2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван

2.1. Права, дуж, полуправа, раван, полураван Човек је за своје потребе градио куће, школе, путеве и др. Слика 1. Слика 2. Основа тих зграда је често правоугаоник или сложенија фигура (слика 3). Слика 3. 1) 2) Такође, људи су мерили и ограђивали делове земљишта (њиве, торове и слично) (слика 4). На географским и другим картама (као и на глобусима) путеви и реке обележавају се линијама, језера и мора плавим површинама, а градови и насеља малим кружићима или тачкама. Слика 4. 1) 2) Посматрајући ведро небо ноћу запажамо да нам пун Месец изгледа као светао круг, ближе звезде као светли кружићи, док веома удаљене звезде (веће од Сунца и удаљене од Земље милијардама километара) изгледају као светле тачке. За ове и друге намене, користе се различити прибори и цртају разни геометријски објекти, као што су: правоугаоници, кругови, дужи, праве и криве и др. Праву нпр. цртамо лењиром (слика 5). Различите тачке А и В одређују тачно једну праву а. Запис, В а означава да тачка В припада правој а. Такође, запис С а значи да тачка С не припада правој а. математика за 5. разред 28 основне школе

Слика 5. Слика 6. S 1. На слици 6 приказана је права и неке тачке. 1) Означи да нека тачка не припада правој. 2) Означи да нека тачка припада правој. 2. Дате су две праве и s (слика 7). Две различите тачке одређују тачно једну праву. На правој, осим њих, има и других тачака. Све тачке праве чине њен скуп тачака. Права а се записује и овако:, права са или. Слика 7. T s H Слика 8. Које од следећих тврђења је тачно: 1) s; 2) ; 3) ; 4) s = {}? Распоред тачака на бројевној полуправи је повезан с одговарајућим бројевима (слика 24 из претходног одељка). Уочили сте, да се тачка N која одговара неком броју n налази између тачака које одговарају његовом претходнику и следбенику. Уопште, за било које три различите тачке А, В, С неке праве а (у овом распореду) (слика 8) каже се да је тачка В између тачака А и С. Такође, за тачке праве а важи однос: тачка С није између тачака А и В; тачка А није између тачака В и С. 3. Дата је права а и неке њене различите тачке (слика 9). За неке три тачке напиши њихов однос између. P O Q Слика 9. 4. Нацртај неку праву и две њене различите тачке. 1) Одреди две тачке праве р које су између датих тачака. ОСНОВНИ ГЕОМЕТРИЈСКИ 29 ОБЈЕКТИ

2) Одреди неке тачке праве р које нису између датих тачака. На слици 10 уочи како се одређује правац затезањем канапа (жице) помоћу два стубића. Слика 10. 1) 2) 3) 4) Права а је одређена тачкама А и В (слика 11). Слика 11. Слика 12. q N Тачке и и скуп свих тачака праве а између тачака и одређују дуж, читај: дуж. Тачке и су крајеви дужи. Обележи на правој а тачке А, В,, и напиши неколико дужи одређених њима. Тачно је тврђење: Дуж АВ је подскуп праве а (АВ ). Објасни. 5. Нацртај две праве и одреди неколико дужи које су њихови подскупови. 6. Дат је правоугаоник АВ (слика 12) и праве р и q. 1) Уочи дужи: А, N, N. 2) Одреди још неке дужи. 7. 1) Дата је права а и три њене различите тачке А, В, С. Колико укупно дужи је одређено тим тачкама? 2) Колико укупно дужи одређује пет различитих тачака праве, а колико 20 различитих тачака? Нека тачка А припада правој р (слика 13). Слика 13. y y II I x x Тачка А и скуп свих тачака с једне стране праве а чине полуправу А х (читај: А икс ). Тај скуп издвојен из скупа тачака праве а, изгледа овако (слика 14): Слика 14. S x Тачка А је почетна тачка полуправе А х. За сваку тачку М полуправе А х (различиту од тачке математика за 5. разред 30 основне школе

А) постоји тачка која је испред тачке М, и постоји тачка S која следи иза тачке М. То значи, да полуправа А х нема завршну тачку. Постоји и друга полуправа праве а, то је А y (читај: А ипсилон ) (слика 15). Слика 15. y 8. Нацртај неку праву и тачку која припада тој правој. Уочи и обележи полуправе које си добио. 9. Запиши све полуправе на слици 16. z Слика 16. Слика 17. q O O x y 10. Две праве р и q секу се у тачки О (слика 17). Обележи и напиши све полуправе. 11. На правој р дате су три различите тачке А, В и С. 1) Уочи и запиши све полуправе које се могу добити. 2) Реши исти задатак ако је дато 5 (или 10) различитих тачака које припадају правој р. Мерење доскока такмичара, човечје руке, пређеног пута возила, дужине дужи и др. врши се на различите начине и различитим справама (инструментима) (слика 18). 1) 2) Слика 18. 3) 4) 5) c 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N P K ОСНОВНИ ГЕОМЕТРИЈСКИ 31 ОБЈЕКТИ

Дужина дужи АВ = а = 9 cm. Прочитај и запиши дужине дужи: = c; P = ; = m. Данас је поступак мерења човек толико осмислио и усавршио да може са прилично сигурности одговорити на питање: колика је удаљеност далеких звезда и планета од Земље или колика је величина једра ћелије или неких других веома ситних честица. Решимо следећи задатак: 12. За долазак од куће до школе ученик је начинио 1000 корака (сви су једнаки међусобно), а дужина корака је 50 cm. Колико метара је дуг пут између та два објекта (слика 19)? Слика 19. 50 cm K 1 2 m Š Дужина пута KŠ = s = 1000 50 cm. Колики је тај пут изражен у метрима? Приметимо, да се за наведена мерења користе јединице мере: 1 cm, 1 mm, 1 m, 1 km, 1 педаљ руке, дужина руке, дуж d, корак ученика. Уопште, за било коју дуж АВ (слика 20), мерење се врши тако што се произвољно изабрана дуж k, преноси као на слици и утврђује колико се пута та дуж k садржи у дужи АВ. У овом случају АВ = 8 k. Дужина дужи АВ је 8 k. Слика 20. k k 1 k k k k k k k 8 Слика 20 13. Дате су дужи (слика 21). Слика 21. Слика 22. O Прво одреди јединичну дуж, а затим дужине датих дужи. 14. Дужи имају заједничку почетну тачку О (слика 22). 1) Колика је дужина сваке од датих дужи? 2) Која од њих је најдужа, а која најкраћа? 3) Да ли међу њима има једнаких дужи? 15. Одреди јединичну дуж, а затим дужине дужи (слика 23). математика за 5. разред 32 основне школе

1) 2) Слика 23. На пример: С = 4 k; = 3 k, па је <. Исто тако, = 6 k; = 6 k, тј. =. Уопште, за две дужи АВ и С (слика 24), одређује се однос: је мањи (<), је већи (>), је једнак (=). Слика 24. Слика 25. Слика 24 Један од начина да се дужи упореде јесте одређивање њихових дужина и упоређивање добијених бројева. Упоређивањем добијених бројева закључује се која је дуж дужа или краћа (или су једнаке). Други начин упоређивања је преношење једне дужи на другу (почетна тачка А на почетку тачку С, а завршна В између С и ). У том случају дуж АВ < С (слика 24). Ако би се десило да завршна тачка В није између С и, онда је С < АВ (слика 25) и В Ср (Ср је полуправа) АВ > С, односно С < АВ. Ако се деси да се преношењем дужи АВ и С једне на другу поклопе и крајње тачке, онда се каже да су се те две дужи поклопиле или подудариле. За дужи АВ и С кажемо да су једнаке (подударне), АВ = С (једнаке су им дужине). 16. 1) Нацртај две дужи које нису једнаке, и две једнаке дужи. Објасни поступак рада. 2) Покушај да нацрташ више (много) једнаких дужи! 17. Упореди: 1) суседне странице правоугаоника АВС. Какав је однос дужи АС и страница правоугаоника? 2) странице квадрата ЕGH и дужи H (слика 26). 1) 2) H G Слика 26. 18. На слици 26 могуће је уочити неке геометријске објекте (правоугаоник или квадрат). Нацртај их а затим за сваки такав објекат одреди међусобни однос његових страница. ОСНОВНИ ГЕОМЕТРИЈСКИ 33 ОБЈЕКТИ

Слика 26. 1) 2) 3) 4) Посматрај око себе објекте и уочи неке равне површи, и неке површи које нису равне (криве). Лист хартије на коме цртамо, школска табла, радни сто, зидови и таванице, све су то модели равних површи краће, равни. Раван графички приказујемо као на слици 27, и обележавамо великим словом π (пи) или неким од грчких слова: α (алфа), β (бета), γ (гама), δ (делта). Замислимо један лист, па затим неки мало дужи, па следећи шири од претходног и радимо то колико год хоћемо пута. Добијали бисмо све веће и веће листове али увек моделе равни. Тако уочавамо да је раван неограничена иако је представљамо сликом која је ограничена. Раван чини скуп свих тачака које њој припадају (слика 28). Слика 27. Слика 28. π α α Слика 28 Запис А α, означава да тачка А припада равни α. На моделу коцке (или другом телу) уочи моделе равни и неку тачку простора која не припада тој равни (слика 29). На пример: А β; М β, С β. Слика 29. Слика 30. N y β X Мрежа правих са слике 30 је део равни γ. Напиши да тачке припадају равни γ (А γ, В γ, ). Постоје тачке које припадају некој равни α. Раван је бесконачан скуп тачака. Постоје тачке које не припадају равни α. Цео простор можемо сматрати бесконачним скупом тачака. математика за 5. разред 34 основне школе

Уопште: Три различите тачке А, и које не припадају истој правој, одређују тачно једну раван α (слика 31). Значи, А α, В α, С α. Слика 31. α Све тачке праве АВ припадају равни α, па је права АВ подскуп равни α (АВ α). Такође, и праве АС и ВС су подскупови равни α, тј. АС α и ВС α. 19. На моделу коцке или неког другог тела уочи модел равни, у њој обележи две различите тачке, а затим нацртај праву коју одређују те тачке. Какав је однос уочене равни и те праве? Цртајући правоугаоник и квадрат у равни, примећујемо да сва њихова темена припадају тој равни (слика 32). Такође, дужи АВ, СВ, ЕH су подскупови равни α. Уочавамо да се праве АВ и ВС секу у тачки В. Праве АВ и С немају заједничких тачака (слика 32). H G Слика 32. α За праве АВ и кажемо да су паралелне, што се записује АВ С (знак је ознака за паралелност правих). Паралелне су и праве А и ВС (А ВС). На квадрату ЕGH нацртај и обележи праве које су паралелне. Паралелне положаје имају разни облици и објекти: зидови собе, шине и жице за возила, држачи за гимнастичара и др. (слика 33). 1) 2) 3) Слика 33. ОСНОВНИ ГЕОМЕТРИЈСКИ 35 ОБЈЕКТИ

20. Ивице АВ и Е квадра су паралелне (АВ Е), а паралелне су и праве р и q (р q) које су одређене тачкама А и В, односно тачкама Е и (слика 34). Слика 34. Слика 35. H G q 1) 2) 3) q Одреди за дати квадар: 1) неке паралелне ивице, као и њихове одговарајуће праве; 2) неке ивице које се секу, као и њихове одговарајуће праве. Уопште, две праве р и q неке равни које се не секу, паралелне су, што се записује: р q (слика 35.1) и 2)). Ако је а, онда је АВ С. Друкчије речено: ако су праве паралелне, онда су и њихове одговарајуће дужи, које су њихови подскупови, такође паралелне. Сматра се, посебно, да је свака права х паралелна сама себи (слика 36). ( * ) Слика 36. x S Цртање паралелних правих се врши на различите начине, а један од њих је приказан на слици 37. Слика 37. Слика 38. c II 21. Нацртај неколико парова паралелних правих. За три праве а,, c важи: ако је а и c, онда је а c (слика 38). Својство паралелности правих је преносно (транзитивно). 22. 1) На слици 39 уочи четири паралелне праве. Уочи и две праве које нису паралелне. (*) Реч параленост је узета од грчке речи параллелос значи идући упоредо. математика за 5. разред 36 основне школе

Слика 39. Слика 40. c q x d 2) Нацртај праве х и у. Нацртај три праве паралелне правој х. Нацртај неколико правих паралелних правој у. 23. Дата је права а и тачке М и В које јој не припадају: 1) Нацртај две праве које су паралелне правој а. 2) Нацртај праву која је паралелна правој а и садржи: а) тачку М; б) тачку В. 24. Дате су три тачке А, В и С (слика 40). Нацртај: 1) две праве паралелне правој АВ; 2) праву паралелну правој АВ која садржи тачку С. Уради исти задатак за праву ВС и тачку А. 2.2. Полураван, изломљена линија. Област Отворена књига на столу (слика 41) изгледа нам као да је део равни подељен на два дела. Полураван цртамо као што показује слика 42. Раван α је подељена правом а на две полуравни (π 1 и π 2 ). Слика 41. Слика 42. π 1 π 2 α X Скуп свих тачака равни α с једне стране праве а, укључујући и праву а (а α), назива се полураван. Права а је ивица полуравни. ( * ) Листови књиге или свеске у различитим положајима, стране коцке и других тела (квадар, пирамида), под собе и бочни зид су неки примери модела полуравни са заједничком ивицом (слика 43). 3) Слика 43. 1) π 1 π 2 2) π 2 π 1 (*) Често се каже да права а дели раван на две области π 1 и π 2. ОСНОВНИ ГЕОМЕТРИЈСКИ 37 ОБЈЕКТИ