ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ηµιτονοειδές Ρεύµα και Τάση Τριφασικά Εναλλασσόµενα ρεύµατα Ισχύς και Ενέργεια Ενεργός τιµή περιοδικών µη ηµιτονικών κυµατοµορφών 1. Ηµιτονοειδές Ρεύµα και Τάση Οταν οι νόµοι του Kirchoff εφαρµόζονται σε ένα κύκλωµα, το αποτέλεσµα συνήθως είναι µια ολοκληρo-διαφορική εξίσωση. Οι µέθοδοι των κλασσικών διαφορικών εξισώσεων θα δώσουν και τις απαραίτητες λύσεις. Οταν αυτές οι µέθοδοι χρησιµοποιούνται για τον προσδιορισµό του ρεύµατος κατά την εφαρµογή µιάς τάσης, το ρεύµα θα αποτελείται από δύο τµήµατα. Το ένα µέρος αυτού του ρεύµατος είναι το µεταβατικό, που συχνά διαρκεί µόνο για ένα κλάσµα του sec και το άλλο µέρος είναι το τµήµα µόνιµης κατάστασης που εξακολουθεί να υπάρχει µέχρι να εισαχθεί µια νέα διαταραχή. Στη συνέχεια θα αγνοηθεί το µεταβατικό τµήµα του ρεύµατος και θα επιχειρηθεί να υπολογισθεί το τµήµα µόνιµης κατάστασης. Στους Πίνακες που ακολουθούν δίνονται οι τάσεις ή τα ρεύµατα στα καθαρά στοιχεία R, L και C όταν το ρεύµα ή η τάση τους ηµιτονοειδείς. Πίνακας Π1.1 : Τάσεις συναρτήσει του ρεύµατος Πίνακας Π1. : Ρεύµατα συναρτήσει της τάσης Π.1
Η εµπέδηση ή σύνθετη αντίσταση ή αντίδραση ενός στοιχείου, κλάδου ή ολόκληρου κυκλώµατος είναι ο λόγος της τάσης στα άκρα του στοιχείου προς το ρεύµα που το διαρρέει Με ηµιτονοειδή ρεύµατα και τάσεις αυτός ο λόγος θα έχει ένα µέτρο και µια γωνία. Η γωνία µεταξύ τάσης και ρεύµατος ορίζεται σαν φασική γωνία ή γωνία φάσης. Αν η τάση και το ρεύµα είναι ηµιτονοειδείς συναρτήσεις του χρόνου, µια σχεδίασή τους στην ίδια κλίµακα θα δείξει µια µετατόπιση µεταξύ τους εκτός από την περίπτωση της καθαρής αντίστασης. Αυτή η µετατόπιση ποτέ δεν ξεπερνά τις 90 ή τα π/ ακτίνια. Μετά από συµφωνία αυτή η φασική γωνία πάντα περιγράφεται σαν το τί κάνει το ρεύµα I ως προς την τάση u πχ. το ρεύµα προηγείται της τάσης κατά 90 σε έναν καθαρό πυκνωτή ή το ρεύµα ακολουθεί την τάση κατά 45 σε ένα κύκλωµα RL σε σειρά όπου τα R και ωl είναι ίσα ή το ρεύµα είναι σε φάση µε την τάση σε µια ωµική αντίσταση. Τα Σχήµατα που ακολουθούν δείχνουν τις περιπτώσεις των κυµατοµορφών σε καθαρή αντίσταση, καθαρό πηνίο, καθαρό πυκνωτή και κυκλώµατα RL και RC αντίστοιχα Καθαρή Αντίσταση R : o ρεύµα και η τάση είναι σε φάση. Η σύνθετη αντίσταση έχει µέτρο R Σχήµα Π1.1: Ρεύµα και τάση σε καθαρά ωµική αντίσταση Καθαρό πηνίο L : o ρεύµα ακολουθεί την τάση κατά 90 και το µέτρο της σύνθετης αντίστασης είναι ωl. Σχήµα Π1.: Ρεύµα και τάση σε καθαρό πηνίο Καθαρός πυκνωτής C : Το ρεύµα προηγείται της τάσης κατά 90 και η σύνθετη αντίσταση είναι 1/ωC. Π.
Σχήµα Π1.3: Ρεύµα και τάση σε καθαρό πυκνωτή Κύκλωµα RL σε σειρά : Το ρεύµα ακολουθεί την τάση κατά γωνία tan 1 ( ωl / R) η σύνθετη αντίσταση έχει µέτρο R + ( ωl) και Σχήµα Π1.4: Ρεύµα και τάση σε κύκλωµα RL σε σειρά Κύκλωµα RC σε σειρά : Το ρεύµα προηγείται της τάσης κατά γωνία tan 1 (1/ ωrc) και η σύνθετη αντίσταση έχει µέτρο R + ( 1/ ωc). Σχήµα Π1.5: Ρεύµα και τάση σε κύκλωµα RC σε σειρά Συντελεστής Ισχύος Το συνηµίτονο της φασικής γωνίας µεταξύ ρεύµατος και τάσης λέγεται συντελεστής ισχύος και µπορεί να παίρνει τιµές από 0 ως 1. Τιµές κοντά στο µηδέν σηµαίνουν ότι το φορτίο περιέχει µικρή τιµή ωµικής αντίστασης και µεγάλη τιµή µη ωµικής αντίστασης (επαγωγικής ωl ή χωρητικής 1/ωC) ενώ τιµές κοντά την µονάδα σηµαίνουν ότι το φορτίο είναι κυρίως ή συµπεριφέρεται σαν ωµική αντίσταση. Οταν το ρεύµα ακολουθεί την τάση και το φορτίο συµπεριφέρεται σαν πηνίο ο συντελεστής ισχύος χαρακτηρίζεται σαν επαγωγικός, ενώ όταν το ρεύµα προηγείται Π.3
της τάσης και το φορτίο συµπεριφέρεται σαν πυκνωτής ο συντελεστής ισχύος χαρακτηρίζεται σαν χωρητικός.. Τριφασικά Εναλλασσόµενα ρεύµατα Ορισµός Ενα σύνολο τριών ηµιτονοειδών τάσεων µε την ίδια συχνότητα και το ίδιο πλάτος, φασικά µετατοπισµένων στον χρόνο κατά 10 µεταξύ τους δηµιουργούν το αποκαλούµενο τριφασικό σύστηµα τάσεων. Οι στιγµιαίες τιµές τέτοιων τάσεων φαίνονται στο Σχήµα Π.1. Σχήµα Π.1 Το τριφασικό σύστηµα τάσεων. Ακολουθίες τάσεων Οι τάσεις ενός τριφασικού συτήµατος τάσεων παράγονται από µιά τριφασική γεννήτρια (εναλλακτήρας). Οποιαδήποτε από τις τρείς τάσεις µπορεί να συµβολισθεί µε το γράµµα Α. Αυτή που την ακολουθεί κατά 10 θα συµβολισθεί µε το γράµµα Β και αυτή που προηγείται κατά 10 θα συµβολισθεί µε το γράµµα C. Ετσι προκύπτει το τριφασικό σύστηµα µε σειρά ΑΒC που λέγεται θετική ακολουθία σε αντιπαράθεση µε την σειρά ACB που λέγεται αρνητική ακολουθία. Αν οι τρείς τάσεις συµπίπτουν και δεν εµφανίζουν διαφορά φάσης µεταξύ τους τότε έχουµε σύστηµα µηδενικής ακολουθίας. Τριφασικό κύκλωµα Ενα τριφασικό κύκλωµα είναι συνδυασµός µιάς τριφασικής τροφοδοσίας, ενός τριφασικού φορτίου (ή φορτίων) και συνδετικών αγωγών. Ο όρος φάση µπορεί να εφαρµοσθεί στην σχετική (χρονική) µετατόπιση µεταξύ των τάσεων ή ρευµάτων σε ένα τριφασικό σύστηµα. Ο όρος φάση µπορεί ακόµα να αναφέρεται σε εκείνο το τµήµα ενός τριφασικού κυκλώµατος που φέρει οποιαδήποτε από τις παραπάνω ποσότητες (ρεύµατα ή τάσεις). Βασικές µορφές τριφασικών συστηµάτων Μιά γεννήτρια εναλλασσόµενης τάσης µπορεί να συνδεθεί στο σχετικό φορτίο µε µιά ποικιλία τρόπων. Ετσι κάθε τύλιγµα της γεννήτριας µπορεί στο φορτίο µε δύο αγωγούς. Τότε θα µπορούσαν να υπάρχουν συνολικά έξι αγωγοί στο σύστηµα. Για λόγους οικονοµίας στην µεταφορά και διανοµή της ενέργειας γίνεται διασύνδεση των φασικών τυλιγµάτων. Οι πιό κοινοί τρόποι διασύνδεσης είναι οι συνδεσµολογίες Π.4
αστέρα και τριγώνου που µπορούν να εφαρµοσθούν τόσο στην τροφοδοσία όσο και στο φορτίο ενός συστήµατος. Σαν αποτέλεσµα, ο αριθµός των αγωγών σε ένα σύστηµα µειώνεται σε τρείς ή τέσσερις. Στα κυκλώµατα η σύµβαση για την παράσταση µιας γεννήτριας είναι µιά διάταξη τριών φασικών τυλιγµάτων, συµµετρικά κατανεµηµένων για να δώσουν µια φασική µετατόπιση 10. Τα τυλίγµατα έχουν αρχές (που σηµειώνονται µε Α, B και C) και τέρµατα. Στην συνδεσµολογία αστέρα τα τέρµατα συνδέονται µαζί για να σχηµατίσουν ένα ουδέτερο σηµείο Ο, αφήνοντας τις αρχές σαν ακροδέκτες του τριφασικού συστήµατος. Στην συνδεσµολογία τριγώνου το τέρµα της πρώτης φάσης της γεννήτριας συνδέεται στην αρχή της δεύτερης φάσης, το τέρµα της οποίας συνδέεται µε την αρχή της τρίτης και το τέρµα της τρίτης µε την αρχή της πρώτης σχηµατίζοντας έτσι συµµετρικές κυκλικές ενώσεις. Οι ενώσεις αποτελούν τα άκρα του τριφασικού συστήµατος τριγώνου. Το διανυσµατικό άθροισµα των ηλεκτρεγερτικών δυνάµεων σε ένα κλειστό τρίγωνο είναι µηδέν. Ετσι, εφόσον δεν υπάρχει φορτίο συνδεδεµένο στους ακροδέκτες Α, Β και C, δεν ρέει ρεύµα στα τυλίγµατα της γεννήτριας. Οι απλούστεροι τρόποι σύνδεσης ενός τριφασικού φορτίου σε µια τριφασική γεννήτρια φαίνονται στα Σχήµατα Π1. ως 4. Σχήµα Π. Τριφασικό κύκλωµα σε συνδεσµολογία αστέρα - αστέρα Σχήµα Π.3 Τριφασικό κύκλωµα σε συνδεσµολογία αστέρα - τριγώνου και τριγώνου - τριγώνου Σχήµα Π.4 Τριφασικό κύκλωµα σε συνδεσµολογία τριγώνου - αστέρα Οπως και στην τριφασική γεννήτρια, τα πέρατα των φάσεων τους φορτίου συνδέονται µαζί σε συνδεσµολογία αστέρα, σχηµατίζοντας ένα σηµείο ουδετέρου Ο. Ο αγωγός Π.5
που συνδέει τα ουδέτερα σηµεία της γεννήτριας και του φορτίου αναφέρεται σαν ουδέτερος αγωγός. Ο ουδέτερος αγωγός φέρει ένα ρεύµα ουδετέρου Ι 0, η θετική φορά του οποίου είναι από το Ο στο Ο. Οι αγωγοί που συνδέουν τους ακροδέκτες Α, Β και C της γεννήτριας και του φορτίου ονοµάζονται αγωγοί γραµµής ή απλώς γραµµές. Το Σχήµα Π.α δείχνει ένα σύστηµα αστέρα αστέρα (αναφερόµενο και σαν τριφασικό σύστηµα τεσσάρων αγωγών. Το Σχήµα Π.β δείχνει ένα σύστηµα αστέρα αστέρα χωρίς ουδέτερο αγωγό. Στο Σχήµα Π.3 φαίνεται ένα σύστηµα αστέρα τριγώνου και ένα άλλο σύστηµα τριγώνου - τριγώνου. Τέλος στο Σχήµα Π.4 φαίνεται ένα σ συτηµα τριγώνου αστέρα. Βασικοί ορισµοί ρευµάτων και τάσεων Τα ρεύµατα στους αγωγούς γραµµής αναφέρονται σαν ρεύµατα γραµµής µε θετική φορά από την τροφοδοσία στο φορτίο. Η τάση µεταξύ των αγωγών γραµµής λέγεται πολική τάση και η τιµή της συµβολίζεται µε τον δείκτη l (line) πχ l. Οταν αναφέρεται σε δυό συγκεκριµένες φάσεις χρησιµοποιείται δείκτης µε δύο γράµµατα που είναι τα αντίστοιχα των φάσεων πχ AB είναι η πολική τάση µεταξύ των φάσεων Α και Β. Τα ρεύµατα φάσεων είτε της τροφοδοσίας ή του φορτίου ονοµάζονται φασικά ρεύµατα µε σύµβολο I p. Η τάση µεταξύ φάσης και ουδετέρου λέγεται φασική τάση και συµβολίζεται µε p. Σχέσεις µεταξύ πολικών και φασικών µεγεθών Σε µια τροφοδοσία συνδεδεµένη σε αστέρα οι πολικές τάσεις είναι φασικές τάσεις. 3 φορές τις l = 3 p Τα ρεύµατα γραµµής σε µια τροφοδοσία αστέρα είναι ίσα µε τα φασικά ρεύµατα. I = I l p Σε µια τροφοδοσία τριγώνου οι πολικές τάσεις είναι ίσες µε τις φασικές τάσεις. l = p Τα ρεύµατα γραµµής όµως σε µια τροφοδοσία τριγώνου είναι ρεύµατα. 3 φορές τα φασικά I = 3I l p Χρονικές συναρτήσεις φασικών και πολικών µεγεθών Οι µαθηµατικές συναρτήσεις των τριών φασικών τάσεων συναρτήσει του χρόνου γράφονται Π.6
A = sin( ω = sin( t 10 ) B ω = sin( t 40 ) C ω όπου το πλάτος της φασικής τάσης ( = ) S η ενεργός τιµή της φασικής τάσης (πχ 0 ), ω η γωνιακή συχνότητα (πf), f η συχνότητα (πχ 50 Hz), t ο χρόνος S Οι µαθηµατικές συναρτήσεις των τριών πολικών τάσεων συναρτήσει του χρόνου γράφονται AB ΒC CA π = 3 sin( ω t + ) 6 π = 3 sin( ωt ) 7π = 3 sin( ωt ) 6 3. Ισχύς και Ενέργεια Στιγµιαία ισχύς Η στιγµιαία ισχύς για αποιαδήποτε συσκευή υπολογίζεται από την τάση στα άκρα της και το ρεύµα µέσω αυτής. p ( = u( i( Η παραπάνω σχέση ισχύει για οποιαδήποτε συσκευή ή κύκλωµα, είναι µια χρονικά µεταβαλλόµενη ποσότητα και µπορεί να παίρνει θετικές τιµές (κατανάλωση ισχύος στην συσκευή) ή αρνητικές τιµές (παραγωγή ισχύος στην συσκευή). Ενέργεια Ενέργεια ή έργο είναι το ολοκλήρωµα της στιγµιαίας ισχύος. Ετσι η ενέργεια που καταναλώνεται σε µια συσκευή σε ορισµένο χρονικό διάστηµα είναι t W = p( dt t1 Π.7
Μέση ισχύς Οι περιοδικές συναρτήσεις τάσης και ρεύµατος παράγουν µια περιοδική συνάρτηση ισχύος. Η µέση ισχύς είναι ο χρονικός µέσος όρος της στιγµιαίας ισχύος σε µιά ή περισσότερες περιόδους. Ετσι η µέση ισχύς P είναι 1 P = t0 + t0 1 p( dt = t0 + t0 u( i( dt όπου Τ είναι η περίοδος της κυµατοµορφής ισχύος. Συνδυάζοντας τις προηγούµενες σχέσεις η ισχύς υπολογίζεται και από την ενέργεια ανά περίοδο ως W P = Η µέση ισχύς µερικές φορές λέγεται και πραγµατική ή ενεργός ισχύς, ιδιαίτερα σε κυκλώµατα εναλλασσοµένου. Ο όρος ισχύς συνήθως σηµαίνει µέση ισχύς. Μια ειδική περίπτωση που συχνά εµφανίζεται στα ηλεκτρονικά ισχύος είναι η ισχύς που απορροφάται ή τροφοδοτείται από µια πηγή συνεχούς. Οι εφαρµογές περιλαµβάνουν κυκλώµατα φορτιστών και µπατταρίες. Σε µια τέτοια περίπτωση η τάση πηγής είναι σταθερή οπότε u( = dc και έτσι ο τύπος της µέσης ισχύος γίνεται t 0 + 1 P dc = dc i t dt = ( ) t0 όπου Ι av είναι η µέση τιµή του στιγµιαίου ρεύµατος. dc I av Φαινοµένη Ισχύς Το γινόµενο της τάσης επί το ρεύµα λέγεται φαινοµένη ισχύς και συµβολίζεται µε το γράµµα S. Oι µονάδες της είναι A ή KA. Αεργος Ισχύς Το γινόµενο της τάσης επί το ρεύµα και επί το ηµίτονο της φασικής γωνίας λέγεται άεργος ισχύς και συµβολίζεται µε το γράµµα Q. Οι µονάδες της είναι τα AR ή ΚAR. Τύποι ισχύων Μέση ή πραγµατική ισχύς Ρ = Ιcosθ Αεργος ισχύς Q = Isinθ Φαινοµένη ισχύς S = I = (P + Q ) 1/ Συντελεστής ισχύος cosφ = P/S Π.8
ιόρθωση συντελεστή ισχύος Στις συνήθεις εφαρµογές, αλλά κυρίως σε µεγάλες βιοµηχανικές εγκαταστάσεις, τα φορτία εµφανίζονται ως επαγωγικά και η µεταφερόµενη µέσω των γραµµών και µετασχηµατιστών ισχύς περιέχει ένα σηµαντικό µέρος άεργης ισχύος που δεν παράγει έργο, δηλαδή δεν µετρείται στους µετρητές αλλά υπερφορτίζει τις γραµµές. Για την αποφυγή της µεταφοράς της άεργης αυτής ισχύος οι ηλεκτρικές εταιρείες συνιστούν ή και επιβάλλουν µε κατάλληλη τιµολόγηση την παραγωγή της στην κατανάλωση µε εγκατάσταση πυκνωτών συνήθως. Η διαδικασία αυτή λέγεται αντιστάθµιση αέργου ισχύος ή διόρθωση του συντελεστή ισχύος. 4. Ενεργός τιµή Η ενεργός τιµή µιάς τάσης ή ενός ρεύµατος είναι επίσης γνωστή σαν (root ean square) τιµή. Η ενεργός τιµή µιας περιοδικής κυµατοµορφής τάσης βασίζεται στην µέση ισχύ που αποδίδεται σε µια ωµική αντίσταση. Για µια συνεχή τάση κατα µήκος µιάς αντίστασης dc P = R Για µια περιοδική τάση κατά µήκος µιάς αντίστασης, η ενεργός τάση ορίζεται η συνεχής τάση που τροφοδοτεί την µέση ισχύ. Η ενεργός τάση µπορεί να υπολογισθεί από την σχέση eff P = R Με βάση τα προηγούµενα, συναρτήσει της αντίστασης R η ισχύς είναι u t P = 1 1 1 ( ) 1 1 p t dt u t i t dt dt u ( ) = ( ) ( ) = = R R 0 0 0 0 eff ( dt = R οπότε η έκφραση για την ενεργό τάση είναι eff = = 1 0 u ( dt Με όµοιο τρόπο και µε βάση την σχέση είναι P = I R η έκφραση για το ενεργό ρεύµα I = 1 0 i ( dt Π.9
Αν η τάση είναι άθροισµα περισσότερων από δύο (πχ. Ν) περιοδικών ορθογωνικών τάσεων (πράγµα που συµβαίνει για ηµιτονοειδείς κυµατοµορφές διαφορετικών συχνοτήτων) η ενεργός τάση είναι = 1, +, +... + n, = N n= 1 n, Οµοια σχέση ισχύει και για άθροισµα ορθογωνικών ρευµάτων. Π.10