Κεφάλαιο 2 Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής
Στόχοι 1 ου Κεφαλαίου Περιγραφή κίνησης σε ευθεία γραμμή όσον αφορά την ταχύτητα και την επιτάχυνση. Διαφορά μεταξύ της μέσης και στιγμιαίας ταχύτητας καθώς και μεταξύ της μέσης και στιγμιαίας επιτάχυνσης, Διαγράμματα θέσης σε σχέση με το χρόνο, ταχύτητας σε σχέση με το χρόνο και επιτάχυνσης σε σχέση με το χρόνο στην ευθύγραμμη κίνηση. Κατανόηση ευθύγραμμης κίνησης με σταθερή επιτάχυνση. Ελεύθερη πτώση σωμάτων.
Μετατόπιση, Χρόνος και Μέση Ταχύτητα Ένα σωματίδιο που κινείται σε ευθεία γραμμή, πάνω στον άξονα x έχει συντεταγμένη x. Η μεταβολή στις συντεταγμένες του σωματιδίου είναι x = x 2 x 1. Ορίζουμε τη μέση ταχύτητα του αυτοκινήτου-σωματιδίου, στο χρονικό διάστημα Δt, ως μια διανυσματική ποσότητα, της οποίας η συνιστώσα x είναι η μεταβολή του x, Δx, μέσα σ αυτό το χρονικό διάστημα Δt,διαιρεμένη με το Δt. Η μέση ταχύτητα του σωματιδίου στον άξονα x είναι v av-x = x/ t.
Αρνητική ταχύτητα Η μέση ταχύτητα στον άξονα x είναι αρνητική σε ένα χρονικό διάστημα αν το σωματίδιο κινείται προς την αρνητική κατεύθυνση του άξονα x γι αυτό το χρονικό διάστημα.
Διάγραμμα θέσης-χρόνου Το διάγραμμα θέσης-χρόνου (x-t) δείχνει τη θέση του σωματιδίου x για κάθε χρονική στιγμή t. Στο παρακάτω διάγραμμα φαίνεται πώς σχετίζεται η μέση ταχύτητα στον άξονα x με τη κλίση στο διάγραμμα x-t.
Στιγμιαία ταχύτητα Στιγμιαία ταχύτητα είναι η ταχύτητα σε μια χρονική στιγμή ή σε μια συγκεκριμένη θέση της διαδρομής. Δίνεται από τη σχέση: υ x = lim Δt 0 Δx = dx Δt dt Χρησιμοποιούμε τον όρο μέτρο ταχύτητας για να δηλώσουμε τη διανυμένη απόσταση διαιρεμένη με το χρόνο που χρειάστηκε να διανυθεί, τόσο για την περίπτωση της μέσης όσο και της στιγμιαίας εκδοχής. Το μέτρο της στιγμιαίας ταχύτητας μετρά το πόσο γρήγορα κινείται ένα σωματίδιο, ενώ η στιγμιαία ταχύτητα μετρά το πόσο γρήγορα και προς ποια κατεύθυνση κινείται. Για παράδειγμα ένα σωματίδιο με στιγμιαία ταχύτητα υ x = 25 m και να δεύτερο σωματίδιο με s υ x = 25 m κινούνται σε αντίθετες διευθύνσεις με το ίδιο μέτρο s στιγμιαίας ταχύτητας 25 m/s. Το μέτρο της στιγμιαίας ταχύτητας, όπως και το μέτρο της ταχύτητας δεν μπορεί ποτέ να είναι αρνητικά.
Παράδειγμα: Μέση και στιγμιαία ταχύτητα Ένας κυναίλουρος παραφυλάει συσπειρωμένος 20 m ανατολικά από τη γρίλια ενός παρατηρητή. Τη χρονική στιγμή t=0 o κυναίλουρος επιτίθεται στην αντιλόπη, που βρίσκεται σε ξέφωτο 50 m ανατολικά από τον παρατηρητή. Ο κυναίλουρος τρέχει σε ευθεία γραμμή. Η ανάλυση της βιντεοταινίας, αργότερα, δείχνει πως μέσα στα δυο πρώτα δευτερόλεπτα της επίθεσης η συντεταγμένη x του κυναίλουρου μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση x = 20 m + 5,0 m/s 2 t 2. (Σημειώστε ότι οι αριθμοί 20 και 5,00 σ αυτή την έκφραση πρέπει να έχουν τις μονάδες που βάλαμε ώστε η έκφραση να είναι συνεπής ως προς τις διαστάσεις). Α) Βρείτε τη μετατόπιση του κυναίλουρου κατά το χρονικό διάστημα από t 1 =1,0 s ως t 2 =2,0 s. Β) Βρείτε τη μέση ταχύτητα κατά το ίδιο χρονικό διάστημα. Γ) Βρείτε τη στιγμιαία ταχύτητα τη χρονική στιγμή t 1 =1,0 s παίρνοντας Δt=0,1 s, μετά Δt=0,01 s και μετά Δt=0,001 s. Δ) Να αποδείξετε μια γενική έκφραση για τη στιγμιαία ταχύτητα συναρτήσει του χρόνου και από αυτή να βρείτε την υ x τις στιγμές t=1,0 s και t=2,0 s.
Α) Τη στιγμή t 1 =1,0 s η θέση του κυναίλουρου x 1 είναι: x 1 = 20 m + 5,0 m/s 2 1,0 s 2 = 25 m Τη στιγμή t 2 =2,0 s η θέση του x 2 είναι: x 2 = 20 m + 5,0 m/s 2 2,0 s 2 = 40 m Η μετατόπιση κατά τη διάρκεια αυτού του χρονικού διαστήματος είναι: Δx = x 2 x 1 = 40 m 25 m = 15 m.
B) Η μέση ταχύτητα κατά τη διάρκεια αυτού του χρονικού διαστήματος είναι: υ av x = x 2 x 1 40 m 25 m 15 m = = = 15 m/s t 2 t 1 2,0 s 1,0 s 1,0 s Γ) Με το Δt=0,1 s, το χρονικό διάστημα είναι από t 1 =1,0 s έως t 2 =1,1 s. Τη στιγμή t 2 =1,1 s. Τη στιγμή t 2, η θέση είναι: x 2 = 20 m + 5,0 m/s 2 1,1 s 2 = 26,05 m Η μέση ταχύτητα κατά τη διάρκεια αυτού του διαστήματος είναι: 26,05 m 25 m υ av x = = 10,5 m 1,1 s 1,0 s s Αν ακολουθηθεί η ίδια διαδικασία και για τα χρονικά διαστήματα 0,01 s και 0,001 s, η μέση ταχύτητα είναι 10,05 m/s και 10,005 m/s, αντίστοιχα. Καθώς το Δt γίνεται μικρότερο, η μέση ταχύτητα πλησιάζει το 10,0 m/s.συμπεραίνουμε ότι η στιγμιαία ταχύτητα τη στιγμή t=1,0 s είναι 10 m/s.
Δ) Η στιγμιαία ταχύτητα δίνεται από την παράγωγο: υ x = dx dt = 5,0 m/s2 2t = 10 m/s 2 t Τη χρονική στιγμή t=1,0 s, υ x =10 m/s, όπως βρήκαμε στο Γ. Τη χρονική στιγμή t=2,0 s, υ x =20 m/s.
Εύρεση της ταχύτητας σε διάγραμμα x-t. Σε οποιοδήποτε σημείο της καμπύλης x-t η στιγμιαία ταχύτητα είναι η κλίση της εφαπτομένης στο σημείο αυτό. Στο πιο κάτω διάγραμμα παρατηρούμε ότι η μέση ταχύτητα μεταξύ των σημείων P 1 και P 2, δηλ. μεταξύ των σημείων p 1 και p 2 της καμπύλης τείνει στη στιγμιαία ταχύτητα όταν το P 2 πλησιάζει το P 1 και Δt 0. Όταν η εφαπτομένη της καμπύλης κλίνει πάνω προς τα δεξιά τότε η κλίση είναι θετική και η κίνηση είναι στη θετική διεύθυνση του άξονα x. Όταν κλίνει κάτω προς τα δεξιά είναι αρνητική και η κλίση και η ταχύτητα είναι αρνητική και επομένως η κίνηση είναι προς την αρνητική διεύθυνση του x. Όταν η εφαπτόμενη είναι οριζόντια, τότε η κλίση και η ταχύτητα είναι μηδενική.
Διάγραμμα x-t και διάγραμμα κίνησης. Ένα διάγραμμα κίνησης δείχνει τη θέση του σωματιδίου σε διάφορους χρόνους κατά τη διάρκεια της κίνησης καθώς και τα βέλη που παριστούν την ταχύτητα σε κάθε χρονική στιγμή. Είναι δηλ. ένα στιγμιότυπο.
Μέση και Στιγμιαία Επιτάχυνση. Επιτάχυνση είναι ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας με το χρόνο. Είναι διανυσματικό μέγεθος και στην ευθύγραμμη κίνηση έχει τη μόνη μη μηδενική συνιστώσα της κατά μήκος του άξονα της κίνησης. Μέση Επιτάχυνση Ας θεωρήσουμε ένα σωματίδιο ότι κάνει ευθύγραμμη κίνηση και ότι στο σημείο P 1 έχει στιγμιαία ταχύτητα υ 1x και τη χρονική στιγμή που βρίσκεται στο σημείο P 2 έχει στιγμιαία ταχύτητα υ 2x. Άρα η ταχύτητα μεταβάλλεται κατά Δυ x = υ 2x υ 1x στο χρονικό διάστημα Δt = t 2 t 1. Η μέση επιτάχυνση είναι το διανυσματικό μέγεθος : Η επιτάχυνση σε μονάδες SI είναι m/s 2. a av x = Δυ x Δt x
Παράδειγμα: Μέση επιτάχυνση. Μια αστροναύτης βγαίνει από διαστημικό λεωφορείο για να ελέγξει μια νέα συσκευή ατομικών ελιγμών. Καθώς αυτή κινείται σε ευθεία γραμμή, ο συνεργάτης της στο διαστημικό λεωφορείο παίρνει τις παρακάτω μετρήσεις της ταχύτητάς της κάθε 2,0 s αρχίζοντας την στιγμή t= 1s, ως ακολούθως: t υ x t υ x 1,0 s 0,8 m/s 9,0 s -0,4 m/s 3,0 s 1,2 m/s 11,0 s -1,0 m/s 5,0 s 1,6 m/s 13,0 s -1,6 m/s 7,0 s 1,2 m/s 15,0 s -0,8 m/s Βρείτε τη μέση επιτάχυνση, και περιγράψτε εάν η ταχύτητα της αστροναύτου αυξάνει ή ελαττώνεται για κάθε ένα από τα παρακάτω χρονικά διαστήματα: α) από t 1 =1,0 εως t 2 =3,0 s, β) από t 1 =5,0 εως t 2 =7,0 s, γ) από t 1 =9,0 εως t 2 =11,0 s, δ) από t 1 =13,0 εως t 2 =15,0 s.
α) a av x = 1,2m s 0,8m s = 0,2 m/s 2. Η 3,0 s 1,0 s ταχύτητα αυξάνει από 0,8 σε 1,2 m/s. β) -0,2 m/s 2. Η ταχύτητα ελαττώνεται από 1,6 σε 1,2 m/s. γ) -0,3 m/s 2. Η ταχύτητα αυξάνει από 0,4 σε 1,0 m/s. δ) 0,4 m/s 2. Η ταχύτητα ελαττώνεται από 1,6 σε 0,8 m/s.
Στιγμιαία Επιτάχυνση Ο πιλότος του αγωνιστικού περνά από το σημείο P 1 με ταχύτητα υ 1x τη χρονική στιγμή t 1. Ενώ από το σημείο P 2 περνά με ταχύτητα υ 2x τη χρονική στιγμή t 2. Για να βρούμε τη στιγμιαία επιτάχυνση στο σημείο P 1 υπολογίζουμε τη μέση επιτάχυνση μεταξύ των δύο σημείων παίρνοντας το σημείο P 2 όλο και πιο κοντά στο P 1, για όλο και πιο μικρά χρονικά διαστήματα Δt, έτσι ώστε το Δt να τείνει στο μηδέν. Δυ x a x = lim Δt 0 Δt = dυ x dt
Παράδειγμα: Μέση και στιγμιαία επιτάχυνση. Υποθέστε ότι η ταχύτητα υ x του αυτοκινήτου στο πιο κάτω σχήμα για κάθε χρονική στιγμή t δίνεται από την εξίσωση: υ x = 60 m s + 0,50 m/s3 t 2 α) Να βρείτε τη μεταβολή στην ταχύτητα του αυτοκινήτου για το χρονικό διάστημα μεταξύ t 1 =1,0 s και t 2 =3,0 s. β) Να βρείτε τη μέση επιτάχυνση σ αυτό το χρονικό διάστημα. γ) Να βρείτε την στιγμιαία επιτάχυνση τη στιγμή t 1 =1,0 s παίρνοντας το Δt να είναι πρώτα 0,1 s, μετά 0,01 s και τέλος 0,001 s. δ) Να αποδείξετε μια έκφραση για την στιγμιαία επιτάχυνση για κάθε χρονική στιγμή και να την χρησιμοποιήσετε για να βρείτε την επιτάχυνση στο t=1,0 s και t=3,0 s.
α) Βρίσκουμε πρώτα την ταχύτητα σε κάθε χρονική στιγμή αντικαθιστώντας την τιμή του t στην εξίσωση. υ 1x = 60 m s + 0,50 m/s3 1,0s 2 = 60,5 m s Την στιγμή t 2 =3,0 s, υ 2x = 60 m s + 0,50 m/s3 3,0s 2 = 64,5 m s Η μεταβολή στην ταχύτητα Δυ x είναι: Δυ x = υ 2x υ 1x = 4,0 m s To χρονικό διάστημα είναι: Δt = 3,0 s 1,0 s = 2,0 s. β) Η μέση επιτάχυνση κατά τη διάρκεια αυτού του διαστήματος είναι: α av x = υ 2x υ 1x 4,0 m/s = = 2,0 m/s 2 t 2 t 1 2,0 s Κατά το χρονικό διάστημα από t 1 =1,0 s έως t 2 =3,0 s και η μέση ταχύτητα και η μέση επιτάχυνση έχουν το ίδιο πρόσημο (σ αυτή την περίπτωση θετικό), οπότε το αυτοκίνητο επιταχύνεται.
γ) Όταν Δt=0, 1 s, t 2 =1,1 s και υ 2x = 60 m s + 0,50 m/s3 1,1s 2 = 60,605 m s α av x = υ 2x υ 1x t 2 t 1 = Δυ x = υ 2x υ 1x = 0,105 m s 0,105 m/s 0,1 s = 1,05 m/s 2 Αν επαναλάβουμε την ίδια διαδικασία και για τα υπόλοιπα χρονικά διαστήματα βρίσκουμε, για Δt=0,01 s α av-x =1,005 m/s 2 και για Δt=0,001 s α av-x =1,0005 m/s 2. Παρατηρούμε δηλ. όσο το Δt πλησιάζει στο μηδέν η μέση επιτάχυνση πλησιάζει το 1,0 m/s 2. Επομένως η στιγμιαία επιτάχυνση για t=1,0 s είναι 1,0 m/s 2. δ) Η στιγμιαία επιτάχυνση είναι: Όταν t=1,0 s, α av-x =1,0 m/s 2 Όταν t=3,0 s, α av-x =3,0 m/s 2 α x = dυ x dt = d dt 60 m s + 0,50 m/s3 t 2 = 0,50 m/s 3 2t = 1,0 m/s 3 t
Εύρεση της επιτάχυνσης σε Διάγραμμα υ x -t ή σε Διάγραμμα x-t. Η μέση επιτάχυνση μεταξύ των σημείων P 1 και P 2 της διαδρομής του σωματιδίου που αντιστοιχούν στα σημεία p 1 και p 2 στο διάγραμμα υ x -t είναι η κλίση της γραμμής που ενώνει τα σημεία p 1 και p 2. Ενώ η στιγμιαία επιτάχυνση στο σημείο p 1 είναι η εφαπτομένη της καμπύλης στο σημείο αυτό.
Διάγραμμα υ x -t και διάγραμμα κίνησης. Όταν το υ x και το α x έχουν το ίδιο πρόσημο, το σώμα επιταχύνεται. Εάν και οι δύο είναι θετικές, το σώμα κινείται στην θετική κατεύθυνση με αυξανόμενο μέτρο ταχύτητας. Εάν και οι δύο είναι αρνητικές, το σώμα κινείται στην αρνητική κατεύθυνση με ταχύτητα που γίνεται όλο και πιο αρνητική, αλλά πάλι το μέτρο αυξάνει. Όταν το υ x και το α x έχουν αντίθετα πρόσημα, το σώμα επιβραδύνεται. Εάν το υ x είναι θετικό και το α x αρνητικό, το σώμα κινείται στη θετική κατεύθυνση με μειούμενο μέτρο ταχύτητας. Εάν το υ x είναι αρνητικό και το α x θετικό, το σώμα κινείται στην αρνητική κατεύθυνση με ταχύτητα που γίνεται λιγότερο αρνητική, όμως πάλι το σώμα επιβραδύνεται.
Διάγραμμα x-t και διάγραμμα κίνησης. Μπορούμε να μάθουμε επίσης για την επιτάχυνση ενός σώματος από ένα διάγραμμα της θέσης του συναρτήσει του χρόνου. Η επιτάχυνση α x είναι η δεύτερη παράγωγος της θέσης x ως προς το χρόνο: α x = dυ x dt = d dt dx dt = d2 x d 2 t. Η δεύτερη παράγωγος οποιασδήποτε συνάρτησης σχετίζεται με την καμπυλότητα ή κοιλότητα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης. Σ ένα σημείο που το διάγραμμα x-t καμπυλώνεται προς τα πάνω, η επιτάχυνση είναι θετική και η ταχύτητα αυξάνεται, όταν η καμπυλότητα είναι προς τα κάτω η επιτάχυνση είναι αρνητική και η ταχύτητα ελαττώνεται. Τέλος σε σημείο που δεν υπάρχει καμπυλότητα η επιτάχυνση είναι μηδενική και η ταχύτητα σταθερή.
Κίνηση με Σταθερή Επιτάχυνση. Στην κίνηση με σταθερή επιτάχυνση ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας είναι σταθερός. Τότε στο διάγραμμα υ x -t η ταχύτητα παριστάνεται με ευθεία με κλίση α x. Για κάθε χρονική στιγμή t η ταχύτητα υ x δίνεται από τη σχέση: where υ 0x η αρχική ταχύτητα για t=0 s. υ x = υ 0x + a x t
Αν θεωρήσουμε το διάγραμμα υ x -t όπου η επιτάχυνση α x είναι σταθερή και η καμπύλη υ x -t ευθεία τότε η μέση ταχύτητα στο χρονικό διάστημα από 0 σε t μεταξύ των σημείων x 0 και x αντίστοιχα είναι : υ av x = x x 0 t Η μέση ταχύτητα από το πιο κάτω διάγραμμα είναι: υ av x = υ 0x+υ x 2 Επίσης ισχύει: υ x = υ 0x + a x t Άρα x = x 0 + υ 0x t + 1 2 a xt 2 Το άθροισμα του εμβαδού του ορθογωνίου και του τριγώνου στο σχήμα είναι: υ 0x t + 1 a 2 xt t Επομένως: x x 0 = υ 0x t + 1 2 a xt 2 υ x = dx dt = υ 0x + a x t και dυ x dx = a x Η μετατόπιση κατά τη διάρκεια ενός χρονικού διαστήματος μπορεί να βρεθεί από το εμβαδό κάτω από την καμπύλη υ x -t. Αυτό ισχύει και όταν η επιτάχυνση δεν είναι σταθερή.
Σε πολλά προβλήματα είναι χρήσιμο να έχουμε μια σχέση μεταξύ της θέσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης που να μην εμπεριέχει το χρόνο. Έτσι από την εξίσωση: υ x = υ 0x + a x t t = υ x υ 0χ α x και από την x = x 0 + υ 0x t + 1 2 a xt 2 x = x 0 + υ x υ 0x a x + 1 2 a x υ x υ 0x a x 2 υ x 2 = υ 0x 2 + 2a x x x 0 (μόνο για σταθερή επιτάχυνση) Όταν δεν γνωρίζουμε την επιτάχυνση α x μπορούμε να υπολογίσουμε τη θέση από την ταχύτητα και το χρόνο ως εξής: από τις εξισώσεις: υ av x = x x 0 t και υ av x = υ 0x+υ x προκύπτει: 2 x x 0 = υ 0x + υ x t 2 Για μηδενική επιτάχυνση υ x είναι σταθερή και άρα στην πιο πάνω σχέση υ 0x = υ x Επομένως: x = x 0 + υ x t
Παράδειγμα: Μέση και στιγμιαία ταχύτητα Ένας μοτοσικλετιστής, που κατευθύνεται ανατολικά, βγαίνει από ένα χωριό της Αττικής και επιταχύνει, αφού περάσει το σήμα που ορίζει τα όρια του χωριού, στη θέση x=0. Η επιτάχυνσή του είναι σταθερή, 4,0 m/s 2. Τη χρονική στιγμή t=0 βρίσκεται 5,0 m ανατολικά από το σήμα και έχει ταχύτητα 15 m/s. α) Βρείτε τη θέση και την ταχύτητα του τη χρονική στιγμή t=2,0 s. β) Πού βρίσκεται ο μοτοσικλετιστής όταν η ταχύτητα του είναι 25 m/s; α) Θέση: x = x 0 + υ 0x t + 1 2 a xt 2 = 5,0 m + 15 m/s 2,0 s + 1 2 4,0 m/s2 2,0 s 2 = 43 m Ταχύτητα: υ x = υ 0x + a x t = 15 m s + 4,0 m/s2 2,0 s = 23 m/s β) υ x 2 = υ 0x 2 + 2a x x x 0 Λύνοντας ως προς x έχουμε: x = x 0 + υ x 2 υ 0x 2 2a x = 5,0 m + 25 m/s 2 15 m/s 2 2 4,0 m/s 2 = 55 m
Εναλλακτικά για υ x =25 m/s από υ x = υ 0x + a x t t = υ x υ 0x a x = 25 m s 15 m/s 4,0 m s 2 = 2,5 s από x = x 0 + υ 0x t + 1 2 a xt 2 = 0,5 m + 15 m/s 2,5 s + 1 2 4,0 m/s2 2,5 s 2 = 55 m
Παράδειγμα: Δυο σώματα με διαφορετικές επιταχύνσεις Ένας οδηγός που ταξιδεύει με σταθερή ταχύτητα 15 m/s περνάει μπροστά από σχολείο, όπου το όριο ταχύτητας είναι 10 m/s (περίπου 40 km/h). Ακριβώς τη στιγμή που περνά ο οδηγός, ένας τροχονόμος, που περίμενε στη γωνία με τη μοτοσικλέτα του, αρχίζει να καταδιώκει τον οδηγό με σταθερή επιτάχυνση 3,0 m/s 2. α) Πόσος χρόνος χρειάζεται για να φτάσει ο τροχονόμος τον οδηγό; β) Ποια είναι η ταχύτητα του τροχονόμου εκείνη τη στιγμή; γ) Πόση είναι η συνολική απόσταση που διάνυσε κάθε όχημα μέχρι εκείνο το σημείο; α) Θέλουμε να υπολογίσουμε την τιμή t που ο οδηγός και ο τροχονόμος είναι στην ίδια θέση x M =x p. Εφαρμόζοντας την x = x 0 + υ 0x t + 1 2 a xt 2 για κάθε όχημα, βρίσκουμε x M = 0 + υ M0x t + 1 2 0 t2 = υ M0x t x P = 0 + 0 t + 1 2 a P x t 2 = 1 2 a P x t 2 2 15 m/s υ M0x t = 1 a 2 P x t 2, t=0 ή t = 2υ Μ0x = a P x 3,0 m/s2 = 10 s. Δυο χρονικές στιγμές που τα δυο οχήματα έχουν την ίδια συντεταγμένη x. t=0, το αυτοκίνητο προσπερνάει την παρκαρισμένη μοτοσικλέτα στη γωνία. t=10 s, ο τροχονόμος φτάνει τον οδηγό.
β) Θέλουμε το μέτρο της ταχύτητας του τροχονόμου υ Px τη χρονική στιγμή που βρέθηκε στο ερώτημα α). Η ταχύτητά του για κάθε χρονική στιγμή δίνεται από: υ Px = υ P0x + a Px t = 0 + 3,0 m/s 2 t Οπότε για t=10 s, βρίσκουμε υ Px = 30 m/s. Όταν ο τροχονόμος φτάνει το αυτοκίνητο, έχει διπλάσια ταχύτητα από τον οδηγό. γ) Η απόσταση, που διανύει το αυτοκίνητο, σε 10 s είναι: x M = υ Μ0x t = 15 m/s 10 s = 150 m Ενώ η απόσταση που διάνυσε ο τροχονόμος είναι: x P = 1 2 a P x t 2 = 1 2 3,0 m/s2 10 s 2 = 150 m Αυτό επιβεβαιώνει πως όταν ο τροχονόμος φτάνει το αυτοκίνητο τα δύο οχήματα έχουν διανύσει ίσες αποστάσεις.
Ελεύθερη πτώση σωμάτων. Για τη μελέτη της ελεύθερης πτώσης παίρνουμε την εξιδανικευμένη περίπτωση όπου η αντίσταση του αέρα είναι μηδενική. Ελεύθερη πτώση λέγεται η πτώση ενός σώματος υπό την επίδραση της βαρύτητας. Στο διπλανό σχήμα παρατηρούμε ότι το μπαλάκι πέφτει υπό την επίδραση της βαρύτητας και αλλάζει η ταχύτητά του. Η ταχύτητά του μεταβάλλεται με σταθερό ρυθμό. Το μπαλάκι επιταχύνεται με την σταθερή επιτάχυνση ίση με g=9,8 m/s 2 =980 cm/s 2.
Παράδειγμα: Κέρμα που πέφτει ελεύθερο Κέρμα ενός ευρώ ρίχνεται από τον κεκλιμένο πύργο της Πίζας. Το κέρμα ξεκινάει από την ηρεμία και πέφτει ελεύθερα. Υπολογίστε τη θέση και την ταχύτητά του μετά από 1,0, 2,0 και 3,0 s. y = υ 0y t + 1 2 a yt 2 = 0 + 1 2 g t2 = 4,9 m/s 2 t 2 υ y = υ 0y + a y t = 0 + g t = 9,8 m/s 2 t Για t=1,0 s, y = 4,9 m/s 2 1,0 s 2 = 4,9 m και υ y = 9,8 m/s 2 1,0 s = 9,8 m/s Δηλ., το κέρμα μετά από ένα δευτερόλεπτο βρίσκεται 4,9 m κάτω από την αρχή και έχει ταχύτητα με κατεύθυνση προς τα κάτω με μέτρο 9,8 m/s.
Παράδειγμα: Κίνηση πάνω-κάτω στην ελεύθερη πτώση. Υποθέστε ότι ρίχτετε μια μπάλα κατακόρυφα προς τα πάνω από την ταράτσα ψηλού κτιρίου. Η μπάλα φεύγει από το χέρι σας στο ύψος του κάγκελου της ταράτσας με ταχύτητα 15,0 m/s προς τα πάνω, η μπάλα είναι σε ελεύθερη πτώση. Στο δρόμο της προς τα κάτω μόλις και δεν κτυπάει το κάγκελο. Στη θέση του κτιρίου, g=9,80 m/s 2. Βρείτε α) τη θέση και την ταχύτητα της μπάλας 1,00 s και 4,00 s από τη στιγμή που άφησε το χέρι σας, β) τη ταχύτητά της, όταν βρίσκεται 5,00 m πάνω από το κάγκελο, γ) το μέγιστο ύψος, που έφτασε η μπάλα και το χρόνο που έφτασε σε αυτό, και δ) την επιτάχυνση της μπάλας όταν είναι στο μέγιστο ύψος. a) y =0, y = y 0 + υ 0y t + 1 2 a yt 2 = y 0 + υ 0y t + 1 2 9,8 m/s2 t 2 = 0 + 15,0 m/s t + 1 2 9,8 m/s2 t 2 υ y = υ 0y + a y t = υ 0y + g t = 15,0 m s + 9,8 m/s2 t Όταν t=1,00 s, y= +10,1 m υ y =+5,2 m/s η μπάλα κατευθύνεται προς τα πάνω και τα πρόσημα είναι θετικά. Η ταχύτητα είναι μικρότερη από την αρχική.
t= 4 s, y = 18,4 m υ y = 24,2 m/s Η μπάλα έχει περάσει το υψηλότερο σημείο στη διαδρομή της και βρίσκεται κάτω από την αρχή (y αρνητικό). Η ταχύτητά της έχει κατεύθυνση προς τα κάτω και είναι μεγαλύτερη από την αρχική όπως περιμένουμε για σημεία κάτω από το σημείο εκτόξευσης. β) Η ταχύτητα είναι: υ y 2 = υ 0y 2 + 2a x y y 0 = υ 0y 2 + 2 g y 0 = 15,0 m/s 2 + 2 9,80 m/s 2 y Όταν η μπάλα βρίσκεται 5,00 m πάνω από την αρχή y=+5,00 m. υ y 2 = 15,0 m/s 2 + 2 9,80 m/s 2 5,00 m = 127 m2 υ y = ±11,3 m/s Η μπάλα περνά από το σημείο y=5,00 m δυο φορές. Μια όταν αναεβαίνει και τότε υ y = +11,3 m/s και μια όταν καταβαίνει και τότε υ y = 11,3 m/s. s 2
γ) Στο ψηλότερο σημείο η μπάλα σταματάει να ανεβαίνει ( θετικές τιμές της υ y ) και αρχίζει να πέφτει ( αρνητικές τιμές του υ y ). Στο ψηλότερο σημείο υ y =0. δ) Η επιτάχυνση στο υψηλότερο σημείο παραμένει g=-9,80 m/s 2. Η ταχύτητα μηδενίζεται προς στιγμή. Αν μηδενιζόταν η επιτάχυνση η ταχύτητά του θα ήταν σταθερή. Αφού όμως μηδενίζεται η ταχύτητά του στο υψηλότερο σημείο τότε το σώμα θα έμενε πάντα σε ακινησία, πράγμα που δεν συμβαίνει. Δύο τρόποι επίλυσης. 1 ος τρόπος 0 = υ 0y 2 + 2 g y 0 y = υ 0y 2 2g 2 ος τρόπος 15,0 m/s 2 = = +11, 5 m 2 9,80 m/s2 υ y = 0 = υ 0y + g t όπου t ο χρόνος όπου η μπάλα φτάνει στο υψηλότερο σημείο. t = υ 0y 15,0 m/s = g 9,80 m/s2 = 1,53 s οπότε: y = y 0 = υ 0y t + 1 2 a xt 2 = 0 + 15 m/s 1,53 s + 1 2 9,80 m/s2 1,53 s 2 = + 11,5 m. Στον πρώτο τρόπο δεν χρειάζεται να υπολογίσουμε πρώτα το χρόνο.
Παράδειγμα: Δύο λύσεις ή μία; Να βρείτε το χρόνο που η μπάλα στο προηγούμενο παράδειγμα βρίσκεται 5,00 m κάτω από το κάγκελο. y = y 0 + υ 0y t + 1 2 a yt 2 = y 0 + υ 0y t + 1 2 g t2 Αναδιατάσσουμε την εξίσωση στη μορφή δευτεροβάθμιας εξίσωσης ως προς t. Δηλ. Ax 2 + Bx + C = 0 1 2 g t2 + υ 0y t + y y 0 = 0 Η λύση της είναι x = ± B± B2 4AC 2A t = υ 0y± υ 2 0y 2g y y 0 g Αντικαθιστώντας τις τιμές y 0 =0, υ 0y =+15,0 m/s, g=9,80 m/s 2 και y=-5,00 m, βρίσκουμε t = 15,0 m/s ± 15,0 m/s 2 2 9,80 m/s 2 5,00 m 0 9,80 m/s 2 t = +3,36 s ή t = 0,30 s Η σωστή απάντηση είναι t = +3,36 s.