ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΙΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ. 10o Mάθημα: Modal Analysis

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΙΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ 10o Mάθημα: Modal Analysis

Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons και δημιουργήθηκε στο πλαίσιο του Έργου των Ανοικτών Ακαδημαϊκών Μαθημάτων από την Μονάδα Υλοποίησης του ΕΜΠ. Για υλικό που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς. 2

Ιδιοανυσματική ανάλυση και υπολογισμός ιδιοσυχνοτήτων: εφαρμογή σε πτέρυγα αεροσκάφους Περιγραφή προβλήματος Έστω πτέρυγα αεροσκάφους σταθερής διατομής (βλ. Σχήμα 1). Η διατομή θεωρείται ότι αποτελείται από ένα ευθύγραμμο τμήμα (τμήμα (ΑΒ)) και από μία spline (τμήμα (BCDEA)). Οι συντεταγμένες των σημείων A,B,C,D,E καθώς και το μήκος (άνοιγμα) της πτέρυγας φαίνονται στο Σχήμα 1. Σχήμα 1: Μοντελοποίηση αεροτομής και πτέρυγας Θεωρείται ότι το υλικό κατασκευής της πτέρυγας είναι χαμηλής πυκνότητας πολυαιθυλένιο, μέτρου ελαστικότητας E 3 =, λόγου Poisson 38 10 psi v = 0.3 και πυκνότητας υπολογισμός των πρώτων πέντε ιδιοσυχνοτήτων και ιδιομορφών της πτέρυγας. r - 5 2 4 =. Ζητείται ο 8.3 10 lbf sec / in Προσέγγιση προβλήματος - Παραδοχές Θεωρώντας ότι η σύνδεση πτέρυγας-ατράκτου είναι (πλήρως) άκαμπτη, έπεται ότι η πτέρυγα είναι δυνατόν να μοντελοποιηθεί ως πρόβολος, με το ένα άκρο της (εκείνο προς την άτρακτο) πακτωμένο και το άλλο άκρο της ελεύθερο. Για λόγους απλοποίησης, θεωρείται ότι η πτέρυγα είναι συμπαγές σώμα. Επίσης, θεωρείται ότι το υλικό της πτέρυγας είναι ελαστικό και ισότροπο. Η κατασκευή του 3Δ μοντέλου και του αντιστοίχου πλέγματος, θα πραγματοποιηθεί σε τρία βήματα: Βήμα 1: Δημιουργία 2Δ μοντέλου για την αεροτομή Βήμα 2: Δημιουργία 2Δ πλέγματος στο 2Δ μοντέλο της αεροτομής Βήμα 3: Προεκβολή (extrude) του 2Δ πλεγματοποιημένου μοντέλου της αεροτομής (με τον τρόπο αυτό κατασκευάζεται ταυτόχρονα και το 3Δ μοντέλο της πτέρυγας και το αντίστοιχο 3Δ πλέγμα). Διαδικασία μοντελοποίησης και ανάλυσης της πτέρυγας H διαδικασία ανάλυσης της προαναφερθείσας κατασκευής (πτέρυγα αεροσκάφους) είναι η ακόλουθη: 1. Δήλωση κατηγορίας (τύπου) προβλήματος 2. Εισαγωγή Γεωμετρίας 3. Δήλωση πεπερασμένων στοιχείων 4. Ορισμός υλικού 5. Δημιουργία πλέγματος 6. Επιβολή φορτίων και συνθηκών στήριξης 7. Επίλυση 8. Επισκόπηση αποτελεσμάτων Στις επόμενες παραγράφους παρουσιάζεται αναλυτική περιγραφή κάθε βήματος. 1. Δήλωση κατηγορίας (τύπου) προβλήματος Με τη δήλωση αυτή, το λογισμικό περιορίζει τις εκάστοτε εμφανιζόμενες επιλογές σε εκείνες, οι οποίες αντιστοιχούν στον δηλωθέντα τύπο προβλήματος, π.χ. εάν επιλέξουμε Structural, τότε το λογισμικό στη δήλωση 3

του υλικού δεν θα εμφανίσει επιλογές οι οποίες αντιστοιχούν σε άλλες κατηγορίες προβλημάτων, όπως προβλήματα θερμότητας ή ρευστομηχανικής. Στην προκειμένη περίπτωση, δηλώνεται: Main Menu> Preferences ->Structural Σχήμα 2: Δήλωση κατηγορίας προβλήματος 2. Εισαγωγή γεωμετρίας Η γεωμετρία της αεροτομής είναι δυνατόν είτε να κατασκευασθεί βάσει των γεωμετρικών δεδομένων του Σχήματος 1 είτε να αναγνωσθεί από το αρχείο wing.inp., το οποίο βρίσκεται στη διαδρομή: \Program Files\Ansys Inc\V100\ANSYS\data\models\wing.inp Για νεώτερες εκδόσεις, αντί της διαδρομής V100, εμφανίζεται αντίστοιχη διαδρομή, π.χ. V110 για την έκδοση 11. Η ανάγνωση του αρχείου, άρα η εισαγωγή της γεωμετρίας, υλοποιείται ως εξής: Utility Menu> File> Read Input from... \Program Files\Ansys Inc\V100\ANSYS\data\models\wing.inp Σχήμα 3: Εισαγωγή γεωμετρίας αεροτομής 3. Δήλωση πεπερασμένων στοιχείων Όπως αναφέρθηκε στην ενότητα Προσέγγιση προβλήματος Παραδοχές, κατασκευάζονται δύο πλέγματα: το πρώτο πλέγμα κατασκευάζεται επί του μοντέλου της αεροτομής, άρα είναι 2Δ, ενώ το δεύτερο πλέγμα κατασκευάζεται από τη διαδικασία extrude του πλέγματος της αεροτομής, άρα είναι 3Δ. Συνεπώς, πρέπει να δηλωθούν δύο τύποι πεπερασμένων στοιχείων: ένας για το 2Δ πλέγμα της αεροτομής και ένα για το 3Δ πλέγμα της πτέρυγας. Αυτό επιτυγχάνεται ως εξής: Main Menu> Preprocessor> Element Type> Add/Edit/Delete 4

[Add...] Structural Solid (αριστερός κατάλογος επιλογών) Quad 4node 42 (δεξιός κατάλογος επιλογών) [Apply] (με τον τρόπο αυτό επιλέγεται το στοιχείο Quad 4 node/plane42) Structural Solid (αριστερός κατάλογος επιλογών) Brick 8node 45 (δεξιός κατάλογος επιλογών) (με τον τρόπο αυτό επιλέγεται το στοιχείο Brick 8 node / SOLID45) [Close] (α) Σχήμα 4: Επιλογή πεπερασμένων στοιχείων: (α) στοιχείο PLANE42 και στοιχείο Solid45 4. Ορισμός υλικού Δηλώνονται οι ιδιότητες του υλικού: Main Menu > Preprocessor> Material Props> Material Models Structural > Linear > Elastic > Isotropic (EX=38000, PRXY=0.3) Density > DENS=8.3e-5 Material > Exit (α) Σχήμα 5: Ορισμός ιδιοτήτων υλικού: (α) μέτρο ελαστικότητας και πυκνότητα και πυκνότητα 5α. Δημιουργία πλέγματος (Στάδιο Ι: δημιουργία 2Δ πλέγματος επί της αεροτομής) Όπως αναφέρθηκε στην ενότητα Προσέγγιση προβλήματος Παραδοχές, η δημιουργία του πλέγματος επιτυγχάνεται σε δύο βήματα: πρώτα δημιουργείται ένα 2Δ πλέγμα επί του μοντέλου της αεροτομής και στη συνέχεια δημιουργείται ένα 3Δ πλέγμα από διαδικασία extrude του προαναφερθέντος 2Δ πλέγματος. Η διαδικασία για τη δημιουργία του εν λόγω 2Δ πλέγματος παρουσιάζεται στο Σχήμα 6α. 5

Main Menu > Preprocessor > Meshing > Mesh Tool Size Controls Global = [Set] Element edge length = 0.25 Mesh > Areas > Shape > Quad / Free [Mesh] [Pick All] [Close] Warning. [Close] Meshtool (α) Σχήμα6: Πλέγμα αεροτομής: (α) διαδικασία δημιουργίας πλέγματος και δημιουργηθέν πλέγμα Παρατηρήσεις: 1. Ανάλογα με την έκδοση του λογισμικού και τον ηλεκτρονικό υπολογιστή που χρησιμοποιείται, είναι δυνατόν να προκύψει πλέγμα ελαφρώς διαφορετικό από εκείνο του Σχήματος 6β. Ως εκ τούτου, και τα αποτελέσματα είναι δυνατόν να διαφέρουν ελαφρώς από εκείνα, τα οποία παρουσιάζονται στο παρόν κείμενο. 2. Προκειμένου να διατηρηθεί το υπολογιστικό κόστος (συνολικό πλήθος βαθμών ελευθερίας) σε χαμηλό επίπεδο, στο συγκεκριμένο παράδειγμα δηλώθηκε σχετικά μεγάλο μήκος πλευράς πεπερασμένου στοιχείου ( Element edge length = 0.25). Με τον τρόπο αυτό, το συγκεκριμένο παράδειγμα είναι δυνατόν να πραγματοποιηθεί χρησιμοποιώντας και την εκπαιδευτική έκδοση ANSYS ED, στην οποία υπάρχει περιορισμός ως προς το μέγιστο πλήθος των εμπλεκομένων βαθμών ελευθερίας. 3. Το προειδοποιητικό μήνυμα (Warning) που εμφανίζεται μετά τη δημιουργία του πλέγματος, σχετίζεται με την ποιότητα των στοιχείων του πλέγματος. Λόγω του χρησιμοποιηθέντος μεγάλου μήκους πλευράς, έχει προκύψει ένα πεπερασμένο στοιχείο κακής ποιότητας. Εν γένει, ένα κακής ποιότητας πλέγμα είναι δυνατόν να οδηγήσει σε αναξιόπιστα αποτελέσματα. 4. Η επιλογή για την δημιουργία ενός μη-δομημένου πλέγματος (Mesh > Areas > Shape > Quad / Free) είναι υποχρεωτική, διότι δομημένο πλέγμα δημιουργείται μόνον υπό προϋποθέσεις (η προς πλεγματοποίηση περιοχή είναι κλειστό χωρίο με τέσσερεις σαφώς οριζόμενες πλευρές). Εάν επιλεχθεί (Mesh > Areas > Shape > Quad / Mapped), δηλαδή εάν επιδιωχθεί δημιουργία δομημένου πλέγματος, θα εμφανισθεί μήνυμα σφάλματος. (α) Σχήμα7: Δημιουργία 2Δ πλέγματος στην αεροτομή: (α) δήλωση για μη-δομημένο πλέγμα και μήνυμα σφάλματος από απόπειρα δημιουργία δομημένου πλέγματος 6

5. Προκειμένου να δημιουργηθεί ένα καλύτερης ποιότητας πλέγμα είναι δυνατόν είτε να μειωθεί το δηλωθέν μήκος του πεπερασμένου στοιχείου είτε να χρησιμοποιηθεί πεπερασμένο στοιχείο ανωτέρας τάξεως (π.χ. Plane82) με ταυτόχρονη αναίρεση της δήλωσης σχετικά με το μήκος του πεπερασμένου στοιχείου. 6. Ανά τακτά χρονικά διαστήματα, είναι δόκιμη η απόθηκευση του αντιστοίχου αρχείου εργασίας: Toolbar: SAVE_DB 5β. Δημιουργία πλέγματος (Στάδιο ΙΙ: δημιουργία 3Δ πλέγματος πτέρυγας) Σε αυτό το βήμα, παρουσιάζεται η δημιουργία του 3Δ πλέγματος της πτέρυγας βάσει της διαδικασίας extrude του 2Δ πλέγματος της αεροτομής (βλ. προηγούμενη ενότητα). 5β1. Δήλωση πεπερασμένου στοιχείου για το 3Δ πλέγμα Main Menu> Preprocessor> Modeling> Operate> Extrude> Elem Ext Opts (από το drop down menu) Element type number = 2 SOLID45 No. Elem divs = 10 Σχήμα8: Δήλωση πεπερασμένου στοιχείου για το3δ πλέγμα Με τη δήλωση του Σχήματος 8, καθορίζεται ότι το 3Δ πλέγμα θα κατασκευασθεί από πεπερασμένα στοιχεία SOLID45 (βλ. Element type number) και ότι από τη διαδικασία extrude θα σχηματισθούν 10 ισαπέχουσες υποδιαιρέσεις (βλ. Element sizing options for extrusion / No. Elem divs). 5β2. Δήλωση διαδικασίας extrude Main Menu> Preprocessor> Modeling> Operate> Extrude> Areas> By XYZ Offset [ Offsets for extrusion = 0, 0, 10 Pick All] [Close] Warning. 7

Σχήμα9: Δήλωση διαδικασίας extrude Με τη δήλωση του Σχήματος 9, καθορίζεται ότι η προς extrude διατομή (area), για κάθε μία από τις δηλωθείσες υποδιαιρέσεις (βλ. Σχήμα 8/ Element sizing options for extrusion / No. Elem divs) θα μετακινείται κατά βήμα (DX,DY,DZ). Από την υλοποίηση της ανωτέρω διαδικασίας, προκύπτει το ακόλουθο προειδοποιητικό μήνυμα: Σχήμα 10: Προειδοποιητικό μήνυμα σχετικά με την ποιότητα του πλέγματος Το εν λόγω μήνυμα πληροφορεί ότι κάποια πεπερασμένα στοιχεία του 3Δ πλέγματος (στην προκειμένη περίπτωση 30 στοιχεία σε ένα σύνολο 160 στοιχείων) είναι κακής ποιότητας. Προς αποφυγή τέτοιου είδους μηνυμάτων, είναι δυνατή η χρήση είτε πιο λεπτού πλέγματος είτε πεπερασμένων στοιχείων ανωτέρας τάξεως (πχ. SOLID95). Για την καλύτερη εποπτεία του δημιουργηθέντος 3Δ πλέγματος, προτιμάται μία ισομετρική όψη της εξεταζόμενης κατασκευής: Utility Menu> PlotCtrls> Pan, Zoom, Rotate [Iso] [Close] Σχήμα 11: Ισομετρική όψη του 3Δ πλέγματος της εξεταζόμενης πτέρυγας Στο Σχήμα 11, διακρίνονται οι δέκα υποδιαιρέσεις της πτέρυγας κατά το άνοιγμά της. Για την αποθήκευση του αντιστοίχου αρχείου εργασίας: 8

Toolbar: SAVE_DB 6. Επιβολή φορτίων και συνθηκών στήριξης Σύμφωνα με τον τρόπο κατασκευής του 3Δ πλέγματος, στο αναπτυχθέν μοντέλο υπάρχουν τα πεπερασμένα στοιχεία PLANE42 και τα πεπερασμένα στοιχεία SOLID95. Τα πρώτα χρησιμοποιήθηκαν επικουρικά για την κατασκευή του 3Δ πλέγματος. Επομένως, στo επόμενο βήμα της μελέτης (ανάλυση της κατασκευής) πρέπει να χρησιμοποιηθούν μόνον τα στοιχεία SOLID95. Ισοδύναμα, από το σύνολο των στοιχείων που υπάρχουν στο αναπτυχθέν μοντέλο: α) είτε θα πρέπει να επιλεγούν (select) μόνον τα στοιχεία SOLID95 β) είτε θα πρέπει να από-επιλεγούν (unselect) όλα τα στοιχεία PLANE42. Από τις δύο ανωτέρω δυνατότητες, θα εφαρμοσθεί η (βλ. Σχήμα 12α και Σχήμα 13α). Utility Menu> Select> Entities (από το πρώτο drop down menu) Elements (από το δεύτερο drop down menu) By Attributes (επιλογή ) Elem type num Min,Max,Inc = 1 (επιλογή) Unselect [Apply] (α) Utility Menu> Select> Entities (από το πρώτο drop down menu) Nodes (από το δεύτερο drop down menu) By Location (check) Z coordinates Min,Max = 0 (check) From Full [Apply] Σχήμα 12: Διαδικασία (α) από-επιλογής των στοιχείων PLANE42 και επιλογής των κόμβων στη διατομή με συντεταγμένη z = 0 Επίσης, σύμφωνα με την ενότητα Προσέγγιση προβλήματος Παραδοχές, η πτέρυγα θεωρείται ως πρόβολος, δηλαδή ως σώμα πακτωμένο στο ένα άκρο του. Συνεπώς, θα πρέπει να επιλεχθεί η διατομή της πτέρυγας σε ένα από τα δύο άκρα της και να δεσμευθούν όλοι οι βαθμοί ελευθερίας των κόμβων της διατομής αυτής. Από τον τρόπο κατασκευής του 3Δ πλέγματος της πτέρυγας, ως ρίζα της πτέρυγας έχει χρησιμοποιηθεί η διατομή στη θέση z = 0. Συνεπώς, για τη δέσμευση των βαθμών ελευθερίας των κόμβων της διατομής στη θέση z = 0, θα πρέπει να επιλεχθούν όλοι οι κόμβοι με συντεταγμένη z = 0 (βλ. Σχήμα 12β και Σχήμα 13β). 9

(α) Σχήμα 13: Δήλωση παραμέτρων (α) για την από-επιλογή των στοιχείων PLANE42 και για την επιλογή των κόμβων στη διατομή με συντεταγμένη z = 0 Η δέσμευση των βαθμών ελευθερίας των κόμβων της διατομής με συντεταγμένη z = 0 επιτυγχάνεται με την ακόλουθη δήλωση: Main Menu> Preprocessor> Loads> Define Loads> Apply> Structural> Displacement> On Nodes [Pick All] DOFs to be constrained = All DOF Υπενθυμίζεται ότι αφήνοντας κενό το πεδίο Displacement, αποδίδεται στους επιλεγέντες βαθμούς ελευθερίας η, εξ ορισμού, μηδενική τιμή. Σχήμα 14: 3Δ μοντέλο πτέρυγας με πακτωμένο άκρο Το τελευταίο βήμα πριν την επίλυση είναι η επιλογή όλων των κόμβων της κατασκευής, οι οποίοι θα ληφθούν υπόψη στην επίλυση: 10

Utility Menu> Select> Entities (από το δεύτερο drop down menu) By Num/Pick [Sele All] [Cancel] Τέλος, αποθηκεύεται, για μια φορά ακόμα, το αρχείο εργασίας: Toolbar: SAVE_DB 7. Επίλυση Απαιτείται η δήλωση ορισμένων στοιχείων σχετικά με την ανάλυση: Τύπος ανάλυσης: στην προκειμένη περίπτωση, πρόκειται για ιδιοανυσματική ανάλυση (modal) (βλ. Σχήμα 15) Αλγόριθμος επίλυσης: Το λογισμικό διαθέτει διάφορους τρόπους υπολογισμού ιδιοσυχνοτήτων και ιδιοανυσμάτων. Η εξ ορισμού επιλογή είναι η μέθοδος Lancsoz. Για περισσότερες λεπτομέρειες επί της μεθόδου Lancsoz, βλ. Ansys/Help καθώς και Υπολογιστικές Μέθοδοι στις Κατασκευές - Πρόχειρες Σημειώσεις, Ι.Αντωνιάδης Χρ. Προβατίδης, 2004. (βλ. Σχήμα 16) Πλήθος ιδιομορφών προς υπολογισμό: 5 (για το εξεταζόμενο παράδειγμα) (βλ. Σχήμα 16α) Πλήθος ιδιομορφών προς expand (*): 5 (για το εξεταζόμενο παράδειγμα) (*) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Στην ιδιοανυσματική (Modal) ανάλυση στο λογισμικό ANSYS, η αριθμητική τιμή του όρου "expansion" δηλώνει το πλήθος των ιδιομορφών, οι οποίες θα αποθηκευθούν στο αρχείο αποτελεσμάτων. Ωστόσο, επειδή κάθε ιδιομορφή αντιστοιχεί σε μία ιδιοσυχνότητα, έμμεσα ζητείται από το λογισμικό ο υπολογισμός ίσου πλήθους ιδιοσυχνοτήτων. Συνεπώς, στην προκειμένη περίπτωση, επιθυμούμε να υπολογισθούν 5 ιδιοσυχνότητες (αυτό δηλώνεται έμμεσα ως επιθυμία για υπολογισμό 5 ιδιομορφών) και να αποθηκευθούν 5 ιδιομορφές στο αρχείο αποτελεσμάτων. Η δήλωση των ανωτέρω στοιχείων, επιτυγχάνεται με την ακόλουθη διαδικασία (βλ. Σχήμα 15,16) : Main Menu> Solution> Analysis Type> New Analysis (επιλογή) Modal Main Menu> Solution> Analysis Type> Analysis Options (επιλογή) Block Lanczos No. of modes to extract = 5 No. of modes to expand = 5 (βλ. Σχήμα 16β) 11

Σχήμα 15: Επιλογή είδους ανάλυσης (Modal) Σχήμα 16: Δήλωση στοιχείων για την ανάλυση τύπου Modal Για την έναρξη της επίλυσης: Main Menu> Solution> Solve> Current LS Solve Current Load Step > Παρατήρηση: θα εμφανισθούν προειδοποιητικά μηνύματα (βλ. Σχήμα 17). Το πρώτο μήνυμα σχετίζεται με το μοντέλο (model data), ενώ το δεύτερο μήνυμα σχετίζεται με την επιβολή οριακών συνθηκών (load data). Σε αυτά τα μηνύματα, επιλέγουμε [YES] (δηλαδή, δηλώνουμε ότι η επίλυση πρέπει να συνεχισθεί). (α) Σχήμα 17: Προειδοποιητικά μηνύματα (α) για το μοντέλο και για τις οριακές συνθήκες Η αιτιολόγηση του εκάστοτε προειδοποιητικού μηνύματος καταγράφεται και στο Output Window και στο error file (*.err), στο οποίο αποθηκεύονται όλα τα προειδοποιητικά μηνύματα και τα μηνύματα σφάλματος. Στην προκειμένη περίπτωση, διαπιστώνουμε ότι, στο error file, έχουν καταγραφεί τα εξής : *** WARNING *** CP = 3.438 TIME= 15:55:44 SOLID45 wedges are recommended only in regions of relatively low stress gradients. *** WARNING *** CP = 3.438 TIME= 15:55:44 12

Previous testing revealed that 30 of the 160 selected elements violate shape warning limits. To review warning messages, please see the output or error file, or issue the CHECK command. *** WARNING *** CP = 3.531 TIME= 15:55:46 Out of the 176 defined elements, only 160 elements are selected. Σύμφωνα με το πρώτο προειδοποιητικό μήνυμα, στο δημιουργηθέν πλέγμα υπάρχουν πεπερασμένα στοιχεία με τη μορφή σφήνας. Η προειδοποίηση αυτή οφείλεται στο γεγονός ότι πεπερασμένα στοιχεία με τη μορφή σφήνας είναι κατάλληλα μόνον για την πλεγματοποίηση περιοχών με μικρές μεταβολές τάσεων. Συνεπώς, σε περιοχές με μεγάλες μεταβολές τάσεων, η χρήση τέτοιων στοιχείων οδηγεί σε αναξιόπιστα τα αποτελέσματα. Σύμφωνα με το δεύτερο προειδοποιητικό μήνυμα, 30 από τα 160 πεπερασμένα στοιχεία του πλέγματος είναι κακής ποιότητας (παραβιάζουν ορισμένα κριτήρια σχετικά με το σχήμα - shape limits). Η προειδοποίηση αυτή οφείλεται στο γεγονός ότι πεπερασμένα στοιχεία κακού σχήματος δίδουν αναξιόπιστα αποτελέσματα. Σύμφωνα με το τρίτο προειδοποιητικό μήνυμα, έχουν ορισθεί 176 πεπερασμένα στοιχεία αλλά έχουν επιλεχθεί μόνον 160 στοιχεία για την επίλυση. Στην προκειμένη περίπτωση, αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι για την επίλυση έχουμε επιλέξει μόνον τα στοιχεία SOLID45, ενώ έχουμε εξαιρέσει τα στοιχεία PLANE42 (εκούσια εξαίρεση στοιχείων). Ο σκοπός αυτού του προειδοποιητικού μηνύματος είναι η αποφυγή ακούσιας εξαίρεσης πεπερασμένων στοιχείων από την επίλυση. 9. Επισκόπηση αποτελεσμάτων Το ζητούμενο του προβλήματος είναι ο υπολογισμός των πρώτων πέντε ιδιοσυχνοτήτων και των αντιστοίχων ιδιομορφών της εξεταζόμενης κατασκευής. Η εμφάνιση των υπολογισθέντων ιδιοσυχνοτήτων (βλ. Σχήμα 18α) επιτυγχάνεται με τον εξής τρόπο: Main Menu> General Postproc> Results Summary [Close] Η εμφάνιση των αντιστοίχων ιδιομορφών (βλ. Σχήμα 18β) επιτυγχάνεται με τον εξής τρόπο: Main Menu> General Postproc> Read Results (για την πρώτη ιδιομορφή, επιλέγουμε First Set, τις επόμενες μπορούμε να τις επιλέξουμε με Next Set) Main Menu> General Postproc> Plot Results / Deformed Shape / Def + undef edge (α) Σχήμα 18: Αποτελέσματα ιδιοανυσματικής ανάλυσης: (α) υπολογισθείσες ιδιοτιμές και 1 η ιδιομορφή 13

Για την αποτύπωση μίας ιδιομορφής ως ακολουθίας χρονικών στιγμιοτύπων (video), είναι δυνατόν να χρησιμοποιηθεί η εξής διαδικασία (η διαδικασία περιγράφεται, ενδεικτικά, για την πρώτη ιδιομορφή: Main Menu> General Postproc> Read Results> First Set Utility Menu> PlotCtrls> Animate> Mode Shape 14

Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα» του ΕΜΠ έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 15