ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο : Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK Σύνοψη Παρουσιάζονται οι ψηφιακές διαμορφώσεις (α) Εγκάρσια (Quadrature Amplitude Modulation QAM) και (β) Φάσης (Phase Shift Keying PSK). Για την κάθε μια από αυτές δίνονται: (i) ο σηματικός αστερισμός, (ii) η δομή του πομπού και του δέκτη, (iii) η ανάλυση σφάλματος σε περιβάλλον λευκού αθροιστικού θορύβου και (iv) τα φασματικά χαρακτηριστικά. Δίνονται επίσης επεξεργασμένα παραδείγματα εξομοίωσης.

5 Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Περιεχόμενα Κεφαλαίου 5 5. Εισαγωγή... 4 5. Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM... 4 5.. Σηματικός χώρος και αναλυτικά σήματα βασικής ζώνης... 4 5.. Δομή πομπού και δέκτη ψηφιακής QAM... 6 5..3 Σηματικοί Αστερισμοί QAM... 7 5..4 Κωδικοποίηση Gray... 8 5..5 Πιθανότητα Σφάλματος ορθογωνικής QAM... 9 5..6 Σηματοθορυβική σχέση SNR και ανηγμένος σηματοθορυβικός λόγος Εb,av/No... 5..7 Φασματικά Χαρακτηριστικά Ψηφιακής QAM... 5.3 Ψηφιακή Διαμόρφωση (Μεταλλαγή) Φάσης PSK... 5.3. Αστερισμοί και αναλυτική περιγραφή σημάτων PSK... 5.3. Πομπός και Δέκτης PSK... 3 5.3.3 Πιθανότητα σφάλματος MPSK... 4 5.3.4 Κωδικοποίηση Gray... 6 5.3.5 Φασματικά Χαρακτηριστικά PSK... 7 5.4 Επεξεργασμένα Παραδείγματα... 8 5.4. Παράδειγμα 5.... 8 5.4. Παράδειγμα 5.... 5.5 Ασκήσεις προς εκτέλεση... 6 Βιβλιογραφία Αναφορές... 7 Πλαίσια Κεφαλαίου 5 Πλαίσιο 5.: Εγκάρσια Διαμόρφωση Πλάτους (QAM): (α) Σηματικό επίπεδο, (β) Παλμοσειρά QAM, (γ) Αναλυτικό επίπεδο παράστασης βασικής ζώνης... 5 Πλαίσιο 5.: Ψηφιακή διαμόρφωση QAΜ: (α) Πομπός, (β) Παράδειγμα κωδικοποίησης και διαμόρφωσης με χρήση ορθογωνικών παλμών βασικής ζώνης,... 6 Πλαίσιο 5.3: Σηματικοί αστερισμοί QAΜ... 7 Πλαίσιο 5.4: (α) Αλγόριθμος επαγωγικής κωδικοποίησης Gray αστερισμών MQAM, (β) Εποπτική εφαρμογή για Μ=4 και 6... 8 Πλαίσιο 5.5: Σηματικοί αστερισμοί και υποχώροι απόφασης για την ΜPSK, M=,4,8... Πλαίσιο 5.6: Πομπός (α) και δέκτης (β) QPSK (ή 4QAM)... 3 Πλαίσιο 5.7: Δέκτης ΜPSK... 4 Πλαίσιο 5.8: Σηματικός αστερισμός MPSK και αποστάσεις σημείων... 5 Πλαίσιο 5.9: Άνω φράγμα της πιθανότητας εσφαλμένου συμβόλου της MPSK... 6 Πλαίσιο 5.: (α) Συστηματική διαδικασία κωδικοποίησης MPSK κατά Gray, (β) Εφαρμογή για τη μετάβαση l 3... 7 Πλαίσιο 5.: Θεωρητικές καμπύλες και σημεία εξομοίωσης ψηφιακής QAM... 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK 53 Πλαίσιο 5.: Πλαίσιο 5.3: Πλαίσιο 5.4: Πυκνότητα φάσματος ισχύος (db/hz) 6QAM, άνω: μορφοποίηση τετρ. παλμού, κάτω: μορφοποίηση με παλμό Nyquist (α=.5, αριστερά: αναλυτικό σήμα (βασικής ζώνης), δεξιά: πραγματικό ζωνοπερατό σήμα (f c=4/t d)... 3 Διάγραμμα Οφθαλμού (α) και Διάγραμμα Διασκορπισμού (β), 6QAM, για ανηγμένο σηματοθορυβικό λόγο E b/n o=6db... 4 Παλμοί μορφοποίησης ανυψωμένου συνημιτόνου και ορθογωνικός: (α) πεδίο συχνότητας, (β) πεδίο χρόνου... 5 Κώδικας προγραμματισμού Κεφαλαίου 5 Κώδικας 5.: Συνάρτηση παραγωγής και φώρασης θορυβώδους αναλυτικού σήματος QAΜ πλήρους ορθογωνικού πλέγματος, καθώς και καταμέτρησης των λαθών... 9 Κώδικας 5.: Εξομοίωση Πομπού και Δέκτη QAM, σε περιβάλλον λευκού αθροιστικού θορύβου...

54 Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 5. Εισαγωγή Τα σχήματα ψηφιακής διαμόρφωσης (ή ψηφιακής μεταλλαγής) φάσης (PSK Phase Shift Keying) και ψηφιακής εγκάρσιας διαμόρφωσης πλάτους (QAM Quadrature Amplitude Modulation) έχουν δισδιάστατους σηματικούς αστερισμούς στο αναλυτικό επίπεδο (πλάτουςφάσης) ταλαντώσεων σε συγκεκριμένη φέρουσα συχνότητα. Η συμπεριφορά τους παρουσία θορύβου εξαρτάται από τις αποστάσεις των σημείων (άρα από το πλήθος και τη διάταξή τους, για δεδομένη ισχύ), ενώ το φασματικό εύρος δεν επηρεάζεται από το πλήθος των σημείων. Μεγάλοι σηματικοί αστερισμοί PSK και QAM χρησιμοποιούνται σε αξιόπιστους διαύλους (με χαμηλό θόρυβο) για την επίτευξη μεγάλων ρυθμών μετάδοσης. Για εκτενέστερη μελέτη δείτε: [SKLA, κεφ. 4], [PROA5, ενότ. 8.6, 8.7]. 5. Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM 5.. Σηματικός χώρος και αναλυτικά σήματα βασικής ζώνης Ας θεωρήσουμε τον δισδιάστατο σηματικό χώρο (επίπεδο) με γενετήρια διανύσματα τα ( t) cos f t και ( t) sin f t, ορισμένα στη βασική x c περίοδο Τd με fc κάποιο ακέραιο πολλαπλάσιο του Baud Rate /Τd. Κάθε σημείο si=[six,siy] του χώρου αυτού αντιστοιχεί σε σήμα ταλάντωσης στη συχνότητα fc, πλάτους si και αρχικής φάσης θi=tan (siy/six), δηλ. si(t)= si cos(πfct +θi). Κατ επέκταση, οποιαδήποτε χρονική τροχιά στο σηματικό επίπεδο αντιστοιχεί στο σήμα της (αναλογικής) εγκάρσιας διαμόρφωσης των συνιστωσών της, δηλαδή s( t) [ s ( t), s ( t)] s( t) s ( t)cos f t s ( t)sin f t (5.) x y x c y c Αν το σηματικό επίπεδο ταυτοποιηθεί με το μιγαδικό επίπεδο, τότε από την (5.) αναδεικνύεται η σχέση μεταξύ ζωνοπερατών και των ισοδύναμων αναλυτικών σημάτων βασικής ζώνης. Με άλλα λόγια, το u ~ ( t) u ( t) ju ( t) s ( t) js ( t ) είναι το αναλυτικό (μιγαδικό) ισοδύναμο βασικής ζώνης του s(t), σύμφωνα με τη σχέση (5.): ~ t x y x y Re{ ~ j f c u( t) u ( t) ju ( t) s ( t) js ( t) s( t) u( t) e } (5.) Όλες οι μετρικές σχέσεις (μέτρα, αποστάσεις σημείων) του (ζωνοπερατού) σηματικού χώρου διατηρούνται αυτούσιες στο μιγαδικό επίπεδο. Ένα σύστημα ψηφιακής διαμόρφωσης ΜQAM βασίζεται στην επιλογή Μ (= k ) σημείων στο σηματικό επίπεδο και την αντιστοίχισή τους (κωδικοποίηση) σε kάδες y c x y x y Για την απλοποίηση των συμβολισμών δεν επελέγησαν μοναδιαία διανύσματα.

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK 55 δυαδικών ψηφίων. Για τη μετάδοση μιας δυαδικής ακολουθίας, αυτή χωρίζεται σε ομάδες των k bits, για να παραχθούν στη συνέχεια αντίστοιχοι παλμοί, σύμφωνα με την υιοθετηθείσα κωδικοποίηση των σημείων του σηματικού αστερισμού. Στη γενικότερη περίπτωση, η (ζωνοπερατή) παλμοσειρά QAM έχει τη μορφή: s( t) n Re{ u ~ [ n] h( t nt d ) e } Re{ e jf c ( tnt ) jf t d c n u~ [ n] h( t nt d )} (5.3) όπου h(t) κατάλληλος παλμός βασικής ζώνης (όχι αναγκαστικά ορθογωνικός, όπως υποθέσαμε προηγουμένως). Όπως προκύπτει από το τελευταίο σκέλος της σχέσης (5.3), το αναλυτικό ισοδύναμο μιας παλμοσειράς QAM είναι μια αναλυτική παλμοσειρά βασικής ζώνης της μορφής: Αναλυτική παλμοσειρά QAM (βασικής ζώνης): u ~ ( t) u ~ [ n] h( t nt d ) (5.4) Με βάση τις παραπάνω σχέσεις (5.3) και (5.4), αν εργαστούμε στο μιγαδικό επίπεδο με τα αναλυτικά σήματα, η διαδικασία της ψηφιακής διαμόρφωσης QAM είναι παρόμοια με αυτήν της διαμόρφωσης ASK, μόνο που εδώ έχουμε μιγαδικά βάρη παλμών βασικής ζώνης (u[n]), αντί πραγματικά. Όπως και στην ASK, μπορούμε να επιλέξουμε οποιαδήποτε μορφή τέτοιων παλμών (ορθογωνικών, Nyquist κ.λπ.), για να ικανοποιήσουμε τις επιθυμητές φασματικές προδιαγραφές. Στο σχήμα 5. δείχνονται: (α) το σηματικό επίπεδο, (β) παράδειγμα παλμοσειράς QAM, καθώς και (γ) η αναλυτική της μορφή και παράσταση στο μιγαδικό επίπεδο. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα χρησιμοποιήθηκε ορθογωνικός παλμός βασικής ζώνης h(t). Στο εργαστηριακό μέρος θα μελετηθούν περιπτώσεις διαμόρφωσης QAM με παλμούς Nyquist. n ( t) sin f t y ( t) cos f t x c θ [six, siy] si c.. (n)td nt d u x+j u y=s ix+js iy u θ t (α) (β) (γ) Πλαίσιο 5.: Εγκάρσια Διαμόρφωση Πλάτους (QAM): (α)σηματικό επίπεδο, (β) Παλμοσειρά QAM, (γ) Αναλυτικό επίπεδο παράστασης βασικής ζώνης

56 Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 5.. Δομή πομπού και δέκτη ψηφιακής QAM Στο σχήμα 5. φαίνεται ο πομπός (αριστερά) και ο δέκτης (δεξιά) ψηφιακής QAM σε διαγραμματική μορφή. Δείχνονται επίσης ενδεικτικά σήματα στα ενδιάμεσα στάδια, στην ειδική περίπτωση δεκαεξαδικής QAM και ορθογωνικών παλμών βασικής ζώνης. Η προς εκπομπή δυαδική ακολουθία διαμερίζεται σε ομάδες των k log M 4 bits (μετατροπή σειριακής σε παράλληλη) και στη συνέχεια παράγεται η ακολουθία συμβόλων QAM, με βάση την κωδικοποίηση των σημείων του σηματικού αστερισμού. Η ακολουθία αυτή διαχωρίζεται σε πραγματικό (in phase) και φανταστικό (quadrature) μέρος, τα οποία οδηγούν ανεξάρτητα δύο φίλτρα μορφοποίησης παλμών βασικής ζώνης, οι έξοδοι των οποίων διαμορφώνονται κατά QAM στη συχνότητα fc. Οι αντίστροφες λειτουργίες επιτελούνται στον δέκτη: μετά την εγκάρσια αποδιαμόρφωση, κάθε συνιστώσα τροφοδοτεί ένα προσαρμοσμένο φίλτρο που με τη βοήθεια ανιχνευτή μέγιστης πιθανοφάνειας δίνει το αντίστοιχο μέρος (πραγματικό και φανταστικό) της ακολουθίας. Τέλος, ο αποκωδικοποιητής μετατρέπει τα μιγαδικά σύμβολα σε kάδες δυαδικών ψηφίων που σειριοποιούμενες δίνουν την αρχική δυαδική ακολουθία. u ~ [ n ] u ~ [ n ] u ~ [ n ] s(t) Εγκάρσιος Διαμορφωτής cos f c sin s I (t) s Q (t) Εγκάρσιος Αποδιαμορφωτής LPF cos f c sin LPF Φίλτρο Μορφοποίησης Παλμών Βασ. Ζώνης (inphase) Φίλτρο Μορφοποίησης Παλμών Βασ. Ζώνης (quadrature) Προσαρμ. Φίλτρο & Ανιχνευτής Μεγ. Πιθανοφ. (inphase) Προσαρμ. Φίλτρο & Ανιχνευτής Μεγ. Πιθανοφ. (quadrature) u x [n] Re Im Κωδικοποιητής & Γεννήτρια Συμβόλων QAM u y [n] T T 3T t u ~ [ n ] +j 3+3j 3j j Αποκωδικοποιητής a[n]= Πλαίσιο 5.: Ψηφιακή διαμόρφωση QAΜ: (α) Πομπός, (β) Παράδειγμα κωδικοποίησης και διαμόρφωσης με χρήση ορθογωνικών παλμών βασικής ζώνης

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK 57 5..3 Σηματικοί Αστερισμοί QAM Όπως κατέδειξε η ανάλυση σφάλματος των σχημάτων σύμφωνης αποδιαμόρφωσης παρουσία λευκού αθροιστικού θορύβου Gauss, η επίδοση των εν λόγω συστημάτων εξαρτάται κατά βάση από την ελάχιστη απόσταση των σημείων του σηματικού τους αστερισμού. Στην QAM, τα σημεία διευθετούνται επί του σηματικού επιπέδου εντός κύκλου του οποίου η ακτίνα προσδιορίζεται από τη μέγιστη ισχύ σήματος. Για δεδομένο πλήθος σημείων Μ(= k ) και μέγιστη ισχύ σήματος υπάρχουν (θεωρητικά) βέλτιστες διατάξεις που μεγιστοποιούν την ελάχιστη απόσταση των σημείων. Στην πράξη χρησιμοποιούνται διάφορες υποβέλτιστες διατάξεις, όπως πολλές του Πλαισίου 5.3, η επιλογή των οποίων γίνεται με συνεκτίμηση και άλλων παραγόντων, όπως π.χ. της ευκολίας της υλοποίησης. Ένας συχνά χρησιμοποιούμενος τύπος διατάξεων QAM είναι του ορθογωνικού πλέγματος. Το πλήρες ορθογωνικό πλέγμα, ειδικότερα, με Μ= l, l=,,3, με την ιδιότητα της συμμετρίας ως προς τους δύο άξονες, μπορεί να υλοποιηθεί ως συνδυασμός δύο ανεξάρτητων, ορθογώνιων LASK κλάδων L= l. Με αναφορά στο σχήμα 5., αυτό πρακτικά σημαίνει ότι η πρώτη μονάδα του πομπού QAM (Κωδικοποιητής και Γεννήτρια Συμβόλων QAM) μπορεί να διαχωριστεί σε δύο ανεξάρτητες μονάδες κωδικοποίησης και παραγωγής πλατών LASK (με κωδικοποίηση l bits ανά διακριτό πλάτος). Προηγείται ένας αποπλέκτης : για τη διαίρεση της δυαδικής ακολουθίας εισόδου σε δύο υπακολουθίες, μία για κάθε ASK κλάδο. Αντίστοιχα διαιρείται σε δύο ανεξάρτητες μονάδες και ο αποκωδικοποιητής στον δέκτη (βλ. Πλαίσιο 5.6 πιο κάτω για την ειδική περίπτωση της 4QAM). ορθογωνικός (,3) Μ=4 ορθογωνικός τριγωνικός (,7 τετραγωνικός (5,) (4,) (4,4 τριγωνικός εξαγωνικός Μ=8 Μ= Πλαίσιο 5.3: Σηματικοί αστερισμοί QAΜ

58 Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 5..4 Κωδικοποίηση Gray Ο τρόπος κωδικοποίησης των M σημείων του σηματικού αστερισμού, της αντιστοίχισής τους δηλαδή σε kάδες δυαδικών ψηφίων, όπου k log M, έχει επίπτωση στην επίδοση του συστήματος. Είναι φανερό ότι, σε περίπτωση λάθους, πιθανότερα σημεία (εσφαλμένης) αναγνώρισης είναι τα γειτονικά. Η κωδικοποίηση Gray εκμεταλλεύεται αυτήν την παρατήρηση και κωδικοποιεί γειτονικά σημεία με συνδυασμούς bits που διαφέρουν μόνο κατά bit. Ένας συστηματικός τρόπος κωδικοποίησης κατά Gray ενός πλήρους ορθογωνικού πλέγματος ΜQAM, όπου Μ= l, l=,,3, δίνεται στο Πλαίσιο 5.4. i. Για l= (Μ=4): Η κωδικοποίηση του σχηματισμού 4QAM κατά Gray είναι τετριμμένη [σχήμα 5.4(α)]. ii. Με γνωστή την κωδικοποίηση κατά Gray του σχηματισμού τάξης l (με αριθμό σημείων Μ= l, και κωδικές λέξεις μήκους k=l), η κωδικοποίηση κατά Gray του σχηματισμού τάξης l+ λαμβάνεται ως εξής: a. Μεταφέρεται ο σχηματισμός τάξης l στις κατάλληλες θέσεις του ου τεταρτημορίου. b. Λαμβάνονται τα κατοπτρικά αυτού του σχηματισμού ως προς τους δύο άξονες ( ο και 4 ο τεταρτημόριο) και ως προς την αρχή των αξόνων (3 ο τεταρτημόριο) c. Οι κωδικές λέξεις, επαυξάνονται κατά δύο bits, παίρνοντας πρόθεμα, σε κάθε τεταρτημόριο, το αντίστοιχο dibit του σχηματισμού 4QAM, δηλ. [] οι λέξεις του ου τεταρτημορίου, [] του ου, [] του τρίτου και [] του 4 ου τεταρτημορίου. (α) 5 4 3 3 xx 4 xx xx y y 5 5 4 3 3 4 5 y y InPhase (β ) Πλαίσιο 5.4: (α) Αλγόριθμος επαγωγικής κωδικοποίησης Gray αστερισμών MQAM, (β) Εποπτική εφαρμογή για Μ=4 και 6 xx Στην περίπτωση χωρισμού σε δύο ανεξάρτητους, μονοδιάστατους σηματικούς αστερισμούς, η κωδικοποίηση είναι όπως παρακάτω: xx xx xx xx

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK 59 Το ότι ο αλγόριθμος του Πλαισίου 5.4 δίνει όντως σχηματισμούς Gray είναι προφανές: Εντός του ίδιου τεταρτημορίου η επαύξηση των κωδικών λέξεων με το ίδιο πρόθεμα δεν αλλοιώνει την κωδικοποίηση Gray, η οποία είναι εξασφαλισμένη από το προηγούμενο βήμα, ενώ κατά μήκος των ορίων των τεσσάρων τεταρτημορίων η κατοπτρική κατασκευή εξασφαλίζει και πάλι στα γειτονικά σημεία (ένθεν κακείθεν των αξόνων) διαφορά κωδικών λέξεων μόνο κατά bit (αυτή του προθέματος). 5..5 Πιθανότητα Σφάλματος ορθογωνικής QAM Για αναλυτικό σήμα MQAM, πλήρους ορθογωνικού πλέγματος LxL σημείων στο μιγαδικό επίπεδο, και κωδικοποίηση Gray, η πιθανότητα εσφαλμένου bit (ή το BER) ισούται περίπου με την αντίστοιχη πιθανότητα (ή το BER) του LASK για ίδιο ανηγμένο σηματοθορυβικό λόγο. Πιο συγκεκριμένα είναι: P P b L QAM b LASK Pb LASK L P,, log, b, LASK (5.5) Με άλλα λόγια, οι καμπύλες BEREb/No της LASK περίπου ταυτίζονται με τις αντίστοιχες L QAM, L=, 4, 8... Απόδειξη της (5.5): Η μέση ενέργεια Εav,u του αναλυτικού σήματος u ~ ( t) u ( t) ju ( t ) ισούται με το άθροισμα των ενεργειών των δύο στατιστικά ανεξάρτητων εγκάρσιων συνιστωσών του, δηλαδή: E E E E (5.7) E av, u av, x av, y av, x av, y Από την (5.7) προκύπτει: E E, και av, L QAM av, LASK E E / log L, E / log N N N b L QAM av, L QAM av, LASK b, LASK (5.8) o o o x L E N Όσον αφορά την πιθανότητα εσφαλμένου συμβόλου, λόγω της κωδικοποίησης και αποκωδικοποίησης δύο στατιστικά ανεξάρτητων συνιστωσών τύπου ASK, είναι: P o P P P, P P,,,, e L QAM c L QAM c LASK e LASK e, LASK e, L ASK όπου Pe και Pc οι πιθανότητες εσφαλμένης και ορθής αναγνώρισης συμβόλου αντίστοιχα. Επομένως, η πιθανότητα εσφαλμένου bit είναι: y P P P e, L QAM e, L ASK e, L ASK b, L ASK P b L QAM b L ASK P,, b, L ASK Gray log L L L coding log log P P log L Η τελευταία σχέση, σε συνδυασμό και με την (5.8), συνεπάγεται ότι οι καμπύλες Eb, av P και Eb, av P b, L QAM b, L ASK ταυτίζονται. N N o o

5 Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Με βάση τα εξαγόμενα του Κεφαλαίου 3 για την LASK (Παράδειγμα 3.), είναι λοιπόν: Πιθανότητα Σφάλματος L 3log L Eb P erfc b, L QAM Ορθογωνικής QAM LxL L log L L N o (5.6) 5..6 Σηματοθορυβική σχέση SNR και ανηγμένος σηματοθορυβικός λόγος Εb,av/No Η σχέση που συνδέει τη σηματοθορυβική σχέση SNR με τον ανηγμένο σηματοθορυβικό λόγο προκύπτει ως εξής στην περίπτωση της QAM: Σύμφωνα με τη σχετική ανάλυση για τον ζωνοπερατό θόρυβο, η σηματοθορυβική σχέση του ζωνοπερατού σήματος διατηρείται στις δύο εγκάρσιες συνιστώσες: SNR Πρακτικά η (5.9) σημαίνει ότι SNR L ASK Px ( Py ) u SNRx SNRy (5.9) Fs No SNR L QAM SNR LASK. Εξάλλου E E b, L ASK log L Eb, L ASK log L b, L QAM log M N nsamp N nsamp ό N nsamp o o (5.8) o, ή SNR M QAM (db) E b / N o (db) *log( nsamp / log M ) (5.) Ο κώδικας του παραδείγματος 5. χρησιμοποιεί τη σχέση (5.) για να παραγάγει θορυβώδες αναλυτικό σήμα QAM για δοσμένο Eb/No και k =logm, το οποίο στη συνέχεια αποκωδικοποιεί με ΣΠΦ και μετράει τα λάθη. 5..7 Φασματικά Χαρακτηριστικά Ψηφιακής QAM Τα φασματικά χαρακτηριστικά σήματος ψηφιακής QAM προκύπτουν άμεσα από τις σχέσεις (5.3) και (5.4), που δίνουν το αναλυτικό ισοδύναμο βασικής ζώνης του σήματος αυτού, καθώς και τις σχέσεις (4.) και (4.). Έτσι, για το αναλυτικό σήμα QAM βασικής ζώνης u ~ ( t ), και αναγνωρίζοντας την ακολουθία u ~ [ n] των σχέσεων (5.3) και (5.4) ως το b[n] των σχέσεων (4.) και (4.), έχουμε: Αναλυτικό σήμα QAM (βασικής ζώνης): u~ ( t) b[ n] h( t nt d ), u ~ u ~ QAM C bb ( f ) H( f Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος * jfm bb ( f ) E{ b [ n] b[ n m]} e aναλυτικού σήματος QAM m (5.) ),

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK 5 Είναι φανερό ότι, για λευκή ακολουθία b[n], η ( f bb ) είναι μία σταθερά, οπότε το φάσμα (μορφή και εύρος) προσδιορίζεται κατά βάση από τους παλμούς βασικής ζώνης, h(t), είναι δε ανεξάρτητο του πλήθους Μ των σημείων του σηματικού αστερισμού. Σε επόμενες παραγράφους θα δοθούν συγκεκριμένα παραδείγματα. 5.3 Ψηφιακή Διαμόρφωση (Μεταλλαγή) Φάσης PSK Η Ψηφιακή Διαμόρφωση Φάσης (Phase Shift Keying PSK) χρησιμοποιεί σηματικούς αστερισμούς επί περιφέρειας κύκλου (στο μιγαδικό επίπεδο), ανήκει δηλαδή στο είδος διαμόρφωσης σταθερής περιβάλλουσας (constant envelope modulation). Είναι, προφανώς, ειδική περίπτωση της QAM και όλα όσα γενικά εκτέθηκαν στις προηγούμενες παραγράφους (δομή πομπού και δέκτη, φασματικά χαρακτηριστικά) ισχύουν ακριβώς και για την PSK. Ειδικά η QPSK (PSK τεσσάρων σημείων) είναι ταυτόσημη με την 4QAM. 5.3. Αστερισμοί και αναλυτική περιγραφή σημάτων PSK Στο Πλαίσιο 5.5 δείχνονται οι σηματικοί αστερισμοί PSK δύο, τεσσάρων και οκτώ σημείων, οι υποχώροι απόφασης (σε λευκό ο υποχώρος ενός σημείου σε κάθε σχήμα), καθώς και δυαδική κωδικοποίηση κατά Gray. Για τη Δυαδική Διαμόρφωση Φάσης (Binary Phase Shift Keying BPSK), ειδικότερα (σχήμα 5.5α), έχουμε μονοδιάστατο σηματικό αστερισμό αντίποδων σημάτων (antipodal signaling). φ φ φ φ φ (α) (β) (γ Πλαίσιο 5.5: Σηματικοί αστερισμοί και υποχώροι απόφασης για την ΜPSK, M=,4,8

5 Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο Για την PSK M τάξης με Μ>, τα σήματα s t i ( ) μπορούν να γραφούν ως E i si ( t) cos( f ct ), t Td, i,,..., M, (5.) T M 4 d όπου το σήμα φέρουσας συχνότητας είναι το cos( f t) Ανεξάρτητα από την τιμή του M, η διάσταση του χώρου είναι Ν= και ένα ορθοκανονικό σύνολο διανυσμάτων είναι το: ( t) ( t) cos( fct), T d sin( fct) T Με αυτά τα διανύσματα βάσης, τα s t d i ( ) γράφονται: c. (5.3) i i t) E cos( ) ( t) E sin( ) ( t), (5.4) M 4 M 4 s i ( δηλαδή, σύμφωνα με τους συμβολισμούς του Κεφαλαίου 3: i i ai E cos( ), ai E sin( ), i,,..., M. (5.5) M 4 M 4 Η παλμοσειρά ΜPSK, στη γενικότερή της μορφή γράφεται ως εξής: jf ct Σήμα ΜPSK: s( t) Re{ e u~ [ n] h( t nt )} n d (5.6) u~ [ n] ai a ja i M u~,,,..., [ n] (5.6 α ) όπου E i i και h(t) κατάλληλος παλμός βασικής ζώνης (ορθογωνικός, Nyquist κλπ) μοναδιαίας ενέργειας. Η αναλυτική παλμοσειρά PSK είναι, βεβαίως, όπως και της QAM: Αναλυτική παλμοσειρά PSK (βασικής ζώνης): u ~ ( t) u ~ [ n] h( t nt d ) (5.7) n Για Μ = 4 έχουμε την τετραφασική διαμόρφωση (Quadriphase Shift Keying QPSK), ταυτόσημη με την 4QAM. Ο σηματικός αστερισμός αποτελείται από 4 σημεία επί κύκλου ακτίνας E και σε γωνίες 45 ο, 35 ο, 5 ο, 35 ο, οι δε υποχώροι απόφασης είναι τα τέσσερα τεταρτημόρια, όπως φαίνεται στο σχ. 5.5(β).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK 53 5.3. Πομπός και Δέκτης PSK Όπως προαναφέρθηκε, για την MPSK, ως ειδική περίπτωση της QAM, ισχύει η δομή πομπού και δέκτη του Πλαισίου 5.. Η δομή αυτή απλουστεύεται στην περίπτωση της QPSK (ή 4QAM) όπως στο Πλαίσιο 5.6. Η απλούστευση συνίσταται, κατά πρώτον, στον διαχωρισμό του κωδικοποιητή (αντίστοιχα και του αποκωδικοποιητή) σε δύο ανεξάρτητους κλάδους, όπως είναι δυνατόν, βεβαίως, για κάθε πλήρη ορθογωνικό σχηματισμό QAM (βλ. σχετικές παρατηρήσεις παραγράφου 5..3). Κατά δεύτερον, κάθε κλάδος είναι μια απλή BPSK, με την κωδικοποίηση του bit εισόδου στο πρόσημο του παλμού (ορθογωνικού, Nyquist κ.λπ.) που παράγει η γεννήτρια παλμών (antipodal signaling). Η αποδιαμόρφωση είναι επίσης απλή: ελέγχεται το πρόσημο εξόδου καθενός από τους δύο συσχετιστές και αντίστοιχα αποφασίζεται για το τεταρτημόριο στο οποίο βρίσκεται το ληφθέν σήμα. Τέλος, αναφορικά και πάλι με τη γενική περίπτωση PSK, ο ανιχνευτής μέγιστης πιθανοφάνειας της γενικής δομής του σχήματος 5. μπορεί να υλοποιηθεί ως συγκριτής γωνιών, όπως φαίνεται στο σχ. 5.7. ( t) cos(f c ) T t a[n] ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ ΠΑΛΜΩΝ κυματομορφή ΑΠΟΠΛΕΚΤΗΣ : π/ QPSK &, + ( t) ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ ΠΑΛΜΩΝ (α) s i ( t) w( t) ( t) cos(f ct) T π/ ( t) T dt T dt y i y q ΕΛΕΓΚΤΗΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ ΕΛΕΓΚΤΗΣ ΠΡΟΣΗΜΟΥ, αν +, αν ΠΟΛΥΠΛΕΚΤΗΣ, αν +, αν (β) Πλαίσιο 5.6: Πομπός (α) και δέκτης (β) QPSK (ή 4QAM)

54 Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο ( t) cos(f c ) T t s i ( t) w( t) π/ ( t) T dt T dt y i y tan q ˆ y y q i s i : ˆ min ΑΝΙΧΝΕΥΤΗΣ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ i Α Π Ο Κ Ω Δ Ι Κ Ο Π Ο Ι Η Τ Η Σ Πλαίσιο 5.7: Δέκτης ΜPSK 5.3.3 Πιθανότητα σφάλματος MPSK Για τη ΜPSK, με την υπόθεση ότι τα Μ σημεία του σηματικού αστερισμού κατανέμονται ομοιόμορφα στην περιφέρεια κύκλου ακτίνας, όπως φαίνεται στο σχ. 5.8 (Ε είναι η ενέργεια κάθε στοιχειώδους σήματος), και επί πλέον ότι καθένα από τα Μ σύμβολα (που απεικονίζονται ένα προς ένα στα σημεία του σηματικού αστερισμού) εμφανίζεται με την ίδια πιθανότητα, το άνω φράγμα της πιθανότητας εσφαλμένης ανίχνευσης συμβόλου που διατυπώθηκε στο Κεφάλαιο 3 των σημειώσεων, η σχέση (3.) παίρνει τη μορφή: E d (5.8) M k em ( PSK) erfc k N o P M M αφού, λόγω συμμετρίας, είναι d ik d k erfc erfc k N o k N o για όλα τα i. ki Υπενθυμίζεται ότι ο όρος d ik erfc, i k, δίνει την πιθανότητα P( si, sk ), να N o έχει αποσταλεί δηλαδή ο παλμός s i και να ληφθεί σήμα στην περιοχή του s k. Η γεωμετρία του σχήματος 5.8 δίνει: d ik k i E sin ( ) (5.9) M

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK 55 s 4 s 3 s φ.... d 4= Esin 3π Μ s M s Πλαίσιο 5.8: Σηματικός αστερισμός MPSK και αποστάσεις σημείων Με αναγωγή της ενέργειας ανά σύμβολο Ε σε ενέργεια ανά μεταδιδόμενο bit E b, η (5.9) γίνεται: Πιθανότητα εσφαλμένης Ανίχνευσης συμβόλου ΜPSK: E log M ( k ) (5.) M b em ( PSK) erfc sin k No M P Για Μ = η (5.8) είναι ισότητα: Pe ( BPSK ) E erfc b N o (5.) Μια καλύτερη προσέγγιση της πιθανότητας λάθους για τη MPSK δίνεται από τη σχέση: E log M ( k ) (5.) M b em ( PSK) erfc sin k No M P Στο σχ. 5.9 έχουν σχεδιαστεί οι καμπύλες που δίνει η σχέση (5.) για Μ =, 4, 8, 6, ενώ έχουν υπερτεθεί και τα αντίστοιχα άνω φράγματα της σχέσης (5.8). Είναι φανερό ότι για μικρές τιμές του ανηγμένου σηματοθορυβικού λόγου Eb / N o δεν έχουμε επαρκή ακρίβεια των φραγμάτων (παίρνουμε τιμές πιθανότητας ακόμη και μεγαλύτερες της μονάδας!). Βλέπε, π.χ., [ΗΑΥΚ988, σ. 37]

56 Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο M= 4 8 6 3 4 5 6 7 8 5 5 5 Πλαίσιο 5.9: Άνω φράγμα της πιθανότητας εσφαλμένου συμβόλου της MPSK Τέλος, η πιθανότητα εσφαλμένου bit Pb μπορεί να υπολογιστεί από την πιθανότητα εσφαλμένου συμβόλου Pe, αν υποτεθεί κωδικοποίηση κατά Gray (όπως π.χ. στους αστερισμούς του σχ. 5.5), όπως και στην περίπτωση QAM: P b( M Pe ( M PSK) PSK) (5.3) Gray log M 5.3.4 Κωδικοποίηση Gray Μπορεί να ακολουθηθεί και εδώ μια επαγωγική μέθοδος κωδικοποίησης Gray, παρόμοια με αυτήν της περίπτωσης QAM πλήρους ορθογωνικού πλέγματος. Ορίζουμε ως τάξη του σχηματισμού το μήκος l της κωδικής λέξης (αριθμό bits), δηλ. log M. l

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK 57 i. Για l= (Μ=4): Η κωδικοποίηση Gray του σχηματισμού QPSK είναι τετριμμένη (σχ. 5.5(β)). ii. Με γνωστή την κωδικοποίηση Gray του σχηματισμού τάξης l (με αριθμό σημείων Μ= l ), η κωδικοποίηση κατά Gray του σχηματισμού τάξης l+ λαμβάνεται ως εξής: a) Ολισθαίνονται τα σημεία του σχηματισμού τάξης l επί της περιφέρειας, σαν βεντάλια, τα μεν του άνω ημιεπιπέδου δεξιόστροφα, τα δε του κάτω αριστερόστροφα, ώστε να έλθουν όλα στο δεξιό ημιεπίπεδο, με υποδιπλασιασμό των αντίστοιχων γωνιών. b) Λαμβάνονται τα κατοπτρικά τους ως προς τον κατακόρυφο άξονα (σημεία στο αριστερό ημιεπίπεδο) Οι κωδικές λέξεις επαυξάνονται κατά ένα bit, παίρνοντας ως πρόθεμα οι μεν του δεξιού ημιεπιπέδου το, οι δε του αριστερού το. (α) (c) (b) (a) (β) Πλαίσιο 5.: (α) Συστηματική διαδικασία κωδικοποίησης MPSK κατά Gray, (β) Εφαρμογή για τη μετάβαση l 3 5.3.5 Φασματικά Χαρακτηριστικά PSK Τα φασματικά χαρακτηριστικά της PSK, με βάση την αναλυτική σχέση (5.7), είναι τα ίδια με αυτά της ψηφιακής QAM, όπως περιγράφονται στην παράγραφο 5..6. Εξαρτώνται, δηλαδή, από το φάσμα του παλμού h(t) και τις στατιστικές ιδιότητες της ακολουθίας u ~ [ n ] (συγκεκριμένα συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της ακολουθίας αυτής). Δεν εξαρτώνται από το πλήθος Μ των σημείων του αστερισμού. Για PSK (και QAM) με ορθογωνικό παλμό μορφοποίησης και λευκή ακολουθία εισόδου, τα φάσμα του αναλυτικού σήματος (βασικής ζώνης) είναι: sin( ftd ) uuqam, PSK ftd sinc ( ftd ) (5.4)

58 Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 5.4 Επεξεργασμένα Παραδείγματα 5.4. Παράδειγμα 5. (Ι) Να γραφεί πρόγραμμασυνάρτηση σε MATLAB που να παράγει αναλυτικό σήμα MQAM πλήρους τετραγωνικού πλέγματος (Μ=L ), να υπερθέτει λευκό γκαουσιανό θόρυβο που να αντιστοιχεί σε συγκεκριμένο ανηγμένο σηματοθορυβικό λόγο Eb,av/No και, τέλος, να εξομοιώνει δέκτη σύμφωνου προσαρμοσμένου φίλτρου και να μετράει τα λανθασμένα σύμβολα. (II) Να παραχθούν θεωρητικές καμπύλες και σημεία εξομοίωσης BEREb/No για Μ=4, 6, 64 και να επιδειχτεί η ισχύς του (Ι), ότι δηλαδή οι καμπύλες αυτές περίπου ταυτίζονται με τις αντίστοιχες LASK, για L=,4,8. Υλοποίηση: (Ι) Ο Κώδικας 5. είναι η ζητούμενη συνάρτηση. Η συνάρτηση του Κώδικα 5. μπορεί να κληθεί, κατά τα γνωστά, από το bertool του MATLAB, ή από δικό μας MATLAB script για να δώσει την πιθανότητα σφάλματος για διάφορες τιμές του Μ (μεγέθους σηματικού αστερισμού) και του σηματοθορυβικού λόγου (Πλαίσιο 5.). Οι θεωρητικές καμπύλες έχουν παραχθεί με χρήση της σχέσης (5.6) [γραμμές 44 στον Κώδικα 5.]. Βεβαίως, το bertool δίνει και θεωρητικές καμπύλες, οι οποίες ταυτίζονται με αυτές που παράγονται από τη σχέση (5.6). Πλαίσιο 5.: Θεωρητικές καμπύλες και σημεία εξομοίωσης ψηφιακής QAM

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK 59. Function errors=qam_errors(k,nsymb,nsamp,ebno). % Η συνάρτηση αυτή εξομοιώνει την παραγωγή και αποκωδικοποίηση 3. % θορυβώδους ακολουθίας MQAM πλήρους ορθογωνικού πλέγματος LxL, 4. % μετράει δε και επιστρέφει τον αριθμό των παρατηρούμενων λαθών. 5. % k είναι ο αριθμός των bits ανά σύμβολο (άρτιος), έτσι L=^(k/). 6. % Nsymb είναι το μήκος της παραγόμενης ακολουθίας συμβόλων, 7. % nsamp είναι ο συντελεστής υπερδειγμάτισης (αριθ. δειγμάτων/τ), 8. % EbNo είναι ο ανηγμένος σηματοθορυβικός λόγος Eb/No, σε db. 9. %. M=^k; L=sqrt(M);. SNR=EbNo*log(nsamp/k); % SNR ανά δείγμα σήματος. x=*floor(l*rand(,nsymb))l+; % inphase 3. y=*floor(l*rand(,nsymb))l+; % quadrature 4. u=x+i*y; % Αναλυτικό σήμα QAM (βασικής ζώνης) 5. h=ones(,nsamp);% κρουστ. αποκρ. φίλτρου πομπού (ορθογ. παλμός) 6. ztx=upsample(u,nsamp); % μετατροπή στο πυκνό πλέγμα 7. ztx=conv(ztx,h); % το προς εκπομπή σήμα 8. ztx=ztx(:nsymb*nsamp);% περικόπτεται η ουρά που αφήνει η συνέλιξη 9. Pztx=*log(ztx*ztx'/length(ztx));%ισχύς μιγαδικού σήματος,σε db. Pn=PztxSNR; % αντίστοιχη ισχύς μιγαδικού θορύβου, σε db. Pnx=^(Pn/)/; Pny=Pnx; % ισχύς κάθε μιας συνιστώσας θορύβου. nx=sqrt(pnx)*randn(,length(ztx)); 3. ny=sqrt(pny)*randn(,length(ztx)); 4. n=nx+i*ny; % μιγαδικό σήμα θορύβου 5. znoisy=ztx+n; % θορυβώδες μιγαδικό QAM σήμα 6. %% 7. z=reshape(znoisy,nsamp,length(znoisy)/nsamp); 8. matched=h; 9. zrx=matched*z/nsamp; 3. zi=real(zrx); zq=imag(zrx); % in phase & quadrature components 3. l=[l+::l]; 3. for p=:length(zrx) 33. [m,j]=min(abs(lzi(p))); 34. zi(p)=l(j); 35. [m,j]=min(abs(lzq(p))); 36. zq(p)=l(j); 37. end 38. err=not(u==(zi+i*zq)); 39. errors=sum(err); 4. % Θεωρητικός υπολογισμός Pe & Pb 4. % Pe=*(L)/L*erfc(sqrt(3*k//(L^)*^(EbNo/))); 4. % Pb=Pe/log(M); 43. end Κώδικας 5.: Συνάρτηση παραγωγής και φώρασης θορυβώδους αναλυτικού σήματος QAΜ πλήρους ορθογωνικού πλέγματος, καθώς και καταμέτρησης των λαθών

5 Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 5.4. Παράδειγμα 5. Α. Να γραφεί πρόγραμμα σε MATLAB που να κάνει πλήρη εξομοίωση ενός πομποδέκτη ψηφιακής QAΜ, σύμφωνα με το σχ. 5.. Συγκεκριμένα: I. Παράγει ακολουθία συμβόλων L QAM, κωδικοποιώντας κατά Gray τυχαία δυαδική ακολουθία εισόδου. II. Παράγει αναλυτικό σήμα QAM με βάση την ακολουθία του (Ι) και παλμούς βασικής ζώνης: (α) ορθογωνικούς, (β) Nyquist (φίλτρο τετραγωνικής ρίζας γραμμικής πτώσης). III. Διαμορφώνει εγκάρσια το αναλυτικό σήμα και προσθέτει γκαουσιανό θόρυβο για συγκεκριμένη σηματοθορυβική σχέση. IV. Αποδιαμορφώνει το ζωνοπερατό σήμα και αναπαράγει την αρχική ακολουθία με χρήση σύμφωνου προσαρμοσμένου φίλτρου και κατάλληλης αποκωδικοποίησης. Μετρά τα εσφαλμένα bits. V. Υπολογίζει και σχεδιάζει το φάσμα τόσο του σήματος βασικής ζώνης όσο και του ζωνοπερατού QAM. Σχεδιάζει ενδεικτικά «διαγράμματα οφθαλμού» (eye diagrams) και διαγράμματα διασποράς (scatter plots). Β. Να σχολιαστούν τα διαγράμματα φάσματος ισχύος για τις δύο περιπτώσεις (α) και (β) του ερωτήματος ΙΙ. Υλοποίηση: Α. Το ζητούμενο πρόγραμμα δίνεται από τον Κώδικα 5.. I. Το τμήμα 634 παράγει διάνυσμα κωδικοποίησης Gray (mapping), με τα σύμβολα QAM του σηματικού αστερισμού σε κατάλληλη διάταξη. Συγκεκριμένα, το δεκαδικό ισοδύναμο μιας δυαδικής λέξης (μήκους k), αυξημένο κατά ένα, δίνει την τάξη του αντίστοιχου συμβόλου QAM στο διάνυσμα mapping: π.χ. για k 4 : x bide xsym 9 mapping(xsym) y 3 Η δυαδική ακολουθία ακολουθία εισόδου x παράγεται και κωδικοποιείται κατά Gray στο τμήμα 374. II. Στο τμήμα κώδικα 4453 ορίζεται το φίλτρο μορφοποίησης (ορθογωνικός παλμός ή τετραγωνικής ρίζας Nyquist, ανάλογα με την παράμετρο pulse_type) και στη συνέχεια παράγεται και μορφοποιείται η παλμοσειρά QAM βασικής ζώνης (5556). III. Στη συνέχεια παράγεται το πραγματικό ζωνοπερατό σήμα QAM (γραμμές 6 6 του κώδικα) και προστίθεται λευκός γκαουσιανός θόρυβος κατάλληλης ισχύος,σύμφωνα με το SNR που αντιστοιχεί στο δοσμένο Eb/No (γραμμές 67 7). j

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK 5 IV. Ο Δέκτης εξομοιώνεται στο υπόλοιπο του κώδικα (γραμμές 7495), ενώ εκτιμάται και ο ρυθμός λαθών με δύο τρόπους: (α) με σύγκριση της αναπαραγόμενης ακολουθίας συμβόλων QAM με την αρχική (β) με σύγκριση της δυαδικής ακολουθίας εξόδου xrx με την αρχική x. V. Σε κατάλληλα σημεία του κώδικα σχεδιάζονται οι ζητούμενες κυματομορφές με τη βοήθεια της συνάρτησης pwelch του MATLAB. Στα σχήματα 5. και 5.3 δείχνονται ενδεικτικά διαγράμματα.. % Εξομοιώνεται το πλήρες σύστημα πομπούδέκτη QAM, με αφετηρία. % δυαδική ακολουθία προς εκπομπή. Γίνεται κωδικοποίηση 3. % Gray, ενώ Γκαουσιανός θόρυβος προστίθεται στο ζωνοπερατό 4. % QAM σήμα για δοσμένο σηματοθορυβικό λόγο Eb/No. 5. % Δίνεται δυνατότητα επιλογής φίλτρου μορφοποίησης βασικής ζώνης 6. % (ορθογωνικό ή Nyquist), ενώ μετράται το BER μετά τη βέλτιστη 7. % αποδιαμόρφωση με το αντίστοιχο προσαρμοσμένο φίλτρο. 8. % M (=^k, k άρτιο)είναι το μέγεθος του σηματικού αστερισμού, 9. % mapping είναι το μιγαδικό διάνυσμα των Μ QAM συμβόλων,. % σε διάταξη κωδικοποίησης Gray. % Nsymb είναι το μήκος της ακολουθίας QAM,. % nsamp είναι ο συντελεστής υπερδειγμάτισης, (# δειγμάτων/τ) 3. % EbNo είναι ο λόγος Eb/No, in db 4. % 5. close all; clear all; 6. L=8; % LxL σηματικός αστερισμός, L=^l, l> 7. l=log(l); k=*l; M=L^; 8. Nsymb=3; 9. pulse_type=; % επιλογή rtrapezium ως φίλτρου μορφοποίησης. % pulse_type=; % επιλογή μορφοποίησης ορθογωνικού παλμού. nsamp=6; % συντελεστής υπερδειγμάτισης, # δειγμάτων/τ. fc=4; % συχνότητα φέροντος, πολλαπλάσιο του Baud Rate (/T) 3. EbNo=5; % Eb/No, σε db 4. SNR=EbNo*log(nsamp/k/); % SNR ανά δείγμα σήματος 5. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 6. core=[+i;i;+i;i]; 7. mapping=core; 8. if(l>) 9. for j=:l 3. mapping=mapping+j**core(); 3. mapping=[mapping;conj(mapping)]; 3. mapping=[mapping;conj(mapping)]; 33. end 34. end; 35. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 36. %%%%%%%%%%%% ΠΟΜΠΟΣ %%%%%%%%%%%% 37. x=floor(*rand(k*nsymb,)); % τυχαία δυαδική ακολουθία 38. xsym=bide(reshape(x,k,length(x)/k).','leftmsb')'; 39. y=[]; 4. for n=:length(xsym) 4. y=[y mapping(xsym(n)+)]; 4. end (συνεχίζεται) Κώδικας 5.: Εξομοίωση Πομπού και Δέκτη QAM, σε περιβάλλον λευκού αθροιστικού θορύβου

5 Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο (συνέχεια) 43. %% Ορισμός φίλτρου μορφοποίησης 44. if (pulse_type==) % παλμός Nyquist rtrapezium 45. delay = 8; % Group delay (# περιόδων Τ) 46. filtorder = delay*nsamp*; 47. rolloff =.5; % συντελεστής εξάπλωσης φίλτρου 48. % Η rtrapezium.m πρέπει να βρίσκεται στο current directory 49. shaping_filter = rtrapezium(nsamp,rolloff,delay); 5. else % ορθογωνικός παλμός 5. delay=.5; 5. shaping_filter=ones(,nsamp)/sqrt(nsamp);% με κανονικοποίηση! 53. end 54. %% Εκπεμπόμενο σήμα 55. ytx=upsample(y,nsamp); 56. ytx = conv(ytx,shaping_filter); 57. % Υπολογισμός & σχεδιασμός φάσματος 58. figure(); pwelch(real(ytx),[],[],[],nsamp); % σε κλίμακα /T 59. % quadrature modulation 6. m=(:length(ytx)); 6. s=real(ytx.*exp(j**pi*fc*m/nsamp)); 6. figure(); pwelch(s,[],[],[],nsamp); % σε κλίμακα /T 63. % 64. % Διάγραμμα οφθαλμού, όταν ορθ. παλμός. 65. % if (pulse_type==) eyediagram(ytx(:),nsamp*); 66. % Προσθήκη λευκού γκαουσιανού θορύβου 67. Ps=*log(s*s'/length(s)); % ισχύς σήματος, σε db 68. Pn=PsSNR; % αντίστοιχη ισχύς θορύβου, σε db 69. n=sqrt(^(pn/))*randn(,length(ytx)); 7. snoisy=s+n; % θορυβώδες ζωνοπερατό σήμα 7. clear ytx xsym s n; % για εξοικονόμηση μνήμης 7. %%%%%%%%% ΔΕΚΤΗΣ %%%%%%%%%%%%% 73. % Αποδιαμόρφωση 74. yrx=*snoisy.*exp(j**pi*fc*m/nsamp); clear s; 75. % Κανονικά ακολουθεί βαθυπερατό φίλτρο. 76. % Όμως στην περίπτωση μορφοποίησης Nyquist δεν χρειάζεται, 77. % αφού το προσαρμοσμένο φίλτρο (Nyquist) είναι ταυτόχρονα 78. % και ένα καλό βαθυπερατό φίλτρο. 79. yrx = conv(yrx,shaping_filter); 8. figure(3); pwelch(real(yrx),[],[],[],nsamp); % κλίμακα /T 8. yrx = downsample(yrx,nsamp); % Υποδειγμάτιση στο πλέγμα nt. 8. yrx = yrx(*delay+(:length(y))); % περικοπή άκρων συνέλιξης. 83. % 84. yi=real(yrx); yq=imag(yrx); % συμφασική και εγκάρσια συνιστώσα 85. xrx=[]; % διάνυσμα δυαδικής ακολουθίας εξόδου αρχικά κενό 86. q=[l+::l]; 87. for n=:length(yrx) % επιλογή πλησιέστερου σημείου 88. [m,j]=min(abs(qyi(n))); 89. yi(n)=q(j); 9. [m,j]=min(abs(qyq(n))); 9. yq(n)=q(j); 9. m=; 93. while (mapping(m)~=yi(n)+i*yq(n)) m=m+; end 94. xrx=[xrx; debi(m,k,'leftmsb')']; 95. end 96. scatterplot(yrx); % διάγραμμα διασκορπισμού 97. % Τι παρατηρείτε στο διάγραμμα διασκορπισμού, στην περίπτωση 98. % μορφοποίησης με ορθ. παλμό; Ποια η επίπτωση στο ber 99. % και πώς διορθώνεται;. %% ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΡΥΘΜΟΥ ΛΑΘΩΝ. % Με δύο τρόπους: (α) με σύγκριση των σημείων QAM (yyrx). % (β) με σύγκριση των δυαδικών ακολουθιών (xxrx) 3. ber=sum(not(y==(yi+i*yq)))/length(x) 4. ber=sum(not(xrx==x))/length(x) Κώδικας 5.: (συνέχεια)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK 53 Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος (db), αναλυτικό σήμα 6QAM, μορφοποίηση με ορθ. παλμό Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος (db), 6QAM (f c=4/t d), μορφοποίηση με ορθ. 3 5 3 4 5 6 7 8 Συχνότητα (x /T d) 5 4 5 6 7 8 Συχνότητα (x /T d) Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος, αναλυτικό σήμα 6QAM μορφοποίηση με παλμό Nyquist (α=.5) Πυκνότητα Φάσματος Ισχύος (db), 6QAM (fc=4/td), μορφοποίηση με παλμό Nyquist (α=.5) 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 Συχνότητα (x /T d) Συχνότητα (x /T d) Πλαίσιο 5.: Πυκνότητα φάσματος ισχύος (db/hz) 6QAM, άνω: μορφοποίηση τετρ. παλμού, κάτω: μορφοποίηση με παλμό Nyquist (α=.5), αριστερά: αναλυτικό σήμα (βασικής ζώνης) δεξιά: πραγματικό ζωνοπερατό σήμα (f c=4/t d)

54 Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 4 Διάγραμμα οφθαλμού, συμφασική συνιστ, 6QAM, E b/no=6 db 4.5.4.3.....3.4.5 Χρόνος 4 Διάγραμμα οφθαλμού, εγκάρσια συνιστ., 6QAM, E b/no=6 db 4.5.4.3.....3.4.5 Χρόνος (α) (β) Πλαίσιο 5.3: Διάγραμμα Οφθαλμού (α) και Διάγραμμα Διασκορπισμού (β), 6QAM, για ανηγμένο σηματοθορυβικό λόγο E b/n o=6db

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK 55 Β. Παρατηρήσεις για το φάσμα Το προσαρμοσμένο φίλτρο, τόσο με ορθογωνικό παλμό όσο και με παλμό Nyquist (φίλτρο τετραγωνικής ρίζας ανυψωμένου συνημιτόνου), είναι, βεβαίως, ένα βαθυπερατό φίλτρο το οποίο αποκόπτει τα είδωλα υψηλών συχνοτήτων που εισάγει η αποδιαμόρφωση. Έτσι καθιστά περιττή μια ξεχωριστή μονάδα LPF στον εγκάρσιο αποδιαμορφωτή του Πλαισίου 5.. Ωστόσο, ειδικά για την περίπτωση του ορθογωνικού παλμού μορφοποίησης, πρέπει να γίνουν οι εξής παρατηρήσεις:. Το προσαρμοσμένο φίλτρο, θεωρούμενο ως βαθυπερατό φίλτρο, δεν έχει ικανοποιητικά χαρακτηριστικά αποκοπής, όπως φαίνεται από τους υψηλούς πλευρικούς λοβούς του φάσματος (Πλαίσιο 5.).. Το εύρος ζώνης είναι ίσο με /Τd (πρώτος μηδενισμός) στη βασική ζώνη και το διπλάσιό του στη ζώνη εκπομπής. Τα φίλτρα Nyquist, αντίθετα, αφενός έχουν ικανοποιητικά χαρακτηριστικά αποκοπής (πρακτικά ανύπαρκτοι πλευρικοί λοβοί), αφετέρου περιορίζονται στο μισό εύρος ζώνης (πλην της επέκτασης λόγω rolloff). Αυτοί είναι οι λόγοι που τα συστήματα εκπομπής QAM κάνουν χρήση φίλτρων Nyquist. Οι παλμοί μορφοποίησης και τα φάσματά τους δείχνονται συγκριτικά στο Πλαίσιο 5.4..5 Απόκριση συχνότητας φίλτρων μορφοποίησης rcosine και ορθογωνικού παλμού Φίλτρο ορθογ. παλμού (sampling function) roll off:.5 3 3 Συχνότητα, f /F (α) d Παλμοί rcosine και ορθογωνικός.5.5 3 3 (β) Χρόνος, t /T d Πλαίσιο 5.4: Παλμοί μορφοποίησης ανυψωμένου συνημιτόνου και ορθογωνικός: (α) πεδίο συχνότητας, (β) πεδίο χρόνου

56 Ν. Μήτρου ΨΗΦΙΑΚΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ: Συνοπτική Θεωρία και Εργαστήριο 5.5 Ασκήσεις προς εκτέλεση Άσκηση 5. Ι. Να επαληθευτούν τα αποτελέσματα του σχήματος στο Πλαίσιο 5. (θεωρητικά και σημεία εξομοίωσης) για Μ=6 και 64. Να υπερτεθούν στο ίδιο σχήμα σημεία από την εξομοίωση της 4ASK και 8ASK αντίστοιχα. ΙΙ. Με τη βοήθεια του Κώδικα 5., να ληφθούν οι φασματικές πυκνότητες (ζωνοπερατών) σημάτων 6QAM με μορφοποίηση: (α) ορθογωνικού παλμού, (β) Nyquist (τετραγωνικής ρίζας γραμμικής πτώσης) και συχνότητα φέροντος 8/Τ. Υπόδειξη: Να επιλεγεί κατάλληλη τιμή του nsamp. ΙΙΙ. Με τη βοήθεια του Κώδικα 5., να υπολογιστεί το BER για την 64QAM με EbNo=8db. Εξηγήστε γιατί τα ber και ber μπορεί να είναι διαφορετικά. Άσκηση 5. Στην επίγεια ψηφιακή τηλεόραση, σύμφωνα με το πρότυπο DVBT, εκτός των ομοιόμορφων αστερισμών QAM ορθογωνικού πλέγματος, χρησιμοποιούνται και μη ομοιόμορφοι, όπως αυτός του διπλανού σχήματος. Να γίνει ανάλυση σφάλματος, καταρχήν θεωρητικά, σύμφωνα με το παράδειγμα 3.4. για τους μονοδιάστατους σηματικούς αστερισμούς και την παράγραφο 5..5 αυτού του κεφαλαίου. Στη συνέχεια να γίνει εξομοίωση και υπολογισμός της πιθανότητας σφάλματος, κατά το πρότυπο του παραδείγματος 5.4.. 5 4 3 3 4 5 4 3 3 4 5 Άσκηση 5.3 (Να εκτελεστεί στο εργαστήριο). Να σχεδιάσετε σηματικό αστερισμό 64QAM πλήρους ορθογωνικού πλέγματος, με σημειωμένες τις δυαδικές λέξεις δίπλα σε κάθε σημείο του [όπως στο σχήμα 5.4(β) των σημειώσεων] με κωδικοποίηση Gray.. Έχουμε στη διάθεσή μας τον ζωνοπερατό δίαυλο 8.75.5 MHz και θέλουμε να εκπέμψουμε με ρυθμό Mbps. Να επιλεγεί σύστημα MQAM πλήρους oρθογωνικού πλέγματος και σηματοδοσίας Nyquist, κατάλληλο για τον σκοπό αυτόν. Επιλέξτε κατάλληλη τιμή rolloff ώστε να εκμεταλλευτείτε όλο το διαθέσιμο εύρος ζώνης. Εξομοιώστε πομπό και δέκτη και σχεδιάστε θεωρητικά και πειραματικά την καμπύλη Pb Eb/No. Η συχνότητα δειγματοληψίας πρέπει να είναι επαρκώς υψηλή, ώστε τα σήματα όλων των βαθμίδων διαμόρφωσης αποδιαμόρφωσης να μπορούν να παρασταθούν χωρίς σφάλμα αναδίπλωσης (aliasing).

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Ψηφιακή Διαμόρφωση QAM και PSK 57 3. Αν ο μέγιστος ανηγμένος σηματοθορυβικός λόγος Eb/No που μπορείτε να πετύχετε στον δέκτη είναι db και ο κωδικοποιητής διαύλου που έχετε στη διάθεσή σας απαιτεί η πιθανότητα εσφαλμένου bit να μην υπερβαίνει την τιμή., αναδιπλωθείτε σε σύστημα QAM μικρότερης τάξης, χωρίς να αλλάξετε τις άλλες παραμέτρους σηματοδοσίας. Ποιος είναι τώρα ο μέγιστος ρυθμός μετάδοσης; Σχεδιάστε και πάλι την πυκνότητα φάσματος ισχύος των σημάτων σας και δείτε αν υπάρχουν διαφοροποιήσεις. 4. Πόσο μπορεί να αυξηθεί ο ρυθμός μετάδοσης στο ερώτημα 3, αν μπορεί να μειωθεί στο μισό του το rolloff του φίλτρου Nyquist; Υποβολή: Να γράψετε σε αρχείο.doc ή συμβατό (lab5_nnnnn.doc, nnnnn τα τελευταία 5 ψηφία του επωνύμου σας) τόσο τις απαντήσεις στα ερωτήματα όσο και τον κώδικά σας και τα παραγόμενα σχήματα. Να υποβάλετε το αρχείο σας στο site του μαθήματος. Βιβλιογραφία Αναφορές [ΗΑΥΚ988] Haykin, S., Digital Communications, Willey, 988. [PROA5] Proakis, J. and Salehi, M., Συστήματα Τηλεπικοινωνιών, η Έκδοση, Fountas, 5, (πρωτότυπη έκδοση: Foundamentals of Communication Systems, nd edition, Pearson, 4). [SKLA] Sklar, B., Ψηφιακές Επικοινωνίες, η έκδοση, Παπασωτηρίου,, (πρωτότυπη έκδοση: Digital Communications, nd ed., Prentice Hall ).