Αριθµητική προσοµοίωση της διατµητικής σύνδεσης σκυροδέµατος και χάλυβα στις σύµµικτες πλάκες.

Αριθµητική προσοµοίωση της διατµητικής σύνδεσης σκυροδέµατος και χάλυβα στις σύµµικτες πλάκες. Ε.Σ. Μυστακίδης Αναπληρωτής Καθηγητής. Εργαστήριο ανάλυσης και σχεδιασµού κατασκευών, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Φ.Κ. Περδικάρης Καθηγητής. Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Κ.Α. Τζάρος Πολιτικός Μηχανικός, Υποψήφιος ιδάκτωρ, Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών, Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας Λέξεις κλειδιά : Σύµµικτες πλάκες, διαµήκης διάτµηση, µη κυρτή βελτιστοποίηση ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Ο υπολογισµός της οριακής αντοχής σύµµικτων πλακών από σκυρόδεµα και τραπεζοειδή χαλυβδόφυλλα, απαιτεί κατ αρχήν τον προσδιορισµό της διαµήκους διατµητικής αντοχής της. Είναι γνωστό ότι η αντοχή σε διαµήκη διάτµηση εξαρτάται τόσο από το είδος όσο και από την ποιότητα της συνάφειας στην διεπιφάνεια των δυο αλληλοσυνεργαζόµενων υλικών που συνθέτουν την σύµµικτη πλακά. Ο υπολογισµός της διαµήκους διατµητικής αντοχής των σύµµικτων πλακών επιτυγχάνεται µέσω αναλυτικών σχέσεων, η εφαρµογή των οποίων όµως προϋποθέτει την διεξαγωγή συγκεκριµένων πειραµάτων, συµφωνά µε τις διατάξεις του Ευρωκώδικα 4. Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι η αριθµητική προσοµοίωση της διατµητικής σύνδεσης σύµµικτων πλακών από τραπεζοειδή χαλυβδόφυλλα και σκυρόδεµα, και η σύγκριση των παραγόµενων αποτελεσµάτων µε τα αντίστοιχα πειραµατικά. Το εγχείρηµα αυτό επιτυγχάνεται διαµέσου της χρήσης θεωρηµάτων της µη λείας και µη κυρτής βελτιστοποίησης. 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η χρήση σύµµικτων πλακών σε δοµικά έργα έχει αυξηθεί σηµαντικά τα τελευταία χρόνια, κυρίως ως αποτέλεσµα της εκρηκτικής αύξησης της χρήσης του χάλυβα γενικότερα ως υλικού για τη κατασκευή του φέροντος οργανισµού των κτιριακών έργων. Το βασικό συστατικό των σύµµικτων πλακών είναι τα χαλύβδινα προφίλ (χαλυβδόφυλλα). Κατά τη διάρκεια της σκυροδέτησης, τα χαλυβδόφυλλα χρησιµοποιούνται ως µεταλλότυπος και παραλαµβάνουν τα φορτία του νωπού σκυροδέµατος και τα λοιπά φορτία διάστρωσης, ενώ µετά τη σκλήρυνση του σκυροδέµατος συνεργάζονται µε αυτό για την ανάληψη των πρόσθετων µόνιµων και κινητών φορτίων. Η σύµµικτη δράση του δοµικού στοιχείου από χάλυβα και σκυρόδεµα είναι εφικτή µόνο όταν η διαµήκης διάτµηση που αναπτύσσεται στη διεπιφάνεια χάλυβα σκυροδέµατος παραλαµβάνεται µε κάποιο συγκεκριµένο τρόπο από το δοµικό στοιχείο. Στις σύµµικτες πλάκες που εξετάστηκαν στα πλαίσια της παρούσας εργασίας, η µεταφορά της διαµήκους διάτµησης µεταξύ των χαλυβδόφυλλων και του σκυροδέµατος επιτυγχάνεται µε µηχανικό τρόπο µέσω εντυπωµάτων που υπάρχουν στο χαλυβδόφυλλο (Σχήµα 1). Ο προσδιορισµός της αντοχής σε διαµήκη διάτµηση σύµφωνα µε τον Ευρωκώδικα 4 απαιτεί κατάλληλη πειραµατική διαδικασία. Τα πειράµατα εκτελούνται σε αµφιέρειστες σύµµικτες πλάκες ανοίγµατος L, που φορτίζονται µε δυο ίσα επιβαλλόµενα σε απόσταση L 4 από τις στηρίξεις, φορτία. Η πλακά υποβάλλεται κατ αρχήν σε 5 κύκλους φόρτισης που διαρκούν περίπου 3 ώρες. Στη συνεχεία εφαρµόζεται µονοτονικά αυξανόµενο στατικό φορτίο µέχρι την αστοχία. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 1

Σκοπός των πειραµάτων είναι η εύρεση των χαρακτηριστικών τάσεων m και k, οι τιµές των οποίων αφενός καθορίζουν την µορφή αστοχίας της σύµµικτης πλάκας και αφετέρου χρησιµοποιούνται στις αναλυτικές σχέσεις υπολογισµού της αντοχής της, έναντι διαµήκους διάτµησης. Σχήµα 1. Τα εντυπώµατα του χαλυβδόφυλλου που εξετάστηκε. Η αριθµητική προσοµοίωση των ανωτέρω πειραµάτων θα πρέπει να λαµβάνει υπόψη επακριβώς τις διάφορες µη γραµµικότητες που εµφανίζονται στο φυσικό πρόβληµα. Ήδη από τα πρώτα στάδια φόρτισης η συµπεριφορά του σκυροδέµατος είναι µη γραµµική λόγω της πρόωρης ρηγµάτωσης του. Επιπροσθέτως, εντόνως µη γραµµική συµπεριφορά εµφανίζει τόσο το διάγραµµα που συσχετίζει τις διατµητικές δυνάµεις κατά µήκος της διεπιφάνειας σκυροδέµατος χαλυβδόφυλλου µε τις εργικά αντίστοιχες ολισθήσεις, όσο και η καµπτική συµπεριφορά του χαλυβδόφυλλου µετά την έναρξη της ολίσθησης. Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται µια προτότυπη µέθοδος προσοµοίωσης της καµπτικής συµπεριφοράς σύµµικτων πλακών, χρησιµοποιώντας µοντέλα απλών ραβδωτών πεπερασµένων στοιχείων δοκού. Οι διάφορες µη γραµµικότητες που εµφανίζονται στο φυσικό πρόβληµα λαµβάνονται υπόψη µέσω χρήσης νόµων πλαστικών καµπτικών και διατµητικών αρθρώσεων που εµφανίζουν άλµατα ή φθίνοντες κλάδους. Η παραπάνω διατύπωση οδηγεί σε ένα µη κυρτό και µη λείο πρόβληµα ελαχιστοποίησης της ενεργείας του συστήµατος (Panagiotopoulos 1985, 1988, 1993). Η επίλυση αυτού επιτυγχάνεται µε την χρησιµοποίηση ειδικών αριθµητικών αλγορίθµων που αναπτυχθήκαν από τον πρώτο συγγραφέα (Mistakidis 1997). Τα τελικά αποτελέσµατα της ανωτέρω προσοµοίωσης συγκρίνονται µε τα αντίστοιχα πειραµατικά. Σχήµα 2. Πειραµατική διάταξη κάµψης σύµµικτης πλάκας 4 σηµείων 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 2

2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΣΥΜΜΙΚΤΩΝ ΠΛΑΚΩΝ ΣΤΗΝ ΟΡΙΑΚΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΑΝΤΟΧΗΣ. Οι σύµµικτες πλάκες των πειραµάτων που προσοµοιώθηκαν έχουν την διατοµή του Σχήµατος 3. Το χαλυβδόφυλλο που χρησιµοποιήθηκε είναι τραπεζοειδούς σχήµατος, τύπου SYMDECK 73 της βιοµηχανίας χαλυβουργικών προϊόντων Α.Καλπίνης Ν.Σίµος Α.Ε.Β.Ε. Το χαλυβδόφυλλο έχει πάχος.75 mm, ύψος 73 mm, εµβαδόν διατοµής 9.57 cm 2 και ροπή αδρανείας περί τον οριζόντιο κεντροβαρικό άξονα 82.51 cm 4. Η θλιπτική αντοχή του σκυροδέµατος των πλακών είναι ίση µε 25 MPa. Η τιµή αυτή υπολογίστηκε µετά από σειρά πειραµάτων θλίψης σε κυλινδρικά δοκίµια. Τα πειράµατα που διενεργηθήκαν για τον προσδιορισµό της οριακής αντοχής σύµµικτων πλακών και για την εξαγωγή των χαρακτηριστικών τάσεων m και k έγιναν σε δυο δοκίµια πάχους 2 cm το καθένα και µήκους 2.4 m και 3.6 m αντίστοιχα. 88.9 78.9 92. 95.5 92. 95.5 92. 95.5 93.5 74. 73. 2. 5. 137.5 Σχήµα 3. ιατοµή δοκιµίου της σύµµικτης πλάκας των πειραµάτων (διαστάσεις σε mm). Η προσοµοίωση των πλακών των πειραµάτων έγινε µε ραβδωτά πεπερασµένα στοιχειά δοκού. Σηµειώνεται ότι λόγω της συµµετρίας του προβλήµατος, προσοµοιώθηκε µονό το ήµισυ της δοκού. Ειδικότερα το µοντέλο πεπερασµένων στοιχειών της σύµµικτης πλακάς αποτελείται από δυο οριζόντιες σειρές ραβδωτών στοιχειών που ενώνονται µε άκαµπτα κατακόρυφα στοιχειά. Η άνω σειρά στοιχείων καλείται να προσοµοιώσει το σκυρόδεµα ενώ η κάτω σειρά το χαλυβδόφυλλο. Τα στοιχεία αυτά εφοδιάστηκαν µε τα κατάλληλα ελαστικά, γεωµετρικά και αδρανειακά χαρακτηριστικά, που υπολογίσθηκαν από τα αντίστοιχα δοµικά στοιχεία. Τα προαναφερθέντα κατακόρυφα άκαµπτα στοιχεία εξασφαλίζουν την επιπεδότητα των διατοµών πριν από την έναρξη της σχετικής ολίσθησης. Αντίστοιχα προσοµοιώµατα έχουν ήδη χρησιµοποιηθεί στην ανάλυση σύµµικτων δοκών µεγάλου µήκους (Mistakidis, 1994). Κατά την ανάλυση των ανωτέρω µοντέλων, η απόσταση µεταξύ των δυο οριζόντιων σειρών στοιχειών που προσοµοιώνουν το σκυρόδεµα και το χαλυβδόφυλλο, δεν θεωρήθηκε σταθερή αλλά µεταβαλλόµενη, µε σκοπό να λαµβάνεται υπόψη στο προσοµοίωµα η µείωση της θλιβόµενης ζώνης του σκυροδέµατος λόγω της σταδιακής προς τα άνω ρηγµάτωσης του. Πιο συγκεκριµένα, για ένα δεδοµένο εξωτερικό φορτίο P που αντιστοιχεί σε συγκεκριµένη ροπή κάµψης στο φορέα (συνυπολογίζοντας και την επιρροή του ιδίου βάρους), η απόσταση h του Σχήµατος 5 είναι η απόσταση µεταξύ των κέντρων βάρους της αρηγµάτωτης διατοµής του σκυροδέµατος και της διατοµής του χαλυβδόφυλλου. Η καθορισµός της αρηγµάτωτης διατοµής του σκυροδέµατος για τα διάφορα επίπεδα φόρτισης, λαµβάνει υπόψη και την εφελκυστική αντοχή του σκυροδέµατος. Για τα συγκεκριµένα προσοµοιώµατα θεωρήθηκε εφελκυστική αντοχή ίση µε 2.6 ΜPa, τιµή που προτείνεται από τους κανονισµούς για σκυροδέµατα µε θλιπτική αντοχή της τάξης των 25 MPa.. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 3

h SLAB 24 P/2 Θέσεις πιθανών πλαστικών αρθρώσεων h L/2=12mm SLAB 36 P/2 Θέσεις πιθανών πλαστικών αρθρώσεων L/2=18mm Σχήµα 4. Τα µοντέλα πεπερασµένων στοιχείων που χρησιµοποιήθηκαν για την προσοµοίωση των πειραµάτων. d Κ.Β. αρηγµάτωτης διατοµής σκυροδέµατος Ζώνη αρηγµάτωτου σκυροδέµατος Ουδέτερος άξονας h f ct Κ.Β. χαλυβδόφυλλου Τάσεις Σχήµα 5. Προσδιορισµός της παραµέτρου h. Από το διάγραµµα του σχήµατος 6 µπορεί να προσδιοριστεί το βάθος της θλιβόµενης ζώνης του σκυροδέµατος, το ύψος της αρηγµάτωτης διατοµής καθώς και ο µοχλοβραχίονας των εσωτερικών δυνάµεων των δυο υλικών που παραλαµβάνουν την εξωτερικά επιβαλλοµένη ροπή κάµψης για τις διάφορες τιµές των επιβαλλόµενων φορτίων. Οι καµπύλες αυτές προέκυψαν µε τη χρήση ειδικού λογισµικού µη γραµµικής ανάλυσης διατοµών. Το κάτω άκρο των κατακόρυφων άκαµπτων στοιχειών καθορίστηκε ως θέση πιθανής πλαστικής διατµητικής άρθρωσης, που ενεργοποιείται όταν ξεπεραστεί µια οριακή τιµή της διεπιφανειακής δύναµης. Η θέση της πλαστικής διατµητικής άρθρωσης αντιστοιχεί στο σηµείο εφαρµογής της συνισταµένης των διεπιφανειακών διατµητικών δυνάµεων. Η διατµητική αυτή δύναµη αποτελεί την συνισταµένη των διατµητικών δυνάµεων που εµφανίζονται στο πλάτος των 88.9 mm του δοκιµίου και σε µήκος ίσο µε το µήκος «επιρροής» του κάθε κατακόρυφου στοιχείου (ίσο µε το ήµισυ του διαστήµατος από τον προηγούµενο κόµβο συν το ήµισυ του διαστήµατος µέχρι τον επόµενο κόµβο). Όλα τα κατακόρυφα µέλη έχουν το ίδιο µήκος «επιρροής» εκτός από τα ακραία µέλη που έχουν µήκος «επιρροής» επαυξηµένο κατά 5%. Οι προαναφερθείσες πλαστικές διατµητικές αρθρώσεις ακολουθούν τον µη γραµµικό νοµό διατµητικής δύναµης σχετικής ολίσθησης του σχήµατος 7. Στο νόµο αυτό, εµφανίζεται απότοµη απώλεια αντοχής, αµέσως µετά την επίτευξη της µέγιστης δύναµης, ενώ στη συνεχεία η διεπιφανειακή δύναµη παραµένει σταθερή κατά τη διάρκεια της ολίσθησης. Η µέγιστη οριακή τιµή της διατµητικής δύναµης στη διεπιφάνεια 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 4

των δυο υλικών καθώς επίσης και η αντίστοιχη διατµητική δύναµη που παραµένει στο φορέα µετά την ξαφνική απώλεια αντοχής, προσδιορίστηκαν µε βάση τα πειραµατικά αποτελέσµατα. 2 Ροπή κάµψης (KNm) 18 16 14 12 1 8 6 Υψος αρηγµάτωτης ζώνης Βάθος ουδέτερου άξονα Αξονική απόσταση h 4 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 Απόσταση (cm) Σχήµα 6. Μεταβολή του ύψους της αρηγµάτωτης διατοµής του σκυροδέµατος, του βάθους του ουδέτερου άξονα και της απόστασης h σε σχέση µε την αναπτυσσόµενη καµπτική ροπή. S (kn/m) SLAB24 S (kn/m) SLAB36 22 137 163 12 u u Σχήµα 7. Οι νόµοι πλαστικής διατµητικης άρθρωσης που εξετάστηκαν. Επίσης, το σηµείο επιβολής του φορτιού καθορίστηκε ως θέση πιθανής καµπτικής πλαστικής άρθρωσης τόσο για την σειρά των στοιχείων που προσοµοιώνουν το σκυρόδεµα, όσο και για την σειρά των στοιχείων που προσοµοιώνουν το χαλυβδόφυλλο. Οι ιδιότητες των καµπτικών πλαστικών αρθρώσεων λαµβάνουν υπόψη την ταυτόχρονη συνύπαρξη αξονικής δύναµης και ροπής στα στοιχειά αυτά. Τα διαγράµµατα αλληλεπίδρασης αξονικών δυνάµεων καµπτικών ροπών παριστάνονται στο Σχήµα 8. Σηµειώνεται ότι στο διάγραµµα αλληλεπίδρασης της αρηγµάτωτης διατοµής του σκυροδέµατος, κάθε ζεύγος τιµών ροπής αξονικής αντιστοιχεί σε διαφορετική διατοµή, λόγω της σταδιακής ρηγµάτωσης του σκυροδέµατος που οδηγεί σε 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 5

ταυτόχρονη µείωση της ενεργού διατοµής αυτού. Η ιδιαιτερότητα αυτή επεξηγεί τη µη συµβατική µορφή του συγκεκριµένου διαγράµµατος. ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΤΗΣ ΑΡΗΓΜΑΤΩΤΗΣ ΖΩΝΗΣ ΤΟΥ ΣΚΥΡΟ ΕΜΑΤΟΣ -5 1 2 3 4 5 6 7 8-1 Αξονική δύναµυ Ν (kn) -15-2 -25-3 -35-4 -45-5 Ροπή κάµψης Μ (knm) 3 ΙΑΓΡΑΜΜΑ ΑΛΛΗΛΕΠΙ ΡΑΣΗΣ ΧΑΛΥΒ ΟΦΥΛΛΟΥ 25 Αξονική δύναµη Ν (kn) 2 15 1 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Ροπή κάµψης Μ (knm) Σχήµα 8. ιαγράµµατα αλληλεπίδρασης καµπτικών ροπών αξονικών δυνάµεων για την αρηγµάτωτη διατοµή του σκυροδέµατος και την διατοµή του χαλυβδόφυλλου αντίστοιχα. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 6

Με βάση τα ανωτέρω, το αριθµητικό προσοµοίωµα των πειραµάτων των σύµµικτων πλακών που περιγράφηκε, είναι σε θέση να αναπαράγει επιτυχώς τις ακόλουθες µη γραµµικότητες που εµφανίζονται στο φυσικό πρόβληµα. 1. Η επιρροή της ρηγµάτωσης λαµβάνεται υπόψη µέσω της µεταβαλλόµενης απόστασης h του µοχλοβραχίονα των εσωτερικών δυνάµεων των δυο υλικών που συνεπάγεται τον καθορισµό της ενεργού διατοµής του σκυροδέµατος. 2. Η µη γραµµική συµπεριφορά της συνάφειας στην διεπιφάνεια των δυο υλικών λαµβάνεται υπόψη διαµέσου της χρήσης διατµητικών πλαστικών αρθρώσεων. 3. Η συµπεριφορά του φορέα µετά την ολίσθηση λαµβάνει υπόψη την πλαστικοποίηση του χαλυβδόφυλλου, κάτι το οποίο παρατηρήθηκε και κατά την διεξαγωγή των πειραµάτων. 3 ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΟΡΦΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ Στην παράγραφο αυτή γίνεται η θεωρητική µόρφωση του προβλήµατος και διατυπώνονται κατάλληλοι αλγόριθµοι για την επίλυση του προβλήµατος. Στη µόρφωση ακολουθούνται οι γενικές αρχές όπως προτάθηκαν από τον Παναγιωτόπουλο (Panagiotopoulos 1993). Κατ αρχήν ας θεωρήσουµε µια κατασκευή που αποτελείται τόσο από στοιχεία που θεωρούνται γραµµικά ελαστικά όσο και στοιχεία µη γραµµικά. Το στατικό πρόβληµα τότε περιγράφεται από τις παρακάτω σχέσεις. Εξισώσεις ισορροπίας: s Gs = G G = p n s n (1) όπου G είναι το µητρώο ισορροπίας της διακριτοποιηµένης κατασκευής που λαµβάνει υπόψη τις συνεισφορές από τις εντάσεις τόσο των γραµµικών στοιχείων s όσο και των µη γραµµικών στοιχείων s n και p είναι το διάνυσµα της φόρτισης. Εξισώσεις συµβιβαστού: e G e= G u ή = u e G n n όπου u, e είναι τα διανύσµατα της µετακινήσεων και παραµορφώσεων αντίστοιχα. (2) Γραµµικά ελαστικός νόµος υλικού για τα γραµµικά στοιχεία: s= K ( e e ), (3) όπου K είναι το µητρώο φυσικής δυσκαµψίας και e είναι το διάνυσµα των αρχικών παραµορφώσεων. Μονοτονικοί και µη µονοτονικοί νόµοι υλικού για τα µη γραµµικά στοιχεία: s φ ( e ). n n n όπου φn (.) είναι γενικά ένα µη κυρτό και µη διαφορίσιµο υπερδυναµικό που παράγει τους νόµους (4) µέσω ενός κατάλληλου τελεστή γενικευµένου διαφορικού που συµβολίζεται µε το (4) 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 7

(Panagiotopoulos 1985, 1993). Η άθροιση σε όλα τα µη γραµµικά στοιχεία δίνει τη συνολική ενέργεια παραµόρφωσης αυτών: q () i n( n) φn ( n) i= 1 Φ e = e. (5) Κλασικές (αµφίπλευρες) συνοριακές συνθήκες (Σ.Σ.) Η εξίσωση της αρχής των δυνατών έργων για το πρόβληµα που µελετάται εδώ παίρνει τη µορφή: s ( e e) + s ( e e ) = p ( u u), e, u, e ισχύουν οι (2) και οι Σ.Σ. (6) * * * * * * n n n n Εισάγοντας τον ελαστικό νόµο (3) στην παραπάνω εξίσωση και χρησιµοποιώντας την (2) έχουµε: όπου ad u GK G (u -u) -(p + GK e ) (u -u) + s (e - e ) =, u V (7) * * * * n n n ad V είναι το σύνολο των κινηµατικά αποδεκτών µετατοπίσεων, ad n V ={ v, ισχύουν οι (2) και οι Σ.Σ.}, K=G KG είναι το µητρώο δυσκαµψίας του φορέα και το p= p+ GKe συµβολίζει το διάνυσµα των ισοδύναµων επικόµβιων φορτίων. Στο σηµείο αυτό χρησιµοποιείται η ασθενής µορφή του µη γραµµικού νόµου (4) που έχει την ανισωτική µορφή: o s ( e e ) Φ ( e e ), e (8) n n n n n n n o όπου Φn( en e n) είναι η κατά κατεύθυνση παράγωγος του δυναµικού Φ n ή µε άλλα λόγια το δυνατό έργο των µη γραµµικών στοιχείων για δυνατή παραµόρφωση ίση µε e n e n. Κατά συνέπεια, προκύπτει το παρακάτω πρόβληµα: Ζητείται κινηµατικά αποδεκτό πεδίο µετακινήσεων u V ad τέτοιο ώστε: o u K( u u) p ( u u) +Φ ( u u ), u V. (9) n n n ad Η παραπάνω ανισότητα ονοµάζεται ανισότητα ηµιµεταβολών. Ισοδύναµα, το παραπάνω πρόβληµα µπορεί µετασχηµατιστεί σε πρόβληµα υποστασιµότητας της δυναµικής ενέργειας του συστήµατος: Ζητείται u V τέτοιο ώστε: ad 1 Π ( u) = stat Π ( v) = v Kv p v+φ n ( v). 2 v V ad Λόγω της ύπαρξης κατακόρυφων κλάδων στα διαγράµµατα διατµητικής δύναµης ολίσθησης του Σχήµατος 7, η δυναµική ενέργεια του συστήµατος Π( v) είναι µη λεία. Επίσης, λόγω της απώλειας αντοχής που εµφανίζεται στα διαγράµµατα, η δυναµική ενέργεια είναι επιπροσθέτως µη κυρτή. Το παραπάνω γεγονός καθιστά την αριθµητική ανάλυση του προβλήµατος (1) δυσχερή, ιδίως λόγω της ύπαρξης πληθώρας λύσεων του µαθηµατικού προβλήµατος βελτιστοποίησης που προκύπτει. Το πρόβληµα γίνεται ακόµα δυσκολότερο εάν συνυπολογίσει κανείς ότι από το σύνολο των λύσεων, άλλες είναι ευσταθείς και άλλες ασταθείς, οπότε ο αλγόριθµος ανάλυσης οφείλει να λαµβάνει υπόψη την ιστορία της φόρτισης προκειµένου να αποφασίσει ποιό από τα ελάχιστα θα υλοποιηθεί στην πράξη. Για να επιλυθεί σχετικά απλά το πρόβληµα, προτείνεται η χρήση ενός ευριστικού αλγορίθµου ο οποίος παρακάµπτει το πρόβληµα της υποστασιµότητας της δυναµικής ενέργειας (1), (1) 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 8

αντικαθιστώντας το µε ένα άλλο πρόβληµα όπου τα µη κυρτά δυναµικά Φn ( v ) αντικαθίστανται µε τα κυρτά δυναµικά p( v ). Θεωρούµε τώρα τα παρακάτω προβλήµατα κυρτής βελτιστοποίησης: 1 vkv p v+ p v (11) 2 () i min{ ( )} όπου σε κάθε βήµα το κυρτό δυναµικό () i ( i 1) ( i 1) n () i p ( v ) επιλέγεται µε τρόπο ώστε να ισχύει η σχέση: p ( v ) = Φ ( v ). (12) Εάν το πρόβληµα της µη κυρτής βελτιστοποίησης γραφτεί στη µορφή: 1 min{ Π ( v)} = min v Kv p v+ p( v) + [ Φn ( v) p( v)] (13) 2 τότε µπορούµε να γράψουµε τη παρακάτω σειρά προβληµάτων βελτιστοποίησης: 1 2 (1) (1) () (1) () min{ Π ( v)} = min v Kv p v+ p ( v) + [ Φn ( v ) p ( v )] 1 2 () () ( 1) () ( 1) min{ i ( )} min i ( ) [ ( i ) i ( i Π v = v Kv p v+ p v + Φn v p v )] ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 1) min{ n ( )} min n ( ) [ ( n ) n ( n Π = + p + Φn p )] 1 v v Kv p v v v v (14) 2 Εάν υποθέσουµε ότι στην τελευταία εξίσωση έχουµε σύγκλιση του επαναληπτικού σχήµατος, τότε ( n) ( n 1) έχουµε v v ε. Τότε λόγω της (12), η µεταβολή του τελευταίου όρου της (14) ως προς v καθίσταται πολύ µικρή οπότε µπορούµε να γράψουµε 1 ( n) argmin { Π ( v) } = argmin v Kv p v+ p ( v) (15) 2 Μέσω της παραπάνω σχέσης εύκολα αποδεικνύεται ότι µπορεί να βρεθεί κάποια λύση του αρχικού προβλήµατος υποστασιµότητας Π( v ) µέσω του παραπάνω επαναληπτικού σχήµατος. Ο προτεινόµενος αλγόριθµος µπορεί να παρασταθεί γραφικά µέσω του Σχήµατος 9. Ας υποθέσουµε ότι το διάγραµµα OABCDE του Σχήµατος 9 περιγράφει τη µη γραµµική συµπεριφορά συγκεκριµένων µελών του φορέα. Τότε, αντί να επιλυθεί το συγκεκριµένο πρόβληµα που οδηγεί στο πρόβληµα (1) προτείνεται η εξής επαναληπτική διαδικασία. Στο πρώτο βήµα, επιλύεται το πρόβληµα στο οποίο ο αρχικός νόµος ΟΑBCDE προσεγγίζεται από τον µονοτονικό νόµο O11. Η θεώρηση αυτή οδηγεί σε ένα κυρτό µη λείο πρόβληµα το οποίο όµως µπορεί να επιλυθεί µε µεθόδους τετραγωνικής βελτιστοποίησης. Η λύση του προβλήµατος αυτού σηµειώνεται στο Σχήµα 9 µε το σηµείο s 1, που φυσικά δεν είναι λύση και του αρχικού προβλήµατος. Στη συνέχεια, επιλύεται ένα µονοτονικό πρόβληµα όπου θεωρείται ότι ισχύει ο νόµος O22, που προκύπτει από το σηµείο της προηγούµενης λύσης µέσω της κατασκευής που φαίνεται στο Σχήµα 9. Η λύση του νέου προβλήµατος σηµειώνεται µε το σηµείο s 2. Στο επόµενο βήµα γίνεται θεώρηση του νόµου O33 που οδηγεί στη λύση s 3, και ούτω καθ εξής, έως ότου η λύση συγκλίνει σε κάποιο σηµείο που βρίσκεται επάνω στον αρχικό νόµο OABCDE. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 9

S ή s A O B s 1 1 1' s 2 2 2' s 3 3 3' C D E u ή ε Σχήµα 9. Γραφική αναπαράσταση του ευριστικού αλγορίθµου µη κυρτής βελτιστοποίησης 4 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ. Όπως προαναφέρθηκε, τα ανωτέρω αριθµητικά προσοµοιώµατα πεπερασµένων στοιχειών χρησιµοποιηθήκαν για την προσοµοίωση δυο δοκιµίων σύµµικτων πλακών, ανοίγµατος 2.4 m και 3.6 m αντίστοιχα. Η επίλυση των µοντέλων στηρίχτηκε στον αλγόριθµο που περιγράφηκε στην προηγούµενη παράγραφο. Η σύγκριση µεταξύ των παραγόµενων υπολογιστικών αποτελεσµάτων και των αντίστοιχων πειραµατικών, παρουσιάζεται στα διαγράµµατα των Σχηµάτων 1 και 11. Ο κατακόρυφος άξονας των διαγραµµάτων αντιστοιχεί στο συνολικό επιβαλλόµενο φορτίο των δοκιµίων, ενώ ο οριζόντιος άξονας αντιστοιχεί στην µέγιστη βύθιση της µεσαίας κρίσιµης διατοµής. 6 Άνοιγµα πλάκας 2.4m 5 Πειραµατική καµπύλη Αριθµητική καµπύλη 4 Φορτίο (kν) 3 2 1 1 2 3 4 5 Μετακίνηση (mm) Σχήµα 1. Σύγκριση µεταξύ πειραµατικών και αριθµητικών αποτελεσµάτων για το δοκίµιο µήκους 2.4 m. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 1

Παρατηρείται ότι και στις δυο θεωρούµενες περιπτώσεις, το αριθµητικό προσοµοίωµα προσεγγίζει πολύ ικανοποιητικά την αρχική δυσκαµψία των φορέων. Η έναρξη όµως της ρηγµάτωσης υποδηλώνεται από σηµαντική µείωση της δυσκαµψίας στην πειραµατική καµπύλη των δυο διαγραµµάτων, κάτι το οποίο δεν δύναται να αναπαραχθεί επακριβώς από την καµπύλη των προσοµοιωµάτων. Αν και πειραµατικές και αριθµητικές καµπύλες φαίνεται να διαφοροποιούνται από κάποιο σηµείο και µετά, η βύθιση της µεσαίας διατοµής κατά τη στιγµή της αστοχίας προσεγγίζεται πολύ ικανοποιητικά. Επιπροσθέτως η ξαφνική απώλεια αντοχής που εµφανίζεται στην υπολογιστική καµπύλη είναι παραπλήσια της πειραµατικής καµπύλης. Αυτή η οµοιότητα ήταν αναµενοµένη αν συνυπολογιστεί ότι οι ιδιότητες των πλαστικών διατµητικών αρθρώσεων που παριστάνονται από τους µη γραµµικούς νοµούς του Σχήµατος 7, προσδιορισθήκαν µε βάση τα πειραµατικά αποτελέσµατα. Εν κατακλείδι, τα αριθµητικά προσοµοιώµατα περιγράφουν πολύ ικανοποιητικά τον τρόπο µε τον οποίο συµπεριφέρονται οι δυο σύµµικτες πλάκες µετά την ξαφνική απώλεια της αντοχής. Στο στάδιο αυτό παρατηρείται ένας θετικά κρατυνόµενος κλάδος που ακολουθείται από έναν σχεδόν οριζόντιο. Η µετάβαση αυτή αντιστοιχεί στην πλαστικοποίηση του χαλυβδόφυλλου που εµφανίζεται στην θέση επιβολής του φορτιού. Προφανώς η πλαστικοποίηση του χαλυβδόφυλλου οδηγεί στην δηµιουργία µηχανισµού, µε αποτέλεσµα την αδυναµία ανάληψης επιπλέον φορτίου από τον εκάστοτε φορέα, κάτι το οποίο φαίνεται παραστατικά στην καµπύλη του Σχήµατος 1. Στο Σχήµα 12 παρουσιάζεται ο µηχανισµός αστοχίας των δοκιµίων των σύµµικτων πλακών, συµφωνά µε τον οποίο, καθώς το φορτίο αυξάνει εµφανίζεται σχετική ολίσθηση µεταξύ των στοιχειών που προσοµοιώνουν το σκυρόδεµα και το χαλυβδόφυλλο και τελικά πλαστικοποίηση της διατοµής τόσο του σκυροδέµατος όσο και του χαλυβδοφύλλου στη θέση επιβολής του φορτιού. Η σταδιακή αύξηση του φορτιού έχει ως αποτέλεσµα την εξάντληση της διατµητικής αντοχής στη διεπιφάνεια των δυο υλικών έναντι των διαµηκών διατµητικών δυνάµεων. Ως εκ τούτου εµφανίζεται σχετική ολίσθηση στην διεπιφάνεια των δυο υλικών η οποία συνεπάγεται την ξαφνική απώλεια αντοχής. Άνοιγµα πλάκας 3.6m 35 3 Πειραµατική καµπύλη Αριθµητική καµπύλη 25 Φορτίο (kn) 2 15 1 5 2 4 6 8 1 12 Μετακίνηση (mm) Σχήµα 11. Σύγκριση µεταξύ πειραµατικών και αριθµητικών αποτελεσµάτων για το δοκίµιο µήκους 3.6 m. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 11

Πλαστικές αρθρώσεις Σχετική ολίσθηση Σχήµα 12. Ο µηχανισµός αστοχίας σε διαµήκη διάτµηση. 5 ΑΝΑΦΟΡΕΣ ENV 1994-1-1-:1992, Eurocode 4. Design of composite steel and concrete structures Part 1-1: General rules and rules for buildings. E.S. Mistakidis, K. homopoulos, A. Avdelas and P.D. Panagiotopoulos, Shear connectors in composite beams: A new accurate algorithm, hin-walled Structures, 18 (1994) 191-27. Mistakidis, E.S. and Stavroulakis, G.E. (1997), Nonconvex optimization in Mechanics. Algorithms, heuristics and engineering application by the F.E.M., Kluwer, Boston. Panagiotopoulos, P.D. (1985), Inequality problems in mechanics and applications. Convex and nonconvex energy functions, Birkhauser, Basel - Boston - Stuttgart,1985. Russian translation, MIR Publ., Moscow 1988. Panagiotopoulos, P.D. (1988), Nonconvex superpotentials and hemivariational inequalities. Quasidiferentiability in mechanics, In Moreau, J.J. and Panagiotopoulos, P.D. editors, Nonsmooth Mechanics and Applications, volume 32 of CISM Lecture Notes, pp. 83-176. Springer, Wien - New York. Panagiotopoulos, P.D. (1993), Hemivariational inequalities. Applications in mechanics and engineering, Springer, Berlin - Heidelberg - New York. 15ο Συνέδριο Σκυροδέματος, ΤΕΕ, ΕΤΕΚ, Αλεξανδρούπολη, 25-27 Οκτωβρίου, 26 12