ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Σκοποί ενότητας Εισαγωγή στην Δειγματοληπτική Θεωρία και ορισμός των Εκτιμητών. Γίνεται ανάλυση των ιδιοτήτων μικρών και μεγάλων δειγμάτων καθώς ορίζονται οι όροι της αποτελεσματικότητας αλλά και της επάρκειας. 4
Περιεχόμενα ενότητας Δειγματοληπτική Θεωρία. Εκτιμητές. Ιδιότητες Μικρών και Μεγάλων Δειγμάτων. Αποτελεσματικότητα. Επάρκεια. 5
Δειγματοληπτική Θεωρία Με τον όρο δείγμα εννοούμε ένα σύνολο μετρήσεων ή τιμών (χ 1, χ 2,,χ n ) που έχει ληφθεί από ένα πληθυσμό. Έστω ότι παίρνουμε δείγματα μεγέθους n και ας παραστήσουμε τις αντίστοιχες τιμές με (χ 1, χ 2,,χ n ) για το πρώτο δείγμα, με (χ 1, χ 2,,χ n ) για το δεύτερο δείγμα κ.ο.κ. για τις μεταβλητές (Χ 1, Χ 2,,Χ n ). (χ 1, χ 2,,χ n ) είναι ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους n αν χ 1, χ 2,,χ n είναι τιμές που παίρνουν οι αντίστοιχες τυχαίες μεταβλητές Χ 1, Χ 2,,Χ n οι οποίες είναι ανεξάρτητες και έχουν την ίδια κατανομή, ώστε f(χ 1, χ 2,,χ n )= f(χ 1 ) f(χ 1 ) f(χ n ). 6
Εκτιμητές (1 από 5) Έστω ότι θέλουμε να εκτιμήσουμε μια παράμετρο θ (μέσος, διακύμανση) μιας τυχαία μεταβλητή Χ. Μια συνάρτηση των παρατηρήσεων του δείγματος που δίνει εκτιμήσεις της παραμέτρου θ του πληθυσμού, ονομάζεται εκτιμητής. Οι τιμές που παίρνει ένας εκτιμητής είναι τιμές στατιστικών δείγματος και θα διαφέρουν από δείγμα σε δείγμα. Επομένως ένας εκτιμητής δεν μπορεί να δίνει πάντοτε την αληθινή τιμή της παραμέτρου του πληθυσμού. 7
Εκτιμητές (2 από 5) Η διαφορά μεταξύ της τιμής του εκτιμητή για ένα δεδομένο δείγμα και της αληθινής τιμής της παραμέτρου στον πληθυσμό ονομάζεται σφάλμα δειγματοληψίας. H διαφορά της προσδοκώμενης τιμής και της αληθινής τιμής της παραμέτρου θ ονομάζεται σφάλμα μεροληψίας. Ο μέσος του τετραγώνου του σφάλματος ενός εκτιμητή είναι μέτρο της διασποράς των τιμών του γύρω από την αληθινή τιμή της παραμέτρου θ (MSE). 8
Εκτιμητές (3 από 5) H διακύμανση είναι μέτρο της διασποράς των τιμών του εκτιμητή γύρω από την προσδοκώμενη τιμή του. Τα βασικά χαρακτηριστικά ενός εκτιμητή είναι: 9
Εκτιμητές (4 από 5) Ο αριθμός των εκτιμητών για μια άγνωστη παράμετρο του πληθυσμού μπορεί να είναι άπειρος. Ο αριθμός των συναρτήσεων των παρατηρήσεων. Με ποια κριτήρια θα επιλέξουμε τον εκτιμητή; Τα κριτήρια βασίζονται σε ορισμένες ιδιότητες των εκτιμητών: Ιδιότητες μικρών δειγμάτων. Ιδιότητες μεγάλων δειγμάτων ή ασυμπτωτικές ιδιότητες. 10
Εκτιμητές (5 από 5) Ιδιότητες μικρών δειγμάτων: αναφέρονται στις ιδιότητες της κατανομής του εκτιμητή για δείγματα σταθερού μεγέθους. Οι ιδιότητες ισχύουν και στα μεγάλα δείγματα. Ιδιότητες μεγάλων δειγμάτων ή ασυμπτωτικές ιδιότητες αναφέρονται στις ιδιότητες της κατανομής του εκτιμητή για δείγματα που το μέγεθός τους τείνει στο άπειρο. Υποτίθεται ότι ισχύουν και για μεγάλα σχετικά δείγματα. 11
Ιδιότητες Μικρών Δειγμάτων Αμεροληψία (unbiasedness). Ένας εκτιμητής μιας παραμέτρου του πληθυσμού είναι αμερόληπτος αν η αναμενόμενη τιμή του είναι ίση με την παράμετρο: Όμως ένας αμερόληπτος εκτιμητής με μεγάλη διακύμανση μπορεί να δίνει εκτιμήσεις που να απέχουν πολύ από την αληθινή τιμή της παραμέτρου. Συνεπώς, δεν είναι αρκετή η ιδιότητα της αμεροληψίας. Η δεύτερη επιθυμητή ιδιότητα ενός εκτιμητή είναι η μικρή διακύμανση ή οποία οδηγεί στην ιδιότητα της αποτελεσματικότητας. 12
Αποτελεσματικότητα Ένας εκτιμητής μιας παραμέτρου του πληθυσμού είναι αποτελεσματικός εάν: Πρόβλημα: Οι εκτιμητές που είναι αμερόληπτοι μπορεί να είναι πάρα πολύ και επομένως η σύγκριση των διακυμάνσεων να αποτελεί ανέφικτο έργο. Λύση: Να περιοριστούμε στους γραμμικούς εκτιμητές Οδηγούμαστε στον Άριστο Γραμμικό Αμερόληπτο Εκτιμητή. 13
Επάρκεια Ένας εκτιμητής είναι επαρκής ή ικανός αν χρησιμοποιεί όλες τις διαθέσιμες πληροφορίες του δείγματος. Π.χ. ο μέσος του δείγματος χρησιμοποιεί όλες τις τιμές του δείγματος. Η επάρκεια αποτελεί αναγκαία συνθήκη για την ιδιότητα της αποτελεσματικότητας. 14
Ιδιότητες Μεγάλων Δειγμάτων Ασυμπτωτική Αμεροληψία Αν ο εκτιμητής είναι αμερόληπτος, τότε είναι και ασυμπτωτικά αμερόληπτος. Το αντίστροφο δεν ισχύει. 15
Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, Νικόλαος Σαριαννίδης. «ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη 2015. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: URL. 16
Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 17
Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς. το Σημείωμα Αδειοδότησης. τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων. το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει). μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 18