Μάθημα 3 ο. Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυμάτων

Μάθηα ο Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων Εξίσωση της Κίνησης Εξίσωση του Κύατος Εξίσωση Διανυσατικού Κύατος Στάσια Κύατα Ελαστικά Κύατα Χώρου Επιφανειακά Κύατα ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ

.. Εξίσωση της Κίνησης Ηάζα, δm, τηςύληςπουπεριλαβάνεταιέσαστοστοιχειώδες παραλληλεπίπεδο (Σχ..) θα είναι: δm ρδv όπου ρ η πυκνότητα και δvδ δ δ. Έστω ότι η στοιχειώδης άζα ετατίθεται από τη θέση ισορροπίας της και ότι οι συνιστώσες του διανύσατος ετάθεσης είναι,, κατά τις διευθύνσεις των αξόνων Ο, Ο, Ο, αντίστοιχα. Η κίνηση κατά ορισένη διεύθυνση περιγράφεται ε τη θεελιώδη εξίσωση της δυναικής F i δm.γ i ρδvγ i ρδ δ δ γ i Σχ...Τάσεις που ασκούνται στις έδρες του στοιχειώδους παραλληλεπιπέδου παράλληλα προς τον άξονα. όπου F i είναι η δύναη που ασκείται κατά τη διεύθυνση i στη στοιχειώδη άζα δm και γ i η επιτάχυνση κατά την ίδια διεύθυνση. Κατά τη διεύθυνση του άξονα θα ισχύει: όπου F δm. γ γ t ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ

.. Εξίσωση της Κίνησης (συνέχεια) ΗδύναηF θα είναι ίση ε το αλγεβρικό άθροισα των έξη δυνάεων που ασκούνται στις έξη έδρες του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου (σχ..) και έχουν τη διεύθυνση του άξονα. Κάθε ία από αυτές τις δυνάεις θα είναι ίση ε την τάση που ασκείται στην αντίστοιχη έδρα επίτοεβαδόντης έδρας. Εποένως οι δυνάεις που ασκούνται είναι: -p δ δ -p δ δ -p δ δ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ ' ' ' p p p p p p p p p δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ Προσοχή: Οι τάσεις p, p, p έχουν αντίθετες κατευθύνσεις των p, p, p

4.. Εξίσωση της Κίνησης (συνέχεια) Με αντικατάσταση στη σχέση ΣF ρδ δ δ γ βρίσκουε: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ p p p t ρ ( ) ( ) ( ) e e e e e e p p p t θ λ λθ ρ Αντικαθιστώντας στην παραπάνω σχέση τις τιές των p ij σε συνάρτηση ε τις συνιστώσες ετάθεσης ε βάση το νόο του Snell (p ij λθδ ij e ij i, j,, ) θα προκύψει ότι Οι ερικές παράγωγοι των e, e, e ως προς,, είναι: e e Οοίως και για την e. Με αντικατάσταση των σχέσεων αυτών στη παραπάνω σχέση, θέτοντας:

5.. Εξίσωση της Κίνησης (συνέχεια) προκύπτει ότι ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ, e ii i i i i ) ( t θ λ ρ (.) Αυτή είναι η διαφορική εξίσωση της κίνησης των υλικών σηείων ελαστικού και ισότροπου έσου κατά τη διάδοση διατάραξης κατά τη διεύθυνση του άξονα. Με όοιο τρόπο προκύπτουν αντίστοιχες σχέσεις για διάδοση διαταράξεων κατά τις διευθύνσεις των αξόνων και. Το δεύτερο έλος της σχέσης (.) αποτελείται από δύο όρους. Ο πρώτος όρος παριστάνει εταβολή στην κυβική παραόρφωση και εξαρτάται και από τις δύο σταθερές του Lamé (λ και ). Ο δεύτερος όρος παριστάνει εταβολή στην εγκάρσια διατάραξη και εξαρτάται όνο από το έτρο της ακαψίας ().

.. Εξίσωση του Κύατος Έστω ότι ένα έγεθος εταβάλλεται χωρικά και χρονικά. Το έγεθος αυτό πορεί να είναι συνιστώσα ετάθεσης ή άλλη φυσική ποσότητα, όπως είναι η ένταση του αγνητικού και του ηλεκτρικού πεδίου. Η διαφορική εξίσωση t c (.) παριστάνει τη γενική ορφή της εξίσωσης του κύατος, όπου c είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύατος. Αν υποθέσουε την απλή περίπτωση όπου το κύα διαδίδεται κατά τη διεύθυνση ενός άξονα, έστω του, τότε η ετάθεση δεν εξαρτάται από τα και (/ / 0) και η διαφορική εξίσωση παίρνει τη ορφή: t c (.) Αυτή είναι η εξίσωση του κύατος όταν η διάδοση γίνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 6

Ηγενικήλύσητης(.) είναι της ορφής:.. Εξίσωση του Κύατος (συνέχεια) f( -ct) F( ct) (.4) Κάθε ία από τις συναρτήσεις f και F πρέπει να ικανοποιεί τις αρχικές και τις ορικές συνθήκες και παριστάνει κύα που διαδίδεται κατά τη διεύθυνση του άξονα. Το κύα αυτό λέγεται επίπεδο κύα, γιατί σε οποιαδήποτε χρονική στιγή η εξαρτάται όνο από το,(διεύθυνση διάδοσης) και είναι σταθερή σε διευθύνσεις κάθετες προς αυτήν, δηλαδή σε κάθε χρονική στιγή η τιή της είναι η ίδια σε όλα τα σηεία κάθε επιπέδου κάθετου στον άξονα. Όταν ο χρόνος εταβληθεί κατά δt, ητιήτηςf θα είνει αετάβλητη, αν η εταβληθεί κατά cδt. Δηλαδή, η f αποκτάει σε χρόνο tδt και στη θέση cδt την ίδια τιή που έχει στο χρόνο t στη θέση. Συνεπώς, η f( -ct) παριστάνει κύα που διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα και η F( ct) παριστάνει κύα που διαδίδεται κατά την αρνητική φορά του άξονα (σχ..). Σχ... ιάδοση επιπέδου κύατος. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 7

.. Εξίσωση του Κύατος (συνέχεια) Ειδική περίπτωση της εξίσωσης (.4) του κύατος αποτελεί η: Aσυν [κ( ct) φ ] (.5) Αυτή παριστάνει απλό αρονικό επίπεδο κύα. Οι σταθερές Α και φ είναι το πλάτος και η φάση του κύατος, αντίστοιχα, ενώ η σταθερά κ λέγεται κυατικός αριθός και συνδέεται ε την περίοδο Τ και το ήκος κύατος λ ε τις σχέσεις: π π λ, T (.6) κ κc Σχ... Αρονική εταβολή της ετάθεσης σε συνάρτηση ε την απόσταση σε ορισένη χρονική στιγή (πάνω) και σε συνάρτηση ε το χρόνο σε ορισένη θέση (κάτω). Σε οποιαδήποτε χρονική στιγή (t σταθερό) η εταβάλλεται αρονικά ε την απόσταση (σχ.. πάνω), ενώ σε οποιοδήποτε σηείο ( σταθερό) η εταβάλλεται αρονικά ε το χρόνο (σχ.. κάτω). ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 8

.. Εξίσωση του Κύατος (συνέχεια) Μια γενική διαδικασία για τη λύση ερικών διαφορικών εξισώσεων της ορφής (.) είναι να θεωρήσουε ότι η λύση αποτελείται από δύο όρους, εκ των οποίων ο ένας εξαρτάται όνο από το χ (ας θεωρήσουε διάδοση του κατά τη διεύθυνση χ ) και ο άλλος όνο από το χρόνο t. Εποένως (,t) X( )T(t) (Α.) Αντικαθιστώντας στη σχέση (.) προκύπτει c d X ( ) X ( ) d d T ( t) T ( t) dt 0 (Α.) Επειδή ο όρος στα αριστερά είναι συνάρτηση όνο του χ και πρέπει να ισούται ε τον όρο στα δεξιά που είναι συνάρτηση όνο του t, κάθε ένας από τους όρους αυτούς θα ισούται ε ία σταθερά, έστω ω. Προκύπτουν έτσι δύο συζευγένες (copled) διαφορικές εξισώσεις d X ) ω d T ( t) X ( ) 0, ω T ( t) 0 d c dt ( Οι διαφορικές αυτές εξισώσεις επιλύονται ε συγκεκριένους τρόπους (π.χ. ε τη χρήση του ετασχηατισού Forier) ή απλώς αναγνωρίζοντας ότι έχουν τη ορφή που ικανοποιείται από απλές αρονικές συναρτήσεις. Θέτοντας (Α.) X ( ω ω i( ) i( ) c c iωt iωt ) Ae Ae, T ( t) Be Be θα έχουε λύσεις για τις εξισώσεις (Α.). ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 9

.. Εξίσωση του Κύατος (συνέχεια) Αυτού του είδους οι αρονικές λύσεις, δηλαδή της ορφής (, t) Ae iω(t± ) c Acos[ ω(t ± )] c iasin[ ω(t ± )] c (Α.4) είναι θεελιώδους σηασίας για τη Σεισολογία. Για συγκεκριένη τιή της ποσότητας ω (γωνιακή συχνότητα) οι αρονικοί όροι έχουν περίοδο Τ π/ω, που είναι ο χρόνος διέλευσης δυο διαδοχικών κορυφών σε ένα συγκεκριένο σηείο. Αν το κύα θεωρηθεί σαν συνάρτηση όνο του χ, το ήκος κύατος λ c/t, είναι η απόσταση εταξύ δύο διαδοχικών κορυφών. Ο όρος κ ω/c π/λ είναι ο κυατάριθος του αρονικού κύατος. Τα σεισικά κύατα έχουν συχνότητες f (/T) εταξύ 0,000 Hz και 00 Hz. Θεωρώντας ια έση ταχύτητα 5 Km/s τα ήκη κύατος είναι εταξύ 5.000 Km και 0,05 Km. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 0

.. Εξίσωση Διανυσατικού Κύατος Στη γενική περίπτωση, η διατάραξη που διαδίδεται σε ένα έσο υπό ορφή κύατος είναι ένα διάνυσα ε συνιστώσες και στους τρεις άξονες (,, ), δηλαδή, η εταβαλλόενη στο χρόνο και χώρο ποσότητα είναι διανυσατική, (,, ). Στις περιπτώσεις αυτές ισχύει για κάθε συνιστώσα του διανυσατικού εγέθους ια εξίσωση της ορφής ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ i i c t Ας θεωρήσουε πάλι διάδοση κατά τη διεύθυνση του άξονα και ας υποθέσουε ότι έχουε εταβολή των συνιστωσών,, όνο κατά τη διεύθυνση του άξονα, δηλαδή, i / 0 (i,, ) και 0 Τότε, οι εξισώσεις του κύατος για τις συνιστώσες θα είναι:,, c t c t c t Στην περίπτωση αυτή το κύα είναι επίπεδο διανυσατικό κύα. (.7)

.. Εξίσωση Διανυσατικού Κύατος (συνέχεια) Μπορεί να υπάρχει και πρόσθετος περιορισός από αυτόν που ορίζει το επίπεδο κύα ο οποίος έχει ως συνέπεια τη δηιουργία πολωένου κύατος. Ένας τέτοιος περιορισός είναι αυτός που ορίζει η σχέση:. Από τη σχέση αυτήν και την (.7) προκύπτει ότι / 0 σε κάθε χρονική στιγή και σε κάθε σηείο. Για το πολωένο αυτό κύα ισχύουν όνο οι δύο διαφορικές εξισώσεις: 0 t c, t c Συνεπώς, όνο οι συνιστώσες και υπάρχουν κατά τη διάδοση του πολωένου αυτού κύατος κατά τη διεύθυνση του άξονα. Αυτό σηαίνει ότι η διατάραξη στην περίπτωση αυτή συβαίνει σε επίπεδο κάθετο στη διεύθυνση του άξονα διάδοσης του κύατος (σχ..4). Τέτοια κύατα είναι τα εγκάρσια κύατα. Σχ..4. ιάδοση πολωένου κύατος. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ

.4. Ελαστικά Κύατα Χώρου Η εξίσωση (.) ρ t θ ( λ ) περιγράφει πλήρως τη διάδοση διατάραξης κατά ορισένη διεύθυνση έσα σε απεριόριστο ελαστικό και ισότροπο έσο. Το δεύτερο έλος της σχέσης αυτής αποτελείται από δύο όρους. Αυτό δείχνει ότι η εξίσωση αυτή περιγράφει τη διάδοση σύνθετης διατάραξης, που αποτελείται από δύο είδη διαδιδόενων διαταράξεων ή αλλιώς από δύο είδη κυάτων που λέγονται ελαστικά κύατα χώρου. Τα ελαστικά κύατα του πρώτου είδους αφορούν τη διάδοση της εταβολής του όγκου ή της πυκνότητας του έσου διάδοσης και λέγονται επιήκη ελαστικά κύατα. Τα ελαστικά κύατα του δεύτερου είδους αφορούν τη διάδοση της εγκάρσιας παραόρφωσης και λέγονται εγκάρσια ελαστικά κύατα. Μπορεί να αποδειχθεί ότι τα κύατα αυτά είναι και τα όνα κύατα για τη διάδοση της διατάραξης σε έναν οογενή και ελαστικό χώρο. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ

4.4.. Επιήκη Κύατα Αν παραγωγίσουε τη σχέση (.) ως προς θα έχουε: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ ( ) ( ) t t θ λ ρ θ λ ρ Κατά τον ίδιο τρόπο, αν παραγωγίσουε ως προς και τις σχέσεις (.) για τον άξονα και, αντίστοιχα και προσθέσουε τις τρεις εξισώσεις κατά έλη θα προκύψει: ( ) ( ) θ θ λ θ θ θ λ ρ t θ ρ λ θ t (.8) Αυτή είναι η διαφορική εξίσωση των επιήκων κυάτων. Η ταχύτητα διάδοσης των επιήκων κυάτων δίνεται από τη σχέση: ρ λ α

.4.. Επιήκη Κύατα (συνέχεια) Στη Σεισολογία, τα κύατα αυτά παριστάνονται ε το σύβολο Ρ (Prims) επειδή τα επιήκη κύατα, που παράγονται στην εστία ιας δόνησης, φθάνουν σε ορισένο σεισολογικό σταθό και αναγράφονται πρώτα αυτά από τους σεισογράφους, γιατί η ταχύτητα διάδοσης τους είναι εγαλύτερη από τη ταχύτητα διάδοσης των εγκαρσίων κυάτων που παράγονται συγχρόνως ε τα επιήκη κύατα στην ίδια εστία. Κατά τη διάδοση των επιήκων κυάτων έσα σε ελαστικό έσο, τα υλικά σηεία του έσου ταλαντώνονται κατά διεύθυνση παράλληλη προς τη διεύθυνση διάδοσης του κύατος, δηλαδή, προς τη διεύθυνση της σεισικής ακτίνας και άλιστα κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να δηιουργούνται διαδοχικά πυκνώατα και αραιώατα (σχ.. 5). Η διάδοση έσα στη Γη των πυκνωάτων και αραιωάτων, δηλαδή, της εταβολής της πυκνότητας κατά τη διεύθυνση διάδοσης της σεισικής ενέργειας αποτελεί τα επιήκη σεισικά κύατα. Η φορά ταλάντωσης των υλικών σηείων κατά τη διάδοση των επιήκων σεισικών κυάτων λέγεται συπίεση (C) όταν αυτή συπίπτει ε τη φορά διάδοσης του κύατος, ενώ αυτή λέγεται αραίωση (D) όταν είναι αντίθετη της φοράς διάδοσης του κύατος. Σχ..5. Κινήσεις των υλικών σηείων κατά τη διάδοση επιήκους κύατος. 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ

6.4.. Εγκάρσια Κύατα Αν θεωρήσουε τη σχέση (.) κατά τους άξονες και και παραγωγίσουε ως προς και, αντίστοιχα, θα προκύψουν οι σχέσεις: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ ( ) t θ λ ρ ( ) t θ λ ρ Αφαιρώντας κατά έλη και πολλαπλασιάζοντας ε i προκύπτει: και w t w t v v ρ ρ i i όπου w ( i ), i i j k. Αν κάνουε το αντίστοιχο για τους άλλους δύο συνδυασούς δεικτών και προσθέσουε τότε προκύπτει: t k j i k j i ρ δηλαδή

7.4.. Εγκάρσια Κύατα (συνέχεια) όπου w i i. Ησχέση(.9) είναι η διαφορική εξίσωση των εγκαρσίων κυάτων. Η ταχύτητα των κυάτων αυτών δίνεται από τη σχέση: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ i i w t w v v ρ (.9) Κατά τη διάδοση του εγκαρσίου κύατος κατά ήκος του άξονα, θα ισχύουν οι σχέσεις (.7) καθώς και η / 0 (επειδή.0) και η εξίσωση των εγκαρσίων κυάτων γίνεται: ρ β t k j k j ρ Εποένως θα έχουε ταλάντωση κάθετα στη διεύθυνση του ενός διανύσατος ε συνιστώσες όνον κατά j και k.

.4.. Εγκάρσια Κύατα (συνέχεια) Από τη σύγκριση της σχέσης της ταχύτητας των εγκαρσίων κυάτων ε αυτήν των επιήκων προκύπτει ότι πράγατι η ταχύτητα των εγκαρσίων κυάτων σε ένα έσο είναι ικρότερη από την αντίστοιχη ταχύτητα των επιήκων κυάτων. Γι αυτό, τα εγκάρσια σεισικά κύατα, που γεννιούνται στην εστία ιας δόνησης, φθάνουν και γράφονται σε τυχόντα σεισολογικό σταθό ετά τα επιήκη κύατα της δόνησης και, γιατολόγοαυτό, αυτά παριστάνονται ε το S (Secnds). Είναι γνωστό ότι για τα ρευστά ισχύει 0 και συνεπώς τα εγκάρσια σεισικά κύατα δεν διαδίδονται έσα στα ρευστά. Κατά τη διάδοση των εγκαρσίων κυάτων σε ελαστικό έσο, τα υλικά σηεία αυτού ταλαντώνονται κάθετα προς τη διεύθυνση διάδοσης του κύατος και άλιστα κατά τέτοιο τρόπο, ώστε το έσο να παθαίνει όνο διατητική ελαστική παραόρφωση (σχ..6). Η διάδοση αυτή της διατητικής παραόρφωσης έσα στη Γη αποτελεί ταεγκάρσιασεισικάκύατα. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 8

.4.. Εγκάρσια Κύατα (συνέχεια) Σχ..6. Κινήσεις των υλικών σηείων κατά τη διάδοση εγκάρσιου κύατος. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 9

.4.. Εγκάρσια Κύατα (συνέχεια) Παράδειγατα καταγραφής επιήκων και εγκαρσίων κυάτων. Time (seconds) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 0

.4.. Εγκάρσια Κύατα (συνέχεια) To διάνυσα της ετάθεσης, που οφείλεται στη διάδοση των εγκαρσίων κυάτων, αναλύεται σε δύο συνιστώσες, την SH και την SV. SH : έχει τη διεύθυνση της τοής του οριζόντιου επιπέδου και του επιπέδου του κάθετου στη σεισική ακτίνα. SV : έχει τη διεύθυνση της τοής του κατακόρυφου επιπέδου που περιέχει τη σεισική ακτίνα και του επιπέδου που είναι κάθετο στη σεισική ακτίνα. Σχ..7. Ανάλυση του διανύσατος S στα SH και SV διανύσατα. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ

.4.. Εγκάρσια Κύατα (συνέχεια) Η λύση της εξίσωσης του κύατος για συχνότητα ω είναι: f ± i(ωt± k.) (, t) Ae Η γεωετρική επιφάνεια των σηείων στο χώρο στα οποία η ποσότητα (ωt±k.) είναι σταθερή είναι το έτωπο κύατος. Η απλούστερη γεωετρία ενός ετώπου κύατος είναι αυτή του επιπέδου κύατος η οποία σε καρτεσιανές συντεταγένες δίνεται από τη σχέση W()v v v, όπου ν j είναι τα διευθύνοντα συνηίτονα της κάθετης στο επίπεδο του κύατος (η οποία καθορίζει και τη διεύθυνση της διάδοσης του ετώπου του κύατος). Η λύση για επίπεδα P κύατα είναι και για τα S κύατα είναι φ r ψ ω α i( ωt ka.) (, t) Ae, k k kˆ kˆ i( ωt kβ.) (, t) Be, k k kˆ kˆ a β a β ω β όπου α και β είναι οι αντίστοιχες ταχύτητες διάδοσης. Ας θεωρήσουε ένα επίπεδο P κύα ε κυατικό αριθό k α το οποίο διαδίδεται στο επίπεδο χ χ (εποένως φ/χ 0, k 0). Αν η φάση (ωt-k.) είναι σταθερή τότε ωt-k χ -k χ C. Για t0 και C0 θα είναι χ -(k /k )χ, δηλαδή είναι εξίσωση ευθείας στο επίπεδο χ χ κατά ήκος της οποίας η φάση είναι σταθερή. Αυτή η ευθεία είναι η τοή του επιπέδου του κύατος ε το επίπεδο χ χ, όπως φαίνεται στο σχήα.8α. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ

.4.. Εγκάρσια Κύατα (συνέχεια) Σχ..8. (α) Προβολή του ετώπου κύατος που ορίζεται από t0, C0 στο επίπεδο χ χ ενός επιπέδου κύατος (k α είναι το διάνυσα του κυαταρίθου). (β) Μεταβολή της θέσης του ετώπου κύατος ε σταθερή φάση (C0) για διάφορους χρόνους t. (Lay and Wallace, 995) To διάνυσα k α (κάθετο στο επίπεδο κύατος) έχει συνιστώσες k (ω/α)sin iωp και k (ω/α)cos iωn a. H ποσότητα p sini/α καλείται οριζόντια φαινόενη ταχύτητα (horizontal slowness) ή παράετρος της σεισικής ακτίνας και η n a cosi/α κατακόρυφη φαινόενη ταχύτητα (vertical slowness). ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ

4.4.. Εγκάρσια Κύατα (συνέχεια) Στην περίπτωση που εξετάζουε (επίπεδο κύα το οποίο διαδίδεται κάθετα στο επίπεδο χ χ (εποένως φ/χ 0, k 0) θα ισχύει: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ ) ( k k t i Ae ω φ και η ετάθεση των υλικών σηείων λόγω της διάδοσης των P κυάτων θα είναι στο επίπεδο χ χ σύφωνα ε τη σχέση: ( ) ) ) ˆ ˆ, ( ( k k t i k k t i p Ae ik Ae ik t ω ω φ Ο λόγος p / p k /k n a /p ορίζει την κάθετη διεύθυνση στο έτωπο κύατος, δηλαδή η κίνηση των υλικών σηείων είναι κάθετη στο έτωπο κύατος (παράλληλη προς τη διεύθυνση διάδοσης του κύατος). Για τα εγκάρσια κύατα, αντίστοιχα, θα ισχύει ψ i /χ 0 και ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, χ ψ χ ψ χ ψ χ ψ ψ s s s s t r Αν ο άξονας χ θεωρηθεί κατακόρυφος και το επίπεδο χ χ ηεπιφάνειατηςγης, τότε οι συνιστώσες s και s είναι εγκάρσιες κινήσεις στο επίπεδο χ χ και αποτελούν τη συνιστώσα SV (επειδή επεριέχουν κίνηση κατά τη κατακόρυφη χ διεύθυνση) και η s συνιστώσα είναι η SH συνιστώσα που αποτελείται από οριζόντιες όνο κινήσεις.

.5. Ανάκλαση και Διάθλαση των Κυάτων Χώρου Οι αρχές που διέπουν τη διάδοση των ηλεκτροαγνητικών κυάτων, όπως είναι η αρχή του Hygens, η αρχή του Fermat κλπ., διέπουν και τη διάδοση των ελαστικών κυάτων χώρου. Όπως τα ηλεκτροαγνητικά κύατα, έτσι και τα ελαστικά κύατα χώρου παθαίνουν ανάκλαση και διάθλαση, όταν προσπίπτουν στη διαχωριστική επιφάνεια δύο υλικών έσων. Α i 0 i Β (M) υ 0 (M ) υ Έστω ότι δύο οογενή υλικά έσα Μ και Μ (ε ταχύτητες σεισικών κυάτων υ 0 και υ ) βρίσκονται σε επαφή κατά ία επίπεδη οριζόντια επιφάνεια και ια σεισική ακτίνα κύατος ε ταχύτητα υ 0 πέφτει στη διαχωριστική επιφάνεια ε γωνία i o (ε την κάθετο στην επιφάνεια). i o : γωνία πρόσπτωσης της σεισικής ακτίνας. i : γωνία διάθλασης της σεισικής ακτίνας. Η ταχύτητα ε την οποία κινείται η τοή του επιπέδου του κύατος, δηλαδή του επιπέδου του κάθετου στη σεισική ακτίνα στα δύο έσα, ε το οριζόντιο επίπεδο, (σηεία Α και Β) είναι ίση ε υ 0 /ηi 0 και υ /ηi, αντίστοιχα. ΟγενικευένοςνόοςτουSnell ορίζει ότι: Η ταχύτητα κίνησης της τοής του επιπέδου του κύατος ε τη διαχωριστική επιφάνεια είναι σταθερή: υ 0 /ηi 0 υ /ηi c 5 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ

.5. Ανάκλαση και Διάθλαση των Κυάτων Χώρου (συνέχεια) Θεωρούε ια ακτίνα η οποία ξεκινά από το σηείο Ρ, που βρίσκεται σε στρώα ε ταχύτητα υ 0 και φθάνει στο σηείο Ρ, το οποίο βρίσκεται σε στρώα ε ταχύτητα υ. Ο χρόνος διαδροής της ακτίνας είναι: T PP ' d υ 0 e υ a υ 0 b ( c ) υ Λόγω της αρχής του Fermat, η ακτίνα θα ακολουθήσει τη διαδροή η οποία απαιτεί το ικρότερο χρόνο, δηλαδή, dt d 0 υ c 0 a υ b ( c ) Από το σχήα προκύπτει ότι: a c η io, ηi b ( c ) και εποένως ηi o ηi υ 0 υ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 6

.5. Ανάκλαση και Διάθλαση των Κυάτων Χώρου (συνέχεια) Σχ..9. Ανάκλαση και διάθλαση κυάτων χώρου κατά την πρόσπτωση επιήκους κύατος στη διαχωριστική επιφάνεια δύο έσων. α, α, είναι οι ταχύτητες των επιήκων και β, β οι ταχύτητες των εγκαρσίων κυάτων στα έσα (Μ) και (Μ ), αντίστοιχα. Στην περίπτωση, όως, των ελαστικών κυάτων, το φαινόενο εφανίζεται πολυπλοκότερο, γιατί από κύα ενός είδους (P ή S) προκύπτουν κύατα και των δύο ειδών. Ας θεωρήσουε ότι επίηκες κύα πέφτει από το έσο Μ στη διαχωριστική επιφάνεια. Οι ακτίνες των διαθλωένων και των ανακλωένων επιήκων και εγκαρσίων κυάτων, καθώς και οι γωνίες πρόσπτωσης αυτών παριστάνονται στο σχήα (.9). ΟγενικευένοςνόοςτουSnell, στην περίπτωση αυτή, δίνει: α α β α β c (.0) ηi o ηi ηj ηi ηj Κατά την πρόσπτωση επιήκους κύατος στη διαχωριστική επιφάνεια δύο στερεών, τα ανακλώενα και διαθλώενα εγκάρσια κύατα είναι SV κύατα. Όταν πέσει εγκάρσιο κύα SV, τα ανακλώενα και διαθλώενα κύατα είναι επιήκη κύατα και κύατα SV. Όταν το κύα που πέφτει είναι εγκάρσιο κύα SH, γεννιούνται όνο SH ανακλώενα και διαθλώενα κύατα. 7 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ

.5. Ανάκλαση και Διάθλαση των Κυάτων Χώρου (συνέχεια) Προσπίπτον κύα A Απλό αρονικό κύα προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια δύο έσων. Ακουστική Αγωγιότητα: ρυ Συντελεστής Ανάκλασης: R Ανακλώενο κύα Β C Διαθλώενο κύα ρ, υ ρ, υ (<υ ) i( ω t-k) i( ωt k ) i( ωt-k) (, t) Ae Be (, t) Ce Το ανακλώενο κύα είναι αντεστραένο επειδή η ακουστική αγωγιότητα του δεύτερου έσου είναι εγαλύτερη. Το διαθλώενο κύα έχει ικρότερο ήκος λ επειδή η ταχύτητα διάδοσης είναι ικρότερη στο δεύτερο έσο. R B ρυ ρυ A ρ υ ρ υ Συντελεστής Διάδοσης: Τ T C ρυ A ρ υ ρ υ R -R, Τ Τ ωυ k υ k υ π/λ υ π/λ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 8

.6. Επιφανειακά Κύατα Οποιαδήποτε διατάραξη σε ελαστικό και ισότροπο απεριόριστο έσο δηιουργεί όνο κύατα χώρου, δηλαδή επιήκη και εγκάρσια. Επειδή, όως,. η στερεά Γη έχει περιορισένες διαστάσεις και η επιφάνειά της τη χωρίζει από την ατόσφαιρα, που έχει πολύ διαφορετικές ελαστικές ιδιότητες. τα επιφανειακά στρώατά της δε πορεί να θεωρηθούν απολύτως ισότροπα παράγονται και αναγράφονται από τους σεισογράφους και κύατα τα οποία κατά τη διάδοσή τους ακολουθούν την επιφάνεια της Γης, δηλαδή τα πλάτη των κυάτων αυτών είναι εγάλα κοντά στην επιφάνεια της Γης και ελαττώνονται έντονα όσο αυξάνεται το βάθος έσα στη Γη. Τα κύατα αυτά λέγονται επιφανειακά κύατα και διακρίνονται σε δύο κύριες κατηγορίες: στα κύατα Rayleigh στα κύατα Love ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 9

.6.. Κύατα Rayleigh Ας θεωρήσουε οογενές και ισότροπο ελαστικό έσο, που χωρίζεται από το κενό ε το οριζόντιο επίπεδο Ο. Με κατάλληλη διέγερση είναι δυνατό να παραχθούν ελαστικά κύατα που διαδίδονται κατά τη διεύθυνση του άξονα Ο και έχουν τις εξής ιδιότητες: α) είναι επιφανειακά κύατα, δηλαδή τα πλάτη των κινήσεων των υλικών σηείων ελαττώνονται γρήγορα στο έσο Μ όσο αυξάνεται η απόσταση από την επιφάνεια Ο και β) σε οποιαδήποτε χρονική στιγή οι εταθέσεις των υλικών σηείων τα οποία βρίσκονται σε ευθείες παράλληλες του άξονα Ο είναι ίσες. Τα κύατα αυτά λέγονται κύατα Rayleigh. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 0

.6.. Κύατα Rayleigh (συνέχεια) Από τη δεύτερη των παραπάνω ιδιοτήτων προκύπτει, ότι είναι 0, δηλαδή, τα υλικά σηεία του άξονα Ο κάνουν ταλαντώσεις όνο στο επίπεδο Ο. Σχ..0. Μεταβολή του πλάτους και της φοράς ταλάντωσης των υλικών σηείων ε το βάθος κατά τη διάδοση θεελιώδους κύατος Rayleigh (Sheriff and Geldart, 98). Επειδή οι εταθέσεις και παρουσιάζουν διαφορά φάσης, τα υλικά σηεία διαγράφουν ελλείψεις που βρίσκονται στο επίπεδο Ο (σχ..0). Κοντά στην επιφάνεια, ο εγάλος άξονας κάθε έλλειψης είναι παράλληλος προς τον κατακόρυφο άξονα Ο, ο ικρός είναι παράλληλος προς τη διεύθυνση διάδοσης του κύατος και η φορά της κίνησης κάθε υλικού σηείου της έλλειψης είναι ανάστροφη, δηλαδή, η φορά κίνησης στο κατώτερο σηείο της τροχιάς συπίπτει ε τη φορά διάδοσης του κύατος. Τα πλάτη των κυάτων Rayleigh, και συνεπώς το έγεθος των τροχιών των υλικών σηείων, ελαττώνονται όσο αποακρυνόαστε από την ελεύθερη επιφάνεια. Σε βάθος ίσο ε το ήκος κύατος, λ, τα πλάτη σχεδόν ηδενίζονται. Η φορά κίνησης των υλικών σηείων είναι ανάστροφη έχρι το βάθος 0.9λ. Κάτω από το βάθος αυτό η φορά κίνησης των υλικών σηείων αντιστρέφεται. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ

.6.. Κύατα Rayleigh (συνέχεια) Αν α, β είναι οι ταχύτητες διάδοσης των επιήκων και εγκαρσίων κυάτων έσα σε οογενές και ισότροπο ηιχώρο, η ταχύτηταδιάδοσηςc των κυάτων Rayleigh αποτελεί λύση της εξίσωσης: 6 c 6 β c β 4 6 β ( ) 6( ) 0 β α α 4 8 c 4 (.) Για c0 και cβ, η συνάρτηση παίρνει ετερόσηες τιές. Άρα υπάρχει ία λύση αυτής εταξύ 0 και β. Οι πράξεις απλοποιούνται, όταν ισχύει η σχέση Poisson: λ (ή σ/4 και αβ ) (Η σχέση αυτή αποτελεί, για πολλά προβλήατα, ικανοποιητική προσέγγιση της πραγατικής σχέσης που ισχύει για τα πετρώατα της Γης). Οταν ισχύει η σχέση Poisson, η εξίσωση (.) έχει λύσεις που δίνονται από τις σχέσεις c /β 4, c /β /, c /β -/. Απ αυτές οι δύο πρώτες δεν είναι παραδεκτές, γιατί δεν ικανοποιούν τη συνθήκη 0<c<β. Η τελευταία από τις τρεις δίνει: c 0.99β ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ

.6.. Κύατα Rayleigh (συνέχεια) Από τα παραπάνω προκύπτει ότι, κατά τη διάδοση των κυάτων Rayleigh στο επιφανειακό έρος οογενούς και ισότροπου ηιχώρου, η ταχύτητα αυτών είναι ανεξάρτητη του κυατικού αριθού, κ, και συνεπώς ανεξάρτητη του ήκους κύατος, λ, της περιόδου, Τ, και της συχνότητας, f. Παρατηρήθηκε, όως, ότι η ταχύτητα των κυάτων Rayleigh που διαδίδονται στα επιφανειακά στρώατα της Γης εταβάλλεται ε την περίοδο. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι ο χώρος όπου διαδίδονται τα κύατα αυτά δεν είναι οογενής. Το φαινόενο κατά το οποίο η ταχύτητα κύατος εξαρτάται από την περίοδο λέγεται σκέδαση. Συνεπώς, τα κύατα Rayleigh που διαδίδονται στα επιφανειακά στρώατα της Γης σκεδάζονται. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ

.6.. Κύατα Love Kύατα Love Eπιφανειακά κύατα, κατά τη διάδοση των οποίων τα υλικά σηεία πραγατοποιούν οριζόντιες ταλαντώσεις, κάθετες στη διεύθυνση διάδοσης των κυάτων. Σχ... Ταυλικάσηείακινούνται οριζόντια κατά τη διάδοση των θεελιωδών κυάτων Love. Τα κύατα αυτά είναι γραικώς πολωένα εγκάρσια κύατα που έχουν όνο τη συνιστώσα SH. Για τη γένεση των κυάτων Love, είναι απαραίτητη η ύπαρξη ενός στρώατος ορισένου πάχους που βρίσκεται πάνω σε ηιχώρο. Αυτά αποτελούν διατάραξη που διαδίδεται έσα στο στρώα και είναι αποτέλεσα εποικοδοητικής συβολής κυάτων SH, τα οποία παθαίνουν διαδοχικές ανακλάσεις στις δύο ορικές οριζόντιες επιφάνειες του στρώατος. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 4

.6.. Κύατα Love (συνέχεια) Έστω οριζόντιο στρώα οογενούς και H β, β, διεύθυνση διάδοσης κυάτων Love ισότροπου ελαστικού υλικού, πάχους Η, στο οποίο η ταχύτητα των εγκαρσίων κυάτων είναι β και η σταθερά του Lamé είναι, το οποίο βρίσκεται πάνω σε οογενή και ισότροπο ελαστικό ηιχώρο, όπου η ταχύτητα των εγκαρσίων κυάτων είναι β και η αντίστοιχη σταθερά του Lamé. Ηταχύτηταδιάδοσης, c, των κυάτων Love, κατά την οριζόντια διεύθυνση, αποτελεί λύση της εξίσωσης: c c c εφ κh β β β 0 (.) όπου β <c<β. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 5

.6.. Κύατα Love (συνέχεια) Η (.) λέγεται εξίσωση της περιόδου και δείχνει ότι η ταχύτητα διάδοσης των κυάτων Love δεν εξαρτάται όνο από τις φυσικές ιδιότητες του στρώατος και του ηιχώρου αλλά και από τον κυατικό αριθό, κ, ή την περίοδο, Τ (κπ/ct). Συνεπώς, τα κύατα Love σκεδάζονται, δηλαδή, η ταχύτητά τους εξαρτάται από την περίοδο. Η εξίσωση της ταχύτητας είναι τριγωνοετρική εξίσωση, αν ως άγνωστο θεωρήσουε την ποσότητα κsh, όπου c s β Αν η κshφ είναι ια ερική λύση της εξίσωσης, όπου 0 φ π/, τότε και η κsh φ nπ, όπου n ακέραιος αριθός, είναι επίσης λύση. Εποένως υπάρχει σειρά κυάτων διαφόρων κυατικών αριθών, που έχουν την ίδια ταχύτητα. Το κύα που προκύπτει για n0 αντιστοιχεί στη θεελιώδη ταλάντωση, για n στην πρώτη αρονική, για n στη δεύτερη αρονική, κλπ. Για τις αρονικές υπάρχουν έσα στο στρώα επίπεδα παράλληλα της ελεύθερης επιφάνειας, στα οποία οι εταθέσεις των υλικών σηείων είναι ίσες ε ηδέν κατά τη διάδοση των κυάτων Love. Για το θεελιώδες κύα δεν υπάρχει τέτοιο επίπεδο, για το πρώτο αρονικό υπάρχει ένα τέτοιο επίπεδο, για το δεύτερο αρονικό δύο, κλπ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 6

.6.. Κύατα Love (συνέχεια) Από την εξίσωση (.) προκύπτει ότι: Όταν το κ (ή ησυχνότητα) παίρνει ικρές τιές, τότε η περίοδος (ή τοήκοςκύατος) παίρνει εγάλες τιές και η ταχύτητα, c, των κυάτων Love τείνει στην ταχύτητα, β, τωνεγκαρσίωνκυάτωνέσαστον ηιχώρο. Όταν το κ παίρνει εγάλες τιές, οπότε η περίοδος παίρνει ικρές τιές, ηταχύτητα, c, τείνει στην ταχύτητα, β, των εγκαρσίων κυάτων έσα στο στρώα. Αυτό σηαίνει, ότι η ταχύτητα των ικρής περιόδου κυάτων ορισένου αρονικού καθορίζεται, κυρίως, από τις φυσικές ιδιότητες των επιφανειακών στρωάτων της Γης, ενώ η ταχύτητα των εγάλης περιόδου κυάτων του ίδιου αρονικού καθορίζεται, κυρίως, από τις ιδιότητες των βαθύτερων στρωάτων. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 7

Από τη σχέση (.) προκύπτει ότι: α) Για κhs 0 εϕφ 0 β.6.. Κύατα Love (συνέχεια) c β εϕ( κhs) (). Θεωρούε τη θεελιώδη ταλάντωση 0 κhs π/ : c β c c β 0 c β Επίσης αν κhs0 τότε κ0, αφού H και S είναι διάφορα του ηδενός. Ο κυατικός αριθός κπ/ct τείνει στο ηδέν όταν η περίοδος Τ τείνει στο άπειρο. Εποένως, όταν η περίοδος Τ των κυάτων Love παίρνει εγάλες τιές, η ταχύτητα διάδοσής τους τείνει στην ταχύτητα β των εγκαρσίων κυάτων έσα στον ηιχώρο. β) Αντίστοιχα, όταν η ποσότητα κhs τείνει στο π/, η εφ(κhs) τείνει στο άπειρο και ο παρονοαστής του δεύτερου σκέλους της σχέσης () τείνει στο ηδέν, εποένως η ταχύτητα c τείνει στην ταχύτητα β των εγκαρσίων κυάτων στο στρώα που διαδίδονται τα κύατα Love. Στην περίπτωση αυτή η κπ/hs τείνειστοάπειροεπειδήηποσότηταs τείνει στο ηδέν και εποένως η περίοδος Τ τείνει στο ηδέν. Στο σχήα φαίνεται η γραφική παράσταση της ταχύτητας c σε συνάρτηση ε τον κυατικό αριθό κ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 8

.6.. Κύατα Love και Rayleigh (συνέχεια) Κίνηση των υλικών σηείων κατά τη διάδοση των κυάτων Rayleigh. Προέρχονται από τη συβολή P και SV κυάτων και καταγράφονται σε κατακόρυφα και οριζόντια σεισόετρα πάντα τελευταία. Κίνηση των υλικών σηείων κατά τη διάδοση των κυάτων Love. Προέρχονται από τη συβολή SH κυάτων, προκαλούν όνο εγκάρσια κίνηση και εποένως καταγράφονται όνο από τα οριζόντια σεισόετρα ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 9

.6.. Σκέδαση Επιφανειακών Κυάτων Σκέδαση ονοάζεται το φαινόενο κατά το οποίο η ταχύτητα διάδοσης ενός κύατος εξαρτάται από την περίοδο, Τ, του κύατος (ή από τη συχνότητα f ή τονκυατικόαριθόκ). Κύατα Love: Παθαίνουν σκέδαση κατά τη διάδοσή τους στα επιφανειακά στρώατα της Γης αφού όπως προκύπτει από τη σχέση (.), η ταχύτηταδιάδοσης, c, των κυάτων Love εξαρτάται από τον κυατικό αριθό κ. Κύατα Rayleigh: Οταν διαδίδονται σε οογενή ηιχώρο δεν σκεδάζονται αλλά, επειδή τα επιφανειακά στρώατα της Γης είναι ανοοιογενή, τα κύατα Rayleigh που διαδίδονται στα επιφανειακά στρώατα της Γης σκεδάζονται. Κανονική σκέδαση: Η ταχύτητα των κυάτων αυξάνεται όταν αυξάνεται η περίοδός τους. Ανάστροφη σκέδαση: Η ταχύτητα των κυάτων ελαττώνεται όσο αυξάνεται η περίοδός τους. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 40

.6.. Σκέδαση Επιφανειακών Κυάτων (συνέχεια) Η συνολική διάρκεια των επιφανειακών κυάτων είναι ικρή κοντά στην εστία τους και συνεχώς αυξάνεται όσο αυξάνει η απόσταση από την εστία. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι τα κύατα αναπτύσσονται κατά τη διάδοσή τους, επειδή τα εγάλης περιόδου κύατα, κατά την κανονική σκέδαση, διαδίδονται γρηγορότερα από τα ικρής περιόδου κύατα, τα οποία καθυστερούν. Έτσι, κατά την κανονική σκέδαση, πρώτα φθάνουν σ ένα σταθό τα εγάλης περιόδου κύατα και όσο περνάει ο χρόνος φθάνουν συνεχώς όλο και ικρότερης περιόδου κύατα. Σχ... Μορφές σκεδασένου κύατος σε συνάρτηση ε το χρόνο, σε πέντε αποστάσεις από την εστία του (Officer, 958). Παρατηρούε στο σχήα αυτό, ότι τα κύατα αναπτύσσονται ε την απόσταση και ότι η περίοδος ελαττώνεται ε το χρόνο, επειδή πρόκειται για κανονική σκέδαση. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 4

.6.. Σκέδαση Επιφανειακών Κυάτων (συνέχεια) Κάθε ία από τις τρεις ευθείες γραές στο σχήα (.) ενώνει σηεία των πέντε σεισογραάτων τα οποία αντιστοιχούν στην ίδια οάδα κύατος η οποία έχει ορισένη ταχύτητα οάδας (π.χ. U ) και αντιστοιχεί σε ορισένη περίοδο (π.χ. Τ ). Η κλίση κάθε ευθείας είναι η αντίστοιχη ταχύτητα οάδας, δηλαδή U Δ/t όπου Δ είναι η απόσταση από την εστία των κυάτων και t είναι ο χρόνος κατά τον οποίο η οάδα αυτή των κυάτων διέτρεξε την απόσταση αυτή. Παρατηρούε, ότι η κλίση των ευθειών αυτών, δηλαδή, η ταχύτητα οάδας, ελαττώνεται όσο ελαττώνεται η περίοδος. Αυτό σηαίνει ότι η σκέδαση είναι κανονική. U > U, Τ >Τ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 4

.6.. Σκέδαση Επιφανειακών Κυάτων (συνέχεια) Κάθε ία από τις τέσσερις στιγένες καπύλες στο σχήα (.) ενώνει σηεία που βρίσκονται σε φάση (π.χ. τα σηεία Α). Η περίοδος που αντιστοιχεί στη φάση αυτή δεν είναι η ίδια για τα πέντε εγγραφήατα. Η ταχύτητα ε την οποία διαδίδεται ία ορισένη φάση δεν είναι σταθερή (οι στιγένες καπύλες δεν είναι ευθείες). Για να υπολογίσουε την ταχύτητα φάσης, c, πρέπει να διαιρέσουε τη διαφορά αποστάσεων εταξύ δύο διαδοχικών σηείων (σταθών) ε την αντίστοιχη διαφορά χρόνων, δηλαδή cδδ/δt, όπου δδ είναι η απόσταση εταξύ των δύο σταθών που διέτρεξε το κύα και δt είναι ο χρόνος κατά τον οποίο διέτρεξε το κύα την απόσταση αυτή. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 4

.6.. Σκέδαση Επιφανειακών Κυάτων (συνέχεια) Ηταχύτητα, c, ε την οποία διαδίδεται ένα απλό αρονικό κύα, λέγεται ταχύτητα φάσης και, όπως είδαε παραπάνω, αυτή εξαρτάται από την περίοδο, όταν το κύα διαδίδεται έσα σε ένα υλικό έσο που προκαλεί σκέδαση. Μία διατάραξη που προκαλείται σε σηείο υλικού έσου, πορεί να θεωρηθεί αποτελούενη από πολλές αρονικές διαταράξεις συνεχούς φάσατος συχνοτήτων. Οι απλές διαταράξεις που έχουν περιόδους κοντά σε ορισένη περίοδο, συβάλλουν εταξύ τους κατά τη διάδοσή τους στο έσο που προκαλεί σκέδαση και δηιουργούν διαορφωένο κύα το οποίο διαδίδεται ε ορισένηταχύτητα, U, που λέγεται ταχύτητα οάδας. A B Το σηείο Α το οποίο είναι η κορυφή του συγκεκριένου αρονικού κύατος διαδίδεται ε ταχύτητα c, ενώτοσηείοβ τοοποίοείναιηκορυφήτηςοάδαςτων κυάτων διαδίδεται ε ταχύτητα U. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 44

.6.. Σκέδαση Επιφανειακών Κυάτων (συνέχεια) Ας θεωρήσουε οάδα αρονικών κυάτων, που έχουν κυκλικές συχνότητες εταξύ ω-ε και ωε και έστω ότι c είναι η ταχύτητα φάσης του κύατος που έχει κυκλική συχνότητα ω. Η ταχύτητα φάσης δίνεται από τη σχέση cω/κ, όπου κ ο κυατικός αριθός. Αποδεικνύεται, ότι η ταχύτητα οάδας δίνεται από τη σχέση Udω/dκ. Κάνοντας τις πράξεις U dω dκ d( cκ ) dκ dc c κ c dκ π dc dc c ct π Tdc cdt d ct Τc Τ c ct c dt c T dc καταλήγουε ότι η ταχύτητα οάδας δίνεται σε συνάρτηση ε την ταχύτητα φάσης και την αντίστοιχη περίοδο από τη σχέση: ct U c dt c T dc ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 45

.6.. Σκέδαση Επιφανειακών Κυάτων (συνέχεια) Ταχύτητα φάσης c και ταχύτητα οάδας U, για τα κύατα Love (θεελιώδης ταλάντωση) σε φλοιό πάχους 40 Km (Stein and Wysession, 00) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθηα ο: Στοιχεία Θεωρίας Ελαστικών Κυάτων ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 46