ΟΠΤΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ (Optica heorem Συνδέει την ολική ενεργό διατοµή σκέδασης µε το φανταστικό µέρος του πρόσω πλάτους ελαστικής σκέδασης (Forward eastic scattering Im k 4& F (' % "#$? ελαστ. k / (κυµατάριθµος δέσµη σωµατιδίων πριν πλησιάσει το στόχο µπορεί να εκφραστεί µε επίπεδα κύµατα σωµατιδίων: i( kr" t Μετά τη σκέδαση σωµάτια ανιχνεύονται σε µεγάλες αποστάσεις από το στόχο. e κλασική σκεδ. b impact x z d" : d διαφορική ενεργός διατοµή σκέδασης I 0 πλήθος σωµατιδίων που προσπίπτουν ανά µονάδα επιφάνειας y dω I(θ,φdΩ: το πλήθος των σωµατιδίων που σκεδάζονται σε κώνο
Σκέδαση επίπεδου κύµατος από στόχο Το δυναµικό σκέδασης δρα σε µικρή ακτίνα από το στόχο. Παριστάνουµε το επίπεδο κύµα σαν υπέρθεση εισερχόµενων & εξερχόµενων σφαιρικών κυµάτων: Σε απόσταση r >> k r µερικά εκατοστά, k από το κέντρο σκέδασης 3 ~ 0 cm έχει ένα ακτινικό µέρος της µορφής kr (η ροή από ένα σφαιρικό φλοιό είναι ανεξάρτ. του διατήρηση πιθαν. & ένα γωνιακό µέρος: Πολυώνυµα Legendre e ± ikr ikz ikr cos e e η κυµατοσυνάρτηση r (cos P ikz ikr cos# " e e a J ( kr P (cos# 0 ikz i " ikr ikr e ( + [( " e " e ] P (cos# kr για επίπεδο κύµα: $ i εισερχόµενο σφαιρικό κύµα εξερχόµενο σφαιρικό κύµα (spherica Besse functions πριν την σκέδαση
Το εξερχόµενο µετά την σκέδαση από τον στόχο (µεγάλη απόσταση r είναι ένα distorted pane wave (διαµορφωµένο/παραµορφωµένο επίπεδο κύµα το δυναµικό σκέδασης µπορεί να µεταβάλλει " $%&' ü τη φάση (δ το πλάτος (n του εξερχόµενου κύµατος Το κύµα σκέδασης [η διαφορά των εξερχοµένων κυµάτων µε και χωρίς το δυναµικό σκέδασης] " i ikr i# ikr *( + [( e ne e ] P (cos kr ( i $ ikr ikr %( + [( $ e $ e ]# P (cos kr " i ('# Το πλάτος σκέδασης: σαν συνάρτηση: ikr e " $%&' ü " i ( kr f ( %( + k των αλλαγών φάσεων & των επί µέρους πλατών n i" ne i i# 0ne - +. / i Partia wave anaysis of the Scattering ampitude. + *, $ # P (cos P (cos 0 < n < 0 < " <
Το κύµα σκέδασης αφορά ελαστική σκέδαση (δεν αλλάζει πριν & µετά την σκέδαση κ, λ αναφέρονται στο σύστηµα κέντρου ορµής & δεν αλλάζουν στην ελαστική σκέδαση. Η σκεδάσιµη εξερχόµενη ροή από σφαίρα ακτίνας r σε γωνία dω είναι : * "% &'("% " r d $ 0 " f (# " r d $ 0 f (# d r $ 0 &'( d" ( ( d' * ενεργός διατοµή προσπίπτουσα ροή ( v " " v i " d (υ i υ 0 ελαστική σκέδαση #$%"&. f ( i* ' n $ e ( +, 4 - ( + % " i #. D Τα πολυώνυµα Legendre υπακούουν στη συνθήκη ορθογωνιότητας : 4 #$ ' & " P P ' d + αν αν i i i n : $ %& 4# D ( + sin " n 0 :# $% "D ( +
" #$ max 4 D ( + καθαρή σκέδαση χωρίς απορρόφηση ( n αν n < % "#$%&'(? : από διατήρηση πιθανότητας ( ( + # " r $ d * %'( + %& ~ e ikr ~ n e i e ikr % &' #$ ( + ( " n & & + & $% ( + ( " cos # *% ( '% n % k $ σύγκριση µε: f ( ( + # P (cos i" n e i [" 0, P (, ] Im F (0 ( + ( " n cos # k Im F (0 k # " 4$ Οπτικό Θεώρηµα
# $" max 4" ( + # $% max " ( + Από σκέδαση µε απλή κλασσική προσέγγιση: τροχιακή στροφορµή αντιστοιχεί σε παράµετρο κρούσης b h pb " b Σωµάτια µε στροφορµή + b k απορροφώνται σε δακτύλιο µε επιφάνεια διατοµής: $ " ( b + b "# ( + από f(θ (πλάτος ελαστικής σκέδασης συγκεκριµένο (επιµέρους κύµα f ( : το πλάτος ελαστικής σκέδασης για f n e i # i in i ( # " f max e i διατήρηση πιθανότητας 0 < δ < π/, δ π/ n f imag. n < f εντός του κύκλου f, δ 0, σ ελ 0 Αν το πλάτος f παρουσιάζει µέγιστο σε κάποιο & συγκεκριµένη cms ενέργεια ΣΥΝΤΟΝΙΣΜΟΣ
Μία κατάσταση συντονισµού αντιστοιχεί σε συγκεκριµένο & fixed Center of mass energy (ενέργεια κέντρου µάζας αντιστοιχεί στην συνολική ενέργεια cms των δύο σωµάτων. η ενεργός διατοµή περιγράφεται σαν συνάρτηση του πλάτους Γ (χρόνος ζωής τ της κατάστασης συντονισµού. *( / 4 (" 4'( ( + (" # " + $%& / 4 Σχέση Breit Wigner / f (# '( E " E ± (# " # " i / #$% $%& "# max Γ f e i" ( e i" e # i" cot" i Καµπύλη συντονισµού Breit Wigner (υποθέτουµε ότι ο συντονισµός διασπάται ελαστικά # + n " # + n
Παράδειγµα Συντονισµού + ++ $ p # (3"% V $ # $" " (J # " + ( sa + (sb + π J p 3 / :# $" 8" + p Λαµβάνεται υπ όψη ο παράγοντας πολλ. λόγω σπιν (χωρίς spin J ολική ενεργός διατοµή από διατήρηση της πιθανότητας (unitary principe J 3/ επιβεβαιώνεται από γωνιακή κατανοµή του π (προσπίπτον & σκεδαζόµενο π + π + 3 # (, + (,0" (, 3 p (,, (,0 : Y, θ (, " ( 3 Y 0 I + 3 3 * 0 (" ( Y ( Y # I( " + 3cos, $ Γωνιακή κατανοµή Δ πp
Ολική & ελαστική ενεργός διατοµή στις υψηλές ενέργειες ~40mb pp '( ( E > 5GeV "#$%&? ~ 40mbarn Υποθέτοντας γεωµετρική διατοµή πr 40 mb προκύπτει R 0-3 cm fm [εµβέλεια ισχυρών δυνάµεων] pp ενεργός διατοµή > pp αναµενόµενο I, 0 σε χαµηλές ενέργειες ΜΟΝΟ I (+/ +/ περισσότερες στάθµες isospin -(/,(/ µεγαλύτερη διαθέσιµη ενέργεια (λόγω εξαϋλωσης Σε υψηλότερες ενέργειες QF προβλέπει ενεργές διατοµές ίδιες για σωµάτιο & αντισωµάτιο & ανεξαρτητες του isospin.
Ολική ενεργός διατοµή σκέδασης σε µεγάλες ενέργειες SPS : cms 340 GeV/c ~70 mb ποιοτικό ΟΧΙ ΠΟΣΟΤΙΚΟ το απλούστερο µοντέλο απορρόφησης & σκέδασης είναι του µαύρου δίσκου ολικής απορρόφησης n 0 # $" " %( + R # $% " &( + R " + " R " '& %& #$ % #$ % " ~ περίθλαση ή σκιώδης σκέδαση s : (xpl R : 0 " max P 0 GeV / c, R fm 0.0 fm max 00
ΠΑΡΑΓΩΓΗ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ ΣΤΙΣ ΥΨΗΛΕΣ ΕΝΕΡΓΕΙΕΣ Ανελαστικές διαδικασίες πολλαπλή παραγωγή δευτερογενών σωµατιδίων Κατανοµή ορµών δευτερογενών σωµατιδίων incusive, ολική ενέργεια E -p m ορµή δευτερογ. σωµ. E p r µέση πολλαπλότητα <n φορτ > <n φορτ > Α + ΒnS (αργή εξάρτηση από ολική ενέργεια cms η διαφορική ενεργός διατοµή παραγωγής του σωµατιδίου: p p + p L 3 3 Ed " Ed " 3 r d p dp dp dp x y AB CX ECd 3 r d p z 3 C C d( p d " d( p σύστηµα του εργαστηρίου ΕΙΝΑΙ ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΗ ΣΕ µετασχηµατισµούς Lorentz (dp 3 dp x dp y dp z L / E F( x, p, S x p p + p L p Z PL x P L max p y (εγκάρσια ορµή (µεταβλητή Feynman P L max s
Η F(x,P,s σε ενέργειες s >0GeV / c είναι σχεδόν ανεξάρτητη του s F(x, P, S F (x F (P d η κατανοµή της εγκάρσιας ορµής των δευτερογενών σωµατίων: dp σχεδόν ανεξάρτητη του s & του P L (x P L /P Lmax d dp ~ εκθετική συνάρτηση του P µε P 0.35GeV / c F (x σταθερό (Β dp d " d( P L / E F(x,P F (x F (P d # " F ( P dp B d( P L / E σταθ. η κατανοµή της διαµήκους ορµής δίνεται σαν συνάρτηση της ωκύτητας (rapidity y y C E n( E C + P P L L n( E P + P L + m E P + PL + m
y είναι αναλλοίωτη (κατανοµή σε µετασχηµατισµούς Lorentz. y E + P L n y P + m + n ( " ( + (σύστηµα ( κινούµενο µε ταχύτητα β κατά του άξονα z ο µετασχηµατισµός επιφέρει µία απλή µετατόπισή του. dy dp E L (από ορισµό του y
Oλική ενεργός διατοµή vs P L " ( PP 40mb ( fm Η σταθερότητα της σ tota µε ενέργεια είναι παράδειγµα της scaing [i.e το µέγεθος της σ tota ανεξάρτητο της ενέργειας (energy scae] < n ch > og s 4 d 3 f ( AB # CX " E 3 d P C πιθανότητα/µονάδα προσπίπτουσας ροής να ανιχνευτεί C στο χώρο φάσεων d 3 P C d# dp " exp( 6P Lorentz invar. ΑΒ σκέδαση σε jets P µικρή
Y max s n( Y max Ymin P m + @ ISR (CERN dn dp s 3GeV Y C E n( E C C + C P P ZC ZC C ( n( m m + P ZC C Σε πολύ µεγάλες ενέργειες τα max & min του y συµβαίνουν όταν: E C s για σκέδαση AB CX η περιοχή της y που παράγεται το C: s mc Y # Ymax Ymin " og og m s C s og αυξάνει ~ του λογαρίθµ. s m C (το πλάτος & το ύψος του pateau E C + P m s P ZC ± P C 0, & dn dp rapidity pateau <p>0.35gev
Σαν συνάρτηση της s: Το ύψος του y pateau αυξάνει ~ ns Το πλάτος του y pateau αυξάνει ~ ns < n >~ n s ch
Αναλλοίωτη διαφορική ενεργός διατοµή: d 3 E d 3 p : (incusive Μικρό ποσοστό της ενεργειας φτιάχνει νέα σωµάτια < n ch >~ n s m > < ch (90% π+ Το µεγαλύτερο ποσοστό της ενέργειας γίνεται κινητική ενεργεια των παραγόµενων (εξερχόµενων σωµατιδίων Beam ( jets P L µεγάλη περιοχή τιµών x -, P µικρές τιµές: P < GeV/c d" dp ~ exp( 6P (fig
παραγωγή σωµατιδίων στην περιοχή x 0 F(x ~ (-x n πτώση καθώς x [κατανοµή ανεξάρτητη της ενέργειας] pp " + +... [ Feynman Scaing ] x P P L L max αναλλοίωτη (incusive ενεργός διατοµή vs P σε fixed x (y ab.5 pp # " +... P L max s ~ x: -, vs x σε fixed P (0.4 GeV/c
Η µέση πολλαπλότητα vs s σε pp σκέδαση (αύξηση ~ og S Σε µεγάλες ενέργειες ( s η πολλαπλότητα φορτισµένων σωµατίων αυξάνει πιό γρήγορα από ogs. [αύξηση του y pateau width & ύψους ogs]
Οι συγκρούσεις αδρονίων στις υψηλές ενέργειες είναι ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ. π.χ πολλαπλή παραγωγή δευτερογενών µεσονίων < n ch >~ < n " + < n p < n K +, K > 90% πions > > < n p > (cms Συγκρούσεις pp <n φορτ > : µέση (ολική πολλαπλότητα φορτισµένων σωµατιδίων. <n φορτ > ns για µεγάλες ενέργειες (ενέργεια στο κέντρο µάζας < n > A+Bns πολλαπλότητα