Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017

Transcript

1 Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ

2 Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Ον/πώνυμο: Θέματα Προσομοίωσης 7 Βαθμός: Θέμα Α Α. Να διατυπώσετε και να αποδείξετε το θεώρημα Ενδιαμέσων Τιμών για μία πραγματική συνάρτηση f Μονάδες 6 Α. Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού λογισμού και να δώσετε την γεωμετρική ερμηνεία του θεωρήματος. Μονάδες 5 (3) Α3. Να αποδείξετε ότι αν f a =, a και ( ) a f = a τότε Α4. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό ή Λάθος τις παρακάτω προτάσεις: Μονάδες 4. Αν μία πραγματική συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Δ, είναι συνεχής στο Δ τότε είναι και παραγωγίσιμη στο Δ. Αν για μία συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο [ a, β ], ισχύουν οι υποθέσεις του Θεωρήματος Rolle τότε η γραφική παράσταση της f θα δέχεται μία ακριβώς εφαπτομένη παράλληλη στον άξονα με τετμημένη που ανήκει στο διάστημα ( a, β ) 3. Αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα ( a, β ), τότε θα έχει πάντοτε μία ελάχιστη τιμή m και μία μέγιστη τιμή M. 4. Ισχύει ότι lim e = 5. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ενός σώματος εκφράζει την επιτάχυνση του σώματος Μονάδες Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα από 4

3 Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Θέμα Β Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f y O y Β. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της f και το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f ( ) = Μονάδες 4 Β. Να βρείτε, αν υπάρχουν τα παρακάτω όρια α) lim f β) lim f γ) lim f δ) lim f ε) lim f 6 7 Για τα όρια που δεν υπάρχουν να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Μονάδες 7 () Β3. Να βρείτε, αν υπάρχουν τα παρακάτω όρια α) lim β) lim 7 f f Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας γ) lim 8 f Μονάδες 6 () Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα από 4

4 Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Β4. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η f δεν είναι συνεχής. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Μονάδες3 B5. Να εξετάσετε αν η f παρουσιάζει ασύμπτωτες και να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Μονάδες Β6. Να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f έχει οριζόντια εφαπτόμενη. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας Μονάδες 3 Θέμα Γ Δίνεται η συνάρτηση f a ln ( ) =, > όπου a > και a Γ. Αν ισχύει f για κάθε >, να αποδείξετε ότι a Για a = e = e Μονάδες 8 Γ. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι κυρτή και στην συνέχεια να δείξετε ότι f e ln για κάθε >. Μονάδες 6 (4) Γ3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα,, και να βρείτε το σύνολο τιμών ( ], γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ ) της f. Μονάδες 6 (4) Γ4. Αν βγ, (, ) (, ) να αποδείξετε ότι η εξίσωση f ( β) f ( γ) = έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, ) Μονάδες 5 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 3 από 4

5 Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Θέμα Δ. Έστω μία συνάρτηση f : και F μια παράγουσα της f για την οποία ισχύουν: f, F συνεχής στο e f = ef για κάθε και F = Δ. Να βρεθεί ο τύπος της f Μονάδες 6 e e Δ. Αν f = να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία, τα ακρότατα και να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης f. Μονάδες 6 Δ3. Να δείξετε ότι η ευθεία y = a, a > και η γραφική παράσταση της f τέμνονται σε δύο ακριβώς σημεία με αντίθετες τετμημένες Μονάδες 4 Δ4. Να υπολογίσετε το όριο ηm συν lim f Μονάδες 5 Δ5. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του επίπεδου χωρίου Ω που περικλείεται από την γραφική παράσταση της F, την ευθεία y =, τον άξονα yy και την κατακόρυφη ευθεία = Μονάδες 4 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 4 από 4

6 Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Απαντήσεις Θέμα Α Α. Σελ. 94 Σχολικού Βιβλίου Α. Σελ. 46 Σχολικού Βιβλίου Α3. Σελ. 34 Σχολικού Βιβλίου Α4.. Λάθος. Λάθος 3. Λάθος 4. Σωστό 5. Σωστό Θέμα Β Β. Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο [,) Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο f ([,) ) = [ 4, ) Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα σε τρία ακριβώς σημεία, άρα η εξίσωση f = έχει τρείς ακριβώς ρίζες. lim = 3 Β. α) Το lim f δεν υπάρχει γιατί lim f = και f β) lim f = 4 γ) Το lim f δεν υπάρχει γιατί lim f = 5 και lim f = δ) lim f = 7 ε) lim f = lim f = 4 f > σε περιοχή του 7 άρα lim = 7 7 f lim f =. Σε περιοχή του (δηλαδή σε ένα διάστημα της μορφής Β3. α) έχουμε ότι lim f = και β) έχουμε ότι ( ε,) ε > ) ισχύει ότι f > άρα lim f σε ένα διάστημα της μορφής (, ε ) ε > ) ισχύει ότι f ( ) < άρα Επομένως το lim f γ) Ισχύει ότι lim f 8 Β4. Η f δεν είναι συνεχής: Για lim f δεν υπάρχει. = άρα lim = 8 f = γιατί το δεν υπάρχει = γιατί lim f f ( lim f = 4 και Για =, ενώ σε περιοχή του (δηλαδή f = ) lim f =. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 5 από 4

7 Για 3 6 Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 = γιατί το lim Για 4 8 f 6 δεν υπάρχει = γιατί lim f =, lim f =, f ( 8) = άρα το lim f δεν υπάρχει. Β5. Η γραφική παράσταση της f παρουσιάζει κατακόρυφη ασύμπτωτη την ευθεία = 8 γιατί lim f = 8 Β6. Τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της f παρουσιάζει οριζόντια εφαπτομένη ( δηλαδή τα σημεία για τα οποία ισχύει f = ), από το θεώρημα Fermat, είναι τα εσωτερικά σημεία του πεδίου ορισμού της f στα οποία η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο και εκατέρωθεν το δοσμένου σημείου αλλάζει η μονοτονία Άρα = 4, = 7, 3 = 9 Θέμα Γ Γ. Η f είναι συνεχής και παραγωγίσιμη ως αποτέλεσμα πράξεων συνεχών και παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Ισχύει ότι: Για =, f = a ln( ) = =. Άρα από υπόθεση έχουμε ότι f f για κάθε >. Επομένως η γραφική παράσταση της f παρουσιάζει ελάχιστο για = Ισχύει ακόμη ότι ( ) f = ( a ln ( )) f = ( a ) ( ln ( ) ) f = a ln a f = a ln a Από το Θεώρημα Fermat έχουμε ότι Γ. Για a = e ισχύει ότι f = e ln ( ) και Η f είναι παραγωγίσιμη στο (, ) f = a ln a = ln a = a = e f = e για κάθε > ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων. ( ) f = e f ( e = ) f = e ( ) f = e ( ) f > για κάθε, Παρατηρούμε ότι >, άρα η f είναι κυρτή στο Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη = είναι η ευθεία ( ε ) : y f = f ( ) Όπου f = e ln και f = e Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 6 από 4

8 Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Άρα : ln ln e y e = e y e = e e y = e ln Επειδή η f είναι κυρτή θα ισχύει ότι f y f e ln για κάθε > Γ3. Παρατηρούμε ότι >. Ισχύει ακόμη ότι Για (, ) (, ] f > για κάθε >, άρα η f είναι γνησίως αύξουσα για κάθε f = e = < f < f f <. Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα στο ισχύει Για > f > f f >. Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) f f Η f παρουσιάζει ελάχιστο για = το f = Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (, ] επομένως ( ] = Ισχύει ότι lim f lim ( e ln ( ) ) e Άρα f ((, ] ) = [, ) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) επομένως [ ) = Ισχύει ότι lim f = lim e ln ( ) ln ( ) = lim e (, ) ( ), lim ) f f f = = = γιατί lim ln = ( e ) (, ) ( ), lim ) f f f e ln ( ) ( ln ( ) ) ( ) lim lim lim lim e = = = = e e DlH Το ζητούμενο όριο γράφεται: ln ( ) lim f = lim e lim ( = ) = e f, =, ( ) Άρα ([ )) [ ) Επομένως το σύνολο τιμών της f είναι το f ((, )) = f ((, ] ) f ([, )) = [, ) Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 7 από 4

9 Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Γ4. Αν βγ, (, ) (, ) θα ισχύει ότι f ( β ) > και f ( γ ) > γιατί f ( ) > για κάθε (, ) (, ) ( Από α ερώτημα έχουμε ότι f για κάθε > και στην μελέτη της μονοτονίας δείξαμε ότι η ισότητα ισχύει μόνο για = ) Η ζητούμενη εξίσωση γράφεται διαδοχικά: f ( β) f ( γ) = ( f ( β) )( ) ( f ( γ) )( ) = g f β f g Θεωρούμε συνάρτηση = ( )( ) ( )( ) για κάθε [, ] Η g είναι συνεχής στο [, ] ως πολυωνυμική g = ( f ( β) )( ) ( f ( g) ) g =( f ( β) ) < g = ( f ( β) )( ) ( f ( g) ) g = ( f ( g) ) > Άρα g g < Από θεώρημα Bolzano έχουμε ότι θα υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε f ( β) δηλαδή η εξίσωση f ( γ) έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (, ) Θέμα Δ = g = Δ. Έχουμε ότι η F είναι μία παράγουσα της f στο άρα θα ισχύει ότι F = f για κάθε Η δοσμένη σχέση γράφεται διαδοχικά: ef ef e f = ef ef = ef ef ef = = e e ef ef F e = e = e e e F Άρα = c e F e Για = ισχύει ότι = c c = c= e F e e e Επομένως = F = e ( e ) ( e e e ) e e Και F = F = f = ( e ) ( e ) e e e e Δ. Έχουμε ότι f = f = f = e e f = = e e = e = e = = = Άρα ο πίνακας μονοτονίας διαμορφώνεται ως εξής: Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 8 από 4

10 Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 f f Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,] και ( ] e e f lim e = = = = και lim f (, ) [, ) f = Άρα ( ] Η f είναι γνησίως αύξουσα στο [, ) και [ ) e e Γιατί lim f = lim = Η f παρουσιάζει ελάχιστο για (, ) ( ), lim ) f = f f e e = lim = (γιατί lim e = και (, ) = ( ), lim ) = [, ) f f f = το f =. άρα f Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο ( ) ( ] για κάθε (, ) ([, )) [, ) f = f f = Δ3. Αρκεί να βρούμε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης f = a με a > Έχουμε ότι: Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (,) και ((, ) ) (, ) a f ((,)) άρα η εξίσωση f = a έχει μοναδική λύση στο (,) Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) και ((, )) (, ) a f ((, )) άρα η εξίσωση f = a έχει μοναδική λύση στο (, ) Επομένως η εξίσωση f = a έχει δύο ακριβώς ρίζες στο Παρατηρούμε ότι Άρα αν ρ ρίζα της f = a, δηλαδή f ( ρ) = f ( ρ) f ( ρ) = a f =. Παρατηρούμε ότι f =. Παρατηρούμε ότι e e e e f = = = f f ρ = α τότε και το ρ είναι ρίζα της εξίσωσης γιατί Δ4. Ισχύει ότι: ηµ f ηµ ηµ συν συν συν f f f Από ερώτημα Δ έχουμε ότι lim f =. Άρα lim = και lim = f f ηm συν Επομένως από κριτήριο παρεμβολής θα ισχύει ότι lim = f Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα 9 από 4

11 Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Δ5. Από το Δ ερώτημα έχουμε ότι f για κάθε Θεωρούμε συνάρτηση g = f, Η g είναι παραγωγίσιμη στο ως αποτέλεσμα πράξεων παραγωγίσιμων συναρτήσεων g = F g = f με την ισότητα να ισχύει μόνο για = Άρα η g είναι γνησίως αύξουσα στο Για g g F F F Άρα το ζητούμενο Εμβαδό δίνεται από την σχέση: e e e e e e e e E = ( F ) d = d = = = e e e e = = τµ.. e Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Σελίδα από 4