2ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

Transcript

1 wwwaskisopolisgr ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A Α Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα, Αν: η f είναι συνεχής στο, f f να αποδείξετε ότι, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f f υπάρχει ένας, τουλάχιστον, τέτοιος, ώστε f Στη συνέχεια να γίνει γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος μονάδες 7 Α Πότε μια συνάρτηση λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Να διατυπώσετε το θεώρημα Roll να το ερμηνεύσετε γεωμετρικά Α4Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση α) Αν μια συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο του πεδίου ορισμού της, τότε δεν υπάρχει το όριο lim f β) Αν f συνεχής συνάρτηση στο διάστημα α,β με γ) Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο τότε η f είναι γνησίως μονότονη στο α,β β δ) Αν f αf β α,β η εξίσωση,τότε f για κάθε α,β f έχει μία μόνο ρίζα στο α,β, f d, α β, η f είναι συνεχής δεν είναι η μηδενική συνάρτηση, τότε η f έχει α ετερόσημες τιμές f για κάθε που ανήκει σε ένα διάστημα Δ, ε) Αν για μια παραγωγίσιμη συνάρτηση f ισχύει ότι Θέμα Β τότε η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο παράσταση δίνεται στο παρακάτω σχήμα, η συνάρτηση g f μονάδες 5 της οποίας η γραφική Β Να υπολογίσετε το όριο lim g Β Να υπολογίσετε το όριο Β Να υπολογίσετε τα όρια lim f μονάδες lim f μονάδες 5 lim f μονάδες 6 Β4 Να δείξετε ότι η Cf διέρχεται από την αρχή των αξόνων μονάδες, τέτοιο, ώστε f f μονάδες 5 Β5 Να δείξετε ότι υπάρχει Β6 Αν η γραφική παράσταση της g έχει εφαπτομένη στο σημείο A,g την ευθεία ε: y, να

2 βρείτε την εφαπτομένη της Θέμα Γ Cf στο σημείο Δίνεται η συνάρτηση Γ Να δείξετε ότι υπάρχει διάστημα wwwaskisopolisgr B, f μονάδες 5 f ln ln, 4 α,β στο οποίο να εφαρμόζεται το θεώρημα Roll για την f μονάδες 9 Γ Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει μέγιστο μονάδες 8 5 Γ Να δείξετε ότι η εξίσωση ln ln έχει ακριβώς μια ρίζα μονάδες 8 4 Θέμα Δ Δίνεται η παραγωγίσιμη στο συνάρτηση f, που ικανοποιεί τις σχέσεις: Δ Να αποδείξετε ότι Δ Να αποδείξετε ότι f f για κάθε f f f για κάθε μονάδες 5 f 8 Δ Να βρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης Δ4 Να βρείτε την πλάγια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο f 4 f Δ5 Να αποδείξετε ότι d d Δ6 Αν Ε είναι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την Cf τους άξονες, y y την ευθεία, να δείξετε ότι E f 4 Στέλιος Μιχαήλογλου

3 wwwaskisopolisgr Λύσεις Θέμα A Α Ας υποθέσουμε ότι f f Τότε θα ισχύει f f g f,,, παρατηρούμε ότι: η g είναι συνεχής στο [, ] Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση gg,αφού g f g f θεώρημα του Bolzano, υπάρχει, τέτοιο, ώστε g f, οπότε Αν η f είναι συνεχής στο α,β τα σημεία A,f,,f δεν είναι σημεία οριζόντιας ευθείας, τότε κάθε οριζόντια ευθεία y η με f f τέμνει την Cf τουλάχιστον σε ένα σημείο Επομένως, σύμφωνα με το y f(β) η f(a) Α(α,f(α)) f B(β,f(β)) y=η O a β Α Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ ένα σημείο f f το lim του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει είναι πραγματικός αριθμός Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο συμβολίζεται με f Δηλαδή: f f f lim Α Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα, παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα, f f τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε: f Γεωμετρικά, αυτό σημαίνει ότι υπάρχει ένα, τουλάχιστον,, τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της Cf στο M,f είναι παράλληλη στον άξονα των Α4 α) Λ β) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ να y O Μ(ξ,f (ξ)) Α(α,f (α)) α ξ ξ β Β(β,f(β)) Θέμα Β limg g, οπότε Β Παρατηρούμε ότι gω lim lim g ω ω ω f Β Από το σχήμα προκύπτει ότι g f για κάθε,, f οπότε lim f lim άρα g f f στο (,) είναι f

4 f y lim lim f y y y wwwaskisopolisgr Β ος τρόπος Από το σχήμα προκύπτει ότι επειδή lim g, είναι είναι lim f f f άρα σε μια περιοχή του είναι Επειδή lim Επίσης lim g άρα σε μια περιοχή του είναι f f lim Επειδή είναι f lim f f επειδή είναι ος τρόπος f g f g lim f lim g (Από το σχήμα προκύπτει ότι lim g lim g lim f lim g ) f Β4 Για είναι g f g Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο,, είναι συνεχής στο f lim g οπότε: Β5 Είναι g g η g είναι συνεχής στο, παραγωγίσιμη στο, με f f f f f f g, g Σύμφωνα με το θεώρημα Roll υπάρχει τέτοιο, ώστε f f f f f f Β6 Επειδή η ε εφάπτεται της g C στο Α είναι g f f Όμως f g άρα f f 5 g f f f f 5 5 Η εφαπτομένη της Cf στο Β έχει εξίσωση y f f y y Θέμα Γ 5 5 f ln ln ln ln 4 4 Η f είναι παραγωγίσιμη στο, με: Γ Είναι f ln ln ln 5 4

5 5 f ln ln ln ln Η f είναι παραγωγίσιμη στο, με: f ln ln ln ln f Επειδή ln για κάθε η ισότητα ισχύει μόνο για, είναι wwwaskisopolisgr ln ln f,, επειδή η f είναι συνεχής, είναι γνησίως φθίνουσα στο, είναι f f άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο είναι f f άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο, Για κάθε για κάθε, για κάθε Επειδή η f είναι συνεχής δεν είναι γνησίως μονότονη, δεν είναι -, δηλαδή υπάρχουν,, με τέτοια, ώστε f f Επειδή η f είναι συνεχής στο, ή, παραγωγίσιμη στα στο, ή, lim f lim ln αφού Γ Είναι ln lim ln lim lim DLH, ή,, εφαρμόζεται για την f το θεώρημα Roll ln ln lim lim DLH lim Δ, οπότε έχει αντίστοιχο σύνολο τιμών το Η f είναι γνησίως αύξουσα στο f lim f,f, Άρα f στο Δ επομένως η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ ln ln Είναι lim lim ln, lim lim lim οπότε DLH DLH DLH ln lim f lim Στο διάστημα Δ, η f έχει αντίστοιχο σύνολο τιμών το Επειδή f Δ υπάρχει μοναδικό Δ, τέτοιο, ώστε f Για κάθε f f f, αύξουσα στο, f Για κάθε f f f, f Δ lim f,f, f Επειδή η f είναι συνεχής στο, είναι γνησίως Η f παρουσιάζει μέγιστο στο 5 ln ln f 4 ln lim ln lim lim lim DLH 5 lim f lim ln ln 4 Γ Είναι, οπότε

6 Επειδή η f είναι συνεχής γνησίως αύξουσα στο Δ, f Δ,f, άρα f για κάθε, Είναι lim f lim 4 Δ, ln ln 5 wwwaskisopolisgr έχει αντίστοιχο σύνολο τιμών το στο οπότε έχει αντίστοιχο σύνολο τιμών το f Δ,f Επειδή το περιέχεται στο Δ τέτοιο, ώστε f Δ υπάρχει μοναδικό Επομένως η εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα Θέμα Δ Δ Για η δοθείσα σχέση γίνεται: Θεωρούμε τη συνάρτηση f f η f είναι συνεχής γνησίως φθίνουσα f f f () h, Η h είναι παραγωγίσιμη με h Για κάθε είναι Η σχέση () γίνεται: h f h f Δ Είναι h h h " " f f f f f f f Είναι f f f f f f f f Επειδή για κάθε είναι, έχουμε: f () f Επειδή η f είναι παραγωγίσιμη στο, η f είναι παραγωγίσιμη ως σύνθεση πράξεις παραγωγίσιμων f f f συναρτήσεων με f f f f Για κάθε είναι f f Για την f εφαρμόζεται το ΘΜΤ στο,,, οπότε υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε f f f f ξ f f f Είναι ξ f f ξ f f f f Από (),() f f (4) Δ Επειδή f Επειδή f lim lim είναι είναι lim f lim f Επειδή η f είναι συνεχής γνησίως αύξουσα στο A έχει σύνολο τιμών το Επειδή 8f A η f είναι γνησίως αύξουσα, η εξίσωση f 8 Δ4 Είναι f u f DLH f u u u lim lim f lim lim f u f u lim f lim lim u u, άρα η ευθεία y είναι πλάγια ασύμπτωτη της Cf στο () f A έχει ακριβώς μια ρίζα

7 f Δ5 Έστω G αρχική συνάρτηση της g στο, f d f d G G G 4 G 4 Η G είναι παραγωγίσιμη στο Τότε: wwwaskisopolisgr f, με G g, οπότε είναι συνεχής στα,,,4 παραγωγίσιμη στα,,4 Σύμφωνα με το ΘΜΤ υπάρχει ξ, ξ,4 G G G4 G Gξ gξ G G Gξ gξ G4 G 4 f f Είναι g Λόγω της σχέσης (4) για κάθε είναι f f f f g g, άρα g Είναι ξ ξ gξ gξ Δ6 Είναι G G G4 G f για κάθε, οπότε το ζητούμενο εμβαδόν είναι το E f d f f άρα d f d f d d Είναι f d f f d 4 f d f f d 4 Είναι f d f f d f d f E f (5), οπότε η (5) γίνεται: E f 4 τέτοια, ώστε