Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Transcript

1

2

3 Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις Τέσσερις πράξεις Σύστημα πραγματικών αριθμών Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού πραγματικών αριθμών Οι κανόνες των προσήμων Εκθέτες και δυνάμεις Πράξεις με κλάσματα... 8 Κεφάλαιο Βασικές πράξεις με αλγεβρικές παραστάσεις Αλγεβρικές παραστάσεις Όροι Βαθμός Ομαδοποίηση Υπολογισμοί με αλγεβρικές παραστάσεις... 8 Κεφάλαιο Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... 8 Κεφάλαιο 4 Ειδικά γινόμενα Ειδικά γινόμενα Γινόμενα με αποτελέσματα της μορφής a n ±b n

4 8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 5 Παραγοντοποίηση Παραγοντοποίηση Διαδικασίες παραγοντοποίησης Μέγιστος κοινός παράγοντας Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο Κεφάλαιο 6 Κλάσματα Ρητά αλγεβρικά κλάσματα Πράξεις με αλγεβρικά κλάσματα Σύνθετα κλάσματα... 6 Κεφάλαιο 7 Εκθέτες Θετικοί ακέραιοι εκθέτες Αρνητικοί ακέραιοι εκθέτες Ρίζες Ρητοί εκθέτες Γενικοί κανόνες των εκθετών Επιστημονική σημειογραφία Κεφάλαιο 8 Ρίζες Παραστάσεις με ρίζες Οι κανόνες των ριζών Απλοποίηση ριζών Πράξεις με ρίζες Μετατροπή διωνυμικών παρονομαστών σε ρητούς... 8 Κεφάλαιο 9 Απλές πράξεις με μιγαδικούς αριθμούς Mιγαδικοί αριθμοί Γραφική αναπαράσταση μιγαδικών αριθμών Αλγεβρικές πράξεις με μιγαδικούς αριθμούς... 9 Κεφάλαιο 0 Εξισώσεις γενικά Εξισώσεις Πράξεις για το μετασχηματισμό εξισώσεων Ισοδύναμες εξισώσεις Τύποι Πολυωνυμικές εξισώσεις... 98

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 9 Κεφάλαιο Λόγοι, αναλογίες, και μεταβολές Λόγοι Αναλογίες Μεταβολές Τιμή μονάδας Καλύτερη τιμή αγοράς Κεφάλαιο Συναρτήσεις και γραφικές παραστάσεις.... Μεταβλητές.... Σχέσεις.... Συναρτήσεις....4 Σημειογραφία συναρτήσεων Ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων Συνάρτηση δύο μεταβλητών Συμμετρία Μεταθέσεις Διαβάθμιση Χρήση αριθμομηχανής με δυνατότητα γραφικών παραστάσεων... 8 Κεφάλαιο Γραμμικές εξισώσεις μίας μεταβλητής Γραμμικές εξισώσεις Εγγράμματες εξισώσεις Λεξιλογικά προβλήματα Κεφάλαιο 4 Εξισώσεις ευθειών Κλίση μιας ευθείας Παράλληλες και κάθετες ευθείες Εξίσωση ευθείας κλίσης-τεταγμένης Εξίσωση ευθείας κλίσης σημείου Εξίσωση ευθείας δύο σημείων Περιλημματική εξίσωση ευθείας Κεφάλαιο 5 Ταυτόχρονες γραμμικές εξισώσεις Συστήματα δύο γραμμικών εξισώσεων Συστήματα τριών γραμμικών εξισώσεων... 65

6 0 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 6 Δευτεροβάθμιες εξισώσεις μίας μεταβλητής Δευτεροβάθμιες εξισώσεις Μέθοδοι επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων Το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών Η φύση των ριζών Εξισώσεις με ριζικά Εξισώσεις δευτεροβάθμιου τύπου... 8 Κεφάλαιο 7 Κωνικές τομές Γενικές δευτεροβάθμιες εξισώσεις Κωνικές τομές Κύκλοι Παραβολές Ελλείψεις Υπερβολές Σχεδίαση κωνικών τομών με αριθμομηχανή... Κεφάλαιο 8 Συστήματα εξισώσεων με δευτεροβάθμιους όρους Γραφική λύση Αλγεβρική λύση... 4 Κεφάλαιο 9 Ανισότητες Ορισμοί Οι βασικές αρχές των ανισοτήτων Ανισότητες απόλυτων τιμών Ανισότητες υψηλού βαθμού Γραμμικές ανισότητες δύο μεταβλητών Συστήματα γραμμικών ανισοτήτων Γραμμικός προγραμματισμός... 6 Κεφάλαιο 0 Πολυωνυμικές συναρτήσεις Πολυωνυμικές εξισώσεις Ρίζες πολυωνυμικών εξισώσεων Επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων Κατά προσέγγιση υπολογισμός πραγματικών ριζών... 5

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο Ρητές συναρτήσεις Ρητές συναρτήσεις Κατακόρυφες ασύμπτωτες Οριζόντιες ασύμπτωτες Σχεδίαση γραφικών παραστάσεων ρητών συναρτήσεων Σχεδίαση γραφικών παραστάσεων ρητών συναρτήσεων με αριθμομηχανή γραφικών παραστάσεων Κεφάλαιο Ακολουθίες και σειρές Ακολουθίες Αριθμητικές πρόοδοι Γεωμετρικές πρόοδοι Άπειρες γεωμετρικές σειρές Αρμονικές πρόοδοι Μέσοι όροι Κεφάλαιο Λογάριθμοι Ορισμός του λογαρίθμου Οι κανόνες των λογαρίθμων Κοινοί λογάριθμοι Χρήση πίνακα κοινών λογαρίθμων Φυσικοί λογάριθμοι Χρήση πίνακα φυσικών λογαρίθμων Εύρεση λογαρίθμων με αριθμομηχανή Κεφάλαιο 4 Εφαρμογές των λογαρίθμων και των εκθετών Εισαγωγή Απλός τόκος Ανατοκισμός Οι εφαρμογές των λογαρίθμων Οι εφαρμογές των εκθετών... Κεφάλαιο 5 Μεταθέσεις και συνδυασμοί Βασική αρχή μέτρησης Μεταθέσεις Συνδυασμοί Χρήση αριθμομηχανής... 5

8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 6 Το θεώρημα του διωνύμου Συνδυαστική σημειογραφία Το ανάπτυγμα της παράστασης (a + x) n Κεφάλαιο 7 Πιθανότητες Απλή πιθανότητα Σύνθετη πιθανότητα Μαθηματική προσδοκία Διωνυμική πιθανότητα Πιθανότητα υπό συνθήκη Κεφάλαιο 8 Ορίζουσες και συστήματα γραμμικών εξισώσεων Ορίζουσες δευτέρου βαθμού Ο κανόνας του Κράμερ Ορίζουσες τρίτου βαθμού... 7 Κεφάλαιο 9 Ορίζουσες νιοστού βαθμού Αντιστροφή Ορίζουσες νιοστού βαθμού Οι ιδιότητες των οριζουσών Ελάσσονες ορίζουσες Η τιμή μιας ορίζουσας Ο κανόνας του Κράμερ Ομοιογενείς γραμμικές εξισώσεις Κεφάλαιο 0 Μήτρες Ορισμός της μήτρας Πράξεις μητρών Βασικές πράξεις γραμμών Η αντίστροφη μιας μήτρας Εξισώσεις μητρών Μητρειακή λύση ενός συστήματος εξισώσεων Κεφάλαιο Μαθηματική επαγωγή Η αρχή της μαθηματικής επαγωγής Απόδειξη με μαθηματική επαγωγή... 45

9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο Απλά κλάσματα Ρητά κλάσματα Γνήσια κλάσματα Απλά κλάσματα Ταυτοτικά ίσα πολυώνυμα Το θεμελιώδες θεώρημα Ανάλυση σε απλά κλάσματα Παράρτημα Α Πίνακας κοινών λογαρίθμων Παράρτημα Β Πίνακας φυσικών λογαρίθμων... 4 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ... 45

10

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Πολυωνυμικές συναρτήσεις 0. ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Ονομάζουμε ρητή ακέραια εξίσωση νιοστού (n) βαθμού ως προς τη μεταβλητή x την εξίσωση η οποία μπορεί να γραφεί στη μορφή n n n anx + an x + an x + + ax + a0 = 0, a n 0 όπου n είναι θετικός ακέραιος και a 0, a, a,, a n, an σταθερές. 4 Επομένως, οι εξισώσεις 4x x + x 5 = 0, x x + = 0 και x + x 8 = 0 είναι ρητές ακέραιες ε- 4 ξισώσεις ως προς x, ου, ου, και 4ου βαθμού αντίστοιχα. Παρατηρήστε ότι σε κάθε εξίσωση οι εκθέτες της μεταβλητής x είναι θετικοί και ακέραιοι, ενώ οι συντελεστές είναι σταθερές (πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί). Ο συντελεστής του όρου με τη μεγαλύτερη δύναμη ονομάζεται αρχικός συντελεστής, ενώ το a 0 ονομάζεται σταθερός όρος. Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε μόνο ρητές ακέραιες εξισώσεις. Ένα πολυώνυμο νιοστού (n) βαθμού ως προς τη μεταβλητή x είναι μια συνάρτηση του x η οποία μπορεί να γραφεί στη μορφή n n n P( x) = anx + an x + an x + + ax + a0 = 0, a n 0 όπου n θετικός ακέραιος και a 0, a, a,, a n, an σταθερές. Έτσι η συνάρτηση P ( x) = 0 είναι μια ρητή ακέραια εξίσωση νιοστού (n) βαθμού ως προς x. Αν P ( x) = x + x + 5x 6, τότε P ( ) = ( ) + ( ) + 5( ) 6 = 6. Αν P ( x) = x + x 8, τότε P ( 5) = = 5. Κάθε τιμή του x η οποία μηδενίζει τη συνάρτηση P (x) ονομάζεται ρίζα της εξίσωσης P ( x) = 0. Άρα το είναι ρίζα της εξίσωσης P ( x) = x x 5x 6 = 0, καθώς P ( ) = = ΡΙΖΕΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Α. Θεώρημα του υπολοίπου. Αν το r είναι μια οποιαδήποτε σταθερά και το πολυώνυμο P (x) διαιρείται με τον όρο ( x r), τότε το υπόλοιπο είναι P (r). Για παράδειγμα, αν το πολυώνυμο P ( x) = x x x + 8 διαιρείται με τον όρο x +, τότε r = και το υπόλοιπο = P ( ) = = 4. Δηλαδή, 49

12 50 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ [ΚΕΦ. 0 x x x = Q( x) +, όπου Q (x) είναι ένα πολυώνυμο ως προς x. x + x + Β. Θεώρημα παραγοντοποίησης. Αν r είναι μια ρίζα της εξίσωσης P ( x) = 0, δηλαδή αν P ( r) = 0, τότε ο όρος ( x r) είναι παράγοντας της P (x). Αντίστροφα, αν ο όρος ( x r) είναι παράγοντας της P (x), τότε το r είναι ρίζα της εξίσωσης P ( x) = 0, ή P ( r) = 0. Συνεπώς, οι αριθμοί,, είναι οι τρεις ρίζες της εξίσωσης P ( x) = x + 4x + x 6 = 0 καθώς P ( ) = P( ) = P( ) = 0. Τότε οι όροι ( x ), ( x + ) και ( x + ) είναι παράγοντες της εξίσωσης x + 4x + x 6. Γ. Συνθετική διαίρεση. Η συνθετική διαίρεση είναι μια απλοποιημένη μέθοδος διαίρεσης ενός πολυωνύμου P (x) με τον όρο x r, όπου r είναι οποιοσδήποτε καθορισμένος αριθμός. Με αυτή τη μέθοδο μπορούμε να προσδιορίσουμε τις τιμές των συντελεστών του πηλίκου και να βρούμε εύκολα την τιμή του υπολοίπου. 4 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 0.. Διαιρέστε την παράσταση (5x + x 4x ) με τον όρο ( x + 4) χρησιμοποιώντας συνθετική διαίρεση. Γράψτε τους όρους του διαιρετέου σε φθίνουσα σειρά δυνάμεων της μεταβλητής και συμπληρώστε τους όρους που λείπουν χρησιμοποιώντας την τιμή μηδέν για τους συντελεστές τους. γράψτε το διαιρέτη σε μορφή x a. ( x 4 + 0x 4x + 5x + 0) ( x ( 4)) και τους συντελεστές του διαιρετέου στα δε- Γράψτε το σταθερό όρο a του διαιρέτη στα αριστερά του συμβόλου ξιά του Κατεβάστε τον πρώτο όρο του διαιρέτη στην τρίτη γραμμή, αφήνοντας, προς το παρόν, μια κενή γραμμή Πολλαπλασιάστε τον όρο που βρίσκεται στη γραμμή του πηλίκου (στην τρίτη γραμμή) με το διαιρέτη, και γράψτε το γινόμενο στη δεύτερη γραμμή κάτω από το δεύτερο όρο της πρώτης γραμμής, προσθέστε τους αριθμούς της στήλης που σχηματίζεται, και γράψτε το άθροισμα ως δεύτερο όρο στη γραμμή του πηλίκου Πολλαπλασιάστε τον τελευταίο όρο στα δεξιά της γραμμής του πηλίκου με το διαιρέτη, γράψτε το αποτέλεσμα κάτω από τον επόμενο όρο της επάνω γραμμής, προσθέστε, και γράψτε το άθροισμα στη γραμμή του πηλίκου. Συνεχίστε αυτή τη διαδικασία μέχρι όλοι οι όροι της επάνω γραμμής να έχουν στο κάτω μέρος τους έναν αριθμό Η τρίτη γραμμή είναι η γραμμή του πηλίκου, όπου ο τελευταίος όρος της είναι το υπόλοιπο. Ο βαθμός πολυωνύμου του πηλίκου είναι κατά μία μονάδα μικρότερος από το βαθμό του διαιρετέου επειδή διαιρούμε με ένα γραμμικό παράγοντα. Οι όροι της γραμμής του πηλίκου είναι οι συντελεστές των όρων του πολυωνύμου του πηλίκου. Σε αυτή την περίπτωση ο βαθμός του πολυωνύμου του πηλίκου είναι. 4 Το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης (5x + x 4x ) ( x + 4) είναι

13 ΚΕΦ. 0] ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 x 4x + x + x + 4 Δ. Θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας. Κάθε πολυωνυμική εξίσωση P ( x) = 0 έχει τουλάχιστον μία πραγματική ή μιγαδική ρίζα. Έτσι η εξίσωση x 7 x 5 + = 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα. Αλλά η f ( x) = x + = 0 δεν έχει ρίζα, επειδή δεν υπάρχει κάποιος αριθμός r τέτοιος ώστε f ( r) = 0. Καθώς αυτή η εξίσωση δεν είναι ρητή, το Θεμελιώδες θεώρημα δεν ισχύει. Ε. Ο αριθμός των ριζών μιας εξίσωσης. Κάθε ρητή ακέραια εξίσωση P ( x) = 0 νιοστού (n) βαθμού έχει μόνο n ρίζες. Άρα η εξίσωση x + 5x 4x 8 = 0 έχει μόνο ρίζες, δηλαδή τις,, 4. Μερικές από τις n ρίζες μπορεί να είναι ίσες. Έτσι το είναι μια τριπλή ρίζα της εξίσωσης έκτου βαθμού ( x ) ( x 5) ( x + 4) = 0, το 5 είναι διπλή ρίζα της, και το 4 απλή ρίζα της εξίσωσης. δηλαδή, οι έξι ρίζες της εξίσωσης είναι οι,,, 5, 5, ΕΠΙ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Α. Μιγαδικές και άρρητες ρίζες () Αν ένας μιγαδικός αριθμός a + bi είναι ρίζα της ρητής ακέραιης εξίσωσης P ( x) = 0 με πραγματικούς συντελεστές, τότε ο συζυγής μιγαδικός αριθμός a bi είναι επίσης ρίζα της εξίσωσης. Συνεπάγεται ότι κάθε ρητή ακέραιη εξίσωση περιττού βαθμού με πραγματικούς συντελεστές έχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα. () Αν η ρητή ακέραιη εξίσωση P ( x) = 0 με ρητούς συντελεστές έχει ρίζα το a + b, όπου a και b ρητοί α- ριθμοί και b άρρητος αριθμός, τότε το a b είναι επίσης ρίζα. Β. Θεώρημα των ρητών ριζών Αν το b c, ένα ρητό κλάσμα με απλοποιημένους όρους, είναι ρίζα της εξίσωσης n n n anx + an x + an x + + ax + a0 = 0, a n 0 με ακέραιους συντελεστές, τότε το b είναι παράγοντας του a 0, ενώ το c είναι παράγοντας του a n. Έτσι, αν το b c είναι μια ρητή ρίζα της εξίσωσης 6x + 5x x = 0, τότε οι τιμές του b περιορίζονται στους παράγοντες του, που είναι οι αριθμοί ±, ±, ενώ οι τιμές του c περιορίζονται στους παράγοντες του 6, που είναι οι ±, ±, ±, ± 6. Άρα οι μοναδικές πιθανές ρητές ρίζες είναι οι ±, ±, ±, ±, ± 6, και ±. Γ. Θεώρημα ακέραιων ριζών Αν μια εξίσωση P ( x) = 0 έχει ακέραιους συντελεστές και αρχικό συντελεστή ίσο με : x n + a n n n x + an x 0 = + + a x + a 0, τότε κάθε ρητή ρίζα της συνάρτησης P ( x) = 0 είναι ακέραιος αριθμός και παράγοντας του a 0. Επομένως οι ρητές ρίζες της εξίσωσης x + x x = 0, αν υπάρχουν, περιορίζονται στους ακέραιους παράγοντες του, οι οποίοι είναι οι ±, ±, ±, ± 4, ± 6, ±. Δ. Θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής. Αν η P ( x) = 0 είναι πολυωνυμική εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε κατά προσέγγιση τις πραγματικές ρίζες της σχεδιάζοντας τη γραφική παράσταση της εξίσωσης y = P(x) και προσδιορίζοντας τις τιμές της μεταβλητής x στα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση τέμνει τον άξονα των x

14 5 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ [ΚΕΦ. 0 ( y = 0 ). Σε αυτή τη διαδικασία είναι σημαντικό το γεγονός ότι αν οι τιμές P (a) και P (b) έχουν αντίθετα πρόσημα τότε η εξίσωση P ( x) = 0 έχει τουλάχιστον μία ρίζα μεταξύ των τιμών x = a και x = b. Αυτό το γεγονός βασίζεται στη συνέχεια της γραφικής παράστασης της εξίσωσης y = P(x) όπου το P (x) είναι ένα πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 0.. Απομονώστε κάθε πραγματική ρίζα της εξίσωσης P ( x) = x 5x 6x + 4 μεταξύ δύο διαδοχικών ακεραίων. Καθώς η εξίσωση P ( x) = x 5x 6x + 4 είναι ου βαθμού, υπάρχουν το πολύ τρεις πραγματικές ρίζες. Θα αναζητήσουμε τις πραγματικές ρίζες στο διάστημα 5 έως 5. Το διάστημα είναι τυχαίο και αν δεν μπορέσουμε να προσδιορίσουμε τις πραγματικές ρίζες σε αυτό, ίσως χρειαστεί να το επεκτείνουμε. Θα βρούμε την τιμή της εξίσωσης P(x) για κάθε ακέραιο του επιλεγμένου διαστήματος χρησιμοποιώντας συνθετική διαίρεση. Τα υπόλοιπα που δίνει η συνθετική διαίρεση είναι οι τιμές της P(x) που συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα. x P(x) Προσέξτε ότι καθώς οι τιμές P ( ) = 0 και P ( ) = έχουν αντίθετα πρόσημα, συνεπάγεται από το Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής ότι υπάρχει μια πραγματική ρίζα μεταξύ του και του. Παρόμοια, καθώς P ( 0) = 4 και P ( ) = 5, υπάρχει μια πραγματική ρίζα μεταξύ του 0 και του, και επειδή P ( ) = 5 και P ( 4) = 8 υπάρχει μια πραγματική ρίζα μεταξύ του και του 4. Έχουμε απομονώσει τρεις πραγματικές ρίζες, επομένως έχουμε εντοπίσει όλες τις πραγματικές ρίζες της εξίσωσης P(x) Ο εντοπισμός όλων των πραγματικών ριζών δεν είναι πάντα δυνατός με αυτόν τον τρόπο επειδή ενδεχομένως να υ- πάρχουν περισσότερες από μία ρίζες μεταξύ δύο διαδοχικών ακεραίων. Όταν υπάρχει άρτιος αριθμός ριζών μεταξύ δύο διαδοχικών ακεραίων το Θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής δεν θα τις αποκαλύψει απλώς με χρήση ακέραιων τιμών του x. Το Θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής δεν μπορεί να σας δώσει το πλήθος των ριζών που υπάρχουν στο διάστημα, αλλά απλώς ότι υπάρχει τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα σε αυτό. Ε. Άνω και κάτω όρια πραγματικών ριζών Ένας αριθμός a ονομάζεται άνω όριο ή άνω φράγμα των πραγματικών ριζών της εξίσωσης P ( x) = 0 αν καμία ρίζα δεν είναι μεγαλύτερη του a. Ένας αριθμός b ονομάζεται κάτω όριο ή κάτω φράγμα των πραγματικών ριζών της P ( x) = 0 αν καμία ρίζα δεν είναι μικρότερη του b. Το θεώρημα που ακολουθεί χρησιμεύει στον προσδιορισμό των άνω και κάτω ορίων. n n n Έστω P( x) = anx + an x + an x + + a0 = 0, όπου a 0, a, an είναι πραγματικοί και a n > 0. Τότε: () Αν κατά τη συνθετική διαίρεση της εξίσωσης P (x) με το x a, όπου a 0, όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν στην τρίτη γραμμή είναι θετικοί ή μηδέν, τότε το a είναι το άνω όριο όλων των πραγματικών ριζών της συνάρτησης P ( x) = 0. () Αν κατά τη συνθετική διαίρεση της εξίσωσης P (x) με το x b, όπου b 0, όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν στην τρίτη γραμμή είναι αλληλοδιάδοχα θετικοί και αρνητικοί (ή μηδέν), τότε το b είναι το κάτω ό- ριο όλων των πραγματικών ριζών της P ( x) = 0. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 0.. Βρείτε το διάστημα που περιέχει όλες τις πραγματικές ρίζες τής P ( x) = x 5x + 6. Θα βρούμε τον ακέραιο b ο οποίος είναι το ελάχιστο άνω όριο των πραγματικών ριζών της εξίσωσης P (x) και τον ακέραιο a ο οποίος είναι το μέγιστο κάτω όριο των πραγματικών ριζών της P (x). Όλες οι πραγματικές ρίζες θα βρίσκονται στο διάστημα [a, b]. Για να βρούμε τα a και b πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο της συνθετικής διαίρεσης στην P ( x) = x 5x + 6.

15 ΚΕΦ. 0] ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν διαιρέσουμε με τον αριθμό, οι αριθμοί της γραμμής του πηλίκου θα είναι όλοι θετικοί, επομένως το είναι ο μικρότερος ακέραιος που είναι άνω όριο των πραγματικών ριζών της P (x). Άρα b = Αν διαιρέσουμε με το, τότε το πρόσημο στην γραμμή του πηλίκου εναλλάσσεται, άρα, το είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος που είναι κάτω όριο των πραγματικών ριζών της P (x). Συνεπώς, a =. Οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης P ( x) = x 5x + 6 βρίσκονται στο διάστημα (, ) ή < x <. Επειδή P ( ) 0 και P ( ) 0, χρησιμοποιήσαμε συμβολισμό διαστημάτων που υποδηλώνει ότι κανένα από τα δύο ακραία σημεία δεν ισούται με μηδέν. ΣΤ. Ο Κανόνας των προσήμων του Ντεκάρτ Αν οι όροι ενός πολυωνύμου P (x) με πραγματικούς συντελεστές είναι διατεταγμένοι σε φθίνουσα σειρά δυνάμεων του x, τότε έχουμε μεταβολή προσήμου όταν δύο διαδοχικοί όροι έχουν διαφορετικό πρόσημο. Για παράδειγμα, στο πολυώνυμο x x + x έχουμε μεταβολές προσήμου, ενώ στο x 6x 4x + x x + 4 έχουμε 4 μεταβολές προσήμου. Σύμφωνα με τον Κανόνα των προσήμων του Ντεκάρτ, ο αριθμός των θετικών ριζών της εξίσωσης P ( x) = 0 είναι είτε ίσος με τον αριθμό των μεταβολών προσήμου της P (x) είτε μικρότερος από αυτόν τον αριθμό κατά ένα άρτιο ακέραιο. Ο αριθμός των αρνητικών ριζών της εξίσωσης P ( x) = 0 είναι είτε ίσος με τον αριθμό των μεταβολών προσήμου της P( x), είτε μικρότερος από αυτόν τον αριθμό κατά ένα άρτιο ακέραιο. 9 5 Έτσι, στην εξίσωση P ( x) = x x + x x + = 0 υπάρχουν 4 μεταβολές προσήμου της P(x) άρα το πλήθος των θετικών ριζών της εξίσωσης P ( x) = 0 είναι 4, (4 ) ή (4 4). Επειδή στην εξίσωση P ( x) = ( x) ( x) + ( x) ( x) + = x + x + x + x + = 0 συμβαίνει μία μεταβολή προσήμου, η P ( x) = 0 έχει μία μόνο αρνητική ρίζα. Επομένως υπάρχουν 4,, ή 0 θετικές ρίζες, αρνητική ρίζα, και τουλάχιστον 9 (4 + ) = 4 μιγαδικές ρίζες. (Υπάρχουν 4, 6, ή 8 μιγαδικές ρίζες. Γιατί;) 0.4 ΚΑΤΑ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΡΙΖΩΝ Η επίλυση μιας πολυωνυμικής εξίσωσης P ( x) = 0 με τις προηγούμενες μεθόδους δεν επιτρέπει πάντα τον προσδιορισμό όλων των ριζών. Ο προσδιορισμός των άρρητων και φανταστικών ριζών έγινε προηγουμένως δυνατός επειδή μπορέσαμε και βρήκαμε δευτεροβάθμιους παράγοντες που επιλύονταν με τον τύπο της δευτεροβάθμιας εξίσωσης. Αν δεν μπορούμε να βρούμε τους δευτεροβάθμιους παράγοντες της εξίσωσης P ( x) = 0, δεν είναι δυνατόν να προσδιορίσουμε τις φανταστικές ρίζες της συχνά όμως μπορούμε να υπολογίσουμε κατά προσέγγιση μερικές από τις πραγματικές ρίζες της. Για να υπολογίσουμε κατά προσέγγιση μια πραγματική ρίζα της P ( x) = 0 πρέπει πρώτα να βρούμε ένα διάστημα που περιέχει μια πραγματική ρίζα της P ( x) = 0. Για να το κάνουμε αυτό πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το Θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής το οποίο μας επιτρέπει να βρούμε δύο αριθμούς a και b τέτοιους ώστε οι τιμές P (a) και P (b) να έχουν αντίθετα πρόσημα. Πρέπει να συνεχίσουμε να χρησιμοποιούμε το Θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής μέχρι να απομονώσουμε την πραγματική ρίζα σε ένα διάστημα αρκετά μικρό, ώστε να επιτρέπει τον προσδιορισμό της με τον απαιτούμενο βαθμό ακρίβειας.

16 54 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ [ΚΕΦ. 0 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 0.4. Βρείτε μια πραγματική ρίζα της x + x + 8 = 0 με ακρίβεια δεκαδικών ψηφίων. Σύμφωνα με τον Κανόνα των προσήμων του Ντεκάρτ, η εξίσωση P ( x) = x + x + 8 δεν έχει θετικές πραγματικές ρίζες, αλλά αρνητική πραγματική ρίζα. Χρησιμοποιώντας συνθετική διαίρεση βρίσκουμε P ( ) = 6 και P ( ) = 4, άρα σύμφωνα με το Θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής η εξίσωση P ( x) = x + x + 8 έχει μία πραγματική ρίζα μεταξύ των και. Θα χρησιμοποιήσουμε τώρα συνθετική διαίρεση και το Θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής για να προσδιορίσουμε το δεκαδικό διάστημα που περιέχει τη ρίζα. Τα αποτελέσματα συνοψίζονται στον πίνακα που ακολουθεί. x,0,,,,4,5,6,7,8,9,0 P(x) 4,7,67,90,06 0, 0,80,0, 4,56 6 Μπορούμε να δούμε ότι η τιμή P (,5) είναι θετική, ενώ η P (,6) είναι αρνητική, άρα η ρίζα βρίσκεται μεταξύ των,6 και,5. Τώρα θα ελέγξουμε το ψηφίο των εκατοντάδων χρησιμοποιώντας συνθετική διαίρεση στο διάστημα μεταξύ των,6 και,5. Δεν είναι απαραίτητο να προσδιορίσουμε όλες τις τιμές των εκατοντάδων, αλλά μόνο την αλλαγή προσήμου μεταξύ δύο διαδοχικών τιμών. x,50,5,5 P(x) 0, 0,0 0,07 Βλέπουμε ότι η τιμή P (,5) είναι θετική και η P(,5) είναι αρνητική, επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής, υπάρχει μια πραγματική ρίζα μεταξύ των,5 και,5. Καθώς η πραγματική ρίζα βρίσκεται μεταξύ των,5 και,5, το μόνο που πρέπει να κάνουμε είναι να προσδιορίσουμε αν θα στρογγυλοποιηθεί ως,5 ή ως,5. Για να το κάνουμε αυτό πρέπει να βρούμε την τιμή P (,55), η οποία ισούται περίπου με 0,0. Επειδή η τιμή P (,55) είναι αρνητική, ενώ η τιμή P (,5) είναι θετική, γνωρίζουμε ότι η ρίζα βρίσκεται μεταξύ των,55 και,50, και ότι όλοι οι αριθμοί οι οποίοι στρογγυλοποιούνται σε δύο δεκαδικά ψηφία σε αυτό το διάστημα είναι ίσοι με,5. Άρα, η μοναδική πραγματική ρίζα της x + x + 8 = 0 με ακρίβεια δύο δεκαδικών ψηφίων είναι η,5. Για να υπολογίσετε κατά προσέγγιση τις πραγματικές ρίζες ενός πολυωνύμου με αριθμομηχανή με δυνατότητα γραφημάτων πρέπει να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης και να χρησιμοποιήσετε τις λειτουργίες ανίχνευσης και μεγέθυνσης (trace and zoom) της αριθμομηχανής. Αφού σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, χρησιμοποιήστε τη λειτουργία ανίχνευσης και το Θεώρημα ενδιάμεσης τιμής για να εντοπίσετε το διάστημα που περιέχει μια πραγματική ρίζα. Έπειτα χρησιμοποιήστε τη λειτουργία μεγέθυνσης για να επικεντρωθείτε σε αυτό το διάστημα. Συνεχίστε να χρησιμοποιείτε τη λειτουργία ανίχνευσης και μεγέθυνσης μέχρι να βρείτε δύο τιμές του x στρογγυλοποιημένες στον επιθυμητό βαθμό ακρίβειας, οι οποίες να δίνουν τιμές της συνάρτησης με αντίθετο πρόσημο. Λυμένα προβλήματα. Αποδείξτε το θεώρημα του υπολοίπου: Αν ένα πολυώνυμο P (x) διαιρείται με την ποσότητα ( x r) τότε το υπόλοιπο είναι P (r). Στη διαίρεση του πολυωνύμου P (x) με το ( x r), έστω Q (x) το πηλίκο και R (σταθερά), το υπόλοιπο. Εξ ορισμού P ( x) = ( x r) Q( x) + R, είναι μια ταυτότητα για όλες τις τιμές του x. Αν υποθέσουμε ότι x = r, τότε R ( r) = R.

17 ΚΕΦ. 0] ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 55. Προσδιορίστε το υπόλοιπο R για κάθε μία από τις παρακάτω διαιρέσεις. (α) (x + x 8x 4) ( x ) R = P() = ( ) + ( ) 8() 4 = (β) 4 ( x x + 5x + 8) ( x + ) 4 R = P( ) = ( ) ( ) + 5( ) + 8 = = 7 (γ) (δ) (4x + 5x ) x + ( x x + x 4) x R = P R = P( 0) = 4 = = 4 (ε) x x + x (x ) R = P = + = (στ) 8 5 ( x x x + ) ( x + ) R = P( i) = ( i) ( i) ( i) + = i + i + i + = + i i + =. Αποδείξτε το Θεώρημα παραγοντοποίησης: αν το r είναι ρίζα της εξίσωσης P ( x) = 0, τότε η ποσότητα ( x r) είναι παράγοντας της P(x) και αντίστροφα αν το ( x r) είναι παράγοντας της P (x), τότε το r είναι ρίζα της εξίσωσης P ( x) = 0. Στη διαίρεση της εξίσωσης P (x) με το ( x r), έστω Q (x) το πηλίκο και R, μια σταθερά, το υπόλοιπο. Τότε P ( x) = ( x r) Q( x) + R ή, σύμφωνα με το Θεώρημα του υπολοίπου, P ( x) = ( x r) Q( x) + P( r). Αν το r είναι ρίζα της εξίσωσης P ( x) = 0, τότε P ( r) = 0. Συνεπώς P( x) = ( x r) Q( x), ή το ( x r) είναι παράγοντας της P (x). Αντίστροφα, αν η ποσότητα ( x r) είναι παράγοντας της εξίσωσης P (x) P (x) με το ( x r) είναι μηδέν. Άρα P ( r) = 0, δηλαδή, το r είναι ρίζα της εξίσωσης P ( x) = 0., τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης της 4 4. Αποδείξτε ότι το ( x ) είναι παράγοντας του πολυωνύμου P ( x) = x 4x 7x + x + 4. P ( ) = = 0. Επομένως, η ποσότητα ( x ) είναι παράγοντας του P (x), το είναι ρίζα του πολυωνύμου P (x), και το είναι ρίζα της εξίσωσης P ( x) = (α) Είναι το ρίζα της εξίσωσης P ( x) = x 7x 6 = 0 ; 4 (β) Είναι το ρίζα της εξίσωσης P ( y) = y y y + 7 = 0 ; (γ) Είναι το i ρίζα της εξίσωσης P ( z) = z + z + 8z + = 0 ; (α) P ( ) = = 0. Συνεπώς το είναι ρίζα της εξίσωσης P ( x) = 0, και η ποσότητα [ x ( ) ] = x + είναι παράγοντας του πολυωνύμου P (x). (β) P ( ) = =. Άρα το δεν είναι ρίζα της εξίσωσης P ( y) = 0, και η ποσότητα ( y ) δεν είναι παράγοντας του πολυωνύμου y 4 y y + 7. (γ) P (i) = (i) + (i) + 8(i) + = 6i + 6i + = 0. Επομένως, το i είναι ρίζα της εξίσωσης P ( z) = 0, και η ποσότητα ( z i) είναι παράγοντας του πολυωνύμου P (z).

18 56 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ [ΚΕΦ Αποδείξτε ότι το P x a είναι παράγοντας του n n n n ( x) = x a τότε ( a) = a a = 0 n n x a, όπου το n είναι οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος. n n P. Καθώς P ( a) = 0, το x a είναι παράγοντας του x a (α) Αποδείξτε ότι το πολυώνυμο x + a διαιρείται ακριβώς με το x + a. 6 6 (β) Ποιο είναι το υπόλοιπο της διαίρεσης του y + a με το y + a ; (α) (β) 5 5 P ( x) = x + a τότε P( a) = ( a) + a = a + a = 0. Καθώς P ( a) = 0, το πολυώνυμο x + a διαιρείται ακριβώς με την παράσταση x + a. P ( y) + a 6 6 = y. Υπόλοιπο = P ( a) = ( a) + a = a + a = a. n n 8. Αποδείξτε ότι η ποσότητα x + a είναι παράγοντας του πολυωνύμου x a όταν το n είναι άρτιος θετικός ακέραιος, ενώ δεν είναι παράγοντάς του όταν το n είναι περιττός θετικός ακέραιος. Υποθέστε ότι a 0. P n n ( x) = x a. n n n n Όταν το n είναι άρτιος αριθμός, P ( a) = ( a) a = a a = 0. Καθώς P ( a) = 0, η ποσότητα x + a είναι n n παράγοντας του x a όταν το n είναι άρτιος αριθμός. n n n n n n n Όταν το n είναι περιττός αριθμός, P( a) = ( a) a = a a = a. Καθώς P ( a) 0, το x a δεν διαιρείται ακριβώς με το x + a όταν το n είναι περιττός (το υπόλοιπο είναι a n ). 9. Βρείτε τις τιμές του p για τις οποίες (α) το πολυώνυμο x px + 6x p διαιρείται ακριβώς με το x +, 4 (β) η διαίρεση ( x p x + p) ( x ) δίνει υπόλοιπο 4. (α) Το υπόλοιπο είναι ( ) p ( ) + 6( ) p = 6 4 p p = 8 7 p = 0. Τότε p = 4. 4 (β) Το υπόλοιπο είναι p () + p = 84 p p = 4. Τότε p + p 80 = 0, ( p 5)(p + 6) = 0, και p = 5, Προσδιορίστε, χρησιμοποιώντας συνθετική διαίρεση, το πηλίκο και το υπόλοιπο της παρακάτω διαίρεσης. (x 5 4x 4 5x 8x + 5) ( x ) Πηλίκο: x + x x x + Υπόλοιπο: Η επάνω γραμμή αριθμών δίνει τους συντελεστές του διαιρετέου, όπου τα μηδενικά είναι συντελεστές των α- πουσών δυνάμεων του x ( 0x ). Το στο αριστερό άκρο είναι ο δεύτερος όρος του διαιρέτη με αλλαγμένο πρόσημο (καθώς ο συντελεστής του x του διαιρέτη είναι το ). Γράφουμε τον πρώτο συντελεστή της επάνω γραμμής, το, πρώτο στην τρίτη γραμμή και στη συνέχεια τον πολλαπλασιάζουμε με το του διαιρέτη. Τοποθετούμε το γινόμενο 6 πρώτο στη δεύτερη γραμμή και το προσθέ-

19 ΚΕΦ. 0] ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 57 τουμε με το υπερκείμενο 4 για να πάρουμε, που είναι ο επόμενος αριθμός της τρίτης γραμμής. Έπειτα, αυτό το το πολλαπλασιάζουμε με το του διαιρέτη. Τοποθετούμε το γινόμενο 4 στη δεύτερη γραμμή και το προσθέτουμε με το υπερκείμενο 5 για να πάρουμε το της τρίτης γραμμής, κ.λπ. Ο τελευταίος αριθμός της τρίτης γραμμής είναι το υπόλοιπο, ενώ όλοι οι άλλοι αριθμοί που βρίσκονται στα αριστερά του είναι οι συντελεστές του πηλίκου. Καθώς ο διαιρετέος και ο διαιρέτης είναι πολυώνυμα 5ου βαθμού και ου βαθμού αντίστοιχα, το πηλίκο είναι πολυώνυμο 4ου βαθμού. Μπορούμε να γράψουμε την απάντηση ως: 4 x + x x x + +. x 4. ( x x 4x + 5x + 50) ( x + 4) Απάντηση: x x 4 6x + 4. (x 7x 4) ( x + ) Απάντηση: x 6x 5 + x + x +. (4x 0x + x ) ( x ) Απάντηση: 5 4x 8x x 4. Δίνεται το πολυώνυμο P ( x) = x 6x x Υπολογίστε (α) την τιμή P ( 5) και (β) την τιμή P (4) χρησιμοποιώντας συνθετική διαίρεση. (α) P( 5) = 5 (β) P(4) = 0 5. Λύστε την εξίσωση x + x x 60 = 0, αν γνωρίζετε ότι μια ρίζα της είναι το Διαιρέστε το πολυώνυμο x + x x 60 με x 5. Η συμπτυγμένη εξίσωση είναι η x + 7x + = 0 και έχει ρίζες, 4. Οι τρεις ρίζες είναι οι 5,, 4.

20 58 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ [ΚΕΦ Δύο ρίζες της εξίσωσης x 4 x x 0 είναι οι και. Λύστε την εξίσωση Διαιρέστε το πολυώνυμο x 4 x x με x Η πρώτη συμπτυγμένη εξίσωση είναι η x x x = Διαιρέστε το πολυώνυμο x x x με x Η δεύτερη συμπτυγμένη εξίσωση είναι η x + x + = 0 και έχει ρίζες ± i. Οι τέσσερις ρίζες είναι οι,, ± i. 7. Προσδιορίστε τις ρίζες κάθε εξίσωσης. (α) ( x ) ( x + )( x + 4) = 0. Απάντ. (διπλή ρίζα),, 4 (β) (x + )(x ) (x 5) = 0., (τριπλή ρίζα), 5 (γ) x ( x x 5) = 0. 0 (τριπλή ρίζα), 5, (δ) ( x + + )( x + )( x 6) = 0. ( ), ( + ), 6 (ε) [( i)( x + i) ] ( x + ) = 0 x. ± i (τριπλή ρίζα), (διπλή ρίζα) (στ) 4 ( x + m) (5x n) = 0. m(τετραπλή ρίζα), n 5 (διπλή ρίζα) 8. Γράψτε την εξίσωση η οποία έχει μόνο τις παρακάτω ρίζες. (α) 5,, (β), 4, (γ) ±, ± (δ) 0, ± 5i. (α) ( x 5)( x )( x + ) = 0 ή x x x (β) 5 x x ( x ) x + x + = 0 ή x = 0, ή 8x 0x x = 0, η οποία έχει ακέραιους συντελεστές. (γ) ( x )( x + )[ x ( )][ x ( + )] = ( x 4)[( x ) + ][( x ) ] 4 = ( x 4)[( x ) ] = ( x 4)( x 4x + ) = 0, ή x 4x x + 6x 4 = 0. (δ) x[ x ( + 5i) ][ x ( 5i) ] = x[ ( x ) 5i][ ( x ) + 5i) ] = x[ ( x ) + 5] = x( x x + 6) = 0 ή x x + 6x = Σχηματίστε την εξίσωση με ακέραιους συντελεστές η οποία έχει μόνο τις παρακάτω ρίζες. (α),, (γ) ± i, ± (β) 0,,, (δ) (διπλή ρίζα),. 4,

21 ΚΕΦ. 0] ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 59 (α) ( x )(x )(x + ) = 0 ή 6x 7x + = 0 (β) 4 x ( 4x )(x )( x + ) = 0 ή x 5x x + 6x = 0 (γ) ( x i)( x + i) x x + = ( x + 9) x = 0, ( x + 9)(x ) = 0, 4 ή x + 7x 9 = 0 (δ) 4 ( x ) ( x + ) = 0 ή x 5x + 6x + 4x 8 = 0 0. Κάθε αριθμός που δίνεται είναι ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης με πραγματικούς συντελεστές. Ποιος άλλος αριθμός είναι ρίζα; (α) i, (β) ± i, (γ) i. (α) i, (β) i, (γ) + i.. Κάθε αριθμός που δίνεται είναι ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης με ρητούς συντελεστές. Ποιος άλλος αριθμός είναι ρίζα; (α) 7, (β) 4 +, (γ) 5. (α) 7, (β) 4, (γ) Εκτιμήστε την εγκυρότητα κάθε ενός από τα επόμενα συμπεράσματα. (α) Το x = i είναι ρίζα της εξίσωσης x + 7x 6i = 0 άρα το x = i είναι μια ρίζα της. (β) Το i είναι ρίζα της εξίσωσης x + ( ) x + (5 ) x + 5 = 0 συνεπώς η + i είναι επίσης ρίζα. (γ) Το x = + 4 είναι ρίζα της εξίσωσης x + ( ) x + (4 ) x + ( 4 ) x + = 0 άρα η x = είναι ρίζα. (α) Το x = i δεν είναι απαραίτητα ρίζα, καθώς δεν είναι όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης πραγματικοί αριθμοί. Με αντικατάσταση μπορείτε να βρείτε ότι το x = i δεν είναι ρίζα. (β) Το συμπέρασμα είναι έγκυρο, καθώς η εξίσωση που δίνεται έχει πραγματικούς συντελεστές. (γ) Το x = δεν είναι απαραίτητα ρίζα, καθώς δεν είναι όλοι οι συντελεστές της εξίσωσης ρητοί αριθμοί. Αντικαθιστώντας μπορείτε να βρείτε ότι το x = δεν είναι ρίζα.. Γράψτε την πολυωνυμική εξίσωση μικρότερου δυνατού βαθμού με πραγματικούς συντελεστές, δύο ρίζες της οποίας είναι οι και i. [ x ( i) ][ x ( + i) ] = ( x )( x x + 0) = 0 ( x ) ή x 4x + 4x 0 = Σχηματίστε την πολυωνυμική εξίσωση μικρότερου δυνατού βαθμού με ρητούς συντελεστές, δύο ρίζες της οποίας είναι οι + 5 και 6. [ x ( + 5)][ x ( 5)]( x + 6) = ( x + x 4)( x + 6) = 0 ή x + 8x + 8x 4 = 0.

22