Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Μαθηματικά ΜΕΡΟΣ 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ι. Δημοτίκαλης, Επίκουρος Καθηγητής 1 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

Συναρτήσεις Συνάρτηση: Μαθηματική σχέση μεταξύ 2 ή περισσότερων μεταβλητών. y=f(x) η μεταβλητή y εξαρτάται από τη μεταβλητή x (f:function) f: x y οι τιμές του x απεικονίζονται στις τιμές του y μέσω της συνάρτησης f. Πεδίο ορισμού: το σύνολο των τιμών της μεταβλητής x Πεδίο τιμών: το σύνολο των τιμών της μεταβλητής y x ανεξάρτητη μεταβλητή y εξαρτημένη μεταβλητή Q=f(P) η ποσότητα αγοράς Q εξαρτάται από την τιμή προϊόντος P 2 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

y άξονας ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (ΓΡΑΦΗΜΑ) Μαθηματική εξίσωση y=f(x)=100-5x Πίνακας x=6: y=100-5*6=70 x=7: y=100-5*7=65 x=8: y=100-5*8=60 x=10: y=100-5*10=50 Γραφική Παράσταση 100 90 80 70 60 50 40 30 20 y=100-5x 10 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x άξονας 3 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=f(x)=k δηλ. y=f(x)=k+0*x οπότε στην μαθηματική εξίσωση δεν υπάρχει η μεταβλητή x. Ονομάζεται σταθερή συνάρτηση γιατί η τιμή του x δεν επηρεάζει την τιμή του y, στα οικονομικά αναπαριστά το σταθερό κόστος μιας επιχείρησης (το κόστος που δεν εξαρτάται από το μέγεθος της παραγωγής, π.χ. το κόστος του ενοικίου ενός κτιρίου στο οποίο γίνεται η παραγωγή, το κόστος αγοράς ενός μηχανήματος, κ.λ.π.) y=10 x 0 10 5 10 10 10 15 10 y Y 10 0 Y=10 X X=5 0 5 X 4 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr Ευθεία παράλληλη στον Χ άξονα Ευθεία παράλληλη στον Y άξονα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ y=ax+c όπου a συντελεστής κλίσης της ευθείας, c σταθερά Αν a=0 τότε y=c σταθερή συνάρτηση παράλληλη στον Χ άξονα Y Y=ax+c (a>0) Αν c=0 τότε η ευθεία περνάει από την αρχή των αξόνων Αν a>0 τότε έχει κλίση προς τα πάνω (αύξουσα) Αν a<0 τότε έχει κλίση προς τα κάτω (φθίνουσα) Y c Y=c Y Y=ax Y 0 X Y=ax+c (a<0) 0 5 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr X 0 X 0 X

ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΚΛΙΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η συνάρτηση y=ax+c έχει γραφική παράσταση μια ευθεία στο επίπεδο ΧΥ Συντελεστής κλίσης ευθείας ονομάζεται η μεταβολή του y όταν μεταβάλλεται το x κατά 1 μονάδα Δy Y y 2 y 1 0 6 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr φ Α x 1 x 2 Δx y=ax+c (a>0) Στο γράφημα η κλίση της ευθείας είναι η γωνία με τον Χ-άξονα και από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ είναι tanφ=βγ/γα=δy/δx=a Β Γ X Έστω ευθεία y=ax+c και 2 σημεία της ευθείας Α(x1,y1) και Β(x2,y2) Η ευθεία σχηματίζει γωνία φ με τον οριζόντιο άξονα Χ Κλίση ευθείας=δy/δx=(y 2 -y 1 )/(x 2 -x 1 )=? (σχέση 1) Για να υπολογίσουμε την κλίση στη γενική περίπτωση πρέπει x 2 x 1 Επειδή το σημείο Α ανήκει στην ευθεία θα ισχύει y 1 =ax 1 +c (σχ. 2) Επειδή το σημείο B ανήκει στην ευθεία θα ισχύει y 2 =ax 2 +c (σχ. 3) Αντικαθιστώντας στη σχέση 1 τo y 1 από τη σχέση 2 και το y 2 από τη σχέση 3 θα έχουμε: (σχέση 1)=> κλίση=[(ax 2 +c)-(ax 1 +c)]/(x 2 -x 1 )=(ax 2 +c-ax 1 -c)/(x 2 -x 1 )= (ax 2 -ax 1 )/(x 2 -x 1 )=a(x 2 -x 1 )/(x 2 -x 1 )=a ΑΡΑ ΚΛΙΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ είναι το a

ΟΡΙΣΜΟΣ-ΕΥΡΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ Μια ευθεία y=ax+c (γραμμική συνάρτηση) ορίζεται: Από 2 οποιαδήποτε σημεία της Από 1 σημείο της και τον συντελεστή κλίσης ΕΠΟΜΕΝΩΣ ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΝΑ ΒΡΟΥΜΕ ΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ (ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ) ΑΝ: Γνωρίζουμε 2 σημεία Α,Β Γνωρίζουμε 1 σημείο Α & κλίση a=tanφ Y Α Β Y Α φ 0 X 0 X 7 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΕΥΡΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΠΌ 2 ΣΗΜΕΙΑ Y 0 Α Ο 1 ος τρόπος απαιτεί γνώση για τον ορισμό της κλίσης ευθείας Ο 2 ος τρόπος οδηγεί σε σύστημα εξισώσεων 2Χ2 Β X Αν γνωρίζουμε 2 σημεία μπορούμε να υπολογίσουμε τη μοναδική ευθεία που ορίζεται από αυτά: Δεδομένα: έστω Α(x 1,y 1 ) και Β(x 2,y 2 ) Αναζητάμε την ευθεία (μαθηματικά!) δηλ. την εξίσωση y=ax+c 1 ος ΤΡΟΠΟΣ: Η κλίση a μιας ευθείας δίνεται από τη σχέση κλίση=a=δy/δx=(y 2 -y 1 )/(x 2 -x 1 ) επομένως από τις συντεταγμένες των Α,Β υπολογίζουμε την κλίση a, απομένει ο υπολογισμός της σταθεράς c στην εξίσωση y=ax+c Επειδή το σημείο Α ανήκει στην ευθεία θα ισχύει y 1 =ax 1 +c => c=y 1 -ax 1 Επομένως a=δy/δx=(y 2 -y 1 )/(x 2 -x 1 ) και c=y 1 -ax 1 Παράδειγμα: Δίνονται τα σημεία Α(3,4) και Β (5,8), βρείτε την ευθεία που ορίζουν κλίση=a=δy/δx=(y 2 -y 1 )/(x 2 -x 1 )=(8-4)/(5-3)=4/2=2 c=y 1 -ax 1 =4-2*3=4-6=-2 ή χρησιμοποιώντας το Β: c=y 2 -ax 2 =8-2*5=8-10=-2 Επομένως η εξίσωση της ευθείας είναι y=ax+c=2x-2 2 ος ΤΡΟΠΟΣ: Το καθένα από τα σημεία Α(x 1,y 1 ) και Β(x 2,y 2 ) επαληθεύει την εξίσωση της ευθείας y=ax+c επομένως: y 1 =ax 1 +c και y 2 =ax 2 +c => 4=a*3+c και 8=a*5+c => 3a+c=4 και 5a+c=8 (σύστημα 2 εξισώσεων με 2 αγνώστους a,c) Λύνουμε και τις 2 ως προς c έχουμε c=4-3a και c=8-5a => 4-3a=8-5a => 5a-3a=8-4 => 2a=4 =>a=4/2=2 Αφού a=-2 αντικαθιστώ στην 1 η εξίσωση και έχω 3*2+c=4 => 6+c=4 => c=4-6=-2 Επομένως a=2 και c=-2 : y=2x-2

ΕΥΡΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΠΌ 2 ΣΗΜΕΙΑ ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ Y Y 0 0 Α Α Ζ(x,y) Β Β X X 3 ος ΤΡΟΠΟΣ (ΑΠΕΥΘΕΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ!) Μπορούμε να αποφύγουμε τον υπολογισμό του a και c ξεχωριστά και να υπολογίσουμε απευθείας την εξίσωση της ευθείας! ΥΠΟΘΕΤΟΥΜΕ ένα 3 ο σημείο Ζ(x,y) της ευθείας Από τα σημεία Α(3,4) και Ζ(x,y) η κλίση της ευθείας θα δίνεται από την σχέση: a=δy/δx=(y-4)/(x-3) (σχ. 1) Από τα σημεία Β(5,8) και Α(3,4) η κλίση της ευθείας θα δίνεται από την σχέση: a=δy/δx=(8-4)/(5-3) (σχ. 2) Στις 2 παραπάνω σχέσεις 1 και 2 τα πρώτα μέλη είναι ίσα, άρα και τα δεύτερα! (y-4)/(x-3) =(8-4)/5-3) => (y-4)/(x-3) =4/2=2 => y-4=2(x-3) => y-4=2x-6 =>y=2x-6+4 => y=2x-2 υπολογίσαμε απευθείας την εξίσωση Και οι 3 ΤΡΟΠΟΙ είναι σωστοί και δίνουν το ίδιο αποτέλεσμα!!! ΕΠΑΛΗΘΕΥΣΗ ΤΗΣ ΛΥΣΗΣ! Έχουμε τα σημεία Α(3,4) Β(5,8) και την ευθεία y=2x-2 Μπορώ να το επαληθεύσω? Για το σημείο Α: είναι 4=2*3-2=4 άρα όντως το σημείο Α ανήκει στην ευθεία Για το σημείο Β: είναι 8=2*5-2=8 άρα όντως το σημείο Β ανήκει στην ευθεία Αριθμητικά λάθη στις πράξεις θα μπορούσαν να εντοπιστούν αν δεν ίσχυε η εξίσωση της ευθείας για μόνο το Α, μόνο το Β ή και τα 2 μαζί Α και Β

ΕΥΡΕΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΑΠΌ ΣΗΜΕΙΟ ΚΑΙ ΚΛΙΣΗ Y 0 Α X φ Αν γνωρίζουμε 1 σημείο Α(x 1,y 1 ) και την κλίση a της ευθείας y=ax+c (γωνία φ της ευθείας με τον Χ-άξονα): 1 ος ΤΡΟΠΟΣ: Επειδή το σημείο Α(x 1,y 1 ) ανήκει στην ευθεία θα ισχύει y 1 =ax 1 +c επομένως αν A(3,4) και κλίση a=2 έχουμε 4=2*3+c => 4=6+c => 4-6=c => c=-2 Επομένως y=ax+c=2x-2 η εξίσωση της ευθείας 2 ος ΤΡΟΠΟΣ: Αν υποθέσουμε το σημείο Ζ(x,y) που ανήκει στην ευθεία θα έχουμε από τον ορισμό της κλίσης a: a=δy/δx=(y 1 -y)/x 1 -x)=(4-y)/(3-x)=2 => 4-y=2(3-x) => 4-y =6-2x => -y=-2x+6-4 => -y=-2x+2 => y= 2x-2 απευθείας η εξίσωση της ευθείας. ΓΡΑΦΙΚΑ Η ΚΛΙΣΗ ΤΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΟΡΙΖΕΙ ΜΙΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΕ ΑΠΕΙΡΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΠΟΥ ΕΊΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥΣ, ΑΠΌ ΚΆΘΕ ΣΗΜΕΙΟ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΠΕΡΝΑΕΙ ΜΟΝΑΔΙΚΗ ΕΥΘΕΙΑ ΜΕ ΤΗΝ ΚΛΙΣΗ ΑΥΤΉ. 10 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ο πωλητής ενός προϊόντος γνωρίζει ότι όταν η τιμή του προϊόντος είναι P=2 τότε η ποσότητα αγοράς είναι Q=4, ενώ αν αυξηθεί η τιμή κατά 1 μονάδα η ποσότητα αγοράς μειώνεται κατά 2. Να βρεθεί η συνάρτηση ζήτησης Q(P) του προϊόντος και να σχεδιαστεί, υποθέτοντας ότι είναι γραμμική. ΛΥΣΗ Η γραμμική συνάρτηση ζήτησης θα είναι Q(P)=aP+c Μας δίνεται ένα σημείο της (P,Q)=(2,4) και ότι ο συντελεστής κλίσης a=-2 (γιατί είναι φθίνουσα) Άρα ψάχνουμε την ευθεία γνωρίζοντας ένα σημείο (2,4) και την κλίση a=-2. Το P,Q)=(2,4) σημείο της ευθείας επομένως θα ισχύει: Q=aP+c => 4=-2*2+c =>4=-4+c => c=4+4=8 Επομένως Q(P)=aP+c=-2P+8 (είναι ευθεία με κλίση προς τα κάτω, φθίνουσα!) Σχεδίαση συνάρτησης Q(P)=aP+c=-2P+8 Q Επειδή τα Q, P έχουν νόημα μόνο για τιμές 0 θα είναι στο θετικό τεταρτημόριο 8 η γραφική παράσταση. Άξονας Χ P (ανεξάρτητη μεταβλητή), Άξονας Υ Q (εξαρτημένη μεταβλητή) Υπολογίζουμε τα σημεία (0, Q(O)) και (P,0): Q(P)=0 =>ap+c=0 => -2P+8=0 => 2P=8 => P=4 επομένως το σημείο στον άξονα P είναι (4,0) Αντίστοιχα στον άξονα Q: Q(P=0)=aP+c=-2*0+8=8 επομένως το σημείο στον άξονα Q είναι (0,8) 4 11 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr 0 Q(P)=-2P+8 P

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΟΣΤΟΥΣ Εταιρία ενοικίασης αυτοκινήτων έχει στόλο 10 αυτοκινήτων με τιμή αγοράς 15000 και λειτουργικό κόστος 0.50/χλμ. Ποια είναι η συνάρτηση κόστους κάθε αυτοκινήτου? Αν συμβολίσουμε με x τα χλμ και y το κόστος κάθε αυτοκινήτου θα έχουμε: Κόστος αυτοκινήτου y=σταθ. Κόστος+μεταβλητό κόστος=15000+0.50x επομένως: y=15000+0.50x Αν κάθε έτος κάθε αυτοκίνητο πραγματοποιεί 40000 χλμ θα έχουμε ετήσιο κόστος (x=40000): y=15000+0.50*40000=15000+20000=35000 Επειδή η εταιρία έχει 10 αυτοκίνητα το συνολικό κόστος είναι 35000*10=350000/έτος 12 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΠΑΡΑΒΟΛΕΣ Μια συνάρτηση με σχέση ορισμού της μορφής: y=ax 2 +bx+c με a 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση εξαιτίας του τετραγώνου x 2 και η γραφική παράσταση είναι μια παραβολή. Κυρτή (convex) U (a>0) κοίλη (a<0) Άξονας συμμετρίας εφαπτομένη Κορυφή παραβολής φαπτομένη 13 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr Κορυφή παραβολής Άξονας συμμετρίας

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ Η τετραγωνική συνάρτηση y=x 2-8x+7 έχει τη γραφική παράσταση: 0-15 -10-5 0 5 10 15 20 25 14 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr Παραβολή y=x 2-8x+7 300 250 200 150 100 50-50 κορυφή x y=x 2-8x+7-10 187-9 160-8 135-7 112-6 91-5 72-4 55-3 40-2 27-1 16.. 0 7 1 0 2-5 Επειδή η γραφική συνάρτηση είναι καμπύλη γραμμή για να την σχεδιάσουμε χρειαζόμαστε πολλά σημεία (x,y)

ΡΙΖΕΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (ΓΡΑΦΙΚΑ) Τα σημεία που μια παραβολή τέμνει τον χ-άξονα (δηλ. είναι y=0) ονομάζονται ρίζες της τετραγωνικής συνάρτησης: Υ-άξονας Υ-άξονας Υ-άξονας Χ 1 Χ 2 X-άξονας Χ 2 πραγματικές ρίζες Χ 1, Χ 2 1 πραγματική ρίζα Χ (διπλή) 15 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr καμία πραγματική ρίζα

ΡΙΖΕΣ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ) Τα σημεία που μια παραβολή τέμνει τον X-άξονα (δηλ. είναι y=0) ονομάζονται ρίζες της τετραγωνικής συνάρτησης υπολογίζονται: y=ax 2 +bx+c=0 Εξαρτώνται από την διακρίνουσα Δ=b 2-4ac b± Δ Αν Δ>0 τότε x 1,x 2 = 2a Αν Δ=0 τότε 1 διπλή ρίζα x=-b/2a = b± b2 4ac 2a Αν Δ<0 αδύνατο (ΔΕΝ ΕΧΕΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΕΣ ΡΙΖΕΣ) Επίσης ισχύει x 1 +x 2 =-b/a και x 1 *x 2 =c/a 16 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΡΙΖΩΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ Υπολογισμός ριζών τετραγωνικής συνάρτησης y=x 2-8x+7 y=x 2-8x+7=0 και έχουμε a=1, b=-8 c=7 διακρίνουσα Δ=b 2-4ac=(-8) 2-4*1*7=64-28=36=6 2 Επειδή είναι Δ>0 έχουμε 2 ρίζες x 1,x 2 b± Δ x 1,x 2 = 2a = ( 8)± 36 2 1 = 8±6 2 =>x 1=(8-6)/2=2/2=1 και x 2 =(8+6)/2=14/2=7 Επειδή υπάρχει συμμετρία η κορυφή της παραβολής βρίσκεται στο μέσο των x 1,x 2 (οι 2 ρίζες είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα συμμετρίας που είναι κάθετος στην κορυφή της παραβολής) η κορυφή θα έχει x k =(x 1 +x 2 )/2=(1+7)/2=4 Και y(x=4)=x 2-8x+7=4*4-8*4+7=16-32+7=-9 (αναμενόμενο γιατί είναι a>0 κυρτή) 17 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΡΙΖΩΝ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ (ΓΡΑΦΗΜΑ) y=x 2-8x+7=0 και βρήκαμε ρίζες x 1 =1, x 2 =7, κορυφή x k =4, y k =-9 Επομένως η παραβολή μας είναι κυρτή U και περνάει από τα σημεία (1,0) (7,0) του Χ-άξονα με κορυφή (4,-9) -9 Υ-άξονας 1 4 7 X-άξονας Για να σχεδιάσουμε την τετραγωνική συνάρτηση: Βρίσκουμε στο επίπεδο τις 2 ρίζες, σημεία (1,0) (7,0) Βρίσκουμε την κορυφή (4,-9) Σχεδιάζουμε μια καμπύλη με 2 καμπύλα τμήματα συμμετρικά ως προς την κορυφή 18 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗΣ (ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΖΗΤΗΣΗΣ) Η ποσότητα ζήτησης για τριαντάφυλλα q d εξαρτάται από την τιμή p σύμφωνα με την συνάρτηση: q d =p 2-100p+2500 Ερωτήσεις: 1 Είναι κυρτή ή κοίλη παραβολή? Επειδή a=1>0 είναι κυρτή (U) 2 Ποια η ζήτηση για δωρεάν διανομή 3 Ποια η τιμή για μηδενική ζήτηση 4 Ποια η ποσότητα ζήτησης για τιμή =20 5 Σχεδιάστε την καμπύλη ζήτησης 19 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΖΗΤΗΣΗΣ q d Συνάρτηση ζήτησης q d =p 2-100p+2500 Υπολογίζω τις ρίζες: Δ=b 2-4ac=(-100) 2-4*1*2500=10000-10000=0 Επειδή Δ=0 υπάρχει 1 ρίζα p=-b/2a=100/(2*1)=50 3000 2500 2000 1500 1000 500 0 q d =p 2-100p+2500 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 20 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr p Επειδή έχει μόνο 1 ρίζα αυτή βρίσκεται πάνω στον p-άξονα και είναι η κορυφή της παραβολής (p=50, q=0). Για να την σχεδιάσουμε χρειαζόμαστε το σημείο που τέμνει η παραβολή τον q-άξονα, δηλ. υπολογίζουμε το q για p=0 θα έχουμε: q d (p=0)=p 2-100p+2500=0 2-100*0+2500=2500 Επομένως θα σχεδιάσουμε το 1 ο τμήμα της καμπύλης από το (0,2500) προς την κορυφή (50,0) και στη συνέχεια σχεδιάζουμε το συμμετρικό τμήμα του προηγούμενο προς τα πάνω ΑΛΛΑ ΤΟ ΤΜΗΜΑ από P>50 δεν έχει νόημα στο πρόβλημα!!!

ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΖΗΤΗΣΗΣ (2) q d 3000 2500 2000 1500 1000 Συνάρτηση ζήτησης q d =p 2-100p+2500 Η τετραγωνική συνάρτηση ισχύει στο πρόβλημα για 0 p 50 2 Ποια η ζήτηση για δωρεάν διανομή Δωρεάν διανομή => p=0 επομένως από τη συνάρτηση q d (p=0)=p 2-100p+2500=0 2-100*0+2500=2500 η ζήτηση επομένως θα είναι q d (0)=2500 για δωρεάν διανομή 3 Ποια η τιμή για μηδενική ζήτηση q d =p 2-100p+2500 Μηδενική ζήτηση=> q d =p 2-100p+2500=0 => p=50 ρίζα παραβολής 4 Ποια η ποσότητα ζήτησης για τιμή =20 Για την τιμή p=20 από τη συνάρτηση μας => Q d (p=20)=p 2-100p+2500= 20 2-100*20+2500=400-2000+2500=900 500 0 0 10 20 30 40 50 60 21 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr p

ΚΥΒΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μια συνάρτηση με σχέση ορισμού της μορφής: y=ax 3 +bx 2 +cx+d με a 0 ονομάζεται κυβική συνάρτηση εξαιτίας του κύβου x 3 και η γραφική παράσταση είναι μια σιγμοειδής. 22 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΚΥΒΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y=x 3 +2x 2 +x+2 Μπορούμε να βρούμε τις ρίζες μόνο σε ειδικές περιπτώσεις! y=x 3 +2x 2 +x+2=0 => x 2 (x+2)+x+2=(x 2 +1)(x+2)=0 παραγοντοποίηση! Άρα x 2 +1=0 ή x+2=0 => x 2 +1=0 αδύνατο στους πραγματικούς x+2=0 => x=-2 23 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γραμμική y=ax+c Τετραγωνική y=ax 2 +bx+c Κυβική y=ax 3 +bx 2 +cx+d πολυώνυμο 1 ου βαθμού πολυώνυμο 2 ου βαθμού πολυώνυμο 3 ου βαθμού Πολυωνυμική n βαθμού ανάλογα με τη μεγαλύτερη δύναμη που είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή x στον ορισμό της. Μια πολυωνυμική n βαθμού συνάρτηση έχει μέχρι n ρίζες (τέμνει το x-άξονα το πολύ σε n σημεία) 24 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 2.1 Έστω συνάρτηση ζήτησης Q d (P) που ορίζεται από τα σημεία (10,50) και (40,10) ενώ η συνάρτηση προσφοράς Q s (P) από τα σημεία (5,0) και (100, 100) υπολογίστε το σημείο ισορροπίας προσφοράς ζήτησης αν η ζήτηση και προσφορά είναι γραμμικές συναρτήσεις. ΕΠΙΛΥΣΗ: Υπολογίζουμε τις γραμμικές συναρτήσεις Q d (P)=aP+c και Q s (P)= ap+c από τα αντίστοιχα σημεία που δίνονται. Βρίσκουμε το σημείο τομής όπου Q d (P)= Q s (P) 25 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 2.2 (Β3.3) Στη απόσβεση της αξίας ενός μηχανήματος με την ευθεία μέθοδο υποθέτουμε ότι η αξία του V μειώνεται κάθε έτος κατά σταθερό ποσό και στο τέλος η αξία του ονομάζεται υπολειμματική αξία (τιμή εκποίησης). Αν η αρχική αξία αγοράς είναι 100000, «αποσβένεται» σε t=8 χρόνια με υπολειμματική αξία 20000, (α) δημιουργείστε την κατάλληλη μαθηματική συνάρτηση που περιγράφει την διαχρονική αξία του μηχανήματος (λογιστική αξία), (β) αν η υπολειμματική αξία γίνει 0 ποια θα είναι η (νέα) συνάρτηση. ΕΠΙΛΥΣΗ: Υποθέτουμε γραμμική συνάρτηση δηλ. V(t)=at+c με V(t=0)=100000 Για να βρούμε τη συνάρτηση τα δεδομένα μας είναι. 26 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 2.3 (Β3.8) Το κόστος παραγωγής παιχνιδιού είναι 1000/κομμάτι και αν η τιμή πώλησης είναι x τότε η ποσότητα πώλησης είναι (7000-x) κάθε μήνα. Να εκφράσετε το μηνιαίο κέρδος σαν συνάρτηση της τιμής (α), να απεικονίσετε τη συνάρτηση (β) και να υπολογίσετε την τιμή που δίνει μέγιστο κέρδος (γ). ΕΠΙΛΥΣΗ: Γνωρίζουμε ότι αν P τιμή προϊόντος και Q ποσότητα τότε τα έσοδα R είναι R=P*Q τα έξοδα (κόστος) C είναι κόστος μονάδας προϊόντος * ποσότητα Q C=1000*Q Ta κέρδη Π=έσοδα-έξοδα=R-C 27 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 2.4 (Β3.12) Η συνάρτηση ζήτησης ενός προϊόντος είναι Q+P-20=0 ενώ το συνολικό κόστος (Total Cost) δίνεται από τη σχέση TC-48-4Q=0. Να βρεθεί η ποσότητα παραγωγής για να έχουμε κέρδος Π 1 =0, Π 2 =12, Π 3 =-20 ΕΠΙΛΥΣΗ: Πρέπει να δημιουργήσουμε την συνάρτηση κέρδους Π (βλέπε προηγούμενη άσκηση!) 2.5 (ΑΛ22) Έστω η συνάρτηση ζήτησης D=100-2Q και η συνάρτηση κόστους TC=3Q 2-6Q+2. Υπολογίστε το σημείο ισορροπίας Εσόδων-Εξόδων ΕΠΙΛΥΣΗ: 2.6 (Β3.5) βρείτε τις ρίζες της συνάρτησης y=x 2-10x+4 και δημιουργήστε τη γραφική παράσταση. ΕΠΙΛΥΣΗ:. 28 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΡΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Οι ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που μπορούν να οριστούν σαν πηλίκο (κλάσμα) 2 ακεραίων π.χ.: 5=5/1, 2.5=5/2, 1.3333=4/3, 4/7=0,57142857142857142857142857142857, ενώ π=3.14. άρρητος Ρητή συνάρτηση είναι μια συνάρτηση που είναι πηλίκο (κλάσμα) 2 πολυωνυμικών συναρτήσεων: y=f(x)= g(x) = a nx n +a n 1 x n 1 + +a 1 x 1 +a 0 x 0 = a nx n +a n 1 x n 1 + +a 1 x+a 0 x h(x) b m x m +b m 1 x m 1 + +b 1 x 1 +b 0 x 0 b m x m +b m 1 x m 1 + +b 1 x+b 0 x Προφανώς η συνάρτηση δεν ορίζεται όταν ο παρονομαστής είναι 0 (για τις τιμές που το πολυώνυμο h x = b m x m + b m 1 x m 1 + + b 1 x + b 0 x=0) Παραδείγματα ρητών συναρτήσεων: y=f(x)= 3x2 +5x+7 x 2 (δεν ορίζεται για x=2) y=f(x)= 3x2 +5x+7 x 2 +2 (ορίζεται x) 29 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ Αν στη μαθηματική σχέση μιας συνάρτησης y=f(x) η ανεξάρτητη μεταβλητή x βρίσκεται στον παρονομαστή, έχουμε συνάρτηση υπερβολής: y=k/x x 0 και k σταθερά (συντελεστής) Παραδείγματα: y=5/x, y=12/x, Είναι ρητή συνάρτηση με αριθμητή τη σταθερή συνάρτηση y=k και παρονομαστή την γραμμική συνάρτηση y=ax+c. Έχει την ιδιότητα y=k/x => y*x=k δηλ. το γινόμενο y*x είναι σταθερό. Ονομάζεται ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ εξαιτίας του σχήματος στη γραφική της παράσταση. 30 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ Αν y=1/x ο πίνακας και γραφική παράσταση είναι: Πίνακας x y=1/x -3,5-0,286-3 -0,333-2,5-0,400-2 -0,500-1,5-0,667-1 -1,000-0,5-2,000 0 αδύνατο 0,5 2,000 1 1,000 1,5 0,667 2 0,500 2,5 0,400 3 0,333 3,5 0,286 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0-4 -3-2 -1 0 1 2 3 4-0,5-1,0-1,5-2,0 Η γραφική παράσταση (υπερβολή) είναι 2 καμπύλες μια στα θετικά x+,y+ και μία στα αρνητικά x-,y- Κάθε μια από τις 2 καμπύλες έχει ασύμπτωτες τον x και y άξονα (για μεγάλες τιμές των x,y «πλησιάζει ασυμπτωτικά» τους άξονες αλλά δεν τους τέμνει). 31 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ Αν ένας καταναλωτής αποφασίσει για ένα προϊόν να διαθέτει πάντα σταθερό εισόδημα (ποσό) k τότε k=p*q (P τιμή προϊόντος, Q ποσότητα προϊόντος), η συνάρτηση ζήτησης για το προϊόν αυτό θα είναι Q(P)=k/P (υπερβολή) π.χ. αν k=100 θα έχουμε: Πίνακας P Q(P)=100/P 1 100,00 2 50,00 5 20,00 10 10,00 15 6,67 20 5,00 25 4,00 40 2,50 50 2,00 60 1,67 75 1,33 80 1,25 100 1,00 100 32 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr 90 80 70 60 50 40 30 20 10 0 Q(P)=100/P 0 20 40 60 80 100 Η γραφική παράσταση (υπερβολή) είναι καμπύλη με ασύμπτωτες τον x και y άξονα (για μεγάλες τιμές των x,y «πλησιάζει ασυμπτωτικά» τους άξονες αλλά δεν τους τέμνει).

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν στη μαθηματική σχέση μιας συνάρτησης y=f(x) η ανεξάρτητη μεταβλητή x βρίσκεται στον εκθέτη, η συνάρτηση ονομάζεται εκθετική: y=a x a>0, a 1 (a η βάση της εκθετικής συνάρτησης) Παραδείγματα: y=3 x, y=100 x, y=0.5 x, Με βάση τον ορισμό έχουμε y>0, x, δηλ. οι τιμές του y είναι θετικές ακόμα και για αρνητικές τιμές του x. π.χ. αν y=3 x για x=-5 έχουμε y=3-5 =1/3 5 θετικός αριθμός! H y=a x είναι αύξουσα αν a>1 και φθίνουσα αν a<1 33 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ- ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Έστω οι εκθετικές συναρτήσεις y=2 x και y=2 -x =1/2 x =(1/2) x x y=2 x -5 0,031-4 0,063-3 0,125-2 0,250-1 0,500 0 1 1 2 2 4 3 8 4 16 5 32 34 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr y=2 x 35 30 25 20 15 10 5 0-5 -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 Επειδή α=2>1 είναι αύξουσα x y=2 -x -5 32-4 16-3 8-2 4-1 2 0 1 1 0,500 2 0,250 3 0,125 4 0,063 5 0,031 y=2 -x =(1/2) x 35 30 25 20 15 10 5 0-5 -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 5 Επειδή α=1/2<1 είναι φθίνουσα

ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕ ΒΑΣΗ e Οι εκθετικές συναρτήσεις με βάση το e: y=e x e=2.71828 άρρητος αριθμός, e= 1 + 1 n n όταν n x y=e x y=e 2x -1 0,368 0,135-0,5 0,607 0,368 0 1 1 0,5 1,649 2,718 1 2,718 7,389 y=e x και y=e 2x 25 20 15 10 5 Οι τιμές της y=e 2x αυξάνονται πιο γρήγορα όταν x>0 σε σύγκριση με την y=e x 1,5 4,482 20,086 0 35 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr -1-0,5 0 0,5 1 1,5

ΑΡΙΘΜΟΣ e ΣΥΝΕΧΗΣ ΑΝΑΤΟΚΙΣΜΟΣ Αν καταθέσουμε ένα ποσό K 0 με ετήσιο επιτόκιο i% για t έτη με ετήσιο ανατοκισμό, το τελικό ποσό μετά από t έτη θα δίνεται από τη σχέση: K t =K 0 (1+i) t Αν ο ανατοκισμός (η προσθήκη του τόκου στο κεφάλαιο) γίνεται m φορές το χρόνο με «ισοδύναμο» επιτόκιο i/m τότε θα έχουμε: K t =K 0 (1+ i m )mt =K 0 Ο όρος 1 + 1 m i 1 + 1 m i mt = K0 1 + 1 m i m i είναι της μορφής 1 + 1 n mti i = K 0 1 + 1 m i m i ti = K 0 n και όταν n είναι 1 + 1 1 + 1 m Επομένως όταν ο ανατοκισμός γίνεται συνεχώς έχουμε K t =K 0 e it ΓΕΝΙΚΟΤΕΡΑ ΌΤΑΝ ΈΝΑ ΠΟΣΟ ΜΕΤΑΒΑΛΛΕΤΑΙ ΣΥΝΕΧΩΣ ΜΕ ΤΟ ΧΡΟΝΟ ΜΙΑ ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΟ e ΑΝΑΠΑΡΙΣΤΑ ΤΗ ΜΕΤΑΒΟΛΗ! n i n =e m i ti 36 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΞΙΑ ΧΡΟΝΟΥ ΖΩΗΣ ΕΞΟΠΛΙΣΜΟΥ Η αξία V οποιουδήποτε μηχανολογικού εξοπλισμού μειώνεται με την πάροδο του χρόνου t συνεχώς, η κατάλληλη συνάρτηση είναι μια εκθετική με βάση το e: V=V 0 e -at Παράδειγμα: Αν η αρχική αξία μηχανήματος είναι V 0 =100000 και μειώνεται 8%=0.08 το έτος η συνάρτηση που δίνει την αξία του μηχανήματος V κάθε χρονική στιγμή t είναι: V(t)=V 0 e -at =100000e -0.08t Αρχική αξία: V(t=0)=100000*e -0.08*0 =100000*e 0 = 100000*1= 100000=V 0 αξία μετά από 10 έτη: V(t=10)=100000*e -0.08*10 =100000*e -0,8 = 44933 χρόνος t 0 1 2 3 4 5 10 20 30 αξία V(t) 100000 92311,63 85214,38 78662,79 72614,9 67032 44932,9 20189,65 9071,795 V(t+1)/V(t) 0,923116 0,923116 0,923116 0,923116 0,923116 σταθερό! 37 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr Εκθετική συνάρτηση V(t)=V 0 e -at Μεταβολή κατά σταθερό ποσοστό V(t+1)/V(t)=σταθερό Γραμμική συνάρτηση V(t)=V 0 -at Μεταβολή κατά σταθερό ποσό V(t+1)-V(t)=a

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν y=f(x) η αντίστροφη συνάρτηση είναι όταν «αντιστρέψουμε τη σειρά» των μεταβλητών x,y x=f -1 (y) Παράδειγμα: Αν y=2x-5 λύνουμε ως προς x: y=2x-5 => 2x=y+5 => x=(y+5)/2 Επομένως y=f(x)=2x-5 και αντίστροφη x=f -1 (y)=((y+5)/2 Αν συνάρτηση ζήτησης q=f(p)=6-3p => -3p=q-6 => p=(q-6)/(-3) => p=(6-q)/3=2-(1/3)q δηλ. q=f(p)=6-3p και p=f -1 (q)=(6-q)/3 Οι αντίστροφές συναρτήσεις γραφικά είναι συμμετρικές ως προς τη διχοτόμο του θετικού τεταρτημόριου (ευθεία y=x) 38 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν ορίσουμε x=a y τότε y είναι ο αριθμός που θα υψώσουμε τη βάση a για να μας δώσει τον x, γράφουμε y=log a x (y είναι o λογάριθμος με βάση a του x) Η συνάρτηση y=log a x ονομάζεται λογαριθμική συνάρτηση, από τον παραπάνω ορισμό είναι η αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης x=a y Επομένως για να σχεδιάσουμε την γραφική παράσταση της y=log a x μπορούμε να «αντιστρέψουμε» τη γραφική παράσταση της αντίστροφης συνάρτησης x=a y ως προς τον άξονα συμμετρίας y=x 39 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η συνάρτηση y=log a x ονομάζεται λογαριθμική συνάρτηση, από τον παραπάνω ορισμό είναι η αντίστροφη της εκθετικής συνάρτησης x=a y x y=e x y y=lnx -2 0,135 0,135-2 -1 0,368 0,368-1 0 1 1,000 0 1 2,718 2,718 1 2 7,389 7,389 2 40 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr y=e x, y=lnx, y=x 8 7 6 5 4 3 2 1 0-4 -3-2 -1-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8-2 -3-4 Η λογαριθμική συνάρτηση y=lnx είναι η συμμετρική της αντίστροφης εκθετικής y=e x ως προς τον άξονα συμμετρίας y=x (διχοτόμος)

ΧΡΗΣΗ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Αν οι τιμές x είναι πολύ μεγάλοι ή πολύ μικροί αριθμοί με τη χρήση της λογαριθμικής συνάρτησης y=log a x επιτυγχάνουμε να μετατρέψουμε τους αριθμούς σε «ισοδύναμους» με λιγότερα ψηφία x 1000000 1600000 2200000 2400000 3100000 3600000 y=lnx 13,816 14,286 14,604 14,691 14,947 15,096 g=log 10 x 6,000 6,204 6,342 6,380 6,491 6,556 x 0,00002 0,00005 0,003 0,00033 0,000067 0,00025 y=lnx -10,820-9,903-5,809-8,016-9,611-8,294 g=log 10 x -4,699-4,301-2,523-3,481-4,174-3,602 41 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Συναρτήσεις μπορούν να συνδυαστούν αλγεβρικά για να σχηματίσουν μια νέα συνάρτηση. Αν f(x)=3x-5 και g(x)=x 2-2x+1 Άθροισμα: s(x)= f(x)+g(x)=(3x-5)+(x 2-2x+1)=x 2 +x-4 Διαφορά: d(x)= f(x)-g(x)=(3x-5)-(x 2-2x+1)=-x 2 +5x-6 Γινόμενο: p(x)= f(x)*g(x)=(3x-5)*(x 2-2x+1)=3x 3-6x 2 +3x-5x 2 +10x-5= 3x 3-11x 2 +13x-5 Πηλίκο: q(x)= f(x)/g(x)= 3x 5 x 2 2x+1 (δεν ορίζεται όταν g(x)=x2-2x+1=0) 42 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν έχουμε y=g(u) και u=h(x) τότε ορίζεται η σύνθετη συνάρτηση: y=f(x)=g(h(x)) Παραδείγματα: Αν y=g(u)=lnu και u=h(x)=x-1 τότε y=g(h(x))=ln(x-1) Αν y=g(u)=2u 2 και u=h(x)=x 2-2x τότε y=g(h(x))=2(x 2-2x) 2 =2(x 4 +4x 2-4x 3 )=2x 4 +8x 2-8x 3 Αν το ημερομίσθιο ενός πωλητή δίνεται από τη συνάρτηση y(q)=20+3q όπου q η ποσότητα των πωλήσεων που πραγματοποιεί και η συνάρτηση ζήτησης είναι q(p)=10-2p (p η τιμή) τότε η σύνθετη συνάρτηση y(p)=20+3(10-2p)=20+30-6p=50-6p Εκφράζει το ημερομίσθιο του πωλητή ως προς την τιμή του προϊόντος p 43 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΠΕΠΕΛΕΓΜΕΝΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Αν έχουμε την συνάρτηση y=f(x) και την μετατρέψουμε σε F(y,x)=0 τότε η F(y,x)=0 ονομάζεται πεπλεγμένη συνάρτηση (γιατί όλες οι μεταβλητές είναι στην ίδια πλευρά). Παράδειγμα: αν y=f(x)=3x 2 +2x+1 => F(x,y)=y- 3x 2-2x-1=0 Από την y=f(x) μπορούμε πάντα να βρούμε την F(x,y)=0 Το αντίστροφο δεν είναι πάντα εύκολο: F(x,y)=3x+y-2=0 => y=f(x)=-3x+2 F(x,y)=-y 3 +2y+3x 2 +1=0 => ΔΥΣΚΟΛΟ!!! 44 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΙΣΟΫΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ Αν έχουμε μια πεπλεγμένη συνάρτηση F(y,x)=0 ονομάζουμε ισοϋψείς καμπύλες όλες τις καμπύλες (γραφικές παραστάσεις) που προκύπτουν θέτοντας F(y,x)=k για διάφορες τιμές του k. Παράδειγμα: αν F(x,y)=5+x-3y=k θα έχουμε: k=-2 : 5+x-3y=-2 => x-3y+7=0 (εξίσωση ευθείας x=3y-7) k=0: 5+x-3y=0 => x-3y+5=0 (εξίσωση ευθείας x=3y-5) k=4: 5+x-3y=4 => x-3y+1=0 (εξίσωση ευθείας x=3y-1) Οι ευθείες (καμπύλες) για διάφορες τιμές του k, επειδή έχουν την ίδια κλίση είναι παράλληλες! 45 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (1) 2.7 (Β3.7) Η αξία V ενός μηχανήματος παραγωγής μειώνεται ως συνάρτηση του χρόνου σύμφωνα με την εκθετική συνάρτηση: V(t)=300000 (2.5) -0,1t (a) Ποια είναι η αρχική αξία του μηχανήματος, (b) ποια η αξία μετά από 5 έτη, (c) μετά από πόσα έτη η αξία του θα είναι η μισή της αρχικής ΕΠΙΛΥΣΗ: (a) και (b) εφαρμογή της συνάρτησης (c) Αν t* το ζητούμενο θα έχουμε V(t*)=V(0)/2 46 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (2) 2.8 (Β3.10) Το κόστος παραγωγής δίνεται από τη συνάρτηση: C(x)=3x+(100/x) όπου x οι μονάδες παραγωγής. (a) Σχεδιάστε τη συνάρτηση κόστους, (b) από τη γραφική παράσταση βρείτε το ελάχιστο κόστος ΕΠΙΛΥΣΗ: η συνάρτηση C(x) είναι άθροισμα γραμμικής +υπερβολής, για x=0 δεν ορίζεται, άρα x 0 Αν υπολογίσουμε το C(x) για τιμές του x 0 x 0,1 0,5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 C(x)= 3x+(100/x) 1000,3 201,5 103,0 56,00 42,33 37,00 35,00 34,67 35,29 36,50 38,11 40,00 42,09 44,33 46,69 47 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (3) 2.9 (Β3.11) Η αποδοτικότητα (παραγωγικότητα) εργαζόμενου που δουλεύει για t εβδομάδες δίνεται από την εξίσωση x(t)=50-ae -kt. Στην αρχή ο εργαζόμενος παρήγε 10 μονάδες ενώ την 1 η εβδομάδα 20. Πόσες μονάδες θα παράγει ο εργαζόμενος την 5 η εβδομάδα. ΕΠΙΛΥΣΗ: Προφανώς την 5 η εβδομάδα θα παράγει x(t=5) αλλά δεν γνωρίζουμε στη συνάρτηση το Α και k που είναι οι άγνωστοι που πρέπει να υπολογίσουμε Στην αρχή (εβδομάδα 0) έχουμε x(t=0)=10, ενώ την 1 η εβδομάδα 48 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (4) 2.10 (Β3.13) Μια τεχνολογική καινοτομία παραγωγής διαδίδεται στην 20 οικονομία σύμφωνα με την εξίσωση Ν(t)= 3+2e 0.05t όπου Ν οι παραγωγοί που «υιοθετούν» την καινοτομία. (a) Να παρασταθεί γραφικά η συνάρτηση, (b) πόσο είναι το Ν αρχικά και πόσο μετά από 5 έτη, (c) τελικά πόσοι θα υιοθετήσουν την καινοτομία. ΕΠΙΛΥΣΗ: Προφανώς την 5 η εβδομάδα θα παράγει x(t=5) αλλά δεν γνωρίζουμε στη συνάρτηση το Α και k που είναι οι άγνωστοι που πρέπει να υπολογίσουμε Στην αρχή (εβδομάδα 0) έχουμε x(t=0)=10, ενώ την 1 η εβδομάδα 49 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (5) 2.11 Έστω συνάρτηση ζήτησης q d (p)=1/p και συνάρτηση προσφοράς q s (p)=3p+2, βρείτε το σημείο ισορροπίας προσφοράς ζήτησης ΕΠΙΛΥΣΗ: Ισορροπία σημαίνει προσφορά=ζήτηση, επομένως Απάντηση: (3,1/3) 50 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (6) 2.12 Έστω συνάρτηση ζήτησης q d (p)=22/p 2 και συνάρτηση προσφοράς q s (p)=p 2 +9, βρείτε το σημείο ισορροπίας προσφοράς ζήτησης ΕΠΙΛΥΣΗ: Ισορροπία σημαίνει προσφορά=ζήτηση, επομένως Απάντηση: ( 2,11) 51 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ-ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ (7) 2.13 Έστω συνάρτηση κόστους C(x)=4000x (1/3) και συνάρτηση εσόδων R(x)=10x. Βρείτε το νεκρό σημείο (Κέρδος Π=0). ΕΠΙΛΥΣΗ: Π(x)=0 => R(x)-C(x)=0 Απάντηση: 0 και 2 52 ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ-ΤΜΗΜΑ Λ&Χ: jdim@staff.teicrete.gr