Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
|
|
|
- Ανδρόνικος Αλεξίου
- 9 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών Σχολικό έτος:
2 Περιεχόμενα ΜΕΡΟΣ 1 ο Εκφωνήσεις των θεμάτων ΘΕΜΑ Α4 ΘΕΜΑ Β6 ΘΕΜΑ Γ9 ΘΕΜΑ Δ17 Απαντήσεις-Λύσεις των θεμάτων ΜΕΡΟΣ 2 ο ΘΕΜΑ Α20 ΘΕΜΑ Β24 ΘΕΜΑ Γ39 ΘΕΜΑ Δ56 2
3 Εκφωνήσεις των Θεμάτων (Α+Β+Γ+Δ) Μ Ε Ρ Ο Σ 1 ο 3
4 ΘΕΜΑ Α Ερώτηση 1 α) Έστω μια συνάρτηση, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα Αν η είναι συνεχής στο, να δείξετε ότι για κάθε αριθμό μεταξύ των υπάρχει ένας τουλάχιστον αριθμός τέτοιος ώστε β) Έστω ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το ; Ερώτηση 2 i Πότε δύο συναρτήσεις λέγονται ίσες; ii Πότε μία συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; iii Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Πότε λέμε ότι η είναι συνεχής στο ; Ερώτηση 3 α) Πότε μια συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; β) Τι ονομάζουμε σύνθεση δύο συναρτήσεων με πεδία ορισμού αντίστοιχα; Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της ; γ) Να διατυπώσετε το κριτήριο παρεμβολής Ερώτηση 4 i Πότε μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το λέμε ότι παρουσιάζει ολικό ελάχιστο στο το ; ii Να διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano iii Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνάρτηση 1-1; 4
5 Ερώτηση 5 i Να διατυπώσετε το θεώρημα της μέγιστης της ελάχιστης τιμής ii Πότε μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της; Ερώτηση 6 Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β) πότε σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Ερώτηση 7 i Τι ονομάζεται ακολουθία; ii Πότε μπορούμε να αναζητήσουμε τα όρια ; Ερώτηση 8 iνα διατυπώσετε το θεώρημα Bolzano Ποια είναι η γεωμετρική του ερμηνεία; iiνα συγκρίνετε τους αριθμούς Πότε ισχύει η ισότητα; Ερώτηση 9 Δίνεται το πολυώνυμο Να αποδείξετε ότι: Ερώτηση 10 Δίνεται η ρητή συνάρτηση: όπου, πολυώνυμα του με, Να αποδείξετε ότι: 5
6 ΘΕΜΑ Β ΑΣΚΗΣΗ 1 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: α) Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της γ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μια λύση στο ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: i Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο ii Να λύσετε την εξίσωση iii Να βρείτε το πρόσημο της συνάρτησης ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνεται η συνάρτηση με: i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να βρείτε το σύνολο τιμών της iii Να ορίσετε την ΑΣΚΗΣΗ 4 Δίνεται η συνάρτηση με: 6
7 i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να αποδείξετε ότι η είναι 1-1 iii Να ορίσετε την ΑΣΚΗΣΗ 5 Δίνεται η συνάρτηση με: i Να βρείτε το είδος μονοτονίας της ii Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός τιμή 2011 για τον οποίο η συνάρτηση παίρνει την iii Να λύσετε την ανίσωση: ΑΣΚΗΣΗ 6 Δίνεται η συνάρτηση με : i Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα στο ii Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει ακριβώς μία ρίζα τη iii Να βρείτε το πρόσημο της ΑΣΚΗΣΗ 7 Να βρείτε το, όταν: i ii 7
8 iii ΑΣΚΗΣΗ 8 Δίνεται η συνεχής γνησίως μονότονη συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση περνάει από τα σημεία i Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση παίρνει την τιμή iii Υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε: ΑΣΚΗΣΗ 9 Δίνεται η συνάρτηση με: i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται iii Να ορίσετε την iv Να λύσετε την ανίσωση: ΑΣΚΗΣΗ 10 Δίνεται η συνάρτηση με : 8
9 i Να βρείτε το είδος μονοτονίας της ii Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται iii Να λυθεί η εξίσωση iv Να λυθεί η ανίσωση ΑΣΚΗΣΗ 11 Δίνεται η γνησίως αύξουσα συνάρτηση για την οποία ισχύει: για κάθε i Να βρείτε το ii Να βρείτε το iii Να λυθεί η εξίσωση iv Να βρεθεί το ΑΣΚΗΣΗ 12 Δίνεται η συνεχής στο συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι: i Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της περνάει από το σημείο iiνα βρείτε το ΑΣΚΗΣΗ 13 Δίνεται η συνάρτηση με: 9
10 i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να αποδείξετε ότι η είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού της iii Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται να μελετήσετε την ως προς τη συνέχεια iv Να βρείτε τα όρια: ΑΣΚΗΣΗ 14 Δίνεται η συνάρτηση η συνάρτηση με τύπο: i Να βρείτε το πεδίο ορισμού της ii Να βρείτε συνάρτηση για την οποία να ισχύει: iii Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι περιττή 10
11 ΘΕΜΑ Γ ΑΣΚΗΣΗ 1 Δίνονται οι συνεχείς στο συναρτήσεις για τις οποίες ισχύουν: για κάθε Οι γραφικές τους παραστάσεις τέμνονται στο είναι δύο διαδοχικές ρίζες της Να αποδείξετε ότι: α) η συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσημο στο β) για κάθε γ) ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: i Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση ii Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης iii Να αποδείξετε ότι για κάθε, η εξίσωση έχει μοναδική ρίζα iv Να αποδείξετε ότι υπάρχει μοναδικός πραγματικός αριθμός για τον οποίο ισχύει: 11
12 ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει η σχέση: i Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση είναι συνεχής στο, για κάθε ii Αν το σύνολο τιμών της είναι το, να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται να βρείτε την iii Να λύσετε την εξίσωση iv Να βρείτε τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων ΑΣΚΣΗΣΗ 4 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση η οποία είναι γνησίως μονότονη στο η γραφική της παράσταση διέρχεται από τα σημεία i Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να βρείτε το πρόσημο της iii Να λύσετε την εξίσωση iv Να λύσετε την ανίσωση ΑΣΚΗΣΗ 5 Δίνεται η συνάρτηση συνεχής στο για την οποία ισχύει: i Να βρείτε τις ρίζες της εξίσωσης για κάθε ii Να αποδείξετε ότι η διατηρεί πρόσημο στο διάστημα 12
13 iii Να βρεθεί ο τύπος της iv Αν επιπλέον να βρείτε το όριο ΑΣΚΗΣΗ 6 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει: για κάθε Να βρείτε: i Το όριο: ii Το όριο: iii Το όριο: iv Το ΑΣΚΗΣΗ 7 Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει: για κάθε i Να βρείτε το ii Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται iii Να βρείτε το iv Να λύσετε την εξίσωση: ΑΣΚΗΣΗ 8 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει: 13
14 i Να αποδείξετε ότι η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο για κάθε ii Αν να βρείτε τον τύπο της iii Να υπολογίσετε το όριο: iv Να υπολογίσετε το όριο: ΑΣΚΗΣΗ 9 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύει: i Να αποδείξετε ότι: για κάθε ii Να βρείτε το όριο: iii Να βρείτε το όριο: iv Να αποδείξετε ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε ΑΣΚΗΣΗ 10 i Αν 14
15 ,να βρείτε το ii Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει: για κάθε Να βρείτε το, αν είναι γνωστό ότι υπάρχει είναι πραγματικός αριθμός iii Να βρείτε το όριο: ΑΣΚΗΣΗ 11 Δίνεται η συνάρτηση για την οποία ισχύει: για κάθε i Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται να ορίσετε την ii Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα iii Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων, αν γνωρίζετε ότι αυτά βρίσκονται πάνω στην ευθεία με εξίσωση iv Να λυθεί η εξίσωση: ΑΣΚΗΣΗ 12 Δίνονται οι συναρτήσεις: i Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων ii Να ορισθεί η συνάρτηση 15
16 iii Να αποδείξετε ότι η αντιστρέφεται να βρείτε την iv Να βρείτε το είδος της μονοτονίας της συνάρτησης ΑΣΚΗΣΗ 13 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση με: i Να βρείτε τα ii Να υπολογίσετε το όριο: iii Να υπολογίσετε το όριο: iv Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα 16
17 ΘΕΜΑ Δ ΑΣΚΗΣΗ 1 Δίνεται η συνάρτηση με: i Να εξετάσετε ως προς τη μονοτονία την ii Να υπολογίσετε τα όρια: iii Να λυθεί η εξίσωση iv Να βρείτε τον πραγματικό θετικό αριθμό μ για το οποίο ισχύει: ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση για την οποία ισχύουν οι συνθήκες:, για κάθε, για κάθε i Να βρείτε το όριο ii Να βρείτε το iii Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της τέμνει τη γραφική παράσταση της συνάρτησης σε ένα τουλάχιστον σημείο με τετμημένη ΑΣΚΗΣΗ 3 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε: 17
18 για κάθε (1) η γραφική της παράσταση διέρχεται από το σημείο i Να βρείτε τα ii Αν να βρείτε την iii Να βρείτε το όριο: ΑΣΚΗΣΗ 4 Δίνεται η συνάρτηση με: i Να αποδείξετε ότι η είναι γνησίως αύξουσα ii Να βρείτε το όριο iii Να βρείτε το όριο iv Να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει μία ακριβώς ρίζα στο για κάθε 18
19 Μ Ε Ρ Ο Σ 2 ο Απαντήσεις-Λύσεις των θεμάτων (Α+Β+Γ+Δ) 19
20 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΘΕΜΑ Α Ερώτηση 1 Λύση α) Έστω ότι Αν θεωρήσουμε τη συνάρτηση, παρατηρούμε ότι: Η είναι συνεχής στο, αφού Επομένως, σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, υπάρχει τέτοιο, ώστε οπότε β) Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μια διαδικασία (κανόνα), με την οποία κάθε στοιχείο αντιστοιχίζεται σε ένα μόνο πραγματικό αριθμό To ονομάζεται τιμή της στο συμβολίζεται με Ερώτηση 2 i Δύο συναρτήσεις λέγονται ίσες όταν: έχουν το ίδιο πεδίο ορισμού για κάθε ισχύει ii Μία συνάρτηση λέγεται γνησίως αύξουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε με ισχύει: iii Έστω μια συνάρτηση ένα σημείο του πεδίου ορισμού Λέμε ότι η είναι συνεχής στο, όταν Ερώτηση 3 α) Μια συνάρτηση λέγεται γνησίως φθίνουσα σ ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε με ισχύει: β) Αν είναι δύο συναρτήσεις με πεδία ορισμού Α, Β αντίστοιχα, τότε ονομάζουμε σύνθεση της με την, τη συμβολίζουμε με, τη συνάρτηση με τύπο, όπου το πεδίο ορισμού της αποτελείται από όλα τα στοιχεία 20
21 του πεδίου ορισμού της για τα οποία το ανήκει στο πεδίο ορισμού της Δηλαδή είναι το σύνολο Είναι φανερό ότι η ορίζεται αν, δηλαδή αν γ) Έστω οι συναρτήσεις Αν κοντά στο Ερώτηση 4 τότε i Μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού θα λέμε ότι: παρουσιάζει στο ολικό ελάχιστο, το, όταν για κάθε ii Έστω μια συνάρτηση, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα Αν η είναι συνεχής στο επιπλέον, ισχύει τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε Δηλαδή, υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης στο ανοικτό διάστημα iii Μια συνάρτηση ισχύει η συνεπαγωγή: λέγεται συνάρτηση "1-1", όταν για οποιαδήποτε αν τότε Ερώτηση 5 i Αν είναι συνεχής συνάρτηση στο, τότε η παίρνει στο μια μέγιστη τιμή μια ελάχιστη τιμή ii Μια συνάρτηση δεν είναι συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού της όταν α) Δεν υπάρχει το όριό της στο ή β) Υπάρχει το όριό της στο, αλλά είναι διαφορετικό από την τιμή της, στο σημείο Ερώτηση 6 21
22 Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β) πότε σε ένα κλειστό διάστημα [α,β]; Ερώτηση 7 Μια συνάρτηση σε κάθε σημείο του (α,β) λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (α,β), όταν είναι συνεχής Μια συνάρτηση θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα κλειστό διάστημα [α,β], όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του (α,β) επιπλέον Ερώτηση 8 i Έστω μια συνάρτηση, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα Αν η είναι συνεχής στο επιπλέον, ισχύει, τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε Δηλαδή, υπάρχει μια τουλάχιστον ρίζα της εξίσωσης στο ανοικτό διάστημα Η γεωμετρική ερμηνεία του ΘBolzano είναι ότι η γραφική παράσταση της σε ένα τουλάχιστον σημείο τέμνει τον ii Για κάθε Η ισότητα ισχύει μόνο όταν Ερώτηση 9 Έστω το πολυώνυμο Έχουμε: 22
23 Επομένως Ερώτηση 10 Είναι: Επομένως,, εφόσον 23
24 ΛΥΣΕΙΣ- ΘΕΜΑ Β ΑΣΚΗΣΗ 1 α) Η συνάρτηση έχει Για κάθε με έχουμε: άρα Οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα β) Η έχει πεδίο ορισμού το, είναι συνεχής γνησίως φθίνουσα, άρα έχει σύνολο τιμών το: Είναι: (αφού ) (αφού ) 24
25 Επομένως είναι γ) Αφού το σύνολο τιμών της είναι το που περιέχει το 0, θα υπάρχει τέτοιος ώστε Επειδή επιπλέον η είναι γνησίως φθίνουσα στο, η είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης ΑΣΚΗΣΗ 2 i Η συνάρτηση έχει Για κάθε με Έχουμε: άρα Οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο ii Η είναι συνεχής στο γνησίως αύξουσα στο διάστημα αυτό Εξάλλου επομένως: iii Είναι: η είναι γνησίως αύξουσα στο, οπότε: Για κάθε, έχουμε: Για κάθε, έχουμε: ΑΣΚΗΣΗ 3 i Πρέπει: Άρα ii Για κάθε με έχουμε: 25
26 Άρα η είναι γνησίως αύξουσα στο Οπότε αφού η είναι συνεχής (πράξεις συνεχών) το σύνολο τιμών της είναι: Έχουμε: Άρα iii Η είναι 1-1 ως γνήσια αύξουσα (ii) επομένως αντιστρέφεται Για κάθε έχουμε: Άρα με 26
27 ΑΣΚΗΣΗ 4 i Πρέπει: άρα ii Έστω με Έχουμε: Άρα η είναι 1-1 iii Έχουμε: επομένως, πρέπει, Άρα iv ή ή αδύνατον 27
28 ΑΣΚΗΣΗ 5 i Η συνάρτηση έχει Για κάθε με έχουμε: άρα Οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα στο ii Έχουμε:, αφού οπότε, αφού οπότε Επειδή η είναι συνεχής γνησίως φθίνουσα στο, έχει σύνολο τιμών το: 28
29 Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα, υπάρχει μοναδικός για τον οποίο η συνάρτηση παίρνει την τιμή 2011 iii Η ανίσωση γίνεται: (αφού ) γνησίως φθίνουσα στο ΑΣΚΗΣΗ 6 i Η συνάρτηση έχει Για κάθε με έχουμε: Άρα Οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο ii Έχουμε: άρα ρίζα της επειδή η γνησίως αύξουσα στο η ρίζα αυτή είναι μοναδική iii Αφού η συνάρτηση είναι συνεχής στο ως πολυωνυμική η μοναδική της ρίζα, τότε σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano διατηρεί σταθερό πρόσημο στα διαστήματα Η είναι γνησίως αύξουσα στο άρα για κάθε ισχύει, ενώ για κάθε ισχύει 29
30 ΑΣΚΗΣΗ 7 i Θέτουμε επειδή είναι για τιμές κοντά στο 1 Επίσης: Οπότε: ii Θέτουμε:, οπότε Επίσης Άρα iii Θέτουμε:, οπότε Επίσης για τιμές κοντά στο 1, οπότε Άρα ΑΣΚΗΣΗ 8 i Είναι: αφού γνησίως μονότονη θα είναι γνησίως αύξουσα ( ) ii Η είναι γνησίως αύξουσα συνεχής στο άρα έχει σύνολο τιμών το: 30
31 iii Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα για κάθε με θα είναι Έτσι έχουμε: οπότε: Άρα σύμφωνα με το θεώρημα ενδιαμέσων τιμών θα υπάρχει τέτοιο ώστε: αφού γνησίως αύξουσα θα είναι μοναδικό ΑΣΚΗΣΗ 9 i Για να ορίζεται η, πρέπει: που αληθεύει για κάθε Άρα, το πεδίο ορισμού της είναι: ii Για κάθε με έχουμε: Οπότε η είναι γνησίως αύξουσα, άρα οπότε αντιστρέφεται 31
32 iii Έχουμε: οπότε Άρα iv Έχουμε: ΑΣΚΗΣΗ 10 i Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το Για κάθε με έχουμε: άρα Οπότε η είναι γνησίως φθίνουσα ii Η είναι γνησίως φθίνουσα άρα οπότε αντιστρέφεται iii 32
33 iv Επειδή η είναι γνησίως αύξουσα, θα ισχύει: (Σχήμα Horner) ) (αφού διότι ΑΣΚΗΣΗ 11 i Η είναι γνησίως αύξουσα στο άρα, οπότε αντιστρέφεται Θέτουμε όπου το στη δοθείσα σχέση έχουμε: ii Για η δοθείσα σχέση γίνεται: iii Είναι: (από ii) iv Είναι: αφού είναι: 33
34 Οπότε από το κριτήριο παρεμβολής θα είναι Όμοια για το ΑΣΚΗΣΗ 12 i Θέτουμε: Έτσι έχουμε: Επειδή η είναι συνεχής στο θα ισχύει: Άρα η γραφική της παράσταση περνάει από το σημείο ii Είναι, οπότε, κοντά στο Άρα 34
35 ΑΣΚΗΣΗ 13 i Για να ορίζεται η, πρέπει: Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το: ii Η είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών συναρτήσεων με, αφού για κάθε, ισχύει: iii Για κάθε με έχουμε: Άρα η αντιστρέφεται Είναι: Επειδή: 35
36 ή που αληθεύουν για κάθε, παίρνουμε: Η είναι συνεχής ως πηλίκο των συνεχών συναρτήσεων Η είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών Πράγματι για κάθε, ισχύει: Η είναι συνεχής ως σύνθεση των συνεχών Πράγματι για κάθε, ισχύει: iv Είναι: Αν θέσουμε αφού για, θα έχουμε: 36
37 Αν θέσουμε αφού για, έχουμε ΑΣΚΗΣΗ 14 i Για να ορίζεται η, πρέπει: Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το: Επίσης έχουμε: οπότε το πεδίο ορισμού της είναι: ii Ισχύει (1) Θέτουμε:, οπότε έχουμε: αφού, για κάθε Άρα η (1) γίνεται: iii ή 37
38 Για κάθε Για κάθε έχουμε Άρα η περιττή 38
39 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ ΑΣΚΗΣΗ 1 α) Η συνάρτηση είναι συνεχής στο για κάθε Έστω με Τότε από το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε που είναι άτοπο Άρα η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο β) Η συνάρτηση είναι συνεχής στο στο αφού είναι διαδοχικές ρίζες της Άρα διατηρεί σταθερό πρόσημο στο Επίσης Οπότε για κάθε γ) Είναι: Άρα από α) είναι για κάθε Οπότε Επίσης από β) Άρα ΑΣΚΗΣΗ 2 i Η συνάρτηση έχει Για κάθε με έχουμε: άρα 39
40 Οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο ii Η είναι συνεχής γνησίως αύξουσα στο άρα έχει σύνολο τιμών το: Είναι: Επομένως είναι: iii Η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα έχει σύνολο τιμών το, άρα η εξίσωση iv Έχουμε:, όπου, έχει μοναδική ρίζα Αρκεί να δείξουμε λοιπόν ότι υπάρχει μοναδικό τέτοιο ώστε Αυτό ισχύει αφού η είναι γνησίως αύξουσα στο ΑΣΚΗΣΗ 3 i για κάθε Για είναι Αφαιρώντας κατά μέλη, έχουμε: 40
41 Αφού διότι είναι δευτεροβάθμιο τριώνυμο ως προς με διακρίνουσα: Άρα: Οπότε Αλλά παρεμβολής, θα ισχύει: οπότε σύμφωνα με το κριτήριο ii Έστω με τότε Επίσης προσθέτοντας κατά μέλη, έχουμε: Άρα η είναι 1-1 επομένως αντιστρέφεται Η έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών της που είναι το Είναι: Οπότε: 41
42 Άρα iii iv Η είναι γνησίως αύξουσα στο άρα η, οπότε τα κοινά τους σημεία είναι στην Παρατήρηση: Τις προτάσεις Α) Αν η είναι γνησίως μονότονη τότε η είναι γνησίως μονότονη με το ίδιο είδος μονοτονίας Β) Aν η είναι γνησίως αύξουσα τότε τα κοινά σημεία των, (αν υπάρχουν), βρίσκονται στην ευθεία Πρέπει να τις αποδεικνύουμε για να τις χρησιμοποιήσουμε σε μία άσκηση ΑΣΚΗΣΗ 4 i Επειδή η είναι γνησίως μονότονη με είναι, η είναι γνησίως αύξουσα ii Είναι: επειδή η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα (άρα 1-1) η τιμή που μηδενίζει την είναι μοναδική Επομένως για: Άρα για κάθε για κάθε iii Αφού η είναι 1-1 έχουμε: 42
43 iv Αφού η είναι γνησίως αύξουσα έχουμε: ΑΣΚΗΣΗ 5 i Αν ρίζα της, τότε έχουμε: ή ii Επειδή η συνάρτηση, ως συνεχής στο, είναι συνεχής στο δεν μηδενίζεται στο διάστημα αυτό, διατηρεί πρόσημο στο iii Αν, τότε από τη σχέση έχουμε: Αν, τότε από τη σχέση έχουμε: iv άρα από το ερώτημα (Γ3) έχουμε: Οπότε 43
44 ΑΣΚΗΣΗ 6 i ii Επειδή για κάθε, έχουμε: Αλλά Οπότε σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής θα είναι iii Για κάθε έχουμε: Αλλά (από i ερώτημα) (από ii ερώτημα) 44
45 Άρα σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής είναι iv Αφού η συνάρτηση είναι συνεχής στο, είναι συνεχής στο Άρα ΑΣΚΗΣΗ 7 i Η σχέση ισχύει για κάθε οπότε για έχουμε: ii Έστω με, τότε έχουμε: (επειδή η είναι συνάρτηση) άρα οπότε η είναι, άρα αντιστρέφεται iii Θέτουμε όπου το έχουμε: iv Έχουμε: 45
46 ΑΣΚΗΣΗ 8 ή i Είναι για κάθε Η είναι συνεχής στο για κάθε άρα, η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ii Επειδή είναι για κάθε Άρα iii, αφού άρα iv 46
47 , αφού άρα ΑΣΚΗΣΗ 9 i Είναι για κάθε Η είναι συνεχής στο για κάθε άρα, η διατηρεί σταθερό πρόσημο στο ii Επειδή είναι για κάθε Άρα iii, αφού άρα iv 47
48 , αφού άρα ΑΣΚΗΣΗ 10 i Η σχέση ισχύει για κάθε Για, έχουμε: Για, έχουμε: iiγια, θέτουμε όπου το στη δοσμένη σχέση έχουμε: Είναι: Άρα από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε: iii Είναι: 48
49 αφού (από ii), iv Έστω Η είναι συνεχής στο Επίσης ισχύει: αφού Άρα από το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο ώστε ΑΣΚΗΣΗ 11 i Θέτουμε: Έτσι, έχουμε: ii Είναι:, για κάθε οπότε έχουμε: Αν, τότε: επομένως 49
50 Αν, τότε: επομένως Άρα iii Είναι: Αφού ΑΣΚΗΣΗ 12 i Έστω με, τότε έχουμε: άρα οπότε η είναι, άρα αντιστρέφεται Θέτουμε όπου το στη δοθείσα σχέση έχουμε: 50
51 ii Για κάθε με έχουμε: άρα οπότε γνησίως αύξουσα iii Έχουμε: iv Η είναι, οπότε έχουμε: (1) Η (1) έχει προφανή ρίζα την Έστω Για κάθε με έχουμε: άρα 51
52 Οπότε γνησίως αύξουσα στο Επομένως η ρίζα είναι μοναδική ΑΣΚΗΣΗ 13 i Για να ορίζεται η, πρέπει: Άρα το πεδίο ορισμού της είναι το: Το πεδίο ορισμού της είναι το: (πολυωνυμική) ii Το πεδίο ορισμού της είναι: Άρα για κάθε έχουμε: iii Για κάθε έχουμε: Άρα, η αντιστρέφεται Έστω, (πρέπει ) οπότε με iv Για κάθε με έχουμε: Άρα η είναι γνησίως αύξουσα Για κάθε με έχουμε: Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα 52
53 Για κάθε με Άρα η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο ΑΣΚΗΣΗ 14 i Η είναι συνεχής στο, άρα στο : συνεχής στο Άρα: ii Για έχουμε: οπότε: 53
54 iii Είναι: αφού:, οπότε από το κριτήριο παρεμβολής έχουμε: iv Θεωρούμε τη συνάρτηση Η είναι συνεχής στο (ως σύνθεση αποτέλεσμα πράξεων συνεχών) Επίσης: Άρα από το θεώρημα Bolzano έχουμε ότι η εξίσωση ΑΣΚΗΣΗ 15 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο i Είναι: 54
55 Έχουμε: Αν τότε το ή Αν τότε έχουμε: Δηλαδή υπάρχει το αν μόνο αν ii Είναι: iii Θέτουμε: για έχουμε: iv Είναι: 55
56 ΛΥΣΕΙΣ-ΘΕΜΑ Δ ΑΣΚΗΣΗ 1 i Η συνάρτηση έχει Για κάθε με έχουμε: Άρα Οπότε η είναι γνησίως αύξουσα στο iiείναι: αφού, αφού iii, (αφού η γνησίως αύξουσα άρα 1-1) η ρίζα είναι μοναδική iv Είναι: 56
57 (Διπλή ρίζα) ΑΣΚΗΣΗ 2 i Ισχύει: Για έχουμε: αλλά: Για, έχουμε: αλλά λόγω του κριτηρίου παρεμβολής έχουμε: οπότε Άρα επομένως ii Η σχέση ισχύει για κάθε άρα για οπότε έχουμε: 57
58 Αλλά συνεχής οπότε: Άρα iii Αρκεί να υπάρχει τέτοιο, ώστε Έστω Είναι: Οπότε: Επειδή η είναι συνεχής στο, ως διαφορά συνεχών συναρτήσεων, από το θεώρημα Bolzano συμπεραίνουμε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον τέτοιο, ώστε ΑΣΚΗΣΗ 3 i, άρα Η σχέση (1) για γίνεται: για έχουμε: οπότε: 58
59 Αλλά η είναι συνεχής στο 0, οπότε: ii Η σχέση (1) για γίνεται: Για η τελευταία γίνεται: Επίσης έχουμε: Άρα iii Είναι: ΑΣΚΗΣΗ 4 i Το πεδίο ορισμού της είναι το, αφού για κάθε Είναι: Για κάθε με έχουμε: 59
60 , αφού η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα Άρα οπότε η f είναι γνησίως αύξουσα ii Είναι:, αφού οπότε: iii Είναι:, αφού οπότε: iv Η f είναι συνεχής (πράξεις συνεχών), είναι γνησίως αύξουσα άρα Το περιλαμβάνεται στο σύνολο τιμών της, οπότε η εξίσωση έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο επειδή η είναι γνησίως αύξουσα, η ρίζα είναι μοναδική 60
αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο τουr Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα)
Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Πέμπτη 20 Απριλίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ /4/7 έως τις /4/7 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Πέμπτη Απριλίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω μία συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
Μεθοδική Επανα λήψή. Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου. Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες. Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.
Μεθοδική Επανα λήψή Θεωρία - Λεξιλόγιο Βασικές Μεθοδολογίες Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 4 598 Επιμέλεια Κων/νος Παπασταματίου Περιεχόμενα Συνοπτική Θεωρία με Ερωτήσεις Απαντήσεις...
A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 2016
Λύσεις των θεμάτων των Πανελλαδικών Εξετάσεων στα Μαθηματικά Προσανατολισμού 16 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ
A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8Α ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ A ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πότε μια συνάρτηση λέγεται συνεχής σε ένα σημείο του πεδίου ορισμού o της ; Απάντηση : ( ΟΜΟΓ, 6 ΟΜΟΓ, 9 Β, ΟΜΟΓ, 5 Έστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου
x είναι f 1 f 0 f κ λ
3 Ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ [Κεφάλαια, Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ Α.Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 4.. Βλέπε σχολικό βιβλίο, σελίδα 88, 89. 3. α) ΣΩΣΤΟ, διότι αν η f παραγωγίσιμη στο χ
f ( x) f ( x ) για κάθε x A
ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f() ως προς το στο σημείο 0 ;
Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα. Η θεωρία και τι προσέχουμε. x, ισχύει: lim f (x) f ( ).
Κεφάλαιο 4 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα 411 Ερώτηση θεωρίας 1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Πότε μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι συνεχής σε ένα ανοικτό διάστημα (, ) αβ; Απάντηση Μια συνάρτηση f θα λέμε
(, ) ( x0, ), τότε να αποδείξετε ότι το. x, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Αν f ( x) 0 στο
Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -4- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, /4/6 ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση
ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΩΝ ΟΜΑΔΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ, ΟΡΙΟ, ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΚΑΙ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 3 Ιανουαρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ 8//06 έως τις 05/0/07 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Ιανουαρίου 07 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α Έστω η συνάρτηση ()
1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO A. ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΣΥΝΕΧΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΟΡΙΣΜΟΣ Όταν θέλουμε να εξετάσουμε ως προς τη συνέχεια μια συνάρτηση πολλαπλού τύπου, εργαζόμαστε ως εξής
OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ OΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Έστω Α ένα υποσύνολο του Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση : ΕΣΠ Β Έστω
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ [Ενότητα Προσδιορισμός των Τοπικών Ακροτάτων - Θεώρημα Εύρεση Τοπικών Ακροτάτων του κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση.
Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα
8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)
********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής*********
********* Β ομάδα Κυρτότητα Σημεία καμπής********* 5 Για την δύο φορές παραγωγίσιμη στο R συνάρτηση ισχύει: e για κάθε R. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της δεν παρουσιάζει σημείο καμπής. Υποθέτουμε
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Παύλος Βασιλείου
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Παύλος Βασιλείου Σε όλους αυτούς που παλεύουν για έναν καλύτερο κόσμο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΟ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ -ΟΡΙΟ
2 ο Διαγώνισμα περιόδου στις Συναρτήσεις και τα Όρια
Θέμα Α ο Διαγώνισμα περιόδου 7-8 στις Συναρτήσεις και τα Όρια Α Πότε μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο α,β ; Μονάδες Α Να διατυπώσετε το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών και να κάνετε την γεωμετρική του ερμηνεία
Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :
Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την
<Πεδία ορισμού ισότητα πράξεις σύνθεση>
Συναρτήσεις 1 A Έστω μία συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης B Δίνεται η συνάρτηση Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων :, και Γ Να εξετάσετε
II. Συναρτήσεις. math-gr
II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική
Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:
Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η
Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Σάββατο 11 Νοεμβρίου 2017 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Σάββατο Νοεμβρίου 7 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Να διατυπώσετε το θεώρημα του Bolzano και να δώσετε τη γεωμετρική
Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια
Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις f, g όταν: x x 2 x x. x x g x. ln x ln x 1 και
Α ΟΜΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Να εξετάσετε αν είναι ίσες οι συναρτήσεις, όταν: () με R και (). Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Το πεδίο ορισμού της είναι A R. Επομένως A A R Α Θα εξετάσουμε αν για κάθε R ισχύει.
2η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ
ΑΠΟ 3//7 ΕΩΣ 5//8 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Παρασκευή 5 Ιανουαρίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν μία συνάρτηση f είναι
Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις
Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου
Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός
ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...
Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 2017
Ένα διαγώνισμα προετοιμασίας για τους μαθητές της Γ Λυκείου στα Μαθηματικά Προσανατολισμού Διαγώνισμα Προσομοίωσης Εξετάσεων 7 Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κων/νος Παπασταματίου Μαθηματικός Φροντιστήριο
Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους
ΨΗΦΙΑΚΌ ΒΟΗΘΗΜΑ ΥΠΠΕΘ Διαγωνίσματα ψηφιακού βοηθήματος σχολικού έτους 7-8 Με τις λύσεις τους o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 7: ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ
- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες
Τύποι - Βασικές έννοιες Όρια - Συνέχεια 37. ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες Με τη βοήθεια του παρακάτω θεωρήματος διευκολύνεται ο υπολογισμός ορίων (άλγεβρα ορίων): Αν τα όρια lim f () και lim g()
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.
Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε
Α4. δ. Α5. (i) Λάθος (ii) Λάθος (iii) Λάθος (iv) Σωστό (v) Λάθος. Φροντιστήρια ΣΥΣΤΗΜΑ Σελίδα 1. g x. και. f x g x έχουμε: Για την συνάρτηση
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΎΛΗ: Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνάρτησης ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: Οκτωβρίου 07 Θερινά Τμήματα Απαντήσεις ΘΕΜΑ Α Α. Σχολικό Βιβλίο Σελίδα 5 (Μονάδες 5) Α. Σχολικό Βιβλίο Σελίδα
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΟΜΑΔΕΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ : ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Σε κάθε ενότητα αυτού του βιβλίου θα βρείτε : Βασική θεωρία με τη μορφή ερωτήσεων Μεθοδολογίες και σχόλια
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ - ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ Επιμέλεια: Βασίλης Κράνιας wwwe-mathsgr ΑΝΑΛΥΣΗ Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση Έστω Α ένα υποσύνολο
f (x ) f (x ) f (x )f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) 1 f (x )f (x )
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 2 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 76 A2 Βλέπε Σχολικό βιβλίο
f (x ) f (x ) f (x )f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) 1 f (x )f (x )
o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 26: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A Βλέπε
Μονοτονία - Ακρότατα - 1 1 Αντίστροφη Συνάρτηση
4 Μονοτονία - Ακρότατα - Αντίστροφη Συνάρτηση Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Μονοτονία συνάρτησης Μια συνάρτηση f λέγεται: Γνησίως αύξουσα σ' ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, όταν για οποιαδήποτε,
f(x) = και στην συνέχεια
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ Ερώτηση. Στις συναρτήσεις μπορούμε να μετασχηματίσουμε πρώτα τον τύπο τους και μετά να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού τους; Όχι. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης το βρίσκουμε πριν μετασχηματίσουμε
Εισαγωγή στην ανάλυση
Εισαγωγή στην ανάλυση Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Έστω Α ένα υποσύνολο του και Α. Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α ; Απάντηση Πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α,
Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις
Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις
ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Α ΦΑΣΗ
Ε_.ΜλΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Σάββατο 7 Ιανουαρίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α A. Έστω η συνάρτηση
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΜΑ Α Άσκηση z, z μιγαδικοί αριθμοί να αποδείξετε ότι: Αν z z = z z Έχουμε: z z = z z ( z z ) ( z z ) = z z z z = z z z z z z = z z z z. Το τελευταίο
0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2
![0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2](/thumbs/59/43483993.jpg "0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2")
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α. , έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη την x 0.
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Άσκηση Θεωρούμε τον παρακάτω ισχυρισμό: «Αν η συνάρτηση την» ορίζεται στο τότε δεν μπορεί να έχει κατακόρυφη ασύμπτωτη ) Να χαρακτηρίσετε τον παραπάνω ισχυρισμό γράφοντας
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος
Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής» Γ Λυκείου, 3/3/6 ΘΕΜΑ ο : Α. Τι ονομάζουμε αρχική
- ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Κεφ. 1.3: Μονότονες Συναρτήσεις - Αντίστροφη Συνάρτηση σχολικού βιβλίου]. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Μονοτονία
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 9η Κατηγορία: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για να βρούμε τη μονοτονία μιας συνάρτησης ακολουθούμε την εξής διαδικασία: Θεωρούμε, Δ, όπου Δ διάστημα του πεδίου ορισμού
Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει
![Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει](/thumbs/62/47577709.jpg "Θεώρημα Bolzano. ΑΠΑΝΤΗΣΗ. Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει")
Θεώρημα Bolzno. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Έστω μια συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ]. Αν: η f είναι συνεχής στο [, ] και, επιπλέον, ισχύει f f 0, τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, 0 (, ) τέτοιο, ώστε f( 0
Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ 6//26 ΕΩΣ 3//26 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Κυριακή 3 Οκτωβρίου 26 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α v v Α. Έστω το πολυώνυμο
5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A
5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A A Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα στο οποίο όμως η f είναι συνεχής Αν η f διατηρεί πρόσημο στο α,,β ότι το
ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 13/04/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 3 3/04/06 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α. Τι ονομάζουμε ρυθμό μεταβολής του y = f( ως προς το στο σημείο 0 ;
ΜΕΡΟΣ Β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΜΕΡΟΣ Β ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ η Έκδοση, Ιανουάριος 7 Γιάννης Καραγιάννης
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...
1 ο Διαγώνισμα περιόδου στις Συναρτήσεις και τα Όρια
ο Διαγώνισμα περιόδου 7-8 στις Συναρτήσεις και τα Όρια Θέμα Α Α Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] Αν η f είναι συνεχής στο [, ] και f() f(), να αποδείξετε ότι, για
IV. Συνέχεια Συνάρτησης. math-gr
IV Συνέχεια Συνάρτησης mth-gr mth-gr Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grblogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ Συνέχεια Συνάρτησης Α Ορισμός Συνέχεια σε σημείο: Θα λέμε ότι μια συνάρτηση είναι συνεχής
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -2- Σχολικό Έτος
Λύσεις των θεμάτων προσομοίωσης -- Σχολικό Έτος 5-6 Λύσεις θεμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ -- Πανελλαδικών Εξετάσεων 6 Στο μάθημα: «Μαθηματικά Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας και Πληροφορικής»
1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. 2. Να βρεθεί ο λ R ώστε f(x) = ln ( x 2 +2λx+9) να έχει πεδίο ορισμού Α = R
ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α. ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους 4 ι) () = 6 + 6 iv) () = log ( log4(- )) v) () = ii) () = iii) () = log ( + ) 5 log 4 vii) () = 5 + 4 viii) ()
1o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α. βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ.
o. Θ Ε Μ Α Β Ε. Γ Κ Ο Ρ Α Δίνεται τετράγωνο με κορυφές τα σημεία Α,, Β,, Γ, και Δ, και μία συνεχής στο, συνάρτηση της οποίας η γραφική παράσταση βρίσκεται ολόκληρη μέσα στο τετράγωνο ΑΒΓΔ. B. Nα βρείτε
lim f ( x ) 0 gof x x για κάθε x., τότε
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου, ο Κεφάλαιο-Συναρτήσεις ΓΕΝΙΚΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α Πότε λέμε ότι μία συνάρτηση f είναι «-» στο πεδίο ορισμού της Α (Μονάδες7)
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ. f ( x) 0 0 2x 0 x 0
ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ) 8 ΜΑΪΟΥ 6 ΘΕΜΑ Α Α. Θεωρία, βλ. σχολικό βιβλίο
Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο. ΘΕΜΑ 2 ο. 0, αν x
Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ/ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΘΕΩΡΙΑ. Πότε δύο συναρτήσεις και g είναι ίσες;. Πότε μία συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α λέγεται " " ; 3. Πότε μία συνάρτηση λέγεται συνεχής στο σημείο o του πεδίου
ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE
ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE Αν μια συνάρτηση f είναι : συνεχής στο κλειστό [α,β] παραγωγίσιμη στο ανοιχτό (α,β) f(α)=f(β) f 0 τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον, τέτοιο ώστε ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΑ : σημαίνει ότι υπάρχει
Συναρτήσεις. Ισότητα - Πράξεις Συναρτήσεων Σύνθεση συναρτήσεων Αντίστροφη συνάρτηση. Φιλεκπαιδευτική Εταιρεία Αρσάκεια - Τοσίτσεια Σχολεία
Φιλεκπαιδευτική Εταιρεία Αρσάκεια - Τοσίτσεια Σχολεία Maθηματικά Γ Λυκείου Συναρτήσεις Ισότητα - Πράξεις Συναρτήσεων Σύνθεση συναρτήσεων Αντίστροφη συνάρτηση.. Α.Αλβέρτος, Δ.Βαμπούλης, Χ.Βραχνός, Φ.Γκάγκαρη,
, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]
![, να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]](/thumbs/65/52608485.jpg ", να αποδείξετε ότι και η συνάρτηση f+g είναι παραγωγίσιμη στο x. και ισχύει. Μονάδες 9 Α2. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και [, ]")
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 6-7 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου Θέμα Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι και
5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016
5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 6 Διάρκεια: 3 ώρες ΘΕΜΑ A Α Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Να αποδείξετε ότι αν η f είναι συνεχής στο Δ και f για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, να αποδείξετε
Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Τρίτη 10 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΑΠΟ /4/8 ΕΩΣ 4/4/8 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Τρίτη Απριλίου 8 Διάρκεια Εξέτασης: ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Έστω μία συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αν o
ln 1. ( ) vii. Να βρείτε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη C f, τον άξονα η οποία είναι συνεχής στο και για την οποία ισχύει
Μαθηματικά Γ Λυκείου Θέμα 4o Α Δίνεται η συνάρτηση h ( ), η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [, ] β αβ Να δείξετε ότι h d hαβα Β Δίνεται η συνάρτηση f α ( ) ln i Να βρείτε το πεδίο
2. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ.
Κατηγορία η Εύρεση μονοτονίας Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν έχουμε μια συνάρτηση f η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ. Αν f( ) σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))
![ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))](/thumbs/17/113546.jpg "ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))")
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ
Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.
Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική
2.8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
8 ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 49 ΟΡΙΣΜΟΣ 6 4 Πότε μια συνάρτηση λέγεται κυρτή και πότε κοίλη σε ένα διάστημα Δ ; Απάντηση : Έστω μία συνάρτηση σ υ ν ε χ ή ς σ ένα διάστημα Δ και π α ρ α γ ω γ ί
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
Κανάρη 6, Δάφνη Τηλ 9794 & 976976 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΠ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέμα Α Α Σχολικό βιβλίο σελ 86 Α Σχολικό βιβλίο σελ 8 Α δ Α4 α) Λ β) Σ γ) Σ δ) Σ ΘΕΜΑ Β
( ) f( x ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. (ενδεικτικές λύσεις)
Επώνυμο: Όνομα: Τμήμα: ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ ΤΗΛ : 777 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ ΤΗΛ : 99 9494 www.sygrono.gr Ημερομηνία: Α Βαθ. Β Βαθ. Μ.Ο. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ενδεικτικές
2ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A
wwwaskisopolisgr ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου 7-8 Θέμα A Α Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα, Αν: η f είναι συνεχής στο, f f να
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων
Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Άσκηση i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε ότι
ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. f : A R και στη συνέχεια δίνουμε τον τύπο της συνάρτησης, π.χ.
Συναρτήσεις σελ ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία (κανόνα),
1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:
Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],
![Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],](/thumbs/64/50771997.jpg "Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],")
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΕ ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΑΣΤΗΜΑ Μέθοδος Α Αν μας ζητείτε να αποδείξουμε ότι ισχύει ένα από τα εξής: Α. Η εξίσωση f() έχει μια τουλάχιστον ρίζα ξ (α,β), Α. Υπάρχει ξ (α,β) έτσι ώστε f(ξ),
ΟΜΟΣΠΟΝΔΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑΔΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2019 Β ΦΑΣΗ
ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ / ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ημερομηνία: Σάββατο 11 Μαΐου 19 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α1. Έστω f μια
θ. Bolzano θ. Ενδιάμεσων τιμών θ. Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β ΕΜΕ (Τεύχος 35) θ Bolzano θ Ενδιάμεσων τιμών θ Μεγίστου Ελαχίστου και Εφαρμογές Στο άρθρο αυτό επιχειρείται μια προσέγγιση των βασικών αυτών θεωρημάτων με εφαρμογές έ- τσι ώστε να
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση i. Έστω μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της στο Δ, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της
Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων. τέτοια ώστε. lim. και
Ασκήσεις στη συνέχεια συναρτήσεων Άσκηση η Να βρεθούν τα ολικά ακρότατα των συναρτήσεων ) x, 0, ) x x a x x x, x x x x Άσκηση η Αν : a, συνεχής στο, τέτοια ώστε x x και x x Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].
![ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].](/thumbs/52/29746903.jpg "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].")
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία
Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε x αντιστοιχεί η
Εκθετική συνάρτηση Αν α θετικός πραγματικός αριθμός, σε κάθε αντιστοιχεί η δύναμη α. Έτσι ορίζεται η συνάρτηση : f : με f α, 0 α η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α, τότε έχουμε τη σταθερή
Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται
1. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους. ii) f(x) = δ) f (x) = ζ) f (x) =
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 9o ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ Α ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων με τύπους ι) () = 4 6 6 ii) () = iii) () = log ( ) iv) () = log ( log4(- )) v) vii) () 5 4 viii) () 5 log
Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )
![Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )](/thumbs/65/53019709.jpg "Συνθήκες Θ.Μ.Τ. Τρόπος αντιμετώπισης: 1. Για να ισχύει το Θ.Μ.Τ. για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, )")
Κατηγορία η Συνθήκες ΘΜΤ Τρόπος αντιμετώπισης: Για να ισχύει το ΘΜΤ για μια συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] (δηλαδή για να υπάρχει ένα τουλάχιστον (, ) τέτοιο ώστε ( ) ( a) '( ) ) πρέπει: a Η συνάρτηση
ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 05/05/2016 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΛΥΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ 5 5/5/6 ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΜΑ ο Α Τι ορίζουμε ως εφαπτομένη (όχι κατακόρυφη) της γραφικής παράστασης C f
Απαντήσεις Διαγωνίσματος Μαθηματικών Προσανατολισμού Γ Λυκείου 03/11/2018
ΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΝΟΜΑ: ΤΜΗΜΑ: ΤΣΙΜΙΣΚΗ &ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ: 7077 594 ΑΡΤΑΚΗΣ - Κ ΤΟΥΜΠΑ THΛ: 993 9494 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: Απαντήσεις Διαγωνίσματος Μαθηματικών Προσανατολισμού Γ Λυκείου 03//08 Θέμα Α A Σχολικό βιβλίο
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΕΠΙΚΑΙΡΟΠΟΙΗΜΕΝΗ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΝΕΑΣ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμοί Μία συνάρτηση f λέγεται: 1 γνησίως αύξουσα σ' ένα υποσύνολο Β του πεδίου ορισμού της όταν για κάθε 1, Β με 1 < ισχύει ότι f( 1 ) < f( ) γνησίως φθίνουσα σ' ένα υποσύνολο Β
Ερωτήσεις-Απαντήσεις Θεωρίας
1 ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΑΡΑΓΙΑΝΝΗΣ Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΕΡΟΣ Β 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ