ApaloÐfousa kai DiakrÐnousa

Mˆjhma 3 ApaloÐfousa kai DiakrÐnousa Σε αυτήν την ενότητα θα συναντήσουμε δυο σημαντικές έννοιες που συνδέονται με τα πολυώνυμα μιας(ή και πολλών) μεταβλητής την απαλοίφουσα και τη διακρίνουσα Η απαλοίφουσα συνδέεται με τις ακολουθίες Sturm μέσω της ακολουθίας Stum-Habicht, η οποία είναι μια εξαιρετικά αποδοτική ακολουθία Sturm, με την έννοια ότι οι συντελεστές των πολυωνύμων που την αποτελούν έχουν αρκετά μικρό δυαδικό μήκος και, όπως έχουμε αναφέρει, ο υπολογισμός της είναι σχετικά ταχύς 31 ParagontopoÐhsh kai mègistoc koinìc iairèthc Στο Μάθημα 1 είδαμε πως ένας δακτύλιος χωρίς μηδενοδιαιρέτες 1 ονομάζεται ακέραια περιοχή Συνεχίζουμε ορίζοντας περιοχές μοναδικής παραγοντοποίησης και περιοχές με διαίρεση: Ορισμός 31 Εστω R ένας δακτύλιος και a, b R (α) Θα λέμε ότι το a διαιρεί το b (συμβολισμός a b) αν υπάρχει c R τέτοιο ώστε b = ac (β) Τα a και b ονομάζονται συντροφικά(associate) στον R αν a = ub για κάποιο αντιστρέψιμο u R Πχ τα μόνα συντροφικά στοιχεία του 5 στο Z είναι το 5 και το 5 Τα συντροφικά στοιχεία του g(x) F [x] όπου F σώμα, είναι τα ug(x) όπου u F {0} Ορισμός 32 Εστω R μια ακέραια περιοχή και u R Το u ονομάζεται ανάγωγο(irreucible) στην R αν (α) το u δεν είναι μηδέν και δεν είναι αντιστρέψιμο, και (β) Αν u = ab με a, b R τότε το a ή το b είναι αντιστρέψιμο Πχ τα ανάγωγα στοιχεία του Z είναι οι πρώτοι αριθμοί, ενώ τα ανάγωγα πολυώνυμα του R[x] είναι τα πρωτοβάθμια και τα δευτεροβάθμια με αρνητική διακρίνουσα Ορισμός 33 Μια ακέραια περιοχή R καλείται περιοχή μοναδικής παραγοντοποίησης (unique factorization omain) ανν κάθε στοιχείο επιδέχεται «μοναδικής» παραγοντοποίησης Πιο τυπικά, (α) κάθε μη μηδενικό και μη αντιστρέψιμο a R παραγοντοποιείται ως a = c 1 c n, όπου τα c i ανάγωγα, (β) αν υπάρχει κι άλλη παραγοντοποίηση a = 1 m, τότε m = n και υπάρχει μια 1-1 αντιστοίχιση των c i, i τέτοια ώστε τα c i, i να είναι συντροφικά(ή αλλιώς c i i και i c i ) Ορισμός 34 Ευκλείδειος δακτύλιος (Eucliean ring) λέγεται κάθε αντιμεταθετικός δακτύλιος D όπου ορίζεται μια συνάρτηση «διαβάθμισης» φ : D N, τέτοια ώστε ab 0 φ(ab) φ(a) και ορίζεται η διαίρεση a = bq + r με υπόλοιπο r, όπου r = 0 ή φ(r) < φ(b) Ενας ευκλείδειος δακτύλιος που είναι και ακέραια περιοχή λέγεται Ευκλείδεια περιοχή (Eucliean omain) πχ το Z είναι Ευκλείδεια περιοχή με συνάρτηση διαβάθμισης την απόλυτο τιμή Εστω σώμα K Το K είναι Ευκλείδεια περιοχή με συνάρτηση διαβάθμισης K 1 Επίσης το K[x] είναι Ευκλείδεια περιοχή με συνάρτηση διαβάθμισης τον βαθμό πολυωνύμου Αποδεικνύεται πως κάθε Ευκλείδεια περιοχή είναι περιοχή μοναδικής παραγοντοποίησης Συνεπώς, μια ιεραρχία δακτυλίων είναι: Αντιμεταθετικοί δακτύλιοι, Ακέραιες περιοχές, Περιοχές μοναδικής παραγοντοποίησης, Ευκλείδειες περιοχές, σώματα 1 mhenoiairètec enìc aktulðou eðnai uo mh mhenikĺ stoiqeða α, β autoô, gia ta opoða αβ = 0 An o aktôlioc en eðnai metajetikìc iakrðnoume aristeroôc kai exioôc mhenoiairètec 10

Μάθημα 3 Απαλοίφουσα και Διακρίνουσα 11 Ορισμός 35 Ο μέγιστος κοινός διαιρέτης ΜΚΔ(a, b) σε μια Ευκλείδειο περιοχή είναι το μέγιστο(ως προς τη συνάρτηση διαβάθμισης) στοιχείο της που διαιρεί τα a και b Στους ακέραιους πρόκειται για το μέγιστο θετικό, στα πολυώνυμα μίας μεταβλητής, αυτό με μέγιστο βαθμό Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο ΕΚΠ(a, b) είναι το μικρότερο στοιχείο που διαιρεί τα a, b Σημαντική είναι η εξής ιδιότητα: ΕΚΠ(a, b) ΜΚΔ(a, b) = ab Ο Αλγόριθμος του Ευκλείδη για την εύρεση του ΜΚΔ είναι ο αρχαιότερος αλγόριθμος σε χρήση σήμερα: Δεδομένων δυο στοιχείων a, b D θέτουμε c 0 = a, c 1 = b Για i = 2, 3, εκτελούμε τις διαιρέσεις με υπόλοιπο: c i 2 = c i 1 q i + c i, δηλαδή το επόμενο στοιχείο στην ακολουθία c i είναι το υπόλοιπο της προηγούμενης διαίρεσης Η ακολουθία τερματίζεται όταν c k = 0 οπότε και ο ΜΚΔ(a, b) = c k 1 32 O pðnakac Sylvester Εστω p 1 = a 1 x 1 + + a 0 και p 2 = b 2 x 2 + + b 0 δυο πολυώνυμα, p 1, p 2 D[x], όπου D μια Ευκλείδεια περιοχή Ο πίνακας Sylvester των p 1, p 2 είναι ένας πίνακας S D (1+2) (1+2) του οποίου οι στήλες αντιστοιχούν σε δυνάμεις της μεταβλητής x και οι γραμμές σε πολλαπλάσια των πολυωνύμων ως εξής 2 : S := 1 x x 2 x 1 + 2 1 p 1 a 0 a 1 a 1 xp 1 a 0 a 1 a 1 0 x 2 1 p 1 a 0 a 1 a 1 p 2 b 0 b 1 b 2 xp 2 b 0 b 1 b 2 0 0 x 1 1 p 2 b 0 b 1 b 2 Παρατηρήστε πως ο S αποτελείται από δυο υποπίνακες(blocks), οι οποίοι έχουν όλες τις διαγωνίους τους σταθερές Τέτοιοι πίνακες ονομάζονται πίνακες Toeplitz: Ορισμός 36 Ενας πίνακας T, διάστασης n m καλείται Toeplitz εάν τα έχει σταθερές διαγωνίους Δηλαδή ο πίνακας ορίζεται από δυο διανύσματα (, t 1,, t m 1 ) και (τ 1, τ 2,, τ n 1 ): t 1 t 2 t m 1 τ 1 t 1 T = τ 2 τ 1 t1 t 2 τ1 t 1 τ n 1 τ 2 τ 1 Οι πίνακες Toeplitz αλλά και οι block(κατά ομάδες) Toeplitz έχουν ενδιαφέρουσες ιδιότητες: Ο πολλαπλασιασμός T w ενός n n, κάτω τριγωνικού πίνακα Toeplitz από δεξιά με ένα διάνυσμα w εκφράζει τον πολλαπλασιασμό πολυωνύμων, όπου οι συντελεστές των πολυωνύμων βρίσκονται στην πρώτη στήλη του T και στα στοιχεία του w αντίστοιχα Ομοια και για το γινόμενο w t T, όπου T άνω τριγωνικός Οταν ο T είναι block Toeplitz, ο ο πολλαπλασιασμός με ένα πολυώνυμο με συντελεστές w εκφράζει το άθροισμα γινομένων πολυωνύμων Η αντιμετάθεση στηλών(και γραμμών εφόσον δεν παραβιάζεται η block μορφή) δίνει ένα νέο πίνακα Toeplitz κατά block, ο οποίος έχει τις ίδιες ιδιότητες με τον αρχικό 2 Sth bibliografða mporeð na sunantăsete ton orismì tou S wc ton anĺstrofo tou pðnaka pou Ðnetai eÿ

12 Υπολογιστική Άλγεβρα 33 H ApaloÐfousa uo poluwnômwn Υπάρχουν αρκετοί τρόποι να ορίσεις την απαλοίφουσα Για τις ανάγκες του μαθήματος δίνουμε τον παρακάτω Ορισμός 37 Αν p 1, p 2 D[x] καλούμε απαλοίφουσα την ορίζουσα του πίνακα Sylvester: R(p 1, p 2 ) := et S Επειδή ο πίνακας Sylvester έχει στοιχεία από το D, η απαλοίφουσα ανήκει στο D Επίσης από τη μορφή του S προκύπτει πως η απαλοίφουσα έχει βαθμό 2 και 1 ως προς τους συντελεστές του p 1 και του p 2 αντίστοιχα Με τις γνωστές ιδιότητες των οριζουσών μπορεί να δειχθεί η ιδιότητα R[(x r)p 1 (x), p 2 (x)] = p 2 (r)r[p 1, p 2 ] Γενικότερα με επαγωγή αποδεικνύεται η λεγόμενη μορφή Poisson(Poisson formula): R(p 1, p 2 ) = a 2 1 όπου r i οι 2 ρίζες του p 2 στην αλγεβρική θήκη του D 2 p(r i ) (31) Θεώρημα 31 Η απαλοίφουσα είναι μηδέν ανν τα p 1, p 2 έχουν κοινή ρίζα, με άλλα λόγια ισχύει η ισοδυναμία R(p 1, p 2 ) = 0 eg [ΜΚΔ(p 1, p 2 )] 1 Απόδειξη ( ) Εστω r κοινή ρίζα των p 1, p 2 Αρκεί ο πίνακας S να είναι ιδιάζων Ισοδύναμα, αρκεί να υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα στον ker S Θέτουμε = w [ ] t 1 r r 1+2 Λόγω της πρώτης συντεταγμένης, 0, όμως w p 1 (r) = r Sw p 1 (r) p 2 (r) = 0 ker S w r 1 1 p 2 (r) ( ) Εστω ότι et S = 0 Τότε στον αριστερό πυρήνα θα υπάρχει μη μηδενικό διάνυσμα: ṽ 0, ṽ ker S T 2 1 1 1 Εστω ṽ = [κ 0 κ 1 κ 2 1 λ 0 λ 1 λ 1 1] t Αν q 1 (x) = κ i x i, q 2 (x) = λ i x i, σύμφωνα με ιδιότητα των block Toelpitz πινάκων: v t S = q 1 (x)p 1 (x) + q 2 (x)p 2 (x) = 0 q 1 (x)p 1 (x) = q 2 (x)p 2 (x) eg ΕΚΠ[p 1, p 2 ] 1 + 2 1 0 Γνωρίζουμε όμως ότι ΜΚΔ[p 1, p 2 ]ΕΚΠ[p 1, p 2 ] = p 1 p 2 eg ΕΚΠ[p 1, p 2 ] + eg ΜΚΔ[p 1, p 2 ] = 1 + 2 Τελικά δηλαδή τα p 1, p 2 έχουν κοινή ρίζα eg ΜΚΔ[p 1, p 2 ] = 1 + 2 eg ΕΚΠ[p 1, p 2 ] 1 + 2 1 2 + 1 = 1 Με χρήση της απαλοίφουσας μπορούμε να κατασκευάσουμε άθροισμα, γινόμενο, πηλίκο κτλ αλγεβρικών αριθμών Ενας αλγεβρικός αριθμός ορίζεται ως η ρίζα ενός πολυωνύμου σε ένα διάστημα απομόνωσης αυτής Παραδείγματος χάριν έστω οι: a = {p(x) = 0, x [t 1, t 2 ]}, b = {q(x) = 0, x [r 1, r 2 ]} Αν θέσουμε b = a + y, τότε τα p(x), q(x + y) έχουν κοινή ρίζα (αν θεωρηθούν ως πολυώνυμα με μεταβλητή το x) το a, άρα η διαφορά είναι ρίζα της R(y) R[p(x), q(x + y)] = 0 Ετσι τελικά b a = {R(y) = 0, y [r 1 t 2, r 2 t 1 ]} Μια άλλη εφαρμογή είναι στην απόδειξη του παρακάτω Θεώρημα 32 Εστω s η απόσταση δυο οποιονδήποτε ριζών ενός πολυωνύμου p R[x] βαθμού με συντελεστές μήκους O B (τ) Τότε είναι log s = O B (τ) Απόδειξη Αν θέσουμε όπως πριν b = a + y, με s = y, θα είναι R(y) R[p(x), p(x + y)] = 0 Εστω R(y) = c r y r + +c 1 y+c 0, όπου r 2 από τον ορισμό της απαλοίφουσας ως ορίζουσας διάστασης 2 Ετσι c i = O B ( 2 2 τ ) Από το (αντίστροφο) φράγμα του Cauchy τώρα s i=0 c r 1 + max c i 1 max c i 0 i r 0 i r Για s 1, και αν c i0 ο μέγιστος κατ απόλυτο τιμή συντελεστής, παίρνουμε τελικά lg s lg c i0 lg 1 = 2 lg +τ = O B (τ) i=0

Μάθημα 3 Απαλοίφουσα και Διακρίνουσα 13 Η ορίζουσα του S δεν αλλάζει αν προσθέσουμε την j-οστή στήλη της, πολλαπλασιασμένη με x j 1 για j = 2,, 1 + 2, στην πρώτη στήλη Ομως ο πίνακας έχει αλλάξει καθόσον η πρώτη στήλη περιέχει τα πολυώνυμα p 1 (x),, x 2 1 p 1 (x), p 2 (x),, x 1 1 p 2 (x) Με βάση αυτήν την παρατήρηση, ορίζουμε: Ορισμός 38 Η μηδενική υπο-απαλοίφουσα R 0 είναι η απαλοίφουσα R(p 1, p 2 ) = et S Για 0 < i min{ 1, 2 }, η i-οστή υπο-απαλοίφουσα είναι η ορίζουσα R i Για i = min{ 1, 2 }, η υπο-απαλοίφουσα R i είναι η ορίζουσα του πίνακα που περιέχει μόνο συντελεστές του πολυωνύμου με το μεγαλύτερο βαθμό Η πρώτη γραμμή της ξεκινά με το διάνυσμα των συντελεστών του μεγιστοβάθμιου πολυωνύμου και κατόπιν μηδενικά Για min{ 1, 2 } < i < max{ 1, 2 } ορίζουμε R i = 0 Σχηματικά: p 1 (x) a i+1 a 1 0 x 2 i 1 p 1 (x) a 2i 2+2 a i+1 a 1 R i (p 1, p 2 ) =, i = 0, 1,, min{ 1, 2 } p 2 (x) b i+1 b 2 0 x 1 i 1 p 2 (x) b 2i 1+2 a i+1 b 2 όπου ορίζουμε a k, b k = 0 για k < 0 Η ορίζουσα R i προκύπτει από εκείνη του μετασχηματισμένου πίνακα S, αν αφαιρέσουμε τις τελευταίες i γραμμές που περιέχουν συντελεστές του p 1, τις τελευταίες i γραμμές (που περιέχουν συντελεστές του p 2 ), τις τελευταίες i στήλες (οι οποίες πλέον περιέχουν μόνο μηδενικά) και, τέλος, τις i αριστερότερες στήλες που βρίσκονται δεξιά της πρώτης Για i = 0 δεν αφαιρούμε γραμμές ή στήλες Η διάσταση της ορίζουσας είναι προφανώς ( 1 + 2 2i) ( 1 + 2 2i) Χάριν ευκολίας στην παρουσίαση επιτρέψαμε αρνητικούς δείκτες, ερμηνεύοντας τα αντίστοιχα a k ως μηδενικά Εξαρτάται από το τον αριθμό των γραμμών/στηλών που θα αφαιρέσουμε αν θα υπάρχουν ή όχι μηδενικά στο κάτω αριστερά κομμάτι κάθε υποπίνακα του R i Παρατηρήστε επίσης ότι για κ < λ, η R κ είναι υποορίζουσα της R λ Ετσι όλες οι υπο-απαλοίφουσες προκύπτουν από την αρχική R 0 (σε κουτιά οι γραμμές της i-οστής υπο-απαλοίφουσας): p 1 (x) a 1 a i+1 a 1 a 0 0 0 R 0 (p 1, p 2 ) = x 2 i 1 p 1 (x) a 0 a i+1 a 1 p 2 (x) b 1 b i+1 b 1 b 0 0 x 1 i 1 p 2 (x) 0 b 0 b i+1 b 2 Αν αναπτύξουμε την R 0 ως προς την πρώτη στήλη, συνάγεται η εξής ιδιότητα: R 0 (p 1, p 2 ) R(p 1, p 2 ) = p 1 (x)t 0 (x) + p 2 (x)s 0 (x), όπου eg t 0 = 2 1, eg s 0 = 1 1 Οπως ήδη γνωρίζουμε eg R 0 (x) = 0 Αν i = 2 < 1, ο αντίστοιχος πίνακας είναι κάτω τριγωνικός και R 2 (x) = p 2 (x)a 1 2 1 2, άρα eg R 2 (x) = 2 Γενικότερα ισχύει το παρακάτω Θεώρημα 33 Ο βαθμός της υπο-απαλοίφουσας είναι eg R i (x) i για i = 0,, min{ 1, 2 } Ενδέχεται βέβαια κάποιες υπο-απαλοίφουσες να έχουν τον ίδιο βαθμό ή ο βαθμός δυο διαδοχικών υπο-απαλοιφουσών να διαφέρει περισσότερο από 1 Η βασική ιδιότητα των υπο-απαλοιφουσών είναι η παρακάτω ισοδυναμία: Θεώρημα 34 Εφόσον τα p 1, p 2 K[x] για K μια περιοχή μοναδικής παραγοντοποίησης με μονάδα: τα p 1, p 2 έχουν έναν κοινό διαιρέτη βαθμού k R i = 0, i < k και R k 0

14 Υπολογιστική Άλγεβρα 34 DiakrÐnousa poluwnômou Ορισμός 39 Εστω D ακέραια περιοχή και p(x) = c i x i με συντελεστές c i D, c 0 και i=0 r i D(αλγεβρική θήκη του D),i = 1,, οι ρίζες του p Ορίζεται η διακρίνουσα: := c 2 2 (r i r j ) 2 (32) Λήμμα 31 = 0 τότε και μόνο τότε αν υπάρχει πολλαπλή ρίζα του p Απόδειξη = 0 i j : r j = r i το r i έχει πολλαπλότητα τουλάχιστον 2 Λήμμα 32 Η διακρίνουσα συνδέεται με την απαλοίφουσα με τον τύπο c = ( 1) ( 2) R(p, p ) Απόδειξη Εστω p(x) = c (x r i) Τότε παραγωγίζοντας με χρήση του κανόνα Leibnitz [ ] p (x) = c r i ) = c (x r i ) p (x (r j ) = c (r j r i ) j=1 i j i j Από τη μορφή Poisson (31) έχουμε: αντικαθιστώντας R(p, p ) = c 1 p (r i ) R(p, p ) = c 1 c (r j r i ) = c 2 1 [ ( 1)(ri r j ) 2] = ( 1) 2) ( c 2 1 i j τελικά, c = ( 1) ( 2) R(p, p ) Λήμμα 33 Η διακρίνουσα ανήκει στην ευκλείδεια περιοχή D (r i r j ) 2 = ( 1) 2) ( c Απόδειξη Με χρήση ιδιοτήτας της ορίζουσας, βγάζουμε κοινό παράγοντα το c από την τελευταία στήλη: c 0 c 1 c c 0 c 1 c 0 c 0 c 1 c 0 c 0 c 1 c 0 R(p, p ) = c 0 c 1 c c 1 2c 2 c = c 0 c 1 1 c 1 2c 2 c 0 c c 1 2c 2 c 0 c 1 2c 2 c 0 c 1 2c 2 c c 1 2c 2 άρα c R(p, p ) R(p, p ) c D ( 1) ( 2) R(p, p ) c D D Το επόμενο λήμμα συνδέει τη διακρίνουσα με μια ορίζουσα Vanermone των ριζών του πολυωνύμου Λήμμα 34 Το γινόμενο που εμφανίζεται στη διακρίνουσα μπορεί να εκφραστεί σαν το τετράγωνο μιας ορίζουσας Vanermone, συγκεκριμένα (r i r j ) = ±V (r 1,, r ), όπου V (r 1,, r ) := 1 1 1 r 1 r 2 r r1 2 r2 2 r 2 r1 1 r2 1 r 1

Μάθημα 3 Απαλοίφουσα και Διακρίνουσα 15 Απόδειξη Θα δείξουμε πως τα δυο μέλη έχουν τον ίδιο βαθμό σαν πολυώνυμα των r i και ότι διαιρούν το ένα το άλλο Είναι eg (r ( )! ( 1) ( 1) i r j ) = = =, eg V (r 1,, r ) = ( 1) + ( 2) + + 2 + 1 = 2 2!( 2)! 2 2 Αν (r i r j ) = 0, τότε r i = r j, i j Η ορίζουσα Vanermone έχει δυο στήλες ίδιες, δηλαδή γραμμικά εξαρτημένες άρα V (r 1,, r ) = 0 (r i r j ) V (r1,, r ) Αντίστροφα, αν V (r 1,, r ) = 0 αναπτύσσοντας την ορίζουσα βλέπουμε ότι i r j ) V (r 1,, r ) V (r 1,, r (r ) (r i r j ) Το αποτέλεσμα αυτό, σε συνδυασμό με το φράγμα Haamar που ακολουθεί, χρησιμοποιούνται στην απόδειξη του Θεωρήματος Davenport-Mahler-Mignotte (23) Για την απόδειξη χρησιμοποιούμε το παρακάτω φράγμα στην ορίζουσα Vanermone Κατόπιν με γραμμοπράξεις σχηματίζουμε τις διαφορές και τα γινόμενα που θέλουμε: n n Λήμμα 35 (Φράγμα Haamar) Αν A = [ũ 1 ũ n ] = 1 n] [w w T ισχύει et A ũ i 2 = i 2 w Η ισότητα επιτυγχάνεται όταν οι στήλες(ή γραμμές) είναι ορθογώνιες, πχ 1 c 35 AkoloujÐa Sturm-Habicht(Subresultant Sequence) c 1 = 1+c2 = 1 + c 2 c 2 + 1 Ας δούμε τώρα πως συνδέεται η ακολουθία υπο-απαλοιφουσών με τις ακολουθίες Sturm Υπενθυμίζουμε σύντομα την ψευδοδιαίρεση: Στον Ευκλείδειο αλγόριθμο η αύξηση του μεγέθους των (ενδιάμεσων) συντελεστών είναι εκθετική Για το λόγο αυτό έχουν μελετηθεί μέθοδοι που γενικεύουν τη βασική σχέση, βασισμένες στην ψευδο-διαίρεση: Ορισμός 310 Στην ψευδο-διαίρεση αp(x) = q(x)s(x) + r(x), όπου p(x), s(x) Z[x] με eg(p(x)) > eg(r(x)), έχουμε α = c δ Z, όπου δ = eg(p(x)) eg(s(x)) + 1 και c ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής του p Ετσι το ψευδο-πηλίκο q(x) Z[x], συνεπώς και το ψευδο-υπόλοιπο r(x) ανήκουν στο Z[x] Τα q(x), r(x) είναι μοναδικά Εστω p 0 (x) = a(x), p 1 (x) = b(x) και για i 2 : α i p i 2 (x) = p i 1 (x)q i (x) + β i p i (x) όπου α i και β i σταθερές Μερικές περιπτώσεις είναι: α i = β i = 1 στον Ευκλείδειο αλγόριθμο: δίνει το ελάχιστο β i αλλά το μέγιστο μέγεθος συντελεστών, δηλ εκθετικό στην χειρότερη περίπτωση [Zip93] β i p i (x) = ψευδο-υπόλοιπο στη διαίρεση που έγινε στο προηγούμενο βήμα, όπου το β i είναι ο ΜΚΔ των συντελεστών του ψευδο-υπολοίπου (άρα υπολογίζεται ως ένα ΜΚΔ ακεραίων), δηλ το p i (x) είναι ένα πρωτογενές (primitive) πολυώνυμο: μέγιστο β i, ελάχιστο μέγεθος πολυωνυμικών συντελεστών, αλλά υψηλό υπολογιστικό κόστος Αυτός ο αλγόριθμος εφαρμόζεται επαγωγικά και με πολλές μεταβλητές Z[x 1,, x n ] Το β i δίνεται σε συνάρτηση των α j, β j για j < i ενώ τα πολυώνυμα δίνονται από κάποια υπο-απαλοίφουσα(subresultant) Συγκεκριμένα, α i = c i 2 i 1+1, όπου c ο μεγιστοβάθμιος συντελεστής του p i 1 (x) και eg p i = i Η θεωρία των Habicht, Collins, Brown αποδεικνύει πως το β i διαιρεί το ψευδο-υπόλοιπο των p i 2 (x), p i 1 (x) Επιτυγχάνονται ενδιάμεσες τιμές β i και ενδιάμεσο μέγεθος συντελεστών των p i σε σχέση με τις άλλες μεθόδους Συγκεκριμένα, οι συντελεστές των p i έχουν μήκος OB (τ), όπου τ το μέγεθος των συντελεστών στα δεδομένα πολυώνυμα Η μέθοδος αυτή πετυχαίνει βέλτιστη δυαδική πολυπλοκότητα OB (3 τ) για τον υπολογισμό ολόκληρης της ακολουθίας [Lombari-Roy-ElDin, Reischert] Το παρακάτω θεώρημα συνδέει τις υπο-απαλοίουσες με την ακολουθία Sturm-Habicht: Θεώρημα 35 Εστω p+1, p 2 Z[x] Το σύνολο των υπο-απαλοιφουσών προκύπτει σαν ένα σύνολο μιας ακολουθίας ψευδο-υπολοίπων, δηλαδή {R 0 (x), R 1 (x), } = {p i (x) : b i p i 1 (x) = q i (x)p i (x) + c δi+1 i p i+1 (x)} με b i, c i D, c i ο μεγιστοβάθμιος όρος του p i και δ i = eg q i (x)