Σχήμα.9 Σχηματική παράσταση δευτερευουσών ροών σε αγωγούς με τριγωνική και ορθογωνική διατομή. (Πηγή: Η. Sclicting, Boundary Layer Teory Aξίζει να σημειωθεί ότι παρόμοιες δευτερεύουσες ροές συμβαίνουν και σε ανοικτούς αγωγούς (κανάλια, όπως φαίνεται από τη μορφή των καμπυλών σταθερής ταχύτητας που δίνεται στο Σχ..0. επιφάνεια νερού Σχήμα.0 Καμπύλες σταθερής ταχύτητας για τυρβώδη ροή σε ανοικτό αγωγό ορθογωνικής διατομής (Υπό J. Nikuradse. Πηγή: H. Sclicting, Bοundary Layer Teory H μεγίστη ταχύτητα δεν παρατηρείται στην ελεύθερη επιφάνεια, όπως ίσως θα περιμέναμε, αλλά σε βάθος ίσο με / του ολικού βάθους. Επιπλέον, η ταχύτητα στην επιφάνεια έχει μια μη-μηδενική συνιστώσα κάθετη προς τη διεύθυνση της κύριας ροής..7- Υδραυλική διάμετρος Αν ο λόγος όψεως (asect ratio της διατομής ενός αγωγού δεν είναι υπερβολικά μεγάλος ή μικρός, τότε μπορούμε να εφαρμόσουμε, για τυρβώδη ροή, τις σχέσεις που ισχύουν για αγωγούς κυκλικής διατομής, χρησιμοποιώντας για διάμετρο την υδραυλική διάμετρο, A (υδραυλική διάμετρος (.66 C όπου Α = επιφάνεια διατομής και C = βρεχόμενη περίμετρος.
ΡΟΗ ΣΕ ΣΩΛΗΝΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΡΟΗΣ Βλέπουμε ότι για κυκλική διατομή (. Ας θεωρήσουμε, τώρα, για την ακόλουθη χαρακτηριστική περίπτωση. Ορθογωνική Διατομή, b (b = πλάτος, = ύψος b Α = b, C = (b+ (.67 (b Oρίζουμε ω = /b = λόγος όψεως οπότε (.68 ( Για /<ω< η ιδέα της υδραυλικής διαμέτρου μπορεί να εφαρμοσθεί σε αγωγούς ορθογωνικής διατομής. Τέτοιοι αγωγοί, κατασκευασμένοι από μεταλλικά φύλλα, είναι σχετικά φθηνοί και χρησιμοποιούνται για αερισμό και κλιματισμό χώρων..7- Διατομές με ακραία γεωμετρία Οι απώλειες υδροστατικής κεφαλής που οφείλονται σε δευτερεύουσες ροές αυξάνουν πολύ για ακραίες γεωμετρίες, όπως π.χ. ορθογωνικές διατομές με ω < / ή ω >, τριγωνικές διατομές κλπ. Σε τέτοιες περιπτώσεις πρέπει να χρησιμοποιούμε πειραματικά δεδομένα για τη συγκεκριμένη διατομή. Το Σχ.. δίνει το συντελεστή τριβής υ [εδώ ( P / / v ] για λείους αγωγούς μηκυκλικής διατομής. Σχήμα. Συντελεστής τριβής βάσει υδραυλικής διαμέτρου, υ, για μερικούς λείους αγωγούς μη-κυκλικής διατομής. (Πηγή: H. Sclicting, Boundary Layer Teory
.8 Ανάλυση σωληνώσεων χωρίς διακλαδώσεις Εχουμε τους ακόλουθους τύπους προβλημάτων. (α ολ =; Δίδονται,,, e/, ρ, μ (β =; Δίδονται ολ,,, e/, ρ, μ (γ =; Δίδονται ολ,,, e/, ρ, μ (δ =; Δίδονται ολ,,, e, ρ, μ Στα ακόλουθα δίδονται μερικά παραδείγματα τέτοιων προβλημάτων με τις λύσεις τους. Παράδειγμα α. Ας θεωρήσουμε ένα καινούργιο σωλήνα από κοινό χάλυβα με διάμετρο = in. Μέσα στο σωλήνα ρέει νερό θερμοκρασίας ~ C με μόνιμη, πλήρως ανεπτυγμένη ροή και μέση ταχύτητα <v> =m/s. (i Πόση είναι η ολική απώλεια υδροστατικής κεφαλής oλ κατά μήκος = 00 m του σωλήνα; (ii Πόση είναι η αντίστοιχη απαιτούμενη ισχύς; Λύση <v> e/ l Σχήμα (i Έχουμε in.0 m 0.008m.. e = 00m ρ 000kg/m 0.0009 μ mpa.s = 0 - Pa.s μ 6 <v> = m/s 0 ν m / s ρ Tώρα v 0.008 Re 00 00 τυρβώδης ροή 6 ν 0 Σχ.. e Re, (00, 0.0009 0.0 v 00 ολ μ 0.0 86m / s 0.008 (ii Η απαιτούμενη ισχύς υπολογίζεται από τη σχέση
ΡΟΗ ΣΕ ΣΩΛΗΝΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΡΟΗΣ Αλλά W m (u u m m π π m ρ ρ v 000 0.008 6.08kg / s W 6.0886 Watt. kw. kw.0.6 kw Παράδειγμα β. Ας θεωρήσουμε την (ομολογουμένως άκομψη σωλήνωση από κοινό χάλυβα του Σχ. Εχουμε τα ακόλουθα στοιχεία in 0.008m, in 0.06m 7 Kg Ρευστό: αέρας, 0 C, ~ atm.0, v.00 m 7 = 6m /r (μετριέται στη διατομή e, = = in = 0.008m, = 7 = in = 0.06m, = 7m,, = m,, = 8 m,, = m e e,6 = m, 6,7 = 8m, 0. 0009 e, e, e 6,7,,6 6 m s 0.000, r = r = 8 in, N = 0.0 m (i Πόση είναι η ολική απώλεια υδροστατικής κεφαλής; (ii Πόση είναι η στατική πίεση στην είσοδο; (iii Πόση είναι η απαιτούμενη ισχύς;
r l, l, l, r 7 z 6 7 l, l,6 N l6,7 Σχήμα Λύση Εφόσον το ρευστό είναι αέριο, προκύπτει το ερώτημα κατά πόσον η ροή μπορεί να θεωρηθεί ασυμπίεστη, και σε ποιές συνθήκες πιέσεως και θερμοκρασίας θα υπολογισθούν οι ιδιότητές του. Αρχίζουμε υπολογίζοντας τον αριθμό Μac. Aν <v 7 > είναι η μέση ταχύτητα στον αγωγό, τότε (6/ 600 v.m / s 7 7 π 7 π 0.06 v7.m /s Ma7 0.068 c 0 m / s Εφόσον Ma 7 η ροή κοντά στην έξοδο μπορεί να θεωρηθεί ασυμπίεστη. Η τιμή του αριθμού Mac στην είσοδο, Μa, εκτιμάται ως v v7 7 7 Ma Ma7 0 068 0 7 c c.. Aρα, και κοντά στην είσοδο η ροή μπορεί να θεωρηθεί ασυμπίεστη. Τέλος, ως πρώτη εκτίμηση, θα θέσουμε ρ = ρ 7 = ρ και v = v 7 = v. Η θερμοκρασία θα θεωρηθεί ίση με 0 C, παντού. (i Η ολική απώλεια υδροστατικής κεφαλής μπορεί να γραφεί ως όπου,,,,,6 6, 7 Έχουμε 6 7 (6 / 600 v 0.0m / s π π 0.008
6 ΡΟΗ ΣΕ ΣΩΛΗΝΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΡΟΗΣ v 0.0080.0 Re, Re,6.6880 6 ν.00 7 v7 0.06. Re, Re, Re, Re6,7 8.0 6 ν.00 Eπίσης Tέλος για,, Διαγρ. Moody,, 6 (. 6880, 0. 0009 0. 0 Διαγρ. Moody,,, 6, 7 ( 8. 0, 0. 000 0. 007,6,, (,,6 v 0.0 0.0 (7.0.0 60m / s 0.008, 6,7, (,,,. 0.007 (.0 8.0.0 8.0 7m / s 0.06... 60 7 677m / s μ,, 6,7 v 0.0 K 0.0 0m / s 6,7 v7 (καλά στρογγυλευμένη είσοδος Σχ..9 v 0.0 Kδ 0. 67m / s Σχ.. λ v7., 0.007 m / s m / s Σχ..9 v 0.0 Kσ 0. 00m / s v. 7 7 K 7 78m / s v (AR 6 C 7 AR
7 Ετσι, Σχ.. N N 0.0 7.9 C 0.60 R 0.008 ε 7 0.0 0.60 m / s 6... (0 67 00 7 667m / s 677 667 8m / s ολ μ ε Βλέπουμε επίσης ότι 9.8% της ολ. (ii Από το ισοζύγιο ενέργειας έχουμε 7 v gz με, 7 atm Άρα, Τώρα v 7, 7, gz 7 z z 8m ( 7 ( v v 7 g (z z 7 v 0 (μετά την έξοδο 7.0 8.0 (0.0.0 9.88 (0706 9 Pa 87Pa atm (κανονική =.0 0 Pa 0. kpa atm (τεχνική = 9.80660 0 Pa 98.066 kpa atm 87 Pa (.00 87 Pa 0.0kPa Η είναι ~ 8.6% μεγαλύτερη από την ατμοσφαιρική. Για πιο λεπτομερή λύση μπορούμε τώρα να επαναλάβουμε τους προηγούμενους υπολογισμούς χρησιμοποιώντας για κάθε τμήμα αγωγού τις τιμές των ρ και μ που αντιστοιχούν στη μέση τοπική πίεση (και να επαναλάβουμε τον υπολογισμό μέχρις ότου συγκλίνουμε. Εδώ, όμως, θα θεωρήσουμε την παρούσα προσέγγιση ικανοποιητική. (iii Η ισχύς δίνεται από τη σχέση 6 W m ολ ρολ.0 8.0kW (.0kW (. / kw.8 600 Παράδειγμα γ. Βαρύ ακάθαρτο πετρέλαιο ( ρ 9 kg / m, ν. 0 m / s αντλείται μέσω ενός οριζόντιου σωλήνα. Ο σωλήνας είναι κατασκευασμένος από κοινό χάλυβα, έχει εσωτερική διάμετρο = in (0.60 m και πάχος τοιχώματος b in (=.7 mm. H μέγιστη επιτρεπτή τάση εφελκυσμού μέσα στο τοίχωμα του σωλήνα είναι σ max =0000 si (=.780 8 Pa λαμβάνοντας υπόψη μελλοντική διάβρωση. Για να αποφύγουμε την εξάτμιση των ελαφρών συστατικών του
8 ΡΟΗ ΣΕ ΣΩΛΗΝΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΡΟΗΣ πετρελαίου η ελάχιστη πίεση μέσα στο σωλήνα δεν πρέπει να πέσει κάτω από 7sia (=.70 Pa. H ογκομετρική παροχή είναι 00.000 βαρέλια/ημέρα (στη βιομηχανία πετρελαίου βαρέλι = gal. Εξάλλου gal =.786 t, άρα βαρέλι = 9.0, l t 0.9m. Προσδιορίστε τη μέγιστη απόσταση μεταξύ διαδοχικών αντλιοστασίων. Υπολογίστε την ισχύ που προσδίδεται στο πετρέλαιο από κάθε αντλιοστάσιο. Λύση Κάνοντας μια ανάλυση της πιέσεως η οποία μπορεί να προκαλέσει εφελκυστική ζημιά στο σωλήνα βρίσκουμε Σχήμα Αφού δε, y max παίρνουμε x max b x b b y bl L y b.7 mm 60 mm Tώρα, (00000 0.9 / 8600 v.9 m / s.90.60 v v 0.60.9 Re.80.0 (τυρβώδης 8 7 * max σmax.780 Pa.0 Pa 7. atm e 0.00007 (από Σχ.... (.8 0, 0.00007 0.08 ( P Τώρα v και ( P v max max max 8.km 7 (.0.70 0.60 9.9 0.08 W m ; (ΔP.0.70 ρ 9 7 max ολ 87. m / s 000000.9 m 9 680.9 kg / s 8600 W 680.987. 808699 Watt 8.08MW σ y -σ x σ x -σ y 8 m x * τεχνική ατμ. = 9.80 Pa=98. kpa
9 Παράδειγμα δ. Ας θεωρήσουμε τη σωλήνωση του σχήματος R = cm = = l N Σχήμα Έχουμε τα εξής στοιχεία e 0. 007, ( 0.008m AR ( 0.076m. R cm, N=. cm=0. m N/R =Ν/ =. Ρευστό: Nερό σε 0οC μc=0- N.s/m ρ000 Kg/m Ερώτηση: Πόση είναι η μεγίστη τιμή του αν η απαιτούμενη παροχή είναι = 00 m /r και η ολική ισχύς για τη ροή δεν πρέπει να υπερβεί την τιμή W 6 ; Λύση Έχουμε Αλλά W W m ή m W 6 6 0.76 kw.76 kw 76 W = 76 Ν.m/s 0 kg / s 7.78kg / s m 000 kg / m 00 m / r 0 kg / r 600 W 76 ολ 6.m / s m 7.78 Αρα η επιτρεπόμενη μέγιστη απώλεια υδροστατικής κεφαλής είναι 6. m /s. Τώρα,, v K, Κ = 0.0 (καλώς στρογγυλεμένο στόμιο v K, Κ = (έξοδος E.(.6 v (AR C Για AR =. και N/R =. το διάγραμμα του Σχ.. μας δίνει C 0.60. Eπίσης έχουμε
0 ΡΟΗ ΣΕ ΣΩΛΗΝΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΡΟΗΣ Αρα Τώρα: Τυρβώδης ροή Τώρα Ώστε (00 / 600 v.7m / s π π 0.008 v v.7 6.m / s.7 0.0.7m / s 6. 8.6m / s.7 0.60 9.0m / s. διαχ 6. (.7 8.6 9.0 9.7m / s,, Re, e v v ρ 0.008.7000 μ 0 Re 6.960 00 Διαγρ.Moody (6.960, 0.007 0.0 9.7 0.008.9m μ v 0.0.7.9m Παράδειγμα ε. Θεωρούμε τη διάταξη του σχήματος. + H l e/ + - Σχήμα Δεδομένα e Η = m, = m, = =(0.008 m, 0. 0, = m, = + = atm Ρευστό: νερό σε 0 ο C μ c = 0 - N.s/m ρ 000 Kg/m Ζητείται = ; Λύση Μέθοδος
Εξ. (.9 v gz v Θα υποθέσουμε τυρβώδη ροή, οπότε. Συνεπώς αφού ( gz v v (z z g g ; v 0, v 0 atm Τώρα,,, v K, μετά την έξοδο v (Κ = 0. v e v 0.0, Re v e, K v g H Η εξίσωση αυτή μπορεί να λυθεί για <v > αριθμητικά, ή με τη μέθοδο της δοκιμής και σφάλματος. e Ως πρώτη προσέγγιση του διαλέγουμε την τιμή για 0. 0 και Re > 0 6 (όπου., δηλαδή Τότε, ή ή Βλέπουμε ότι 0.08 0.008 6.8 v (0 0. 0.08 (0 v 9.8 (0 7.7 m / s (0 (0 v 8.7 m / s v.m / s ρ v 000.0.008 Re. 0 μ 0 ( 0 (0 (0 ( Διαγ.Μoody (.0, 0.0 0.08, άρα έχουμε συγκλίνει. v. m / s Η μέθοδος αυτή μας έδωσε πολύ εύκολα το τελικό αποτέλεσμα γιατί έτυχε ο πραγματικός αριθμός Reynolds να είναι κοντά στην περιοχή όπου. 0.08, όπως υποθέσαμε για την αρχική εκτίμηση.
ΡΟΗ ΣΕ ΣΩΛΗΝΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΡΟΗΣ Θα δούμε τώρα μια άλλη μέθοδο επιλύσεως που ενδείκνυται αν ε = αμελητέο. Αλλιώς, όπως θα δούμε, η δεύτερη μέθοδος δεν είναι απαραιτήτως καλύτερη από την πρώτη. Μέθοδος (Χρήση Σχ.. Έχουμε P P ( Re, 8 v g z v g z <v > = 0 v g z v g z v g z v g z, P ;, (, 0 v, v, 0 v v gh Ρ ( Ως πρώτη προσέγγιση θα υποθέσουμε ότι v atm atm v g H οπότε gh P (0 g H v (0 8 ρ gh 0.008 000 9.8 Re.70 8 μ (0 Από το Σχ.. βρίσκουμε ή Αρα Re (0. 0 00 (τυρβώδης μ 0 (0 (0 v Re. 0.m / s ρ 000 0.008 0...9m / s (0. 0.6m / s (0
Αλλά Βλέπουμε ότι.7 m μια σειρά υπολογισμών ακόμα Σχ.. Αρα.7m / s (0 (0 gh 9.8 8m / s (0 (0 / s είναι ένα σημαντικό μέρος του gh. Κάνουμε ( ΔP g H 8.7 0.m / s ρ (0 (0 ( ( ρ 8 ΔP / ρ 0.008 000 0. Re.8 0 8 μ (0 ( Re. 0 μ 0 ( ( v Re. 0.m / s ρ 0000.008 ΔP ρ. ( 0...9 m / s ( 9.9 m / s.6m / s ( ( ( P Το είναι αρκετά πλησίον στο συγκλίναμε στο αποτέλεσμα ( g H 0m / s ( ( P v. m / s π v 8.780 m / s.6m / r Παρατήρηση. Οι δύο μέθοδοι δίνουν τα ίδια αποτελέσματα. ( και γι αυτό θεωρούμε ότι Παρατήρηση. Η δεύτερη μέθοδος δίνει το αποτέλεσμα αμέσως αν. Αλλιώς, οι δύο μέθοδοι είναι συγκρίσιμοι με καλύτερη την πρώτη, καθόσον έχουμε μια καλή αρχική εκτίμηση για το, δηλαδή την ασυμπτωτική τιμή του για Re. Παράδειγμα στ. Ένας ψεκαστήρας για αγροκαλλιέργεια πρόκειται να τροφοδοτηθεί με νερό από μία αντλία που ευρίσκεται σε απόσταση 80m από το ψεκαστήρα και σε υψόμετρο κατά 7 μέτρα χαμηλότερο. Η αντλία στην περιοχή μέγιστης απόδοσής της παρέχει μια ογκομετρική παροχή =.6m /min με πίεση εξόδου που δεν υπερβαίνει.atü. Για να λειτουργήσει ικανοποιητικά ο ψεκαστήρας, η πίεση στην είσοδο του ψεκαστήρα δεν πρέπει να είναι μικρότερη από atü. Προσδιορίστε την πιο μικρή διάμετρο σωλήνα αλουμινίου που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να συνδεθεί η αντλία με το ψεκαστήρα. Λύση
ΡΟΗ ΣΕ ΣΩΛΗΝΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΡΟΗΣ atü. atü l H Σχήμα Eδώ, ΔΡ και είναι γνωστά, ενώ ζητάμε τη διάμετρο. Eχουμε max max min Από το ισοζύγιο ενέργειας παίρνουμε Εξάλλου Eπίσης v v v..0. atm gz.9.80 Pa 0 Pa v gz max g H,max g H 0 oλ,max 9.8 7. 68.7 76.6m / s 000 v 8 v Re v v Re v.6 με m / s 0.09m / s 60 Το μπορεί να προσδιορισθεί με δοκιμή και σφάλμα. Ως αρχική εκτίμηση διαλέγουμε την ονομαστική διάμετρο in. Σύμφωνα με το Πρόγραμμα 0 (Scedule 0 η πραγματική διάμετρος (βλ. Πίνακα. είναι.068in, Tότε 0 (.068 in 0.0779 m Re (0 v (0 0.09. 0 6 0 0.0779 6
Aφού (0 (0 (0.. e 6 0.0000 (. 0, 0.0000 0.0 8 80.080 0.09 0.0779 (0 (0 9.9 m / s (0, max η εκλεγείσα διάμετρος (0 = in είναι πολύ μικρή. Κάνουμε την επόμενη εκτίμηση ως εξής. Αφού είναι μια σχετικά αδύνατη συνάρτηση του Re και του e/ για τυρβώδη ροή σε λείους σωλήνες, έχουμε -n όπου n (για = σταθ.. Έτσι,,max (0 o (0 min min / (0 9.9 min.068.97 in 76.6 (0,max Πίνακας. (Πηγή: Fox & Mconald ntroduction to Fluid Mecanics, nd ed. Νominal Pie Size (in nside iameter (in /8 0.69 / 0.6 /8 0.9 / 0.6 / 0.8.09 ½.60.067 ½.69.068 ½.8.06.07 6 6.06 8 8.07 0 0.00.090 Διαλέγοντας την αμέσως μεγαλύτερη διαθέσιμη διάμετρο, θέτουμε Τότε ( / 6.06 in 0.0 m (6in, ονομαστική διάμετρος Re ( v ( 0.09 7.77 0 6 0 0.0 e.. ( 0.0000
6 ΡΟΗ ΣΕ ΣΩΛΗΝΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΡΟΗΣ ( (7.77 0, 0.0000 0.0 8 80.0800.09 π π 0.0 ( ( 8.m / s ολ ( Δυστυχώς, και η διάμετρος ( 6 in δίνει o, max, αν και με μικρή διαφορά. Για ασφάλεια, διαλέγουμε = 8.07 in = 0.00 m (8 in, ονομαστική διάμετρος, οπότε 0.09 Re.8 0 6 0 0.00 e 0.000008 ( (.8 0, 0.000008 0.08 8 0.08800.09 ολ.8m / s π 0.00 Η εκλογή = 8in εξασφαλίζει με μεγάλο περιθώριο ασφαλείας την καλή λειτουργία του ψεκαστήρα. Όμως, εν όψει του υψηλότερου κόστους του αγωγού με = 8in και του γεγονότος ότι η εκλογή ( = 6in αποτυγχάνει να δώσει ( μόνο κατά, min λίγο, πρέπει να εξετάσουμε αν ο ψεκαστήρας θα μπορούσε να λειτουργήσει ικανοποιητικά με ελαφρώς μικρότερη πίεση εισόδου. Πράγματι, αν διαλέξουμε ( =6in, τότε η πίεση γίνεται ( (. ( g H. 000 (8. 9.8 7.8 at ü=.9atü 9.80 To ερώτημα που πρέπει να εξετασθεί είναι: λειτουργεί ικανοποιητικά ο ψεκαστήρας με πίεση εισόδου.9atü αντί για.0atü; Aν όχι, = 8in..9 Δίκτυα σωληνώσεων Στην πράξη συχνά συναντάμε σωληνώσεις με διακλαδώσεις καθώς και δίκτυα σωληνώσεων. Οι μέθοδοι που ήδη αναπτύξαμε για γραμμικές σωληνώσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν και σε αυτή την περίπτωση με την πρόσθετη περιπλοκή ότι στην περίπτωση δικτύων έχουμε να προσδιορίσουμε πολλούς αγνώστους ταυτοχρόνως. Οι εξισώσεις καταστρώνονται κατά τρόπο ανάλογο με εκείνο της αναλύσεως ηλεκτρικών δικτύων, με την παροχή να αντιστοιχεί στην ένταση του ρεύματος και την υδροστατική κεφαλή να αντιστοιχεί στο ηλεκτρικό δυναμικό. Υπάρχει όμως και μία βασική διαφορά ανάμεσα στα δύο προβλήματα. Σε ηλεκτρικά κυκλώματα η πτώση δυναμικού κατά μήκος ενός γραμμικού αγωγού είναι ανάλογη με την αντίστοιχη ένταση του ρεύματος. Έτσι, οδηγούμεθα σε συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων που λύνονται σχετικά εύκολα. Σε δίκτυα σωληνώσεων η απώλεια υδροστατικής κεφαλής κατά μήκος ενός γραμμικού αγωγού είναι μη-γραμμική συνάρτηση της αντίστοιχης παροχής. Έτσι, οδηγούμεθα σε συστήματα μη-γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων που απαιτούν χρονοβόρες λύσεις με επαναληπτικές μεθόδους. Τέτοια συστήματα απαιτούν κατά κανόνα τη χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή.
7 Η μεθοδολογία επιλύσεως τέτοιων προβλημάτων γίνεται καλύτερα αντιληπτή μέσω παραδειγμάτων. Παράδειγμα ζ. l, l, l,6 l, l, 6 Υλικό σωλήνα: αλουμίνιο =.068 in ( in, ονομαστικό 7.790 - m m, m,, 70 m, 0 m,, Σχήμα e,6 0 m, 0. 0000.6 m / min 000 g / m 6 v 0 m / s Oριζόντιο έδαφος Ας θεωρήσουμε το σύστημα αρδεύσεως του σχήματος, όπου τα στοιχεία, και είναι πανομοιότυποι ψεκαστήρες νερού. Η γεωμετρία του δικτύου δίνεται στο σχήμα (όχι υπό κλίμακα. Η απώλεια υδροστατικής κεφαλής σε ένα ψεκαστήρα υπό συνθήκες ομαλής λειτουργίας (δηλ. για.atü στην είσοδο του ψεκαστήρα. Η εκτίμηση αυτή περιλαμβάνει τις απώλειες εξόδου του ψεκαστήρα.
8 ΡΟΗ ΣΕ ΣΩΛΗΝΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΡΟΗΣ (i Προσδιορίστε τις τιμές των τριών παροχών,,,. (ii Προσδιορίστε την πίεση στο σημείο,. (iii Προσδιορίστε τις πιέσεις στις εισόδους των τριών ψεκαστήρων. Λύση Για το απλό του υπολογισμού θα αμελήσουμε τις απώλειες υδροστατικής κεφαλής στην είσοδο κάθε κλάδου (δηλαδή στην περιοχή. Ισοζύγιο μάζας Ισοζύγια ενέργειας Κλάδος Kλάδος ΙΙ Kλάδος (κόμβος ( a v, a v, a v, Θέτοντας (τυρβώδης ροή και υποκαθιστώντας τις παροχές αντί για τις ταχύτητες λαμβάνουμε: ( 8, ( ( 8, (6 ( 8, (7 Eξάλλου, έχουμε Oμοίως,, (,, 8 K v, (,, K 8 ( ( ( (8 (9, (,, K 8,,6 K (0 Συνδυάζοντας τις Εξ. (-(0 παίρνουμε 8 a ( (,, K ( 8 a ( (,, K (
9 όπου 8 a (,6 K ( e v Re, με Re ( v v Oι Εξ. (, (, ( και ( είναι ένα σύστημα τεσσάρων εξισώσεων με τέσσερις αγνώστους:,, και. Το σύστημα αυτό μπορεί να λυθεί με πολλές μεθόδους. Κατωτέρω χρησιμοποιούμε μια απλή μέθοδο επαναληπτικής φύσεως. Αρχική εκτίμηση (i (0 (0 (0 -.88 m / min. 0 m / s.0 Re Re Re. 0 π ν π0 7.790 (0 (0 (0 (0 6 Moody (0 (0 (0 (.0, 0.0000 0.0 Με αυτές τις εκτιμήσεις για τους συντελεστές τριβής και με (από πίνακες, οι Εξ. (-( δίνουν ή ή 8 (7.790 8 (7.790 8 (7.790.0 0.0.9680 0.0(. 9. (7.790 0.0(70. 0 9. (7.790 0.0 0 (7.790 ( ( ( 9. ( ( ( a a a ( 0 ( ( ( ( ( a a (μονάδες S.. a.m
0 ΡΟΗ ΣΕ ΣΩΛΗΝΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΡΟΗΣ ( ( a 67. ( ( a 7.8 (μονάδες S.. ( ( a.8 Διαιρώντας κατά μέλη τις τελευταίες τρεις εξισώσεις παίρνουμε ( 0. 98 ( ( ( ( 0. 98.. 6 ( (. ( Χρησιμοποιώντας την ( παίρνουμε ( 0.09 -.97 0 m / s.6.6 Έτσι, 0.98.79 0 m / s ( (..668 0 m / s ( ( Μπορούμε τώρα να επανακυκλώσουμε τον υπολογισμό ( ( ( Re....86 0 ( ( Re.... 0 ( ( Re....99 0 ( ( (. 860, 0. 0000 0. 07 (. 0, 0. 0000 0. 08 (. 990, 0. 0000 0. 0 Με αυτές τις τιμές οι Εξ. (-( δίνουν ( (.660 a ( ( a.60 ( ( a.976 0 ( (6 (7
68.9 ή 79.0.6 Διαιρώντας κατά μέλη παίρνουμε ( ( ( ( ( a ( a ( a 0.9. ( ( ( ( Αρα, 0.9.. 76 ( και ( ( -.9600 m / s.78m / min.76 0.9.70 m / s.6m / min ( ( ( -..7060 m / s.m / min ( ( - Είναι φανερό ότι μια ακόμη ανακύκλωση δεν θα επιφέρει σημαντικές αλλαγές. Έτσι.78 m / min (8.6 m / min (9. m / min (0 (ii Η πίεση μπορεί να υπολογισθεί από οιαδήποτε των Εξ. (-(7 με τις τιμές των παροχών από τις Εξ. (8-(0. Έτσι a a a.660.60.9760 ή 000 (.9600 000 (.70 000 (.7060 08.6 kpa.6 atm 08. kpa.6 atm 08.7 kpa.7 atm.6 atu ( H ουσιαστική συμφωνία των τριών αποτελεσμάτων είναι ένδειξη ότι έχουμε σύγκλιση. (iii Η πίεση στην είσοδο του ψεκαστήρα, -, προσδιορίζεται εύκολα ως εξής. Από το ισοζύγιο ενέργειας έχουμε: a a v v ( ή
ΡΟΗ ΣΕ ΣΩΛΗΝΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΡΟΗΣ Aρα, 8 a ( v (K ( Oμοίως παίρνουμε 6 a a (K a (9. 8000 (7.790 (.9600 6.7 kpa.67 atm - =.67 atü 8 (9. 8000 (7.790 9.7 kpa. atm - =. atü 8 8000 (K (9. (7.790 Pa (.70 (.706 0 6.6 kpa.6 atm 6- =.6 atü Παρατήρηση. Ως τελική επιβεβαίωση της ορθότητας των αποτελεσμάτων μπορούμε να υπολογίσουμε, π.χ., την 6- και με άλλο τρόπο. Από ισοζύγιο ενέργειας παίρνουμε v v,6 με,6 v,6 8 8,6,6 8,6,6 8000 0.0 0 (.706 0 (7.790. kpa. atm =.6 atü. atm =.6 atü H μικρή διαφωνία οφείλεται στο προσεγγιστικό της λύσεως. Παρατήρηση. Βλέπουμε ότι.atu.atu. Ενδέχεται λοιπόν ο ψεκαστήρας να μην λειτουργεί ικανοποιητικά. Αν υποτεθεί ότι αυτό πράγματι συμβαίνει, τότε πρέπει να κάνουμε κάποια τροποποίηση στο σύστημα. Ο σπουδαστής θα πρέπει να διερευνήσει ποσοτικά τις πιο εύλογες εναλλακτικές λύσεις και να συζητήσει τα πλεονεκτήματα και μειονέκτημα εκάστης. Pa Pa Pa
.0 Ασκήσεις. Ένα σύστημα ψεκασμού έχει τη μορφή του σχήματος. Για το ψεκασμό χρησιμοποιούμε νερό θερμοκρασίας 0 C. H επιφάνεια της διατομής κάθε στομίου εξόδου είναι 0.in, ενώ ο σωλήνας έχει εσωτερική διάμετρο in και είναι κατασκευασμένος από γαλβανισμένο σίδηρο. Θέλουμε να υπολογίσουμε την ογκομετρική παροχή μέσω κάθε στομίου. atm 0 7 60 60 Σχήμα. Μια υδραυλική πρέσσα παίρνει την ισχύ της από μια αντλία πιέσεως η οποία ευρίσκεται σε απόσταση 0m. Η αντλία παρέχει νερό με πίεση 000sig και ογκομετρική παροχή 0/min. Για τη σύνδεση θα χρησιμοποιήσουμε χαλύβδινο σωλήνα. Ποιά είναι η ελάχιστη διάμετρος σωλήνα που μπορεί να χρησιμοποιηθεί, δεδομένου ότι η υδραυλική πρέσα απαιτεί πίεση 800sig και παροχή 0/min για να λειτουργήσει ικανοποιητικά;. Το νερό μιας κολυμβητικής δεξαμενής διηθείται εν μέρει μέσω ενός φίλτρου, όπως στο σχήμα. atm m ολικό μήκος 8m φίλτρο ολικό μήκος m Σχήμα Η αντλία παρέχει ογκομετρική παροχή = 0/min νερού θερμοκρασίας C υπό πίεση atm. Οι σωληνώσεις είναι από γαλβανισμένο σίδηρο (e/ 0.009. H πτώση πιέσεως μέσω του φίλτρου δίνεται κατά προσέγγιση από τη σχέση ( P 0.0 (ΔP[=]atm, [=]/min ί
ΡΟΗ ΣΕ ΣΩΛΗΝΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΜΕΤΡΗΣΗ ΡΟΗΣ Ποιές είναι οι τιμές των και ;. Πετρέλαιο ειδικού βάρους 0.8, θερμοκρασίας C και ιξώδους 9c ρέει μέσα σε υπόγειο σωλήνα. Δύο σταθμοί αντλιών ευρίσκονται σε απόσταση km και έχουν το ίδιο σχεδόν υψόμετρο. Η πτώση πιέσεως μεταξύ των δύο σταθμών είναι atm. Ο σωλήνας έχει εσωτερική διάμετρο in. Μολονότι ο σωλήνας είναι κατασκευασμένος από κοινό χάλυβα, γήρανση και διάβρωση έχουν αυξήσει την τραχύτητά του σε εκείνη περίπου του γαλβανισμένου σιδήρου. Ποιά είναι η ογκομετρική παροχή σε m /s; Ποιά είναι η απαιτούμενη ισχύς σε kw;. Θεωρήστε τη δεξαμενή του σχήματος με τη σωλήνωση κοντά στον πυθμένα. Η σωλήνωση είναι από κοινό χάλυβα. Η δεξαμενή είναι γεμάτη νερό θερμοκρασίας 0 C. Ποιές είναι οι παροχές από τα δύο στόμια και ; e/ Σχήμα e Η = 9m = 0m 0. 0 0 m, m,, l, l,,.6 Θεωρήστε τη σωλήνωση του σχήματος. m, 6 m, m, 8 7 9 m, 0m, m, 6 m, 0 m, Σχήμα Το υλικό του σωλήνα είναι κοινός χάλυβας (e/ 0.0.
(i Πόση υδροστατική κεφαλή και πόση ισχύ χρειαζόμαστε για να κινήσουμε νερό θερμοκρασίας 0 C μέσω της σωληνώσεως με παροχή = 6.m /r; (ii Με την ίδια υδροστατική κεφαλή, ποιά θα είναι η τιμή του αν το τμήμα - αντικατασταθεί με σωλήνα διαμέτρου ;