ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : ΕΝΑΛΛΑΣΣΟΜΕΝΟ ΡΕΥΜΑ 1

2 Μια μαθηματική συνάρτηση f(t) χαρακτηρίζεται ως εναλλασσόμενη όταν: Όταν η τιμή παίρνεις θετικές και αρνητικές τιμές (εναλλάσσεται) σε σχέση με το χρόνο. Όταν η εναλλαγή γίνεται περιοδικά δηλαδή η κάθε εναλλαγή επαναλαμβάνεται σε ίσα χρονικά διαστήματα. Όταν το ολοκλήρωμα της f(t) για μια περίοδο είναι ίσο με μηδέν. t t+t f(t)dt=0 Στα ηλεκτρικά κυκλώματα εναλλασσόμενου ρεύματος τα μεγέθη όπως το ρεύμα ή η τάση είναι ημιτονοειδείς συναρτήσεις. Είναι δηλαδή συναρτήσεις του ημιτόνου ή του συνημιτόνου με οποιαδήποτε γωνία φάσης φ. Η γενικευμένη σχέση μιας εναλλασσόμενης κυματομορφής τάσης είναι: u u(t ) U cos( t )

3 Χαρακτηριστικά μεγέθη της κυματομορφής είναι: 1,5 y=cosωt U(t) : η στιγμιαία τιμή. 1,0 y=sinωt U : το πλάτος, η μέγιστη τιμή της τάσης. Y Data 0,5 0,0 ωt+φ : το όρισμα του συνημιτόνου. -0,5 φ : η γωνία φάσης (διαφορά φάσης). -1,0 ω : η γωνιακή ταχύτητα ή αλλιώς η κυκλική συχνότητα με μονάδες rad/sec. -1, X Data Τ: η περίοδος (sec), ο χρόνος που απαιτείται για ένα πλήρη κύκλο της κυματομορφής. f : η συχνότητα, ο αριθμός των κύκλων ανά δευτερόλεπτο είναι ίση με 1/Τ. Η μονάδα μέτρησης είναι το sec -1 ή Hertz. Μεταξύ της κυκλικής συχνότητας ω και της συχνότητας f ισχύει η σχέση ω = πf 3

4 Στο σχήμα φαίνονται δύο κυματομορφές που περιγράφονται από τις σχέσεις: u U cos t και u U cos( t ) 1 Η διαφορά μεταξύ αυτών των δυο κυματομορφών u 1 και u είναι η διαφορά φάσης φ. Από το σχήμα φαίνεται ότι η u καθυστερεί της u 1 κατά γωνία φ ή ότι η u 1 προπορεύεται της u κατά γωνία φ ή κατά χρόνο t = φ / ω. 4

5 Ένα διάνυσμα μπορεί να εκφραστεί με δύο τρόπους: A x y Α) Την καρτεσιανή μορφή όπου x είναι η τετμημένη και y η τεταγμένη του διανύσματος. A Β) Την πολική μορφή όπου το μέτρο του διανύσματος και φ η γωνία φάσης του διανύσματος. A e A A Το ονομάζεται και μιγαδικό διάνυσμα. Είναι γνωστό ότι = -1, 3 = 1, 4 = -1 κλπ. 5

6 Αν έχουμε δύο διανύσματα σε καρτεσιανή μορφή τότε μπορούμε να ορίσουμε τις πράξεις μεταξύ των διανυσμάτων αυτών ως εξής: Πρόσθεση Αφαίρεση A x y B z w A B (x y) (z w) (x z) (y w) A B (x y) (z w) (x z) (y w) Πολλαπλασιασμός A B (x y) (z w) x z x w yz y w x z x w yz y w (x z y w) (x w yz) 6

7 Διαίρεση Για ορίσουμε τη διαίρεση διανυσμάτων θα πρέπει πρώτα να ορίσουμε τη συζυγή μορφή του A x y A x y διανύσματος την έτσι η διαίρεση γίνεται: A A B (x y) (z w) B (z w) (z w) BB (xz yw) (yz xw) (xz yw) (yz xw) z w z w z w 7

8 Η μορφή ενός διανύσματος σε πολική μορφή δίνεται από τον τύπο του Euler: και η συζυγής του μορφή όπου και A A e A A e A x y y 1 Όπου φ το τόξο του οποίου η εφαπτομένη είναι ίση με y/x Στο σχήμα έχουμε tan x x OMcos A cos y OMsin A sin A x y x y cos sin A cos sin A cos A sin 8

9 Aπό τον τύπο του Euler έχουμε : e cos sin και Πράξεις Στην πολική μορφή των διανυσμάτων θα δούμε μόνο τον πολλαπλασιασμό και τη διαίρεση διανυσμάτων, έτσι αν έχουμε τα διανύσματα : A A e 1 και B e cos sin B e Ορίζουμε τον πολλαπλασιασμό: A B ( A e ) ( B e ) A B e ( ) 1 1 Τη διαίρεση A 1 A e A e B B e B ( ) 1 9

10 Μετατροπή χρονικής συνάρτησης σε μιγαδικό διάνυσμα: Αν έχουμε τη χρονική συνάρτηση u U cos( t ) Η πολική μορφή του διανύσματος είναι: όπου U είναι η ενεργός τιμή της τάσης και ορίζεται ως εξής: U Ue Η καρτεσιανή μορφή της συνάρτησης είναι: Όταν η χρονική συνάρτηση είναι U U U Ucos Usin u U sin( t ) U Ue Τότε έχουμε ( 90 ) γιατί u U cos( t 90) 10

11 Μετατροπή διανύσματος σε χρονική συνάρτηση Αν έχουμε το διάνυσμα Η πολική μορφή του διανύσματος είναι: U x y όπου U x y Η χρονική συνάρτηση είναι U U e y 1 και tan x u U cos( t ) U cos( t ) Όπως φαίνεται από τα πιο πάνω κατά τη μετατροπή χρονικής συνάρτησης σε μιγαδικό διάνυσμα πολικής ή καρτεσιανής μορφής δεν εμφανίζεται η συχνότητα f ή η κυκλική συχνότητα ω. Η μετατροπή των εναλλασσομένων μεγεθών ρεύματος και τάσης που μεταβάλλονται χρονικά σε μιγαδικά διανύσματα γίνεται για τη διευκόλυνση των πράξεων. Ένα μιγαδικό διάνυσμα δεν είναι ίσο με την αντίστοιχη χρονική συνάρτηση. 11

12 Στο πιο κάτω σχήμα φαίνεται η μια αντίσταση R που διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα i =Ι cos(ωt+φ), η πτώση τάσης είναι u ir I R cos( t ) U cos( t ) Η πολική μορφή της τάσης Και του ρεύματος είναι: U U e Ue I I e Ie 1

13 Στο ιδανικό πηνίο η τάση του, όταν διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα i=ι cosωt, δίνεται από τη σχέση: di d u L L (Icos t) LIcos( t 90) dt dt U cos( t 90) O όρος ω*l ονομάζεται επαγωγική αντίδραση (αντίσταση) και συμβολίζεται με Χ L (Ω) 13

14 Τα μιγαδικά διανύσματα ρεύματος i και τάσης u είναι: Πολική μορφή του i I I 0 e Καρτεσιανή μορφή του I I I I (cos 0 sin 0 ) I Πολική μορφή της τάσης u Καρτεσιανή μορφή της τάσης u U LI 90 M 90 U e e LI LI M U (cos 90 sin 90 ) M 14

15 Στον ιδανικό πυκνωτή το ρεύμα του i, όταν εφαρμόζεται εναλλασσόμενη τάση u=u cosωt, δίνεται από τη σχέση: du d i C C (Ucos t) CU ( sin t) dt dt I cos( t 90) O όρος X C U 1 I C (Ω)ονομάζεται χωρητική αντίδραση (αντίσταση) 15

16 Τα μιγαδικά διανύσματα ρεύματος i και τάσης u είναι: Πολική μορφή του i Καρτεσιανή μορφή του I Πολική μορφή της τάσης u I 90 I e 90 C Ue I I I (cos 90 sin 90 ) I U 0 U e 0 Ue Καρτεσιανή μορφή της τάσης u U U U (cos 0 sin 0 ) 16