Διάλεξη 04: Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας/Ανάλυση Αναδρομικών Αλγόριθμων Στην ενότητα αυτή θα μελετηθούν τα εξής επιμέρους θέματα: - Παραδείγματα Ανάλυσης Πολυπλοκότητας : Μέθοδοι, παραδείγματα - Γραμμική και Δυαδική Αναζήτηση, Ανάλυση Αναδρομικών Αλγορίθμων - H Μέθοδος της Αντικατάστασης, Master Theorem ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 1
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Παράδειγμα 1: Υπολογισμός Χρόνου Εκτέλεσης Υποθέστε ότι ένα πρόβλημα επιλύνεται με τον πιο κάτω κώδικα: Ανάλυση k+=i; for(i=0; i<; i++) it i,k=0; for (i=0; i<; i++) k+=i; H βασική πράξη η οποία χρειάζεται Ο(1) χρόνο Ο αλγόριθμος εκτελεί την βασική πράξη φορές 1 i= 0 1 = ή 1 = i o O αλγόριθμος έχει πολυπλοκότητα της τάξης O() o Στην βέλτιστη περίπτωση χρειάζεται Ω() è O() & Ω() è Θ()
Υπολογισμός Χρόνου Εκτέλ. με φωλιασμ. βρόγχους Σε ένα βρόχο (for loop) o συνολικός χρόνος που απαιτείται είναι: Βασική Πράξη x Αριθμό Επαναλήψεων Φωλιασμένοι Βρόχοι: η ανάλυση γίνεται από τα μέσα προς τα έξω: Παράδειγμα: for (i=0; i<; i++) for (j=0; j<; j++) //statemet e.g., k+=i; Συνεχόμενες Εντολές: Ο χρόνος εκτέλεσης T της εντολής S και μετά S παίρνει χρόνο ίσο του αθροίσματος των χρόνων εκτέλεσης των T(S) + T(S ). Συνθήκες if: Ο χρόνος εκτέλεσης T της εντολής if b the S else S παίρνει χρόνο ίσο με max(t(b)+t(s), T(b)+T(S )) ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 3
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 4 Παράδειγμα : Υπολογισμός Χρόνου Εκτέλεσης Υποθέστε ότι ένα πρόβλημα επιλύνεται με τον πιο κάτω κώδικα: Ανάλυση Εσωτερικός Βρόγχος: Εξωτερικός Βρόγχος: Σύνολο: it i, j, sum=0; for (i=0; i<; i++) for (j=0; j<; j++) sum++; i= 1 j= 1 IL i=1 1 = i= 1 = 1 = 1 = 1 IL j= 0 j= 1 = Ο( Εξωτερικός Βρόγχος Εσωτερικός Βρόγχος IL ), Ω( = ) Θ( )
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 5 Παράδειγμα 3: Υπολογισμός Χρόνου Εκτέλεσης Υποθέστε ότι ένα πρόβλημα επιλύνεται με τον πιο κάτω κώδικα: Ανάλυση it i, j, sum=0; for (i=0; i<; i++) Εσωτερικός Βρόγχος: for (j=0; j< i*i; j++) sum++; IL j= 0 Εξωτερικός Βρόγχος Εσωτερικός Βρόγχος Παρατηρούμε ότι ο χρόνος εκτέλεσης του εσωτερικού βρόχου εξαρτάται από την τιμή i, οποία καθορίζεται από τον εξωτερικό βρόχο. i = 1 = i
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 6 Παράδειγμα 3: Υπολογισμ. Χρόνου Εκτέλεσης (συν.) Ο πιο κάτω πίνακας δείχνει το πόσες φορές εκτελείται ο εσωτερικός βρόγχος σαν συνάρτηση του i: i 0 1 3-1 IL = i 0 1 4 9 (- 1) Εξωτερικός Βρόγχος: 0 + 1 + 4 + 9 + + (- 1) Σύνολο: Ο χρόνος εκτέλεσης του προγράμματος είναι ίσος με το άθροισμα του χρόνου εκτέλεσης κάθε επανάληψης του εσωτερικού βρόχου: i= 1 i = ( + 1)( + 1) 1 3 3 = ( + + + ) Θ( ) 6 6
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 7 Παράδειγμα 4: Υπολογισμός Χρόνου Εκτέλεσης Υποθέστε ότι ένα πρόβλημα επιλύνεται με τον πιο κάτω κώδικα: Ανάλυση Εσωτερικός Βρόγχος A: Εσωτερικός Βρόγχος B: Εξωτερικός Βρόγχος: Σύνολο: it i, j, k, sum=0; for (i=0; i<; i++) for (j=0; j<; j++) Θ( 3 ) for (k=0; k<; k++) sum++; IL A 1 = k = Εξωτερικός Βρόγχος Εσωτερικός Βρόγχος B Εσωτερικός Βρόγχος A ILB = ILA = = = j j OL = ILB = = = i j 3
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 8 Παράδειγμα 5: Υπολογισμός Χρόνου Εκτέλεσης Υποθέστε ότι ένα πρόβλημα επιλύνεται με τον πιο κάτω κώδικα: Ανάλυση it i, j, sum=0; Εσωτερικός Βρόγχος: for (i=1; i<=; i=*i) for (j=0; j< ; j++) sum++; IL = 1 Εξωτερικός Βρόγχος Εσωτερικός Βρόγχος Εξωτερικός Βρόγχος: Κάθε φορά, το i πολλαπλασιάζεται επί. j Παράδειγμα: για =10 το i θα είναι 1,, 4, 8, 16> break = Πόσες φορές εκτελείται;;;
Παράδειγμα 5: Υπολογισμ. Χρόνου Εκτέλεσης (συν.) Ας υποθέσουμε ότι το είναι μία δύναμη του è = κ Ο πιο κάτω πίνακας δείχνει το πόσες φορές εκτελείται ο εσωτερικός βρόγχος σαν συνάρτηση του k: k 0 1 3 4 k = k 1 4 8 16 k τιμές i - 1 1, 1,,4 1,,4,8 επαναλ. 0 1 3 4 k Συμπέρασμα: i=k, άρα για = i θα χρειαστούν i επαναλ. Ερώτηση: πως μπορούμε να βρούμε το την τιμή i έχοντας σαν δεδομένο το i ; Απάντηση: με χρήση λογάριθμου (log): log i = i ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 9
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 10 Παράδειγμα 5: Υπολογισμός Χρόνου Εκτέλεσης Υποθέστε ότι ένα πρόβλημα επιλύνεται με τον πιο κάτω κώδικα: Ανάλυση it i, j, sum=0; Εσωτερικός Βρόγχος: for (i=1; i<=; i=*i) for (j=0; j< ; j++) sum++; IL = 1 j Εξωτερικός Βρόγχος: (log i = log ) log IL = log = Εξωτερικός Βρόγχος Εσωτερικός Βρόγχος Σύνολο: Θ ( log )
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 11 Παράδειγμα 6: Υπολογισμός Χρόνου Εκτέλεσης Υποθέστε ότι ένα πρόβλημα επιλύνεται με τον πιο κάτω κώδικα: Ανάλυση =περιττός è Εσωτερικός Βρόγχος (else): =άρτιος è Εσωτερικός Βρόγχος (if): Εξωτερικός Βρόγχος: Σύνολο: it i, j, sum=0; for (i=0; i<; i++) Θ( ) if( (%)==0 ) for (j=0; j<; j++) sum++; else sum- - ; Εξωτερικός Βρόγχος Εσωτερικός Βρόγχος (if) Εσωτερικός Βρόγχος (else) IL ( if ) = 1 = OL = j max( ILif, ILelse) = ILif = = i IL ( else) i = 1 i
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 1 Παράδειγμα 7: Χρόνος Εκτέλεσης BubbleSort Η BubbleSort ταξινομεί κάποιο πίνακα με συνεχή εναλλαγή των στοιχείων του αν δεν είναι στη σωστή σειρά. Παράδειγμα: it x = {3,, 4, 1, 5; swap o swap Πέρασμα 1 3 4 1 5 3 4 1 5 3 4 1 5 3 1 4 5 Πέρασμα 3 1 4 5 3 1 4 5 1 3 4 5 1 3 4 5 Πέρασμα 3 1 3 4 5 1 3 4 5 Πέρασμα 4 1 3 4 5
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 13 Παράδειγμα 7: Χρόνος Εκτέλεσης BubbleSort (συν.) void bubblesort( it X[], it ){ it i, j, temp; bool swapped; for (i=0;i<- 1;i++) { swapped = false; for (j=0;j<- i- 1;j++) { if (X[j] > X[j+1]) { temp = X[j]; X[j] = X[j+1]; X[j+1] = temp; swapped = true; Εσωτερικός Βρόγχος if (swapped==false) retur; Εξωτερικός Βρόγχος
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 14 Παράδειγμα 7: Χρόνος Εκτέλεσης BubbleSort (συν.) void bubblesort( it X[], it ){ for (i=0;i<- 1;i++) { for (j=0;j<- i- 1;j++) { Εσωτερικός Βρόγχος Ανάλυση Εσωτερικός Βρόγχος: Εξωτερικός Βρόγχος: Σύνολο: Θ( ) Εξωτερικός Βρόγχος = IL i = 1 i= 0 ( 1) j= 0 1 1 = 1 i= 0 ( 1) = 1 i 1 1 i= 0 ( )( 1) 1 OL = IL = i 1 = 1 i i= 0
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 15 Γραμμική vs. Δυαδική Διερεύνηση Δεδομένα Εισόδου: Πίνακας Χ με στοιχεία, ταξινομημένος από το μικρότερο στο μεγαλύτερο, και ακέραιος k. Στόχος: Να εξακριβώσουμε αν το k είναι στοιχείο του Χ. Γραμμική Διερεύνηση: εξερευνούμε τον πίνακα από τα αριστερά στα δεξιά. it liear( it X[], it, it k){ it i=0; while ( i < ) { if (X[i] == k) retur i; if (X[i] > k) retur - 1; i++; retur - 1; 1 3 4 5 Xείριστη περίπτωση: Ο() (ο βρόχος εκτελείται φορές)
Αναδρομική Γραμμική Διερεύνηση ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 16 it rliear( it X[], it, it k, it pos ){ if ( pos == ) retur - 1; //ot foud if ( X[pos] == k ) retur pos; //foud elseif ( X[pos] > k ) retur - 1; //foud larger skip rest retur rliear( X,, k, pos+1 ); Xείριστη περίπτωση: Ο() rliear) (εκτελούνται αναδρομικές κλήσεις της
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 17 Δυαδική Διερεύνηση Δυαδική Διερεύνηση: βρίσκουμε το μέσο του πίνακα και αποφασίζουμε αν το k ανήκει στο δεξιό ή αριστερό μισό. Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία στο μισό που μας ενδιαφέρει: it biary (it X[], it, it key) { it low=0; it high = - 1; it mid; while( low <= high) { mid = (low + high) / ; if( key < X[mid]) high = mid- 1; else if (key > X[mid]) low = mid+1; else { retur mid; break; retur - 1;
Αναδρομική Δυαδική Διερεύνηση ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 18 it rbiary_aux (it X[], it low, it high, it key) { it mid; if( low <= high) { mid = (low + high) / ; if( key == X[mid]) retur mid; else if( key < X[mid]) retur rbiary_aux( X, low, mid- 1, key); else retur rbiary_aux( X, mid+1, high, key); retur - 1; it rbiary (it X[], it, it key) { it low = 0; it high = - 1; retur rbiary_aux( X, low, high, key);
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 19 Δυαδική Διερεύνηση Χρόνος Εκτέλεσης Η βασική πράξη (σύγκριση) εκτελείται Ο(log ) φορές δηλαδή: Εκτέλεση 1 - > Μας απομένει* / του πίνακα, Εκτέλεση - > Μας απομένει /4 του πίνακα, Εκτέλεση 3 - > Μας απομένει /8 του πίνακα, Εκτέλεση Χ - > Μας απομένει 1 στοιχείο του πίνακα, Στην εκτέλεση Χ είτε βρήκαμε το στοιχείο είτε όχι δηλ., έχουμε την ακολουθία, /, /4, /8,, 4,, 1, <==> 0, 1,, 3,, x Το x εκφράζει πόσες φορές εκτελούμε το while loop x x => log log => x log Biary Search Ο(log )
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 0 Πολυπλοκότητα Αναδρομικών Διαδικασιών Μέχρι τώρα συζητήσαμε τεχνικές για την ανάλυση επαναληπτικών αλγορίθμων (με while, for, κτλ.) Ωστόσο, πολλοί αλγόριθμοι ορίζονται αναδρομικά (π.χ. biary search, Fiboacci, κτλ.) Θέλουμε κάποια μεθοδολογία για να αναλύουμε την πολυπλοκότητα τέτοιων αναδρομικών εξισώσεων. π.χ. Τ() = T(/) +1000 Τ()=*T(- 1), >0 κτλ. Σημειώστε ότι υπάρχουν διάφοροι τύποι αναδρομικών εξισώσεων. Πολλοί τύποι χρειάζονται ειδικά εργαλεία τα οποία δεν θα δούμε σε αυτό το μάθημα. Ένα τύπο που θα μελετήσουμε θα είναι οι Αναδρομικές Εξισώσεις τύπου «Διαίρει και Βασίλευε» Θα τις επιλύσουμε με την Μέθοδο της Αντικατάστασης και θα τις επαληθεύουμε με το Θεώρημα Master
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 1 Ανάλυση Αναδρομικής Δυαδικής Διερεύνησης Ας ξαναδούμε την αναδρομική έκδοση της δυαδικής αναζήτησης Από ότι βλέπουμε σε κάθε εκτέλεση το biary_search μοιράζει μια ακολουθία στοιχείων σε / στοιχεία (εάν είναι ζυγός). Επομένως το πρόβλημα μεγέθους έγινε τώρα /. Σε κάθε βήμα χρειαζόμαστε και δυο συγκρίσεις (τα δυο if statemets) O χρόνος εκτέλεσης της biary_search εκφράζεται με την αναδρομική συνάρτηση: f() = f(/) + // αναδρομικό βήμα f(1) = // συνθήκη τερματισμού
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Μέθοδος της Αντικατάστασης Μέθοδος της Αντικατάστασης: Χρησιμοποιούμε το βήμα της αναδρομής επαναληπτικά, μέχρι να εκφράσουμε το Τ() ως συνάρτηση της βασικής περίπτωσης, δυνάμεις του και σταθερές τιμές. Εφαρμογή Έχουμε την αναδρομική εξίσωση της δυαδικής διερεύνησης (τύπου Διαίρει και Βασίλευε) Τ() = T(/) +, για κάθε T(1) = Τότε, αντικαθιστώντας το Τ(/) με την τιμή του παίρνουμε Τ() = T(/) + = T(/4) + + = T(/8) + + + = (Μπορούμε τώρα να μαντέψουμε ότι ) = $! +...! + #! +! + " log Επομένως η δυαδική αναζήτηση εκτελείται log βήματα
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 3 Ανάλυση Αναδρομικής Δυαδικής Διερεύνησης Στην δυαδική διερεύνηση η ακολουθία μοιράζεται ως εξής:, /, /4,,, 1. Προσοχή: Δεν σημαίνει ότι έχουμε +/+ /4+ + + 1=- 1 εκτελέσεις. Έχουμε μονάχα log εκτελέσεις Ανάλογα με το σε πόσα κομμάτια «διαιρείται» το πρόβλημα κάθε φορά, αλλάζει και η βάση του λογάριθμου. log log 3 0 = 1 1 = 3 = 4 5 6 7 3 = 8 9 10 9 = 51 10 = 104 11 = 048 30 = 1,073,741,84 0 1 1.58496501.3198095.58496501.8073549 3 3.16995001 3.3198095 9 10 11 30 Αριθμός πράξεων 0 0.63099754 1 1.61859507 1.46497351 1.63099754 1.77143749 1.8978961.09590374 5.67836778 6.30997536 6.940789 18.978961, $! /,! /4, #!!,,1 " Στοιχε ία:log, $! /3,! /9, #!!, 3,1 " Στοιχε ία:log3 Όσο μεγαλύτερη η βάση του λογάριθμου τόσο πιο λίγες εκτελέσεις του αλγόριθμου έχουμε! Ωστόσο, αυξάνονται οι συγκρίσεις σε κάθε εκτέλεση! Π.χ., δυαδική διερεύνηση: lg εκτελέσεις, 1 έλεγχο σε κάθε βήμα.
Master Theorem To Master Theorem μας επιτρέπει να βρίσκουμε ή να επαληθεύουμε την χρονική πολυπλοκότητα αναδρομικών εξισώσεων τύπου διαίρει και βασίλευε. Διαίρει και Βασίλευε: πχ. Τ() = T(/) + αλλά όχι Τ()=*T(- 1) Αυτό το θεώρημα δεν χρειάζεται να το απομνημονεύσετε αλλά μπορείτε να τον χρησιμοποιήσετε για την επαλήθευση ασκήσεων. Master Theorem: Έστω ότι η f είναι μία αύξουσα που ικανοποιεί τη λειτουργία της επανάληψης: f()=af(/b)+c d όταν το = b k, όπου k είναι ένας θετικός ακέραιος, a 1, b>1, και c,d είναι πραγματικοί αριθμοί, c 0, d 0. Τότε ισχύει: f()is{ Ο( d )&if a< b d @Ο( d log b ())&if a= b d @Ο( log b (a) )&if a> b d ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 4
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 5 Master Theorem - Εφαρμογή O χρόνος εκτέλεσης της δυαδικής διερεύνησης εκφράζεται με την αναδρομική συνάρτηση: Τ() = Τ(/) + // αναδρομικό βήμα Τ(1) = // συνθήκη τερματισμού T() = (a=1) x T ( /(b=) ) + (c=)x d=0 a=1, b=, c=, d=0 a=1 και b d = 0 = 1 a=b d T() is O( d log) T() is O( 0 log) T() is O(log)
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 6 Μέθοδος της αντικατάστασης: Παράδειγμα 1 Έχουμε την αναδρομική εξίσωση Τ() = 4 T(/) +, για κάθε T(1) = 1 Τότε, αντικαθιστώντας το Τ(/) με την τιμή του παίρνουμε Τ() = 4 T(/) + // Εκτέλεση 1 = 4(4 T(/4) + /) + // Εκτέλεση = 4² Τ(/4) + + // Πράξεις = 4³ Τ(/8) + ² + + // Εκτέλεση 3 =... = 4 k Τ(1) + k- 1 + +² + + // k = è k=log log 1 = 4 + * = + ( 1) = O( + *( log i log log i= 0 = ) 1) a=4, b=, c=1, d=1, a=4>b d = 1 = T() O( log(4) )è T() O( )
Μέθοδος της αντικατάστασης: Παράδειγμα Άσκηση Να λύσετε την πιο κάτω αναδρομική εξίσωση με την μέθοδο της αντικατάστασης (προσοχή δεν είναι τύπου διαίρει & βασίλευε) Τ(0)=1 Τ()=*T(- 1), >0 Λύση Τ() = **T(- 1) = * *(- 1)*T(- ) = 3* *(- 1)*(- )*T(- 3) = = **(- 1)*(- )*...**1*T(0) = *! ε Ο(!) ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι 7
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι -8 Εργασία 1 Να λύσετε την πιο κάτω αναδρομική εξίσωση: T(1) = 1 Τ() = T(/) +1000
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι -9 Εργασία Να λύσετε την πιο κάτω αναδρομική εξίσωση: T(1) = 1 T() = 7 T(/) + 18²
Εργασία 3 Nα υπολογίσετε τον χρόνο εκτέλεσης της παρακάτω αναδρομικής διαδικασίας λύνοντας οποιαδήποτε αναδρομική εξίσωση συναντήσετε. ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι -30 public static it recursive1(it ){ it sum=0; for ( it i=1; i <= ; i++) sum++; if (>1) retur recursive1(/); else retur 1;
Εργασία 4 Nα υπολογίσετε τον χρόνο εκτέλεσης της παρακάτω αναδρομικής διαδικασίας λύνοντας οποιαδήποτε αναδρομική εξίσωση συναντήσετε. ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι -31 public static it recursive(it ){ it sum=0; for ( it i=1; i <= ; i++) sum++; if (>1) retur (recursive(/) + recursive(/)); else retur 1;
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι -3 Περίληψη των όσων έχουμε πει Μας ενδιαφέρει να αναλύουμε την πολυπλοκότητα των αλγορίθμων που φτιάχνουμε. Έχουμε δύο επιλογές: 1. Αν υλοποιήσουμε τον αλγόριθμο και να τρέξουμε πολλά παραδείγματα έτσι ώστε να αξιολογήσουμε την απόδοση του αλγόριθμού μας.. Να εφαρμόσουμε τη θεωρητική προσέγγιση ανάλυσης αλγορίθμων. Τι κερδίζουμε επιλέγοντας το () πιο πάνω; A. Αποφεύγουμε την υλοποίηση B. Προφέρουμε απάντηση η οποία δεν βασίζεται στην υλοποίηση που έχουμε κάνει και κατά συνέπεια δεν βασίζεται στον υπολογιστή στον οποίο τρέξαμε τα πειράματα, στη γλώσσα που χρησιμοποιήσαμε για την υλοποίηση ή στις προγραμματιστικές ικανότητες του προγραμματιστή. C. Επιπλέον: Το αποτέλεσμα μας καλύπτει πληροφορίες για όλα τα πιθανά στιγμιότυπα εισόδου.
ΕΠΛ31 Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι -33 Περίληψη των όσων έχουμε πει Πως μπορούμε να υποσχόμαστε τόσα πολλά; Επειδή βασιζόμενοι στην Αρχή της Σταθερότητας αγνοούμε διάφορες σταθερές που συναντούμε: Υποθέτουμε ότι όλες οι πράξεις ενός αλγόριθμου χρειάζονται τον ίδιο χρόνο για να εκτελεστούν παρόλο που διαφέρουν στον χρόνο εκτέλεσης τους