ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Συµπεράσµατα 429 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6. Συµπεράσµατα Στα πλαίσια της παρούσας διατριβής πραγµατοποιήθηκε διερεύνηση της εφαρµοσιµότητας και της αξιοπιστίας των εδαφικών προσοµοιωµάτων δυο και τριών παραµέτρων, καθώς και η ανάπτυξη ενός γενικευµένου πεπερασµένου στοιχείου δοκού προσανατολισµένου κυρίως στην προσοµοίωση δοµικών στοιχείων φορέων θεµελίωσης, αλλά και µε δυνατότητες αντιµετώπισης προβληµάτων προσοµοίωσης δοµικών στοιχείων ανωδοµής. Επιπλέον, εφαρµόστηκε µια αναλυτική µέθοδος προσδιορισµού των τιµών των δυο εδαφικών παραµέτρων, η οποία στηρίζεται στις εξισώσεις του γνωστού και τεκµηριωµένου τροποποιηµένου προσοµοιώµατος δυο παραµέτρων του Vlasov, ενώ διερευνήθηκε και η δυνατότητα συσχετισµού των τιµών των τριών παραµέτρων του αντίστοιχου προσοµοιώµατος. Με δεδοµένη την από πολλές πηγές τεκµηριωµένη αδυναµία του ευρέως διαδεδοµένου στην πράξη (λόγω κυρίως της απλοϊκότητάς του) προσοµοιώµατος του Winkler, τέθηκε ο προβληµατισµός της προσοµοίωσης του εδάφους θεµελίωσης και µε διαφορετικά προσοµοιώµατα. Κριτήριο για τον χαρακτηρισµό ενός εδαφικού προσοµοιώµατος ως καταλληλότερου για εφαρµογή έναντι του προσοµοιώµατος Winkler θεωρήθηκε κατά πρώτο και κύριο λόγο η δυνατότητά του να αντιµετωπίσει µε αξιόπιστο τρόπο προβλήµατα που δεν µπορούν να αντιµετωπιστούν µε το προσοµοίωµα του Winkler, και κατά δεύτερο λόγο η απλότητα της µαθηµατικής του διατύπωσης, έτσι ώστε να είναι δυνατή η χρήση του στην ανάπτυξη σχετικών υπολογιστικών «εργαλείων» χωρίς να υφίσταται ανάγκη προσφυγής σε πολύπλοκες αριθµητικώς διαδικασίες. Για την εκπλήρωση των παραπάνω στόχων ακολουθήθηκε µια ερευνητική διαδικασία, που συνίσταται σε µια αλληλουχία ενεργειών, οι οποίες συνοπτικά είναι οι εξής: - ιερεύνηση της βιβλιογραφίας που αφορά τόσο στο πρόβληµα της προσοµοίωσης του εδάφους ως ελαστικού υποβάθρου, όσο και στο πρόβληµα της ελαστικώς εδραζόµενης δοκού. - Συγκέντρωση από τη διεθνή βιβλιογραφία των απαραιτήτων στοιχείων που αφορούν στα χαρακτηριστικά των προσοµοιωµάτων, όπως αυτά διαµορφώνονται από τις παραδοχές βάσει των οποίων έχουν αναπτυχθεί, και εντοπισµός αναλόγων ερευνητικών προσπαθειών του παρελθόντος, όσον αφορά στο πρόβληµα της ελαστικώς εδραζόµενης δοκού. - Επιλογή των εδαφικών προσοµοιωµάτων, τα οποία αφενός εκπληρώνουν τα κριτήρια που έχουν τεθεί και αφετέρου εµφανίζονται να µην έχουν διερευνηθεί επαρκώς κατά το παρελθόν. - Σχηµατισµός των υπολογιστικών «εργαλείων» που απαιτούνται για την αντιµετώπιση του προβλήµατος της προσοµοίωσης φορέων θεµελίωσης µε τα επιλεγµένα εδαφικά προσοµοιώµατα, για χρήση εφαρµογή στα πλαίσια της µεθόδου των πεπερασµένων στοιχείων. - Σχηµατισµός µητρώων δυσκαµψίας, µεταφοράς και φόρτισης τόσο µε βάση τις αναλυτικές λύσεις των διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν τα επιλεγµένα προσοµοιώµατα όσο και µε βάση αλγεβρικές συναρτήσεις παρεµβολής. Με τα υπολογιστικά αυτά «εργαλεία» είναι δυνατή η αντιµετώπιση διαφόρων προβληµάτων πέραν αυτών που αντιµετωπίστηκαν στα πλαίσια της παρούσας διατριβής, όπως π.χ.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Συµπεράσµατα 430 προβλήµατα αποκόλλησης δοκών από το έδαφος, τα οποία παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον στην περίπτωση του αντισεισµικού υπολογισµού των κατασκευών. - Επίλυση σειράς κατάλληλων αριθµητικών παραδειγµάτων προκείµενου να ελεγχθούν και σε συνθήκες πρακτικών εφαρµογών οι δυνατότητες και η αξιοπιστία των επιλεγµένων εδαφικών προσοµοιωµάτων. Για τον υπολογισµό των τιµών των εδαφικών παραµέτρων που είναι απαραίτητες για τις επιλύσεις των παραδειγµάτων αυτών, γίνεται εφαρµογή του τροποποιηµένου προσοµοιώµατος του Vlasov σε συνθήκες επίπεδης έντασης. Από την παραπάνω διαδικασία προέκυψε µια σειρά διαπιστώσεων που παρουσιάζονται ακολούθως µε την σειρά που ανέκυψαν κατά την διερεύνηση: Το πρόβληµα της προσοµοίωσης του εδάφους ως ελαστικού υποβάθρου µε προσοµοιώµατα διαφορετικά του προσοµοιώµατος Winkler έχει τεθεί από τις αρχές της δεκαετίας του 1920. Μέσα στα επόµενα 45 χρόνια προτάθηκε µια σειρά µηχανικών προσοµοιωµάτων, τα οποία ήταν προσανατολισµένα στην αντιµετώπιση των αδυναµιών του προσοµοιώµατος αυτού. Η ανάπτυξη των νέων προσοµοιωµάτων στόχευε κυρίως στην εξάλειψη της απόλυτης ασυνέχειας που προσδίδει στην εδαφική συµπεριφορά η προσοµοίωση µε το µοντέλο Winkler. Το σύνολο των προταθέντων προσοµοιωµάτων µπορεί να διαχωριστεί είτε µε βάση την µεθοδολογία ανάπτυξης τους, είτε µε βάση τον αριθµό των διαφορετικών παραµέτρων που υπεισέρχονται στις µαθηµατικές τους διατυπώσεις. Με βάση το δεύτερο αυτό κριτήριο, τα προσοµοιώµατα διακρίνονται σε προσοµοιώµατα µιας, δυο, τριών και περισσοτέρων παραµέτρων. Ιδιαίτερο πρακτικό ενδιαφέρον εµφανίζουν τα προσοµοιώµατα των δυο και των τριών παραµέτρων, αφενός επειδή οι µαθηµατικές τους διατυπώσεις παραµένουν σχετικά απλές, παρά το γεγονός ότι είναι πιο σύνθετες από την αντίστοιχη µαθηµατική διατύπωση του προσοµοιώµατος Winkler, και αφετέρου επειδή εµφανίζουν ευελιξία στην προσαρµογή τους σε διάφορες απαιτήσεις προσοµοίωσης. Από τα προσοµοιώµατα των δυο παραµέτρων ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει το προσοµοίωµα του Vlasov για δυο κυρίως λόγους. Ο πρώτος αφορά στη µεθοδολογία βάσει της οποίας έχει σχηµατιστεί η µαθηµατική του διατύπωση. Πρόκειται για µια ιδιαίτερα ευέλικτη διατύπωση που επιτρέπει την ανάπτυξη κατάλληλων παραλλαγών τροποποιήσεων του προσοµοιώµατος, οι οποίες είναι χρήσιµες για την παραµετρική διερεύνηση διαφόρων προβληµάτων. Ο δεύτερος λόγος είναι απόρροια του πρώτου και αφορά σε µια εκδοχή του προσοµοιώµατος (τροποποιηµένο προσοµοίωµα Vlasov των Jones και Xenophontos) µε την οποία επιτυγχάνεται ο συσχετισµός και κατά συνέπεια και ο υπολογισµός των παραµέτρων του από άλλες γνωστές παραµέτρους, όπως οι ελαστικές σταθερές του υποβάθρου θεµελίωσης και τα χαρακτηριστικά γεωµετρίας και φόρτισης των στοιχείων της. Επιπλέον, ένα γενικό χαρακτηριστικό των προσοµοιωµάτων των δυο παραµέτρων (ανεξαρτήτως του τρόπου ανάπτυξης τους) αποτελεί η δυνατότητα που έχει η µαθηµατική τους διατύπωση να µετατρέπεται στην αντίστοιχη διατύπωση του προσοµοιώµατος Winkler µε απλό µηδενισµό της τιµής της δεύτερης παραµέτρου τους. Τα προσοµοιώµατα των τριών παραµέτρων εµφανίζουν διευρυµένες δυνατότητες εφαρµογής, καθώς στηρίζονται σε µηχανικά µοντέλα που εµπεριέχουν ως υποσύνολα τους επί µέρους στοιχεία των προσοµοιωµάτων των δυο και της µιας παραµέτρου. Το πιο αντιπροσωπευτικό προσοµοίωµα της
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Συµπεράσµατα 431 κατηγορίας αυτής είναι το προσοµοίωµα του Kerr, το µηχανικό µοντέλο του οποίου συντίθεται από δυο επίπεδα κατακορύφων µεταφορικών ελατηρίων, µεταξύ των οποίων παρεµβάλλεται ένα διατµητικό επίπεδο. Το προσοµοίωµα του Kerr αποτελεί επέκταση του µηχανικού προσοµοιώµατος δυο παραµέτρων του Pasternak, το οποίο σχηµατίζεται από µια σειρά κατακόρυφων µεταφορικών ελατηρίων που συνδέονται στις κεφαλές τους µέσω ενός διατµητικού επιπέδου. Ένα άλλο πολύ βασικό χαρακτηριστικό του προσοµοιώµατος των τριών παραµέτρων του Kerr είναι η δυνατότητα που παρέχει στον έλεγχο του βαθµού «ασυνέχειας» των µετακινήσεων της επιφάνειας του εδάφους. Έτσι, ενώ τα προσοµοιώµατα µιας και δυο παραµέτρων αντιπροσωπεύουν τις δυο ακραίες καταστάσεις, δηλαδή της απόλυτης ασυνέχειας και της συνέχειας των µετακινήσεων της επιφανείας του εδάφους αντιστοίχως, το προσοµοίωµα του Kerr επιτυγχάνει µε την εισαγωγή της τρίτης παραµέτρου την γεφύρωση του χάσµατος αυτού, αφού είναι σε θέση να προσοµοιώσει την µερική συνέχεια (πολύ απότοµη µεταβολή) των µετακινήσεων, η οποία πολλές φορές εµφανίζεται µεταξύ της φορτιζόµενης και της αφόρτιστης επιφάνειας του εδάφους. Εποµένως, το προσοµοίωµα του Kerr µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την προσοµοίωση πολλών κατηγοριών εδαφών, αφού µε την κατάλληλη επιλογή των παραµέτρων του επιτυγχάνεται µια ικανοποιητική προσέγγιση των αντιστοίχων διαγραµµάτων τάσεων παραµορφώσεων της επιφάνειας θεµελίωσης. Από την αξιολόγηση της βιβλιογραφίας που αφορά στο πρόβληµα της ελαστικώς εδραζόµενης δοκού προέκυψαν τα εξής συµπεράσµατα: - Η προσοµοίωση της αλληλεπίδρασης των δοκών µε έδαφος προσοµοιούµενο µε το προσοµοίωµα µιας παραµέτρου (Winkler) έχει αντιµετωπιστεί πλήρως από πλευράς της µητρωικής µεθόδου ανάλυσης των κατασκευών, καθώς είναι διαθέσιµη η πλήρης σειρά µητρώων δυσκαµψίας, µεταφοράς και φόρτισης για κάθε πρόβληµα που είναι δυνατό να εµφανιστεί στην πράξη. - Το αντίστοιχο πρόβληµα που αφορά στα προσοµοιώµατα των δυο παραµέτρων είναι και αυτό σε µεγάλο βαθµό διερευνηµένο, αν και εµφανίζονται διάφορα κενά στην κάλυψη όλων των δυνατών περιπτώσεων λύσης που µπορεί να λάβει η διαφορική εξίσωση του προβλήµατος. - Το πρόβληµα της κάµψης δοκών επί ελαστικού υποβάθρου τριών παραµέτρων δεν έχει µπορέσει να αντιµετωπιστεί κατά το παρελθόν στα πλαίσια της µητρωικής ανάλυσης των κατασκευών, παρά µόνον για ορισµένες ειδικές περιπτώσεις, οι οποίες όµως αφορούν µόνο προβλήµατα απολύτως στερεών σωµάτων υπό στατική ή δυναµική φόρτιση. Ωστόσο, τονίζεται ότι το προσοµοίωµα των τριών παραµέτρων έχει αποτελέσει αντικείµενο έρευνας κυρίως από εδαφοτεχνικής πλευράς, και µάλιστα υπάρχουν αρκετά πρόσφατες αναφορές µε αξιοσηµείωτα αποτελέσµατα. - εν διατίθεται ένα (γενικευµένο) πεπερασµένο στοιχείο δοκού προσανατολισµένο στην εύκολη, αποτελεσµατική και αξιόπιστη αντιµετώπιση συχνά εµφανιζόµενων στην πράξη προβληµάτων προσοµοίωσης στοιχείων θεµελίωσης (πεδιλοδοκών και πεδίλων υποστυλωµάτων µε προσοµοίωση της συνεχούς ελαστικής έδρασης χωρίς την προσφυγή σε διακριτοποίηση και εισαγωγή µεµονωµένων ελατηρίων).
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Συµπεράσµατα 432 - εν έχει διερευνηθεί επαρκώς η επιρροή του εδάφους εκατέρωθεν των φορέων θεµελίωσης επί των εντασιακών και παραµορφωσιακών µεγεθών των δοµικών τους στοιχείων. Από την κατάστρωση και την επίλυση των εξισώσεων που διέπουν το πρόβληµα των δοκών Euler ή Timoshenko επί ελαστικού υποβάθρου του Kerr προέκυψαν τα εξής: - Οι εξισώσεις του εν λόγω προσοµοιώµατος ταυτίζονται µε εκείνες που διέπουν το αντίστοιχο πρόβληµα της κάµψης δοκών επί του διευρυµένου προσοµοιώµατος του Vlasov µε τη θεώρηση και των οριζοντίων µετακινήσεων στο εσωτερικό του υποβάθρου, µε τις εξισώσεις του προσοµοιώµατος του Vlasov µε δυο ελαστικά στρώµατα διαφορετικών ελαστικών σταθερών, αλλά και µε τις εξισώσεις του προσοµοιώµατος τριών παραµέτρων του Reisnner. Εποµένως, η επίλυση τους δίνει την ευχέρεια αντιµετώπισης ενός µεγάλου εύρους προβληµάτων. - Η λύση των εξισώσεων δεν είναι µονοσήµαντη, καθώς επηρεάζεται από τις τιµές των παραµέτρων του εδάφους και των χαρακτηριστικών της γεωµετρίας και της φόρτισης της δοκού. Από το µεγάλο εύρος των πιθανών περιπτώσεων λύσης, εκείνες που έχουν πραγµατικό ενδιαφέρον επειδή είναι δυνατόν να εµφανιστούν πράγµατι στη πράξη, είναι τρεις για την περίπτωση κάµψης δοκών Euler ή Timoshenko όταν η ανάλυση γίνεται στα πλαίσια της θεωρίας β τάξης, ενώ δυο από αυτές τις περιπτώσεις είναι πιθανές όταν η ανάλυση πραγµατοποιείται στα πλαίσια της θεωρίας α τάξης. - Οι τριγωνοµετρικές και οι υπερβολικές τριγωνοµετρικές συναρτήσεις που απαρτίζουν τη λύση των διαφορικών εξισώσεων του προβλήµατος, εµπεριέχουν ως υποσύνολό τους τις αντίστοιχες συναρτήσεις που διέπουν το πρόβληµα της κάµψης δοκών επί ελαστικού υποβάθρου δυο παραµέτρων. Από την εφαρµογή του αναπτυχθέντος γενικευµένου στοιχείου δοκού προέκυψε το συµπέρασµα, ότι το στοιχείο αυτό επιτυγχάνει και στην πράξη µε πολύ απλό για τον χρήστη τρόπο την αξιόπιστη προσοµοίωση φορέων θεµελίωσης αλλά και, γενικότερα, της ανωδοµής πλαισιακών φορέων. Οι ενσωµατωµένες δυνατότητες προσοµοίωσης απολύτως στερεών βραχιόνων, συνεχούς ελαστικής έδρασης µιας δυο ή τριών παραµέτρων, η τοποθέτηση στροφικών ελατηρίων, αλλά και η εισαγωγή καταλλήλων «διακοπτών» ενεργοποίησης / απενεργοποίησης των χαρακτηριστικών αυτών, δίνουν τη ευχέρεια προσοµοίωσης φορέων οπλισµένου σκυροδέµατος αλλά και µεταλλικών φορέων µε φορέα θεµελίωσης από σκυρόδεµα, µε πολύ µικρότερο αριθµό στοιχείων από εκείνον που θα απαιτούσε µια συµβατική αντιµετώπιση των προβληµάτων αυτών. Επιπλέον, η σύγκριση των αποτελεσµάτων που προκύπτουν από τη χρήση του νέου στοιχείου µε τα αντίστοιχα αποτελέσµατα των συµβατικών µεν αλλά δοκιµασµένων κατ επανάληψη στην πράξη τεχνικών προσοµοίωσης, απέδειξε πλήρη ταύτιση, κάτι που τεκµηριώνει και την αξιοπιστία του στοιχείου πέρα από την δεδοµένη απλότητά του. Τα παραπάνω συµπεράσµατα ισχύουν και για την περίπτωση κατά την οποία γίνεται χρήση του νέου στοιχείου σε προβλήµατα ελαστικής ευστάθειας, όπου επιτυγχάνεται ο αξιόπιστος υπολογισµός των κρίσιµων φορτίων λυγισµού επίπεδων πλαισιακών φορέων. Κατά την επίλυση των αριθµητικών παραδειγµάτων εφαρµόστηκε µια µεθοδολογία προσδιορισµού των εδαφικών παραµέτρων, που στηρίζεται κατά κύριο λόγο στις εξισώσεις του τροποποιηµένου προσοµοιώµατος του Vlasov, από την οποία προκύπτουν οι τιµές των δυο παραµέτρων που απαιτούνται
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Συµπεράσµατα 433 για την εφαρµογή των αντιστοίχων προσοµοιωµάτων. Η ίδια µεθοδολογία επιτρέπει επίσης τον προσδιορισµό της τρίτης παραµέτρου του προσοµοιώµατος του Kerr µέσω του συσχετισµού της µε τις τιµές των άλλων δυο παραµέτρων. Πιο συγκεκριµένα, η διαδικασία που ακολουθήθηκε σε κάθε παράδειγµα είναι η ακόλουθη: - Επιλογή της κατηγορίας του εδάφους θεµελίωσης αλλά και του πάχους του αντίστοιχου υποβάθρου. Όσον αφορά τα εδάφη, θεωρήθηκαν πέντε διαφορετικές κατηγορίες που καλύπτουν ένα όσο το δυνατό πιο ευρύ φάσµα εδαφών, από µαλακά αργιλικά έως και αµµώδη. Όσον αφορά στα πάχη των ελαστικών υποβάθρων, θεωρήθηκαν τιµές που κυµαίνονται από τα 10 έως τα 60 µέτρα, µε βήµα αύξησης που µεταβάλλεται ανά παράδειγµα. - Επιλογή των µεγεθών έντασης και µετακίνησης που θα αποτελέσουν το αντικείµενο σύγκρισης µεταξύ των εξεταζόµενων προσοµοιωµάτων. - Επίλυση του φορέα µε προσοµοιώµατα επιφανειακών πεπερασµένων στοιχείων προκειµένου να υπολογιστούν οι τιµές των µεγεθών που θα αποτελέσουν τις τιµές αναφοράς κατά την διαδικασία της συγκριτικής αξιολόγησης των εξεταζόµενων εδαφικών προσοµοιωµάτων (σε όσες περιπτώσεις στάθηκε δυνατό, έγινε χρήση και των αποτελεσµάτων που προκύπτουν από την εφαρµογή των εξισώσεων του συνεχούς ελαστικού ηµιεπιπέδου). - Επίλυση µε το τροποποιηµένο προσοµοίωµα του Vlasov από το οποίο προκύπτουν οι τιµές των δυο παραµέτρων των αντιστοίχων προσοµοιωµάτων, δηλαδή της σταθεράς k των µεταφορικών ελατηρίων, και της σταθεράς G του διατµητικού επιπέδου. - Επίλυση µε τα προσοµοιώµατα µιας ή δυο παραµέτρων που ακολουθούν, κάνοντας χρήση των τιµών των παραµέτρων που προέκυψαν από την επίλυση µε το τροποποιηµένο προσοµοίωµα του Vlasov: α. Προσοµοίωµα του Winkler (προσοµοίωµα µιας παραµέτρου), β. Προσοµοίωµα δυο παραµέτρων του Pasternak χωρίς την θεώρηση της επιρροής του εδάφους εκατέρωθεν των φορέων, γ. Προσοµοίωµα του Vlasov µε την θεώρηση των οριζοντίων µετακινήσεων στο εσωτερικό του ελαστικού υποβάθρου. - Επίλυση µε το προσοµοίωµα των τριών παραµέτρων του Kerr µε ή χωρίς την θεώρηση της επιρροής του εδάφους εκατέρωθεν των φορέων. Οι επιλύσεις αυτές στηρίχθηκαν στην παραδοχή του συσχετισµού της σταθεράς της κάτω στρώσης των µεταφορικών ελατηρίων k µε την σταθερά της άνω στρώσης c. Θεωρήθηκε ότι ο συσχετισµός αυτός είναι δόκιµος, καθώς και οι δυο αυτές σταθερές αναφέρονται σε µεταφορικά ελατήρια. Έτσι έγινε η παραδοχή, ότι η σχέση µεταξύ των δυο αυτών σταθερών είναι: c=n ck k. Με βάση την παραδοχή αυτή, µπορεί να γίνει εφαρµογή του προσοµοιώµατος του Kerr σε συνδυασµό µε την εφαρµογή του τροποποιηµένου προσοµοιώµατος του Vlasov, από την οποία προκύπτουν σε πρώτο στάδιο οι σταθερές k, G, ενώ σε δεύτερο στάδιο λαµβάνει χώρα ο υπολογισµός και της τρίτης παραµέτρου µέσω της σχέσης c=n ck k. Για την παράµετρο n ck (που στα πλαίσια της παρούσας διατριβής αναφέρεται ως συντελεστής συσχέτισης) πραγµατοποιήθηκαν παραµετρικές αναλύσεις σε κάθε παράδειγµα, µε στόχο την διερεύνηση ύπαρξης συγκεκριµένων
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Συµπεράσµατα 434 τιµών ή πεδίων τιµών της, µε τις οποίες επιτυγχάνεται η σύγκλιση των αποτελεσµάτων που προκύπτουν από την χρήση του προσοµοιώµατος των τριών παραµέτρων, µε τα αποτελέσµατα αναφοράς. Στο σηµείο αυτό θα πρέπει να τονιστεί ότι η ταυτόχρονη προγραµµατιστική «υλοποίηση» των προσοµοιωµάτων δυο και τριών παραµέτρων είναι εφικτή µε µικρότερο «υπολογιστικό κόστος» από αυτό που θα απαιτούνταν για τον ταυτόχρονο προγραµµατισµό των λύσεων δυο διαφορετικών προβληµάτων καθώς, όπως τονίστηκε και πιο πάνω, οι συναρτήσεις που συνθέτουν τις λύσεις των εξισώσεων των προσοµοιωµάτων των δυο παραµέτρων αποτελούν υποσύνολο των συναρτήσεων που συνθέτουν τις λύσεις της αντίστοιχης εξίσωσης του προσοµοιώµατος των τριών παραµέτρων. Τα συµπεράσµατα που προέκυψαν από την επίλυση καθενός από τα αριθµητικά παραδείγµατα είναι τα εξής: o οκοί «απείρου» µήκους υπό µοναχική κατακόρυφη δύναµη ή ροπή Η πρώτη οµάδα των αριθµητικών παραδειγµάτων που επιλύθηκαν αφορά δοκούς «απείρου» µήκους. Τα παραδείγµατα αυτά είναι κατάλληλα για την πρώτη συγκριτική αξιολόγηση των προσοµοιωµάτων καθώς είναι απαλλαγµένα από τις συνοριακές συνθήκες των ελευθέρων άκρων των δοκών που επηρεάζουν τα αποτελέσµατα των αναλύσεων. οκός «απείρου» µήκους υπό µοναχική κατακόρυφη δύναµη. Στα πλαίσια των αναλύσεων αυτών ελέγχθηκαν η µέγιστη κατακόρυφη µετακίνηση και η µέγιστη καµπτική ροπή της δοκού και προέκυψαν τα παρακάτω συµπεράσµατα: - Όσον αφορά την σύγκλιση των κατακορύφων µετακινήσεων, προτείνεται η τιµή n ck =7 µε την οποία το προσοµοίωµα των τριών παραµέτρων επιτυγχάνει την βέλτιστη του επίδοση ανεξαρτήτως κατηγορίας εδάφους, αλλά και βάθους του ελαστικού υποβάθρου (οι αποκλίσεις δεν υπερβαίνουν σε καµία περίπτωση το 3%). Όσον αφορά τις µέγιστες καµπτικές ροπές, υφίστανται ελαφρές διαφοροποιήσεις στις τιµές των βέλτιστων συντελεστών συσχέτισης τόσο ανά κατηγορία εδάφους όσο και βάθους του ελαστικού υποβάθρου. Έτσι, για τα «µαλακά» εδάφη µε σχετικά µικρό µέτρο ελαστικότητας οι βέλτιστες τιµές των συντελεστών συσχέτισης κυµαίνονται µεταξύ του 6 και του 8 ανάλογα µε το βάθος του ελαστικού υποβάθρου, ενώ για τα «σκληρά» εδάφη µε σχετικά µεγάλο µέτρο ελαστικότητας η αντίστοιχη διακύµανση είναι µεταξύ του 7 και του 11. Ωστόσο, αν τεθεί n ck =7 για την περίπτωση των «µαλακών» εδαφών και n ck =9 για την περίπτωση των «σκληρών», τότε οι αποκλίσεις των τιµών των µεγίστων καµπτικών ροπών από τις τιµές αναφοράς, δεν υπερβαίνουν σε καµία περίπτωση το 3.5% - 4%. - Από τα υπόλοιπα προσοµοιώµατα που εξετάστηκαν, το προσοµοίωµα του Vlasov µε και χωρίς την θεώρηση των οριζοντίων µετακινήσεων στο εσωτερικό του υποβάθρου εµφανίζεται αποδοτικότερο του προσοµοιώµατος του Winkler ειδικά για µεγάλα βάθη υποβάθρου, και γενικά υποδεέστερο του προσοµοιώµατος των τριών παραµέτρων, όταν για το τελευταίο γίνεται χρήση των συντελεστών συσχέτισης που παρουσιάστηκαν παραπάνω. Πιο συγκεκριµένα, οι αποκλίσεις του προσοµοιώµατος του Vlasov όσον αφορά στις καµπτικές ροπές είναι µεγαλύτερες στην περίπτωση των «σκληρών» εδαφών και κυµαίνονται από 15% στην περίπτωση που το υπόβαθρο έχει µικρό βάθος έως και 40%
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Συµπεράσµατα 435 στην περίπτωση που έχει µέσο ή µεγάλο βάθος. Παρόµοιας τάξης είναι και οι αποκλίσεις των µεγίστων κατακορύφων µετακινήσεων. Οι αντίστοιχες αποκλίσεις του προσοµοιώµατος του Winkler, τόσο όσον αφορά στις κατακόρυφες µετακινήσεις όσο και στις µέγιστες καµπτικές ροπές, είναι µεγαλύτερες στην περίπτωση που το ελαστικό υπόβαθρο έχει µέσο ή µεγάλο βάθος, ενώ είναι της ίδιας τάξεως ή και ελαφρά καλύτερες από τις αντίστοιχες αποκλίσεις του προσοµοιώµατος του Vlasov στην περίπτωση που το ελαστικό υπόβαθρο έχει µικρό βάθος. οκός «απείρου» µήκους υπό µοναχική ροπή. Στα πλαίσια των αναλύσεων αυτών ελέγχθηκαν η µέγιστη στροφή των διατοµών και η µέγιστη τέµνουσα της δοκού και προέκυψαν τα παρακάτω συµπεράσµατα: - Η βέλτιστη τιµή του συντελεστή συσχέτισης όσον αφορά στην σύγκλιση της µέγιστης τέµνουσας δύναµης είναι n ck =7 ανεξαρτήτως κατηγορίας εδάφους και βάθους του ελαστικού υποβάθρου. Αντίστοιχα, για την σύγκλιση της µέγιστης στροφής των διατοµών προτείνεται η τιµή n ck =4 για µεγάλα βάθη του ελαστικού υποβάθρου και οι τιµές n ck =5, 6 για τις περιπτώσεις µέσου και µικρού βάθους αντίστοιχα. Ωστόσο, αν χρησιµοποιηθεί η τιµή n ck =7, τότε οι αποκλίσεις τόσο των µέγιστων στροφών των διατοµών όσο και των τεµνουσών δυνάµεων δεν υπερβαίνουν το 4%, ανεξαρτήτως κατηγορίας εδάφους και βάθους του ελαστικού υποβάθρου. - Όσον αφορά στα υπόλοιπα προσοµοιώµατα, το προσοµοίωµα του Winkler εµφανίζεται αποδοτικότερο του προσοµοιώµατος του Vlasov µε ή χωρίς την επιρροή των οριζοντίων µετακινήσεων στο εσωτερικό του υποβάθρου. Πιο συγκεκριµένα, οι αποκλίσεις που δίδει το προσοµοίωµα του Winkler όσον αφορά στις τέµνουσες δυνάµεις δεν µεταβάλλονται ουσιαστικά ούτε σε σχέση µε την κατηγορία εδάφους ούτε σε σχέση µε το βάθος του ελαστικού υποβάθρου, κυµαίνονται δε µεταξύ του 7% και 20%. Μικρότερες είναι οι αποκλίσεις των γωνιών στροφής των διατοµών, καθώς κυµαίνονται µεταξύ του 5% και του 9%. Οι αντίστοιχες αποκλίσεις των προσοµοιωµάτων του Vlasov είναι 25% - 30% για τις τέµνουσες δυνάµεις, και 10 15% για τις γωνίες στροφής των διατοµών. Οι αποκλίσεις αυτές εµφανίζουν µια τάση µείωσης για µικρά βάθη του ελαστικού υποβάθρου. o οκοί πεπερασµένου µήκους Η δεύτερη οµάδα των αριθµητικών παραδειγµάτων που επιλύθηκαν αφορά δοκούς πεπερασµένου µήκους. Αποτελείται από τις απλές περιπτώσεις φόρτισης µε µοναχική κατακόρυφη δύναµη ή ροπή, και από ένα πιο σύνθετο σύστηµα φόρτισης αποτελούµενο από µοναχικές δυνάµεις, ροπές και συνεχώς κατανεµηµένες δυνάµεις σε τµήµατα του ανοίγµατος της δοκού. Με τα παραδείγµατα αυτά ελέγχεται η επιρροή των συνοριακών συνθηκών στα ελεύθερα άκρα των δοκών, η επιρροή του εδάφους εκατέρωθεν αυτών, καθώς και η επιρροή του δείκτη σχετικής δυσκαµψίας εδάφους / δοκού όπως αυτός εκφράζεται από τον συντελεστή λ των Vlasov και Leont ev (Σχέση 2.134). οκός υπό µοναχική κατακόρυφη δύναµη Στα πλαίσια του παραδείγµατος αυτού, πραγµατοποιήθηκε µια συστηµατική διερεύνηση της απόδοσης των υπό έλεγχο εδαφικών προσοµοιωµάτων σε συνάρτηση µε τον δείκτη λ σχετικής δυσκαµψίας
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Συµπεράσµατα 436 εδάφους / δοκού. Πιο συγκεκριµένα, πραγµατοποιήθηκαν αναλύσεις για διάφορα µήκη δοκών και καλύφθηκε ένα εύρος τιµών του συντελεστή λ από 0.28 έως και 2.28. Εντός του εύρους αυτού ανήκουν δοκοί που µπορούν να θεωρηθούν πρακτικώς «άκαµπτες», δοκοί που έχουν τη συνήθη συµπεριφορά δοκών µέσου µήκους, και δοκοί που συµπεριφέρονται πρακτικώς ως δοκοί «απείρου» µήκους. Τα µεγέθη που ελέγχθηκαν είναι η κατακόρυφη µετακίνηση και η καµπτική ροπή στο σηµείο εφαρµογής της εξωτερικής φόρτισης. Τα συµπεράσµατα που προέκυψαν από την διερεύνηση αυτή είναι τα εξής: - Όσον αφορά στο προσοµοίωµα των τριών παραµέτρων, αποδείχθηκε ότι επιτυγχάνεται σηµαντική σύγκλιση προς τα αποτελέσµατα αναφοράς για τις κατακόρυφες µετακινήσεις εάν στον συντελεστή συσχέτισης δοθούν οι τιµές n ck =7 για την περίπτωση των «µαλακών» εδαφών, και n ck =8 για την περίπτωση των «σκληρών». Οι τιµές αυτές αποδίδουν αποκλίσεις που δεν υπερβαίνουν σε καµία περίπτωση (µήκους δοκού και βάθους ελαστικού υποβάθρου) το 6%. Εποµένως, όσο αναφορά στις κατακόρυφες µετακινήσεις παρατηρείται µια συµφωνία των αποτελεσµάτων µε την περίπτωση των δοκών «απείρου» µήκους. Τα αποτελέσµατα που προέκυψαν από την µελέτη της σύγκλισης των καµπτικών ροπών έδειξαν να έχουν µια σηµαντική εξάρτηση από τον συντελεστή λ, αλλά και από το αν αναφέρονται σε «µαλακά» ή σε «σκληρά» εδάφη. Πιο συγκεκριµένα, αποδείχθηκε ότι υπάρχουν πέντε περιοχές τιµών του λ εντός των οποίων οι τιµές των βέλτιστων συντελεστών συσχέτισης n ck εµφανίζουν µια διαφορετική συµπεριφορά. Οι τιµές του λ που οριοθετούν τις πέντε αυτές περιοχές παρουσιάζουν µια µικρή διαφοροποίηση µεταξύ των «µαλακών» και των «σκληρών» εδαφών. Τα βασικά συµπεράσµατα ανά περιοχή τιµών του συντελεστή λ είναι τα ακόλουθα: α. λ<0.6: Η συσχέτιση µεταξύ των συντελεστών λ και n ck µπορεί να προσεγγιστεί µε πολυωνυµικές συναρτήσεις βαθµού n 2. Οι βέλτιστες τιµές του συντελεστή n ck οδηγούν στην περίπτωση αυτή σε πλήρη σύγκλιση µε τα αποτελέσµατα αναφοράς. β. 0.6<λ<0.9 (0.6<λ<0.7 για τα «σκληρά» εδάφη»): Υφίσταται συσχέτιση των βέλτιστων συντελεστών n ck µε το µέτρο ελαστικότητας του εδάφους, η οποία µπορεί να προσεγγιστεί πολύ ικανοποιητικά µε µια πολυωνυµική συνάρτηση δευτέρου βαθµού. Από την εφαρµογή της συνάρτησης αυτής προκύπτουν οι εξής τιµές, οι οποίες δίδουν αποκλίσεις που δεν υπερβαίνουν το ±6% από τις τιµές αναφοράς των καµπτικών ροπών: Ε1 n ck 125 130, Ε3 n ck 265 270, Ε4 n ck 790 800, Ε5 n ck 3850 3660. γ. 0.9<λ<1.15 (0.7<λ<0.95 για τα «σκληρά» εδάφη»): Η περιοχή αυτή αποτελεί την «αχίλλειο πτέρνα» του προσοµοιώµατος των τριών παραµέτρων, καθώς δεν είναι δυνατή η σύγκλιση προς τις τιµές αναφοράς παρά µόνον µε την χρήση πολύ υψηλών τιµών για τον συντελεστή συσχέτισης (της τάξης του 10 4 ). Ωστόσο, και για τις τιµές αυτές το συγκεκριµένο προσοµοίωµα δεν εµφανίζει επίπεδο σύγκλισης εφάµιλλο των δυο προηγούµενων περιπτώσεων. δ. λ>1.15 (λ>0.95 για τα «σκληρά» εδάφη»): Στην περιοχή αυτή οι δοκοί «συµπεριφέρονται» πρακτικώς ως δοκοί «απείρου» µήκους, καθώς αποδίδουν τα βέλτιστα αποτελέσµατα για τιµές των συντελεστών συσχέτισης που προσεγγίζουν τις τιµές που προέκυψαν κατά την µελέτη των δοκών
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Συµπεράσµατα 437 «απείρου» µήκους. Ωστόσο, η ταύτιση αυτή είναι πιο σαφής για λ>1.65 (λ>1.55 για τα «σκληρά» εδάφη), χωρίς αυτό να σηµαίνει ότι για λ<1.65 (ή λ<1.55) παύει να υφίσταται. - Όσον αφορά στα υπόλοιπα προσοµοιώµατα, θα πρέπει να τονιστεί ότι αν εξαιρεθεί το προσοµοίωµα των τριών παραµέτρων, το προσοµοίωµα του Vlasov αποδίδει τις αµέσως πιο «ακριβείς» τιµές κατακορύφων µετακινήσεων αν και µε σχετικά µεγάλη διαφορά. Τα προσοµοιώµατα του Pasternak και του Winkler αποτυγχάνουν πλήρως στην προσέγγιση των κατακορύφων µετακινήσεων, γεγονός που θα πρέπει να αποδοθεί στην αδυναµία των συγκεκριµένων προσοµοιωµάτων να λάβουν υπόψη τους την επιρροή του εδάφους εκατέρωθεν των δοκών. Τα παραπάνω συµπεράσµατα ισχύουν για όλες τις περιπτώσεις κατηγορίας εδάφους, βάθους ελαστικού υποβάθρου και τιµής του συντελεστή λ που εξετάστηκαν. Αναφορικά µε την σύγκλιση των καµπτικών ροπών προέκυψαν τα παρακάτω συµπεράσµατα µε βάση τις περιοχές τιµών του λ που παρουσιάστηκαν παραπάνω: α. λ<0.9 (λ<0.7 για τα «σκληρά» εδάφη»): Το προσοµοίωµα του Winkler ακολουθεί σε απόδοση το προσοµοίωµα των τριών παραµέτρων στην περίπτωση των «µαλακών» εδαφών, ενώ στην περίπτωση των «σκληρών» εδαφών εµφανίζεται ακριβέστερο το προσοµοίωµα του Vlasov (αν εξαιρεθεί το προσοµοίωµα των τριών παραµέτρων). Το προσοµοίωµα του Pasternak υστερεί όλων των υπολοίπων. β. 0.9<λ<1.15 (0.7<λ<0.95 για τα «σκληρά» εδάφη»): Στην περιοχή αυτή εµφανίζονται ισοδύναµα τα προσοµοιώµατα των Vlasov και Kerr, µε το πρώτο να είναι ελαφρώς πιο ακριβές. Έπονται σε ακρίβεια τα προσοµοιώµατα των Winkler και Pasternak µε το πρώτο να υπερτερεί του δευτέρου. γ. λ>1.15 (λ>0.95 για τα «σκληρά» εδάφη»): Στην περιοχή 1.15<λ<1.65 (0.95<λ<1.55 για τα «σκληρά» εδάφη) το προσοµοίωµα του Winkler προσεγγίζει την ακρίβεια του προσοµοιώµατος των τριών παραµέτρων, ενώ έπονται τα προσοµοιώµατα των Vlasov και Pasternak (το πρώτο σαφώς καλύτερο του δεύτερου). Αντίθετα, για λ>1.65 (λ>1.55) το προσοµοίωµα του Winkler υστερεί όλων των υπολοίπων στην περίπτωση των «σκληρών» εδαφών, ενώ στην περίπτωση των «µαλακών» εδαφών εµφανίζεται ισοδύναµο του προσοµοιώµατος του Vlasov. Τέλος, το προσοµοίωµα του Pasternak δίδει σε γενικές γραµµές τα χειρότερα αποτελέσµατα και στην περίπτωση αυτή. οκός υπό µοναχική ροπή Στα πλαίσια των αναλύσεων αυτών ελέγχθηκαν η µέγιστη στροφή των διατοµών και η µέγιστη τέµνουσα της δοκού. Το πρώτο συµπέρασµα που προέκυψε είναι ότι το βάθος του ελαστικού υποβάθρου δεν έχει ουσιαστική επιρροή στα εξαγόµενα αποτελέσµατα. Τα επιπλέον συµπεράσµατα είναι τα εξής: - Όσον αφορά στη µέγιστη γωνία στροφής της διατοµής, η τιµή n ck =7 δίδει αποτελέσµατα που δεν αποκλίνουν περισσότερο από 3% από τα αποτελέσµατα αναφοράς, όπως και στην περίπτωση της µελέτης των δοκών «απείρου» µήκους. Ικανοποιητική απόδοση έχουν και τα προσοµοιώµατα του Pasternak και του Vlasov (το πρώτο υπερέχει ελαφρώς του δευτέρου), ενώ το προσοµοίωµα του Winkler υστερεί όλων των υπολοίπων.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Συµπεράσµατα 438 - Όσον αφορά στην προσέγγιση της µέγιστης τέµνουσας δύναµης, η τιµή του συντελεστή συσχέτισης n ck =7 δίδει επίσης ικανοποιητικά αποτελέσµατα µε µεγαλύτερες όµως αποκλίσεις απ ότι στην περίπτωση των µέγιστων γωνιών στροφής (αποδίδονται αποκλίσεις έως το 7% ανάλογα µε την κατηγορία εδάφους). Ισοδύναµο µε το προσοµοίωµα των τριών παραµέτρων εµφανίζεται το προσοµοίωµα του Pasternak, ενώ το προσοµοίωµα του Vlasov υπερέχει όλων, συµπεριλαµβανοµένου και του προσοµοιώµατος των τριών παραµέτρων, στην περίπτωση των «µαλακών» εδαφών. Πάντως σε γενικές γραµµές οι αποκλίσεις όλων των προσοµοιωµάτων δεν είναι ιδιαίτερα µεγάλες καθώς δεν υπερβαίνουν το 15% περίπου. οκός υπό σύνθετη φόρτιση Τα συµπεράσµατα από το παράδειγµα αυτό δεν µπορούν να θεωρηθούν ως γενικής ισχύος καθώς προκύπτουν από µια συγκεκριµένη φορτιστική κατάσταση. Ωστόσο, η χρησιµότητα του παραδείγµατος έγκειται στην σύγκριση των τιµών των βέλτιστων συντελεστών συσχέτισης, οι οποίοι προκύπτουν από µια τυχαία κατάσταση φόρτισης, µε τους αντίστοιχους συντελεστές που προκύπτουν από τις συγκεκριµένες και απλές φορτιστικές καταστάσεις µοναχικής κατακόρυφης δύναµης ή ροπής. Θα πρέπει επίσης να επισηµανθεί, ότι στο συγκεκριµένο παράδειγµα συγκρίθηκαν µεγέθη έντασης και µετακίνησης σε οκτώ διαφορετικά σηµεία και όχι µόνον σε ένα, όπως στα δυο παραδείγµατα που προηγήθηκαν. Η παρατήρηση αυτή γίνεται για να καταστεί σαφές, ότι στην παρούσα περίπτωση είναι πρακτικώς αδύνατο να επιτευχθούν απόλυτες συγκλίσεις όλων των ελεγχόµενων µεγεθών έντασης και µετακίνησης για συγκεκριµένες τιµές των συντελεστών συσχέτισης. Έτσι, διερευνήθηκαν πεδία τιµών του n ck που οδηγούν στην µέγιστη δυνατή σύγκλιση των εξεταζόµενων µεγεθών σε όλους του κόµβους. Τα συµπεράσµατα που προέκυψαν είναι: - Όσον αφορά στις κατακόρυφες µετακινήσεις, το προσοµοίωµα των τριών παραµέτρων επιτυγχάνει πολύ καλή προσέγγιση των αποτελεσµάτων αναφοράς, αν για τον συντελεστή συσχέτισης ληφθεί η τιµή 9 για τα «µαλακά» εδάφη και 10 για τα «σκληρά». Οι τιµές αυτές δεν διαφέρουν ουσιαστικά από τις τιµές που προέκυψαν από την µελέτη δοκών υπό απλές φορτιστικές καταστάσεις (υπενθυµίζεται ότι οι αντίστοιχες τιµές είναι 7 και 8). Από τα υπόλοιπα προσοµοιώµατα, που υστερούν σαφώς του προσοµοιώµατος των τριών παραµέτρων, τις πιο ικανοποιητικές τιµές τις δίδει το προσοµοίωµα του Vlasov, ενώ υστερούν σηµαντικά τα προσοµοιώµατα του Winkler και του Pasternak. Εποµένως και στην παρούσα περίπτωση επιβεβαιώνεται η παρατήρηση της σηµαντικής συνεισφοράς της θεώρησης της επιρροής του εδάφους εκατέρωθεν των δοκών στην βέλτιστη απόδοση των κατακορύφων µετακινήσεων. Επίσης, επιβεβαιώνεται και η περαιτέρω βελτίωση των αποτελεσµάτων, την οποία επιφέρει η θεώρηση των επιπλέον τοπικών παραµορφώσεων ακριβώς κάτω από την φορτιζόµενη περιοχή, που µόνον το προσοµοίωµα των τριών παραµέτρων µπορεί να λάβει υπόψη. - Όσον αφορά στα εντατικά µεγέθη (καµπτικές ροπές, και τέµνουσες δυνάµεις) που εξετάστηκαν, µετά από µια συστηµατική διερεύνηση των συντελεστών συσχέτισης προέκυψε το συµπέρασµα ότι χρησιµοποιώντας τιµές από τα παρακάτω πεδία:
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Συµπεράσµατα 439 n ck =140 145 για τα «µαλακά» εδάφη Ε1 και Ε3 και n ck =155 160 για τα «σκληρά» εδάφη Ε4 και Ε5 επιτυγχάνεται η µέγιστη δυνατή σύγκλιση του προσοµοιώµατος των τριών παραµέτρων τόσο για τις καµπτικές ροπές όσο και για τις τέµνουσες. Βεβαίως, υπάρχει η δυνατότητα ακόµα µεγαλύτερων συγκλίσεων, ωστόσο για την επίτευξη τους θα πρέπει να γίνει χρήση διαφορετικών κατά περίπτωση τιµών για τους συντελεστές συσχέτισης. Μια τέτοια διερεύνηση δεν θεωρείται δόκιµη, καθώς στόχος της παρούσας διατριβής είναι η πρόταση συγκεκριµένων τιµών ή έστω περιορισµένων πεδίων τιµών συντελεστών συσχέτισης που οδηγούν σε κατά µέσον όρο βέλτιστα αποτελέσµατα. Όσον αφορά στα υπόλοιπα προσοµοιώµατα, αυτά οδηγούν στο σύνολο τους σε υπερβολικά µεγάλες αποκλίσεις, τόσο για τις καµπτικές ροπές όσο και για τις τέµνουσες. Έτσι, δεν κρίνεται σκόπιµο να γίνει περαιτέρω ιεράρχησή τους µε βάση το επίπεδο της απόδοσης τους. o Επίπεδα πλαίσια Με την τρίτη οµάδα παραδειγµάτων η οποία περιλαµβάνει παραδείγµατα που αφορούν στην επίλυση επιπέδων πλαισίων, επιχειρείται η συγκριτική αξιολόγηση των εδαφικών προσοµοιωµάτων υπό πιο πολύπλοκες, αλλά ταυτόχρονα και πιο ρεαλιστικές συνθήκες. Έτσι, το πρώτο παράδειγµα της οµάδας αφορά στην επίλυση ενός µονώροφου πλαισίου µε κατακόρυφη συµµετρική φόρτιση, ενώ το δεύτερο στην επίλυση ενός τριώροφου πλαισίου µε κατακόρυφη και οριζόντια φόρτιση. Επιπλέον, µε τα παραδείγµατα αυτά τεκµηριώνεται και η επιτυχής εφαρµογή του προτεινόµενου γενικευµένου στοιχείου. Μονώροφο πλαίσιο µε κατακόρυφη συµµετρική φόρτιση Στα πλαίσια του παραδείγµατος αυτού ελέγχθηκαν οι κατακόρυφες µετακινήσεις των υποστυλωµάτων του πλαισίου και η γωνία στροφής του άκρου της δοκού θεµελίωσης όσον αφορά στα µεγέθη µετακίνησης, καθώς επίσης και οι καµπτικές ροπές και οι τέµνουσες δυνάµεις των στύλων και της δοκού θεµελίωσης όσον αφορά τα µεγέθη έντασης. Εξετάστηκαν τα προσοµοιώµατα των Kerr, Vlasov, Pasternak και Winkler. Από την συγκριτική αξιολόγηση των προσοµοιωµάτων αυτών προέκυψαν τα παρακάτω συµπεράσµατα: - Όσον αφορά στις συγκρίσεις των µεγεθών µετακίνησης προέκυψε το συµπέρασµα ότι η χρήση της τιµής n ck =24 προσδίδει στο προσοµοίωµα τριών παραµέτρων την δυνατότητα υπολογισµού των µεγεθών µετακίνησης που ελέγχθηκαν, µε αποκλίσεις οι οποίες δεν υπερβαίνουν σε καµία από τις εξεταζόµενες περιπτώσεις (κατηγορίας εδάφους, και βάθους του ελαστικού υποβάθρου) το 16%. Με τη χρήση της τιµής αυτής το προσοµοίωµα των τριών παραµέτρων καθίσταται αποδοτικότερο όλων όσων προσοµοιωµάτων εξετάστηκαν. Από αυτά, το προσοµοίωµα του Vlasov αποδίδει τις αµέσως καλύτερες τιµές για τις κατακόρυφες µετακινήσεις, για τις οποίες τα προσοµοιώµατα του Pasternak και του Winkler υστερούν σηµαντικά. Αντίθετα, το προσοµοίωµα του Vlasov υστερεί όλων των υπολοίπων όσον αφορά την προσέγγιση της στροφής στο άκρο της δοκού θεµελίωσης, για την οποία εµφανίζεται ιδιαίτερα αποδοτικό το προσοµοίωµα του Pasternak. Τα παραπάνω συµπεράσµατα ισχύουν ποιοτικά ανεξαρτήτως κατηγορίας εδάφους και βάθους του ελαστικού υποβάθρου.
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Συµπεράσµατα 440 - Όσον αφορά στα µεγέθη έντασης που εξετάστηκαν, παρουσιάστηκε µια διαφοροποίηση στα αποτελέσµατα που εξάγονται από την εφαρµογή του προσοµοιώµατος των τριών παραµέτρων. Η διαφοροποίηση αυτή σχετίζεται µε την κατηγορία του εδάφους θεµελίωσης. Έτσι, για την περίπτωση της µελέτης εδάφους θεµελίωσης που συνίσταται από στρώµα αργίλου («µαλακό» έδαφος) αποδείχθηκε ότι λαµβάνοντας τιµές για τον συντελεστή συσχέτισης από το διάστηµα 24 30 επιτυγχάνεται η βέλτιστη απόδοση του εν λόγω προσοµοιώµατος, η οποία µάλιστα είναι σαφώς καλύτερη των αποδόσεων των υπολοίπων προσοµοιωµάτων. Αντίθετα, στην περίπτωση που το έδαφος θεµελίωσης συνίσταται από στρώµα πυκνής άµµου («σκληρό» έδαφος) οι τιµές του συντελεστή συσχέτισης από το διάστηµα 20 26 προσδίδουν µεν στο προσοµοίωµα των τριών παραµέτρων την βέλτιστη απόδοση, ωστόσο το επίπεδο της απόδοσης αυτής δεν είναι ικανό να το καταστήσει αποδοτικότερο όλων των υπολοίπων που εξετάστηκαν. Έτσι, στην περίπτωση που το ελαστικό υπόβαθρο έχει µεγάλο βάθος, εµφανίζεται ισοδύναµο µε το προσοµοίωµα του Pasternak, ενώ στην περίπτωση που το υπόβαθρο έχει µικρό βάθος ισοδύναµο µε το προσοµοίωµα του Vlasov. Εξαίρεση αποτελούν οι περιπτώσεις υποβάθρου µέσου βάθους (30 45 µέτρων) όπου αποδεικνύεται αποδοτικότερο όλων. Κλείνοντας θα πρέπει να γίνει αναφορά και στις επιδόσεις των υπολοίπων προσοµοιωµάτων κατά εξεταζόµενη περίπτωση. Έτσι, όταν το έδαφος θεµελίωσης συνίσταται από στρώµα αργίλου, το προσοµοίωµα του Pasternak αποδίδει σαφώς καλύτερα αποτελέσµατα από τα προσοµοιώµατα των Vlasov και Winkler, ανεξαρτήτως του βάθους του ελαστικού υποβάθρου. Το προσοµοίωµα του Vlasov υπερέχει του προσοµοιώµατος του Winkler στην περίπτωση µεγάλου βάθους υποβάθρου, ενώ τα δυο αυτά προσοµοιώµατα εµφανίζονται ισοδύναµα στην περίπτωση µέσου και µικρού βάθους. Στην περίπτωση που το έδαφος θεµελίωσης συνίσταται από στρώµα πυκνής άµµου, το προσοµοίωµα του Pasternak εµφανίζεται εφάµιλλο του προσοµοιώµατος των τριών παραµέτρων στην περίπτωση που το ελαστικό υπόβαθρο έχει µεγάλο βάθος, ενώ υστερεί ελαφρά στην περίπτωση υποβάθρου µέσου βάθους. Στις περιπτώσεις αυτές τα προσοµοιώµατα των Vlasov και Winkler αποδίδουν τα λιγότερο αποδεκτά αποτελέσµατα. Αντίθετα, στην περίπτωση που το ελαστικό υπόβαθρο έχει µικρό βάθος το προσοµοίωµα του Vlasov εµφανίζεται εφάµιλλο του προσοµοιώµατος των τριών παραµέτρων, ενώ έπονται σε αποδοτικότητα τα προσοµοιώµατα των Pasternak και Winkler. Τριώροφο πλαίσιο µε κατακόρυφη και οριζόντια φόρτιση Πρόκειται για το πιο σύνθετο και παράλληλα ρεαλιστικό παράδειγµα απ όσα επιλύθηκαν, καθώς αναφέρεται σε πολυώροφο πλαίσιο, το οποίο υπόκειται όχι µόνον σε κατακόρυφη αλλά και σε οριζόντια φόρτιση. Στα πλαίσια του παραδείγµατος αυτού διερευνήθηκε, πέραν των όσων διερευνήθηκαν στις προηγούµενες περιπτώσεις, και η πιθανή επιρροή που έχει η επιλογή του χρησιµοποιούµενου εδαφικού προσοµοιώµατος στα µεγέθη έντασης που αναπτύσσονται σε περιοχές του φορέα που βρίσκονται τοπολογικά µακριά από την περιοχή της θεµελίωσης. Επιπλέον, κρίθηκε σκόπιµη και µια επιπλέον διερεύνηση της συσχέτισης των εξαγοµένων αποτελεσµάτων από την τιµή του συντελεστή σχετικής
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Συµπεράσµατα 441 δυσκαµψίας εδάφους / δοκού θεµελίωσης (συντελεστής λ), όπως έγινε και στο παράδειγµα της δοκού πεπερασµένου µήκους υπό µοναχική κατακόρυφη φόρτιση. Για τον λόγο αυτό επιλύθηκαν τρεις διαφορετικές εκδοχές του συγκεκριµένου τριώροφου πλαισίου, οι οποίες διαφέρουν µεταξύ τους στο µήκος του ανοίγµατος των οριζοντίων δοµικών τους στοιχείων. Επίσης, εξετάστηκαν τρεις διαφορετικές κατηγορίες εδαφών (δυο «µαλακά» και ένα «σκληρό»), και τρία διαφορετικά βάθη ελαστικού υποβάθρου. Έτσι καλύφθηκε ένα εύρος τιµών του συντελεστή λ που ορίζεται από τις τιµές 0.35 έως 2.02. Από το σύνολο των επιλύσεων προέκυψαν τα παρακάτω συµπεράσµατα: - Όσον αφορά στα µεγέθη µετακίνησης που εξετάστηκαν, προέκυψε το συµπέρασµα ότι εάν δοθούν στον συντελεστή συσχέτισης τιµές από τα διαστήµατα 15 20 για την περίπτωση των αργιλικών «µαλακών» εδαφών και 20 25 για την περίπτωση «σκληρών» εδαφών, τότε οι αποκλίσεις των µεγεθών µετακίνησης από τις αντίστοιχες τιµές αναφοράς δεν υπερβαίνουν κατά κανόνα το 20 25%. Εξαίρεση αποτελούν οι αποκλίσεις των στροφικών µεγεθών µετακίνησης που εξετάστηκαν, τα οποία σε µεµονωµένες περιπτώσεις ξεπερνούν τις οριακές τιµές απόκλισης 20 25%. Τα συµπεράσµατα αυτά αποδείχθηκε ότι παραµένουν αναλλοίωτα και για τις τρεις εκδοχές του πλαισίου που αναλύθηκαν, µε µοναδική εξαίρεση την περίπτωση της επίλυσης του πλαισίου Π1 (Σχήµα 5.63α, σελίδα 347) όταν θεωρηθεί πως εδράζεται επί στρώµατος πυκνής άµµου µικρού βάθους (Περίπτωση Ε4/H S =20m). Εποµένως, µπορεί να ειπωθεί συµπερασµατικά ότι τα παραπάνω ισχύουν ανεξαρτήτως τιµής του συντελεστή λ. Για τις τιµές των συντελεστών συσχέτισης που παρουσιάστηκαν παραπάνω, το προσοµοίωµα των τριών παραµέτρων υπερτερεί σαφώς των υπολοίπων προσοµοιωµάτων, για τα οποία προέκυψαν σε γενικές γραµµές τα παρακάτω συµπεράσµατα: Το προσοµοίωµα του Vlasov εξακολουθεί να αποδίδει καλύτερα τις κατακόρυφες µετακινήσεις και στις επιλύσεις των τριώροφων πλαισίων. Το συµπέρασµα αυτό έρχεται σε συµφωνία µε αντίστοιχα συµπεράσµατα που προέκυψαν απ όλα τα προηγούµενα παραδείγµατα. Αντίθετα, υστερεί του προσοµοιώµατος του Pasternak στην προσέγγιση των στροφικών µεγεθών µετακίνησης, ενώ παρουσιάζει και µια µικρή µείωση της αποδοτικότητας του όσον αφορά την προσέγγιση της οριζόντιας µετακίνησης στην κορυφή του πλαισίου. Το προσοµοίωµα του Pasternak, όπως τονίστηκε και προηγουµένως, αποδίδει πολύ ικανοποιητικά τα στροφικά µεγέθη µετακίνησης, και µάλιστα η ακρίβειά του είναι εφάµιλλη ή ακόµα και ελαφρά καλύτερη από την αντίστοιχη ακρίβεια του προσοµοιώµατος των τριών παραµέτρων, κυρίως στις περιπτώσεις ελαστικού υποβάθρου µικρού βάθους. Αντίθετα αποτυγχάνει στην προσέγγιση των κατακορύφων µετακινήσεων, ενώ αποδίδει τιµές ανάλογες ή ελαφρά καλύτερες από το προσοµοίωµα του Vlasov, όσον αφορά στην οριζόντια µετακίνηση της κορυφής του πλαισίου. Τέλος, το προσοµοίωµα του Winkler, αν εξαιρεθούν ορισµένες ελάχιστες περιπτώσεις, δίδει τα χειρότερα αποτελέσµατα απ όλα τα προσοµοιώµατα που εξετάστηκαν. - Όσον αφορά στα εξεταζόµενα µεγέθη έντασης στην περιοχή της θεµελίωσης του πλαισίου, αποδείχθηκε ότι οι βέλτιστοι συντελεστές συσχέτισης µπορούν να οµαδοποιηθούν µε βάση το βάθος
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Συµπεράσµατα 442 του ελαστικού υποβάθρου, εάν εξαιρεθεί η περίπτωση της επίλυσης του πλαισίου Π3 (Σχήµα 5.63γ, σελίδα 347), το οποίο, αξίζει να σηµειωθεί, εισάγει τιµές του συντελεστή λ µεγαλύτερες από τις τιµές των υπολοίπων δυο πλαισίων και ταυτόχρονα µεγαλύτερες της µονάδας. Από την διερεύνηση που πραγµατοποιήθηκε µε στόχο την εξεύρεση ενός «νόµου µεταβολής» των βέλτιστων συντελεστών συσχέτισης, αποδείχθηκε ότι υπάρχει δυνατότητα συσχέτισης τους µε τους συντελεστές σχετικής δυσκαµψίας εδάφους / δοκού λ. Οι σχέσεις συσχέτισης που προέκυψαν εξαρτώνται από το βάθος του ελαστικού υποβάθρου, είναι εκθετικού τύπου, και όπως αποδείχθηκε από τον σχετικό έλεγχο που πραγµατοποιήθηκε προσεγγίζουν πολύ ικανοποιητικά τις τιµές των βέλτιστων συντελεστών συσχέτισης που προσδιορίστηκαν στα πλαίσια του παρόντος παραδείγµατος. Από την εφαρµογή των συγκεκριµένων σχέσεων προκύπτουν συντελεστές συσχέτισης που προσδίδουν στο προσοµοίωµα των τριών παραµέτρων την δυνατότητα υπολογισµού τιµών για τα µεγέθη έντασης στην περιοχή θεµελίωσης του πλαισίου, που δεν αποκλίνουν περισσότερο 20% - 25% από τις τιµές αναφοράς. Εξαίρεση στο συµπέρασµα αυτό αποτελεί η υπολογιζόµενη, µέσω των συγκεκριµένων συντελεστών συσχέτισης, τιµή για την καµπτική ροπή στο άκρο της δοκού θεµελίωσης, οι αποκλίσεις της οποίας ξεπερνούν σε ορισµένες περιπτώσεις κατά πολύ το 20% - 25% από τις τιµές αναφοράς. Ωστόσο, στην πλειοψηφία των περιπτώσεων που εξετάστηκαν το προσοµοίωµα των τριών παραµέτρων υπερέχει και για το εν λόγω µέγεθος έντασης όλων των υπολοίπων προσοµοιωµάτων. Σχετικά µε την αποτελεσµατικότητα των υπολοίπων προσοµοιωµάτων, όσον αφορά στην προσέγγιση των µεγεθών έντασης στην περιοχή της θεµελίωσης, µπορούν να καταγραφούν τα εξής: α. Το προσοµοίωµα του Pasternak, παρά τις µεγάλες του αποκλίσεις σε πολλές από τις περιπτώσεις που εξετάστηκαν, εµφανίζεται ακριβέστερο των προσοµοιωµάτων των Vlasov και Winkler. Σε µεµονωµένες µάλιστα περιπτώσεις εµφανίζεται ισοδύναµο και του προσοµοιώµατος των τριών παραµέτρων. β. Τα προσοµοιώµατα των Vlasov και Winkler εµφανίζονται υποδεέστερα του προσοµοιώµατος του Pasternak. Η µεταξύ τους όµως ταξινόµηση µε βάση την προσέγγιση των τιµών αναφοράς, αποδείχθηκε πως εξαρτάται τόσο από τον συντελεστή λ, όσο και από το βάθος H S του ελαστικού υποβάθρου. Πιο συγκεκριµένα: Όταν λ<0.5, το προσοµοίωµα του Winkler υπερέχει του προσοµοιώµατος του Vlasov για κάθε βάθος του ελαστικού υποβάθρου. Όταν 0.5<λ<0.9, η ταξινόµηση των δυο προσοµοιωµάτων εξαρτάται από πάχος του ελαστικού υποβάθρου. Έτσι, για µεγάλα και µεσαία πάχη ελαστικού υποβάθρου υπερέχει το προσοµοίωµα του Winkler για τιµές του λ κοντά στο κάτω όριο τιµών του παρόντος διαστήµατος, ενώ για τιµές του λ κοντά στο άνω όριο υπερέχει το προσοµοίωµα του Vlasov. Για µικρά πάχη υποβάθρου υπερέχει το προσοµοίωµα του Vlasov ανεξαρτήτως τιµής του λ εντός του συγκεκριµένου διαστήµατος. Όταν λ>0.9, το προσοµοίωµα του Vlasov υπερέχει γενικά του προσοµοιώµατος του Winkler για µικρά και µεσαία πάχη του ελαστικού υποβάθρου. Για µεγάλα πάχη, οι µεταξύ των δυο προσοµοιωµάτων διαφορές αµβλύνονται για τιµές του λ κοντά στο όριο λ=0.9, ενώ όσο αυξάνεται η τιµή του
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Συµπεράσµατα 443 συγκεκριµένου συντελεστή, καθίσταται όλο και περισσότερο σαφής η υπεροχή του προσοµοιώµατος του Vlasov. Κλείνοντας, θα πρέπει να γίνει και µια αναφορά στην αποτελεσµατικότητα όλων των προσοµοιωµάτων αναφορικά µε την σύγκλιση που επιτυγχάνουν για τις τιµές των µεγεθών έντασης σε περιοχές του πλαισίου που βρίσκονται τοπολογικώς µακριά από την περιοχή της θεµελίωσης. Όπως αποδείχθηκε, όλα τα προσοµοιώµατα δίδουν πολύ ικανοποιητικές τιµές για τα συγκεκριµένα µεγέθη καθώς δεν αποκλίνουν περισσότερο από 2% - 3% από τις τιµές αναφοράς κατά την επίλυση των πλαισίων Π1 και Π2. Κατά την επίλυση του πλαισίου Π3, το οποίο έχει ιδιαίτερα µεγάλο άνοιγµα δοκών, οι αποκλίσεις αυξάνονται ελαφρά αλλά δεν ξεπερνούν κατά κανόνα το 5%. Έτσι, µπορεί να διατυπωθεί το συµπέρασµα ότι ο τύπος του εδαφικού προσοµοιώµατος δεν επηρεάζει σχεδόν καθόλου τις αποκλίσεις των τιµών των µεγεθών έντασης στην κορυφή του πλαισίου. Βέβαια, και το παραπάνω συµπέρασµα θα πρέπει να αξιολογηθεί όχι µόνον µε βάση τις παραδοχές επί των οποίων στηρίζονται τα προσοµοιώµατα που συγκρίθηκαν, αλλά και µε βάση την µεθοδολογία που χρησιµοποιήθηκε στα πλαίσια της παρούσας διατριβής για τον προσδιορισµό των παραµέτρων τους.