Σεραφείµ Καραµπογιάς. Το κανάλι επικοινωνίας είναι το φυσικό µέσο που χρησιµεύει για να στέλνεται το σήµα από την πηγή στον προορισµό χρήσης.

Transcript

1 Στοιχεία ενός Συστήµατος Ηλεκτρικής Επικοινωνίας Ο σκοπός του συστήµατος επικοινωνίας είναι να µεταδώσει πληροφορία (raniion of inforaion)απόένασηµείοτουχώρου, πουλέγεταιπηγή, σεέναάλλοσηµείο, πουείναιο προορισµός χρήσης. Κατά κανόνα, το µήνυµα που παράγεται από µια πηγή δεν είναι ηλεκτρικό. Ένας µετατροπέας είναι συνήθως αναγκαίος για να µετατρέψει την έξοδο της πηγής σε ηλεκτρικό σήµα κατάλληλο για µετάδοση. Για παράδειγµα, για πηγή ακουστικού σήµατος χρησιµοποιείται το µικρόφωνο για µετατροπή σε ηλεκτρικό σήµα, ενώ για πηγή εικόνας χρησιµοποιείται µια video-aera. Στον προορισµό χρειάζεται µια αντίστοιχη αντίστροφη µετατροπή των ηλεκτρικών σηµάτων σε κατάλληλη µορφή, για παράδειγµα ήχο, εικόνα κ.τ.λ. Το κανάλι επικοινωνίας είναι το φυσικό µέσο που χρησιµεύει για να στέλνεται το σήµα από την πηγή στον προορισµό χρήσης. Μικρόφωνο Ακουστικό

2 i ( ) Φυσικό µέσο Ενσύρµατεςγραµµές (χάλκινασύρµατα), καλώδια οπτικών ινών, η ατµόσφαιρα (ελεύθερος χώρος) Παρόλο που σε µερικές περιπτώσεις είναι δυνατή η απ ευθείας ζεύξη του µετατροπέα εισόδου µε το κανάλι, είναι συχνά αναγκαίο να µετατραπεί το ηλεκτρικό σήµα σε µία µορφή κατάλληλη για µετάδοση µέσα από το φυσικό κανάλι ή µέσο διάδοσης. κεραία εκποµπής κεραία λήψης ΠΟΜΠΟΣ Ηλεκτροµαγνητικό Ηλεκτροµαγνητικό κύµα ΕΚΤΗΣ Ακουστικό σήµα Ηλεκτρικό σήµα i() Ακουστικό σήµα i ( ) C Ηλεκτρικό σήµα + Ποµπός διαµορφωµένου κύµατος (αρχή) έκτης µε κρυσταλλοτρίοδο (αρχή) Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-

3 Πηγή πληροφορίας και µετατροπέας εισόδου Ποµπός Κανάλι έκτης Μετατροπέας εισόδου Σήµα Εξόδου Σύστηµα Επικοινωνίας ιάγραµµα λειτουργικών βαθµίδων ενός συστήµατος επικοινωνίας Ο ποµπός µετατρέπει το ηλεκτρικό σήµα σε µια µορφή κατάλληλη για µετάδοση µέσα από το φυσικό κανάλι ή µέσο µετάδοσης, δηλαδή, ο ποµπός πραγµατοποιεί τη ζεύξη του σήµατος µηνύµατος µε το κανάλι. Ο δέκτης ανακτά το σήµα µηνύµατος από το λαµβανόµενο σήµα. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3

4 Ενγένει ο ποµπός επιτυγχάνει την προσαρµοσµένη σύζευξη του σήµατος του µηνύµατος µε το κανάλι µε µια διαδικασία που λέγεται διαµόρφωση (odulaion). Συνήθως, η διαµόρφωση χρησιµοποιεί το σήµα πληροφορίας για να µεταβάλλει κατά τρόπο συστηµατικό το πλάτος, τη συχνότητα, ή τη φάση ενός ηµιτονοειδούς φέροντος. Έτσι, µέσω της διαδικασίας της διαµόρφωσης, το σήµα πληροφορίας µεταφέρεται σε συχνότητα κατάλληλη προκειµένου να προσαρµόζεται στη παραχωρηµένη στο κανάλι ζώνη. Σε κάθε περίπτωση, η διαδικασία της διαµόρφωσης µας δίδει τη δυνατότητα να διευθετήσουµε τη µετάδοση πολλών µηνυµάτων από διαφορετικούς χρήστες µέσα από το ίδιο φυσικό κανάλι Για παράδειγµα στην ραδιοφωνία και στην τηλεοπτική εκποµπή ο ποµπός µετατρέπει το σήµα πληροφορίας που πρόκειται να εκπέµψει στην κατάλληλη περιοχή για να µη παρεµβάλλεται µε κάποιον άλλον. Ανάλογες λειτουργίες εκτελούνται από τα συστήµατα τηλεφωνικών επικοινωνιών όταν ηλεκτρικά σήµατα οµιλίας από πολλούς χρήστες µεταδίδονται ταυτόχρονα, αλλά σε διαφορετική για το καθένα φασµατική περιοχή, µέσα από το ίδιο σύρµα. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-4

5 Τύποι Αναλογικής CW ιαµόρφωσης Σεραφείµ Καραµπογιάς Στη διαµόρφωση συνεχούς φέροντος κύµατος (CW: Coninuou Wave) µία παράµετρος (όπως το πλάτος ή η συχνότητα ή η φάση) ενός φέροντος υψηλής συχνότητας µεταβάλλεται ανάλογα µε το σήµα χαµηλής συχνότητας του µηνύµατος. u [ π f + φ ( )] ( ) A ( ) o A () είναιτοστιγµιαίοπλάτοςτουφέροντος f είναιηφέρουσα συχνότητα καιφ () είναιη στιγµιαία απόκλιση φάσης του φέροντος Αν το A () συνδέεται γραµµικά µε το σήµα µηνύµατος (), τότε έχουµε γραµµική διαµόρφωση. Αν η φ() ή χρονικές παράγωγοί της συνδέονται γραµµικά µε το () τότε έχουµε διαµόρφωση φάσης ή συχνότητας (γωνιακή διαµόρφωση) Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-5

6 x( ) ιαµόρφωση πλάτους Σεραφείµ Καραµπογιάς Στη διαµόρφωση πλάτους το σήµα µηνύµατος () αποτυπώνεται στο πλάτος του φέροντος σήµατος (). Ηµιτονικό σήµα µηνύµατος x A ( ) Περιβάλλουσα Α() ιαµορφωµένο κατά πλάτος σήµα (A) Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-6

7 κεραία εκποµπής Ηλεκτροµαγνητικό κύµα κεραία λήψης x( ) x A ( ) C x ( ) Ποµπός διαµορφωµένου κύµατος (αρχή) + έκτης µε κρυσταλλοτρίοδο (αρχή) Ηµιτονικό σήµα µηνύµατος x A () Περιβάλλουσα Α() ιαµορφωµένο κατά πλάτος σήµα (A) Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-7

8 κεραία x( ) λήψης Ηµιτονικό σήµα µηνύµατος x A ( ) ΠεριβάλλουσαΑ() ιαµορφωµένο κατά πλάτος σήµα (A) Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-8

9 Γωνιακή διαµόρφωση Στην διαµόρφωση φάσης (P), η στιγµιαία απόκλιση φάσης του φέροντος είναι ανάλογη προς το σήµα µηνύµατος φ ( ) k ( ) όπου k p ησταθεράαπόκλισηςφάσης (µεµονάδα rad/vol) p Για τα διαµορφωµένα κατά συχνότητα σήµατα, η απόκλιση συχνότητας του φέροντος είναι ανάλογη προς το σήµα µηνύµατος. f i ( ) f k ( ) f d φ ( ) π k f ( ) ή φ ( ) π k f d ( τ ) dτ όπου k f ησταθεράαπόκλισηςσυχνότητας (µεµονάδα rad/e) Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-9

10 ( ) ( ) Σήµα µηνύµατος ΑΜ F P ιαµορφωµένα σήµατα Κυµατοµορφές ΑΜ, F και P για δύο διαφορετικές κυµατοµορφές µηνυµάτων. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-

11 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων Σεραφείµ Καραµπογιάς Τα σύγχρονα συστήµατα επικοινωνίας σε πολύ µεγάλο ποσοστό διαχειρίζονται σήµατα ψηφιακής µορφής, δηλαδή, σήµατα που δηµιουργούνται από ακολουθίες δυαδικών ψηφίων. Τα περισσότερα σήµατα στην πράξη είναι αναλογικά. Η µετάδοση των σηµάτων αυτών σε ψηφιακή µορφή απαιτεί τα αναλογικά αυτά σήµατα να µετατραπούν σε ψηφιακά. Η διαδικασία της µετατροπής αναλογικών σηµάτων σε ψηφιακά ονοµάζεται αναλογική σε ψηφιακήµετατροπή (A/D analog o digial onverion) ήκωδικοποιήσηςκυµατοµορφής. Υπάρχουν δύο βασικές τεχνικές κωδικοποιήσης κυµατοµορφής, παλµοκωδική διαµόρφωση και η διαµόρφωση δέλτα. Παλµοκωδική ιαµόρφωση (PC) Η Παλµοκωδική διαµόρφωση (Pule Code odulaion (PC)) είναι το απλού-στερο σχήµα κωδικοποιήσης κυµατοµορφής. Ένας παλµοκωδικός διαµορφωτής παλµών αποτελείται από τρία βασικά µέρη: ένα δειγµατολήπτη, έναν κβαντιστή και ένα κωδικοποιητή. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-

12 Παλµοκωδική ιαµόρφωση (PC) Η παλµοκωδική διαµόρφωση (Pule Code odulaion (PC)) είναι το απλούστερο σχήµα κωδικοποιήσης κυµατοµορφής. Ένας παλµοκωδικός διαµορφωτής παλµών αποτελείται από τρία βασικά µέρη: ένα δειγµατολήπτη, έναν κβαντιστή και ένα κωδικοποιητή. ΣΥΣΤΗΜΑ PC ειγµατολήπτης Κβαντιστής Κωδικοποιητής x ( ) x ( n ) x ( n ) n n Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-

13 ειγµατολήπτης Σεραφείµ Καραµπογιάς Σε πολλές εφαρµογές είναι αναγκαίο να µεταδίδουµε ή να αποθηκεύουµε ένα αναλογικό σήµα από τις τιµές των δειγµάτων του παρµένες κατά κατάλληλα χρονικά διαστήµατα. x a () ειγµατολήπτης x( n) x ( n a ) Το θεώρηµα της δειγµατοληψίας αναφέρει ότι ένα αναλογικό σήµα µπορεί να αναπαραχθεί από ένα κατάλληλο σύνολο δειγµάτων του και εποµένως χρειάζεται να µεταδίδουµε µόνο τις τιµές των δειγµάτων µόλις εµφανίζονται και όχι το ίδιο το αναλογικό σήµα. ΤοζητούµενοείναιπόσοµεγάληήµικρήπρέπειναείναιηπερίοδοςδειγµατοληψίαςΤώστενα µη χαθεί η πληροφορία, δηλαδή, να είναι δυνατή η ανακατασκευή του αναλογικού σήµατος x a () απόταδείγµατα x(n). Το θεώρηµα της δειγµατοληψίας προσδιορίζει ότι συχνότητα δειγµατοληψίας f πρέπει να είναι µεγαλύτερη ή ίση µε το εύρος-ζώνης του φάσµατος του αναλογικού σήµατος W. f W Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3

14 Θεωρία ειγµατοληψίας Η αρχή της δειγµατοληψίας µπορεί να παρουσιασθεί µε τη χρήση ενός δειγµατολήπτη µε διακόπτη. Ο διακόπτης µετάγεται περιοδικά µεταξύ δύο επαφών µ` ένα ρυθµό δειγµατοληψίας ή συχνότητα δειγµατοληψίας f S ( ) S. τ S x a ( ) Ηλεκτρονικός διακόπτης ( x δ ) x a ( ) ( ) x δ τ S ειγµατολήπτης µε διακόπτη Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-4

15 Η έξοδος του δειγµατολήπτη µπορεί να παρασταθεί ( ) x ( ) ( ) x a όπου () είναι η συνάρτηση δειγµατοληψίας. δ Είσοδος x a ( ) ( ) Έξοδος x ( ) x a ( ) ( ) δ Εξήγησητηςδειγµατοληψίαςµεπολλαπλασιασµό. Ο τύπος αυτός δειγµατοληψίας λέγεται συχνά φυσική δειγµατοληψία. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-5

16 Όταν η διάρκεια του παλµού τ η δειγµατοληψία ονοµάζεται ιδανική δειγµατοληψία n Η συνάρτηση δειγµατοληψίας έχει τη µορφή ( ) δ ( ) n καιτοδειγµατοληπτιµένοσήµα x δ () είναι x ( x ( ) δ ( ) x a () δ ) α n n ( x δ ) S S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S 9 S Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-6

17 ειγµατοληψία αναλογικών σηµάτων περιορισµένου εύρους-ζώνης Σεραφείµ Καραµπογιάς x a ( ) S S S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S Το σήµα x α () είναι ένα αργά µεταβαλλόµενο σήµα, και το κύριο φασµατικό περιεχόµενό του βρίσκεται στις χαµηλές συχνότητες, δηλαδή, το εύρος-ζώνης W είναιµικρό. x a ( ) Τώρα το σήµα x α () είναι ένα σήµα µε γρήγορες µεταβολές οι οποίες οφείλονται στην παρουσία συνιστωσών σε υψηλές συχνότητες, δηλαδή, το εύρος-ζώνης W είναι µεγάλο. S S S 3 S 4 S 5 S 6 S 7 S 8 S W < W Είναι προφανές ότι η περίοδος δειγµατοληψίας για το δεύτερο σήµα πρέπει να είναι σηµαντικά µικρότερη. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-7

18 Έστω x (n) είναι η ακολουθία η οποία προέρχεται από τη δειγµατοληψία του συνηµιτονοειδούςαναλογικούσήµατος x α () A o(ω + θ) µεπερίοδοδειγµατοληψίας. x ( n) ( ω n + θ) A o( ω + θ) x ( n ) A o n a ΑνΩ είναιηψηφιακήκυκλικήσυχνότητατότε x (n) A o(ω n + θ). Συγκρίνονταςτιςδύο εκφράσειςτου x (n)έχουµετιςσχέσειςµεταξύαναλογικώνκαιψηφιακώνσυχνοτήτων Ω ω F Παρατηρούµε ότι η συχνότητα F είναι µία κανονικοποιηµέµη ή σχετική συχνότητα. και Η αναλογική συχνότητα f έχει µονάδα µέτρησης Hz ή /e ενώ η διακριτή F δεν έχει διαστάσεις. Επίσης η αναλογική κυκλική συχνότητα ω έχει µονάδα µέτρησης rad/e ενώ η διακριτή Ω έχει µονάδα µέτρησης rad. Για να προσδιοριστεί η ψηφιακή συχνότητα F όταν δίνεται η αναλογική συχνότητα f πρέπει να είναιγνωστήησυχνότηταδειγµατοληψίας f. f f Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-8

19 Για τα συνηµιτονοειδή σήµατα συνεχούς χρόνου η περιοχή συχνοτήτων είναι ω< και f < Για τα συνηµιτονοειδή σήµατα διακριτού χρόνου η περιοχή συχνοτήτων είναι π Ω<π και Παρατηρούµε ότι η συχνότητα του συνηµιτονοειδούς σήµατος το οποίο δειγµατοληπτούµε πρέπει να βρίσκεται στην περιοχή π π f ω< π f π και F < Σεραφείµ Καραµπογιάς Η απεικόνιση της απείρου εύρους περιοχής αναλογικών συχνοτήτων στην πεπερασµένου εύρους περιοχή ψηφιακών συχνοτήτων f f f < Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-9

20 Η περιοδική δειγµατοληψία ενός αναλογικού σήµατος συνεχούς χρόνου οδηγεί στην απεικόνιση της απείρου εύρους περιοχής των αναλογικών συχνοτήτων στην πεπερασµένη εύρουςπεριοχήψηφιακώνσυχνοτήτων. Η µέγιστη αναλογική συχνότητα που µπορεί να δειγµατοληπτηθεί µε συχνότητα δειγµατοληψίας f είναι ω < ax π και f < ax f Θεώρηµα δειγµατοληψίας ή Θεώρηµα του Shannon Ησυχνότητα f µετηνοποία λαµβάνονται τα δείγµατα ενόςαναλογικού σήµατος, πρέπει να είναιτουλάχιστονδιπλάσιααπότηυψηλότερηαναλογικήσυχνότητα f ax πουπεριέχεταιστο σήµα, δηλαδή, f f ax Για να µη χαθεί πληροφορία θα πρέπει να παίρνουµε τουλάχιστον δύο δείγµατα ανά περίοδο της µεγαλύτερης συχνότητας του αναλογικού σήµατος. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-

21 Οσυνεχούςχρόνουµετασχηµατισµός Fourier (CF), X α ( f ),ήτοφάσµαενόςαναλογικού σήµατος x α ()είναι X a + ( f ) x ( ) όπου fείναιηαναλογικήσυχνότητασε Hz. Ο αντίστροφος µετασχηµατισµός Fourier είναι j π f e d a Τοαναλογικόσήµαείναισήµαµεπεριορισµένοεύρος-ζώνηςχαµηλώνσυχνοτήτων, δηλαδή, X( f ) για f W. x a + ( ) X ( f ) e df a j π f Σεραφείµ Καραµπογιάς Τοσήµα x α () δειγµατοληπτείταισεπολλαπλάσιαενόςβασικούδιαστήµατοςδειγµατοληψίας, όπου / W, καιλαµβάνεταιηακολουθία { x( n )} n Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-

22 Οµετασχηµατισµός Fourier X δ ( f ), τουδειγµατοληπτηµένουσήµατοςείναι ( ) ( ) ( ) n n f f X f X ( f ) X δ S a n n παρατηρούµε ότι ο µετασχηµατισµός Fourier του δειγµατοληπτηµένου σήµατος είναι ένα άθροισµα αντιγράφων του µετασχηµατισµού Fourier του αρχικού σήµατος µετατοπισµένων κατάπολλαπλάσιατου /. a Σεραφείµ Καραµπογιάς Ο µετασχηµατισµός Fourier διακριτού χρόνου X (Ω) του δειγµατοληπτηµένου x (n) σήµατος διακριτού χρόνου είναι ένα άθροισµα αντιγράφων του µετασχηµατισµού Fourier X a (ω) του αρχικούαναλογικούσήµατος x a () µετατοπισµένωνκατά / καιπολλαπλασιασµένωνεπίσης µε /, δηλαδή, X S ( Ω) S k X a Ω S + k π S Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-

23 ειγµατοληψία και ανακατασκευή αναλογικών σηµάτων στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο συχνοτήτων X S Ω π ( Ω) X a + k S k S X S ωs ) X S S k π ω+ k S ( a ( ) X S f S n X a f n + S () x a X a (ω) X ω a Τοαναλογικόσήµα x a (). ω ω ω Το περιορισµένου εύρους φάσµα του αναλογικού σήµατος ω ω Οόροςτουφάσµατοςτου δειγµατοληπτηµένου σήµατος για k ω (n) x X ( Ω) Τοδιακριτόσήµα x (n). < π ω ax n ω π π ω π π π Τοφάσµαςτουδειγµατοληπτηµένουσήµατοςγια f > f ax ω Το φάσµα του αναλογικού σήµατος διατηρείται στο φάσµα του δειγµατοληπτηµένου σήµατος εποµένως είναι δυνατή η ακριβής ανακατασκευή του αρχικού αναλογικού σήµατος από τα δείγµατά του. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3

24 ειγµατοληψία και ανακατασκευή αναλογικών σηµάτων στο πεδίο του χρόνου και στο πεδίο συχνοτήτων x a () X a (ω) X ω a Τοαναλογικόσήµα x a (). ω ω Το περιορισµένου εύρους φάσµα του αναλογικού σήµατος ω ω Οόροςτουφάσµατοςτου δειγµατοληπτηµένου σήµατος για k ω ω (n) x X ( Ω) Τοδιακριτόσήµα x (n). < π ω ax n 4π π π π π 4π ω ω Τοφάσµατουδειγµατοληπτηµένουσήµατοςγια f < f ax 6π ω Έχουµε το φαινόµενο της φασµατικής επικάλυψης ή του χαµηλού ρυθµού δειγµατοληψίας Το φάσµα του αναλογικού σήµατος δε διατηρείται στο φάσµα του δειγµατοληπτηµένου σήµατος εποµένως δεν είναι δυνατή η ακριβής ανακατασκευή του αρχικού αναλογικού σήµατος από τα δείγµατά του. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-4

25 Με τη βοήθεια ενός ιδανικού χαµηλοπερατού φίλτρου µε απόκριση συχνότητας Σεραφείµ Καραµπογιάς H ( ) ( f ) f Π όπου W W < W S W H ' S ( f ) S + S W W ' W W W ' S W f είναι δυνατή η ανάκτηση του αρχικού σήµατος. Πράγµατι, X ( ) ( ) ( f ) f X f Π δ S ' ' ( n ) δ ( n ) W in( W ) x ( ) xα n x ( ) W n W ' S ' x α F - ' ( n ) in( W ( n )) x ' ' ( ) x ( ) W in( W ) δ S S S Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-5

26 Αν η δειγµατοληψία γίνει στη συχνότητα Nyqui, τότε ένα ιδανικό χαµηλοπερατό φίλτρο αποτελεί τη µοναδική επιλογή. x ( ) W n ' S x α ' ( n ) in( W ( n )) S W ' W S x n α ( ) ( ) n in n ) S Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-6

27 Γραφική ερµηνεία της ανακατασκευής του αναλογικού σήµατος από τα δείγµατά του Σεραφείµ Καραµπογιάς ( ) x a S a S W W n n ( ) ( ) n n n in n x ( ) in W( ) x ( ) x ( ) x a S ( ) ( ) in S + ( ) ( ) x in ( ) ( ) + 3 in 3 a S S x a S S + S S 3 S 4S 5S 6S 7S 8S 9S Παρατηρούµε ότι για ακέραιο πολλαπλάσιο του n, n, ±, ±, µόνο µία in συνεισφέρειµεπλάτος x a (n ), ενώγια n σεινεισφέρουνόλες. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-7

28 Παράδειγµα Σεραφείµ Καραµπογιάς Τοαναλογικόσήµα x() o(4π) δειγµατοληπτείταιµεπερίοδοδειγµατοληψίας, e. π δ ( ω+ 4π ) X (ω) πδ ( ω 4π ) x () ω ω 4π ω 3 Οµετασχηµατισµός Fourier τουσήµατος x() o (ω ). Τοσήµα x() o (ω ). X (Ω) (ω) (ω) x () ω ω ω ω ω ω π ω 5π ω +ω ω 3 Ο µετασχηµατισµός Fourier του δειγµατοληπτηµένου σήµατος. Το δειγµατοληπτηµένο σήµα. ω Παρατηρούµε ότι η είναι µεγαλύτερηαπότηνω Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-8

29 Παράδειγµα Σεραφείµ Καραµπογιάς Τοαναλογικόσήµα x() o(4π) δειγµατοληπτείταιµεπερίοδοδειγµατοληψίας /3 e. π δ ( ω+ 4π ) X (ω) πδ ( ω 4π ) x () ω ω 4π ω 3 Οµετασχηµατισµός Fourier τουσήµατος x() o (ω ). X X (ω (Ω) (ω) ) x () Τοσήµα x() o (ω ). x( ) Ao ( π f ) ω ω ω ω ω ω 3π ω 6π ω +ω ω 3 Ο µετασχηµατισµός Fourier του δειγµατοληπτηµένου σήµατος. ω Παρατηρούµε ότι η είναι µικρότερηαπότηνω Το δειγµατοληπτηµένο σήµα. x ( ) A o π [ ( F f) ] Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-9

30 Συστήµατα Ψηφιακών Επικοινωνιών Σεραφείµ Καραµπογιάς Η έξοδος µιας αναλογικής πηγής µπορεί να µετατραπεί σε ψηφιακή µορφή και το µήνυµα να µεταδοθεί µε ψηφιακή διαµόρφωση και να αποδιαµορφωθεί ως ψηφιακό σήµα στο δέκτη Πλεονεκτήµατα µετάδοσης αναλογικού σήµατος µε ψηφιακή διαµόρφωση Ο πιο σηµαντικός λόγος είναι ότι η πιστότητας του σήµατος ελέγχεται καλύτερα µέσω ψηφιακής µετάδοσης παρά µε αναλογική µετάδοση. Ειδικότερα, η ψηφιακή µετάδοση µας επιτρέπει την αναγέννηση του ψηφιακού σήµατος µετά από µεγάλες αποστάσεις µετάδοσης εξαλείφοντας πρακτικά σε κάθε σηµείο αναγέννησης τις επιδράσεις του θορύβου. Αντίθετα, ο θόρυβος που προστίθεται στην αναλογική µετάδοση ενισχύεται µαζί µε το σήµα όταν χρησιµοποιούµε περιοδικά ενισχυτές για την ανύψωση της στάθµης του σήµατοςκατάτηµετάδοσησεµεγάλεςαποστάσεις. Ένας άλλος λόγος για να προτιµάµε την ψηφιακή µετάδοση αντί της αναλογικής είναι ότι το αναλογικό σήµα µηνύµατος µπορεί να περιέχει ένα υψηλό πλεονασµό. Με τη ψηφιακή επεξεργασία ο πλεονασµός θα µπορούσε να αποµακρυνθεί πριν τη διαµόρφωση, µετριάζοντας έτσι το απαιτούµενο εύροςζώνης του καναλιού. Ένας τρίτος πρόσθετος λόγος είναι ότι η κατασκευή των ψηφιακών συστηµάτων κοστίζει συχνά λιγότερο. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3

31 Βασικά στοιχεία ενός συστήµατος ψηφιακής επικοινωνίας Σεραφείµ Καραµπογιάς Πηγή πληροφορίας και µετατροπέας εισόδου Κωδικοποιητής πηγής Π Ο Μ Π Ο Σ Κανάλι Σήµα Εξόδου Μετατροπέας εξόδου Ε Κ Τ Η Σ Σε ένα ψηφιακό σύστηµα επικοινωνίας τα µηνύµατα που παράγονται από την πηγή, σύµβολα ή επιτρεπόµενες στάθµες, µετατρέπονται συνήθως σε µια ακολουθία δυαδικών ψηφίων. Η διαδικασία της αποδοτικής µετατροπής της εξόδου µίας αναλογικής ή ψηφιακής πηγής, σε ακολουθία δυαδικών ψηφίων καλείται κωδικοποίηση πηγής ή συµπίεση δεδοµένων. Στον κώδικα ore τα γράµµατα του αγγλικού αλφαβήτου τα αναπαράστησε µε µία ακολουθία από τελείες και παύλες (δηλαδή από κωδικές λέξεις). A B C D E F G H I J K L N O P Q R S U V W X Y Z Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3

32 Βασικά στοιχεία ενός συστήµατος ψηφιακής επικοινωνίας Σεραφείµ Καραµπογιάς Πηγή πληροφορίας και µετατροπέας εισόδου Κωδικοποιητής πηγής Κωδικοποιητής καναλιού Π Ο Μ Π Ο Σ Κανάλι Σήµα Εξόδου Μετατροπέας εξόδου Ε Κ Τ Η Σ Ο ρόλος του κωδικοποιητή καναλιού είναι να εισάγει, κατά έναν ελεγχόµενο τρόπο, κάποιο πλεονασµό στη δυαδική ακολουθία πληροφορίας ο οποίος να µπορεί να χρησιµοποιηθεί στο δέκτη για να κατανικήσει τις επιδράσεις του θορύβου. Έτσι αυξάνεται η αξιοπιστία των λαµβανοµένων δεδοµένων. Ένας (τετριµµένος) τρόπος κωδικοποίησης µίας δυαδικής ακολουθίας πληροφορίας είναι απλώς η επανάληψη κάθε δυαδικού ψηφίου φορές, όπου θετικός ακέραιος Κωδικοποιητής καναλιού Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-3

33 Βασικά στοιχεία ενός συστήµατος ψηφιακής επικοινωνίας Σεραφείµ Καραµπογιάς Πηγή πληροφορίας και µετατροπέας εισόδου Κωδικοποιητής πηγής Κωδικοποιητής καναλιού Π Ο Μ Π Ο Σ Κανάλι Σήµα Εξόδου Μετατροπέας εξόδου Ε Κ Τ Η Σ Ο ρόλος του κωδικοποιητή καναλιού είναι να εισάγει, κατά έναν ελεγχόµενο τρόπο, κάποιο πλεονασµό στη δυαδική ακολουθία πληροφορίας ο οποίος να µπορεί να χρησιµοποιηθεί στο δέκτη για να κατανικήσει τις επιδράσεις του θορύβου. Έτσι αυξάνεται η αξιοπιστία των λαµβανοµένων δεδοµένων. Ένας πιο σύνθετος κωδικοποιητής λαµβάνει k bi πληροφορίας κάθε φορά και απεικονίζει κάθε ακολουθία των k-bi σε µία ενιαία ακολουθία n-bi (n > k), καλούµενη κωδική λέξη. Μπλοκ από k bi 3 k k bi πληροφορίας Κωδικοποιητής καναλιού Κωδικές λέξεις των n bi 3 k k+ k biπληροφορίας n-k bi ελέγχου n Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-33

34 Βασικά στοιχεία ενός συστήµατος ψηφιακής επικοινωνίας Σεραφείµ Καραµπογιάς Αναλογικό σήµα Πηγή πληροφορίας και µετατροπέας εισόδου Κωδικοποιητής πηγής Κωδικοποιητής καναλιού Π Ο Μ Π Ο Σ υαδική ακολουθία Ψηφιακός διαµορφωτής Κανάλι Σήµα Εξόδου Μετατροπέας εξόδου Ε Κ Τ Η Σ g () Επειδή σχεδόν όλα τα κανάλια επικοινωνίας που συναντάµε στην πράξη είναι ικανά να µεταδίδουν ηλεκτρικά σήµατα (κυµατοµορφές), ο πρωταρχικός ρόλος του ψηφιακού διαµορφωτή είναι να απεικονίζει τις δυαδικές ακολουθίες σε κυµατο-µορφές σήµατος. Ο ψηφιακός δια- µορφωτής απεικονίζει το δυαδικό ψηφίο στηνκυµατοµορφή ()καιτοδυαδικό ψηφίο στηνκυµατοµορφή (). Ψηφιακός διαµορφωτής Ψηφιακός διαµορφωτής Ψηφιακός διαµορφωτής A g () A u() A b b b b 3b A Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-34

35 Βασικά στοιχεία ενός συστήµατος ψηφιακής επικοινωνίας Σεραφείµ Καραµπογιάς Πηγή πληροφορίας και µετατροπέας εισόδου Κωδικοποιητής πηγής Κωδικοποιητής καναλιού Π Ο Μ Π Ο Σ Ψηφιακός διαµορφωτής u() Κανάλι Σήµα Εξόδου Μετατροπέας εξόδου r() Ε Κ Τ Η Σ Οποιοδήποτε και αν είναι το φυσικό µέσο για τη µετάδοση του σήµατος, το κύριο χαρακτηριστικό είναι ότι το µεταδιδόµενο σήµα αλλοιώνεται κατά τυχαίο τρόπο από µία ποικιλία πιθανών µηχανισµών. Η πιο συνήθης µορφή υποβάθµισης του σήµατος προέρχεται από έναν προσθετικό θόρυβο ο οποίος συχνά καλείται θερµικός θόρυβος. u() r() b b 3b Κανάλι b b 3b Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-35

36 Βασικά στοιχεία ενός συστήµατος ψηφιακής επικοινωνίας Σεραφείµ Καραµπογιάς Πηγή πληροφορίας και µετατροπέας εισόδου Κωδικοποιητής πηγής Κωδικοποιητής καναλιού Π Ο Μ Π Ο Σ Ψηφιακός διαµορφωτής u() Κανάλι Σήµα Εξόδου Μετατροπέας εξόδου Ε Κ Τ Η Σ Ψηφιακός αποδιαµορφωτής r() Στο άλλο άκρο της λήψης ενός ψηφιακού συστήµατος επικοινωνίας, ο ψηφιακός αποδιαµορφωτής επεξεργάζεται τις αλλοιωµένες από το κανάλι διαβιβασµένες κυµατοµορφές και εκτιµά το διαβιβασµένο δυαδικό ψηφίο. r() b b 3b Ψηφιακός αποδιαµορφωτής Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-36

37 Βασικά στοιχεία ενός συστήµατος ψηφιακής επικοινωνίας Σεραφείµ Καραµπογιάς Πηγή πληροφορίας και µετατροπέας εισόδου Κωδικοποιητής πηγής Κωδικοποιητής καναλιού Π Ο Μ Π Ο Σ Ψηφιακός διαµορφωτής Κανάλι Σήµα Εξόδου Μετατροπέας εξόδου Αποκωδικοποιητής Ψηφιακός καναλιού αποδιαµορφωτής Ε Κ Τ Η Σ Ο προστιθέµενος πλεονασµός στην ακολουθία πληροφορίας χρησιµοποιείται από τον αποκωδικοποιητή καναλιούστηναποκωδικοποίησητηςεπιθυµητήςακολουθίαςπληροφορίας. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-37

38 Βασικά στοιχεία ενός συστήµατος ψηφιακής επικοινωνίας Σεραφείµ Καραµπογιάς Πηγή πληροφορίας και µετατροπέας εισόδου Κωδικοποιητής πηγής Κωδικοποιητής καναλιού Π Ο Μ Π Ο Σ Ψηφιακός διαµορφωτής Κανάλι Σήµα Εξόδου Μετατροπέας εξόδου Αποκωδικοποιητής πηγής Αποκωδικοποιητής Ψηφιακός καναλιού αποδιαµορφωτής Ε Κ Τ Η Σ Σφάλµα στη µετάδοση Ο προστιθέµενος πλεονασµός στην ακολουθία πληροφορίας χρησιµοποιείται από τον αποκωδικοποιητή καναλιού στην αποκωδικοποίηση της επιθυµητής ακολουθίας πληροφορίας. Έτσι, ο προστιθέµενος πλεονασµός χρησιµεύει στο να αυξήσει την αξιοπιστία των λαµβανόµενων δεδοµένων και να βελτιώνει την πιστότητα του λαµβανόµενου σήµατος. Ο αποκωδικοποιητής της πηγής δέχεται την ακολουθία εξόδου του αποκωδικοποιητή καναλιού και γνωρίζοντας την µέθοδο που χρησιµοποιείται για την κωδικοποίηση της πηγής προσπαθεί να ανακατασκευάσει όσο γίνεται πιστότερα το αρχικό αναλογικό σήµα της πηγής. Τα συστήµατα ψηφιακής επικοινωνίας µπορούν να µεταδώσουν δεδοµένα µε διαφορετικούς ρυθµούς µετάδοσης (raniion rae). Ο ρυθµός µετάδοσης µιας ζεύξης µετρείται σε bi/e. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-38

39 Πηγή πληροφορίας και µετατροπέας εισόδου Ποµπός Κανάλι έκτης Σύστηµα Επικοινωνίας Μετατροπέας εισόδου Σήµα Εξόδου Τα περισσότερα συστήµατα επικοινωνίας, όπως το διαδίκτυο και τα συστήµατα κινητής τηλεφωνίας, περιλαµβάνουν µεγάλο αριθµό ποµπών και δεκτών, οι οποίοι πρέπει να χρησιµοποιούναπόκοινούτοίδιοφυσικόµέσο. Ταεπίπεδαδικτύουκαιελέγχου (nework and onrol layer) εξασφαλίζουν την αξιόπιστη και αποτελεσµατική χρησιµοποίηση του ίδιου φυσικού µέσου από πολλά τερµατικά. Πηγή πληροφορίας και µετατροπέας εισόδου Επίπεδα δικτύου και ελέγχου Ποµπός Κανάλι Σήµα Εξόδου Μετατροπέας εξόδου Επίπεδα δικτύου και ελέγχου έκτης Σύστηµα Επικοινωνίας ιάγραµµα λειτουργικών βαθµίδων ενός συστήµατος επικοινωνίας Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-39

40 ιαδικασία Ορθογωνιοποίησης Gra-Shid Για ένα σύνολο Μ κυµατοµορφών σήµατος (), κατασκευάζεται µια ορθοκανονική βάση. Η πρώτη κυµατοµορφή κατασκευάζεται ως ψ ( ) ( ) E τοψ () είναιτο () κανονικοποιηµένοσεµοναδιαίαενέργεια. Σεραφείµ Καραµπογιάς Ηπροβολήτου () στοψ () είναι ψ () όπου ) ( ψ ( ) d Τοορθογώνιοσήµαστοψ () σήµαείναι d Έτσι η δεύτερη κανονικοποιηµένη ως προς την ενέργεια κυµατοµορφή που είναι ορθογώνια στηνψ () είναιη ψ ( ) ) ( ) ψ ( ) µεενέργεια E d ( ) d ( d( ) E Η διαδικασία ορθογωνοποίησης συνεχίζεται έως ότου εξαντληθούν όλες οι Μ κυµατο-µορφές σήµατος και κατασκευαστούν Ν Μ ορθοκανονικές κυµατοµορφές οι οποίες σχηµατίζουν µια βάση στο Ν-διάστατο χώρο σηµάτων. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-4

41 Από τη στιγµή που έχουµε κατασκευάσει το σύνολο των Ν ορθογώνιων κυµατοµορφών {ψ n ()}, µπορούµε να εκφράσουµε τα Μ σήµατα { ()} ως γραµµικούς συνδυασµούς των {ψ n ()}. όπου και N n ( ) nψ n( ),,,, n ( ) ψ n( ) d N E ( ) d n,,,, n Κάθε κυµατοµορφή µπορεί να αναπαρασταθεί από ένα διάνυσµα (,, N ),,,, Σεραφείµ Καραµπογιάς ή ισοδύναµα, ως ένα σηµείο στο Ν-διάστατο χώρο σηµάτων, ο οποίος καλύπτεται από τις Ν ορθοκανονικέςκυµατοµορφές {ψ n ()}, µεσυντεταγµένες { i, i,,, N} Η ενέργεια της -στης κυµατοµορφής σήµατος είναι απλά το τετράγωνο του µήκους του διανύσµατος ή, ισοδύναµα, το τετράγωνο της Ευκλείδειας απόστασης από την αρχή των αξόνων στο σηµείο του Ν-διάστατου χώρου. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-4

42 ιαµόρφωσηπαλµώνκατάπλάτος (Pule Apliude odulaion (PA)) Η πληροφορία µεταφέρεται από το πλάτος του µεταδιδόµενου σήµατος Σήµατα βασικής ζώνης Σεραφείµ Καραµπογιάς Στο δυαδικό PA, το bi πληροφορίας αντιπροσωπεύεται από ένα παλµό πλάτους Α και το bi πληροφορίας αντιπροσωπεύεται από το παλµό Α. ( ) A ( ) b A b Σήµατα δυαδικού PA. Ο τύπος αυτός της σηµατοδοσίας καλείται επίσης και δυαδική αντίποδη σηµατο-δοσία. Οι παλµοί εκπέµπονται µε ρυθµό R b / b bi/e όπου καλείται διάρκεια του bi. b Το σχήµα του παλµού καθορίζει τα φασµατικά χαρακτηριστικά του εκπεµπόµενου σήµατος. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-4

43 Στο Μ-αδικό PA αντί να εκπέµπεται ένα bi τη φορά, η δυαδική ακολουθία πληροφορίας χωρίζεταισεµπλοκτων k bi, τα οποίακαλούνταισύµβολα, καικάθεµπλοκ, ήσύµβολο, αντιπροσωπεύεταιαπόµίαεκτων k τιµώνπαλµούςπαλµού. ( ) 3A ( ) A 3( ) A 4( ) 3A 4 κυµατοµορφές σήµατος PA. Σηµειώστεότιότανορυθµόςτων bi, R b, είναισταθερός, ηδιάρκειασυµβόλουείναι b b k b k R b k b Σχέση µεταξύ διάρκειας συµβόλου και διάρκειας bi. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-43

44 Οι -αδικές κυµατοµορφές σήµατος PA µπορούν να εκφραστούν ως Σεραφείµ Καραµπογιάς ( ) A g ( ),,,,, g () Παλµός σήµατος για PA. Παρατηρούµε ότι το χαρακτηριστικό που διαφοροποιεί τα Μ σήµατα είναι το πλάτος του παλµούκαιότιόλαταμσήµαταέχουντοίδιοσχήµαπαλµού. Τα σήµατα έχουν διαφορετικές ενέργειες, πράγµατι, E ( ) d A όπου E g είναιηενέργειατουπαλµού g (). g ( ) d A E g,,,, Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-44

45 g () Σεραφείµ Καραµπογιάς ιαµόρφωσης Παλµών κατά Πλάτος (Pule Apliude odulaion (PA)) Ψηφιακός διαµορφωτής b g ( ) Ψηφιακός διαµορφωτής b u() Ψηφιακός διαµορφωτής b b 3b Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-45

46 Ζωνοπερατά Σήµατα. Για να µεταδώσουµε τις κυµατοµορφές σήµατος µέσα από ένα ζωνοπερατό κανάλι είναι δυνατό να χρησιµοποιηθεί διαµόρφωση κατά πλάτος. Πράγµατι u ( ) Ag ( ) o (π f ),,,, Σήµα βασικής ζώνης Ζωνοπερατό σήµα () ( ) o( π f ) o Φέρον ( π ) ιαµόρφωση κατά πλάτος ενός ηµιτονοειδούς φέροντος από σήµα βασικής-ζώνης. f Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-46

47 () Περιγραφή στο χρονικό πεδίο ( ) an an 3 όταν n a ( ) όπου n n g n όταν bn g () ( ) b b ιαµόρφωση παλµών κατά πλάτος - Το σήµα βασικής ζώνης g b Σεραφείµ Καραµπογιάς g b ( ) u() () ( ) o( π f ) Αλλαγή φάσης u( ) ( ) o( π f ) 3 ιαµόρφωση παλµών κατά πλάτος - Το ζωνοπερατό σήµα Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-47

48 Περιγραφή στο πεδίο συχνότητας Η διαµόρφωση κατά πλάτος του φέροντος από τις κυµατοµορφές βασικής ζώνης ολισθαίνει το φάσµατουσήµατοςβασικήςζώνηςκατά f A U ( f ) + G ( f ) [ G ( f f ) + G ( f f )] Σεραφείµ Καραµπογιάς W W (a) U ( f ) f W W f W f f +W f W f f + W f (β) Φάσµατα σηµάτων (α) βασικής ζώνης και (β) διαµόρφωµένου κατά πλάτος. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-48

49 Το διαµορφωµένο κατά πλάτος DSB-SC σήµα καταλαµβάνει ένα εύρος-ζώνης καναλιού ίσο µε W, το οποίο είναι διπλάσιο του εύρους ζώνης που απαιτείται για τη µετάδοση του σήµατος βασικής-ζώνης. Ηενέργειατωνζωνοπερατώνκυµατοµορφώνσήµατος u (),,,, είναι E u A A ( ) d g g A ( ) d+ ( ) d g A A ( ) o E g g ( π f ) ( ) o d ( 4π f ) d g ( ) o( 4π f ) o( 4π f ) g ( ) f ΌπουΕ δηλώνειτηνενέργειαανάσήµαήανάσύµβολο. Η ενέργεια του ζωνοπερατού σήµατος είναι το µισό της ενέργειας του σήµατος βασικής ζώνης. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-49

50 Όταντοσήµατουπαλµού g () είναιορθογώνιο, δηλαδή, g ( ) E, g, αλλιώς Τοδιαµορφωµένοκατάπλάτοςσήµασυνήθωςκαλείταιµεταλλαγήολίσθησης (µετατόπισης) πλάτους (Apliude-Shif Keying (ASK)). Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-5

51 Γεωµετρική Αναπαράσταση Σηµάτων PA Οι -αδικές κυµατοµορφές σήµατος PA µπορούν να εκφραστούν ως Σεραφείµ Καραµπογιάς ( ) A g ( ),,,,, k Οι κυµατοµορφές -αδικού PA είναι µονοδιάστατα σήµατα, τα οποία µπορούν να εκφραστούν ως ( ) ψ ( ),,,, k Όπου η συνάρτηση βάσης ψ() ορίζεται ως ψ ( ) g ( ), E g E g είναι η ενέργεια του παλµού σήµατος g () και οι συντελεστές σήµατος (µονοδιάστατα διανύσµατα) είναιαπλά E A,,,, g k Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-5

52 Μία σηµαντική παράµετρος είναι η Ευκλείδεια απόσταση µεταξύ δύο σηµάτων σήµατος ( ) n g n n A A E d Έχουµε υποθέσει ότι τα πλάτη των σηµάτων είναι συµµετρικά ως προς την αρχή των αξόνων καιισαπέχοντα, δηλαδή, A,,, ), ( Παρατηρούµεότιτασήµατα PA έχουνδιαφορετικέςενέργειες. A E E g,,,, Για ισοπίθανα σήµατα, η µέση ενέργεια είναι 3 ) ( ) ( E E A E E E g g A g a υ Σηµεία σήµατος (αστερισµός) για συµµετρικό PA d d d d d Σεραφείµ Καραµπογιάς Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-5

53 Όταν τα PA σήµατα βασικής ζώνης διαµορφώνουν ένα φέρον οι ζωνοπερατές κυµατοµορφές σήµατος u () µπορούνναεκφραστούνως Όπου η κυµατοµορφή ψ() ορίζεται ως u ( ) ψ ( ),,,, k και ψ ( ) g ( ) o( f ) E π g Eg A,,,, Η µόνη αλλαγή στη γεωµετρική αναπαράσταση των ζωνοπερατών PA σηµάτων, συγκριτικά µ' αυτή των σηµάτων βασικής ζώνης, είναι ο παράγοντας ο οποίος εµφανίζεται στις εξισώσεις ψ ( ) g ( ) E g E g A,,,, Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-53

54 ισδιάστατες Κυµατοµορφές Σήµατος ύοκυµατοµορφέςσήµατος () και () είναιορθογώνιεςστοδιάστηµα (,) όταν ( ) A ( ) ( ) d ( ) A Σεραφείµ Καραµπογιάς ( ) A A ( ) A ύο σύνολα ορθογωνίων σηµάτων. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-54

55 Και τα δύο ζεύγη σηµάτων ικανοποιούν την ιδιότητα ορθογωνιότητας και επίσης έχουν την ίδιαενέργεια, δηλαδή, E ( ) d ( ) d [ ] ( ) d [ ] ( ) d A Οποιοδήποτε ζεύγος από αυτά τα σήµατα µπορεί να χρησιµοποιηθεί για τη µετάδοση δυαδικής πληροφορίαςµεµίακυµατοµορφήνααντιστοιχείστο bi καιτηνάλληκυµατοµορφήστο bi. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-55

56 Αν επιλέξουµε ως συναρτήσεις βάσης τις ορθογωνίου σχήµατος συναρτήσεις µοναδιαίας ενέργειας ψ ( ),, αλλιώς Σεραφείµ Καραµπογιάς ψ ( ),, αλλιώς Οιδύοκυµατοµορφέςσήµατος () και () µπορούνναεκφραστούνως ή µε διανυσµατική αναπαράσταση ( ) ψ ( ) + ψ ( ) ( ) ψ ( ) + ψ ( ) (, ) ( A, A ) ( ) ( A, A ), Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-56

57 45 45 Τα δύο διανύσµατα σήµατος που αντιστοιχούν στις κυµατοµορφές ()και (). Το τετράγωνο του µήκους κάθε διανύσµατος δίνει την ενέργεια του αντίστοιχου σήµατος, δηλαδή, E E A Η Ευκλείδεια απόσταση µεταξύ των δύο σηµάτων είναι A d A A E Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-57

58 Με τέσσερες κυµατοµορφές σήµατος µπορούν να µεταδωθούν δύο bi πληροφορίας σε ένα χρονικό διάστηµα σηµατοδοσίας διάρκειας Τ. Αν στα διανύσµατα και προσαρτήσουµε δύο επιπλέον διανύσµατα, τα - και -, παίρνουµε τα τέσσερα σηµεία του αστερισµού σήµατος του Σχήµατος, τα οποία αντιστοιχούν στιςαναλογικές κυµατοµορφές (), (), - () και - (). Τοσύνολο των σηµάτωναυτών ονοµάζεται σύνολο διορθογωνίων σηµάτων Αστερισµός σήµατος για 4 διορθογώνια σήµατα. Η διαδικασία κατασκευής ενός µεγαλύτερου συνόλου κυµατοµορφών σήµατος είναι σχετικά άµεση. E Αστερισµός σήµατος Μ 8 σηµείων που αντιστοιχεί στιςορθογώνιεςκυµατοµορφές (), (), (), (), (), (), ()και (). Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-58

59 Αν αφαιρέσουµε τον περιορισµό της ίσης ενέργειας των κυµατοµορφών, έχουµε τους αστερισµούς E E E E ύο δισδιάστατοι αστερισµοί σήµατος Μ 8 σηµείων, που αντιστοιχούν σε υπέρθεση δύο συνόλων διορθογώνιων κυµατοµορφών µε διαφορετικές ενέργειες. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-59

60 ισδιάστατα Ζωνοπερατά Σήµατα ιαµόρφωση Φέροντος κατά Φάση Οι ζωνοπερατές κυµατοµορφές σήµατος οι οποίες είναι κατάλληλες για µετάδοση f u,,,, ), ( ) o ( ) ( π Στην ειδική περίπτωση δισδιάστατων κυµατοµορφών µε την ίδια ενέργεια έχουµε ( ) ( ) + d d f d d f d u ) ( 4 ) o ( ) ( ) o ( ) ( E π π Σεραφείµ Καραµπογιάς Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-6

61 Μεάλλαλόγια, έναζωνοπερατόσήµατηςµορφής ()o(π f + π /),,, 3, 4,έχει τηνίδιαγεωµετρικήαναπαράστασηµεένασύνολομ 4 διορθογώνιωνσηµάτων. Εποµένως, ένας απλός τρόπος για τη δηµιουργία Μ ζωνοπερατών σηµάτων µε την ίδια ενέργεια είναι να αποτυπώσουµε την πληροφορία στη φάση του φέροντος. Έτσι έχουµε ένα διαµορφωµένο κατά φάση-φέροντος σήµα. Η γενική αναπαράσταση ενός συνόλου Μ διαµορφωµένων κατά φάση-φέροντος κυµατοµορφών είναι u g π ( ) ( ) o f π +,,,,, Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-6

62 Ότανοg () είναιέναςορθογώνιοςπαλµόςοοποίοςορίζεταιως g E ( ),, αλλιώς Οι αντίστοιχες µεταδιδόµενες κυµατοµορφές σήµατος είναι u E π ( ) o f π +,,,,, Παρατηρούµε ότι έχουν σταθερή περιβάλλουσα και η φάση του φέροντος αλλάζει απότοµα στηναρχήκάθεδιαστήµατοςσήµατος. Αυτός ο τύπος ψηφιακής διαµόρφωσης κατά-φάση καλείται µεταλλαγή ολίσθησης φάσης (Phae Shif Keying - PSK). Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-6

63 υαδική-μεταλλαγήολίσθησηςφάσης (-Phae Shif Keying (-PSK)) u ( ) Σεραφείµ Καραµπογιάς Ψηφιακός διαµορφωτής u ( ) E E b u( ) o( E π, f ), αλλιώς b u ( ) Ψηφιακός διαµορφωτής u ( ) E E b u ( ) E o(π f, + π ), αλλιώς b u () Ολίσθηση φάσης 8 Ψηφιακός u () διαµορφωτής E E b b 3 b Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-63

64 8 -ολίσθηση φάσης -ολίσθηση φάσης -9 -ολίσθηση φάσης Παράδειγµα ενός τετραδικού PSK σήµατος. 3 4 Ένα PSK σήµα τεσσάρων φάσεων (Μ 4), καλείται συνήθως ορθογώνιο PSK (Quadraure Phae Shif Keying (QPSK))σήµα. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-64

65 Η γενική αναπαράσταση ενός συνόλου Μ διαµορφωµένων κατά φάση-φέροντος κυµατοµορφών µπορεί να γραφεί και ως u ( ) g g g ( )o π f ( ) o π π ( ) o( π f ) g ( ) in( ) in( π f ) Εποµένως ένα σήµα διαµορφωµένο κατά φάση µπορεί να θεωρηθεί ως δύο ορθογώνια φέρονταµεπλάτη g ()A και g ()A,ταοποίαεξαρτώνταιαπότηφάσητουφέροντοςσε κάθε διάστηµα σήµατος. ( π f ) g ( ) A in( π f ) ( ) A o π + Σεραφείµ Καραµπογιάς in( π A g f ) () A A o in π ( Μ ) π ( ) Μ A g () o (π f ) Ψηφιακή διαµόρφωση κατά φάση ως δύο διαµορφωµένων κατά πλάτος ορθογώνιων φερόντων. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-65

66 Επίσης, τα ψηφιακά διαµορφωµένα κατά φάση σήµατα µπορούν να αναπαρασταθούν γεωµετρικάαπόδισδιάσταταδιανύσµαταµεσυνιστώσες E o(π/)και E o(π/), δηλαδή Οι ορθοκανονικές συναρτήσεις βάσης είναι ψ ( ) g ( ) o( f ) E π g ( E o(π / ) E in (π / ) ) ψ ( ) g ( ) in ( f ) E π g E E E E 4 8 Οι κυµατοµορφές σήµατος διαµόρφωσης κατά φάση-φέροντος περιορίζονται να έχουν την ίδια ενέργειαε πράγµατοοποίοσηµαίνειότιτασηµείασήµατος, στηνγεωµετρικήαναπαράσταση των κυµατοµορφών, ανήκουν σε κύκλο. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-66

67 u ( ) ( )o π π g π f + +, 4,,,3 u 3 ( f + ) π ( ) g ( ) o π 4 u ( ) g g ( ) o ( ) in 3π ( ) ( ) 4 o π f 3π ( ) in( π f ) 4 E ψ ( ) g ( ) in (π f ) in( π ) 4 E g u ( f + ) π ( ) g ( ) o π 4 u ( ) g g ( ) o ( ) in π π ( o( ) ( )) E E in 4 4 π ( ) ( ) 4 o π f π ( ) in( π f ) 4 E E o( π ) 4 ψ ( ) g ( ) o (π f ) E g u 5 ( f + ) π 3 ( ) g ( ) o π 4 u ( ) g 3 g ( ) o ( ) in 5π ( ) ( ) 4 o π f 5π ( ) in( π f ) 4 u 7 ( f + ) π 4 ( ) g ( ) o π 4 u ( ) g 4 g ( ) o ( ) in 7π ( ) ( ) 4 o π f 7π ( ) in( π f ) 4 Αστερισµός σήµατος 4-PSK. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-67

68 ισδιάστατα Ζωνοπερατά Σήµατα Ορθογώνια ιαµόρφωση κατά Πλάτος Κατά τη διαµόρφωση κατά φάση-φέροντος οι ζωνοπερατές κυµατοµορφές αναπαρίστανται από την u ( ) ( π f ) A g ( ) in( f ),,,, A g ( ) o π Αν καταργήσουµε τον περιορισµό της ίσης ενέργειας έχουµε την Ορθογώνια ιαµόρφωση κατάπλάτος (Quadraure Apliude odulaion-qa) Όπου {Α } και {A } είναι τα σύνολα των τιµών πλάτους που λαµβάνονται από την αντιστοίχιση των ακολουθιών των k bi σε πλάτη σήµατος. Σεραφείµ Καραµπογιάς Αστερισµός σήµατος ενός 6-QA. Γενικά οι τετράγωνοι αστερισµοί σήµατος είναι αποτέλεσµα της διαµόρφωσης των δύο ορθογώνιωνφερουσώναπό PA. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-68

69 Το QA µπορεί να θεωρηθεί ως µια µορφή συνδυασµού ψηφιακής διαµόρφωσης κατά πλάτος και ψηφιακής διαµόρφωσης κατά φάση. k u n ( ) k ( π f + ) A g ( )o θ, n,,, n,,, Σεραφείµ Καραµπογιάς Εάν και, η µέθοδος συνδυασµού διαµόρφωσης κατά πλάτος και φάση έχει ως αποτέλεσµα την ταυτόχρονη διαβίβαση k +k log δυαδικών ψηφίων, η οποία επιτυγχάνεταιµερυθµό R b /(k +k ). A Φίλτρο εκποµπής g () Ισοσταθµισµένος διαµορφωτής Ταλαντωτής o (πf ) υαδικά δεδοµένα Μετατροπέας σειριακής σε παράλληλη 9 ολίσθηση φάσης Εκπεµπόµενο QA σήµα in (πf ) A Φίλτρο εκποµπής g () Ισοσταθµισµένος διαµορφωτής Λειτουργικό διάγραµµα βαθµίδων διαµορφωτή QA. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-69

70 Ηγεωµετρικήαναπαράστασητωνσηµάτων u () και u n () γίνεταιµετηβοήθειαδισδιάστατων σηµάτων της µορφής ( E A, E A ),,,, Για ισοπίθανα σήµατα η µέση ενέργεια/σύµβολο είναι E a υ Η Ευκλείδεια απόσταση µεταξύ δύο σηµείων του αστερισµού είναι i i dn n Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-7

71 Μ 64 Μ 3 Μ 6 8 Μ 8 Μ 4 Τετράγωνοι αστερισµοί σήµατος QA 6 Παραδείγµατα αστερισµών σήµατος συνδυασµού PA-PSK Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-7

72 Οικυµατοµορφέςσήµατοςστην 4-QA Σεραφείµ Καραµπογιάς u ( ) E u ( f + ) π ( ) g ( ) o π 4 Ψηφιακός διαµορφωτής u ( ) E u ( ) g g ( ) o ( ) in π ( ) 4 o( π f ) π ( ) in( π f ) 4 u ( ) E u 3 ( f + ) π ( ) g ( ) o π 4 Ψηφιακός διαµορφωτής u ( ) E u ( ) g g ( ) o ( ) in 3π ( ) 4 o( π f ) 3π ( ) in( π f ) 4 u ( 3 ) E u 5 ( f + ) π 3 ( ) g ( ) o π 4 Ψηφιακός διαµορφωτής u ( 3 ) E u ( ) g 3 g ( ) o ( ) in 5π ( ) 4 o( π f ) 5π ( ) in( π f ) 4 u 4 ( ) E u 7 ( f + ) π 4 ( ) g ( ) o π 4 Ψηφιακός διαµορφωτής u 4 ( ) E u 4 ( ) g g ( ) o ( ) in 7π ( ) 4 o( π f ) 7π ( ) in( π f ) Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-7 4

73 ΠΟΛΥ ΙΑΣΤΑΤΕΣ ΚΥΜΑΤΟΜΟΡΦΕΣ ΣΗΜΑΤΟΣ Σεραφείµ Καραµπογιάς Έχουµε µελετήσει τον τρόπο µε τον οποίο µπορεί να κατασκευαστεί στις δύο διαστάσεις ένας αριθµός k κυµατοµορφώνσήµατος. Στη συνέχεια θα µελετήσουµε το σχεδιασµό ενός συνόλου k κυµατοµορφές σήµατος, οι οποίες έχουν περισσότερες από δύο διαστάσεις και θα δείξουµε τα πλεονεκτήµατα της χρήσης των στη διαβίβαση πληροφορίας. Μεάλλαλόγιαθαθεωρήσουµε k κυµατοµορφέςσήµατος, οιοποίεςπεριγράφονταιαπό ορθοκανονικέςβάσειςµεδιάστασηµεγαλύτερητουδύο. Πρώτα εξετάζουµε την κατασκευή ορθογώνιων σηµάτων βασικής ζώνης και στη συνέχεια θεωρούµετοσχεδιασµόζωνοπερατώνσηµάτων. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-73

74 ( ) A Οικυµατοµορφές i (), i,, 3, 4, επικαλύπτονται πλήρως στο διάστηµα (,), ( ) A A Για παράδειγµα, ένα σύνολο από k επικαλυπτόµενες ορθογώνιες κυµατοµορφές µπορεί να κατασκευασθεί από ακολουθίες Hadaard, οι οποίες καλούνται επίσης και ακολουθίες Walh- Hadaard 3( ) A A 4( ) A A Σύνολο από Μ 4 επικαλυπτόµενες ορθογώνιες κυµατοµορφές σήµατος Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-74

75 ( ) A Οι κυµατοµορφές i (), i,, 3, 4, επικαλύπτονται πλήρως στο διάστηµα (,), ( ) A A Η διαβιβαζόµενη ψηφιακή πληροφορία αποτυπώνεται από τη συχνότητα. Ο τύπος αυτός σηµατοδοσίας καλείται διαµόρφωση παλµών κατά συχνότητα (FSK). ( 3 ) A A 4 ( ) A 3 4 A Σύνολο από Μ 4 επικαλυπτόµενες ορθογώνιες κυµατοµορφές σήµατος FSK. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-75

76 ( ) A Οικυµατοµορφές i (), i,, 3, 4, δενέχουνχρονική επικάλυψη ( ) A 4 Η διαβιβαζόµενη ψηφιακή πληροφορία αποτυπώνεται από τη χρονική θέση στην οποία τοποθετείται ο παλµός. Ο τύπος αυτός σηµατοδοσίας καλείται διαµόρφωση παλµών κατά θέση (Pule Poiion odulaion PP). ( ) 3 A ( 4 ) A Οι Μ κυµατοµορφές σήµατος βασικής ζώνης εκφράζονται ως ( ( ) ), ( ) A g,,, ( ) Όπου g () είναιπαλµόςδιάρκειας /καιαυθαίρετου σχήµατος. 3 4 Σύνολο από Μ 4 µη επικαλυπτόµενες ορθογώνιες κυµατοµορφές σήµατος PSK. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-76

77 Αν στην περίπτωση των Μ PP σηµάτων (µη επικαλυπτόµενοι παλµοί διάρκειας /), όλες οι κυµατοµορφές έχουν το ίδιο πλάτος A τότε έχουν και την ίδια ενέργεια E A ( ) d g A ( ) g ( ) d, γιαόλατα ( ( ) ) d Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-77

78 Ορίζουµε τις Μ συναρτήσεις βάσης οι ψ ( ) E g ( ( ) ),, ( ) αλλιώς Για,,,. Εποµένως οι Μ-αδικές PP κυµατοµορφές παριστάνονται γεωµετρικά από τα Μ-διάστατα διανύσµατα Σεραφείµ Καραµπογιάς ( E,,,, ) (, E,,, ) (,,,, E ) Είναι προφανές ότι τα διανύσµατα αυτά είναι ορθογώνια, δηλαδή, i j, όταν i j. E d 3 ψ 3( ) 3 ψ ( ) Ε E d 3 E d ψ ( ) Ορθογώνιασήµατα PP για N 3. Τα Μ διανύσµατα ισαπέχουν στο χώρο σηµάτων, δηλαδή, d n n E, για όλα τα n Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-78

79 Ζωνοπερατά Σήµατα Από ένα σύνολο ορθογώνιων κυµατοµορφών βασικής ζώνης (),,,,, κατασκευάζουµε Μ ζωνοπερατά σήµατα ως u ( π f ),,,, ( ) ( ) o Σεραφείµ Καραµπογιάς Σήµα βασικής ζώνης () u () Φέρον o ( π ) f Ζωνοπερατό σήµα ιαµόρφωση κατά πλάτος ενός ηµιτονοειδούς φέροντος από σήµα βασικής-ζώνης. Η ενέργεια της κάθε µιας από τις ζωνοπερατές κυµατοµορφές είναι το µισό της ενέργειας της αντίστοιχης κυµατοµορφής βασικής ζώνης. Οι ζωνοπερατές κυµατοµορφές είναι ορθογώνιες. Πράγµατι, αν n u ( ) u n ( ) d ( ) n ( ) ( ) o ( ) d + n ( π f ) d ( ) n ( ) o ( 4π f ) d Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-79

80 Μεταλλαγήολίσθησηςσυχνότητας (Frequeny Shif Keying FSK) Τα Μ-αδικά PP σήµατα επιτυγχάνουν την ορθογωνιότητα στο πεδίο του χρόνου µε τη χρήση µη επικαλυπτόµενων παλµών. Τα Μ σήµατα διαµορφωµένου φέροντος επιτυγχάνουν την ορθογωνιότητα στο πεδίο συχνοτήτων. Ο τύπος αυτός διαµόρφωσης καλείται ενγένει διαµόρφωση κατά συχνότητα φέροντος. Η απλούστερη µορφή αυτής της διαµόρφωσης είναι η µεταλλαγή ολίσθησης συχνότητα (Frequeny Shif Keying - FSK). Η απλούστερη µορφή ψηφιακής διαµόρφωσης κατά συχνότητα είναι το δυαδικό FSK. Στο δυαδικό FSK χρησιµοποιούµεδύοσυχνότητες, έστω f και f f + f, γιατηδιαβίβασητης δυαδικής πληροφορίας. Οι δύο κυµατοµορφές σήµατος µπορούν να εκφρασθούν ως u ( ) E b b o ( π f ), b u ( ) E b b o ( π f ), b Όπου E b είναιηενέργειαανά biκαι b ηδιάρκειατου bi. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-8

81 Γενικότερα, το Μ-αδικό FSK µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να µεταδίδουµε ένα µπλοκ από k log biανάκυµατοµορφήσήµατος. Σ' αυτήτηνπερίπτωσηοιμκυµατοµορφέςσήµατος µπορούν να εκφρασθούν ως u ( ) E E o π ( π f ) o( π f + f ),,, Όπου E k E b είναιηενέργειαανάσύµβολο, k b ηδιάρκειασυµβόλουκαι f η συχνοτική απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών συχνοτήτων, δηλαδή, f f f (-) όπου f f + f. f f f f 3 f Οι FSK κυµατοµορφέςέχουντηνίδιαενέργειαε ΤοΜ-αδικό FSK µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να µεταδώσουµε ένα µπλοκ από k log bi ανάκυµατοµορφήσήµατος. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-8

82 Η απόσταση συχνότητας f καθορίζει το βαθµό στον οποίο µπορούµε να διακρίνουµε µεταξύ τους τα πιθανά µεταδιδόµενα σήµατα. Ο συντελεστής διασυσχέτισης αποτελεί ένα µέτρο οµοιότητας δύο κυµατοµορφών σήµατος. Αποδεικνύεται ότι γ n( f ) γ n γ n E u ( ) u n ( ) d ( π ( n) f ) in π ( n) f Σεραφείµ Καραµπογιάς γ n,7 in,75 3 f Συντελεστής διασυσχέτισης συναρτήσει της συχνοτικής απόστασης f µεταξύ διαδοχικών FSK σηµάτων Η ελάχιστη συχνοτική απόσταση µεταξύ διαδοχικών συχνοτήτων ώστε να επιτύχουµε ορθογωνιότητα είναι /Τ. Επίσης η ελάχιστη τιµή του συντελεστή διασυσχέτισης είναι γ n in -,7, ηοποίαεπιτυγχάνεταιγια f,75/. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-8

83 Οι Μ-αδικές ορθογώνιες FSK κυµατοµορφές αναπαριστώνται γεωµετρικά από τα Μ-διάστατα ορθογώνια διανύσµατα Οι συναρτήσεις βάσης είναι Η απόσταση µεταξύ δύο διανυσµάτων είναι ( E,,,, ) (, E,,, ) (,,,, E ) ( ( f + f ) ψ ( ) o π ) d E Σεραφείµ Καραµπογιάς γιαόλατα και n, πουείναιηελάχιστηαπόστασηµεταξύτωνμσηµάτων. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-83

84 ΜεταλλαγήΟλίσθησηςΣυχνότητας (Frequeny Shif Keying (FSK)) u ( ) Σεραφείµ Καραµπογιάς Ψηφιακός διαµορφωτής u ( ) E E b u ( Ao ) ( π ( f + f ) ),, d αλλιώς b u ( ) Ψηφιακός διαµορφωτής u ( ) E E b u ( Ao ) ( π ( f f ) ), d, αλλιώς b u () Ψηφιακός u () διαµορφωτής E E b b 3 b Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-84

85 ιορθογώνιες κυµατοµορφές σήµατος (Πολυδιάστατα σήµατα) ΓενικάένασύνολοΜδιορθογώνιωνσηµάτωνµπορείνακατασκευαστείαπόένασύνολοΜ/ ορθογώνιωνσηµάτων i (), i,,, /καιτωναρνητικώντους - i (), i,,, /. Σε πολλές εφαρµογές τα διορθογώνια σήµατα προτιµώνται από τα ορθογώνια σήµατα δεδοµένου ότι το εύρος-ζώνης καναλιού που απαιτείται για τη διαβίβαση της πληροφορίας είναι µόλις το µισό από αυτό που απαιτείται για τη µετάδοση Μ ορθογώνιων σηµάτων Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-85

86 Για να σχηµατιστεί η γεωµετρική αναπαράσταση Μ - αδικών διορθογώνιων σηµάτων i (), i,,, /, - -/ (), / + αρχίζουµεµεμ/ ορθογώνιαδιανύσµατα σε Ν Μ/ διαστάσεις και προσαρτούµε τα αρνητικά τους. ( E,,,, ) (, E,,, (,,, E) ( E,,,, ) (, E,,, ), + (,,,, E ) Αστερισµός σήµατος για 4διορθογώνιασήµατα. Παρατηρούµε ότι ο αστερισµός σήµατος είναι ίδιος µε αυτόν µε αυτόν για το ορθογώνιο (τεσσάρωνφάσεων) PSK. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-86

87 Ζωνοπερατά σήµατα. Από ένα σύνολο Μ διορθογώνιων κυµατοµορφών σηµάτων βασική ζώνης { ()}, σχηµατίζεται το αντίστοιχο σύνολο Μ ζωνοπερατών σηµάτων {u ()} διαµορφώνοντας το φέρων o(π f ) µετιςκυµατοµορφέςσήµατοςβασικήςζώνης, δηλαδή, u ( ) ( )o(π f ),,,...,, Η γεωµετρική αναπαράσταση των ζωνοπερατών σηµάτων είναι ίδια µε αυτήν των αντιστοίχων σηµάτων βασικής ζώνης, µε τη διαφορά ότι η ενέργεια των ζωνοπερατών σηµάτων είναι ίση το µισότηςενέργειαςτωναντίστοιχωνκυµατοµορφώνβασικήςζώνης. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-87

88 Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-88 Siplex κυµατοµορφέςσήµατος ΑπόένασύνολοΜορθογώνιωνκυµατοµορφώνσηµάτων ()κατασκευάζεταιένασύνολομ Silex κυµατοµορφές σήµατος () αν από κάθε µία από τις ορθογώνιες κυµατοµορφές σήµατος αφαιρέσουµε τη µέση τιµή των Μ ορθογώνιων σηµάτων. k k ) ( ) ( ) ( Η ενέργεια των iplex σηµάτων είναι E d E ) ( και n E d n n, ) ( ) (

89 ) Οι κυµατοµορφές στο σύνολο των iplex σηµάτων έχουν µικρότερη ενέργεια από τις κυµατοµορφές στο σύνολο των ορθογώνιων σηµάτων. ) Οι iplex κυµατοµορφές σήµατος δεν είναι ορθογώνιες. Αντίθετα έχουν αρνητική διασυσχέτιση η οποία είναι η ίδια για όλα τα ζεύγη κυµατοµορφών. 3) Εικάζεται ότι µεταξύ όλων των δυνατών Μ-αδικών σηµάτων µε ίση ενέργεια Ε το σύνολο των ilex σηµάτων οδηγεί στη µικρότερη πιθανότητα σφάλµατος σε περιβάλλον AWGN. Η γεωµετρική αναπαράσταση ενός συνόλου iplex σηµάτων λαµβάνεται αφαιρώντας το µέσο διάνυσµα σήµατος από ένα σύνολο Μ ορθογώνιων διανυσµάτων Το αποτέλεσµα της αφαίρεσης του µέσου όρου είναι η µετατόπιση της αρχής των Μ ορθογώνιωνσηµάτωνστοσηµείο, καιηελαχιστοποίησητηςενέργειατωνσηµάτων { }. Η απόσταση µεταξύ δύο οποιωνδήποτε σηµείων σήµατος δεν άλλαξε από τη µετατόπιση της αρχήςτωναξόνωνκαιπαραµένει d E Εάν η ενέργεια ανά σήµα για τα ορθογώνια σήµατα είναι E, τότεηενέργειατων iplex σηµάτωνείναι E E Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-89

90 Ο συντελεστής διασυσχέτισης (κανονικοποιηµένη διασυσχέτιση) µεταξύ του -στου και του n-οστου σήµατος είναι γ n n n Εποµένως όλα τα σήµατα ανά δύο έχουν την ίδια διασυσχέτιση. k,,,..., k k k 3 4 Αστερισµόςσήµατοςγια 4 iplex σήµατα ιαµορφώνοντας ένα φέρον o(π f ) µε ένα σύνολο iplex κυµατοµορφών σήµατος βασικής ζώνης, λαµβάνεται ένα σύνολο ζωνοπερατών κυµατοµορφών που ικανοποιούν τις ιδιότητες των iplex ζωνοπερατών σηµάτων. Ψηφιακή Μετάδοση Αναλογικών Σηµάτων 7-9