ÏÌÏËÏÃÉÊÇ ÁËÃÅÂÑÁ: 4oò ÊÁÔÁËÏÃÏÓ ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÙÍ ÁÓÊÇÓÅÙÍ

ÏÌÏËÏÃÉÊÇ ÁËÃÅÑÁ: 4oò ÊÁÔÁËÏÃÏÓ ÐÑÏÔÅÉÍÏÌÅÍÙÍ ÁÓÊÇÓÅÙÍ 1. ÅÜí ç M M M h åßíáé ìéá áêñéâþò áêïëïõèßá êáé ï θ : M N Ýíáò éóïìïñöéóìüò R-ìïäßùí, íá áðïäåé èåß üôé ç áêïëïõèßá M θ N θ 1 M h åßíáé áêñéâþò.. Íá áðïäåé èåß üôé äõï áêñéâåßò áêïëïõèßåò ôþò ìïñöþò M1 1 M M, M M3 3 M4 åðüãïõí ôçí åîþò óõíôéèýìåíç áêñéâþ áêïëïõèßá: M1 1 M M3 3 M4 3. óôù : M N Ýíáò ïìïìïñöéóìüò R-ìïäßùí êáé Ýóôù j : L M Ýíáò ìïíïìïñöéóìüò ï ïðïßïò ðëçñïß ôéò åîþò óõíèþêåò: á) j =, êáé â) Ãéá êüèå R-ìüäéï P êáé ãéá êüèå ïìïìïñöéóìü R-ìïäßùí : P M ìå =õðüñ åé ìïíïóçìüíôùò ïñéóìýíïò ϑ Hom R (P, L), ï ïðïßïò êáèéóôü ôï äéüãñáììá ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ P ϑ Ä» L j M N ìåôáèåôéêü. Íá áðïäåé èïýí ôá áêüëïõèá: (i) ÕðÜñ åé ìïíïóçìüíôùò ïñéóìýíïò éóïìïñöéóìüò ξ Hom R (Ker(),L), ï ïðïßïò êáèéóôü ôï äéüãñáììá LO Ker() j zzzzzzzzzzzzzzzz= ξ ι z ìåôáèåôéêü, üðïõ ç ι ðáñéóôü ôçí åíèåôéêþ áðåéêüíéóç ôïý ðõñþíá ôþò åíôüò ôïý M. (ii) ÏéáäÞðïôå áêïëïõèßá ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí ôþò ìïñöþò A α B β C åßíáé áêñéâþò åüí êáé ìüíïí åüí A = Ker(β). α M 1

4. óôù : M N Ýíáò ïìïìïñöéóìüò R-ìïäßùí êáé Ýóôù q : N L Ýíáò åðéìïñöéóìüò ï ïðïßïò ðëçñïß ôéò åîþò óõíèþêåò: á) q =, êáé â) Ãéá êüèå R-ìüäéï P êáé ãéá êüèå ïìïìïñöéóìü R-ìïäßùí : N P ìå =õðüñ åé ìïíïóçìüíôùò ïñéóìýíïò ϑ Hom R (L, P ), ï ïðïßïò êáèéóôü ôï äéüãñáììá M N L ~~~~~~~~~~~~~~~ ϑ Ä~ P q ìåôáèåôéêü. Íá áðïäåé èïýí ôá áêüëïõèá: (i) ÕðÜñ åé ìïíïóçìüíôùò ïñéóìýíïò éóïìïñöéóìüò η Hom R (L, Coker()), ïïðïßïòêáèéóôü ôï äéüãñáììá N yyyyyyyyyyyyyyyyy L η y Coker() π Im() ìåôáèåôéêü, üðïõ π Im() ï öõóéêüò åðéìïñöéóìüò áðü ôïí N åðß ôïý óõìðõñþíá ôþò. (ii) ÏéáäÞðïôå áêïëïõèßá ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí ôþò ìïñöþò A α B β C åßíáé áêñéâþò åüí êáé ìüíïí åüí ï åðéìïñöéóìüò β åðüãåé Ýíáí éóïìïñöéóìü Coker(α) = C. 5. ÕðïôéèåìÝíïõ üôé ôï áêüëïõèï äéüãñáììá R-ìïäßùí êáé ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí åßíáé ìåôáèåôéêü êáé üôé ôüóï ç ó çìáôéæüìåíç «ãñáììþ» üóï êáé ç ó çìáôéæüìåíç «óôþëç» ôïõ åßíáé âñá åßåò áêñéâåßò áêïëïõèßåò, íá áðïäåé èïýí ôá åîþò: (i) Ïé α êáé β åßíáé ìçäåíéêïß ïìïìïñöéóìïß R-ìïäßùí. (ii) Ïé êáé åßíáé éóïìïñöéóìïß R-ìïäßùí. q

6. ÊÜèå âñá åßá áêñéâþò áêïëïõèßá ôþò ìïñöþò M E N êáëåßôáé åðýêôáóç ôïý M ìýóù ôïý N êáé óçìåéþíåôáé ùò (,E,). (i) ÄïèÝíôùí äõï R-ìïäßùí M,N, íá áðïäåé èåß üôé õðüñ åé ðüíôïôå ôïõëü éóôïí ìßá åðýêôáóç ôïý M ìýóù ôïý N. (ii) Äõï åðåêôüóåéò ( 1,E 1, 1 ) êáé (,E, ) ôïý M ìýóù ôïý N áñáêôçñßæïíôáé ùò éóïäýíáìåò üôáí õðüñ åé êüðïéïò ïìïìïñöéóìüò R-ìïäßùí h : E 1 E, ïýôùò þóôå íá éó ýïõí ïé éóüôçôåò h 1 =, h 1 =. Íá áðïäåé èåß üôé ôýôïéïõ åßäïõò ïìïìïñöéóìïß R-ìïäßùí h åßíáé êáô' áíüãêçí éóïìïñöéóìïß. (iii) Íá áðïäåé èåß üôé õðüñ ïõí åðåêôüóåéò ôïý Z ìýóù ôïý Z 4 ðïõ äåí åßíáé éóïäýíáìåò. Z Z Z 4 Z4 Z Z8 Z4 7. ÅÜí ïé ( j : M j M j) j J, ( j : M j M j ) j J åßíáé äõï ïéêïãýíåéåò ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí (ìå ôï ßäéï óýíïëï äåéêôþí), íá áðïäåé èåß üôé ç áêïëïõèßá L Mj j J L j j J L j J M j L j j J L Mj j J åßíáé áêñéâþò åüí êáé ìüíïí åüí ïé áêïëïõèßåò M j j M j j M j åßíáé áêñéâåßò ãéá êüèå j J. (ë. Üóêçóç 7 ôïý ïõ êáôáëüãïõ ðñïôåéíïìýíùí áóêþóåùí.) 8. óôù üôé ïé M N M N M N åßíáé äõï âñá åßåò áêñéâåßò áêïëïõèßåò êáé üôé ïé ϕ : M N, ϕ : M N åßíáé äõï ïìïìïñöéóìïß R-ìïäßùí, ôýôïéïé þóôå ϕ = ϕ. Üóåé ôþò ðñïôüóåùò.1.8 õðüñ åé Ýíáò ìïíïóçìüíôùò ïñéóìýíïò ïìïìïñöéóìüò R-ìïäßùí ϕ : M N ï ïðïßïò êáèéóôü ôï äéüãñáììá M ϕ N M ϕ N M ϕ N 3

ìåôáèåôéêü. Íá áðïäåé èïýí ïé éóüôçôåò Ker(ϕ )=(ϕ 1 (Ker())), Im(ϕ )=Im( ϕ), êáé íá óõíá èåß åî áõôþí üôé (i) ï ϕ åßíáé ìïíïìïñöéóìüò åüí êáé ìüíïí åüí ϕ 1 (Ker()) Ker(), êáé (ii) ï ϕ åßíáé åðéìïñöéóìüò åüí êáé ìüíïí åüí ï ϕ åßíáé åðéìïñöéóìüò. 9. Íá áðïäåé èåß ôï 1ï èåþñçìá éóïìïñöéóìþí ìïäßùí (âë. 1.4.8) êüíïíôáò ñþóç êáôáëëþëùí âñá- Ýùí áêñéâþí áêïëïõèéþí óå óõíäõáóìü ìå ôçí Üóêçóç 8. [Õðüäåéîç: Áñêåß ç èåþñçóç ôïý ìåôáèåôéêïý äéáãñüììáôïò Ker() Id Ker() Ker() ι ι π Ker() M Coim() Id M ζ M Im() + êáé ç áðüäåéîç ôïý üôé ï ζ åßíáé éóïìïñöéóìüò R-ìïäßùí.] 1. Íá áðïäåé èåß ôï ï èåþñçìá éóïìïñöéóìþí ìïäßùí (âë. 1.4.11) êüíïíôáò ñþóç êáôáëëþëùí âñá Ýùí áêñéâþí áêïëïõèéþí óå óõíäõáóìü ìå ôçí Üóêçóç 8. [Õðüäåéîç: Áñêåß ç èåþñçóç ôïý ìåôáèåôéêïý äéáãñüììáôïò U W ij. Ä W Ä êáé ç áðüäåéîç ôïý üôé ï ϕ åßíáé éóïìïñöéóìüò R-ìïäßùí.] π U W U U(U W ) ij. ϕ U + W π W (U + W )W 11. ÅÜí ïé U, W åßíáé õðïìüäéïé åíüò R-ìïäßïõ M, íá áðïäåé èåß üôé ç áêïëïõèßá ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí M(U V ) (MU) (MW) M(U + W ), üðïõ ( (m + U W ):=(m + U, ( m)+w), m M, (m 1 + U, m + W ):=(m 1 + m )+(U + W ), (m 1,m ) M M, åßíáé áêñéâþò, êáèþò êáé üôé (U + W )(U W ) = ((U + W )U) ((U + W )W ) = (W(U W )) (U(U W )). 1. Íá áðïäåé èåß ôï 3ï èåþñçìá éóïìïñöéóìþí ìïäßùí (âë. 1.4.1) êüíïíôáò ñþóç êáôáëëþëùí âñá Ýùí áêñéâþí áêïëïõèéþí óå óõíäõáóìü ìå ôçí Üóêçóç 8. [Õðüäåéîç: Áñêåß ç èåþñçóç ôïý 4

ìåôáèåôéêïý äéáãñüììáôïò U Ä M π U MU π W U π W h UW Ä MW π UW (MW)(UW) êáé ç áðüäåéîç ôïý üôé ï h åßíáé éóïìïñöéóìüò R-ìïäßùí.] 13. ÕðïôéèåìÝíïõ üôé ôï áêüëïõèï äéüãñáììá R-ìïäßùí êáé ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí åßíáé ìåôáèåôéêü, üôé ïé α, β, γ åßíáé éóïìïñöéóìïß R-ìïäßùí êáé üôé ç Üíù ôïõ ãñáììþ åßíáé áêñéâþò, íá áðïäåé èåß üôé êáé ç êüôù ôïõ ãñáììþ ïöåßëåé íá åßíáé áêñéâþò. A B C α β γ A B C 14. ÕðïôéèåìÝíïõ üôé ôï áêüëïõèï äéüãñáììá R-ìïäßùí êáé ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí åßíáé ìåôáèåôéêü, üôé ïé α, β, γ åßíáé éóïìïñöéóìïß R-ìïäßùí êáé üôé ç Üíù ôïõ ãñáììþ åßíáé áêñéâþò êáé äéáóðüôáé óôï B, íá áðïäåé èåß üôé êáé ç êüôù ôïõ ãñáììþ ïöåßëåé íá åßíáé áêñéâþò êáé íá äéáóðüôáé óôï B. A B C α β γ A B C 1 15. óôù M 1 M M3 ìéá âñá åßá áêñéâþò áêïëïõèßá ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí êáé Ýóôù I Ýíá éäåþäåò ôïý R. ÅÜí ç áêïëïõèßá áõôþ äéáóðüôáé óôïí M, íá áðïäåé èåß üôé ç üðïõ M 1 IM 1 1 M IM M3 IM 3, j (m j + IM j ):= j (m j )+IM j+1, m j M j, j =1,, åßíáé áêñéâþò êáé äéáóðüôáé óôïí M IM. [Óçìåßùóç: Ç äåýôåñç áêïëïõèßá äåí åßíáé êáô' áíüãêçí áêñéâþò üôáí ç ðñþôç äåí äéáóðüôáé óôïí M. íá áðëü áíôéðáñüäåéãìá ìáò ðáñý åé ç ìç äéáóðùìýíç âñá åßá áêñéâþò áêïëïõèßá Z ( ) Z π ZZ. ÁñêåßíáëçöèåßùòI ôï éäåþäåò Z ôïý Z. Ç åðáãïìýíç áðåéêüíéóç ZZ ( ) ZZ åßíáé ç ìçäåíéêþ ðïõ ðñïöáíþò äåí åßíáé åíñéðôéêþ.] 5

16. ÕðïôéèåìÝíïõ üôé ôï äéüãñáììá R-ìïäßùí êáé ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí A B C α β γ A B C åßíáé ìåôáèåôéêü ìå áìöüôåñåò ôéò ãñáììýò ôïõ áêñéâåßò, íá áðïäåé èïýí ôá åîþò: (i) ÅÜí ïé α, γ, åßíáé ìïíïìïñöéóìïß, ôüôå êáé ï β åßíáé ìïíïìïñöéóìüò. (ii) ÅÜí ïé α, γ, åßíáé åðéìïñöéóìïß, ôüôå êáé ï β åßíáé åðéìïñöéóìüò. 17. ÕðïôéèåìÝíïõ üôé ôï äéüãñáììá R-ìïäßùí êáé ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí M M M ϕ ϕ ϕ N N N åßíáé ìåôáèåôéêü ìå áìöüôåñåò ôéò ãñáììýò ôïõ áêñéâåßò, íá áðïäåé èïýí ôá åîþò: (i) ÅÜí ïé ϕ,ϕ åßíáé ìïíïìïñöéóìïß (êáé áíôéóôïß ùò, åðéìïñöéóìïß), ôüôå êáé ï ϕ åßíáé ìïíïìïñöéóìüò (êáé áíôéóôïß ùò, åðéìïñöéóìüò). (ii) ÅÜí äýï åê ôùí ϕ, ϕ,ϕ åßíáé éóïìïñöéóìïß, ôüôå êáé ï ôñßôïò ïöåßëåé íá åßíáé éóïìïñöéóìüò. (iii) Èåùñþíôáò ôü ìåôáèåôéêü äéüãñáììá Z Z Z p ϕ ϕ ϕ Z Z Z p (ìå áìöüôåñåò ôéò ãñáììýò ôïõ áêñéâåßò), üðïõ p ðñþôïò áñéèìüò, ϕ := p, ϕ := Id Z, := p, := p, êáé,,ϕ ïé öõóéêïß åðéìïñöéóìïß, ïé ϕ, ϕ åßíáé åíñéðôéêýò, áëëü ç ϕ äåí åßíáé![äéåõêñßíéóç: Ôïýôï äåí áíôßêåéôáé ðñïò ôï (ii)! ÅÜí õðïôåèåß üôé ïé ϕ, ϕ åßíáé éóïìïñöéóìïß, ç áðüäåéîç ôþò åíñéðôéêüôçôáò ôþò ϕ Ýðåôáé áðü ôï üôé ç ϕ åßíáé åíñéðôéêþ êáé ç ϕ åðéññéðôéêþ. ÓôïáíùôÝñù ðáñüäåéãìá ç ϕ äåí åßíáé åðéññéðôéêþ. Ùò åê ôïýôïõ, ôï æåýãïò ϕ, ϕ äåí ðëçñïß ôçí éäéüôçôá ðïõ áíôéóôïé åß óå åêåßíç ðïõ ðåñéãñüöåôáé óôï (i) ãéá ôï æåýãïò ϕ,ϕ.] 6

18. Ðñþôç åêäï Þ ôïý ëþììáôïò ôùí 3 3. ÕðïèÝôïíôáò üôé ôï äéüãñáììá R-ìïäßùí êáé ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí A α A β A B α B β B C C C åßíáé ìåôáèåôéêü ìå ôéò ôñåéò óôþëåò ôïõ êáé ôéò äýï Üíù ãñáììýò ôïõ áêñéâåßò, íá áðïäåé èåß üôé ïñßæïíôáé ìïíïóçìüíôùò ïìïìïñöéóìïß R-ìïäßùí α : C C, β : C C, ôýôïéïé þóôå ç ðñïêýðôïõóá êüôù ãñáììþ íá åßíáé áêñéâþò êáé ôï êáô' áõôüí ôïí ôñüðï óõìðëçñùìýíï äéüãñáììá ìåôáèåôéêü. [Õðüäåéîç: ÅðåéäÞ α =, éó ýåé ï åãêëåéóìüò Ker( )=Im( ) Ker( α). Ãéá ôçí êáôáóêåõþ ôïý α áñêåß íá åöáñìïóèåß ôï èåþñçìá 1.3.13. Ðáñïìïßùò êáôáóêåõüæåôáé êáé ï ïìïìïñöéóìüò β. Êáôüðéí ôïýôïõ, ç áðïðåñüôùóç ôþò áðïäåßîåùò êáèßóôáôáé åöéêôþ ìýóù êõíçãçôïý ôïý äéáãñüììáôïò.] 19. Äåýôåñç åêäï Þ ôïý ëþììáôïò ôùí 3 3. ÕðïèÝôïíôáò üôé ôï äéüãñáììá R-ìïäßùí êáé ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí A α A β A B α B β B C α C β C åßíáé ìåôáèåôéêü ìå ôéò ôñåéò óôþëåò ôïõ áêñéâåßò, íá áðïäåé èïýí ôá áêüëïõèá: (i) ÅÜí ïé äýï Üíù ãñáììýò ôïõ åßíáé áêñéâåßò, ôüôå êáé ç ôñßôç ôïõ ãñáììþ åßíáé áêñéâþò. (ii) ÅÜí ïé äýï êüôù ãñáììýò ôïõ åßíáé áêñéâåßò, ôüôå êáé ç ôñßôç ôïõ ãñáììþ åßíáé áêñéâþò. (iii) ÅÜí ç ðñþôç êáé ç ôñßôç ôïõ ãñáììþ åßíáé áêñéâåßò, ôüôå ç ìåóáßá ôïõ ãñáììþ äåí åßíáé êáô' 7

áíüãêçí áêñéâþò. (iv) ÅÜí êáèåìéü ôùí ôñéþí ôïõ ãñáììþí óõíéóôü Ýíá áëõóùôü óýìðëïêï êáé äýï åî áõôþí åßíáé áêñéâåßò, ôüôå êáé ç ôñßôç ïöåßëåé íá åßíáé áêñéâþò.. Ôï ëþììá ôïý öéäéïý. óôù üôé ïé M,M,M êáé N,N,N åßíáé äõï ôñéüäåò R-ìïäßùí êáé üôé ïé φ : M N, φ : M N, φ : M N, åßíáé ôñåéò ïìïìïñöéóìïß R-ìïäßùí, ôýôïéïé þóôå ôï äéüãñáììá R-ìïäßùí êáé ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí íá åßíáé ìåôáèåôéêü ìå ôéò äýï ìåóáßåò ôïõ ãñáììýò áêñéâåßò. ÊáôÜ ôç äéüñêåéá ôùí ðáñáäüóåùí åäüèç ìéá áðüäåéîç (âë...7) ðåñß ôþò õðüñîåùò ïìïìïñöéóìïý R-ìïäßùí Ker φ Coker φ (õðïäçëïõìýíïõ ìýóù ôïý ïöéïåéäïýò âýëïõò), ïýôùò þóôå ç ðñïêýðôïõóá áêïëïõèßá Ker φ Ker (φ) Ker φ Coker φ Coker (φ) Coker φ íá åßíáé áêñéâþò. Ç åí ëüãù áðüäåéîç óôçñßæåôáé óôï ëþììá ôùí äýï ôåôñáãþíùí (âë...5) êáé ïöåßëåôáé óôïí J. Lambek. Ïñßæïíôáò ôï : Ker φ Coker φ ìýóù ôïý óõãêåêñéìýíïõ ôýðïõ (x) :=((β 1 φ α 1 )(x)) + Im(φ ), x Ker φ, íá äåé èåß üôé áõôü óõíéóôü ìéá êáëþò ïñéóìýíç áðåéêüíéóç, ç ïðïßá åßíáé -åðéðñïóèýôùò- ïìïìïñöéóìüò R-ìïäßùí. Åí óõíå åßá,íá äïèåß ìéá Üëëç áðüäåéîç ãéá ôï üôé ç ùò Üíù áêïëïõèßá åßíáé áêñéâþò êüíïíôáò ñþóç ìüíïí ôïý êáé áðëïý êõíçãçôïý åíôüò ôïý äéáãñüììáôïò. 1. ÅÜí ïé : M M êáé : M M åßíáé äõï ïìïìïñöéóìïß R-ìïäßùí, íá áðïäåé èåß ç ýðáñîç ìéáò (êáôü öõóéïëïãéêü ôñüðï êáôáóêåõáæüìåíçò) áêñéâïýò áêïëïõèßáò Ker () Ker ( ) Ker () Coker () Coker ( ) Coker (). 8

[Õðüäåéîç: Áðü ôç ìåôáèåôéêüôçôá ôïý äéáãñüììáôïò M Id M M M M M Id M M åîüãïíôáéïéáêñéâåßòáêïëïõèßåò Ker () Ker ( ) Ker () êáé Añêåß ï ïñéóìüò ôïý óõíäåôéêïý ïìïìïñöéóìïý Coker () Coker ( ) Coker (). Ker () 3 y 7 y + Im() Coker () ðñïêåéìýíïõ íá áðïäåé èåß üôé áõôýò óõíåíïýíôáé óå ìßá êáé ìüíïí áêñéâþ áêïëïõèßá.]. Ôï ëþììá ôïý åîáãþíïõ. ÕðïèÝôïíôáò üôé êüèå ôñßãùíï ôïý áêïëïýèïõ äéáãñüììáôïò R-ìïäßùí êáé ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí B l l xppppppppppppp NNNNNNNNNNNNN & Z O ZO j j NNNNNNNNNNNNN ppppppppppppp8 C i ppppppppppppp8 = NNNNNNNNNNNNN i U N h U s NNNNNNNNNNNN& s xppppppppppppp D k = åßíáé ìåôáèåôéêü, üôé ïé áêïëïõèßåò U i C åßíáé éóïìïñöéóìïß R-ìïäßùí, íá áðïäåé èïýí ôá åîþò: (i) Ker(j) Ker(j )={ C }, (ii) C =Im(i) Im (i ), êáé (iii) s k 1 l + s k 1 l = h. j Z,U i C k j Z åßíáé áêñéâåßò êáé üôé ïé k, k 9

3. ÄïèÝíôïò åíüò äéáãñüììáôïò R-ìïäßùí êáé ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí (áðåßñùò åêôåéíïìýíïõ ðñïò ôá Üíù êáé ðñïò ôá êüôù) ôþò ìïñöþò ìå üëá ôïõ ôá ôñßãùíá ìåôáèåôéêü êáé ôçí áêïëïõèßá ôçí åõñéóêïìýíç óôçí êáôáêüñõöç (êåíôñéêþ) ãñáììþ ôïõ, ôéò áêïëïõèßåò s +1 A α Y γ U s A 1 α 1 Y 1 γ 1 êáé s +1 A α Y γ U s A 1 α 1 Y 1 γ 1 ôéò åõñéóêüìåíåò óôï ðëåõñéêü ôïõ ðåñßãñáììá, êáèþò êáé ôéò áêïëïõèßåò (ôñéþí üñùí) U U i C i C j Z, j Z,, Y Y β B β B l Z, l Z, 1

áêñéâåßò, íá áðïäåé èåß ç ýðáñîç ìéáò áêñéâïýò áêïëïõèßáò +1 A ψ Y Y ϕ B A 1 ψ 1, üðïõ ( A 3 x 7 ψ (x) :=(α (x),α (x)) Y Y, Y Y 3 (y, y ) 7 ϕ (y, y ):= β (y)+β (y ) B, ) êáé ìéáò áêñéâïýò áêïëïõèßáò +1 A ψ Y Y ϕ B A 1 ψ 1, üðïõ ( A 3 x 7 ψ (x) :=(α (x),α (x)) Y Y, Y Y 3 (y,y) 7 ϕ (y,y):= β (y )+β (y) B, ) ìå ôïõò óõíäåôéêïýò ïìïìïñöéóìïýò ôïõò áíôéèýôïõò (Þôïé =, Z). [Õðüäåéîç: Ôá êëéìáêùôü äéáãñüììáôá A α Y γ U s A 1 α 1 Y 1 α β k α 1 β 1 êáé Y β B Z l α Y 1 1 s k 1 β 1 B 1 (A) A α Y γ U s A 1 α 1 Y 1 α β k α 1 β 1 Y B β l Z Y 1 B 1 α 1 s k 1 β 1 (B) åßíáé (åê êáôáóêåõþò) ìåôáèåôéêü ìå ôéò Üíù ãñáììýò ôïõò áêñéâåßò. ÅðéðñïóèÝôùò, åßíáé åýêïëï íá åëåã èåß (óôïõò üñïõò Z,Z)çáêñßâåéáêáé ôùí êüôù ãñáììþí ôïõò (êüíïíôáò ñþóç ôþò ìåôáèåôéêüôçôáò ôùí ìåôå üíôùí ôñéãþíùí êáé ôïý ëþììáôïò ôïý åîáãþíïõ). ÅðåéäÞ ïé k,k åßíáé éóïìïñöéóìïß, åßíáé äõíáôþ ç åöáñìïãþ ôïý ëþììáôïò ôùí Barratt êáé Whitehead, ôï ïðïßï áðïäåß èçêå óôéò ðáñáäüóåéò ôïý ìáèþìáôïò. Óçìåßùóç: Ôï ìåãüëï äéüãñáììá ôþò áóêþóåùò áíþêåé óå ìéá êáôçãïñßá äéáãñáììüôùí ðïõ åßíáé ãíùóôü ùò áëëçëåìðëåêüìåíåò áêïëïõèßåò (iterlocki sequeces) Þ ùò äéáãñüììáôá ðëåîéäßùí 11

(braid diarams). Óå áäñýò ãñáììýò, áõôü åßíáé äéáãñüììáôá ôþò ìïñöþò (üðïõ åäþ ïé êïõêêßäåò õðïäçëþíïõí R-ìïäßïõò êáé ôá íïýìåñá 1,, 3, 4 ôïíôñüðïìåôïíïðïßï êáèåìéü áðü ôéò ôýóóåñåéò ìåôý ïõóåò áêïëïõèßåò åßíáé ôïðïèåôçìýíç óôï äéüãñáììá). ÅÜí ôñåéò åê ôùí ôåóóüñùí áêïëïõèéþí åßíáé áêñéâåßò êáé ç ôýôáñôç óõíéóôü Ýíá áëõóùôü óýìðëïêï, ôüôå êáé ç ôýôáñôç õðï ñåïýôáé íá åßíáé áêñéâþò. (Óôçí ðåñßðôùóþ ìáò, ïé ôýóóåñåéò áêïëïõèßåò åßíáé áõôýò ðïõ áðïôåëïýí ôéò ãñáììýò ôùí êëéìáêùôþí äéáãñáììüôùí (A) êáé (B).) Ãéá ðåñéóóüôåñåò ðëçñïöïñßåò, ïé åíäéáöåñüìåíïé áíáãíþóôåò ðáñáðýìðïíôáé óôï Üñèñï ôïý C.T.C. Wall: O the exactess o itelocki sequeces, Eseiemet Math., Vol. 1, 1966, 95-1.] 4. óôù C Ýíá áëõóùôü óýìðëoêï ðåðåñáóìýíùò ðáñáãïìýíùí R-ìïäßùí, üðïõ R ìéá ðåñéï Þ êõñßùí éäåùäþí. ÅÜí õðüñ åé Ýíáò ìç áñíçôéêüò áêýñáéïò áñéèìüò k, ôýôïéïò þóôå íá éó ýåé C j =ãéá üëïõò ôïõò äåßêôåò j Z ìå j k, ôüôå ïñßæåôáé êáëþò ôï åíáëëüóóïí Üèñïéóìá χ R (C ):= X j Z( 1) j rak R (C j ) Z, ôï ïðïßï êáëåßôáé áñáêôçñéóôéêþ Euler ôïý C. Íá áðïäåé èïýí ïé åîþò éäéüôçôåò ôïý χ R (C ): (i) ÊÜèå R-ìüäéïò ïìïëïãßáò H j (C ) ôïý C åßíáé ðåðåñáóìýíùò ðáñáãüìåíïò, H j (C )=ãéá üëïõò ôïõò äåßêôåò j ìå j k êáé χ R (C )= X j Z( 1) j rak R (H j (C )). ÌÜëéóôá, óôçí åéäéêþ ðåñßðôùóç êáôü ôçí ïðïßá ôï C óõíéóôü ìéá áêñéâþ áêïëïõèßá, Ý ïõìå χ R (C )=. (ii) ÅÜí ç C C C ìéá âñá åßá áêñéâþò áêïëïõèßá áëõóùôþí óõìðëüêùí (áõôïý ôïý åßäïõò), ôüôå 5. ÕðïôéèåìÝíïõ üôé ôï χ R (C )=χ R (C )+χ R (C ). C C C ϕ ϕ ϕ D D D 1

åßíáé Ýíá ìåôáèåôéêü äéüãñáììá áëõóùôþí óõìðëüêùí êáé áëõóùôþí ìåôáó çìáôéóìþí ìå áìöüôåñåòôéòãñáììýòôïõáêñéâåßò,íááðïäåé èåßüôéôï H (C ) H ( ) H (C ) H ( ) H (C ) (1) H 1 (C ) H (ϕ ) H (ϕ ) H (ϕ ) H 1(ϕ ) H (D ) H (D ) H ( ) H ( ) H (D ) () H 1 (D ) åßíáé Ýíá ìåôáèåôéêü äéüãñáììá R-ìïäßùí êáé ïìïìïñöéóìþí R-ìïäßùí ìå áìöüôåñåò ôéò ãñáììýò ôïõ áêñéâåßò. Åí ðñïêåéìýíù, ï (1) (êáé áíôéóôïß ùò, ï () ) ðáñéóôü ôïí óõíäåôéêü ïìïìïñöéóìü ôþò ðñþôçò (êáé áíôéóôïß ùò, ôþò äåýôåñçò) ìáêñüò áêñéâïýò áêïëïõèßáò R-ìïäßùí ïìïëïãßáò. 13