ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

Transcript

1 ΘΕΜΑ 1 ο (2.5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 21 Σεπτεµβρίου 2004 ιάρκεια: 3 ώρες Το παρακάτω σύνολο εκπαίδευσης είναι γραµµικά διαχωρίσιµο: # Είσοδος Έξοδος Χρησιµοποιείστε το παραπάνω σύνολο για να εκπαιδεύσετε έναν γραµµικό νευρώνα µε βηµατική συνάρτηση: 1, αν S > 0 Φ( S ) = 0, αν S 0 Για την εκπαίδευση χρησιµοποιείστε τον κανόνα δέλτα για βηµατικές συναρτήσεις ενεργοποίησης, w j =-d(a out -o)a j, όπου a out η τρέχουσα έξοδος του νευρώνα, o η επιθυµητή έξοδος του νευρώνα, w j το βάρος στην είσοδο j και a j η τρέχουσα τιµή της εισόδου j. Μπορείτε να χρησιµοποιήσετε οποιαδήποτε θετική τιµή θέλετε για την σταθερά d, π.χ. d=1. Παρατήρηση: Μην ξεχάσετε στον νευρώνα να προσθέσετε και µια είσοδο για την τάση πόλωσης. Θεωρείστε ότι η τάση πόλωσης ισούται µε 1. ώστε αρχικές τιµές σε όλα τα βάρη ίσες µε µηδέν. Υπόδειξη: Παρουσιάστε τη διαδικασία εκπαίδευσης συµπληρώνοντας τον παρακάτω πίνακα, για καλύτερη παρουσίαση της διαδικασίας µάθησης. Α/Α επανάληψης Α/Α παραδεί -γµατος Είσοδος Βάρη S Έξοδος Φ(S) Επιθυµη τή έξοδος Μεταβολές βαρών Απάντηση: Θα παρουσιάζουµε κυκλικά τα παραδείγµατα εκπαίδευσης στις εισόδους του νευρώνα (µαζί µε τη σταθερή τάση πόλωσης), θα υπολογίζουµε κάθε φορά την έξοδο και θα τη συγκρίνουµε µε την

2 επιθυµητή έξοδο για το εκάστοτε τρέχον παράδειγµα. Όταν η τρέχουσα και η επιθυµητή έξοδος συµπίπτουν δεν χρειάζεται να κάνουµε αλλαγή βαρών. Όταν όµως η τρέχουσα και η επιθυµητή έξοδος διαφέρουν, υπολογίζουµε τη µεταβολή του βάρους για κάθε µια από τις µη-µηδενικές εισόδους. Τη διαδικασία αυτή θα την εκτελέσουµε πολλές φορές, µέχρι τα βάρη να πάρουν τέτοιες τιµές ώστε να προκύπτει σωστή έξοδος για όλα τα παραδείγµατα εκπαίδευσης. Παρακάτω φαίνεται ο πίνακας συµπληρωµένος. # # Παραδείγµατα Βάρη S Φ(S) Επιθ. έξοδος Αλλαγές στα βάρη ΘΕΜΑ 2 ο (2.5 µονάδες) Έστω ένα ανταγωνιστικό δίκτυο µε τρεις εισόδους και δύο νευρώνες, Α και Β, το οποίο εκπαιδεύεται χωρίς επίβλεψη µε τα παρακάτω τέσσερα παραδείγµατα εκπαίδευσης: και µε αρχικά βάρη εισόδου τα: # Παράδειγµα παραδείγµατος 1 [0.8, 0.7, 0.4] 2 [0.6, 0.9, 0.9] 3 [0.3, 0.4, 0.1] 4 [0.1, 0.1, 0.3] # νευρώνας Βάρη εισόδου 1 [0.5, 0.6, 0.8] 2 [0.4, 0.2, 0.5]

3 Το νευρωνικό δίκτυο εκπαιδεύεται να οµαδοποιεί τα παραδείγµατα εισόδου στις οµάδες Α και Β. Έστω ότι ο ρυθµός εκπαίδευσης είναι a=0.5. είξτε πώς µεταβάλλονται τα βάρη κατά την πρώτη εποχή εκπαίδευσης. ίνεται ο κανόνας µάθησης Kohonen: W =W+a(X-W). Απάντηση: Προφανώς το δίκτυο έχει δυο νευρώνες, η έξοδος καθενός από τους οποίους αντιστοιχεί σε µια από τις δύο κατηγορίες. Η µάθηση είναι χωρίς επίβλεψη. Έστω ότι παρουσιάζουµε στην είσοδο το παράδειγµα 1. Η απόσταση του παραδείγµατος από τα βάρη των νευρώνων Α και Β είναι αντίστοιχα (αγνοώντας τις τετραγωνικές ρίζες): d A =( ) 2 +( ) 2 +( ) 2 =0.26 d Β =( ) 2 +( ) 2 +( ) 2 =0.42 Νικητής είναι ο νευρώνας Α, και έτσι τα βάρη του αλλάζουν σύµφωνα µε τον κανόνα Kohonen. Τα βάρη του νευρώνα Β παραµένουν αµετάβλητα. Έχουµε λοιπόν: w A (2)= [0.5, 0.6, 0.8]+0.5*([0.8,0.7,0.4] - [0.5, 0.6, 0.8])=[0.65,0.65,0.6] w B (2)=w B (1)=[0.4,0.2,0.5] Στη συνέχεια παρουσιάζουµε στην είσοδο το παράδειγµα 2. Η απόσταση του παραδείγµατος από τα βάρη των νευρώνων Α και Β είναι αντίστοιχα (αγνοώντας τις τετραγωνικές ρίζες): d A =( ) 2 +( ) 2 +( ) 2 =0.155 d Β =( ) 2 +( ) 2 +( ) 2 =0.69 Νικητής είναι και πάλι ο νευρώνας Α, και έτσι τα βάρη του αλλάζουν σύµφωνα µε τον κανόνα Kohonen. Τα βάρη του νευρώνα Β παραµένουν αµετάβλητα. Έχουµε λοιπόν: w A (3)= [0.65,0.65,0.6]+0.5*([0.6, 0.9, 0.9] - [0.65,0.65,0.6])=[0.625,0.775,0.750] w B (3)=w B (2)=[0.4,0.2,0.5] Στη συνέχεια παρουσιάζουµε στην είσοδο το παράδειγµα 3. Η απόσταση του παραδείγµατος από τα βάρη των νευρώνων Α και Β είναι αντίστοιχα (αγνοώντας τις τετραγωνικές ρίζες): d A =( ) 2 +( ) 2 +( ) 2 =0.67 d Β =( ) 2 +( ) 2 +( ) 2 =0.21 Νικητής τώρα είναι και ο νευρώνας Β, και έτσι τα βάρη του αλλάζουν σύµφωνα µε τον κανόνα Kohonen. Τα βάρη του νευρώνα Α παραµένουν αµετάβλητα. Έχουµε λοιπόν: w A (4) = w A (3) = [0.625,0.775,0.750] w B (4) = [0.4,0.2,0.5]+0.5*([0.3, 0.4, 0.1] - [0.4,0.2,0.5])=[0.35,0.3,0.3] Τέλος παρουσιάζουµε στην είσοδο και το παράδειγµα 4. Η απόσταση του παραδείγµατος από τα βάρη των νευρώνων Α και Β είναι αντίστοιχα (αγνοώντας τις τετραγωνικές ρίζες): d A =( ) 2 +( ) 2 +( ) 2 =0.93 d Β =( ) 2 +( ) 2 +( ) 2 =0.10 Νικητής τώρα είναι και πάλι ο νευρώνας Β, και έτσι τα βάρη του αλλάζουν σύµφωνα µε τον κανόνα Kohonen. Τα βάρη του νευρώνα Α παραµένουν αµετάβλητα. Έχουµε λοιπόν: w A (5) = w A (4) = [0.625,0.775,0.750] w B (5) = [0.35,0.3,0.3]+0.5*([0.1, 0.1, 0.3] - [0.35,0.3,0.3])=[0.225,0.2,0.3] ΘΕΜΑ 3 ο (2.5 µονάδες) Περιγράψτε τον τρόπο λειτουργίας των πιθανοκρατικών (ή πιθανοτικών) δικτύων για προβλήµατα κατηγοριοποίησης. Πώς επηρρεάζει η παράµετρος σ των ακτινικών νευρώνων την ( S i ) σ κατηγοριοποίηση; ίνεται η συνάρτηση ενεργοποίησης ακτινικών νευρώνων: Φ( S i ) = e

4 Απάντηση: Μια παραλλαγή των ακτινικών δικτύων µπορεί να χρησιµοποιηθεί για εφαρµογές κατηγοριοποίησης και µάλιστα µε πολύ καλά αποτελέσµατα. Τα σχετικά δίκτυα λέγονται πιθανοτικά δίκτυα (probabilistic neural networks). ιαφέρουν από τα ακτινικά δίκτυα που είδαµε στις προηγούµενες διαφάνειες κατά το ότι το επίπεδο εξόδου είναι ανταγωνιστικό. Η λογική είναι η εξής:! Έστω Ν αρχικά παραδείγµατα που κατατάσσονται σε 2 κατηγορίες Α και Β.! Έστω ένα νέο παράδειγµα Χ το οποίο θέλουµε να κατατάξουµε σε µια από τις δύο κατηγορίες.! Το Χ συγκρίνεται µε κάθε ένα από τα Ν παραδείγµατα και κάθε παράδειγµα συνεισφέρει στην πιθανότητα το Χ να ανήκει στην κατηγορία Α ή Β βάσει της απόστασης του Χ από το παράδειγµα και της σχέσης της διαφάνειας 191.! Οι επιµέρους πιθανότητες αθροίζονται και τελικά το Χ κατατάσσεται στην κατηγορία για την οποία προέκυψε µεγαλύτερο άθροισµα. Ένα πιθανοτικό δίκτυο έχει την παρακάτω δοµή: Ακτινικοί νευρώνες Ανταγωνιστικοί νευρώνες Οι νευρώνες του ακτινικού επιπέδου (κρυφό επίπεδο) είναι τόσοι όσα και τα παραδείγµατα εκπαίδευσης. Οι νευρώνες του ανταγωνιστικού επιπέδου (επίπεδο εξόδου) είναι τόσοι όσες και οι κατηγορίες (Υπενθύµιση: Από τους νευρώνες αυτούς θα ενεργοποιείται κάθε φορά µόνο ένας). Τα βάρη στις εισόδους κάθε νευρώνα του ακτινικού επιπέδου είναι ίδια µε τις τιµές του αντίστοιχου παραδείγµατος εκπαίδευσης. Τα βάρη µεταξύ των νευρώνων του ακτινικού και του ανταγωνιστικού επιπέδου είναι όλα µηδέν, εκτός από αυτά που συνδέουν νευρώνες του ανταγωνιστικού επιπέδου µε τις αντίστοιχές τους κατηγορίες και τα οποία είναι ίσα µε 1.! Άρα στην έξοδο κάθε ακτινικού νευρώνα υπάρχει µόνο ένα βάρος ίσο µε 1.! Υπενθύµιση: Κάθε νευρώνας του ανταγωνιστικού επιπέδου αντιστοιχεί σε ένα παράδειγµα εκπαίδευσης και άρα σε µία συγκεκριµένη κατηγορία εξόδου. Έστω Χ ένα παράδειγµα που εφαρµόζεται στην είσοδο του δικτύου. Για κάθε ακτινικό νευρώνα υπολογίζεται η απόσταση του Χ από τα βάρη του νευρώνα και τελικά ο νευρώνας παράγει µια έξοδο. Οι έξοδοι των ακτινικών νευρώνων µεταφέρονται στους κατάλληλους νευρώνες εξόδου. Ο νευρώνας εξόδου µε τη µεγαλύτερη είσοδο "νικά" και δίνει έξοδο 1, ενώ όλοι οι υπόλοιποι νευρώνες εξόδου δίνουν έξοδο 0. Η κατηγορία στην οποία κατατάσσεται µια νέα είσοδος εξαρτάται:! Από το πλήθος των αρχικών παραδειγµάτων που είναι "κοντά" στην είσοδο.! Από το πόσο κοντά σε κάθε τέτοιο παράδειγµα βρίσκεται η νέα είσοδος.! Από την τιµή της παραµέτρου σ (διαφάνεια 191).

5 Οριακές περιπτώσεις:! Εάν η παράµετρος σ γίνει πολύ µικρή (σ 0), κάθε παράδειγµα κατατάσσεται στην κατηγορία του πλησιέστερου παραδείγµατος.! Εάν η παράµετρος σ γίνει πολύ µεγάλη (σ ), το παράδειγµα κατατάσσεται σε εκείνη την κατηγορία που είχε τα περισσότερα παραδείγµατα εκπαίδευσης. ΘΕΜΑ 4 ο (2.5 µονάδες) Έστω το πρόβληµα του πλανώδιου πωλητή, όπου ένας πωλητής θέλει να επισκεφθεί Ν πόλεις µε τέτοιο τρόπο ώστε: α) Να µην επισκεφθεί δύο φορές την ίδια πόλη β) Να επιστρέψει στην πόλη από την οποία ξεκίνησε γ) Να ελαχιστοποιήσει τη συνολική απόσταση που θα διανύσει (θεωρούµε ότι είναι γνωστή η απόσταση µεταξύ δύο οποιωνδήποτε πόλεων). Περιγράψτε µια κωδικοποίηση του προβλήµατος αυτού για επίλυσή του µε γενετικούς αλγορίθµους, δηλαδή περιγράψτε τη µορφή των χρωµοσωµάτων και τον τρόπο λειτουργίας της διασταύρωσης και της µετάλλαξης. Αιτιολογείστε τις επιλογές σας. Απάντηση: Στο πρόβληµα αυτό η χρήση δυαδικής κωδικοποίησης και η εφαρµογή των τεχνικών της διασταύρωσης και της µετάλλαξης στην αρχική τους µορφή θα δηµιουργούσαν πολλά προβλήµατα. Επιλέγεται λοιπόν καταρχήν µια αναπαράσταση µε ακεραίους. Έτσι λοιπόν ένα χρωµόσωµα είναι ένα διάνυσµα ακεραίων της µορφής:! <i 1, i 2,..., i N > όπου! Ν ο αριθµός των πόλεων,! i 1, i 2,..., i N 1..N! i j i k για j k Το µεγαλύτερο πρόβληµα που εµφανίζεται είναι αυτό της αναπαραγωγής. Τόσο η διασταύρωση, όσο και η µετάλλαξη οδηγούν σε άκυρα χρωµοσώµατα. Υπάρχουν δύο λύσεις:! Ή διατηρούνται οι τεχνικές αναπαραγωγής ως έχουν και γίνεται επιδιόρθωση των άκυρων χρωµοσωµάτων.! Ή τροποποιούνται οι τεχνικές αναπαραγωγής ώστε να δίνουν πάντα έγκυρα χρωµοσώµατα. [ΠΡΟΣΟΧΗ: ΑΠΟ ΤΙΣ ΕΠΟΜΕΝΕΣ ΥΟ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΑΡΚΕΙ ΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΨΕΤΕ ΤΗ ΜΙΑ] Θα δούµε καταρχήν τη δεύτερη προσέγγιση. Οι βασικές ιδιότητες της διασταύρωσης και της µετάλλαξης, τις οποίες θέλουµε να διατηρήσουµε σε οποιαδήποτε τροποποίησή τους είναι οι εξής:! Η διασταύρωση απαιτεί πάντα δύο γονείς και παράγει δύο παιδιά.! Η µετάλλαξη απαιτεί ένα χρωµόσωµα και παράγει ένα µεταλλαγµένο χρωµόσωµα. Μια τροποποιηµένη µετάλλαξη, η οποία διατηρεί την εγκυρότητα των χρωµοσωµάτων είναι η εξής:! Εάν µια πόλη ενός χρωµοσώµατος επιλεγεί για µετάλλαξη, τότε ανταλλάσει θέση µε τη διπλανή της (ή και µε οποιαδήποτε άλλη). Θα περιγράψουµε τώρα τους τροποποιηµένους τελεστές διασταύρωσης, χρησιµοποιώντας τα χρωµοσώµατα:! p 1 =( )! p 2 =( ) Αρχικά επιλέγονται τυχαία δύο σηµεία διασταύρωσης σε κάθε χρωµόσωµα:! p 1 =( )! p 2 =( )

6 Στη συνέχεια δηµιουργείται η αρχική µορφή των απογόνων, διατηρώντας τα µεσσαία τµήµατα των αρχικών χρωµοσωµάτων. " o 1 =(x x x x x) " o 2 =(x x x x x) " p 1 =( ) " p 2 =( ) " o 1 =(x x x x x) " o 2 =(x x x x x) Στη συνέχεια, κάθε απόγονος συµπληρώνει τις πόλεις που του λείπουν από τον δεύτερο γονέα του, διατηρώντας τη σειρά των πόλεων του δεύτερου γονέα και προσέχοντας να µην επαναλάβει καµία πόλη:! o 1 =( )! o 2 =( ) Η εναλλακτική προσέγγιση αφορά τη χρήση τροποποιηµένης κωδικοποίησης, µε την οποία λειτουργούν οι συνήθεις τελεστές διασταύρωσης και µετάλλαξης. Αυτό το πετυχαίνει η ταξονοµηµένη αναπαράσταση (τουλάχιστον για την διασταύρωση). Στην ταξινοµηµένη αναπαράσταση ορίζουµε καταρχήν µια διάταξη των πόλεων, έστω 1,2,3,...9, εφόσον έχουµε 9 πόλεις. Στη συνέχεια, ένα χρωµόσωµα (δηλαδή µία διαδροµή του πλανώδιου πωλητή) αποτελείται από 9 αριθµούς:! <i 1, i 2,... i 9 > τέτοιους ώστε ο αριθµός i j να βρίσκεται στο διάστηµα 1..9-j+1. Για παράδειγµα, το παρακάτω είναι ένα έγκυρο χρωµόσωµα στην ταξινοµηµένη κωδικοποίηση:! < > Κάθε γονίδιο στην ταξινοµηµένη αναπαράσταση αντιστοιχεί στη θέση της πόλης στην αρχική διάταξη των πόλεων, εφόσον αφαιρεθούν οι πόλεις που δηλώνονται από τα προηγούµενα (προς τα αριστερά) γονίδια. Έτσι το χρωµόσωµα < > αντιστοιχεί στη διαδροµή < >. Το βασικό πλεονέκτηµα της ταξινοµηµένης αναπαράστασης είναι ότι η κλασσική διασταύρωση λειτουργεί πολύ καλά και παράγει έγκυρα χρωµοσώµατα-απογόνους. εν συµβαίνει όµως το ίδιο και µε την κλασσική µετάλλαξη. υστυχώς, πειραµατικά αποτελέσµατα έδειξαν ότι η ταξινοµηµένη αναπαράσταση δεν παράγει καλά αποτελέσµατα για το πρόβληµα του πλανώδιου πωλητή. ΘΕΜΑ 5 ο (2.5 µονάδες) α) Ορίστε την υποστήριξη (support) και την εµπιστοσύνη (confidence) ενός κανόνα συσχέτισης. β) Έστω ένα σύνολο δεδοµένων καιρού, που αφορούν την άποψη, τη θερµοκρασία και την υγρασία, όπως αυτά µετρήθηκαν το µεσηµέρι διαφόρων ηµερών. Οι τιµές των διαφόρων χαρακτηριστικών (πεδίων) του προβλήµατος είναι οι εξής: άποψη {ηλιοφάνεια, συννεφιά, βροχή} θερµοκρασία {θερµή, ήπια, δροσερή} υγρασία {υψηλή, κανονική} Τα δεδοµένα φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: άποψη θερµοκρασία υγρασία ηλιοφάνεια θερµή υψηλή ηλιοφάνεια θερµή υψηλή συννεφιά θερµή υψηλή βροχή ήπια υψηλή βροχή δροσερή κανονική

7 βροχή δροσερή κανονική συννεφιά δροσερή κανονική ηλιοφάνεια ήπια υψηλή ηλιοφάνεια δροσερή κανονική βροχή ήπια κανονική ηλιοφάνεια ήπια κανονική συννεφιά ήπια υψηλή συννεφιά θερµή κανονική βροχή ήπια υψηλή Βρείτε όλους τους κανόνες µε µία υπόθεση και ένα συµπέρασµα που έχουν υποστήριξη τουλάχιστον 3 και αξιοπιστία τουλάχιστον 65%. Υπόδειξη: Βρείτε πρώτα όλα τα σύνολα ενός στοιχείου που έχουν υποστήριξη τουλάχιστον 3, και στη συνέχεια κάντε το ίδιο για τα σύνολα δύο στοιχείων. Από τα σύνολα δύο στοιχείων που θα βρείτε σχηµατίστε τους κανόνες και ελέγξτε την εµπιστοσύνη τους. Απάντηση: α) Yποστήριξη (support): Είναι το πλήθος των παραδειγµάτων για τα οποία ο κανόνας εφαρµόζεται επιτυχώς (ισχύουν τόσο οι προϋποθέσεις όσο και τα αποτελέσµατά του). Εµπιστοσύνη (confidence): Είναι ο λόγος του πλήθους των παραδειγµάτων που υποστηρίζουν τον κανόνα προς το πλήθος των παραδειγµάτων που υποστηρίζουν τις προϋποθέσεις του κανόνα (ανεξαρτήτως τι γίνεται µε τα αποτελέσµατά του). β) Τα σύνολα ενός στοιχείου που έχουν υποστήριξη τουλάχιστον 3, µαζί µε την υποστήριξή τους, είναι τα εξής: {ηλιοφάνεια}=5, {συννεφιά}=4, {βροχή}=5 {θερµή}=4, {ήπια}=6, {δροσερή}=4 {υψηλή}=7, {κανονική}=7 Ουσιαστικά πρόκειται για όλα τα σύνολα ενός στοιχείου. Τα σύνολα δύο στοιχείων που έχουν υποστήριξη τουλάχιστον 3, µαζί µε την υποστήριξή τους, είναι τα εξής: {βροχή, ήπια}=3, {ηλιοφάνεια, υψηλή}=3 {βροχή,υψηλή}=3 {θερµή, υψηλή}=3, {ήπια,υψηλή}=4 {δροσερή,κανονική}=4 Από κάθε σύνολο δύο στοιχείων {Α,Β} µπορούν να προκύψουν δύο κανόνες: if Α then Β και if Β then Α. Αποµένει να ελέγξουµε την εµπιστοσύνη τους, για να δούµε ποιους θα κρατήσουµε. Οι κανόνες µε την εµπιστοσύνη καθενός εξ αυτών φαίνονται στον παρακάτω πίνακα: # Κανόνας συσχέτισης Εµπιστοσύνη 1 if άποψη=βροχή then θερµοκρασία=ήπια 3/5 = if θερµοκρασία=ήπια then άποψη=βροχή 3/6 = if άποψη=ηλιοφάνεια then υγρασία=υψηλή 3/5 = if υγρασία=υψηλή then άποψη=ηλιοφάνεια 3/7 = 0.43

8 5 if άποψη=βροχή then υγρασία=υψηλή 3/5 = if υγρασία=υψηλή then άποψη=βροχή 3/7 = if θερµοκρασία=θερµή then υγρασία=υψηλή 3/4 = if υγρασία=υψηλή then θερµοκρασία=θερµή 3/7 = if θερµοκρασία=ήπια then υγρασία=υψηλή 4/6 = if υγρασία=υψηλή then θερµοκρασία=ήπια 4/7 = if θερµοκρασία=δροσερή then υγρασία=κανονική 4/4 = 1 12 if υγρασία=κανονική then θερµοκρασία=δροσερή 4/7 = 0.57 Από τα παραπάνω φαίνεται ότι οι κανόνες που πληρούν το κριτήριο της αξιοπιστίας είναι οι 7, 9 και 11. ΑΠΑΝΤΗΣΤΕ 4 ΑΠΟ ΤΑ ΠΑΡΑΠΑΝΩ 5 ΘΕΜΑΤΑ