ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός z Εφαρµογές
1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΗΜΑΤΑ Γενική εικόνα τι είναι σήµα - Ορισµός. Ταξινόµηση σηµάτων. Βασικές ιδιότητες σηµάτων. Μετατροπές σήµατος ως προς το χρόνο. Στοιχειώδη σήµατα. Εισαγωγή στα σήµατα 1-2
Τι είναι σήµα; Ωςσήµαορίζεταιέναφυσικόµέγεθοςτοοποίοµεταβάλλεταισεσχέσηµετοχρόνοή το χώρο ή µε οποιαδήποτε άλλη ανεξάρτητη µεταβλητή ή µεταβλητές. Παραδείγµατα: Σήµα οµιλίας x 1 Πίεση x P(t) t Σήµα εικόνας y 1 I ( y 1, y 1) Λαµπρότητα Σεισµικά σήµατα y Ιατρικά σήµατα... Ένα σήµα µεταφέρει ενέργεια ισχύ και µηνύµατα - πληροφορία. Εισαγωγή στα σήµατα 1-3
Φάση s( t) = A sin ( ω t + ϕ) s(t) A A T s ) =Asin( ϕ ) ( t Πλάτος Voltsή Ampers Κυκλική συχνότητα rad sec Αρχική φάση Από µαθηµατική άποψη, ένα σήµα εκφράζεται ως συνάρτηση µιας η περισσοτέρων t x (t) ω = 2π f Συχνότητα ανεξαρτήτων µεταβλητών. Με άλλα λόγια ένα σήµα είναι µία συνάρτηση. Η ανεξάρτητη µεταβλητή t είναι συνήθως ο χρόνος, ή οποία µπορεί να έχει και άλλη φυσική σηµασία. Με x(t) συµβολίζεται η τιµή του σήµατος τη χρονική στιγµή t. rad Hz 2π T Περίοδος sec Εισαγωγή στα σήµατα 1-4
Σήµα -Πληροφορία Πληροφορία δεν υπάρχει χωρίς ένα σήµα που την αντιπροσωπεύει. Η πληροφορία κωδικοποιείται σε ένα σήµα τροποποιώντας τη δοµή του σήµατος. Η διαδικασία µε την οποία η πληροφορία κωδικοποιείται σε ένα σήµα λέγεται διαµόρφωση (modulation). s( t) = A sin (2π f t + ϕ) Φέρον σήµα Πλάτος Συχνότητα Αρχική φάση ιαµόρφωση πλάτους (ΑΜ) ιαµόρφωση συχνότητας (FΜ) ιαµόρφωση φάσης (PΜ) Η διαµόρφωση χρησιµοποιεί το σήµα πληροφορίας m(t), για να µεταβάλλει κατά τρόπο συστηµατικό το πλάτος, τη συχνότητα, ή τη φάση ενός ηµιτονοειδούς φέροντος. Εισαγωγή στα σήµατα 1-5
Είσοδος Τι είναι σύστηµα; Ως σύστηµα ορίζουµε την οντότητα εκείνη η οποία επενεργώντας σε ένα σήµα x(t) έχει ως αποτέλεσµα ένα άλλο τροποποιηµένο συνήθως σήµα y(t). Η δράση ενός συστήµατος περιγράφεται σχηµατικά Σύστηµα S Έξοδος x( t) y( t) Σχηµατικήπεριγραφήτουσυστήµατος S. όπου x(t) είναι το σήµα εισόδου ή απλά η είσοδος του συστήµατος και y(t) η έξοδος τουσυστήµατος. Ένα σύστηµα µπορεί να θεωρηθεί ως ένας µετασχηµατισµός µεταξύ σηµάτων y ( t) = S x( t) Εισαγωγή στα σήµατα 1-6
Στοιχεία ενός Συστήµατος Ηλεκτρικής Επικοινωνίας Ο σκοπός του συστήµατος επικοινωνίας είναι να µεταδώσει πληροφορία (transmission of information)απόένασηµείοτουχώρου, πουλέγεταιπηγή, σεέναάλλοσηµείο, πουείναιο προορισµός χρήσης. Κατά κανόνα, το µήνυµα που παράγεται από µια πηγή δεν είναι ηλεκτρικό. Ένας µετατροπέας είναι συνήθως αναγκαίος για να µετατρέψει την έξοδο της πηγής σε ηλεκτρικό σήµα κατάλληλογιαµετάδοση. Για παράδειγµα, για πηγή ακουστικού σήµατος χρησιµοποιείται το µικρόφωνο για µετατροπή σεηλεκτρικόσήµα, ενώγιαπηγήεικόναςχρησιµοποιείταιµια video-camera. Στον προορισµό χρειάζεται µια αντίστοιχη αντίστροφη µετατροπή των ηλεκτρικών σηµάτων σε κατάλληλη µορφή, για παράδειγµα ήχο, εικόνα κ.τ.λ. Το κανάλι επικοινωνίας είναι το φυσικό µέσο που χρησιµεύει για να στέλνεται το σήµα από την πηγή στον προορισµό χρήσης. Μικρόφωνο Ακουστικό Πηγή πληροφορίας και µετατροπέας εισόδου Κανάλι Μετατροπέας εξόδου Σήµα Εξόδου ιάγραµµα λειτουργικών βαθµίδων ενός συστήµατος επικοινωνίας. Εισαγωγή στα σήµατα 1-7
i 1 ( t ) Φυσικό µέσο Ενσύρµατεςγραµµές (χάλκινασύρµατα), καλώδια οπτικών ινών, η ατµόσφαιρα (ελεύθερος χώρος) Παρόλο που σε µερικές περιπτώσεις είναι δυνατή η απ ευθείας ζεύξη του µετατροπέα εισόδου µε το κανάλι, είναι συχνά αναγκαίο να µετατραπεί το ηλεκτρικό σήµα σε µία µορφή κατάλληλη για µετάδοση µέσα από το φυσικό κανάλι ή µέσο διάδοσης. κεραία εκποµπής κεραία λήψης ΠΟΜΠΟΣ Ηλεκτροµαγνητικό Ηλεκτροµαγνητικό κύµα ΕΚΤΗΣ Ακουστικό σήµα Ηλεκτρικό σήµα i(t) Ακουστικό σήµα i 1 ( t ) C M Ηλεκτρικό σήµα + Ποµπός διαµορφωµένου κύµατος (αρχή) έκτης µε κρυσταλλοτρίοδο (αρχή) Εισαγωγή στα σήµατα 1-8
Σήµα µηνύµατος m(t) Λαµβανόµενο σήµα r(t) αλλοιωµένο διαµορφωµένο σήµα Πηγή πληροφορίας και µετατροπέας εισόδου Ποµπός Κανάλι Σύστηµα Επικοινωνίας έκτης Μετατροπέας εισόδου Σήµα Εξόδου Μεταδιδόµενο σήµα s(t) διαµορφωµένο σήµα Ανακατασκευασµένο µήνυµα m(t) Αποδιαµορφωµένο σήµα ιάγραµµα λειτουργικών βαθµίδων ενός συστήµατος επικοινωνίας Παρόλο που σε µερικές περιπτώσεις είναι δυνατή η απ ευθείας ζεύξη του µετατροπέα εισόδου µε το κανάλι, είναι συχνά αναγκαίο να µετατραπεί το ηλεκτρικό σήµα σε µία µορφή κατάλληλη για µετάδοση µέσα από το φυσικό κανάλι ή µέσο διάδοσης. Ο ποµπός µετατρέπει το ηλεκτρικό σήµα σε µια µορφή κατάλληλη για µετάδοση µέσα από το φυσικό κανάλι ή µέσο µετάδοσης, δηλαδή ο ποµπός πραγµατοποιεί τη ζεύξη του σήµατος µηνύµατος µε το κανάλι. Ο δέκτης ανακτά το σήµα µηνύµατος από το λαµβανόµενο σήµα. Εισαγωγή στα σήµατα 1-9
ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΣΗΜΑΤΩΝ α) Σήµατα Συνεχούς Χρόνου ή Αναλογικά Σήµατα. x( t) t Γραφική αναπαράσταση ενός συνεχούς σήµατος. Σε πολλές εφαρµογές είναι αναγκαίο να µεταδίδουµε ή να αποθηκεύουµε, ένα αναλογικό σήµα από τις τιµές των δειγµάτων του παρµένες κατά κατάλληλα χρονικά διαστήµατα. x a (t) ειγµατολήπτης x a (nt ) x(n) Εισαγωγή στα σήµατα 1-1
β) Σήµατα ιακριτού Χρόνου x (n) 1 1 T s 2T s x (t) x a nt a ειγµατολήπτης ) x(n) x a (t) nt Γραφική αναπαράσταση ενός σήµατος διακριτού χρόνου. ( s x (n) x ( ) = 1 x ( 1) = 8,9 x ( 2) = 3,9 x ( 3) = 3,9 x ( 4) = 8,9 x ( 5) = 1 x ( 6) = 8,9 x ( 7) = 3,9 x ( 8) = 3,9 x ( 9) = 8,9 x( n) = [1 8,9 3,9 3,9 8,9 1 8,9 3,9 3,9 8,9] ΤοζητούµενοείναιπόσοµεγάληήµικρήπρέπειναείναιηπερίοδοςδειγµατοληψίαςΤ s ώστενα µη χαθεί η πληροφορία, δηλαδή να είναι δυνατή η ανακατασκευή του αναλογικού σήµατος x a (t) απόταδείγµατα x(n). Εισαγωγή στα σήµατα 1-11
ειγµατοληψία αναλογικών σηµάτων x a (t) Το σήµα x α (t) είναι ένα αργά µεταβαλλόµενο σήµα. T S TS 2T S 3T S 4T S 5T S 6T S 7T S 8T S t x a (t) Τώρα το σήµα x α (t) είναι ένα σήµα µε γρήγορες µεταβολές. T S TS 2T S 3T S 4T S 5T S 6T S 7T S 8T S t Είναι προφανές ότι η περίοδος δειγµατοληψίας για το δεύτερο σήµα πρέπει να είναι σηµαντικά µικρότερη. Εισαγωγή στα σήµατα 1-12
β) Σήµατα ιακριτού Χρόνου x (n) T n Γραφική αναπαράσταση ενός διακριτού σήµατος Η επίδραση του θορύβου του συστήµατος µπορεί να ελαχιστοποιηθεί µε την αναπαράσταση των δειγµάτων µ ένα πεπερασµένο πλήθος από προκαθορισµένες στάθµες και τη µετάδοση των αντιστοίχων τιµών. Η αναπαράσταση των αναλογικών δειγµατοληπτηµένων τιµών µε ένα πεπερασµένο σύνολο σταθµών λέγεται κβάντιση. Εισαγωγή στα σήµατα 1-13
γ) ΨηφιακάΣήµατα x (n) 3 2 1 1 2 3 n Γραφική αναπαράσταση ενός ψηφιακού σήµατος Αφού δειγµατοληπτηθεί και κβαντιστείηέξοδος µιας αναλογικής πηγής πληροφορίας, δηµιουργείταιµιαακολουθίααπόκβαντισµένεςτιµές (στάθµες). Kάθεκβαντισµένηστάθµηκωδικοποιείταισεµιαδυαδικήακολουθίαµήκουςν, όπουν= 2 ν είναι ο αριθµός των σταθµών κβάντισης (επιτρεπόµενες τιµές). Εισαγωγή στα σήµατα 1-14
Παλµοκωδική ιαµόρφωση (PCM) Η παλµοκωδική διαµόρφωση (Pulse Code Modulation (PCM)) είναι το απλούστερο σχήµα κωδικοποιήσης κυµατοµορφής. Ένας παλµοκωδικός διαµορφωτής παλµών αποτελείται από τρία βασικά µέρη: ένα δειγµατολήπτη, έναν κβαντιστή και ένα κωδικοποιητή. ΣΥΣΤΗΜΑ PC M ειγµατολήπτης Κβαντιστής Κωδικοποιητής x (t ) x ( n ) x ( n ) 111 11 t 1 4 5 6 7 8 9 1 2 3 11 12 13 n 1 4 5 6 7 8 9 2 3 111 12 13 n 11 1 111 11111 11 Εισαγωγή στα σήµατα 1-15