Αριθμητική Λύση Μη Γραμμικών Εξισώσεων Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΗΣ ΙΧΟΤΟΜΙΣΗΣ 01/25/05 ΜΜΕ 203 ΙΑΛ 2 1

Αριθμητική Λύση Μη Γραμμικών Εξισώσεων Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΗΣ ΙΧΟΤΟΜΙΣΗΣ 01/25/05 ΜΜΕ 203 ΙΑΛ 2 1

Ηβάση της Μεθόδου της ιχοτόμησης Θεώρημα: Μία εξίσωση f()=0, όπου το f() είναι μια πραγματική συνεχής συνάρτηση, έχει τουλάχιστον μία ρίζα άμεσα στα σημεία 1 και f() 2 εάν f( 1 ) f( 2 ) < 0. 1 u 2 01/25/05 ΜΜΕ 203 ΙΑΛ 2 2

Ηβάση της Μεθόδου της ιχοτόμησης /2 f() Θεώρημα: Ακόμα και αν ησυνάρτησηf() στην εξίσωση f()=0 δεν έχει αντίθετο πρόσημο στα δύο σημεία, είναι δυνατό να υπάρχουν ρίζες ανάμεσα στα σημεία. u 1 2 01/25/05 ΜΜΕ 203 ΙΑΛ 2 3

Ηβάση της Μεθόδου της ιχοτόμησης /3 Θεώρημα: Αν η συνάρτηση f() στην f()=0 δεν έχει αντίθετο πρόσημο στα δύο σημεία, είναι δυνατό να μην υπάρχουν ρίζες ανάμεσα στα σημεία. f() f() u u 1 2 1 2 01/25/05 ΜΜΕ 203 ΙΑΛ 2 4

Ηβάση της Μεθόδου της ιχοτόμησης /4 Θεώρημα Αν η συνάρτηση f() στην f()=0 έχει αντίθετο πρόσημο στα δύο σημεία, είναι δυνατόν να υπάρχουν περισσότερες από μία ρίζες ανάμεσα στα σημεία. f() u 2 1 01/25/05 ΜΜΕ 203 ΙΑΛ 2 5

Ο Αλγόριθμος για την Μέθοδο της ιχοτόμησης Πρώτο Βήμα: Επιλέξτε δύο αρχικές τιμές Χ1 και Χ2 έτσι που η συνάρτηση f() να έχει αντίθετο πρόσημο στα δύο σημεία, δηλαδή f() f(1) f(2) < 0. 1 u 2 01/25/05 ΜΜΕ 203 ΙΑΛ 2 6

Ο Αλγόριθμος για την Μέθοδο της ιχοτόμησης εύτερο Βήμα: Υπολογίστε την προσέγγιση της ρίζας ως το σημείο που διχοτομεί το διάστημα που ορίζεται από τα σημεία Χ 1 και Χ 2 f() Χ 3 = ½(Χ 2 + Χ 1 ) 1 m 3 u 2 01/25/05 ΜΜΕ 203 ΙΑΛ 2 7

Ο Αλγόριθμος για την Μέθοδο της ιχοτόμησης Τρίτο Βήμα: Ελέγξτε τις ακόλουθες συνθήκες: f() Αν f( 1 ) f( 3 ) < 0, τότε η ρίζα βρίσκεται ανάμεσα στο 1 and 3 ; Τότε 1 = 1 ; 2 = 3. Αν f( 1 ) f( 3 ) > 0, τότε η ρίζα βρίσκεται ανάμεσα στο 3 and 2 ; Τότε 1 = 3 ; 2 = 2. Αν f( 1 ) f( 3 ) = 0 ή αν ½(1-2) < ΜΑΧ, τότε η ρίζα είναι στο 3 τουλάχιστον με όριο ανοχής ΜΑΧ. Σταματήστε. 1 m 3 u 2 01/25/05 ΜΜΕ 203 ΙΑΛ 2 8

Σύνοψη του Αλγορίθμου Η Μέθοδος της ιχοτόμησης ιαστήματος (Bisection Method) Για να υπολογίσετε τη ρίζα της συνάρτησης f() με όρια ανοχής ΜΑΧ και με αρχικές τιμές 1 και 2 και έτσι ώστε f( 1 ) και f( 2 ) να έχουν αντίθετο πρόσημο, DO WHILE ½(1-2) > ΜΑΧ, Set Χ 3 = ½(Χ 2 + Χ 1 ) IF f( 1 ) έχει αντίθετο πρόσημο από το f( 3 ) Set 2 = 3 ELSE Set 1 = 3 ENDIF ENDDO Η τελική τιμή του 3 είναι η προσέγγιση της ρίζας με ανοχή ΜΑΧ. Σημείωση: Η μέθοδος μπορεί να δώσει λανθασμένη τιμή για την ρίζα αν η συνάρτηση είναι μη συνεχής στο διάστημα. 01/25/05 ΜΜΕ 203 ΙΑΛ 2 9

ιαγράμματα Ροής Βασικά σύμβολα διαγραμμάτων ροής Τερματικό. Δείχνει την αρχή και το τέρμα του προγράμματος. Το τερματικό δέχεται γραμμές ροής μόνο προς μία κατεύθυνση, είτε εισερχόμενη (τέρμα) είτε εξερχόμενη (αρχικός σταθμός). Εισαγωγή ή εξαγωγή Δεδομένων. Επιτρέπει τον προσδιορισμό δεδομένων προς παρουσίαση. Διεργασία. Δείχνει μια διεργασία που εκτελεί ο υπολογιστής, π.χ. την εκχώρηση τιμών μμεταβλητές. Απόφαση. Το σχήμα του διαμαντιού δείχνει μια δομή λογικής για την λήψη απόφασης. Μια εξερχόμενη γραμμή ροής ονομάζεται «όχι» και η άλλη «ναι». Προσδιορισμένη Διεργασία. Μία εντολή αντιπροσωπεύει μία ομάδα εντολών που έχουν ορισθεί προηγουμένως. Για παράδειγμα, «υπολόγισε ν!» καταδεικνύει ότι το πρόγραμμα εκτελεί όλες τις αναγκαίες εντολές για να υπολογίσει το ν! Σύνδεσμος. Οι σύνδεσμοι εξυπηρετούν την διαύγεια του διαγράμματος με το να βοηθούν να αποφεύγεται η τομή των γραμμών ροής. Διασελιδικός Σύνδεσμος. Ακόμα και στη περίπτωση μικρών προγραμμάτων το διάγραμμα ροής μπορεί να επεκτείνεται για αρκετές σελίδες. Ο διασελιδικός σύνδεσμος δείχνει ότι η συνέχεια ακολουθεί σε άλλη σελίδα. Γραμμή ροής. Οι γραμμές ροής συνδέουν τα υπόλοιπα σύμβολα και δείχνουν την ροή των εντολών κατά την εκτέλεση του προγράμματος. 01/25/05 ΜΜΕ 203 ΙΑΛ 2 10

ιάγραμμα Ροής για την Μέθοδο ιχοτόμησης Είσοδος ΝΑΙ ιάβασε 1 και 2 ½(1-2) > ΜΑΧ? OXI Τέλος Υπολόγισε f( 1 ), f( 2 ) 3 =½( 1 + 2 ) 01/25/05 ΜΜΕ 203 ΙΑΛ 2 11

ιάγραμμα Ροής για την Μέθοδο ιχοτόμησης /2 ΝΑΙ f( 1 ) f( 3 ) < 0 1 = 1 ; 2 = 3 ΟΧΙ 2 = 2 ; 1 = 3 01/25/05 ΜΜΕ 203 ΙΑΛ 2 12

Τρόποι Υπολογισμού του Σφάλματος Απόλυτο Σφάλμα - Ορθή τιμή Προσέγγιση Πρόβλημα: για πολύ μεγάλες ή πολύ μικρές τιμές Σχετικό Σφάλμα - (Ορθή τιμή Προσέγγιση)/(Ορθή τιμή) = Απόλυτο Σφάλμα/Ορθή τιμή Συνηθίζεται περισσότερο γιατί προσφέρει ακρίβεια ανεξάρτητα του μεγέθους των τιμών που υπολογίζουμε. 01/25/05 ΜΜΕ 203 ΙΑΛ 2 13

Ας ξανασκεφτούμε την Μέθοδο ιχοτόμησης Το κριτήριο σύγκλισης που χρησιμοποιήσαμε ½(1-2) > ΜΑΧ βασίζεται στο απόλυτο σφάλμα. Αν θέλαμε να ορίσουμε ένα κριτήριο βασισμένο στο σχετικό λάθος θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε Χ 3 = ½(Χ 2 + Χ 1 ) Απόλυτο σχετικό λάθος = 100 <Δ? a new 3 old 3 = = new old 3 3 new 3 a ma νέα προσέγγιση στη ρίζα προηγούμενη προσέγγιση στη ρίζα 01/25/05 ΜΜΕ 203 ΙΑΛ 2 14

Παράδειγμα Οάξονας περιστροφής πρέπει να ψυχθεί προκειμένου να συναρμολογηθεί με την τροχαλία (διαφορετικά δεν χωράει). 01/25/05 ΜΜΕ 203 ΙΑΛ 2 15

Φυσική διεργασία Εργάζεστε στην κατασκευαστική εταιρεία που συναρμολογεί τον άξονα και την τροχαλία. Η θερμοκρασία Χ στην οποία πρέπει να ψυχθεί ο άξονας για να χωρέσει δίνεται από την εμπειρική σχέση -10 3-7 2-4 -2 f( ) = 0.5059810 + 0.38292 10 + 0.74363 10 + 0.88318 10 = 0 Χρησιμοποιήστε την μέθοδο της διχοτόμησης για να υπολογίσετε την αριθμητική τιμή της θερμοκρασίας που απαιτείται. 01/25/05 ΜΜΕ 203 ΙΑΛ 2 16

Γραφική παράσταση της συνάρτησης Είναι καλά να πάρουμε μια ιδέα της μορφής της συνάρτησης φτιάχνοντας την γραφική της παράσταση. Αυτό θα μας βοηθήσει να διαλέξουμε καλές αρχικές τιμές και να αποφύγουμε πιθανές εκπλήξεις που μπορεί να μας επιφυλάσσει η συνάρτηση. ( ) -10 3-7 2-4 -2 f = 0.5059810 0.3829210 + 0.7436310 + 0.8831810 = 0 0.02 0.015 0.01 f() 0.005-400 -300-200 -100 0 100-0.005 0 Θερμοκρασία -0.01 01/25/05 ΜΜΕ 203 ΙΑΛ 2 17

Επιλογή αρχικών τιμών Επιλέγουμε δύο αρχικές τιμές που να περικλείουν την ρίζα. f f 1 2 = 100 = 150 ( ) ( ) 100 = 1.8290210 150 = 1.290310-3 -3 01/25/05 ΜΜΕ 203 ΙΑΛ 2 18

Πρώτη επανάληψη f f f 1 = 100, 2 = 15 3 0 100 + ( 150) = = 125 2-3 ( 100) = 1.8290210-3 ( 150) = 1.290310-4 ( 125) = 2.3356210 1 2 = 125 = 150 01/25/05 ΜΜΕ 203 ΙΑΛ 2 19

εύτερη Επανάληψη = 125, 1 2 a = 150 125 + ( 150) 3 = 2 = 9.0909% f f f 1 2 ( ) = ( ) ( ) = 137.5 125 2.3356210 150 = 1.290310-4 -3 137.5 = 5.376210 = 125, = 137.5-4 01/25/05 ΜΜΕ 203 ΙΑΛ 2 20

Τρίτη Επανάληψη 1 3 = 125, = 137. 5 2 125 + ( 137.5) = = 131.25 2 f f f a = 4.7169% -4 ( 125) = 2.3356210-4 ( 137.5) = 5.376210-4 ( 131.25) = 1.5430310 01/25/05 ΜΜΕ 203 ΙΑΛ 2 21

Ρυθμός σύγκλισης Προσέγγιση της ρίζας της συνάρτησης f()=0 ως συνάρτηση του αριθμού επαναλήψεων. Επανάληψη l 2 3 % f(,3 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100 -125-125 -125-128.125-128.125-128.125-128.5156-128.7109-128.7109-150 -150-137.5-131.25-131.25-129.6875-128.9062-128.9062-128.9062-128.8086-125 -137.5-131.25-128.125-129.6875-128.9062-128.5156-128.7109-128.8086-128.7597 --------- 9.0909 4.7619 2.4390 1.2048 0.6061 0.3039 0.1517 0.0758 0.0379 2.335610-4 -5.376210-4 -1.543010-4 3.906510-5 -5.776010-5 -9.382610-6 1.483810-5 2.722810-6 -3.330510-6 -3.039610-7 01/25/05 ΜΜΕ 203 ΙΑΛ 2 22

Πλεονεκτήματα Η μέθοδος πάντα συγκλίνει δεδομένου ότι η συνάρτηση είναι συνεχής ανάμεσα στο διάστημα που ορίζουν οι αρχικές τιμές. f() f ( ) = 1 Σε κάθε επανάληψη το διάστημα διχοτομείται. 01/25/05 ΜΜΕ 203 ΙΑΛ 2 23

Μειονεκτήματα Αργός ρυθμός σύγκλισης. Ο ρυθμός σύγκλισης είναι αργός όταν μια από τις δύο τιμές είναι κοντά στην ρίζα. Αν η συνάρτηση εφάπτεται του οριζόντιου άξονα (διπλή ρίζα) τότε η μέθοδος αποτυγχάνει αφού οι τιμές της συνάρτησης στις δύο αρχικές επιλογές θα έχουν το ίδιο πρόσημο f() 01/25/05 ΜΜΕ 203 ΙΑΛ 2 24