8.1 Διαγωνοποίηση πίνακα

Transcript

1 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Κεφάλαιο 8 Κ Α Ν Ο Ν Ι Κ Ε Σ Μ Ο Ρ Φ Ε Σ 8. Διαγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8.α Ένας πίνακας M n ( ) oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος στο αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας P M n τέτοιος ώστε ο πίνακας P P να είναι διαγώνιος. Αν ισχύει ο Ορισμός 8.α, τότε λέμε ότι εφαρμόζεται μια διαγωνοποίηση στον πίνακα και γράφουμε () = P P ή ισοδύναμα () = P P (8.) όπου M n ( ) είναι διαγώνιος πίνακας. Είναι φανερό ότι, η ισότητα () στην (8.) είναι ακριβώς ο ορισμός ομοιότητας των πινάκων,, γι αυτό συχνά χρησιμοποιούμε αυτόν ως ισοδύναμο ορισμό διαγωνοποίησης πίνακα, ο δε πίνακας P ονομάζεται πίνακας ομοιότητας. Ορισμός 8.β Ο πίνακας πίνακα. M n Παράδειγμα 8. oνομάζεται διαγωνοποιήσιμος αν είναι όμοιος με διαγώνιο ) Ο πίνακας = είναι διαγωνοποιήσιμος στο, διότι 5 υπάρχει ο αντιστρέψιμος πίνακας, P= M( ), τέτοιος ώστε P P = = ) Ο πίνακας B = δεν είναι διαγωνοποιήσιμος στο. 0 Πράγματι, αν είναι διαγωνοποιήσιμος σύμφωνα με τον Ορισμό 8.α, πρέπει να a c b d υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας, έστω P= M, για τον οποίο ισχύει η

2 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 (8.). Ο πίνακας P τις πράξεις έχουμε : υπολογίζεται σύμφωνα με την Εφαρμογή.4, οπότε κάνοντας P d b a b ad cd bc d 0 ad bc c a0 c d ad bc c ad cb cd + P= = Ο τελευταίος πίνακας είναι διαγώνιος μόνο στην περίπτωση d = c= 0, αλλά τότε de P = 0, το οποίο είναι αδύνατο, επειδή θεωρήσαμε ότι ο πίνακας P είναι αντιστρέψιμος. Μια άλλη απόδειξη παρουσιάζεται στην Εφαρμογή 8.8 (v). ) Θεωρούμε τον πίνακα E 0 =. Ο πίνακας E δεν είναι διαγωνοποιήσιμος 0 όταν θεωρηθεί στοιχείο του M. Πράγματι, όπως στο προηγούμενο παράδειγμα a b αν θεωρήσουμε έναν αντιστρέψιμο πίνακα P= M, από την (8.) c d προκύπτει P 0 d b 0 a b ab cd b d. 0 ad bc c a 0c d ad bc a c ab cd + + P= = Ο τελευταίος πίνακας είναι διαγώνιος μόνο στην περίπτωση a = b= c= d = 0, αλλά τότε ισχύει de P = 0, που είναι αδύνατο, επειδή θεωρήσαμε ότι ο πίνακας P είναι αντιστρέψιμος. Όμως ο πίνακας E διαγωνοποιείται αν θεωρηθεί ως στοιχείο του M ( ). Πράγματι, εύκολα επαληθεύεται η σχέση 0 P EP =, όπου 0 P =. Ένα εύλογο ερώτημα που τίθεται είναι: πως σκεπτόμαστε και κατασκευάζουμε το συγκεκριμένο πίνακα P, ώστε να είναι αντιστρέψιμος και να επαληθεύει την (8.). Η απάντηση βρίσκεται στην επόμενη πρόταση. Στα επόμενα, αποδεικνύεται ότι η διαγωνοποίηση ενός πίνακα σχετίζεται με τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα (Πρόταση 8.). Όπως έχει αναφερθεί στο Παράδειγμα 7., ο πίνακας E δεν έχει ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα επί του, άρα δε διαγωνοποιείται στο, το οποίο αποτελεί έναν άλλο τρόπο απόδειξης.

3 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Πρόταση 8. Ένας πίνακας M n έχει n γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα. είναι διαγωνοποιήσιμος αν και μόνο αν ο πίνακας Απόδειξη : Θέτουμε P τον n n πίνακα με στήλες τα διανύσματα x, x,, x n και το n n διαγώνιο πίνακα με διαγώνια στοιχεία τις ιδιοτιμές λ, λ,, λn του πίνακα. Παρατηρούμε ότι και ( x x x ) ( x x x ) P = = (8.) n λ λ 0 P = = 0 0 λn ( x x x ) ( λ x λ x λ x ) n n n n (8.) Υποθέτουμε ότι ο πίνακας είναι διαγωνοποιήσιμος, δηλαδή, υπάρχει P αντιστρέψιμος, έτσι ώστε να ισχύει η (8.) (), τελευταία σχέση επί P καταλήγουμε στην P ισότητα πινάκων με τις (8.), (8.) συμπεραίνουμε ότι ισχύει : Από την (8.4) προκύπτει = P P. Πολλαπλασιάζοντας την = P. Συνδυάζοντας την τελευταία ( x x x ) = ( λ x λ x λ x ) (8.4) n n n x = λ x, για κάθε =,,, n. (8.5) Επειδή ο πίνακας P είναι αντιστρέψιμος τα x, x,, x n είναι γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα (Πρόταση 5.) και μη μηδενικά. Επιπλέον, από την (8.5) είναι φανερό ότι, τα x, x,, λ, λ,, λn του πίνακα. Αντίστροφα, αν θεωρήσουμε ότι τα x, x,, x n είναι ιδιοδιανύσματα των αντίστοιχων ιδιοτιμών x n είναι γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα, ο πίνακας P, που κατασκευάζεται με στήλες γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα, είναι αντιστρέψιμος (Πρόταση 5.), και επιπλέον ισχύει η (8.5) ή η ισοδύναμη ισότητα (8.4). Επειδή ισχύει η (8.4) συμπεραίνουμε ότι τα πρώτα μέλη των (8.) και (8.) είναι ίσα, συνεπώς P = P = P P, άρα ο πίνακας είναι διαγωνοποιήσιμος (Ορισμός 8.β).

4 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές 4 από 6 Η απόδειξη της προηγούμενης πρότασης στηρίζεται στην κατασκευή ενός πίνακα P με στήλες τα ιδιοδιανύσματα του και ενός διαγώνιου πίνακα = dag( λ, λ,, λ n ) με διαγώνια στοιχεία τις αντίστοιχες ιδιοτιμές (λαμβάνεται υπόψη η αλγεβρική πολλαπλότητα). Αυτή είναι και η βασική ιδέα του επόμενου αλγορίθμου, τον οποίο εφαρμόζουμε, όταν χρειάζεται να υπολογίσουμε μία διαγωνοποίηση του πίνακα M n ( ). Αλγόριθμος 8. Διαγωνοποίηση του πίνακα ( ) M n Βήμα Υπολογισμός χαρακτηριστικού πολυωνύμου του, οι ρίζες του Βήμα πολυωνύμου είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα. Για κάθε ιδιοτιμή λ, υπολογισμός μίας βάσης του αντίστοιχου ιδιοχώρου, λύνοντας το ομογενές σύστημα ( λ I)x =0. Βήμα Έστω το σύνολο { x, x,, x r }, το οποίο συγκεντρώνει όλα τα διανύσματα των βάσεων που υπολογίστηκαν στο βήμα. Αν r n, τότε ο πίνακας δε διαγωνοποιείται. Βήμα 4 Αν r = n, τότε ο πίνακας διαγωνοποιείται. Έστω P ο πίνακας με στήλες τα ιδιοδιανύσματα x, x,, x n, έχουμε λ = = Ρ ΑΡ λ, λ n όπου λ είναι η ιδιοτιμή με αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα το x, n. Για παράδειγμα, για να εξετάσουμε αν ο πίνακας 0 = 5 είναι διαγωνοποιήσιμος, σύμφωνα με τον Ορισμό 8.α και την απόδειξη της Πρότασης 8., αρκεί να βρούμε έναν κατάλληλο πίνακα P M, τέτοιον ώστε = P P. Σύμφωνα με τον Αλγόριθμο 8., πολυώνυμο του πίνακα υπολογίζουμε πρώτα το χαρακτηριστικό

5 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές 5 από 6 λ χ ( λ) = de ( λi ) = de = λ 5λ+ 6, λ 5 από όπου προκύπτουν οι ιδιοτιμές λ = και λ =. Για κάθε μία από τις ιδιοτιμές προσδιορίζουμε τον αντίστοιχο ιδιόχωρο, λύνοντας το σύστημα που προκύπτει από τη διανυσματική εξίσωση, ( λ I)x =0, =,. Για την ιδιοτιμή λ =, έχουμε ( I) από όπου προκύπτει το σύστημα x 0 0, x = = x 0 x+ x = 0 x = x x x x = = = x x x 0 x x x, x. + = Η λύση του παραπάνω συστήματος είναι κάθε διάνυσμα του ιδιοχώρου αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ =, δηλαδή V() = { x : x }. Κάθε μη μηδενικό διάνυσμα του V () είναι ιδιοδιάνυσμα του Α αντίστοιχο της ιδιοτιμής λ =, επιλέγουμε το διάνυσμα x =, το οποίο βρίσκουμε για x =. Για λ =, έχουμε x 0 0, I x = = x 0 ( ) από όπου προκύπτει το σύστημα x x+ x = 0 x = x x x x = = =, x. x+ x = 0 x x x Ο ιδιόχωρος είναι V() = { x = x( ) : x }, οι μη μηδενικές λύσεις του που ιδιοχώρου είναι ιδιοδιάνυσμα αντίστοιχο της ιδιοτιμής λ =, επιλέγουμε το διάνυσμα x = ( ), το οποίο βρίσκουμε για x =. Ο πίνακας P κατασκευάζεται με στήλες τα ιδιοδιανύσματα, οπότε θέτοντας P = ( x x) = Υπολογίζουμε την de P = 0, άρα τα ιδιοδιανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα (Πόρισμα 4.4 ή Πρόταση 5.).

6 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές 6 από 6 Επομένως, ο πίνακας είναι διαγωνοποιήσιμος (Πρόταση 8.). Επιπλέον υπάρχει ο πίνακας P =, (υπολογίζεται σύμφωνα με την Εφαρμογή.4), οπότε κάνοντας πράξεις εύκολα επαληθεύουμε την ισότητα στην (8.) (), δηλαδή, 0 P P = =. 0 Για περισσότερα παραδείγματα εφαρμογής αυτού του αλγορίθμου παραπέμπουμε στο Παράδειγμα 8.7. Στο προηγούμενο παράδειγμα, οι ιδιοτιμές του πίνακα ήταν διακεκριμένες, όσες και το μέγεθός του και αποδείξαμε ότι ο πίνακας διαγωνοποιήθηκε. Αυτό δεν είναι τυχαίο, συμβαίνει πάντοτε, διότι ο τετραγωνικός πίνακας P είναι πάντοτε αντιστρέψιμος, επειδή έχει στήλες γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα-ιδιοδιανύσματα (Πρόταση 5.). Επομένως, στην ειδική περίπτωση όπου όλες οι ιδιοτιμές είναι διακεκριμένες, μπορούμε να αποφανθούμε άμεσα για τη διαγωνοποίηση του πίνακα, χωρίς την αναζήτηση των ιδιοδιανυσμάτων του πίνακα, συμπέρασμα που αποδεικνύεται στην επόμενη πρόταση. Πρόταση 8. Αν ένας πίνακας M n έχει n διακεκριμένες ιδιοτιμές, τότε ο πίνακας είναι διαγωνοποιήσιμος. Απόδειξη : Έστω ότι λ, λ,, λn είναι διακεκριμένες ιδιοτιμές του πίνακα με x, x,, τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματά τους. Σύμφωνα με την Πρόταση 7.5 αυτά x n τα ιδιοδιανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα, και επομένως ο πίνακας διαγωνοποιείται (Πρόταση 8.). Σημαντική εφαρμογή της διαγωνοποίησης ενός πίνακα είναι ο υπολογισμός των δυνάμεών του.

7 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές 7 από 6 Πρόταση 8. Αν ένας πίνακας τότε M n για κάθε φυσικό αριθμό k. Αν 0 είναι διαγωνοποιήσιμος με ιδιοτιμές λ, =,,, n, ( λ, λ,, λn ) k k k k Pdag P =, (8.6) λ, τότε k ( k k k ) = Pdag λ, λ,, λ P, για κάθε k. Απόδειξη : Έστω ότι ο πίνακας είναι διαγωνοποιήσιμος, οπότε παραγοντοποιείται στη μορφή () της (8.), λ λ λ = P P = dag,,, n, όπου λ λ αλγεβρική πολλαπλότητα). Τότε μπορούμε να γράψουμε n, από έναν αντιστρέψιμο πίνακα P και έναν,,, λn ιδιοτιμές του, (υπολογίζεται η k ( ) ( λ, λ,, λn ) k k k k k = P P = P P P P P P = P P = Pdag P. k φορές Στην περίπτωση που ο πίνακας έχει λ 0 ιδιοτιμές, τότε είναι αντιστρέψιμος (Πόρισμα 7.), και συνεπώς ορίζεται ο, ο οποίος έχει ιδιοτιμές λ και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματά τους x είναι ίδια με αυτά που αντιστοιχούν στις ιδιοτιμές λ του, (Πόρισμα 7.). Άρα υπάρχει P αντιστρέψιμος, ίδιος με αυτόν που διαγωνοποιεί τον, τέτοιος ώστε αποδεικνύεται ότι = P P. Όμοια με προηγούμενα k k = P P, k. Για παράδειγμα, αν ενδιαφερόμαστε να υπολογίσουμε τον πίνακα 0 0 =, χρειάζεται να υπολογίσουμε τις ιδιοτιμές του , όπου Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι χ ( λ) λ λ λ ( λ )( λ )( λ ) Α = + = +, οπότε οι διακεκριμένες ιδιοτιμές του είναι λ =, λ = και λ =. Άρα ο πίνακας διαγωνοποιείται στο (Πρόταση 8.) και είναι αντιστρέψιμος (Πόρισμα 7.). Από την (8.6) παίρνουμε

8 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές 8 από 6 οπότε κάνοντας αντικατάσταση έχουμε: για 008 για 8 k = : k = P0 0P k 0 0 k 0 0 = = = P 0 0 P PIP I k = : 8 8 P 0 0 P = = PIP = I,., Επομένως, ο ζητούμενος πίνακας είναι I =. Όπως αναφέρεται στην πρόταση που ακολουθεί, η μορφή του ελαχίστου πολυωνύμου δίνει ένα άλλο χρήσιμο κριτήριο για τη διαγωνοποίηση ή όχι ενός πίνακα. Πρόταση 8.4 Ένας πίνακας M n πολυώνυμο του πίνακα, m είναι διαγωνοποιήσιμος αν και μόνο αν το ελάχιστο λ, είναι γινόμενο διακεκριμένων πρωτοβαθμίων παραγόντων, δηλαδή = ( )( ) ( ) m λ λ λ λ λ λ λ (8.7) k όπου οι ιδιοτιμές λ, λ,, λk είναι ανά δύο διαφορετικές. Αν το ελάχιστο πολυώνυμο του πίνακα είναι της μορφής (8.7), σύμφωνα με τον Ορισμό 7.4 (b) του ελαχίστου πολυωνύμου έχουμε ( λ )( λ ) ( λ ) m = I I I =. Επομένως, για να ελέγξουμε αν ο πίνακας είναι διαγωνοποιήσιμος, αρκεί να εξετάσουμε αν επαληθεύεται η ισότητα ( λi)( λ I) ( λ I) k όπου λ, λ,, λk είναι οι διακεκριμένες ιδιοτιμές του. k =, (8.8)

9 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές 9 από 6 Για παράδειγμα, ο πίνακας 5 = δε διαγωνοποιείται. Πράγματι, επειδή το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι χ λ = λ λ+, οι διακεκριμένες (διαφορετικές) ιδιοτιμές είναι λ =, λ = (η δεύτερη ιδιοτιμή έχει αλγεβρική πολλαπλότητα ) και η ισότητα στην (8.8) δεν επαληθεύεται, διότι = 5 = ( I)( I) Παρατήρηση 8. ) Η διαγωνοποίηση ενός πίνακα M n ( ) που έχει διακεκριμένες ιδιοτιμές επιτυγχάνεται πάντοτε (Πρόταση 8.). Αν χρειάζεται να γνωρίζουμε τη διαγωνοποίηση είναι απαραίτητος ο αντιστρέψιμος πίνακας P, τον οποίο υπολογίζουμε σύμφωνα με τον Αλγόριθμο 8.. ) Η διαγωνοποίηση ενός πίνακα M n του οποίου οι ιδιοτιμές παρουσιάζουν αλγεβρική πολλαπλότητα διαφορετική της μονάδας, δεν είναι πάντοτε εφικτή. Η εφαρμογή της Πρότασης 8.4 ή ισοδύναμα η επαλήθευση της σχέσης (8.8) αποτελεί το συντομότερο κριτήριο για να αποφανθούμε για τη διαγωνοποίηση ή όχι του πίνακα M n. Αν η διαγωνοποίηση είναι εφικτή ο αντιστρέψιμος πίνακας P, υπολογίζεται σύμφωνα με τον Αλγόριθμο 8.. Κλείνοντας αυτήν την ενότητα, χρειάζεται να αναφερθούμε και στην έννοια της διαγωνοποίησης των γραμμικών απεικονίσεων, καθώς επίσης και στα ανάλογα κριτήρια που χρησιμοποιούνται για αυτήν. Παρατήρηση 8. Τα ιδιοδιανύσματα του M n ( ) είναι στοιχεία του n x δηλαδή είναι της μορφής. Για συντομία θα γράφουμε x n M n. Όπως είπαμε και στο Κεφάλαιο 4, ο χώρος τη μόνη διαφορά ότι γράφοντας M, n στη θέση του n είναι ουσιαστικά ο n συμβολίζουμε τα στοιχεία σε στήλες n με x, ενώ x n

10 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές 0 από 6 γράφοντας n χρησιμοποιούμε γραμμές ( x x ),, n. Ακριβέστερα η απεικόνιση f : x,, n είναι ένας ισομορφισμός διανυσματικών χώρων. x n n n, f = ( x x ) Μέσω αυτού πολλές φορές ταυτίζουμε το υιοθετούμε στα επόμενα. n με το n, συμβολισμό τον οποίο Ορισμός 8. Έστω V ένας απεικόνιση f : V διανυσματικός χώρος πεπερασμένης διάστασης. Μια γραμμική V ονομάζεται διαγωνοποιήσιμη, αν υπάρχει μια βάση του V ως προς την οποία ο αντίστοιχος πίνακας αναπαράστασης της απεικόνισης είναι διαγωνοποιήσιμος. Σύμφωνα με τον Ορισμό 8., το πρόβλημα της διαγωνοποίησης μιας γραμμικής απεικόνισης f είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα διαγωνοποίησης του πίνακα αναπαράστασης της f, το οποίο μελετήσαμε αναλυτικά. Ωστόσο, αξίζει να διατυπώσουμε τις ακόλουθες προτάσεις που αναφέρονται σε γραμμικές απεικονίσεις και είναι ανάλογες των Προτάσεων 8. και 8.4. Πόρισμα 8. Έστω V ένας διανυσματικός χώρος διάστασης n και f : V V μια γραμμική απεικόνιση. Αν η f έχει n διακεκριμένες ιδιοτιμές, τότε η f είναι διαγωνοποιήσιμη. Για παράδειγμα, αν θεωρήσουμε την γραμμική απεικόνιση (, ) (,5 ) f x y = x+ y x y, χρησιμοποιώντας την κανονική βάση του f : με, υπολογίζουμε τον πίνακα αναπαράστασης =, (Ενότητα 5..). Όπως 5

11 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 αναφέρθηκε και στο Παράδειγμα 8. (), ο πίνακας είναι διαγωνοποιήσιμος, οπότε η f είναι διαγωνοποιήσιμη, (Ορισμός 8.). Μία άλλη απόδειξη βασίζεται στο Πόρισμα 8.. Οι ιδιοτιμές της f είναι διακεκριμένες, λ = 4, λ =, επειδή είναι ίδιες με αυτές του αντίστοιχου πίνακα αναπαράστασης της f (Παρατήρηση 7.). Πόρισμα 8. Έστω V ένας διανυσματικός χώρος διάστασης n και f : V V μια γραμμική απεικόνιση. Η f είναι διαγωνοποιήσιμη αν και μόνο αν το ελάχιστο πολυώνυμο της f είναι γινόμενο διακεκριμένων πρωτοβαθμίων παραγόντων. Παράδειγμα 8. ) Η γραμμική απεικόνιση f : με (,, ) (, 4, ) f x y z = x+ y+ z x+ y+ z x+ y+ z, είναι διαγωνοποιήσιμη. Ο πίνακας αναπαράστασης της f, ως προς την κανονική βάση του είναι = 4. Βρίσκουμε το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του, το οποίο είναι χ ( λ) λ 0λ 8λ 4 ( λ ) ( λ 6) = + =. Επομένως, οι ιδιοτιμές είναι λ = (διπλή ρίζα) και λ = 6. Η ισότητα της (8.8) επαληθεύεται, διότι κάνοντας πράξεις έχουμε ( I)( 6I) ( 6) =. Επομένως m λ = λ λ είναι το ελάχιστο πολυώνυμο του, το οποίο ταυτίζεται με αυτό της απεικόνισης f και αποτελείται από πρωτοβάθμιους παράγοντες. Άρα η f διαγωνοποιείται (Πόρισμα 8.). ) Η γραμμική απεικόνιση f : με (,, ) (, 4 4, ) f x y z = y x+ y x+ y+ z, Πράγματι, το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα Α είναι 8 ( 4) χ λ = λ + λ = λ+ λ, συνεπώς οι ιδιοτιμές του Α είναι διακεκριμένες, οπότε εφαρμόζεται η Πρόταση 8..

12 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 δεν είναι διαγωνοποιήσιμη. Ο πίνακας αναπαράστασης της f, ως προς την κανονική βάση του είναι 0 0 B = Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι B 6 8 χ λ = λ λ + λ = λ. Βρίσκουμε ότι το ελάχιστο πολυώνυμο του πίνακα Β είναι m λ = λ 4λ+ 4= λ (Παράδειγμα 7.7), το οποίο ταυτίζεται B με το ελάχιστο πολυώνυμο της γραμμικής απεικόνισης f. Επειδή το m B λ δεν αποτελείται από πρωτοβάθμιους παράγοντες, η f δε διαγωνοποιείται (Πόρισμα 8.). 8. Τριγωνοποίηση πίνακα Ορισμός 8. Ένας πίνακας M n είναι τριγωνοποιήσιμος στο αν είναι όμοιος με έναν άνω τριγωνικό πίνακα, δηλαδή αν υπάρχει αντιστρέψιμος πίνακας ώστε ο πίνακας να είναι άνω τριγωνικός. S S T S M n τέτοιος = (8.9) Για παράδειγμα, ο πίνακας = είναι τριγωνοποιήσιμος στο, επειδή 8 5 για τον αντιστρέψιμο πίνακα S = ισχύει S S = = Ο πίνακας E = του Παραδείγματος 8. δεν είναι τριγωνοποιήσιμος στο, 0 ενώ είναι τριγωνοποιήσιμος στο, διότι κάθε πίνακας M n ( ) είναι τριγωνοποιήσιμος στο, σύμφωνα με το Πόρισμα 8..

13 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Στον Ορισμό 8., αν ο πίνακας M n S M n είναι ορθομοναδιαίος, λέμε ότι ο είναι ορθομοναδιαία τριγωνοποιήσιμος και τότε ισχύει * S S = T ή ισοδύναμα * = STS (8.0) Ένας πίνακας είναι πάντοτε τριγωνοποιήσιμος όπως αυτό διατυπώνεται στo θεώρημα που ακολουθεί, το οποίο στη βιβλιογραφία είναι γνωστό ως θεώρημα Schur. Θεώρημα 8. Κάθε πίνακας M n είναι ορθομοναδιαία τριγωνοποιήσιμος σε έναν άνω τριγωνικό πίνακα T M n ( ), ο οποίος έχει διαγώνια στοιχεία τις ιδιοτιμές του. Απόδειξη : Η πρόταση αποδεικνύεται επαγωγικά ως προς τον τύπο n του πίνακα. Για n = ισχύει τετριμμένα. Έστω ότι ισχύει για οποιονδήποτε πίνακα τύπου ( n ) ( n ). Θεωρούμε ότι λ, x είναι τα ιδιοποσά του και μάλιστα το ιδιοδιάνυσμα το επιλέγουμε να είναι μοναδιαίο, x =. Επιλέγουμε διανύσματα και μαζί με το x χρησιμοποιώντας τη μέθοδο Gram-Schmd x, x,, x n κατασκευάζουμε μια ορθοκανονική βάση { x ˆ ˆ ˆ, x, x,, x n } του n και σχηματίζουμε τον πίνακα U = ( x ˆ ˆ x x n ). Ο πίνακας U είναι ορθομοναδιαίος. Αν διαμερίσουμε τον U έτσι ώστε U = ( x U ), με U M n ( n ) ( ), έχουμε : x x xx xu UU = ( x U ) ( x U ) = = U U Ux UU Είναι φανερό ότι, ο πίνακας U U = είναι τύπου ( n ) ( n ) (8.), και άρα από την υπόθεση της επαγωγής υπάρχει άνω τριγωνικός πίνακας T και ορθομοναδιαίος πίνακας U, έτσι ώστε U U = U U U U = T U U = U TU. Ένας πίνακας U M n ( ) ονομάζεται ορθομοναδιαίος όταν ισχύει U = U. Είναι φανερό ότι ισχύει U * = U (Πρόταση 6.8). * * UU = U U = I, όπου

14 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές 4 από 6 Από τα ιδιοποσά του ισχύει xx = λ xx= λ x = λ. Επιπλέον, από την καθετότητα των διανυσμάτων της ορθοκανονικής βάσης ισχύει x U U x = λu x = λ ( x U ) = 0. = 0, οπότε Τις παραπάνω ισότητες τις αντικαθιστούμε στον τελευταίο πίνακα της (8.) και έχουμε U U λ x U λ x U = =. (8.) 0 0 UTU Θέτουμε τον n n ορθομοναδιαίο πίνακα U 4 0 = 0 U και με αυτόν πολλαπλασιάζουμε την (8.), οπότε προκύπτει U U U U λ xu 0 λ xu U = T = =, (8.) 0 U 0 U U TU 0 0 T όπου ο T είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Αν θέσουμε U = UU, (8.4) η (8.) γράφεται U U = T, δηλαδή, ο πίνακας είναι ορθομοναδιαία όμοιος με άνω τριγωνικό πίνακα. Επιπλέον, οι πίνακες, T είναι όμοιοι, συνεπώς, τα χαρακτηριστικά πολυώνυμα 4 των πινάκων, T ταυτίζονται (Πρόταση 7.4), επομένως όπου λ, λ,, λn = = ( )( ) ( ) χ λ χ λ λ λ λ λ λ λ, T n διαγώνια στοιχεία του T (Εφαρμογή 7. ()) και λ σ. Παρατήρηση 8. ) Το Θεώρημα 8., θεώρημα Schur, ισχύει και για κάτω τριγωνικό πίνακα. ) Όπως διαπιστώνουμε από την (8.), ο πίνακας T εξαρτάται από την επιλογή του ορθομοναδιαίου πίνακα U, ο οποίος επιλέχθηκε αυθαίρετα, αρκεί τα διανύσματα (που είναι οι στήλες του U ) μαζί με το μοναδιαίο ιδιοδιάνυσμα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ, να αποτελούν ορθοκανονική βάση. Συνεπώς, ο πίνακας T δεν είναι μοναδικός. Επομένως, η τριγωνοποίηση ενός πίνακα δεν έχει μοναδική μορφή.

15 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές 5 από 6 ) Στην απόδειξη του θεωρήματος Schur παρουσιάζεται η μέθοδος για την τριγωνοποίηση ενός πίνακα, την οποία ακολουθούμε στο επόμενο παράδειγμα χρησιμοποιώντας ακριβώς τον ίδιο συμβολισμό. Παράδειγμα 8. Για τον πίνακα πίνακας U ώστε ο πίνακας U U 0 0 = 4 4 0, να βρεθεί ορθομοναδιαίος να είναι άνω τριγωνικός. Ο πίνακας είναι ο πίνακας B του Παραδείγματος 8. (), όπου είχαμε αποδείξει ότι, ο πίνακας δεν ήταν διαγωνοποιήσιμος, με χαρακτηριστικό πολυώνυμο το χ λ = λ και με μοναδική ιδιοτιμή λ = (τριπλή ρίζα). Από ( )x I =0 προκύπτει ομογενές σύστημα, του οποίου η λύση είναι ο ιδιόχωρος { } ( 0) ( 0 0 ) V = x + x : x, x. Ένα μοναδιαίο ιδιοδιάνυσμα της ιδιοτιμής λ = είναι το x = (0 0 ). Θεωρώ τα διανύσματα x = ( 0 0), x = ( 0). Τα x x x,, αποτελούν βάση του de( x x x ) = 0 (Πόρισμα 4.4)., διότι Με τη μέθοδο Gram-Schmd ορθοκανονικοποιούμε τα στοιχεία της βάσης. Επειδή τα x, x είναι ορθομοναδιαία, ασχολούμαστε μόνο με το x, για το οποίο παίρνουμε xˆ = ( 0) ( 0 0) = (0 0). Συνεπώς, ο ορθομοναδιαίος πίνακας U είναι U = ( x ˆ x x). Η ισότητα στην (8.) γράφεται : U U xx xu = 0 0 = Ux UU (8.5) Ο πίνακας 0 = έχει χαρακτηριστικό πολυώνυμο χ λ = λ λ+ = λ, οπότε έχει ιδιοτιμή λ = (διπλή ρίζα). Αν ακολουθήσουμε την ίδια διαδικασία όπως προηγούμενα για τον πίνακα έχουμε ότι, η λύση του συστήματος που προκύπτει από ( )x I =0 είναι ο ιδιόχωρος { } V = x : x και ένα μοναδιαίο ιδιοδιάνυσμα είναι το

16 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές 6 από 6 ( y = ). Μια ορθοκανονική βάση του με πρώτο διάνυσμα το y είναι 5,, όπου y ( ) { y y } =, (ελέγξτε τη γραμμική ανεξαρτησία και την 5 καθετότητα των μοναδιαίων διανυσμάτων). 0 0 Θέτουμε U =, οπότε U 4 = Ο τριγωνικός πίνακας T προκύπτει από την (8.) αντικαθιστώντας σε αυτήν την ισότητα της (8.5), και τον πίνακα U 4, δηλαδή, U 4UUU 4 = = 0 5 = T. 0 0 Ο ζητούμενος ορθομοναδιαίος (εδώ είναι ορθογώνιος) πίνακας U υπολογίζεται από την (8.4) και είναι U = UU 4 = = 0 Όπως αναφέραμε στην Παρατήρηση 8. () και διαπιστώνουμε από την απόδειξη του Θεωρήματος 8. και από το Παράδειγμα 8., η επιλογή των διανυσμάτων της βάσης επηρεάζει τον ορθομοναδιαίο πίνακα U, καθώς και τον τριγωνικό πίνακα T, στον οποίο παραμένουν αναλλοίωτα μόνο τα διαγώνια στοιχεία, που είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα. Γι αυτό αν δεν αναζητούμε τη μορφή του τριγωνικού πίνακα, αλλά απλά χρειάζεται να αποφανθούμε για την τριγωνοποίηση ή όχι, έχουμε ένα εύχρηστο

17 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές 7 από 6 κριτήριο που στηρίζεται μόνο στις ιδιοτιμές του πίνακα, δηλαδή στο χαρακτηριστικό πολυώνυμο του. Από το θεώρημα Schur και το θεμελιώδες θεώρημα άλγεβρας είναι φανερό ότι, ένας πίνακας M n είναι τριγωνήσιμος στο, επειδή το χαρακτηριστικό του πολυώνυμο έχει ακριβώς n ρίζες στο, υπολογιζομένης της πολλαπλότητάς τους. Πόρισμα 8. ) Ένας πίνακας M n τριγωνοποιείται αν και μόνο αν το χαρακτηριστικό του πολυώνυμο αναλύεται σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων στο. ) Κάθε πίνακας M n τριγωνοποιείται. Στο Παράδειγμα 8., το χ ( λ) = ( λ ) του πίνακα M είναι γινόμενο πρωτοβαθμίων παραγόντων στο, οπότε υπάρχει μία τριγωνοποίηση του. Αξιοποιώντας το θεώρημα Schur μπορούμε να αποδείξουμε μία σημαντική ιδιότητα που σχετίζεται με τις ιδιοτιμές και το ίχνος ενός πίνακα. Πρόταση 8.5 Σε κάθε M n ισχύει r = λ + λ + + λ (8.6) n όπου λ, λ,, λn είναι οι ιδιοτιμές του πίνακα. Απόδειξη : Επειδή κάθε πίνακας είναι ορθομοναδιαία όμοιος με τριγωνικό πίνακα που έχει ως διαγώνια στοιχεία τις ιδιοτιμές του, γνωρίζουμε ότι ισχύει η ισότητα στην (8.0), * = STS. Επιπλέον, από την ιδιότητα, r ( B) r ( B).5 ()), και τον ορισμό του ίχνους, προκύπτει n = =, (Εφαρμογή r = r STS = r TS S = rt = λ. r = a + a + + a, όπου = ( a ) M ( ),, j =,,, n. Βλέπε Ορισμό., nn j n

18 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές 8 από 6 Για παράδειγμα, έστω ένας πίνακας M 4 ( ) με λ = 4+ 5, de = 8 και r = 5, όπου το χ ( λ ) έχει πραγματικούς συντελεστές. Για να βρεθούν όλες οι ιδιοτιμές του, χρειάζεται να θεωρήσουμε ότι, λ = λ = 4 5 είναι ιδιοτιμή του Α, διότι το χ λ έχει πραγματικούς συντελεστές. Έστω λ, λ4οι άλλες ιδιοτιμές του. Τότε, σύμφωνα με την Πρόταση 7. και την Πρόταση 8.5 έχουμε τις επόμενες ισότητες ( 4 + 5)( 4 5) λλ 4 = de = 8, λ λ4 οι οποίες καταλήγουν στο σύστημα λλ 4 = και λ + λ4 =. Η λύση του συστήματος είναι λ =, λ 4 = ή λ =, λ 4 = = r = 5, 8. Διαγωνοποίηση πινάκων ειδικής μορφής Η ειδική μορφή διαγωνοποίησης των Ερμιτιανών και των πραγματικών συμμετρικών πινάκων είναι ιδιαίτερα σημαντική στις εφαρμογές. Αφενός, όπως αποδείξαμε στην Πρόταση 7.6, ένας Ερμιτιανός ή ένας πραγματικός συμμετρικός πίνακας έχει μόνο πραγματικές ιδιοτιμές, οπότε όταν αυτός ο πίνακας διαγωνοποιείται ο διαγώνιος θα είναι πίνακας με πραγματικά στοιχεία, αφετέρου αποδείξαμε ότι σε διακεκριμένες ιδιοτιμές τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα είναι κάθετα, πληροφορία η οποία είναι χρήσιμη για την κατασκευή του αντιστρέψιμου πίνακα P. Λέμε ότι ένας πίνακας M n είναι ορθομοναδιαία διαγωνοποιήσιμος αν υπάρχει ορθομοναδιαίος πίνακας που τον διαγωνοποιεί. Δηλαδή αν υπάρχει, ορθομοναδιαίος πίνακας U, ο οποίος έχει την ιδιότητα U η (8.) : = = ή ισοδύναμα * U U U U =, έτσι ώστε να ισχύει * U * = = (8.7) U U U U Όταν εξετάζουμε πραγματικούς συμμετρικούς πίνακες, τότε λέμε ότι ο πίνακας M n ( ) είναι ορθογώνια διαγωνοποιήσιμος και συμβολίζουμε τον πραγματικό αντιστρέψιμο πίνακα της διαγωνοποίησης P M n. Ο πίνακας P είναι ορθογώνιος, οπότε έχει την ιδιότητα γράφεται P = P, και η ανάλογη σχέση της (8.5) Ένας πίνακας η ιδιότητα U U M n = U (Πρόταση 6.8). λέγεται ορθογώνιος, αν ισχύει = =, από όπου προκύπτει UU U U I

19 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές 9 από 6 P P P P = = ή ισοδύναμα = =. (8.8) P P P P Για παράδειγμα, ο συμμετρικός πίνακας 6 = 6 έχει χαρακτηριστικό 5 πολυώνυμο χ ( λ) λ 7λ 90λ 44 ( λ )( λ 6)( λ 8) είναι λ =, λ = 6 και λ = 8 = + =, οπότε οι ιδιοτιμές. Για κάθε μία από τις ιδιοτιμές προσδιορίζουμε τον αντίστοιχο ιδιόχωρο, λύνοντας το σύστημα που προκύπτει από ( λ I)x =0, =,,. Για την ιδιοτιμή λ =, έχουμε x 0 ( ) I x = 0 x = 0, x 0 { } από όπου προκύπτει ο ιδιόχωρος ιδιοδιάνυσμα το x = ( ). V = x : x, επιλέγουμε ως Για την ιδιοτιμή λ = 6, από ( 6)x I =0 προκύπτει ο ιδιόχωρος { } V 6 = x : x, από όπου επιλέγουμε ως ιδιοδιάνυσμα το x = ( ). Για την ιδιοτιμή λ = 8, από ( 8)x I =0 προκύπτει ο ιδιόχωρος { } V 8 = x 0 : x και επιλέγουμε ως αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα το x = ( 0). Επειδή οι ιδιοτιμές είναι διακεκριμένες, τα ιδιοδιανύσματα είναι κάθετα μεταξύ τους (Πρόταση 7.6), οπότε αν διαιρέσουμε το καθένα με το μέτρο του και τα τοποθετήσουμε ως στήλες στον πίνακα P, τότε ο πίνακας είναι ορθογώνιος. Έτσι δημιουργούμε τα διανύσματα-στήλες p x x = =, p = = ( ), p = = ( 0) και κατασκευάζουμε τον πίνακα x x 6 x x

20 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές 0 από 6 ο οποίος είναι ορθογώνιος, οπότε 6 P = ( p p p) =, P P =. Σύμφωνα με την Πρόταση 8. ο πίνακας διαγωνοποιείται και εύκολα επαληθεύουμε κάνοντας από πράξεις ότι ισχύει η (8.8), δηλαδή P P (, 6, 8) = = dag. Συνεπώς, επιτυγχάνεται μία διαγωνοποίηση του συμμετρικού πίνακα με χρήση ενός πίνακα P, που δεν είναι μόνο αντιστρέψιμος, όπως απαιτεί η διαγωνοποίηση ενός τυχαίου πίνακα, αλλά είναι και ορθογώνιος. Το ερώτημα που μας απασχολεί εδώ είναι αν αυτή η παρατήρηση γενικεύεται, αν δηλαδή οι Ερμιτιανοί ή πραγματικοί συμμετρικοί πίνακες διαγωνοποιούνται πάντοτε, και μάλιστα με χρήση ενός πίνακα ειδικής μορφής (ορθομοναδιαίου ή ορθογωνίου). Η απάντηση βρίσκεται στο Φασματικό θεώρημα που ακολουθεί. Θεώρημα 8. Κάθε πίνακας M n είναι Ερμιτιανός ( πραγματικός συμμετρικός) πίνακας αν και μόνο αν είναι ορθομοναδιαία (ορθογώνια) όμοιος με πραγματικό διαγώνιο πίνακα. Ισοδύναμα, κάθε πίνακας M n είναι Ερμιτιανός (πραγματικός συμμετρικός) πίνακας αν και μόνο αν υπάρχει ορθομοναδιαίος (ορθογώνιος) πίνακας U ( P ), τέτοιος ώστε ο πίνακας * U U ( P P ) να είναι πραγματικός διαγώνιος. Απόδειξη : Έστω ότι ο πίνακας είναι Ερμιτιανός, σύμφωνα με το Θεώρημα 8. (Schur) υπάρχει ορθομοναδιαίος πίνακας U, τέτοιος ώστε να ισχύει η (8.7), δηλαδή, = UTU, (8.9) όπου T άνω τριγωνικός πίνακας με τα στοιχεία της διαγωνίου του Τ ίσα με τις ιδιοτιμές του, οι οποίες είναι πραγματικοί αριθμοί (Πρόταση 7.6). Επειδή ισχύει =, χρησιμοποιώντας την (8.9) καταλήγουμε στη σχέση Ο H M n ( ) ονομάζεται Ερμιτιανός, όταν ισχύει H = H, (Ορισμός.). Ο ( ) ονομάζεται πραγματικός συμμετρικός, όταν ισχύει H H M n = H, (Ορισμός.).

21 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 * UT U = UTU = = = UTU T = T. Η τελευταία ισότητα ισχύει μόνο αν ο τριγωνικός πίνακας T είναι πραγματικός διαγώνιος πίνακας. Αντίστροφα, ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ορθομοναδιαίος πίνακας U, τέτοιος ώστε = Udag a, a,, an U, όπου a, a,, an. Τότε ( ( n) ) ( n) = U dag a, a,, a U = U dag a, a,, a U =, επομένως, ο πίνακας είναι Ερμιτιανός. Στην περίπτωση των πραγματικών συμμετρικών πινάκων η απόδειξη είναι ίδια, μόνο που αντικαθίσταται η αναστροφοσυζυγία με αναστροφή. Παρατήρηση 8.4 ) Σύμφωνα με το θεώρημα 8., στην περίπτωση ενός Ερμιτιανού (ή πραγματικού συμμετρικού) πίνακα, μπορούμε να επιλέξουμε τον U (αντίστοιχα τον P ) να είναι ορθομοναδιαίος (αντίστοιχα ορθογώνιος) πίνακας. Στην πράξη συνήθως κατασκευάζουμε έναν τέτοιο πίνακα U (ή P ) με τη μέθοδο Gram- Schmd. Επειδή τα ιδιοδιανύσματα, που αντιστοιχούν σε διακεκριμένες ιδιοτιμές, είναι ανά δύο κάθετα (Πρόταση 7.6), εφαρμόζουμε τη μέθοδο Gram-Schmd μόνο ανάμεσα στα ιδιοδανύσματα που αντιστοιχούν στην ίδια ιδιοτιμή. ) Το Φασματικό θεώρημα αποδεικνύεται γενικότερα για έναν κανονικό πίνακα M n, (Εφαρμογή 8.0). Παράδειγμα 8.4 Ο συμμετρικός πίνακας 4 Α = 6 4 διαγωνοποιείται σύμφωνα με το Θεώρημα 8.. Ο ορθογώνιος πίνακας P δημιουργείται από τα ιδιοδιανύσματα, τα οποία πρέπει να είναι κάθετα μεταξύ τους και μοναδιαία. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι χ λ = λ λ + λ+ 98 = λ+ λ 7, οπότε οι ιδιοτιμές του πίνακα είναι λ = και λ = 7 (διπλή ρίζα). Α Για την ιδιοτιμή λ =, από ( + )x I =0 προκύπτει ομογενές σύστημα, η λύση { } V = x : x, του οποίου είναι τα διανύσματα του ιδιοχώρου

22 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 από όπου επιλέγουμε ως ιδιοδιάνυσμα, αντίστοιχο της λ =, το διάνυσμα x = ( ). Για την ιδιοτιμή λ = 7, από ( 7 I)x =0 προκύπτει ομογενές σύστημα, η λύση του οποίου είναι τα διανύσματα του ιδιοχώρου { } V 7 = x 0 + x 0 : x, x. Επομένως, για λ = 7, επιλέγουμε τα ιδιοδιανύσματα x = ( 0) και x = (0 ). Τα ιδιοδιανύσματα x, x, x είναι γραμμικά ανεξάρτητα, διότι de( x x x ) = 9 0 (Πόρισμα 4.4), άρα σχηματίζουμε τον πίνακα με στήλες τα παραπάνω ιδιοδιανύσματα και έτσι διαγωνοποιούμε τον πίνακα. Θεωρούμε τον πίνακα από όπου υπολογίζουμε τον 0 P = ( x x x) = 0 P = 5 4 9, οπότε κάνοντας τις πράξεις 4 5 επαληθεύουμε την ισότητα () της (8.). Επομένως, υπάρχει μία διαγωνοποίηση του που είναι P P =. dag,7,7 Όμως, βρίσκοντας το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων, εύκολα επαληθεύουμε ότι τα διανύσματα x, x και x, x είναι κάθετα. Από την Παρατήρηση 8.4 (), υπάρχει και άλλος πίνακας P, ο οποίος είναι ορθογώνιος, με τον οποίο επιτυγχάνεται η διαγωνοποίηση του. Για να κατασκευάσουμε αυτόν τον ορθογώνιο πίνακα P χρειάζεται να εφαρμόσουμε τη μέθοδο Gram-Schmd μόνο στα { x, x }. Γι αυτό υπολογίζουμε x, x 4 ˆ x = x x = 5 5 x, οπότε μετατρέποντας σε μοναδιαία τα διανύσματα x, x ˆ, x καταλήγουμε

23 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 p = x = x p = x = 5 0, x Συνεπώς, ο ορθογώνιος πίνακας P είναι P ( p p p ) p ˆ = x = = ˆ , x 4 5 5, = = 5 5 και η ορθογώνια διαγωνοποίηση του είναι P P = Περισσότερα παραδείγματα με ορθογώνια διαγωνοποίηση παρουσιάζονται στο Κεφάλαιο 9, που αφορά τις τετραγωνικές μορφές. 8.4 Γενικευμένα ιδιοδιανύσματα Σε αρκετά παραδείγματα της πρώτης ενότητας συμπεράναμε ότι υπάρχουν πίνακες M n που δε διαγωνοποιούνται, και όπως διαπιστώνουμε, από την εφαρμογή του Αλγορίθμου 8., ένας πίνακας είναι μη διαγωνοποιήσιμος όταν τα γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματά του δεν είναι αρκετά, ώστε να κατασκευαστεί ένας αντιστρέψιμος πίνακας P, μέσω του οποίου επιτυγχάνεται η διαγώνια μορφή. Βέβαια αυτό μπορεί να συμβεί μόνο σε περιπτώσεις όπου κάποια ιδιοτιμή έχει αλγεβρική πολλαπλότητα μεγαλύτερη της μονάδας (διαφορετικά εφαρμόζεται η Πρόταση 8.) και η γεωμετρική πολλαπλότητα είναι μικρότερη της αλγεβρικής πολλαπλότητάς της. Σε αυτές τις περιπτώσεις χρειάζεται να επεκτείνουμε το σύνολο των γραμμικά ανεξάρτητων ιδιοδιανυσμάτων του αντίστοιχου ιδιοχώρου σε μία βάση, η οποία πρέπει να έχει διάσταση ίση με την αλγεβρική πολλαπλότητα της αντίστοιχης ιδιοτιμής. Η επέκταση κατορθώνεται με τα λεγόμενα «γενικευμένα ιδιοδιανύσματα». Η γεωμετρική πολλαπλότητα μιας ιδιοτιμής λ είναι ο αριθμός που δείχνει τη διάσταση του αντίστοιχου ιδιοχώρου V ( λ ).

24 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές 4 από 6 Σε αυτήν την ενότητα παρουσιάζεται η θεωρία που αφορά την ύπαρξη και την κατασκευή ενός πίνακα, που είναι αντίστοιχος του πίνακα P της διαγωνοποίησης του. Η νέα μορφή παραγοντοποίησης του πίνακα Α δεν είναι διαγώνια, αλλά «πολύ κοντά» στη διαγώνια μορφή, είναι μία μορφή απλή και εξίσου χρήσιμη και ονομάζεται κανονική μορφή Jordan. Όπως έχουμε αναφέρει στην Εφαρμογή 7. () ένας πίνακας της μορφής λ 0 0 λ 0 M k λ λ (8.0) ονομάζεται στοιχειώδης πίνακας Jordan αντίστοιχος της ιδιοτιμής λ και στο εξής θα συμβολίζεται με J k,. Ο πρώτος δείκτης ταυτίζεται με το δείκτη της αντίστοιχης ιδιοτιμής και ο δεύτερος προσδιορίζει τον τύπο (μέγεθος) του στοιχειώδη πίνακα Jordan. Στην ίδια εφαρμογή έχουμε αποδείξει ότι ο ιδιόχωρος της λ, που είναι μοναδικός, έχει γεωμετρική πολλαπλότητα. Επομένως, όταν k, αυτοί οι πίνακες ποτέ δε διαγωνοποιούνται. Χρησιμοποιώντας τους συμβολισμούς της Παρατήρησης 8., διατυπώνουμε τον επόμενο ορισμό. Ορισμός 8.4 Έστω M n ( ). Ένα μη μηδενικό διάνυσμα x n λέγεται γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα του αν για την ιδιοτιμή λ ισχύει για κάποιο k. Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι το x λ. Το σύνολο k ( λ I) x =0, (8.) n k ( ) { : ( ) } n αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή K λ = x λi x = 0, k (8.) ονομάζεται γενικευμένος ιδιόχωρος της ιδιοτιμής λ. Αν k είναι ο μικρότερος φυσικός αριθμός με την ιδιότητα (8.), τότε το σύνολο

25 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές 5 από 6 k { x k λ x x x I, λi,, λi, } (8.) ονομάζεται αλυσίδα από γενικευμένα ιδιοδιανύσματα και ο αριθμός k ονομάζεται μήκος της αλυσίδας. Παρατήρηση 8.5 ) Από την (8.) συμπεραίνουμε ότι, κάθε ιδιοδιάνυσμα του είναι ένα γενικευμένο ιδιοδιάνυσμά του. Το αντίστροφο δεν ισχύει, δηλαδή τα γενικευμένα ιδιοδιανύσματα δεν είναι αναγκαστικά ιδιοδιανύσματα. Για παράδειγμα, ο πίνακας την B =, (Παράδειγμα 8. ()), έχει μοναδική ιδιοτιμή 0 λ = (διπλή ρίζα), κάνοντας πράξεις βρίσκουμε ότι ( B I) =. Συνεπώς κάθε μη μηδενικό διάνυσμα x = ( x x) είναι ένα γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα του B, αφού επαληθεύεται η (8.) τετριμμένα. Από όλα τα x μόνο τα ( x 0) είναι ιδιοδιανύσματα του B, (τα ιδιοδιανύσματα του πίνακα B υπολογίζονται στην Εφαρμογή 8.8 (v)). ) Σε κάθε ιδιοτιμή λ δεν αντιστοιχεί μία μόνο αλυσίδα, επειδή είναι δυνατόν στη λ να αντιστοιχούν περισσότερα από ένα γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα (εξαρτάται από τη γεωμετρική πολλαπλότητα), το καθένα από τα οποία μπορεί να παράγει μία αλυσίδα διαφορετικού μήκους. Το πλήθος των αλυσίδων, που αντιστοιχούν σε μία ιδιοτιμή, είναι ακριβώς ο αριθμός της γεωμετρικής πολλαπλότητάς της. ) Στην (8.), κάθε διάνυσμα της αλυσίδας του, που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ, το συμβολίζουμε με ένα άλλο διάνυσμα x j, j =,,, k, οπότε τα διανύσματα της αλυσίδας είναι x x x x k k x x k ( λ I) ( λ I) ( λi) ( λ I) k k x x x x (8.4) όπου x είναι ένα γενικευμένο διάνυσμα.

26 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές 6 από 6 Αν την πρώτη ισότητα της (8.4) την πολλαπλασιάσουμε αριστερά επί αντικαταστήσουμε με την (8.) προκύπτει λ I και k ( λi) x = ( λi) x =0, (8.5) ενώ αν πολλαπλασιάσουμε όλες τις άλλες ισότητες της (8.4) επί αντικαταστήσουμε με τα αντίστοιχα διανύσματα της (8.4) καταλήγουμε : λ I και ( λi) x = ( λi) x = x k ( λi) x = ( λi) x = x k ( λi) x = ( λi) x = x k k ( λi) x = ( λi) x = x k k ( λi) x = ( λi) x = x k k (8.6) Από την (8.5) καταλαβαίνουμε ότι το x είναι κάποιο από τα ιδιοδιανύσματα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ, επειδή επαληθεύεται ο Ορισμός 7., το οποίο είναι το μοναδικό που συμμετέχει στη συγκεκριμένη αλυσίδα (Παρατήρηση 8.5 ()). Συνεπώς, ξεκινώντας την αναζήτηση των γενικευμένων ιδιοδιανυσμάτων μπορούμε να ξεκινούμε με το x, ως ένα ιδιοδιάνυσμα αντίστοιχο της λ, τα δε υπόλοιπα x, x,, x k είναι διατεταγμένα γενικευμένα ιδιοδιανύσματα, που συμπληρώνουν την αλυσίδα και υπολογίζονται αναδρομικά από το x, σύμφωνα με τις ισότητες στην (8.6). Επειδή οι αλυσίδες κάθε ιδιοτιμής μπορεί να είναι περισσότερες από μία, σε κάθε διάνυσμα της αλυσίδας σημειώνεται ακόμη ένας δείκτης σ, ο οποίος έχει την ίδια αρίθμηση με αυτήν του αντίστοιχου ιδιοδιανύσματος, που χρησιμοποιείται ως αρχικό για την παραγωγή των υπολοίπων γενικευμένων ιδιοδιανυσμάτων. Έτσι στα επόμενα, ένα διάνυσμα συμβολίζεται x σ j, και μία αλυσίδα αποτελείται από τα διατεταγμένα διανύσματα x σ, x σ, x σ,, x σ ( k ). (8.7) Παράδειγμα 8.5 Να βρεθούν τα ιδιοδιανύσματα και τα γενικευμένα ιδιοδιανύσματα του πίνακα 0 =. 4

27 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές 7 από 6 Το χαρακτηριστικό και το ελάχιστο πολυώνυμο είναι m χ λ = λ = λ λ+, και οι ιδιοτιμές του είναι λ = (τριπλή ρίζα), λ =. Για την ιδιοτιμή λ =, υπολογίζεται ο ιδιόχωρος { 4 4 } V = x : x και επιλέγουμε ως ιδιοδιάνυσμα το x = ( ). Στην ιδιοτιμή αυτή αντιστοιχεί μία αλυσίδα γενικευμένων ιδιοδιανυσμάτων μήκους με πρώτο διάνυσμα το x = x, τα υπόλοιπα γενικευμένα ιδιοδιανύσματα x, x υπολογίζονται από την (8.6) και σημειώνονται όπως στην (8.7). Έτσι, λύνοντας την εξίσωση ( I)x = x και εφαρμόζοντας τις γραμμοπράξεις, r r + r, r r + r, r 4 r 4 + r, στον επαυξημένο πίνακα του συστήματος καταλήγουμε : Η λύση του συστήματος που προκύπτει είναι x = ( x4 + x4 x4 x4), x4. Από όλα αυτά τα διανύσματα επιλέγουμε ένα μη μηδενικό διάνυσμα (π.χ. βάζοντας x = ), οπότε το δεύτερο διάνυσμα της αλυσίδας είναι x = (0 0 0). 4 0 Συνεχίζοντας με την εξίσωση ( I)x = x, βάζοντας x 4 = 0 και κάνοντας τις γραμμοπράξεις r r + r, r r + r, r 4 r 4 + r, στον επαυξημένο πίνακα του συστήματος, που δημιουργείται, βρίσκουμε Η λύση του συστήματος είναι x = ( x4 x4 x4 x4), x4. Από τα διανύσματα αυτά επιλέγουμε ένα μη μηδενικό διάνυσμα (για x 4 = 0 ), οπότε το τρίτο διάνυσμα της αλυσίδας είναι x = ( 0 0).

28 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές 8 από 6 Επομένως, ο γενικευμένος ιδιόχωρος K παράγεται από τα διανύσματα x, x, x. Για την άλλη ιδιοτιμή λ = υπολογίζεται ο ιδιόχωρος { } V = x 9 : x και επιλέγουμε ως ιδιοδιάνυσμα το x 4 = ( 9). Παρατήρηση 8.6 ) Επειδή de( x x x x 4) = 8 0, τα διανύσματα x x x x4 4,,, του Παραδείγματος 8.5 αποτελούν μία βάση του 4 (Πόρισμα 4.4), άρα τα διανύσματα x, x, x, x4 είναι γραμμικά ανεξάρτητα (Ορισμός 4.4(a)). ) Έστω ο πίνακας M = ( x x x x4) με στήλες τα παραπάνω διανύσματα. Εξαιτίας του () ο πίνακας M είναι αντιστρέψιμος. Αφού υπολογίσουμε τον πίνακα M έχουμε στη συνέχεια ότι J , M M = = = J J, O πίνακας J ονομάζεται πίνακας κανονικής μορφής Jordan του πίνακα, είναι σύνθετος διαγώνιος πίνακας. Εδώ αποτελείται από τους στοιχειώδεις πίνακες Jordan J,, J, που είναι αντίστοιχοι των ιδιοτιμών λ = και λ =. Τα προηγούμενα σχόλια () και () της Παρατήρησης 8.6 δεν είναι τυχαία. Στο επόμενο θεώρημα διατυπώνεται η κανονική μορφή Jordan ενός πίνακα καθώς και περιγράφεται ο τρόπος κατασκευής μίας βάσης από ιδιοδιανύσματα και γενικευμένα ιδιοδιανύσματα, ώστε μέσω της βάσης αυτής να οδηγηθούμε στην απλή κανονική μορφή του πίνακα..

29 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές 9 από 6 Πρόταση 8.6 Έστω λ, λ,, λs ελάχιστο πολυώνυμο οι διακεκριμένες ιδιοτιμές του πίνακα M n με χαρακτηριστικό και ν ν ν s k k = ( ) ( ) ( ), m ( λ) = ( λ λ ) ( λ λ ) ( λ λ ) χ λ λ λ λ λ λ λ s αντίστοιχα. Τότε υπάρχει ένας σύνθετος διαγώνιος πίνακας, ο πίνακας της κανονικής μορφής Jordan, με υποπίνακες τα σύνθετα (block) Jordan J = dag J, J,, J s M n, (8.8) J J, k, J, k, = M J, k, τ όπου =,,, s. Το κάθε σύνθετο (block) Jordan J είναι σύνθετος πίνακας στοιχειωδών ν ( ) s k s πινάκων Jordan της ίδιας ιδιοτιμής λ, J, όπου j =,,, τ, k, j είναι το μήκος κάθε, k, j αλυσίδας που προκύπτει από τα γενικευμένα ιδιοδιανύσματα της ( λ ) τ = dmv η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής. Ισχύουν λ ιδιοτιμής, και ) ο αριθμός τ δείχνει το πλήθος όλων των J στον J και ταυτίζεται με το πλήθος των, k, j γραμμικά ανεξάρτητων ιδιοδιανυσμάτων της ιδιοτιμής. k k k k τ, k η πολλαπλότητα της ιδιοτιμής λ στο ελάχιστο πολυώνυμο και ),,,, ν η αλγεβρική πολλαπλότητα της λ. ) k, + k, + + k, τ = ν Επιπλέον, υπάρχει μια βάση από n γενικευμένα ιδιοδιανύσματα όλων των αλυσίδων, όπως διατάσσονται στην (8.6) και για όλες τις διακεκριμένες ιδιοτιμές και ένας πίνακας M με στήλες όλα τα διανύσματα της βάσης, έτσι ώστε = MJM ή ισοδύναμα J M M όπου J είναι ο πίνακας της κανονικής μορφής Jordan (8.8). =, (8.9) O J ονομάζεται πίνακας κανονικής μορφής Jordan, είναι σύνθετος διαγώνιος πίνακας με στοιχεία στη διαγώνιο τους υποπίνακες J, που ονομάζονται σύνθετoι (block) Jordan. Ένας σύνθετος (block) Jordan πίνακας είναι σύνθετος διαγώνιος πίνακας, έχει για στοιχεία στη διαγώνιο τους υποπίνακες που ονομάζονται στοιχειώδεις πίνακες Jordan, J, k, j, όπως αυτοί ορίζονται στην (8.0). Οι στοιχειώδεις πίνακες Jordan έχουν σε όλα τα στοιχεία της διαγωνίου την αντίστοιχη ιδιοτιμή του block.

30 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές 0 από 6 Παρατήρηση 8.7 ) Χρειάζεται να υπενθυμίσουμε ότι, οι υποπίνακες J (συχνά ονομάζονται σύνθετα (block) Jordan), για να ξεχωρίζουν από τους στοιχειώδεις πίνακες και από τον πίνακα της κανονικής μορφής), είναι σύνθετοι διαγώνιοι πίνακες στοιχειωδών πινάκων Jordan J, k, j, και όλοι έχουν ως διαγώνια στοιχεία την ίδια ιδιοτιμή λ. Διαφοροποιούνται μόνο στο στοιχείο που είναι πάνω από την κύρια διαγώνιο, το οποίο στον J είναι ο μηδενικός πίνακας, ενώ στο στοιχιώδη πίνακα J υπάρχει άλλοτε το 0 και άλλοτε το. Αυτό εξαρτάται από τον αριθμό k, j,, k, j δηλαδή αν k, > τότε υπάρχει το, αν k = τότε υπάρχει το 0., j j ) Από το () της Πρότασης 8.6 είναι φανερό ότι τα μήκη k, j, j =,,, τ, των αλυσίδων, που αντιστοιχούν σε κάθε ιδιοτιμή λ, είναι διατεταγμένα και μάλιστα είναι τοποθετημένα κατά φθίνουσα σειρά. Αν τοποθετήσουμε τα στοιχεία κάθε αλυσίδας, που υπολογίσθηκαν από την (8.6), σε μία στήλη και κάθε στοιχείο της αλυσίδας το αντιστοιχίσουμε με ένα, τότε θα έχουμε την επόμενη εικόνα: η στήλη η στήλη η στήλη x ( λ I) ( λ I) x x k ( λ I), x x ( λ I) ( λ I) x k ( λ I), x x Το άθροισμα των είναι k,, άρα γνωρίζουμε τον τύπο, του πρώτου στοιχειώδη πίνακα στο σύνθετο (block) Jordan J, ότι είναι k, k., Το άθροισμα των είναι k,, άρα γνωρίζουμε τον τύπο, του δεύτερου στοιχειώδη πίνακα στον J, ότι είναι k, k., Επομένως, μπορούμε να κάνουμε το παραπάνω διάγραμμα των για κάθε αλυσίδα (κάθε ιδιοτιμής λ ) και να προσθέσουμε τα κατά στήλη, υπολογίζοντας έτσι τα k,, k,,, k, τ. Με αυτόν τον τρόπο προσδιορίζεται επακριβώς ο τύπος των στοιχειωδών πινάκων Jordan, J, j =,,, τ, σε κάθε σύνθετο (block) Jordan., k, j

31 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Αν στο πρόβλημα δεν απαιτείται ο υπολογισμός των γενικευμένων ιδιοδιανυσμάτων (άρα δεν είναι απαραίτητος ο πίνακας M ), το παραπάνω διάγραμμα των κατασκευάζεται με τη βοήθεια της επόμενης πρότασης. Πρόταση 8.7 Έστω πίνακας M n ( ), λ ιδιοτιμή αλγεβρικής πολλαπλότητας ν και αριθμός των στην w γραμμή του διαγράμματος, όπου w =,, ν. Τότε w ο = n r( λi) = τ = dm V( λ) (8.0) ( w ) ( w λ λ ) = r I r I, (8.) w όπου r είναι ο βαθμός του πίνακα. Παρατήρηση 8.8 Για την εφαρμογή της Πρότασης 8.7 χρειάζονται όλοι οι βαθμοί των πινάκων ( λ I) w, w =,,, ν, όπου ν η αλγεβρική πολλαπλότητα κάθε ιδιοτιμής λ. Αξίζει να υπενθυμίσουμε ότι, το πλήθος των στην η (υπολογίζεται από την (8.0) και είναι η γεωμετρική πολλαπλότητα της γραμμή, λ ), πληροφορεί για το πλήθος των στοιχειωδών Jordan υποπινάκων, που υπάρχουν στο σύνθετο (block) Jordan της ιδιοτιμής. Στην περίπτωση όπου ν =, προφανώς στο διάγραμμα των για την ιδιοτιμή J ( λ ) =, τύπου. Για παράδειγμα, ο πίνακας λ υπάρχει μόνο ένα σύνθετο (block) Jordan = έχει χαρακτηριστικό πολυώνυμο χ ( λ) ( λ ) ( λ ) = +. Οι ιδιοτιμές είναι λ =, με αλγεβρική πολλαπλότητα ν =, και λ = με αλγεβρική πολλαπλότητα ν =. Για την ιδιοτιμή λ =, επειδή r( + I) = 4, r ( + I) =, r ( I) από την (8.0) η γεωμετρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής είναι + =,

32 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 και από την (8.) υπολογίζονται τ dmv = 5 r + I = = r( + I) r( ( + ) I ) =, r( I ) r( I ) = ( + ) ( + ) =. Άρα, το διάγραμμα των για την ιδιοτιμή λ = είναι. Επομένως, το αντίστοιχο σύνθετο (block) Jordan είναι τύπου, -όση και η αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής-, και έχει μόνο ένα στοιχειώδη πίνακα Jordan, -επειδή το άθροισμα των της στήλης ταυτίζεται με τον τύπο του πίνακα. Δηλαδή ο 0 στοιχειώδης πίνακας είναι J = Για την άλλη ιδιοτιμή έχουμε τ λ =, επειδή r( I) r ( I) = =, από την (8.0) dmv = 5 r( I) = και από την (8.) = r( ) I r ( ) I = 0. Συνεπώς, το διάγραμμα των για την λ = είναι. Επομένως υπάρχουν δύο στοιχειώδεις υποπίνακες Jordan, τύπου J =. Άρα, ο καθένας, της μορφής 0 για την ιδιοτιμή λ =, το σύνθετο (block) Jordan είναι J =. 0 Από την (8.8), ο σύνθετος πίνακας Jordan του πίνακα είναι J = dag ( J, J) = , Στον επόμενο αλγόριθμο είναι συγκεντρωμένα τα βασικότερα σημεία που αναφέρονται στις Προτάσεις 8.6, 8.7, καθώς και τα σχόλια της Παρατήρησης 8.7. Ο Αλγόριθμος 8. εφαρμόζεται έως και το 4 ο βήμα, όταν χρειάζεται να υπολογισθεί η κανονική μορφή Jordan ενός πίνακα M n αλγόριθμος όταν απαιτείται η κατασκευή μίας βάσης Jordan. και εφαρμόζεται ολόκληρος ο

33 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές από 6 Αλγόριθμος 8. M n Βήμα Υπολογισμός χαρακτηριστικού και ελαχίστου πολυωνύμου, καθώς και Κανονική μορφή και βάση Jordan ενός πίνακα ( ) ιδιοτιμές του πίνακα Βήμα Για κάθε ιδιοτιμή λ, υπολογισμός των βαθμών των πινάκων ( λ I m =,,, ν, όπου ν η αλγεβρική πολλαπλότητα της ιδιοτιμής. Βήμα Κατασκευή του διαγράμματος των για κάθε ιδιοτιμή λ, κάνοντας αντικατάσταση στις (8.0) και (8.) με τους βαθμούς των πινάκων που υπολογίσθηκαν στο βήμα. Από αυτό το διάγραμμα σχηματίζουμε το σύνθετο (block) Jordan της ιδιοτιμής (αποτελείται από το πλήθος στοιχειώδεις πίνακες Jordan) και είναι τύπου v ν καταγράφουμε τους τύπους των στοιχειωδών πινάκων Jordan, όπως δείχνουν τα μήκη των αντίστοιχων αλυσίδων k, j, j =,,, τ. Το μήκος κάθε αλυσίδας ισούται με το άθροισμα των του διαγράμματος. Βήμα 4 Η κανονική μορφή Jordan είναι ο σύνθετος πίνακας με διαγώνια στοιχεία τα σύνθετα (block) Jordan όλων των ιδιοτιμών. Βήμα 5 Για κάθε ιδιοτιμή λ, από την εξίσωση ( λ I)x =0, υπολογίζονται τα γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα, x p, p τ dm V( λ ). Βήμα 6 Για κάθε γραμμικά ανεξάρτητο ιδιοδιάνυσμα x p, του βήματος 5, συμπληρώνονται τα γενικευμένα ιδιοδιανύσματα κάθε αλυσίδας από τη σχέση (8.6) και γράφονται με διάταξη x, x, x,, x, k, p p p pk ( ) είναι το μήκος της αλυσίδας, όπως αυτό υπολογίσθηκε στο διάγραμμα των. Βήμα 7 Κατασκευή του πίνακα M με στήλες τα διανύσματα όλων των αλυσίδων κάθε ιδιοτιμής και για όλες τις διακεκριμένες ιδιοτιμές λ, λ,, λs, οπότε ισχύει M ΑM dag J J J =,,, s, όπου J είναι τα σύνθετα (block) Jordan που βρέθηκαν στο βήμα, όλων των διακεκριμένων ιδιοτιμών λ, s., j j ) m

34 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές 4 από 6 Παράδειγμα 8.6 Να βρεθεί η κανονική μορφή Jordan J του πίνακα και ένας αντιστρέψιμος πίνακας M έτσι ώστε J M M =, όπου = Εφαρμόζουμε τον Αλγόριθμο 8. για τον υπολογισμό της κανονικής μορφής. Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του είναι χ ( λ) ( λ ) ( λ ) = + με ιδιοτιμές λ =, αλγεβρικής πολλαπλότητας ν =, και λ =, αλγεβρικής πολλαπλότητας ν =. Για την ιδιοτιμή έχουμε = 5 4= λ =, επειδή r( + I) = 4, r( I), = 4 = + =, από τις (8.0)-(8.), επομένως το διάγραμμα είναι. Από την η γραμμή του διαγράμματος συμπεραίνουμε ότι υπάρχει ένας στοιχειώδης Jordan πίνακας στο σύνθετο (block) Jordan, που είναι -λόγω αλγεβρικής πολλαπλότητας- και το μήκος της αλυσίδας είναι k, =, -όσο και το άθροισμα των της στήλης-, δηλαδή, Για την ιδιοτιμή J =. 0 λ =, επειδή r( I) =, r( I) r( I) (8.0)-(8.) έχουμε = 5 =, = = = =, από τις, επομένως το διάγραμμα είναι. Από την η γραμμή του διαγράμματος συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν δύο στοιχειώδεις πίνακες Jordan στο σύνθετο (block) Jordan, το οποίο είναι, -λόγω αλγεβρικής πολλαπλότητας της ιδιοτιμής-, και το μήκος της αλυσίδας που αντιστοιχεί στον πρώτο στοιχειώδη πίνακα Jordan είναι k, = μήκος της δεύτερης αλυσίδας είναι k, = (block) Jordan είναι, οπότε άρα J, = k, J = και το 0, k,. Το αντίστοιχο σύνθετο

35 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές 5 από 6 J 0 = Από την (8.8), ο πίνακας της κανονικής μορφής Jordan είναι J dag J, J = = Στην λ =, αντιστοιχεί μία αλυσίδα (επειδή η γεωμετρική πολλαπλότητα είναι ένα, υπάρχει ένα γραμμικά ανεξάρτητο ιδιοδιάνυσμα) μήκους k, =. Από την εξίσωση ( + I)x =0 υπολογίζεται ο ιδιόχωρος { } V = x : x και επιλέγουμε ως ιδιοδιάνυσμα το x x = ( ). Από την εξίσωση ( + I)x = x υπολογίζονται ως λύση της τα διανύσματα x = (+ x 0 0 x ), x5. Από αυτά επιλέγουμε ένα μη μηδενικό 5 5 διάνυσμα (για x 5 = 0 ) και το τοποθετούμε ως δεύτερο γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα της αλυσίδας, x = ( 0 0 0). Επομένως, τα στοιχεία της αλυσίδας, που αντιστοιχεί στην λ =, είναι x, x. Στην ιδιοτιμή λ = αντιστοιχούν δύο αλυσίδες, επειδή η γεωμετρική πολλαπλότητα είναι, (υπάρχουν δύο στην η γραμμή του διαγράμματος των ). Άρα υπάρχουν δύο γραμμικά ανεξάρτητα ιδιοδιανύσματα, μήκους k, = και k, = αντίστοιχα. Από την εξίσωση ( I )x { } ( 5 0 ) ( ) V = x + x : x, x. =0 υπολογίζεται ο ιδιόχωρος Επιλέγουμε ως ιδιοδιανύσματα τα x = (5 0 ) και x5 = ( ). Θεωρώντας ότι το πρώτο διάνυσμα της αλυσίδας μήκους είναι το x x, από την (8.6) υπολογίζεται το δεύτερο διάνυσμα της αλυσίδας. Δηλαδή από την εξίσωση ( I)x = x, βρίσκουμε ως λύση της τα διανύσματα 4

36 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές 6 από 6 x 4 = + 5x5 + x5 x5 x4 x5, x4, x5. Από αυτά επιλέγουμε ένα μη μηδενικό διάνυσμα και το τοποθετούμε ως δεύτερο γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα της αλυσίδας (θέτοντας x4 = x5 = 0 ), x = μήκους, που αντιστοιχεί στην λ =, είναι x, x. Τελικά, τα διανύσματα για την ιδιοτιμή λ = είναι x, x, x5. Η βάση Jordan αποτελείται από τα διανύσματα x, x, x, x, x Επομένως, η αλυσίδα Ο αντιστρέψιμος πίνακας M έχει στήλες όλα τα διανύσματα της βάσης, M = ( x x x x x5) και υπολογίζεται ότι ο αντίστροφός του είναι : M / 4 / 4 / 4 0 5/ 4 / / / 0 / = / 4 / 4 / 4 0 / Επομένως, από την ισότητα στην (8.9) η κανονική μορφή Jordan είναι M M J =. Παρατήρηση 8.9 Εδώ χρειάζεται να τονίσουμε ότι η επιλογή του ιδιοδιανύσματος που θα είναι πρώτο στην αλυσίδα, για να υπολογισθούν τα γενικευμένα ιδιοδιανύσματα από την (8.6), εξαρτάται από το αν το σύστημα, που προκύπτει από την πρώτη ισότητα της (8.6), έχει λύση. Στο Παράδειγμα 8.6, αν επιλέξουμε ως πρώτο διάνυσμα της αλυσίδας το ιδιοδιάνυσμα x 5, αναζητώντας στη συνέχεια το γενικευμένο ιδιοδιάνυσμα x (ως δεύτερο διάνυσμα της αλυσίδας), θα διαπιστώσουμε ότι το σύστημα ( I)x = x5 είναι αδύνατο.

37 Κεφάλαιο 8 Κανονικές μορφές 7 από Γενικά παραδείγματα και εφαρμογές Παράδειγμα 8.7 Να εξετάσετε ποιοι από τους επόμενους πίνακες διαγωνοποιούνται και εκτελέσετε τη διαγωνοποίηση, όποτε αυτό είναι δυνατόν: ) = 5 0 ) B = ) Γ = 4 6 v) 5 0 E = Απόδειξη : ) Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του πίνακα είναι λ χ λ λi λ λ λ λ 0 λ = de ( ) = de 5 = ( )( )( 4) από όπου προκύπτουν οι ιδιοτιμές λ =, λ = και λ = 4. Οι ιδιοτιμές είναι διακεκριμένες, συνεπώς ο πίνακας είναι διαγωνοποιήσιμος (Πρόταση 8.). Για κάθε μία από τις ιδιοτιμές προσδιορίζουμε το αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα, από την εξίσωση ( λ I)x =0, =,,, λύνουμε το σύστημα που προκύπτει, και επιλέγουμε από τις μη μηδενικές λύσεις του συστήματος κάποιο ιδιοδιάνυσμα, το οποίο τοποθετούμε ως στήλη στον πίνακα P. Για την ιδιοτιμή λ =, έχουμε, από όπου προκύπτει 0 0 x 0 ( ) I x = 0 5 x = 0, 0 0x 0 x = 0 x = 0 x 0 0 x = x = x = x + + = = x x 5x x x 0 x x { } οπότε ο αντίστοιχος ιδιόχωρος είναι, x, V = x 0 : x, από τον οποίο επιλέγουμε το διάνυσμα x = (0 ), ως αντίστοιχο ιδιοδιάνυσμα της ιδιοτιμής λ =. Για την ιδιοτιμή λ =, έχουμε