ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΟΚΕΡΑΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ

ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ (ΡΑΔΙΟΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ) ΣΧΕΔΙΑΣΗ ΕΠΙΠΕΔΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΟΚΕΡΑΙΩΝ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΕΞΕΛΙΚΤΙΚΩΝ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ του Πατακάκη Κωνσταντίνου ΑΕΜ: 12225 Επιβλέπων: Γούδος Σωτήριος (Λέκτορας) ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΙΟΣ 2014

[2]

Περιεχόμενα Περιεχόμενα... 3 Εισαγωγή... 5 Στοιχειοκεραίες... 7 Ισοτροπική Πηγή Ακτινοβολίας... 7 Παράγοντας Διάταξης... 8 Γραμμική Στοιχειοκεραία... 9 Επίπεδη Στοιχειοκεραία... 13 Εξελικτικοί Αλγόριθμοι... 16 Περιγραφή των Εξελικτικών Αλγόριθμων... 17 Πλεονεκτήματα και Μειονεκτήματα των Εξελικτικών Αλγορίθμων... 20 Γενετικός Αλγόριθμος (Genetic Algorithm - GA)... 21 Εξελικτικές Στρατηγικές (Evolution Strategies - ES)... 22 Βελτιστοποίηση Σμήνους Σωματιδίων (Particle Swarm Optimization - PSO)... 24 Διαφορική Εξέλιξη (Differential Evolution - DE)... 25 Βελτιστοποίηση με Βάση την Βιογεωγραφία (Biogeography Based Optimization - BBO). 27 Περιγραφή Προβλήματος... 31 Προσέγγιση του Προβλήματος... 31 1 η Προσέγγιση του Προβλήματος... 32 2 η Προσέγγιση του Προβλήματος... 33 Αντικειμενική Συνάρτηση του Προβλήματος... 34 Αποτελέσματα και Συμπεράσματα... 37 Εκτέλεση των Πειραμάτων... 37 Γενετικός Αλγόριθμος (Genetic Algorithm - GA)... 38 Εξελικτικές Στρατηγικές (Evolution Strategies - ES)... 41 Βελτιστοποίηση Σμήνους Σωματιδίων (Particle Swarm Optimization - PSO)... 44 Διαφορική Εξέλιξη (Differential Evolution - DE)... 46 Βελτιστοποίηση με Βάση την Βιογεωγραφία (Biogeography Based Optimization - BBO). 49 Συμπεράσματα... 51 Βιβλιογραφία... 57 [3]

[4]

Εισαγωγή Το 1873 ο James Clerk Maxwell δημοσιεύει το έργο του στο οποίο ενοποιεί την ηλεκτρική και την μαγνητική δύναμη και περιγράφει πλήρως την νέα ενοποιημένη δύναμη με ένα σύνολο εξισώσεων γνωστές και ως εξισώσεις του Maxwell. Από τότε χρειάστηκαν μόνο 13 χρόνια μέχρι τη στιγμή που ο Heinrich Rudolph Hertz να παρουσιάσει το πρώτο ασύρματο ηλεκτρομαγνητικό σύστημα, το 1886. Έπειτα, το 1901 ο Guglielmo Marconi καταφέρνει να στείλει ηλεκτρομαγνητικά σήματα σε μεγάλες αποστάσεις, στέλνοντάς τα κατά μήκος του Ατλαντικού ωκεανού. Μέχρι το 1940 η τεχνολογία των ασύρματων συστημάτων βασιζόταν σε κεραίες οι οποίες ήταν κατασκευασμένες από αγώγιμο σύρμα και οι οποίες δούλευαν στο συχνοτικό εύρος των UHF. Κατά την διάρκεια του δεύτερου Παγκοσμίου Πολέμου, προτάθηκαν νέες τεχνολογίες καθώς επίσης και νέα στοιχεία, όπως χοάνες και ανακλαστήρες, για την κατασκευή ασύρματων συστημάτων. Οι νέες αυτές τεχνολογίες σε συνδυασμό με την εξέλιξη των υπολογιστικών συστημάτων οδήγησαν στην ραγδαία εξέλιξη των συστημάτων κεραιών, αφού πλέον ήταν δυνατή η χρήση αριθμητικών μεθόδων για την ανάλυση τέτοιων πολύπλοκων συστημάτων. Αν και στην αρχή η σχεδίαση των κεραιών θεωρούνταν δευτερευούσης σημασίας σε ένα σύστημα, σήμερα αποτελεί το πλέον κρίσιμο σημείο για την σωστή λειτουργία εντός των αυστηρών προδιαγραφών που απαιτούνται. Τα συστήματα έξυπνων κεραιών καθώς επίσης και τα δορυφορικά συστήματα αποτελούν ένα μικρό δείγμα των νέων αυτών τεχνολογιών, τα οποία δεν θα μπορούσαν να υλοποιηθούν χωρίς την προσεκτική σχεδίαση και την χρήση εξελιγμένων τεχνικών ανάλυσης. Η ανάγκη για νέα συστήματα τα οποία να μπορούν να στείλουν σήματα σε όλο και μεγαλύτερες αποστάσεις σπαταλώντας όσο το δυνατόν λιγότερη ισχύ λαμβάνοντας ακόμη υπόψη τον περιορισμό ότι θα πρέπει να είναι αναίσθητα σε παρεμβολές, μας οδήγησε στην κατασκευή συστημάτων κεραιών με όσο τον δυνατόν πιο κατευθυντική ακτινοβολία. Η κατασκευή ενός τέτοιου συστήματος κεραιών είναι μία πολύπλοκη και απαιτητική εργασία, η οποία λόγω της πολυπλοκότητάς της δεν επιδέχεται αναλυτική λύση. Μέχρι σήμερα έχουν προταθεί πολλές τεχνικές για την κατασκευή ενός κατευθυντικού συστήματος κεραιών. Στα πλαίσια της παρούσας διπλωματικής εργασίας γίνεται προσπάθεια κατασκευής ενός συστήματος κεραιών με κατευθυντικές ιδιότητες χρησιμοποιώντας Εξελικτικούς Αλγόριθμους για την αναζήτηση της βέλτιστης υλοποίησης. [5]

Αρχικά θα εξηγήσουμε τι είναι ένα σύστημα στοιχειοκεραιών και τι υποδηλώνει ο παράγοντας διάταξης σε αυτό. Θα περιγράψουμε την γραμμική στοιχειοκεραία μαζί με την επίπεδη, πάνω στην οποία βασίζεται η παρούσα εργασία. Εν συνεχεία, θα παρουσιαστούν οι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι ως μία κάπως αφηρημένη κατηγορία αλγορίθμων αναζήτησης και θα περιγραφεί αναλυτικά η λειτουργία πέντε από αυτούς. Συνεχίζοντας, θα παρουσιάσουμε το πρόβλημα του ύψους των δευτερευόντων λοβών, ενός προβλήματος που καλούμαστε να ελαχιστοποιήσουμε κατά την δημιουργία ενός συστήματος στοιχειοκεραίας. Θα αναφέρουμε τον λόγο για τον οποίο είναι ανεπιθύμητοι οι δευτερεύοντες λοβοί, καθώς επίσης και οι αιτίες που τον προκαλούν. Το πρόβλημα του ύψους των δευτερευόντων λοβών θα περιγραφεί επίσης και σε μορφή η οποία είναι κατάλληλη για να χρησιμοποιηθεί από τους Εξελικτικούς Αλγόριθμους. Τέλος θα παρουσιαστούν και θα συγκριθούν τα αποτελέσματα τα οποία λάβαμε από μία σειρά εκτελέσεων των αλγορίθμων. Βασικός σκοπός της εργασίας είναι να γίνει μία σύγκριση μεταξύ των αλγόριθμων στο συγκεκριμένο πρόβλημα. Εκτός από τα αποτελέσματα θα σχολιαστεί και η συμπεριφορά του αλγορίθμου, δηλαδή η ικανότητά να συγκλίνει στην βέλτιστη λύση. [6]

Στοιχειοκεραίες Με την ανάπτυξη της τεχνολογίας, τα σύγχρονα συστήματα ασύρματης αποστολής και λήψης δεδομένων απαιτούν κεραίες με όλο και πιο κατευθυντικά χαρακτηριστικά. Συνήθως το διάγραμμα ακτινοβολίας ενός στοιχείου, λόγω της μικρής του κατευθυντικότητας, είναι ακατάλληλο για τέτοιου είδος εφαρμογές. Ένας τρόπος να αυξήσουμε την κατευθυντικότητα μιας κεραίας είναι να αυξήσουμε το ηλεκτρικό της μήκος. Η αύξηση του ηλεκτρικού μήκους μιας κεραίας ενός στοιχείου επιτυγχάνεται με την αύξηση του φυσικού μήκους του στοιχείου. Ένας άλλος τρόπος να αυξήσουμε το ηλεκτρικό μήκος είναι να κατασκευάσουμε ένα σύστημα κεραιών το οποίο θα αποτελείται από δύο ή περισσότερα στοιχεία. Αυτό το σύστημα κεραιών ονομάζεται στοιχειοκεραία. Ο λόγος που μία στοιχειοκεραία είναι προτιμότερη σε σχέση με μία κεραία ενός στοιχείου με μεγάλο φυσικό μήκος είναι ότι η στοιχειοκεραία παρουσιάζει μηχανική ανοχή, τροφοδοτείται πιο εύκολα και έχει μικρότερο κόστος λειτουργίας και εγκατάστασης. Εκτός του κατευθυντικού διαγράμματος ακτινοβολίας, με μία στοιχειοκεραία μπορούμε να στρίψουμε τον κύριο λοβό ακτινοβολίας αλλάζοντας μόνο τις φάσεις τροφοδοσίας μεταξύ των στοιχείων της. Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε δύο βασικούς τύπους στοιχειοκεραίας την γραμμική στοιχειοκεραία και την επίπεδη στοιχειοκεραία. Πριν από αυτό όμως κρίνεται απαραίτητο να αναφέρουμε δύο βασικές έννοιες οι οποίες θα μας βοηθήσουν στην μελέτη. Αυτές είναι η ισοτροπική πηγή ακτινοβολίας και ο παράγοντας διάταξης. Ισοτροπική Πηγή Ακτινοβολίας Η ισοτροπική πηγή ακτινοβολίας είναι μία ιδανική πηγή με μηδενικές διαστάσεις η οποία εκπέμπει την ίδια ένταση ακτινοβολίας προς όλες τις κατευθύνσεις. Το διάγραμμα ακτινοβολίας του είναι σφαιρικό με κέντρο την ίδια την πηγή, όπως φαίνεται και στην εικόνα 2.1. Η ισοτροπική πηγή αποτελεί σημείο αναφοράς για την μέτρηση της κατευθυντικότητας των κεραιών, αφού αυτή συνήθως εκφράζεται σε (decibel με αναφορά στην ισοτροπική πηγή). Το διάγραμμα ακτινοβολίας μιας ισοτροπικής πηγής η οποία βρίσκεται στην αρχή του συστήματος συντεταγμένων περιγράφεται από την εξίσωση: ( ) ( ) [7]

όπου r είναι η απόσταση από την πηγή και είναι ο κυματάριθμος ( με το μήκος κύματος της ακτινοβολίας). Όπως μπορούμε να παρατηρήσουμε το πλάτος της ακτινοβολίας είναι ανεξάρτητο από τις γωνίες φ και θ, οι οποίες συνεισφέρουν μόνο στον προσδιορισμό της κατεύθυνσης μέσω του διανύσματος το οποίο είναι συνάρτηση αυτών. Εικόνα 2.1: Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας ισοτροπικής πηγής η οποία βρίσκεται στην αρχή των αξόνων α) δύο διαστάσεις β) τρεις διαστάσεις. Παράγοντας Διάταξης Μία κλασσική στοιχειοκεραία αποτελείται από τον πομπό ή/και τον δέκτη, από το δίκτυο τροφοδοσίας των στοιχείων (beam forming network) και το σύνολο των στοιχείων τα οποία έχουν κάποια καθορισμένη διάταξη στον χώρο. Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας τέτοιας στοιχειοκεραίας προκύπτει από το άθροισμα των διαγραμμάτων ακτινοβολίας των επιμέρους στοιχείων. Οι παράγοντες από τους οποίους εξαρτάται αυτό είναι: η θέση των στοιχείων στο χώρο, η σχετική απόσταση μεταξύ των στοιχείων, το πλάτος διέγερσης του κάθε στοιχείου, η φάση διέγερσης και το είδος του εκάστοτε στοιχείου που χρησιμοποιούμε [8]

Σημαντική παράμετρο στην ακτινοβολία της στοιχειοκεραίας αποτελεί ο παράγοντας διάταξης, ο οποίος περιγράφει το διάγραμμα ακτινοβολίας, αν στην θέση των στοιχείων τοποθετήσουμε ισοτροπικές πηγές. Αυτό που επιτυγχάνουμε με τον παράγοντα διάταξης είναι να περιγράψουμε το διάγραμμα ακτινοβολίας εξαρτώμενο μόνο από την γεωμετρική διάταξη της κεραίας, το πλάτος και την φάση διέγερσης του εκάστοτε στοιχείου. Έτσι, πλέον το διάγραμμα ακτινοβολίας της στοιχειοκεραίας είναι ανεξάρτητο από τον τρόπο με τον οποίο ακτινοβολεί το κάθε στοιχείο. Αντικαθιστώντας τις ισοτροπικές πηγές με πραγματικά στοιχεία το διάγραμμα ακτινοβολίας της στοιχειοκεραίας προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό του παράγοντα διάταξης με την συνάρτηση η οποία περιγράφει την ακτινοβολία του στοιχείου: Εφόσον έχουμε υπολογίσει τον παράγοντα διάταξης, μπορούμε πολύ εύκολα να προσδιορίσουμε την εκπεμπόμενη ακτινοβολία αντικαθιστώντας στην παραπάνω εξίσωση την συνάρτηση ακτινοβολίας του στοιχείου που επιλέξαμε. Αξίζει να σημειωθεί ότι η παραπάνω εξίσωση ισχύει μόνο αν η στοιχειοκεραία αποτελείται από όμοια στοιχεία. Σε αντίθετη περίπτωση, το διάγραμμα ακτινοβολίας υπολογίζεται από το άθροισμα των ακτινοβολιών των επιμέρους στοιχείων. Γραμμική Στοιχειοκεραία Το πιο απλό παράδειγμα στοιχειοκεραίας αποτελεί η γραμμική στοιχειοκεραία, η οποία αποτελείται από στοιχεία τα οποία είναι τοποθετημένα πάνω σε ευθεία γραμμή. Αν η απόσταση μεταξύ των στοιχείων είναι ίδια τότε η στοιχειοκεραία ονομάζεται γραμμική ομοιόμορφη στοιχειοκεραία, ενώ σε αντίθετη περίπτωση ονομάζεται γραμμική ανομοιόμορφη στοιχειοκεραία. Ο παράγοντας διάταξης μίας γραμμικής ομοιόμορφης στοιχειοκεραίας της οποίας τα στοιχεία βρίσκονται κατά μήκος του άξονα, περιγράφεται από την εξίσωση: ( ) ( ) όπου και είναι το πλάτος και η φάση του ρεύματος διέγερσης του στοιχείου, είναι ο κυματάριθμος ο οποίος είναι ίσος με (με το μήκος [9]

κύματος ακτινοβολίας), τη σχετική απόσταση μεταξύ των στοιχείων και τη μεταβλητή σε σφαιρικές συντεταγμένες. Όπως μπορούμε να δούμε ο παράγοντας διάταξης δεν εξαρτάται από την γωνία αλλά μόνο από την γωνία. Αυτό σημαίνει ότι ένα διάγραμμα δύο διαστάσεων με άξονες τα και είναι αρκετό για να το αναπαραστήσει. Το τρισδιάστατο διάγραμμα προκύπτει από την εκ περιστροφής τοποθέτηση του δισδιάστατου διαγράμματος όπως φαίνεται στην εικόνα 2.2. Εικόνα 2.2: Το διάγραμμα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας με 2 στοιχεία σε απόσταση μισό μήκους κύματος με ίσα πλάτη ρεύματος τροφοδοσίας α) δύο διαστάσεις β) τρεις διαστάσεις. Ο παράγοντας διάταξης συνήθως εκφράζεται σε απόλυτες τιμές κανονικοποιημένες στην μέγιστη τιμή, όπως φαίνεται και στην εικόνα παραπάνω. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Εν συνεχεία, η σχεδίαση του γίνεται σε διάγραμμα με ημιλογαριθμικούς άξονες, δηλαδή διάγραμμα του οποίου οι τιμές του πλάτους της ακτινοβολίας είναι σε λογαριθμική κλίμακα. Στην γωνία στην οποία η ακτινοβολία έχει την μέγιστη τιμή της λέμε ότι βρίσκεται ο κύριος λοβός ακτινοβολίας. Μία γραμμική στοιχειοκεραία η οποία αποτελείτε από δύο στοιχεία παρουσιάζει έναν μόνο κύριο λοβό ακτινοβολίας, όταν η απόσταση μεταξύ των στοιχείων είναι μικρότερη ή ίση από το μήκος κύματος της ακτινοβολίας ( ). Όσο η απόσταση μεταξύ των στοιχείων μεγαλώνει ο κύριος λοβός γίνεται πιο στενός, δηλαδή η ακτινοβολία γίνεται πιο κατευθυντική. Όταν η απόσταση των στοιχείων ξεπεράσει το ένα μήκος κύματος, τότε εμφανίζονται επιπλέον λοβοί. [10]

Αυτό μπορούμε να το δούμε και στην εικόνα 2.3. Σε αυτή την εικόνα παρουσιάζονται τα διαγράμματα ακτινοβολίας μίας στοιχειοκεραίας με δύο στοιχεία, τα οποία τροφοδοτούνται με ρεύμα ίσου πλάτους και το μόνο που αλλάζει είναι η απόσταση μεταξύ των στοιχείων της. Στην εικόνα 2.3-α παρουσιάζεται το διάγραμμα ακτινοβολίας όταν η απόσταση μεταξύ των στοιχείων είναι, με μήκος κύματος της ακτινοβολίας. Όπως βλέπουμε δεν έχει σχηματιστή ακόμα ο λοβός αφού δεν υπάρχουν μηδενισμοί στην ακτινοβολία. Όσο η απόσταση μεταξύ των στοιχείων μεγαλώνει τόσο περισσότερο μικραίνει το πλάτος της ακτινοβολίας στις και στις, μέχρι η απόσταση των στοιχείων να γίνει όπου έχουμε τους πρώτους μηδενισμούς (εικόνα 2.3-β). Αυξάνοντας και άλλο την απόσταση των στοιχείων ο κύριος λοβός της ακτινοβολίας γίνεται πιο κατευθυντικός αλλά δύο επιπλέον λοβοί εμφανίζονται στις και στις (εικόνα 2.3-γ) των οποίων το πλάτος αυξάνεται μέχρι την στιγμή που η απόσταση των στοιχείων να γίνει ίση με οπότε και το ύψος τους θα είναι ίσο με αυτό του κύριου λοβού. Περαιτέρω αύξηση της απόστασης θα έχει ως αποτέλεσμα να εμφανιστούν και επιπλέον λοβοί και οι ήδη υπάρχοντες λοβοί να γίνονται όλο και πιο κατευθυντικοί. Ένας άλλος τρόπος να κάνουμε τον κύριο λοβό της ακτινοβολίας πιο κατευθυντικό είναι να προσθέσουμε επιπλέον στοιχεία στην κεραία χωρίς να αλλάξουμε την σχετική απόσταση μεταξύ τους. Όσο περισσότερα στοιχεία προσθέτουμε τόσο πιο κατευθυντική γίνεται η ακτινοβολία. Το αντίτιμο όμως αυτής της ενέργειας είναι η εμφάνιση δευτερευόντων λοβών στο διάγραμμα ακτινοβολίας οι οποίοι έχουν πλάτος μικρότερο από αυτό του κύριου. Το πρόβλημα των επιπλέον ανεπιθύμητων λοβών είναι αρκετά σημαντικό αφού σπαταλούν ισχύ και σε μερικές περιπτώσεις, όπως τις κινητές επικοινωνίες, προκαλούν παρεμβολές μεταξύ των χρηστών. Μία μονάδα μέτρησης της ποιότητας της ακτινοβολίας είναι το ύψος των δευτερευόντων λοβών (Side Lobe Level - SLL), που αναφέρει το πόσο μικρότερος είναι ο μεγαλύτερος δευτερεύοντας λοβός σε σχέση με τον κύριο λοβό: το ( ) Στην εικόνα 2.4 παρουσιάζεται η επίδραση που έχει η αύξηση των στοιχείων της στοιχειοκεραίας στο διάγραμμα ακτινοβολίας. Όπως βλέπουμε αυξάνοντας τα στοιχεία ο κύριος λοβός γίνεται πιο κατευθυντικός και όλο και περισσότεροι δευτερεύοντες λοβοί εμφανίζονται στο διάγραμμα. Επίσης, μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι το ύψος των δευτερευόντων λοβών μειώνεται όσο αυξάνεται ο αριθμός τον στοιχείων. [11]

Εικόνα 2.3: Διάγραμμα ακτινοβολίας στοιχειοκεραίας με δύο στοιχεία, ίσα πλάτη ρεύματος τροφοδοσίας και σχετική απόσταση α) β) γ) δ) ε) και στ). [12]

Εικόνα 2.4: Διάγραμμα ακτινοβολίας στοιχειοκεραίας με απόσταση στοιχείων, ίσα πλάτη ρεύματος τροφοδοσίας και αριθμό στοιχείων α) β) γ) και. Επίπεδη Στοιχειοκεραία Ένα άλλο είδος στοιχειοκεραίας είναι η επίπεδη στοιχειοκεραία, της οποίας τα στοιχεία είναι διατεταγμένα πάνω σε ένα επίπεδο. Μία τέτοια στοιχειοκεραία η οποία βρίσκεται επάνω στο x-y επίπεδο ονομάζεται ομοιόμορφη όταν η σχετική απόσταση μεταξύ των στοιχείων στον άξονα x ( ) είναι ίση αλλά και η σχετική απόσταση μεταξύ των στοιχείων στον άξονα y ( ) είναι ίση, με τα και να είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Ένας άλλος τρόπος να περιγράψουμε την επίπεδη στοιχειοκεραία είναι θεωρώντας την ως μία γραμμική στοιχειοκεραία κατά μήκος [13]

του άξονα y της οποίας τα στοιχεία είναι γραμμικές στοιχειοκεραίες κατά μήκος του άξονα x. Δίνοντας τον παραπάνω ορισμό μπορούμε εύκολα να οδηγηθούμε στην παράσταση που περιγράφει τον παράγοντα διάταξης της επίπεδης ομοιόμορφης στοιχειοκεραίας η οποία βρίσκεται επάνω στο x-y επίπεδο, η οποία είναι: όπου είναι ο παράγοντας διάταξης μίας ομοιόμορφης γραμμικής στοιχειοκεραίας επάνω στον άξονα x και είναι ο παράγοντας διάταξης μίας ομοιόμορφης γραμμικής στοιχειοκεραίας επάνω στον άξονα y. Πιο αναλυτικά, ο παράγοντας διάταξης μίας ομοιόμορφης επίπεδης στοιχειοκεραίας η οποία έχει N στοιχεία κατά μήκος του άξονα x και M στοιχεία κατά μήκος του άξονα y είναι: ( ) ( ) Εκφράζοντας την παραπάνω εξίσωση συναρτήσει των μεταβλητών και, όπου: η εξίσωση του παράγοντα διάταξης μιας ομοιόμορφης επίπεδης στοιχειοκεραίας μετατρέπεται σε: ( ) ( ) Όπως βλέπουμε ο παράγοντας διάταξης της επίπεδης στοιχειοκεραίας εξαρτάται και από τη μεταβλητή και από την μεταβλητή (εναλλακτικά και ). Μία πλήρη απεικόνιση αυτού απαιτεί την κατασκευή ενός τρισδιάστατου διαγράμματος, σε αντίθεση με τον παράγοντα διάταξης γραμμικής στοιχειοκεραίας όπου το δισδιάστατο διάγραμμα είναι αρκετό. Προσπαθώντας να οπτικοποιήσουμε το διάγραμμα ακτινοβολίας το οποίο προκύπτει από μία επίπεδη στοιχειοκεραία, στην εικόνα 2.5 παρουσιάζονται τα διαγράμματα ακτινοβολίας μερικών τέτοιων στοιχειοκεραιών σε καρτεσιανές και σε σφαιρικές συντεταγμένες. Όπως φαίνεται πάλι σχηματίζεται ένας κύριος λοβός μόνο και σε κάποιες περιπτώσεις μερικοί δευτερεύοντες. Αυτό οφείλεται στο ότι και στον άξονα των x και στον άξονα των y η σχετική απόσταση μεταξύ των στοιχείων είναι ίση με μισό μήκος κύματος. Λόγω του [14]

ότι πλέον έχουμε περισσότερα από ένα στοιχεία και στον x άξονα και στον y άξονα εμφανίζονται μηδενισμοί και στους δύο, ενώ όταν τα στοιχεία σε κάποιον από αυτούς είναι περισσότερα από δύο εμφανίζονται και δευτερεύοντες λοβοί. Εικόνα 2.5: Διαγράμματα ακτινοβολίας επίπεδης στοιχειοκεραίας σε καρτεσιανές και σφαιρικές συντεταγμένες με ίσα πλάτη ρεύματος τροφοδοσίας,, για α) στοιχειοκεραία β) στοιχειοκεραία και γ) στοιχειοκεραία. [15]

Εξελικτικοί Αλγόριθμοι Η ανάγκη βελτιστοποίησης δύσκολων προβλημάτων, τα οποία δεν επιδέχονται αναλυτική λύση, έχει οδηγήσει στην ανάπτυξη διάφορων μεθόδων οι οποίες μέσω της αναζήτησης στο πεδίο ορισμού του προβλήματος ψάχνουν για την βέλτιστη λύση. Τέτοιου είδους προβλήματα συνήθως αποτελούνται από πολλές μεταβλητές οι οποίες πιθανόν να αλληλοεξαρτώνται μεταξύ τους. Από αυτό προκύπτει ότι το πεδίο ορισμού ενός τέτοιου προβλήματος είναι ένας τεράστιος πολυδιάστατος χώρος ο οποίος κάνει αδύνατη την εξαντλητική αναζήτηση της βέλτιστης λύσης. Οι βασικές μέθοδοι βελτιστοποίησης κάνουν χρήση των μαθηματικών παραγώγων (calculus-base methods) για την εύρεση των ακρότατων. Αυτές οι μέθοδοι ονομάζονται έμμεσες, σε αντίθεση με τις άμεσες οι οποίες ψάχνουν τα ακρότατα μιας συνάρτησης εκτελώντας μικρά βήματα ή αλλιώς άλματα (hill climbing). Και οι δύο αυτές τεχνικές έχουν το βασικό μειονέκτημα ότι μπορεί να οδηγήσουν σε τοπικό και όχι στο ολικό ελάχιστο ή μέγιστο της συνάρτησης. Μία άλλη κατηγορία μεθόδων βελτιστοποίησης αποτελούν οι απαριθμητικές ή αλλιώς τυχαίες μέθοδοι, οι οποίες με τυχαίο τρόπο αναζητούν στο πεδίο ορισμού την βέλτιστη τιμή. Αν και πολύ απλή αυτή η μέθοδος λύνει το πρόβλημα της παγίδευσης σε τοπικό ακρότατο. Παρ όλα αυτά, είναι μία μέθοδος με μικρή απόδοση, αφού οι λύσεις που βρίσκει μετά από ένα συγκεκριμένο αριθμό δοκιμών απέχουν πολύ από την καλύτερη. Γι αυτό το λόγο δεν χρησιμοποιούνται ποτέ μόνες στην αναζήτηση, αλλά πάντα σε συνδυασμό με μία μέθοδο αναζήτησης με άλματα. Αυτή η νέα υβριδική μέθοδος έχει ως αποτέλεσμα να βρίσκει τα ακρότατα και ταυτόχρονα να αντιστέκεται στην παγίδευση. Αποτελεί μία καλή εναλλακτική αλλά και πάλι έχει χαμηλή απόδοση σε περίπτωση που η συνάρτηση περιέχει πολλά ακρότατα. Οι κλασσικές μέθοδοι βελτιστοποίησης που περιγράφηκαν παραπάνω αν και χρήσιμες σε μερικές περιπτώσεις, δεν είναι ικανές να ανταπεξέλθουν σε ένα μεγάλο αριθμό προβλημάτων. Τα ολοένα και δυσκολότερα προβλήματα έχουν οδηγήσει στην ανάπτυξη μίας νέας κατηγορίας αλγορίθμων, τους εξελικτικούς αλγόριθμους. Αυτή η νέα κατηγορία είναι το αποτέλεσμα της προσπάθειας να μοντελοποιήσουμε τους τρόπους με τους οποίος γίνεται η βελτιστοποίηση στην φύση. Το πιο κλασσικό παράδειγμα προέρχεται από την θεωρία εξέλιξης του Δαρβίνου, η οποία οδήγησε στην κατασκευή των πιο κλασσικών εξελικτικών αλγόριθμων, του Γενετικού Αλγόριθμου (Genetic Algorithm) και των Εξελικτικών Στρατηγικών (Evolution Strategies). Σε αυτό το κεφάλαιο θα γίνει η αναλυτική περιγραφή των εξελικτικών [16]

αλγορίθμων σαν μια γενική κατηγορία, ενώ στην συνέχεια θα εξετάσουμε σε βάθος πέντε από αυτούς, τους οποίους και θα χρησιμοποιήσουμε. Περιγραφή των Εξελικτικών Αλγόριθμων Στις αρχές του 1950 έγινε η εμφάνιση του πρώτου Γενετικού Αλγόριθμου, ο οποίος προήλθε από την προσπάθεια των βιολόγων επιστημών να προσομοιώσουν πολύπλοκα βιολογικά συστήματα με την χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή. Οι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι έγιναν μία ξεχωριστή κατηγορία μεθόδων Ολικής Βελτιστοποίησης (Global Optimization) μετά το 1970, με την σύμπραξη πολλών και κυρίως του John Holland και των συνεργατών του από το πανεπιστήμιο του Michigan. Ως μέθοδοι Ολικής Βελτιστοποίησης, χαρακτηρίζονται οι μέθοδοι οι οποίες επιστρέφουν μία λύση από το πεδίο ορισμού ( ) για μια συνάρτηση τέτοια ώστε για κάθε άλλη λύση με, η ( ) ( ). Κατ αναλογία, το πρόβλημα μεγιστοποίησης μίας συνάρτησης μπορεί να αναχθεί στο πρόβλημα ελαχιστοποίησης της συνάρτησης. Η βασική ιδέα πίσω από τους εξελικτικούς αλγορίθμους είναι η εξής: δοθέντος ενός πληθυσμού ατόμων, οι περιβαλλοντολογικές συνθήκες ενεργούν πάνω σε αυτόν και οδηγούν στην φυσική επιλογή των καταλληλότερων ατόμων. Αυτό έχει ως αποτέλεσμα με το πέρασμα των γενεών να καταλήξουμε σε πληθυσμούς με όλο και καταλληλότερα άτομα. Σε έναν Εξελικτικό Αλγόριθμο ως άτομο θεωρείται μία πιθανή λύση του προβλήματος βελτιστοποίησης. Παραδείγματος χάριν, σε ένα πρόβλημα δύο μεταβλητών, κάθε ζευγάρι τιμών από το πεδίο ορισμού μπορεί εν δυνάμει να αποτελέσει ένα άτομο. Κατ επέκταση, ο πληθυσμός αποτελείται από ένα σύνολο τέτοιων λύσεων. Ο αριθμός των ατόμων του πληθυσμού είναι αυθαίρετος και ποικίλει από πρόβλημα σε πρόβλημα και από αλγόριθμο σε αλγόριθμο. Η επιλογή στην φύση γίνεται με βάση την καταλληλότητα του ατόμου. Σε ένα περιβάλλον με γρήγορους κυνηγούς ένα αργό θήραμα δεν θα καταφέρει να επιβιώσει και κατ επέκταση να αφήσει απογόνους έτσι ώστε να διαιωνίσει τα γονίδιά του. Σε αυτό το περιβάλλον η καταλληλότητα του ατόμου καθορίζεται από την ταχύτητά του. Σε επίπεδο προγράμματος ηλεκτρονικού υπολογιστή, η καταλληλότητα των ατόμων καθορίζεται με βάση την αποτίμηση τους από την συνάρτησης καταλληλότητας (fitness function). Η συνάρτηση καταλληλότητας ή αλλιώς αντικειμενική συνάρτηση (cost function) είναι η συνάρτηση προς βελτιστοποίηση. Συνεπώς, τα άτομα του πληθυσμού είναι έτσι δομημένα ώστε να μπορούν να εκτιμηθούν από την αντικειμενική συνάρτηση, δηλαδή να συμφωνούν στον αριθμό των μεταβλητών και η τιμή καθεμίας από αυτές να βρίσκεται εντός του [17]

πεδίου ορισμού. Σε κάθε επανάληψη του αλγορίθμου, ή αλλιώς σε κάθε επόμενη γενιά (generation), μόνο ένα σύνολο των ατόμων επιβιώνει. Αυτή η επιλογή γίνεται τυχαία αλλά με βάση την καταλληλότητα του ατόμου, δηλαδή καταλληλότερα άτομα είναι πιο πιθανό να επιβιώσουν στην επόμενη γενιά. Έτσι, δίνεται η δυνατότητα στα λιγότερο κατάλληλα άτομα να επιβιώσουν με μικρότερη πιθανότητα σε σχέση με τα πιο κατάλληλα. Όπως προείπαμε, κάθε άτομο του πληθυσμού περιέχει τιμές για κάθε μεταβλητή της αντικειμενικής συνάρτησης. Καθεμία από αυτές τις μεταβλητές ονομάζονται γονίδια (genes) και το σύνολο των τιμών που μπορούν να πάρουν ονομάζονται αλληλόμορφα (allele). Συνήθως, όταν η μορφή των τιμών των μεταβλητών είναι κατάλληλη για την αντικειμενική συνάρτηση είναι ακατάλληλη για τις ενέργειες που εκτελεί ο Εξελικτικός Αλγόριθμος και το αντίστροφο. Γι αυτό υπάρχει κάποιο είδος κωδικοποίησης και αποκωδικοποίησης στην ροή του αλγόριθμου. Σε αντιστοιχία με το βιολογικό ανάλογο, η μορφή των μεταβλητών με την οποία τις επεξεργάζεται ο αλγόριθμος λέγεται γονότυπος (genotype), ενώ η μορφή με την οποία γίνεται η εκτίμηση από την αντικειμενική συνάρτηση λέγεται φαινότυπος (phenotype). Κατά βάση, οι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι υλοποιούν δύο βασικούς τελεστές, τον τελεστή της διασταύρωσης και τον τελεστή της μετάλλαξης, χωρίς βέβαια να αποκλείεται το γεγονός μερικοί από αυτούς να μην υλοποιούν έναν από τους δύο. Οι δύο αυτοί τελεστές είναι αυτοί που δημιουργούν καινούρια άτομα και που ωθούν προς τα επάνω την μέση καταλληλότητα του πληθυσμού. Μετά την επιλογή των ατόμων της επόμενης γενιάς, γίνεται μία νέα επιλογή, με βάση κάποια πιθανότητα, μεταξύ αυτών για τα άτομα τα οποία θα διασταυρωθούν. Η διασταύρωση είναι συνήθως ένας δυαδικός τελεστής ο οποίος συνδυάζει δύο λύσεις έτσι ώστε να προκύψουν δύο νέες. Το σημείο διασταύρωσης των λύσεων επιλέγεται και αυτό τυχαία. Για να γίνει κατανοητός ο τελεστής της διασταύρωσης, αξίζει να αναφέρουμε ένα παράδειγμα. Έστω ότι τα άτομα του πληθυσμού έχουν 5 γονίδια και ότι τα δύο άτομα προς διασταύρωση έχουν γονότυπο ( ) και ( ). Τα δύο νέα άτομα που θα προκύψουν από την διασταύρωση στο σημείο 3 θα είναι τα και. Αυτή η εξάρτηση των ατόμων της επόμενης γενιάς από τα άτομα της προηγούμενης είναι που κάνει τους Εξελικτικούς Αλγορίθμους πολύ πιο αποδοτικούς σε σχέση με τους Τυχαίους Αλγορίθμους. Ο τελευταίος τελεστής είναι ο τελεστής της μετάλλαξης και αποτελεί έναν μοναδιαίο τελεστή. Πάλι με βάση κάποια πιθανότητα, πολύ μικρή αυτή τη φορά για να συγκλίνει ο αλγόριθμος, ο γονότυπος ενός γονιδίου, ενός ατόμου, μπορεί να αλλάξει και να πάρει οποιαδήποτε άλλη τιμή εντός του πεδίου ορισμού. Με αυτή [18]

την ενέργεια αποτρέπεται η πιθανότητα παγίδευσης του αλγόριθμου, δηλαδή να έχουμε σύγκλιση σε κάποιο άλλο ακρότατο πέραν του ολικού μεγίστου ή ελαχίστου. Οι εξελικτικοί Αλγόριθμοι εκτελούν τυχαία αναζήτηση στο πεδίο ορισμού χρησιμοποιώντας την γνώση η οποία αποκτήθηκε από τις προηγούμενες γενιές. Έτσι, η τιμή που επιστρέφουν δεν είναι ακριβώς η βέλτιστη αλλά μία καλή προσέγγιση αυτής. Ένα ακόμα σημείο που αξίζει να θίξουμε είναι η συνθήκη τερματισμού. Υπάρχει μια μεγάλη ποικιλία για αυτή με συνηθέστερη τον μέγιστο αριθμό γενεών, βελτιστοποίηση μικρότερη από μία θετική μικρή τιμή, συνδυασμός των δύο προηγούμενων και άλλες. Η διαδοχή μεταξύ των λειτουργιών των Εξελικτικών Αλγόριθμων είναι πανομοιότυπη και μπορεί να περιγραφή στο διάγραμμα ροής της εικόνας 3.1. Το πρώτο βήμα είναι η επιλογή του μεγέθους του πληθυσμού και ο μέγιστος αριθμός των γενεών που θα εκτελεστούν. Τον μέγιστο αριθμό γενεών των χρειαζόμαστε πάντα σαν μία δικλίδα ασφαλείας ότι η εκτέλεση του αλγόριθμου κάποτε θα τερματιστεί, διότι υπάρχουν και περιπτώσεις όπου δεν επιτυγχάνεται σύγκλιση. Στο αμέσως επόμενο βήμα γίνεται η αρχικοποίηση του πληθυσμού. Σε αυτό το βήμα τα άτομα παίρνουν τυχαίες τιμές εντός του πεδίου ορισμού και παράλληλα εκτιμώνται με βάση την αντικειμενική συνάρτηση. Αφού εκτελεστεί και το δεύτερο βήμα το πρόγραμμα εισέρχεται σε ένα βρόχο while, όπου σε κάθε επανάληψη ελέγχεται η συνθήκη τερματισμού. Εντός του βρόχου πρώτα επιλέγονται τα άτομα που θα διασταυρωθούν, εκτελείται η διασταύρωση, εκτελείται η μετάλλαξη, γίνεται η εκτίμηση των καινούριων ατόμων και εν τέλει επιλέγονται τα άτομα για την επόμενη γενιά. Πολλές παραλλαγές μπορούν να γίνουν σε σχέση με το παραπάνω βασικό σχήμα. Η πιο συνηθισμένη είναι η διατήρηση ενός ατόμου, στο οποίο αποθηκεύεται η καλύτερη λύση από όλες τις γενεές. Εικόνα 3.1: Βασικά βήματα των Εξελικτικών Αλγορίθμων. [19]

Πλεονεκτήματα και Μειονεκτήματα των Εξελικτικών Αλγορίθμων Το βασικό πλεονέκτημα των Εξελικτικών Αλγορίθμων, το οποίο το θίξαμε παραπάνω αλλά αξίζει να το ξαναφέρουμε, είναι ότι για την εύρεση καλύτερων λύσεων κάνει χρήση της γνώσης που επιτεύχθηκε σε προηγούμενες επαναλήψεις. Έτσι η αναζήτηση στο πεδίο ορισμού δεν είναι εντελώς τυχαία, αλλά εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από τις λύσεις των προηγούμενων γενεών. Αυτή η ιδιότητα είναι που κάνει τις λύσεις αυτής της κατηγορίας των αλγορίθμων πολύ καλύτερες από τις λύσεις ενός αλγόριθμου τυχαίας αναζήτησης. Ένα ακόμα βασικό πλεονέκτημα είναι η ύπαρξη ενός πληθυσμού από άτομα, δηλαδή από πιθανές λύσεις, το οποίο δίνει χαρακτηριστικά παράλληλης επεξεργασίας. Αυτό ήταν κάτι που έλειπε από τις άλλες μεθόδους, οι οποίες εκτελούσαν την βελτιστοποίηση με την χρήση μίας μόνο λύσης. Αυτό το χαρακτηριστικό σε συνδυασμό με τον τελεστή της μετάλλαξης έχει σαν αποτέλεσμα ο αλγόριθμος να μην παγιδεύεται σε τοπικά ακρότατα. Πέραν του γεγονότος ότι οι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι μπορούν να λύσουν γρήγορα και αποδοτικά δύσκολα προβλήματα, έχουν και κάποια άλλα χαρακτηριστικά που τους καθιστούν άκρως ελκυστικούς. Ένα από αυτά είναι η ικανότητα να τροποποιηθούν και να συνεργαστούν με άλλες μεθόδους δημιουργώντας υβριδικές μεθόδους βελτιστοποίησης. Ένα ακόμα είναι ότι δεν απαιτούν περιορισμούς στις συναρτήσεις που βελτιστοποιούν και ότι δεν περιορίζονται από την σημασία της υπό εξέτασης πληροφορίας, γεγονός το οποίο τους κάνει εύρωστους και εφαρμόσιμους σε πολλούς τομείς όπως στην παραγωγή και στον σχεδιασμό διαδικασιών, στον σχεδιασμό αυτοκινήτων αλλά και αεροπλάνων κλπ. Ενώ τέλος, λόγο της παράλληλης φύσης τους μπορούν να δεχτούν παράλληλες υλοποιήσεις εκμεταλλευόμενοι πλήρως τις παράλληλες μηχανές. Το βασικό μειονέκτημα των Εξελικτικών Αλγορίθμων είναι ότι δεν είναι πλήρως κατανοητός ο τρόπος με τον οποίο λειτουργούν και ο τρόπος με τον οποίο συγκλίνουν στην καλύτερη λύση. Αυτό κάνει αδύνατο τον προσδιορισμό των προβλημάτων για τα οποία αυτοί συμπεριφέρονται καλά και τα προβλήματα για τα οποία δεν επιτυγχάνουν να συγκλίνουν. Ένα ακόμα μειονέκτημα είναι ότι δεν υπάρχει κλιμάκωση με βάση την πολυπλοκότητα του προβλήματος. Συνεπώς, μία μικρή αύξηση στην πολυπλοκότητα οδηγεί σε εκθετική αύξηση του πεδίου ορισμού του προβλήματος. [20]

Γενετικός Αλγόριθμος (Genetic Algorithm - GA) Ο Γενετικός Αλγόριθμος (Genetic Algorithm - GA) είναι από τους πρώτους Εξελικτικούς Αλγόριθμους και από τους πιο γνωστούς. Αναπτύχθηκε από τον Nils Aall Baricelli, το 1954, στην προσπάθεια του να προσομοιώσει με την χρήση ηλεκτρονικού υπολογιστή την διαδικασία της φυσικής επιλογής και της εξέλιξης των ειδών. Οι Γενετικοί Αλγόριθμοι έγιναν ιδιαίτερα δημοφιλείς μετά το 1970 με την συνδρομή του John Holland και του βιβλίου που δημοσίευσε με τίτλο Adaptation in Natural and Artificial Systems το 1975. Σε αυτό το σύγγραμμα περιγράφεται και ο τρόπος με τον οποίο οι Γενετικοί Αλγόριθμοι επιτυγχάνουν να συγκλίνουν εισάγοντας την έννοια των σχημάτων του Holland (Holland s Scheme Theorem). Για την λειτουργία του ο αλγόριθμος διατηρεί έναν πληθυσμό από πιθανές λύσεις, που κάθε μία από αυτές ονομάζεται άτομο. Κάθε άτομο περιέχει ένα σύνολο γονιδίων, τα οποία είναι όσες και η μεταβλητές της συνάρτησης βελτιστοποίησης. Στην πιο συνήθεις περίπτωση, ο γονότυπος διατηρεί τα γονίδια με δυαδική μορφή για την εκτέλεση των τελεστών του αλγορίθμου. Την στιγμή της εκτίμησης γίνεται αποκωδικοποίηση των δυαδικών τιμών σε πραγματικές τιμές ή σε όποιο άλλο σύνολο αριθμών, ανάλογα με το πεδίο ορισμού του προβλήματος. Παραλλαγές του Γενετικού Αλγόριθμου διατηρούν τον γονότυπο με την μορφή ακεραίων ή και πραγματικών αριθμών, εκτελώντας πάνω σε αυτές τους τελεστές του αλγόριθμου. Τα βήματα του αλγόριθμου είναι, χωρίς μεγάλες αποκλίσεις, ίδια με αυτά που περιγράψαμε παραπάνω για τους Εξελικτικούς Αλγόριθμους (εικόνα 3.1). Αρχικά γίνεται η αρχικοποίηση του πληθυσμού με τυχαίο τρόπο από το πεδίο ορισμού. Εν συνεχεία, αποτιμώνται οι πιθανές λύσεις με βάση την αντικειμενική συνάρτηση. Με τυχαίο τρόπο και με βάση την καταλληλότητα κάθε λύσης, γίνεται η επιλογή των ατόμων για την επόμενη γενιά και των ατόμων που θα διασταυρωθούν. Μετά την επιλογή και την διασταύρωση προκύπτει ένας πληθυσμός με ίσο αριθμό ατόμων σε σχέση με τον αρχικό. Σε κάθε άτομο του νέου πληθυσμού ξεχωριστά εκτελείται ο τελεστής της μετάλλαξης. Εν τέλει, γίνεται μία νέα αποτίμηση των ατόμων του πληθυσμού με βάση την αντικειμενική συνάρτηση. Η παραπάνω διαδικασία, με εξαίρεση την αρχικοποίηση και την αρχική αποτίμηση, επαναλαμβάνεται για έναν πεπερασμένο αριθμό επαναλήψεων, όσο επαληθεύεται η συνθήκη τερματισμού. Η πιο συνηθισμένη τεχνική για την τυχαία επιλογή των λύσεων με βάση την καταλληλότητα είναι η ρουλέτα. Σε αυτή τη τεχνική αρχικά υπολογίζεται το άθροισμα των αποτιμήσεων της αντικειμενικής συνάρτησης για κάθε άτομο στον πληθυσμό. Εν συνεχεία, υπολογίζεται η πιθανότητα επιλογής του ατόμου διαιρώντας την τιμή της αποτίμησης του με το άθροισμα των αποτιμήσεων και με [21]

βάση αυτήν υπολογίζεται η αθροιστική πιθανότητα. Συνεπώς, το διάστημα από μηδέν μέχρι ένα, χωρίζεται σε μικρότερα διαστήματα με καθένα από αυτά να αντιστοιχεί σε μία μόνο λύση. Το εύρος των διαστημάτων κάθε λύσης είναι ανάλογο με την πιθανότητα επιλογής της λύσης. Εν τέλει, μία τυχαία μεταβλητή από μηδέν μέχρι ένα, επιλέγει μία λύση με βάση το διάστημα στο οποίο θα πέσει μέσα. Για την διασταύρωση υπάρχουν πολλές παραλλαγές. Η πιο συνηθισμένη είναι η διασταύρωση ενός σημείου, στην οποία για κάθε γονίδιο (εφόσον χρησιμοποιούμε δυαδική αναπαράσταση για τον γονότυπο) επιλέγεται τυχαία το σημείο διασταύρωσης. Το κάθε γονίδιο των δύο νέων λύσεων περιέχει πληροφορία από τον πρώτο γονέα μέχρι το σημείο διασταύρωσης και από τον δεύτερο γονέα από το σημείο διασταύρωσης και μετά και το αντίστροφο. Στην περίπτωση που ο γονότυπος δεν είναι σε δυαδική μορφή αλλά περιλαμβάνει ακέραιες τιμές, τότε η ανταλλαγή πληροφορίας γίνεται σε επίπεδο γονιδίων. Δηλαδή, το πρώτο παιδί κληρονομεί τα γονίδια του πρώτου γονέα μέχρι το σημείο διασταύρωση και του δεύτερου από το σημείο διασταύρωσης και μετά, ενώ το αντίστροφο συμβαίνει για το δεύτερο. Για την μετάλλαξη πάλι υπάρχει διαφοροποίηση ανάλογα με τον τρόπο με τον οποίο γίνεται η αναπαράσταση του γονότυπου. Στην περίπτωση που υπάρχει δυαδική αναπαράσταση διατρέχουμε κάθε δυαδική τιμή, κάθε γονιδίου, κάθε ατόμου και με βάση κάποια μικρή πιθανότητα επιλέγουμε κάποιες από αυτές και τις αλλάζουμε από μηδέν σε ένα και από ένα σε μηδέν. Στην περίπτωση που ο γονότυπος αναπαρίσταται από ακέραιες τιμές, τότε διατρέχουμε τα γονίδια κάθε ατόμου και με βάση κάποια πιθανότητα, μεγαλύτερη σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση, επιλέγουμε μερικά από αυτά. Τα γονίδια που θα επιλέγουν παίρνουν μία τυχαία τιμή από το πεδίο ορισμού. Εξελικτικές Στρατηγικές (Evolution Strategies - ES) Το 1964 ο Rechenberg στο Πανεπιστήμιο του Βερολίνου (Technical University of Berlin) αναπτύσσει έναν άλλο Εξελικτικό Αλγόριθμο ο οποίος εν συνεχεία εξελίσσεται περεταίρω από τον Schwefel, που μιμείται όπως ο Γενετικός Αλγόριθμος την εξέλιξη των ειδών. Το όνομα του νέου αλγορίθμου είναι Εξελικτικές Στρατηγικές (Evolution Strategies - ES) και υλοποιεί τους τελεστές της επιλογής, της διασταύρωσης και της μετάλλαξης με παρόμοιο τρόπο με τον Γενετικό Αλγόριθμο. Η μόνη διαφορά είναι ότι μαζί με τις πιθανές λύσεις διατηρεί και ένα διάνυσμα το οποίο αναπαριστά την τυπική απόκλιση μιας Gaussian μεταβλητής την οποία [22]

χρησιμοποιεί ο τελεστής της μετάλλαξης. Το διάνυσμα αλλάζει από γενιά σε γενιά δίνοντας την δυνατότητα της αυτοπροσαρμογής στον αλγόριθμο. Αν έχουμε μία συνάρτηση προς ελαχιστοποίηση, με, και ένα σύνολο περιορισμών για την συνάρτηση, με, τότε έχουμε δύο παραλλαγές του αλγορίθμου που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε. Η πρώτη παραλλαγή συμβολίζεται ως ( ) ενώ η δεύτερη ως ( ), όπου είναι ο αριθμός των γονέων και είναι ο αριθμός των απογόνων. Στην πρώτη παραλλαγή η επιλογή των απογόνων για την επόμενη γενιά γίνεται και από το σύνολο των γονέων και από το σύνολο των απογόνων, ενώ στην δεύτερη περίπτωση η επιλογή γίνεται μόνο από το σύνολο των απογόνων. Αυτή η ιδιότητα της δεύτερης παραλλαγής, δηλαδή κάθε λύση να διατηρείται μόνο για μια γενιά, την καθιστά ιδανική για προβλήματα στα οποία το ελάχιστο μετακινείτε σε σχέση με τον χρόνο ή σε προβλήματα που υπάρχει θόρυβος. Τα άτομα του πληθυσμού μπορούν να αναπαρασταθούν ως ( ( )), όπου το διάνυσμα της λύσης, είναι η τυπική απόκλιση του ατόμου και ( ) είναι η εκτίμηση της λύσης με βάση την αντικειμενική συνάρτηση. Στην πιο απλή περίπτωση υπάρχει ένα μόνο το οποίο είναι κοινό για όλα τα άτομα. Η διαδικασία εκτέλεσης του αλγορίθμου είναι και εδώ, σε γενικές γραμμές, όμοια με την γενική περιγραφή των Εξελικτικών Αλγορίθμων. Αρχικά, ένας πληθυσμός με πιθανές λύσης αρχικοποιείτε τυχαία με βάση το πεδίο ορισμού της αντικειμενικής συνάρτησης. Εν συνεχεία, γίνεται η διασταύρωση και η μετάλλαξη με χρήση της τυπικής απόκλισης κάθε ατόμου. Τέλος τα άτομα αξιολογούνται και επιλέγονται τα καλύτερα για την επόμενη γενιά. Το μοναδικό σημείο στο οποίο διαφέρει ο αλγόριθμος των Εξελικτικών Στρατηγικών είναι ότι μετά την επιλογή επαναπροσδιορίζεται το. Ο τελεστής της διασταύρωσης διαφέρει λίγο σε σχέση με τον αντίστοιχο στους Γενετικούς Αλγορίθμους. Στις Εξελικτικές Στρατηγικές επιλέγονται δύο γονείς προς διασταύρωση και ο απόγονος με βάση μία τυχαία μεταβλητή κληρονομεί κάθε γονίδιο είτε από τον ένα είτε από τον άλλο γονέα. Υπάρχουν πολλές παραλλαγές αυτού του τελεστή, με πιο γνωστή αυτή στην οποία λαμβάνουν μέρος όλα άτομα του συνόλου στην διασταύρωση. Δηλαδή, ο απόγονος μπορεί να κληρονομήσει ένα γονίδιο από οποιοδήποτε από τα άτομα. Επίσης, αρκετά διαφορετικός είναι και ο τελεστής της μετάλλαξης σε σχέση με τους Γενετικούς Αλγορίθμους. Ο τελεστής της μετάλλαξης ενεργεί πάνων στο άτομο ως πρόσθεση όπως φαίνεται παρακάτω: ( ) [23]

όπου είναι το μεταλλαγμένο άτομο και ( ) είναι ένα διάνυσμα που ανήκει στο του οποίου οι τιμές υπολογίζονται από μία τυχαία μεταβλητή με Gaussian κατανομή η οποία έχει μέση τιμή μηδέν και τυπική απόκλιση. Όσον αφορά τον επαναπροσδιορισμό της τιμή του, την λύση την έχει δώσει ο Rechenberg με μία θεωρητική ανάλυση του προβλήματος. Με αυτή την ανάλυση κατέληξε στο συμπέρασμα ότι αν η επιτυχία στην μετάλλαξη είναι πάνω από τότε το πρέπει να αυξηθεί. Σε αντίθετη περίπτωση το πρέπει να μειωθεί. Ο παραπάνω επαναπροσδιορισμός περιγράφεται από την φόρμουλα: { όπου είναι η συχνότητα με την οποία ο τελεστής της μετάλλαξης έδωσε καλύτερους απογόνους. Ακολούθως, ο Schwefel παραθέτει λόγους με τους οποίους υποστηρίζει ότι οι καταλληλότεροι παράγοντες είναι και. Βελτιστοποίηση Σμήνους Σωματιδίων (Particle Swarm Optimization - PSO) Μία ακόμη μέθοδο, η οποία αναζητεί το ολικό βέλτιστο μίας συνάρτησης και η οποία ανήκει στην κατηγορία των Εξελικτικών Αλγόριθμων, προτάθηκε από τους Kennedy και Eberhart το 1995. Η μέθοδος αυτή ονομάστηκε Βελτιστοποίηση Σμήνους Σωματιδίων (Particle Swarm Optimization PSO) και προσομοιώνει τον τρόπο με τον οποίο ένα σμήνος πουλιών αναζητά τροφή. Από τότε πολλές παραλλαγές αυτού του αλγόριθμου έχουν υπάρξει, διότι ο αρχικός, έτσι όπως είχε παρουσιαστεί το 1995, αντιμετώπιζε εγγενή προβλήματα. Η βασική ιδέα του αλγόριθμου είναι ότι για ένα πλήθος σωματιδίων, δηλαδή πιθανές λύσεις, και για κάποιο αριθμό επαναλήψεων τα σωματίδια μετακινούνται στο πεδίο ορισμού με βάση την δική τους καλύτερη λύση, μέχρι στιγμής, και με βάση την καλύτερη λύση άλλων σωματιδίων. Από μία λίγο πιο αυστηρώς μαθηματική μεριά, τα σωματίδια του αλγορίθμου περιλαμβάνουν τρία διανύσματα, όπου είναι το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου ή η πιθανή λύση της αντικειμενικής εξίσωσης, είναι το διάνυσμα της ταχύτητας του σωματιδίου, η καλύτερη μέχρι στιγμής λύση που έχει βρει το σωματίδιο και είναι η διάσταση του προβλήματος. Σε κάθε [24]

επανάληψη η θέση του κάθε σωματιδίου ανανεώνεται προσθέτοντας το διάνυσμα της ταχύτητας. Το μόνο σημείο το οποίο χρειάζεται προσοχή έτσι ώστε να συγκλίνει ο αλγόριθμος είναι ο τρόπος με τον οποίο ανανεώνονται τα διανύσματα της ταχύτητας. Κατά καιρούς έχουν προταθεί διάφορες τεχνικές όπως αυτή του Shi και Eberhart, την οποία και θα αναλύσουμε. Το 1998 οι Shi και Eberhart, οδηγούμενη από την επιθυμία να ελέγξουν καλύτερα την έκταση του προβλήματος, πρότειναν την τεχνική η οποία ονομάστηκε ανανέωση με βάρος αδράνειας (inertia weight), στην οποία οι νέες ταχύτητες υπολογίζονται από τον τύπο: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) όπου είναι η ταχύτητα του σωματηδίου, είναι η καλύτερη λύσει που έχει επιτύχει το σωματίδιο μέχρι στιγμής, είναι η καθολικά καλύτερη λύση μέχρι στιγμής, είναι η καλύτερη λύση στη γειτονιά του σωματιδίου και τα ( ), ( ) και ( ) είναι τυχαίες τιμές από το μηδέν έως το, το και το αντίστοιχα. Το είναι ένας παράγοντας συνήθως μικρότερος της μονάδας, ο οποίος στο Νευτονιακό μοντέλο κίνησης λειτουργεί ως τριβή. Το σύμβολο αναφέρεται στον πολλαπλασιασμό στοιχείο προς στοιχείο. Τα βασικά βήματα του αλγόριθμου είναι τα ακόλουθα: αρχικά δημιουργεί ένα πλήθος σωματιδίων των οποίων η θέση και η ταχύτητα είναι τυχαία. Εν συνεχεία, εισέρχεται σε ένα βρόχο, ο οποίος εκτελείται όσο επαληθεύεται η συνθήκη τερματισμού. Εντός του βρόχου εκτιμώνται οι λύσεις και ανανεώνονται αν είναι απαραίτητο η καλύτερη λύση του σωματιδίου και η καθολικά καλύτερη λύση. Εν συνεχεία, προσδιορίζονται οι πιο κοντινοί γείτονες του σωματιδίου (με βάση το άθροισμα των τετραγώνων των μεταβλητών) και επιλέγεται ο καλύτερος. Υπολογίζεται η νέα θέση του σωματιδίου με βάση την εξίσωση. Και εν τέλει, υπολογίζονται οι νέες ταχύτητες για την επόμενη επανάληψη. Διαφορική Εξέλιξη (Differential Evolution - DE) Το 1996 οι Rainer Storn και Kenneth Price με το άρθρο τους «Differential Evolution A Simple and Efficient Heuristic for Global Optimization over Continuous Spaces» πρότειναν έναν ακόμα αλγόριθμο εύρεσης του ολικού βέλτιστου μίας συνάρτησης. Κατά την κατασκευή του αλγορίθμου οι Storn και Price είχαν στο μυαλό τους ότι κάθε αλγόριθμος ολικής βελτιστοποίησης μίας συνάρτησης θα πρέπει: [25]

Να μπορεί να βελτιστοποιεί μη γραμμικές και μη παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Να χειρίζεται παράλληλα περισσότερες από μία πιθανές λύσεις. Να είναι εύκολος στην χρήση, μειώνοντας τον αριθμό των απαιτούμενων μεταβλητών ελέγχου. Να μπορεί να συγκλίνει για έναν μεγάλο αριθμό προβλημάτων. Για την εύρεση του ολικού ελαχίστου μίας συνάρτησης, ο αλγόριθμος διαφορικής εξέλιξης, διατηρεί ένα σύνολο από NP διαφορετικές πιθανές λύσεις. Όπως και σε κάθε αλγόριθμο οι πιθανές λύσεις είναι n-διάστατα διανύσματα. Στο πρώτο βήμα γίνεται αρχικοποίηση αυτών των λύσεων με τυχαίο τρόπο από το πεδίο ορισμού. Έπειτα, για κάθε μία από τις πιθανές λύσεις επιλέγει τυχαία τρεις άλλες λύσεις, και με οι οποίες είναι διάφορες μεταξύ τους και διάφορες από την. Από αυτές τις τρεις λύσεις δημιουργείται το καλούμενο και ως μεταλλαγμένο διάνυσμα από την εξίσωση: ( ) Η είναι μία πραγματική σταθερά με τιμή η οποία ανήκει στο σύνολο. Από τα παραπάνω προκύπτει το συμπέρασμα ότι το NP θα πρέπει να έχει τιμή ίσο ή μεγαλύτερο από 4. Στο αμέσως επόμενο βήμα γίνεται η διασταύρωση, η οποία παράγει ένα δοκιμαστικό διάνυσμα. Το διάνυσμα υπολογίζεται ως: { ( ) ( ) ( ) ( ) με ( ) να είναι η j-οστή τυχαία μεταβλητή από το σύνολο, είναι μία πραγματική σταθερά από το σύνολο και η οποία καθορίζεται από τον χρήστη, ενώ τέλος το ( ) είναι ένας τυχαίος δείκτης με ( ) ο οποίος διασφαλίζει ότι το διάνυσμα θα λάβει τουλάχιστον μία παράμετρο από το διάνυσμα. Εν τέλει, μεταξύ των διανυσμάτων και επιλέγεται ένα για την επόμενη γενιά ανάλογα με την εκτίμηση τους από την αντικειμενική συνάρτηση. Η παραπάνω διαδικασία, με εξαίρεση την αρχικοποίηση, επαναλαμβάνεται για έναν πεπερασμένο αριθμό επαναλήψεων και σε κάθε μία επιλέγεται η καλύτερη λύση η οποία συγκρίνεται με την αντίστοιχη της προηγούμενης επανάληψης. [26]

Βελτιστοποίηση με Βάση την Βιογεωγραφία (Biogeography Based Optimization - BBO) Το 2008 ο Dan Simon, βασισμένος στο έργο στο έργο του Robert Mac Arthur και του Edward Wilson, το οποίο μελετά τον τρόπο με τον οποίο είναι κατανεμημένα τα είδη των ζώων μεταξύ γειτονικών νησιών, και πατώντας κυρίως στο βιβλίο που δημοσίευσαν το 1967 με τίτλο «The Theory of Island Biogeography», επινόησε έναν ακόμα αλγόριθμο εύρεσης του ολικού βέλτιστου μίας συνάρτησης. Ο νέος αλγόριθμος ονομάστηκε αλγόριθμος Βελτιστοποίησης με Βάση την Βιογεωγραφία (Biogeography-Based Optimization) και προσομοιώνει το πως γίνεται η μετανάστευση των ζώων μεταξύ των γειτονικών νησιών, πως προκύπτουν νέα είδη και πως κάποια από αυτά εξαφανίζονται. Ο όρος νησί χρησιμοποιείται για να προσδιορίσει έναν γεωγραφικά απομονωμένο τόπο. Στην γενικότερη περίπτωση χρησιμοποιείται απλά ο όρος τόπος (habitat). Ένας τόπος ο οποίος φιλοξενεί πολλά είδη ζώων έχει υψηλό δείκτη καταλληλότητας (Habitat Suitability Index - HSI), ενώ ένας τόπος που φιλοξενεί λίγα είδη έχει χαμηλό HSI. Η τιμή του HSI εξαρτάται από πολλές παραμέτρους, όπως την θερμοκρασία του τόπου, την βλάστηση, τα είδη των φυτών που υπάρχουν κλπ. Αυτές οι παράμετροι ονομάζονται μεταβλητές του δείκτη καταλληλότητας (Suitability Index Variables - SIV). Λίγο πιο γενικά, οι SIV είναι οι ανεξάρτητες μεταβλητές του προβλήματος (δηλαδή της αντικειμενικής συνάρτησης) και η HSI είναι η εξαρτημένη τιμή (δηλαδή η αποτίμηση με βάση την αντικειμενική συνάρτηση). Ο αλγόριθμος ορίζει δύο τύπους μετανάστευσης, οι οποίοι δίνουν την δυνατότητα στις καλές λύσεις να μοιράζονται μέρος της πληροφορίας τους με τις λιγότερο καλές. Ορίζεται η μετανάστευση από κάποιον τόπο (emigration - μ) και η μετανάστευση προς κάποιον τόπο (immigration - λ). Για ευκολία από εδώ και πέρα θα χρησιμοποιηθούν οι αγγλικοί όροι ή τα ελληνικά σύμβολα. Όταν ένας τόπος έχει μεγάλο HSI, τότε έχει πολλά είδη, υψηλό δείκτη emigration και χαμηλό δείκτη immigration. Δηλαδή, ο τόπος με πολλά είδη θεωρείται ότι έχει σχεδόν κορεστεί και για αυτό δεν μπορεί να φιλοξενήσει άλλα είδη. Από την άλλη, λόγο του υπερπληθυσμού κάποια είδη μεταναστεύουν σε άλλους τόπους, χωρίς να σημαίνει ότι μεταναστεύοντας το είδος εξαφανίζεται από τον αρχικό τόπο. Οι τόποι με χαμηλό HSI φιλοξενούν λίγα είδη, έχουν χαμηλό δείκτη emigration και υψηλό δείκτη immigration. Αυτό σημαίνει ότι αυτοί οι τόποι δεν έχουν πολλά είδη για να μεταναστεύσουν, ενώ από την άλλη λόγω του μικρού πληθυσμού μπορούν να φιλοξενήσουν μετανάστες από άλλους τόπους. [27]

Για καλύτερη κατανόηση η εικόνα 2 παρουσιάζει ένα απλό παράδειγμα με δύο πιθανές λύσεις για κάποιο πρόβλημα. Η λύση είναι η λιγότερο καλή λύση αφού περιέχει λίγα είδη. Ως εκ τούτου, όπως φαίνεται ο δείκτης λ είναι μεγαλύτερος από τον δείκτη μ. Αντίθετα, η λύση είναι καλύτερη λύση, περιέχει περισσότερα είδη και ο δείκτης μ είναι μεγαλύτερος από τον δείκτη λ. Στην πιο εύκολη περίπτωση, όπως παρουσιάζεται και στην εικόνα, τα λ και τα μ αναπαριστούνται από ευθείες γραμμές. Στην πιο γενική περίπτωση, το λ μπορεί να αναπαρασταθεί από οποιαδήποτε μονοτονική φθίνουσα συνάρτηση, ενώ το μ από οποιαδήποτε μονοτονική αύξουσα συνάρτηση. Η μέγιστη τιμή του λ είναι και συμβαίνει όταν δεν υπάρχει κανένα είδος στον τόπο, ενώ η μέγιστη τιμή του μ είναι και συμβαίνει όταν υπάρχει κορεσμός στον τόπο, δηλαδή όταν επιτευχθεί ο μέγιστος αριθμός ειδών. Εικόνα 2: Παρουσίαση δύο πιθανών λύσεων. Όπως και οι περισσότεροι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι, έτσι και ο αλγόριθμος Βελτιστοποίησης με Βάση την Βιογεωγραφία υλοποιεί τον μοναδιαίο τελεστή της μετάλλαξης, ο οποίος τον βοηθά στο να μην παγιδεύεται σε τοπικά ακρότατα. Το φυσικό ανάλογο του τελεστή είναι τα κατακλυσμικά γεγονότα τα οποία επηρεάζουν δραστικά τον αριθμό των ειδών σε έναν τόπο. Ως εκ τούτου, ο τελεστής της μετάλλαξης μπορεί να οδηγήσει σε χειρότερες, αλλά μερικές φορές και σε καλύτερες, λύσεις. Η πιθανότητα μετάλλαξης δεν είναι η ίδια για όλους τους τόπους. Η πιθανότητα μετάλλαξης είναι αντιστρόφως ανάλογη της πιθανότητας να υπάρξει ένας τόπος. Έχει αποδειχθεί μαθηματικά ότι η πιο πιθανές λύσεις του αλγόριθμου είναι αυτές που βρίσκονται κοντά στο σημείο ισορροπίας, δηλαδή εκεί όπου οι δείκτες είναι ίση. Συνεπώς, οι λιγότερο πιθανές λύσεις είναι οι καλύτερες και οι χειρότερες, δηλαδή αυτές που βρίσκονται μακριά από το σημείο ισορροπίας. Η πιθανότητα μετάλλαξης μίας λύσης υπολογίζεται από τον τύπο: ( ) ( ) [28]

όπου είναι η πιθανότητα της λύσης, είναι η μέγιστη πιθανότητα και είναι μία παράμετρος η οποία ρυθμίζεται από τον χρήστη. Η πιθανότητα ύπαρξης μιας λύσεις υπολογίζεται από τους τύπους: { ( ) ( ) ( ) όπου είναι η πιθανότητα να υπάρχουν ακριβώς είδη στο τόπο, είναι η πιθανότητα να υπάρξουν είδη και είναι η πιθανότητα να υπάρξουν. Από μία λίγο πιο μαθηματική σκοπιά, μπορούμε να πούμε ότι ένας τόπος, όπου το ανήκει με την σειρά του σε ένα σύνολο, υποσύνολο του συνόλου των ακεραίων. Το γεγονός ότι το πεδίο ορισμού του είναι ένα υποσύνολο του συνόλου των ακεραίων, συνήθως προέρχεται από τους περιορισμούς της αντικειμενικής συνάρτησης. Ως οικοσύστημα ορίζεται ένα πλήθος από τόπους, όπου το είναι σταθερό. Ο δείκτης καταλληλότητας υπολογίζεται ως ( ) και παίρνει τιμές από το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Ο δείκτης λ είναι συνάρτηση του ενός τόπου, παίρνει τιμές από το σύνολο των πραγματικών αριθμών και όπως προείπαμε είναι μία μονοτονική γνησίως φθίνουσα συνάρτηση. Αντίστοιχα, ο δείκτης μ είναι και αυτός συνάρτηση του ενός τόπου, παίρνει και αυτός τιμές από το σύνολο των πραγματικών αριθμών αλλά σε αντίθεση με τον μ είναι μία μονοτονική γνησίως αύξουσα συνάρτηση. Ο τελεστής της μετανάστευσης ( ) εξαρτάται από τις τιμές των δεικτών λ και μ και είναι μια στοχαστική διαδικασία με την οποία υπολογίζουμε τις παραμέτρους ενός νέου τόπου με βάση το οικοσύστημα. Ο τελεστής της μετάλλαξης ( ) είναι και αυτός μια στοχαστική διαδικασία με την οποία αλλάζουμε κάποια μεταβλητή του τόπου. Η επιλογή αυτή γίνεται όπως είπαμε παραπάνω με βάση την πιθανότητα εμφάνισης της λύσης, αλλά επειδή αυτή η πιθανότητα συνδέεται με των αριθμό των ειδών στον τόπο και κατ επέκταση ο αριθμός των ειδών συνδέεται με τους δείκτες μ και λ, γι αυτό λέμε ότι ο τελεστή της μετάλλαξης εξαρτάται απευθείας από αυτούς τους δείκτες. Για την εκτέλεση του ο αλγόριθμος αρχικά αρχικοποιεί το οικοσύστημα με ένα σύνολο από πιθανές λύσεις του προβλήματος. Επίσης, κατά την αρχικοποίηση παίρνουν τιμές και τα (μέγιστος αριθμός ειδών σε ένα τόπο), (μέγιστη τιμή του δείκτη emigration), (μέγιστη τιμή του δείκτη immigration) καθώς επίσης και η παράμετρος. Αξίζει να αναφέρουμε ότι τα, και είναι αλληλοεξαρτώμενες ποσότητες, δηλαδή αν αλλάξουν όλες κατά έναν παράγοντα, [29]

τότε η συμπεριφορά του αλγόριθμου παραμένει η ίδια. Στο επόμενο βήμα, υπολογίζονται οι τιμές HSI όλων των τόπων, αποτιμώντας την αντικειμενική συνάρτηση. Έχοντας τις τιμές του, υπολογίζονται οι δείκτες μ και λ από τους τύπους: ( ) όπου είναι ο αριθμός των ειδών ενός τόπου και είναι ο συνολικός αριθμός των ειδών. Εν συνεχεία, εκτελείτε ο τελεστής της μετανάστευσης και αποτιμώνται ξανά οι λύσεις. Για την εκτέλεση του τελεστή της μετανάστευσης υλοποιείται η τεχνική της ρουλέτας, η οποία περιγράφηκε αναλυτικά παραπάνω. Μετρώνται ο αριθμός των ειδών σε κάθε τόπο. Η διαδικασία αυτή είναι λίγο αυθαίρετη, αλλά ο γενικός κανόνας είναι ότι τόποι με μεγάλο HSI έχουν περισσότερα είδη. Από τον αριθμό των ειδών υπολογίζεται η πιθανότητα εμφάνισης κάθε λύσης από την σχέση: { ( ) ( ) ( ) όπου ο αριθμός των ειδών σε χρόνο και η πιθανότητα ένας τόπος να έχει είδη. Και εν τέλει, εκτελείτε η μετάλλαξη με βάση την πιθανότητα ( ) που αναφέραμε παραπάνω. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται, εκτός από το βήμα της αρχικοποίησης, έως ότου πάψει να επαληθεύεται η συνθήκη τερματισμού. [30]

Περιγραφή Προβλήματος Σε αυτό το κεφάλαιο θα περιγράψουμε αναλυτικά το πρόβλημα το οποίο επιθυμούμε να βελτιστοποιήσουμε χρησιμοποιώντας τους Εξελικτικούς Αλγόριθμους που περιγράψαμε στο κεφάλαιο 3. Αρχικά θα παρουσιαστούν δύο τρόποι με τους οποίους μπορούμε να χειριστούμε το συγκεκριμένο πρόβλημα. Εν συνεχεία, θα αναλυθούν οι δύο προσεγγίσεις περιγράφοντας τις μεταβλητές και τον τρόπο με τον οποίο οδηγούμαστε από τον γονότυπο στον φαινότυπο, δηλαδή τις διαδικασίες της κωδικοποίησης και της αποκωδικοποίησης. Στο τέλος, θα παρουσιαστεί ο τρόπος με τον οποίο γίνεται η αξιολόγηση των λύσεων (περιγραφή αντικειμενικής συνάρτησης). Προσέγγιση του Προβλήματος Το πρόβλημα προς βελτιστοποίηση είναι η κατασκευή μίας επίπεδης στοιχειοκεραίας, η οποία θα έχει όσο το δυνατόν χαμηλότερο ύψος δευτερευόντων λοβών. Το διάγραμμα ακτινοβολίας της κεραίας εξαρτάται από πολλούς παράγοντες, όπως παρουσιάσαμε στο κεφάλαιο 2, ωστόσο η βελτιστοποίηση που θα εκτελέσουμε θα έχει ως μεταβλητές μόνο τα πλάτη των ρευμάτων τροφοδοσίας των στοιχείων ( μεταβλητές). Έχοντας ως πεδίο ορισμού για τα πλάτη των ρευμάτων τους αριθμούς από το 0,01 μέχρι το 1, με ακρίβεια δύο δεκαδικών, προκύπτει ένας τεράστιος χώρος αναζήτησης. Με σκοπό να μειώσουμε λίγο τον χώρο αναζήτησης, χωρίσαμε την επίπεδη στοιχειοκεραία σε 192 υποπίνακες, ώστε όλα τα στοιχεία ενός υποπίνακα να έχουν ίσα πλάτη ρεύματος τροφοδοσίας. Με αυτή τη τεχνική όχι μόνο μειώσαμε τις μεταβλητές του προβλήματος σε 192, αλλά απλοποιήσαμε και την διαδικασία κατασκευής της επίπεδης στοιχειοκεραίας, αφού το δίκτυο τροφοδοσίας της έγινε πιο απλό. Για να υπάρχει συνέπεια μεταξύ των λύσεων του προβλήματος, θέσαμε σαν επιπλέον περιορισμό ότι κάθε στήλη της επίπεδης στοιχειοκεραίας περιλαμβάνει οκτώ υποπίνακες. Στη συνέχεια περιγράφονται δύο προσεγγίσεις αυτού του προβλήματος. [31]

1 η Προσέγγιση του Προβλήματος Στην πρώτη και πιο απλή προσέγγιση, θεωρήσαμε ότι ο αριθμός των στοιχείων των υποπινάκων είναι σταθερός. Αυτό σημαίνει ότι τα 768 στοιχεία μοιραστήκαν εξ ίσου στους 192 υποπίνακες ή ότι κάθε υποπίνακας περιλαμβάνει 4 στοιχεία. Η εικόνα 4.1 παρουσιάζει την επίπεδη στοιχειοκεραία που μόλις περιγράψαμε χωρισμένη σε υποπίνακες. Εικόνα 4.1: Επίπεδη στοιχειοκεραία 1 η προσέγγιση. Η πρώτη προσέγγιση περιλαμβάνει 192 μεταβλητές, με γονότυπο ο οποίος παίρνει τιμές από 1 έως 100. Εν συνεχεία, αυτός ο γονότυπος μεταφράζεται στον φαινότυπο με μία απλή διαίρεση με το 100. Συνεπώς, τα βάρη του κάθε υποπίνακα είναι στο διάστημα από 0,01 μέχρι 1 με ακρίβεια δύο δεκαδικών. Εν συνεχεία, τα αποτελέσματα του φαινοτύπου κατασκευάζουν τον πίνακα με τα ρεύματα διέγερσης των στοιχείων της στοιχειοκεραίας. Σαν σύμβαση θεωρούμε ότι όλα τα στοιχεία έχουν πλάτος διέγερσης μονάδα και οι μεταβλητές αναπαριστούν παράγοντες, ή αλλιώς βάρη, με τα οποία πολλαπλασιάζονται τα πλάτη των ρευμάτων. Ο πίνακας των βαρών της πρώτης προσέγγισης κατασκευάζεται αρκετά απλά από τον φαινότυπο, αφού το μόνο που χρειάζεται είναι το βάρος κάθε μεταβλητής να εφαρμοστεί σε 4 στοιχεία. [32]

Ο μόνος περιορισμός του προβλήματος, έτσι ώστε η λύση να είναι εφικτή, είναι οι τιμές του γενοτύπου να παίρνουν τιμές από 1 μέχρι 100. 2 η Προσέγγιση του Προβλήματος Στην δεύτερη προσέγγιση του προβλήματος χρησιμοποιούμε πάλι 192 υποπίνακες, για να κατασκευάσουμε την στοιχειοκεραία. Η βελτιστοποίηση σε αυτή τη περίπτωση περιλαμβάνει και τα βάρη των υποπινάκων και των αριθμό των στοιχείων που περιλαμβάνει ο καθένας από αυτούς. Συνεπώς, οι μεταβλητές του προβλήματος προκύπτουν να είναι 384, 192 για τον αριθμό των στοιχείων κάθε υποπίνακα και 192 για το βάρος κάθε υποπίνακα. Όσον αφορά του περιορισμούς, για τα βάρη επιθυμούμε τιμές στο διάστημα από 0,01 μέχρι 1 με ακρίβεια δύο δεκαδικών, ενώ για τον αριθμό στοιχείων επιθυμούμε ακέραιες τιμές από 0 μέχρι 10. Στην υλοποίηση χωρίσαμε τις μεταβλητές με τέτοιο τρόπο ώστε οι πρώτες 192 να απευθύνονται στον αριθμό των στοιχείων και οι υπόλοιπες 192 να απευθύνονται στα βάρη. Για απλότητα θέσαμε και τις 384 μεταβλητές να παίρνουν ακέραιες τιμές από το 1 μέχρι το 100. Η διαφοροποίηση έρχεται στην κατασκευή του φαινοτύπου, αφού υλοποιούνται δύο διαφορετικές αποκωδικοποιήσεις για τις μεταβλητές. Ο φαινότυπος για τον αριθμό των στοιχείων προκύπτει με διαίρεση με το 10 (ακέραιες τιμές στο διάστημα 0 μέχρι 10), ενώ ο φαινότυπος για τα βάρη, όπως και στην πρώτη προσέγγιση, προκύπτει με διαίρεση με το 100 (τιμές ακρίβειας δύο δεκαδικών στο διάστημα από 0,01 μέχρι 1). Σε αυτή τη προσέγγιση, εκτός από τον περιορισμό των τιμών που μπορούν να πάρουν οι μεταβλητές στον γονότυπο και κατ επέκταση στον φαινότυπο, προκύπτει και ένας νέος περιορισμός για να είναι μία λύση εφικτή. Ο νέος περιορισμός επιβάλει το άθροισμα των στοιχείων κάθε στήλης να είναι 32, διότι η επιθυμητή επίπεδη στοιχειοκεραία είναι. Με διαφορετικά λόγια, ο περιορισμός επιβάλει το άθροισμα των φαινοτύπων των 192 πρώτων μεταβλητών να είναι ανά 8 ίσο με 32. Για να ικανοποιείται ο παραπάνω περιορισμός μία συνάρτηση εξετάζει ανά 8 τις πρώτες 192 μεταβλητές του προβλήματος και ελέγχει αν το άθροισμα των φαινοτύπων είναι 32. Σε περίπτωση που το άθροισμα είναι μεγαλύτερο, τότε ξεκινώντας από τον πρώτο υποπίνακα της οκτάδας αφαιρούμε στοιχεία μέχρι την κατώτερη τιμή και συνεχίζουμε στον επόμενο υποπίνακα, έως ότου το άθροισμα να γίνει 32. Αντίθετα, σε περίπτωση που το άθροισμα είναι μικρότερο από 32, τότε [33]

ξεκινώντας πάλι από τον πρώτο υποπίνακα της οκτάδας προσθέτουμε στοιχεία μέχρι να φτάσουμε την μεγαλύτερη τιμή στοιχείων στον υποπίνακα και συνεχίζουμε στον επόμενο, έως ότου το άθροισμα να γίνει 32. Με τον παραπάνω τρόπο ελέγχου της καταλληλότητας μιας λύσης επιτυγχάνουμε δύο στόχους. Ο πρώτος είναι ότι κάθε μη εφικτή λύση μετατρέπεται σε εφικτή σε μία μόνο επανάληψη, ενώ ο δεύτερος είναι ότι δεν καταστρέφεται εντελώς η μη εφικτή λύση, αλλά μέρος της πληροφορίας μεταφέρεται στην εφικτή. Ο πρώτος στόχος έχει ως αποτέλεσμα ο κώδικας να είναι πιο γρήγορος, ενώ ο δεύτερος έχει ως αποτέλεσμα τη δημιουργία καλύτερων λύσεων. Οι καλύτερες λύσεις προκύπτουν για τους ίδιους λόγους για τους οποίους οι Εξελικτικοί Αλγόριθμοι παράγουν καλύτερες λύσεις σε σχέση με τους Τυχαίους αλγόριθμους, όπως αναφέραμε στο κεφάλαιο 3. Μετά την μετάφραση του γονότυπου και τον έλεγχο καταλληλότητας της λύσης, η κατασκευή του πίνακα των βαρών από τον φαινότυπο των μεταβλητών είναι αρκετά απλή. Αυτή η προσέγγιση όχι μόνο δεν περιορίζει του υποπίνακες να έχουν σταθερό αριθμό στοιχείων, αλλά επιπλέον κάνει δυναμικό των αριθμό των υποπινάκων σε κάθε στήλη, εφόσον υπάρχει η δυνατότητα ένα υποπίνακας να έχει 0 στοιχεία. Αυτή η ιδιαιτερότητα της δεύτερης προσέγγισης δεν μας οδηγεί σε μη συνεπείς, μεταξύ τους, λύσεις, επειδή ο αριθμός των μεταβλητών σε όλες είναι 384. Αντικειμενική Συνάρτηση του Προβλήματος Το τελευταίο βήμα για τον ορισμό του προβλήματος είναι η υλοποίηση της αντικειμενικής συνάρτησης. Η αντικειμενική συνάρτηση που επιθυμούμε υπολογίζει το ύψος του μεγαλύτερου δευτερεύοντος λοβού (Side Lobe Level - SLL). Ο υπολογισμός αυτός γίνεται με χρήση του διαγράμματος ακτινοβολίας, αφαιρώντας τον κύριο λοβό από αυτό και αναζητώντας τον επόμενο μεγαλύτερο. Χρησιμοποιώντας τους υποπίνακες, το διάγραμμα ακτινοβολίας μπορούμε πλέον να το υπολογίσουμε από τον τύπο: ( ) ( ) όπου είναι το βάρος του q-οστού υποπίνακα, είναι ένα διάνυσμα ακέραιων τιμών με το οποίο δείχνει αν ένα κάποιο στοιχείο της στοιχειοκεραίας ανήκει στον συγκεκριμένο υποπίνακα και το είναι η συνάρτηση δέλτα του Kronecher, με: [34]

{ Η παραπάνω εξίσωση μπορεί να εκφραστεί σε db από την σχέση: ( ) ( ) ( ) όπου ( ) είναι οι συντεταγμένες του κύριου λοβού. Το πρόβλημα προς βελτιστοποίηση είναι η ελαχιστοποίηση των δευτερευόντων λοβών ή αλλιώς η ελαχιστοποίηση της συνάρτησης: ( ) ( ) ( ) όπου είναι ένα διάνυσμα με τα χαρακτηριστικά προς βελτιστοποίηση και είναι ο χώρος αναζήτησης συναρτήσει του και του χωρίς τον κύριο λοβό. Για την πρώτη προσέγγιση του προβλήματος το περιλαμβάνει 192 μεταβλητές οι οποίες αντιστοιχούν στα βάρη του κάθε υποπίνακα, δηλαδή ( ). Για την δεύτερη προσέγγιση του προβλήματος το περιλαμβάνει 384 μεταβλητές από τις οποίες οι πρώτες 192 αναφέρονται στον αριθμό των στοιχείων του κάθε υποπίνακα και οι υπόλοιπες στα βάρη του κάθε υποπίνακα, δηλαδή ( ). Έχοντας τον πίνακα των βαρών, μετά την αποκωδικοποίηση των μεταβλητών, η κατασκευή του διαγράμματος ακτινοβολίας είναι απλή υπόθεση. Η πραγματική φύση του διαγράμματος ακτινοβολίας μιας επίπεδης στοιχειοκεραίας, είναι ένας δισδιάστατος πίνακας. Οι στήλες και οι γραμμές του πίνακα αναφέρονται στις μεταβλητές και (κεφάλαιο 2), αντίστοιχα, ενώ η τιμή του πίνακα αναφαίρετε στο πλάτος της ακτινοβολίας για συγκεκριμένα u και v. Για την αφαίρεση του κύριου λοβού, αρχικά αναζητούμε στον πίνακα την μεγαλύτερή του τιμή. Εν συνεχεία, εξετάζουμε την στήλη για τα όρια του λοβού, όπως φαίνεται στην εικόνα 4.1-α. Στην αναζήτηση ξεκινώντας από την μέγιστη τιμή του λοβού κατευθυνόμαστε προς τα επάνω και προς τα κάτω ψάχνοντας τις θέσεις του πίνακα για τις οποίες η ακτινοβολία σταματάει να ελαττώνεται και αρχίζει να αυξάνεται. Αυτά είναι τα όρια του λοβού στην στήλη. Συνεχίζοντας, εκτελούμε την ίδια διαδικασία σε κάθε γραμμή ανάμεσα στα προηγούμενα όρια, όπως φαίνεται στην εικόνα 4.1-β. Σε αυτό το σημείο έχουμε βρει όλες τις θέσεις στον πίνακα του διαγράμματος ακτινοβολίας οι οποίες αναφέρονται στον κύριο λοβό. Εν τέλει, αντικαθιστούμε τις θέσεις αυτές του πίνακα με 0 ή με, αν βρισκόμαστε σε κλίμακα db, και αναζητούμε την επόμενη μεγαλύτερη τιμή του πίνακα. [35]

α β Εικόνα 4.2: Τα βήματα για τον προσδιορισμός του κύριο λοβού στον πίνακα του διαγράμματος ακτινοβολίας. Η μέγιστη τιμή βρίσκεται στη θέση με το κόκκινο γέμισμα. [36]

Αποτελέσματα και Συμπεράσματα Σε αυτό το κεφάλαιο θα περιγραφεί η διαδικασία εκτέλεσης των πειραμάτων καθώς επίσης και οι διάφορες αποφάσεις που πήραμε κατά την εκτέλεσή τους. Στη συνέχεια, θα παρουσιαστούν τα αποτελέσματα και για τις δύο προσεγγίσεις του προβλήματος για όλους τους εξελικτικούς αλγόριθμους που περιγράφθηκαν στο 3 ο κεφάλαιο. Εν κατακλείδι, θα γίνει σχολιασμός των αποτελέσματα και σύγκριση μεταξύ των αλγορίθμων και των δύο προσεγγίσεων του προβλήματος. Εκτέλεση των Πειραμάτων Το πρώτο σημείο που χρειάστηκε ιδιαίτερη προσοχή κατά την εκτέλεση των πειραμάτων ήταν η ακρίβεια στον υπολογισμό του διαγράμματος ακτινοβολίας. Το γεγονός ότι η κεραία που προσπαθούμε να σχεδιάσουμε έχει τόσα πολλά στοιχεία έχει ως αποτέλεσμα την δημιουργία πολλών στενών δευτερευόντων λοβών. Αυτή η αιτία μας οδήγησε στον υπολογισμό του διαγράμματος ακτινοβολίας με πολύ μικρό βήμα σάρωσης και ως προς τη μεταβλητή και ως προς τη μεταβλητή. Αυτή η ανάλυση στη σάρωση του διαγράμματος ακτινοβολίας είχε ως αποτέλεσμα να αυξήσει σημαντικά τους χρόνους εκτέλεσης όλων των εξελικτικών αλγορίθμων. Ωστόσο, η ακρίβεια στον υπολογισμό του ύψους των δευτερευόντων λοβών ήταν πιο σημαντική από τον χρόνο εκτέλεσης. Η στοχαστική φύση των εξελικτικών αλγορίθμων για τον υπολογισμό της βέλτιστης λύσης, μας οδήγησε στην ανάγκη να πάρουμε μία σειρά από μετρήσεις για κάθε αλγόριθμο. Σκοπός αυτού είναι να μπορούμε να έχουμε μία σχετική σιγουριά όσον αφορά την απόδοση του καθενός από αυτούς, δίνοντας ταυτόχρονα μεγαλύτερη σημασία στα συμπεράσματα στα οποία καταλήξαμε. Για να υπάρχει η δυνατότητα σύγκρισης μεταξύ των εξελικτικών αλγόριθμων, αρχικά ορίστηκε για όλους ο πληθυσμός να αποτελείται από 100 άτομα και ο τερματισμός να έρχεται μετά την έλευση 1000 γενεών. Παρόλα αυτά, επειδή οι 1000 γενιές ήταν υπερβολικά μεγάλος αριθμός επαναλήψεων για όλους τους, τα περισσότερα πειράματα εκτελέστηκαν για τερματισμό μετά από 300 γενιές. Την απόφαση να μειώσουμε τον αριθμό των γενεών την πήραμε αφού διαπιστώσαμε ότι δεν υπάρχει σημαντική μείωση στο ύψος των δευτερευόντων λοβών μετά από περίπου 200 επαναλήψεις. [37]

Όλα τα πειράματα εκτελέστηκα στο ίδιο σύστημα, με προδιαγραφές: Επεξεργαστή Intel(R) Core(TM) στα και Κύρια Μνήμη (RAM) Λειτουργικό Σύστημα Windows 7 (64 bit) Περιβάλλον Matlab R2011a Αξίζει να αναφέρουμε ότι όλη οι εξελικτικοί αλγόριθμοι είχαν παρόμοιο χρόνο εκτέλεσης (περίπου 16 ώρες για 300 επαναλήψεις και περίπου 48 ώρες για 1000 επαναλήψεις) με εξαίρεση των αλγόριθμο Διαφορικής Βελτιστοποίησης (Differential Evolution), ο οποίος είχε διπλάσιους χρόνους εκτέλεσης (περίπου 40 ώρες για 300 επαναλήψεις και περίπου 96 ώρες για 1000 επαναλήψεις). Γενετικός Αλγόριθμος (Genetic Algorithm - GA) Για τα πειράματα που εκτελέσαμε επιλέξαμε την πιθανότητα διασταύρωσης ίση με μονάδα και την πιθανότητα μετάλλαξης ίση με. Η τεχνική διασταύρωσης που επιλέχθηκε ήταν διασταύρωση ενός σημείου μεταξύ δύο ατόμων. Για την καλύτερη απόδοση του αλγόριθμου επιλέξαμε τα δύο καλύτερα άτομα κάθε γενιάς να επιβιώνουν και στην επόμενη γενιά. Ο Γενετικός Αλγόριθμος επέστρεψε πολύ καλά αποτελέσματα στο πρόβλημα της βελτιστοποίησης των βαρών των υποπινάκων της επίπεδης στοιχειοκεραίας. Στη βέλτιστη λύση, όπως βλέπουμε και από τον πίνακα, οι δευτερεύοντες λοβοί έχουν ύψος μικρότερο σε σχέση με τον κύριο. Η συμπεριφορά του αλγορίθμου είναι αρκετά καλή, αφού η μέση τιμή των ατόμων κάθε γενιάς βρίσκεται αρκετά κοντά στη βέλτιστη κάτι το οποίο φανερώνει ότι ο αλγόριθμος συγκλίνει στην βέλτιστη λύση. Πείραμα Πληθυσμός Γενεές Μέση τιμή Τελευταίας Γενεάς Καλύτερη Λύση Πίνακας 1: Αποτελέσματα αλγόριθμου GA για την πρώτη προσέγγιση του προβλήματος. [38]

Εικόνα 5.1: Διάγραμμα Καλύτερης Λύσης Αριθμός Γενεών για την πρώτη προσέγγιση του προβλήματος με τον αλγόριθμο GA. Εικόνα 5.2: Διάγραμμα ακτινοβολίας της καλύτερης λύσης για GA αλγόριθμο για την πρώτη προσέγγιση του αλγόριθμου για (αριστερά) και για (δεξιά). Για την δεύτερη προσέγγιση του προβλήματος, δηλαδή την βελτιστοποίηση και των βαρών και των αριθμών στοιχείων των υποπινάκων της στοιχειοκεραίας, η παραμετροποίηση του Γενετικού αλγόριθμου ήταν όμοια με αυτή της πρώτης προσέγγισης. Στην καλύτερη λύση το ύψος των δευτερευόντων λοβών βρίσκεται κάτω από το κύριο. Η λύση αυτή είναι λίγο καλύτερη σε σχέση με αντίστοιχη της πρώτης προσέγγισης του προβλήματος. Παρόλα αυτά, δεν μπορούμε να πούμε γενικά ότι ο αλγόριθμος δίνει καλύτερα αποτελέσματα για την δεύτερη προσέγγιση σε σχέση με την πρώτη. Εκείνο που μπορούμε να πούμε είναι ότι ο αλγόριθμος επιστρέφει περίπου ίδια αποτελέσματα και για τις δύο προσεγγίσεις του προβλήματος. [39]

Όσον αφορά την συμπεριφορά του αλγορίθμου, τα αποτελέσματα δείχνουν ότι ο αλγόριθμος συγκλίνει αλλά όχι τόσο καλά όσο αν τον συγκρίνουμε με την πρώτη προσέγγιση. Αυτό είναι κάτι λογικό αφού αυξάνοντας τις μεταβλητές, αυξήσαμε τον χώρο αναζήτησης της βέλτιστης λύσης. Πείραμα Πληθυσμός Γενεές Μέση τιμή Τελευταίας Γενεάς Καλύτερη Λύση Πίνακας 2: Αποτελέσματα αλγόριθμου GA για την δεύτερη προσέγγιση του προβλήματος. Εικόνα 5.3: Διάγραμμα Καλύτερης Λύσης Αριθμός Γενεών για την δεύτερη προσέγγιση του προβλήματος με τον αλγόριθμο GA. [40]

Εικόνα 5.4: Διάγραμμα ακτινοβολίας της καλύτερης λύσης για GA αλγόριθμο για την δεύτερη προσέγγιση του αλγόριθμου για (αριστερά) και για (δεξιά). Εξελικτικές Στρατηγικές (Evolution Strategies - ES) Όσον αφορά τον αλγόριθμο των Εξελικτικών Στρατηγιών επιλέξαμε την δεύτερη προσέγγιση ( ( ) ), διότι αυτή δίνει καλύτερα αποτελέσματα σε στατικά προβλήματα, των οποίων η βέλτιστη λύση δεν αλλάζει σε σχέση με τον χρόνο ή δεν υπάρχει θόρυβος στα αποτελέσματα. Σε όλα τα πειράματα χρησιμοποιήσαμε ίσο με, ίσο με, ίσο με, ενώ για την καλύτερη απόδοση επιλέξαμε οι δύο καλύτερες λύσεις κάθε γενιάς να επιβιώνουν στην επόμενη. Τα αποτελέσματα που επέστρεψε ο αλγόριθμος δεν ήταν καλά, αφού στην καλύτερη λύση το πλάτος των δευτερευόντων λοβών βρίσκεται μόνο χαμηλότερα από το κύριο λοβό. Η συμπεριφορά του αλγόριθμου επίσης δεν ήταν καλή, αφού η μέση τιμή των ατόμων της τελευταίας γενιάς απείχε πολύ σε σχέση με την τιμή της καλύτερης λύσης. Ένα ακόμα γεγονός που συμβάλει σε αυτό το συμπέρασμα είναι ότι δεν παρουσιάστηκε σημαντική μείωση στην μέση τιμή της τελευταίας γενιάς σε σχέση με την πρώτη γενιά. Πείραμα Πληθυσμός Γενεές Μέση τιμή Τελευταίας Γενεάς Καλύτερη Λύση Πίνακας 3: Αποτελέσματα αλγόριθμου ES για την πρώτη προσέγγιση του προβλήματος. [41]

Εικόνα 5.5: Διάγραμμα Καλύτερης Λύσης Αριθμός Γενεών για την πρώτη προσέγγιση του προβλήματος με τον αλγόριθμο ES. Εικόνα 5.6: Διάγραμμα ακτινοβολίας της καλύτερης λύσης για ES αλγόριθμο για την πρώτη προσέγγιση του αλγόριθμου για (αριστερά) και για (δεξιά). Για την δεύτερη προσέγγιση του προβλήματος, διατηρώντας την ίδια παραμετροποίηση, ο αλγόριθμος των Εξελικτικών Στρατηγικών έδωσε χειρότερα αποτελέσματα σε σχέση με την πρώτη προσέγγιση. Στην καλύτερη λύση το ύψος των δευτερευόντων λοβών είναι. Όσον αφορά την συμπεριφορά του αλγόριθμου δεν παρατηρείται δυνατότητα σύγκλισης. Οι μέσες τιμές των τελευταίων γενεών είναι χειρότερες σε σχέση με τις αντίστοιχες της πρώτης προσέγγισης, γεγονός το οποίο ήταν αναμενόμενο. [42]

Πείραμα Πληθυσμός Γενεές Μέση τιμή Τελευταίας Γενεάς Καλύτερη Λύση Πίνακας 4: Αποτελέσματα αλγόριθμου ES για την δεύτερη προσέγγιση του προβλήματος. Εικόνα 5.7: Διάγραμμα Καλύτερης Λύσης Αριθμός Γενεών για την δεύτερη προσέγγιση του προβλήματος με τον αλγόριθμο ES. Εικόνα 5.8: Διάγραμμα ακτινοβολίας της καλύτερης λύσης για ES αλγόριθμο για την δεύτερη προσέγγιση του αλγόριθμου για (αριστερά) και για (δεξιά). [43]

Βελτιστοποίηση Σμήνους Σωματιδίων (Particle Swarm Optimization - PSO) Για την παραμετροποίηση του αλγόριθμου Βελτιστοποίησης Σμήνους Σωματιδίων πήραμε, και. Επιλέξαμε η ανανέωση των ταχυτήτων να μην εξαρτάται από τους κοντινότερους γείτονες και τέλος εφαρμόσαμε και εδώ την τεχνική του ελιτισμού, όπου οι δύο καλύτερες λύσεις κάθε γενιάς επιβιώνουν και στην επόμενη. Η βέλτιστη λύση και σε αυτόν τον αλγόριθμο δεν είναι καλή, αφού το ύψος των δευτερευόντων λοβών βρίσκεται χαμηλότερα από τον κύριο. Από τα αποτελέσματα μπορούμε να δούμε ότι ο αλγόριθμος επιτυγχάνει μία μικρή σύγκλιση, αλλά δεν είναι αρκετή για να χαρακτηρίσουμε την συμπεριφορά του καλή. Πείραμα Πληθυσμός Γενεές Μέση τιμή Τελευταίας Γενεάς Καλύτερη Λύση Πίνακας 5: Αποτελέσματα αλγόριθμου PSO για την πρώτη προσέγγιση του προβλήματος. Εικόνα 5.9: Διάγραμμα Καλύτερης Λύσης Αριθμός Γενεών για την πρώτη προσέγγιση του προβλήματος με τον αλγόριθμο PSO. [44]

Εικόνα 5.10: Διάγραμμα ακτινοβολίας της καλύτερης λύσης για PSO αλγόριθμο για την πρώτη προσέγγιση του προβλήματος για (αριστερά) και για (δεξιά). Στην δεύτερη προσέγγιση του προβλήματος, κρατώντας τις ίδιες παραμέτρους, η καλύτερη λύση έχει ύψος δευτερευόντων λοβών χαμηλότερα από τον κύριο. Η λύση αυτή είναι κατά καλύτερη με την αντίστοιχη της πρώτης προσέγγισης του αλγόριθμου PSO. Ωστόσο, συγκρίνοντας τα αποτελέσματα όλων των επαναλήψεων μεταξύ τους καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι παρόλο που η δεύτερη προσέγγιση είναι πιο πολύπλοκη σε σχέση με την πρώτη, δεν επέστρεψε καλύτερα αποτελέσματα. Όσον αφορά την συμπεριφορά, δεν παρατηρείται σημαντική σύγκλιση του πληθυσμού στην βέλτιστη τιμή. Πείραμα Πληθυσμός Γενεές Μέση τιμή Τελευταίας Γενεάς Καλύτερη Λύση Πίνακας 6: Αποτελέσματα αλγόριθμου PSO για την δεύτερη προσέγγιση του προβλήματος. [45]

Εικόνα 5.11: Διάγραμμα Καλύτερης Λύσης Αριθμός Γενεών για την δεύτερη προσέγγιση του προβλήματος με τον αλγόριθμο PSO. Εικόνα 5.12: Διάγραμμα ακτινοβολίας της καλύτερης λύσης για PSO αλγόριθμο για την δεύτερη προσέγγιση του προβλήματος για (αριστερά) και για (δεξιά). Διαφορική Εξέλιξη (Differential Evolution - DE) Για την παραμετροποίηση του αλγόριθμου Διαφορικής Εξέλιξης επιλέξαμε και. Και σε αυτόν τον αλγόριθμο επιλέγουμε τα δύο καλύτερα άτομα της κάθε γενιάς να επιβιώνουν και στην επόμενη. Στην καλύτερη λύση του αλγορίθμου, οι δευτερεύοντες λοβοί βρίσκονται χαμηλότερα σε σχέση με τον κύριο. Η συμπεριφορά του αλγορίθμου είναι πολύ καλή αφού από τις μέσες τιμές των τελευταίων γενεών παρατηρούμε ότι υπάρχει σύγκλιση. [46]

Πείραμα Πληθυσμός Γενεές Μέση τιμή Τελευταίας Γενεάς Καλύτερη Λύση Πίνακας 7: Αποτελέσματα αλγόριθμου DE για την πρώτη προσέγγιση του προβλήματος. Εικόνα 5.13: Διάγραμμα Καλύτερης Λύσης Αριθμός Γενεών για την πρώτη προσέγγιση του προβλήματος με τον αλγόριθμο DE. Εικόνα 5.14: Διάγραμμα ακτινοβολίας της καλύτερης λύσης για DE αλγόριθμο για την πρώτη προσέγγιση του προβλήματος για (αριστερά) και για (δεξιά). Για την δεύτερη προσέγγιση του προβλήματος, κρατώντας τις ίδιες παραμέτρους, ο αλγόριθμος επέστρεψε χειρότερα αποτελέσματα σε σχέση με την [47]

πρώτη προσέγγιση. Στην καλύτερη λύση, οι δευτερεύοντες λοβοί έχουν ύψος, αποτέλεσμα το οποίο είναι χειρότερο σε σχέση ακόμα και με την χειρότερη λύση της πρώτης προσέγγισης. Εξετάζοντας τις μέσες τιμές της τελευταίας γενιάς, παρατηρούμε ότι υπάρχει σύγκλιση, αλλά σε καμία περίπτωση καλύτερη από την πρώτη προσέγγιση. Πείραμα Πληθυσμός Γενεές Μέση τιμή Τελευταίας Γενεάς Καλύτερη Λύση Πίνακας 8: Αποτελέσματα αλγόριθμου DE για την δεύτερη προσέγγιση του προβλήματος. Εικόνα 5.15: Διάγραμμα Καλύτερης Λύσης Αριθμός Γενεών για την δεύτερη προσέγγιση του προβλήματος με τον αλγόριθμο DE. Εικόνα 5.16: Διάγραμμα ακτινοβολίας της καλύτερης λύσης για DE αλγόριθμο για την δεύτερη προσέγγιση του προβλήματος για (αριστερά) και για (δεξιά). [48]

Βελτιστοποίηση με Βάση την Βιογεωγραφία (Biogeography Based Optimization - BBO) Για την παραμετροποίηση της Βιογεωγραφικής Βελτιστοποίησης επιλέξαμε,, (ίσο με τον πληθυσμό) και. Και σε αυτό τον αλγόριθμο οι δύο καλύτερες λύσεις κάθε γενιάς επιβιώνουν και στην επόμενη. Όσον αφορά την συμπεριφορά του αλγόριθμου, η Βιογεωγραφική Βελτιστοποίηση επέστρεψε τα καλύτερα αποτελέσματα για την πρώτη προσέγγιση του αλγόριθμου, με ύψος δευτερευόντων λοβών χαμηλότερα από τον κύριο. Επίσης και η συμπεριφορά του αλγορίθμου ήταν πολύ καλή, αφού η μέση τιμή της τελευταίας γενεάς σε κάθε επανάληψη ήταν χαμηλότερα από. Τέλος, από το διάγραμμα καλύτερης λύσης γενεών συμπεραίνουμε ότι οι γενιές ήταν αρκετά μεγάλος αριθμός, αφού μετά την γενιά δεν υπάρχει σημαντική βελτίωση. Πείραμα Πληθυσμός Γενεές Μέση τιμή Τελευταίας Γενεάς Καλύτερη Λύση Πίνακας 9: Αποτελέσματα αλγόριθμου BBO για την πρώτη προσέγγιση του προβλήματος. Εικόνα 5.17: Διάγραμμα Καλύτερης Λύσης Αριθμός Γενεών για την πρώτη προσέγγιση του προβλήματος με τον αλγόριθμο BBO. [49]

Εικόνα 5.18: Διάγραμμα ακτινοβολίας της καλύτερης λύσης για BBO αλγόριθμο για την πρώτη προσέγγιση του προβλήματος για (αριστερά) και για (δεξιά). Όσον αφορά την δεύτερη προσέγγιση του προβλήματος, διατηρώντας και εδώ την ίδια παραμετροποίηση, ο αλγόριθμος μας επέστρεψε την καλύτερη λύση. Σε αυτή το ύψος των δευτερευόντων λοβών βρίσκεται χαμηλότερα σε σχέση με τον κύριο λοβό. Ωστόσο, και σε αυτή την περίπτωση δεν μπορούμε να πούμε ότι ο αλγόριθμος έδωσε καλύτερα αποτελέσματα στην δεύτερη προσέγγιση σε σχέση με την πρώτη, αφού υπάρχουν περιπτώσεις που επέστρεψε χειρότερες λύσεις σε σχέση με την χειρότερη της πρώτης προσέγγισης. Η συμπεριφορά του αλγόριθμου ήταν πολύ καλή και για αυτή τη προσέγγιση του προβλήματος, αφού η μέσες τιμές των ατόμων της τελευταίας γενιάς ήταν πολύ κοντά στην βέλτιστη τιμή. Από το διάγραμμα ελάχιστου κόστους αριθμού γενεών, μπορούμε να δούμε ότι πιθανότατα η καλύτερη λύση είχε δυνατότητα να μειωθεί ακόμα περισσότερο, διότι στις 300 γενεές παρατηρούμε ότι υπάρχει μία συνεχόμενη μείωση. Πείραμα Πληθυσμός Γενεές Μέση τιμή Τελευταίας Γενεάς Καλύτερη Λύση Πίνακας 10: Αποτελέσματα αλγόριθμου BBO για την δεύτερη προσέγγιση του προβλήματος. [50]

Εικόνα 5.19: Διάγραμμα Καλύτερης Λύσης Αριθμός Γενεών για την δεύτερη προσέγγιση του προβλήματος με τον αλγόριθμο BBO. Εικόνα 5.20: Διάγραμμα ακτινοβολίας της καλύτερης λύσης για BBO αλγόριθμο για την δεύτερη προσέγγιση του προβλήματος για (αριστερά) και για (δεξιά). Συμπεράσματα Ο χρόνος εκτέλεσης των προγραμμάτων που εκτελούνται για μεγάλη είσοδο ή τρέχουν επαναλαμβάνοντας τις ίδιες εντολές καθορίζεται από τον χρόνο εκτέλεσης της πιο αργής διαδικασίας. Όλοι οι εξελικτικοί αλγόριθμοι ανήκουν σε αυτή τη κατηγορία, αφού οι βασικές διαδικασίες εκτελούνται για κάθε γενιά. Εκτός αυτού, στους εξελικτικούς αλγόριθμους υπάρχουν και διαδικασίες οι οποίες εκτελούνται περισσότερο από μία φορά για κάθε γενιά. [51]

Η πιο αργή διαδικασία και κατ επέκταση αυτή η οποία καθορίζει τον χρόνο εκτέλεσης των αλγόριθμων είναι ο υπολογισμός του διαγράμματος ακτινοβολίας, δηλαδή ένα μέρος της διαδικασίας εκτίμησης της καταλληλότητας των ατόμων του πληθυσμού. Στην χειρότερη περίπτωση η διαδικασία αυτή θα εκτελεστεί φορές, όπου είναι ο αριθμός των γενεών και ο αριθμός των ατόμων του πληθυσμού. Εφόσον η πιο αργή διαδικασία παραμένει ίδια για όλους τους αλγόριθμους, οι χρόνοι εκτέλεσης δεν διαφέρουν ο ένας από τον άλλον. Εξαίρεση αποτελεί ο αλγόριθμος Διαφορικής Εξέλιξης, ο οποίος λόγω κακής υλοποίησης καλεί την διαδικασία εκτίμησης των ατόμων του πληθυσμού φορές. Η αργή εκτέλεση των αλγόριθμων ήταν η αιτία που μας ανάγκασε να περιορίσουμε τον αριθμό των πειραματικών δοκιμών. Αν και οι εξελικτικοί αλγόριθμοι είναι πλήρως στοχαστικοί, παρόλα αυτά είμαστε αναγκασμένοι να βγάλουμε συμπεράσματα από ένα μικρό δείγμα αποτελεσμάτων. Εκτός αυτού, ο μεγάλος χρόνος εκτέλεσης μας εμπόδισε να εξετάσουμε την συμπεριφορά των αλγόριθμων υπό διαφορετική παραμετροποίηση. Από τα αποτελέσματα που πήραμε, τις καλύτερες λύσεις τις επέστρεψε ο αλγόριθμος Βιογεωγραφικής Βελτιστοποίησης (BBO) με καλύτερη μία επίπεδη στοιχειοκεραία και με για την πρώτη προσέγγιση και για την δεύτερη προσέγγιση. Τα τρισδιάστατα διάγραμμα ακτινοβολίας των καλύτερων λύσεων για τις δύο προσεγγίσεις παρουσιάζονται στις εικόνες 5.21, 5.22, 5.23 και 5.24. Εξίσου καλές λύσεις επέστρεψαν και ο Γενετικός Αλγόριθμος (GA) και ο αλγόριθμος Διαφορικής Εξέλιξης (DE). Αντίθετα, οι χειρότερες λύσεις επιστράφηκαν από τον αλγόριθμο των Εξελικτικών Στρατηγικών (ES) και τον αλγόριθμο Βελτιστοποίησης Σμήνους Σωματιδίων (PSO), οι οποίοι έδειξαν σημάδια αδυναμίας σύγκλισης στην βέλτιστη λύση. Στην εικόνα 5.25 παρουσιάζεται το διάγραμμα καλύτερης λύσης αριθμού γενεών για την πρώτη προσέγγιση του προβλήματος, ενώ στην εικόνα 5.26 παρουσιάζεται το αντίστοιχο διάγραμμα για την δεύτερη προσέγγιση. Όσον αφορά τις δύο προσεγγίσεις του προβλήματος, από τα αποτελέσματα οδηγηθήκαμε στο συμπέρασμα ότι βελτιστοποιώντας και τον αριθμό των στοιχείων των υποπινάκων της στοιχειοκεραίας, εκτός από τα βάρη, μπορούμε σε μερικές περιπτώσεις να μειώσουμε ακόμα περισσότερο το ύψος των δευτερευόντων λοβών. Παρόλα αυτά, η αύξηση της πολυπλοκότητας ενός ήδη πολύπλοκου προβλήματος μπορεί να οδηγήσει στην επιστροφή χειρότερων αποτελεσμάτων. Αυτό φαίνεται στα αποτελέσματα του αλγόριθμου DE ο οποίος επέστρεψε καλύτερα αποτελέσματα για την πρώτη προσέγγιση παρά για την δεύτερη. [52]

Εικόνα 5.21: 3D διάγραμμα ακτινοβολία της καλύτερης λύσης για την 1 η προσέγγιση. Εικόνα 5.22: 3D διάγραμμα ακτινοβολία της καλύτερης λύσης για την 1 η προσέγγιση. [53]

Εικόνα 5.23: 3D διάγραμμα ακτινοβολία της καλύτερης λύσης για την 2 η προσέγγιση. Εικόνα 5.24: 3D διάγραμμα ακτινοβολία της καλύτερης λύσης για την 2 η προσέγγιση. [54]

Εικόνα 5.25: Διάγραμμα Καλύτερης Λύσης Αριθμός Γενεών για την πρώτη προσέγγιση του προβλήματος. Εικόνα 5.26: Διάγραμμα Καλύτερης Λύσης Αριθμός Γενεών για την δεύτερη προσέγγιση του προβλήματος. [55]