνικός πίνακας είναι
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις για το μάθημα: «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α )
Χρήστος Ι Σχοινάς Αν Καθηγητής ΔΠΘ Σημειώσεις για το μάθημα «Βασικές Αρχές Θεωρίας Συστημάτων» (Μέρος Α ) ΞΑΝΘΗ, 008 - - - - ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜATA Ορισμοί και ιδιότητες Συχνά, σε διάφορα προβλήματα στα Μαθηματικά,
Διαβάστε περισσότερα, 1 0 9 1, 2. A a και το στοιχείο της i γραμμής και j
Κεφάλαιο Πίνακες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος Α 56 Είδος
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Άλγεβρα των Πινάκων (2) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons
Διαβάστε περισσότερα