Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ
Δομή της παρουσίασης Δυσκολίες μαθητών γύρω από την έννοια της περιοδικότητας Παραδείγματα τριών ερευνών στην περιοδικότητα με εστίαση στη θεωρητική και μεθοδολογική τους προσέγγιση Συστημικές προσεγγίσεις στην έρευνα που αφορά στη διδασκαλία και μάθηση της έννοιας της περιοδικότητας Η θεωρία της δραστηριότητας ως πλαίσιο μελέτης της διδασκαλίας και μάθησης της έννοιας
Παραδείγματα ερευνών στην περιοδικότητα Shama, G. (1998). Understanding periodicity as a process with a gestalt structure. Educational Studies in Mathematics, 35, 255-281. Kynigos, Ch. & Gavrilis, K. (2006). Constructiona a sinusoidal periodic covariation PME 30, Vol.4, pp.9-16. Buendia, G. & Cordero, F. (2005). Prediction and the periodical aspect as generators of knowledge in a social practice framework. Educational Studies in Mathematics, 58, 299-333
Η έννοια της περιοδικότητας για τους μαθητές Δυσκολία των μαθητών να συνδέσουν τον ορισμό της περιοδικότητας με τις γραφικές παραστάσεις που περιγράφουν κίνηση. Η γραφική παράσταση της ημιτονοειδούς συνάρτησης αναγνωρίζεται ως περιοδική και αναγνωρίζουν ως περιοδική συνάρτηση κάθε συνάρτηση που η γραφική παράσταση μοιάζει με την ημιτονοειδή. Αναγνωρίζουν ως περιοδική όποια συνάρτηση που η γραφική της παράσταση δείχνει μια επαναληπτικότητα.
Ερμηνείες των δυσκολιών Η έννοια της περιοδικότιτας έχει διαφορετικές οπτικές σε διαφορετικά εκπαιδευτικά πεδία. Η αντιμετώπιση τους είναι αποσπασματική ανάλογα με το πεδίο που διαπραγματευόμαστε Περιοδική συνάρτηση στην Ανάλυση (ιδιότητα) Περοδικά φαινόμενα στη φυσική (σχεδόν περιοδικά περίοδος-χρόνος (συμπεριφορά περιοδικής φύσης) Ανάγκη σύνδεσης της έννοιας σε διαφορετικά πεδία (επαναπροσδιορισμός των μαθηματικών ώστε να αξιοποιεί τις διαφορετικές πρακτικές αναφοράς τους.
Πώς παίρνουμε υπόψη μας τις διαφορετικές πρακτικές αναφοράς της έννοιας; Η Shama (1998) βλέπει την περιοδικότητα στο σχολείο σε διαφορετικά πλαίσια και περιεχόμενα και σε διαφορετικές ηλικίες (μοτίβα, γεωμετρικοί μετασχηματισμοί, περιοδικοί αριθμοί, τριγωνομετρία, μιγαδικοί αριθμοί) Οι kynigos @ Gavrilis (2006) βλέπουν την περιοδική συμμεταβολή μέσα από τη χρήση ψηφιακών εργαλείων Οι Buendia & Cordero (2005) προτείνουν αλλαγή από το να μιλάμε για την περιοδικότητα να μιλάμε για αυτό που είναι περιοδικό (περιέχει πολιτισμικές, ιστορικές και θεσμικές όψεις που συνδέονται με την περιοδικότητα.
Τι είναι περιοδικό; Στοιχεία που προκύπτουν από τις πρακτικές των ατόμων που ασχολούνται με διαστάσεις της επαναληπτικής συμπεριφοράς γραφικών αναπαραστάσεων που σκοπεύουν να αναπαραστήσουν κινήσεις. Η κοινωνική πρακτική της πρόβλεψης μετασχηματίζεται σε ένα επιχείρημα και επαναπροσδιορίζει το τι είναι περιοδικό.
Έρευνα της Shama ερωτήματα και θεωρητική προσέγγιση Μελετά πώς οι μαθητές από Τρίτη Δημοτικού μέχρι το τέλος του Λυκείου στο Ισραήλ κατανοούν την έννοια της περιοδικότητας Στηρίζεται στη διάκριση ανάμεσα στην εννοιακή εικόνα της περιοδικότητας και στον ορισμό της (Tall and Vinner, 1981) Κατανόηση της Διεργασίας σε αντίθεση με την κατανόηση της δομής (Sfard, 1991) Ολιστική θεωρία (Wertheimer, 1924) (το περιοδικό φαινόμενο ώς όλο)
Μεθοδολογική προσέγγιση Παρατήρηση τάξεων (διδασκαλία σε διαφορετικές ηλικίες και σε διαφορετικά αντικείμενα κυρίως μαθηματικά) Γ και ΣΤ Δημοτικού, Γ γυμνασίου, Β και Γ Λυκείου Πατριδογνωσία (5), Μαθηματικά (44), Φυσική (9) Συνεντεύξεις με 28 μαθητές (Grounded theory analysis) Ερωτηματολόγιο (121 ερωτήσεις) σε 895 μαθητές της Β Λυκείου- στατιστική ανάλυση
Αποτελέσματα Οι μαθητές κατανοούν την περιοδικότητα ως διεργασία. (τα παραδείγματα που έδωσαν αφορούσαν περιοδικά φαινόμενα που εξαρτώνται από το χρόνο και κίνηση) Στη διδασκαλία η περιοδικότητα εισάγεται ως διεργασία (π.χο περιοδικός αριθμός ως αποτέλεσμα διαίρεσης) Λάθη των μαθητών όταν θεωρούν φαινόμενα που δεν είναι περιοδικά ώς περιοδικά (π.χ φαινόμενα που περιλαμβάνουν ένα επαναλαμβανόμενο μέρος) Η κατανόηση της περιόδου σε ένα περιοδικό φαινόμενο (προτίμηση στη βασική περίοδο και στη διδασκαλία (π.χ ο αριθμός 0,3333... Έχει περίοδο μόνο το 3) αρχή το σημείο ισορροπίας, αρχή στην άκρη της αναπαράστασης Υπάρχει τάση να βλέπει κανείς δομές που είναι σχεδόν περιοδικές ώς περιοδικές (Ερμηνεία με την Ολιστική θεωρία)
Συνεισφορά της έρευνας Αντιμετωπίζει την έννοια της περιοδικότητας διευρυμένα πέρα από την περιοδικότητα ως μια ιδιότητα της συνάρτησης Βλέπει την έννοια της περιοδικότητας σε διαφορετικές ηλικίες και περιεχόμενα Συνδέει την κατανόηση των μαθητών με τη διδασκαλία και βλέπει άμεσες σχέσεις
H έρευνα των Kynigos & Gavrilis Η μελέτη των νοημάτων μαθητών 14-15 χρονών γύρω από την έννοια της ημιτονοειδούς περιοδικής αλλαγής μέσα από το χειρισμό διαφορετικών αναπαραστάσεων στο πλαίσιο ενός μικρόκοσμου. Θεωρητική οπτική: constructionism σε συνδυασμό με σημειωτικές διαστάσεις (διαμεσολάβηση εργαλείων Μariotti, 2000)
Mεθοδολογική προσέγγιση Έρευνα σχεδιασμού 14 ομάδες μαθητών 6-7 συναντήσεις διάρκειας 1.30 ώρας 3 συναντήσεις όλων των ομάδων Οι μαθητές αντιμετώπισαν δραστηριότητες που στηρίζονταν στη χρήση ενός μικρόκοσμου που συνδύαζε ένα δισδιάστατο εργαλείο (ένας κλόουν) και ένα εργαλείο μεταβολής ενώ οι μαθητές προγραμματίζουν ώστε ο κλόουν (με τριγωνικο πρόσωπο) να είναι σε καλή φόρμα. Η σχέση ανάμεσα στο χ (η γωνία της κορυφής ισοσκελούς τριγώνου) και ψ (το μήκος της απέναντι πλευράς) εκφράζουν τριγωνομετρική σχέση που εκφράζεται σε ένα σύστημα συντεταγμένων)
Αποτελέσματα Οι μαθητές ανέπτυξαν νοήματα για την περιοδική συμμεταβολή Τα νοήματα ήταν πλαισιοθετημένα στο περιβάλλον της μεταβολής της καμπύλης ή ως εργαλεία ελέγχου του περιβάλλοντος Αρχικά είδαν την καμπύλη ώς μια σειρά παραβολών και μέσα από την ανατροφοδότηση με τα εργαλεία άρχισαν να βλέπουν την τριγωνομετρική σχέση και την περιοδική συμμεταβολή (αρχικά αναγνώρισαν το χωρισμό του πεδίου ορισμού σε ίσα διαστήματα) Η αποδυνάμωση των εργαλείων και του πλαισίου άρχισε να γίνεται σταδιακά κατά τη διάρκεια του πειράματος.
Η συνεισφορά της έρευνας Η ανάπτυξη του μικρόκοσμου και των δραστηριοτήτων Η μελέτη της ανάπτυξης του νοήματος της περιοδικότητας μέσα από την αξιοποίηση ψηφιακών εργαλείων και τη σύνδεση αναπαραστάσεων Η νοηματοδότηση της έννοιας στενά συνδεδεμένη με τη δράση των μαθητών με τα εργαλεία και τα διαφορετικά επίπεδα αφαίρεσης
Η έρευνα των Buendia & Cordero Ανάλυση των σχολικών βιβλίων ως προς τις κοινωνικές πρακτικές που συνδέονται με την περιοδικότητα Τι συνιστά την κοινωνικοεπιστημολογία της περιοδικότητας και ποιες είναι οι θεωρητικές της υποθέσεις; Ο σχεδιασμός διδακτικών καταστάσεων σύμφωνα με την παραπάνω θέση.
Επιστημολογικές πλευρές της έννοιας της περιοδικότητας Ι Η σχέση ανάμεσα στην πρόβλεψη και στην περιοδικότητα στο πλαίσιο των γραφικών παραστάσεων συναρτήσεων. Η διαφορά ανάμεσα στην περιοδικότητα ως διεργασία και ως αντικείμενο (προτίμηση σε φαινόμενα που εξαρτώνται από το χρόνοεπαναληπτικότητα/ μοτίβα Οι μαθητές ταυτίζουν το περιοδικό φαινόμενο με την ιδιότητα της περιοδικότητας ο ορισμός όχι ένα πλαίσιο αναφοράς
Επιστημολογικές πλευρές της έννοιας της περιοδικότητας ΙΙ Η έννοια της περιοδικής συμπεριφοράς και της σχεδόν περιοδικής συμπεριφοράς στην επιστήμη (π.χ μη αρμονική ταλάντωση) Η σχέση ανάμεσα στην τοπική και στην ολική συμπεριφορά μιας συνάρτησης (πρόβλεψη μιας μελλοντικής ή προηγούμενης κίνησης Η έννοια της γραμμικής μετατόπισης (πάει και έρχεται κυκλική κίνηση, ελατήριο, pendulum)
Η περιοδικότητα στην Ιστορία των Μαθηματικών Η περιοδικότητα αναγνωρίστηκε ως ιδιότητα της τριγωνομετρικής συνάρτησης από τον Euler Ο κύριος στόχος των φυσικών επιστημών να προβλέψει φαινόμενα και να κατασκευάσει νόμους που να περιγράφουν τη συμπεριφορά τους επηρεάζει την ανάπτυξη των μαθηματικών το 18 ο αιώνα. Η ανάπτυξη πρακτικών που εστιάζουν στην πρόβλεψη φυσικών πλαισίων χρησιμοποιώντας την έννοια της περιοδικότητας. Η σημασία των εργαλείων και των δραστηριοτήτων που οδήγησαν στην έννοια της περιοδικότηταςεπαναπροσδιορισμός της μαθηματικής γνώσης
Η οικοδόμηση του μαθηματικού νοήματος μέσα από μια κοινωνικοεπιστημολογική οπτική Σχεδιασμός διδασκαλίας Η σχέση της περιοδικότητας με την κίνηση μέσα στο χρόνο Η εύρεση μοτίβων συμπεριφοράς και της μονάδας ανάλυσης Η ανάγκη για ολική εικόνα και για τη σημασία της πρόβλεψης ως πρακτικής
Μεθοδολογικό πλαίσιο A-priori επιστημολογική ανάλυση Υπόθεση για τη δράση των μαθητών Α posteriori ανάλυση τι έκαναν οι μαθητές Σύγκριση των δύο αναλύσεων- διαμόρφωση της τελικής επιστημολογικής ανάλυσης
Σχεδιασμός - εφαρμογή
Περιγράψτε την κίνηση που περιγράφουν τα διαγράμματα και ταξινομήστε τα με κριτήρια ομοιότητας ή διαφοράς Προβλέψτε τη θέση του κινητού σε κάθε διάγραμμα σε 231 δευτερόλεπτα μετά την αρχή της κίνησης και ταξινομίστε τα διαγράμματα. Ποια διαγράμματα είναι περιοδικά;
Αποτελέσματα της έρευνας Η γνώση που κατασκευάζεται εξαρτάται από τα νοήματα με τα οποία τα άτομα αντιμετωπίζουν την κατάσταση, τις διαδικασίες που δημιουργούνται από την κατάσταση και τη γνώση του ατόμου. Τα νοήματα (π.χ η επαναληπτική συμπεριφορά της συνάρτησης) δημιουργούν διαδικασίες (συγκρίσεις γραφημάτων- αναζήτηση και τροποποίηση της μονάδας ανάλυσης) και οδηγούν στην περιοδική διεργασία και αντικείμενο μέσα από την πρόβλεψη.
Η συνεισφορά της έρευνας Η γενετική - επιστημολογική προσέγγιση της έννοιας της περιοδικότητας Η έμφαση στην πρακτική της πρόβλεψης Η ανάδειξη του νοήματος της έννοιας μέσα από μια διαισθητική αντίληψη (την επανάληψη) Η διάσταση της έννοιας σε διαφορετικά πλαίσια αναφοράς (των μαθηματικών και των φυσικών επιστημών)
Η μάθηση και η διδασκαλία της έννοιας της περιοδικότητας μέσα από μια συστημική ερευνητική οπτική Μέσα από μια γνωστική θεώρηση Εννοιολογικά πεδία του Vergnaud όπου ή έννοια συνδέεται με άλλες έννοιες Η εννοιακή εικόνα και ο ορισμός της έννοιας (έννοια και οι αναπαραστάσεις της) σημειωτική προσέγγιση Μέσα από μια κοινωνικοπολιτισμική προσέγγιση Ο ρόλος των εργαλείων στην οικοδόμηση του νοήματος από τους μαθητές Έμφαση στην αλληλεπίδραση και στην επικοινωνία Η έννοια σε διαφορετικές πρακτικές έχει διαφορετικά νοήματα Μέσα από μια κοινωνική οπτική Η μελέτη των αλληλεπιδράσεων ανάμεσα σε κοινωνικές παραμέτρους, διδασκαλία και μάθησης (πολλαπλότητα των παραγόντων-πολυπλοκότητα)
Η θεωρία της δραστηριότητας ως πλαίσιο συστημικής προσέγγισης Μονάδα ανάλυσης το σύστημα δραστηριότητας Το σύστημα δραστηριότητας είναι συλλογικό, διαμεσολαβείται από εργαλεία και χρειάζεται ένα κίνητρο και ένα αντικείμενο (στόχο) Οι ενέργειες ενός ατόμου ή μιας ομάδας γίνονται κατανοητές όταν γίνονται αντιληπτές σε αναφορά με το σύστημα δραστηριότητας
Σε ένα σύστημα υπάρχουν πολλαπλές οπτικές, παραδόσεις, ενδιαφέροντα και οι συμμετέχοντες μεταφέρουν τη δική τους ιστορία Το σύστημα έχει ιστορικότητα Συγκρούσεις ως πηγές αλλαγής και ανάπτυξης
Το τρίγωνο του Engestrom
Το τρίγωνο και η διδασκαλία της περιοδικότητας στα μαθηματικά και στις φυσικές επιστήμες Εργαλεία: Σχολικά βιβλία των μαθηματικών (αναπαραστάσεις, παραδείγματα, ασκήσεις κλπ.), μαθηματικά μοτίβα, εμπειρίες μαθητών Εργαλεία: Σχολικά βιβλία της φυσικής (αναπαραστάσεις, παραδείγματα, ασκήσεις κλπ.) περιοδικά φαινόμενα-μοντέλα, εμπειρίες μαθητών Ο μαθητής Μελέτη περιοδικών συναρτήσεων Η έννοια της περιοδικότητας Μελέτη περιοδικών φαινομένων Ο μαθητής Κανόνες (συμβάσεις όπως η μελέτη αφηρημένης μορφής αντικειμένων Η μαθηματική κοινότητα (καθηγητές, επιστημονική κοινότητα κλπ.) Οι σχολικές ευθύνες του μαθητή (π.χ. επίλυση ασκήσεων, διαγωνίσματα) Οι σχολικές ευθύνες του μαθητή (π.χ. επίλυση ασκήσεων, διαγωνίσματα) Η κοινότητα (καθηγητές, επιστημονική κοινότητα κλπ.) των φυσικών επιστημών Κανόνες (συμβάσεις όπως η μελέτη αντικειμένων πολύ κοντά στη πραγματικότητα)
Ερωτήματα Πώς θα γίνει η αλληλεπίδραση αυτών των συστημάτων στη μελέτη της περιοδικότητας; Ανάλυση της δραστηριότητας (διδασκαλία) Ανάλυση των εργαλείων (σχολικά εγχειρίδια, αναπαραστάσεις, άτυπες εικόνες/εμπειρίες μαθητών Ανάλυση του ευρύτερου κοινωνικού πλαισίου (κανόνες, χαρακτηριστικά της κοινότητας, σχολική ευθύνη) Ανάπτυξη εργαλείων μελέτης των συνδέσεων και των συγκρούσεων ανάμεσα στα στοιχεία του τριγώνου με συμμετέχοντα το μαθητή, με συμμετέχοντα τον εκπαιδευτικό καθώς και του μετασχηματισμού της δραστηριότητας Οι δύο επόμενες εργασίες θα εστιάσουν στη μελέτη κάποιων από τα παραπάνω ζητήματα.
Ευχαριστώ