ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2017 Α ΦΑΣΗ

Transcript

1 Ε_.ΜλΘΟ(ε) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Σάββατο 7 Ιανουαρίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α A. Έστω η συνάρτηση f( ) (, ) και ισχύει: ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ =. Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο f () =. Μονάδες 7 Α. Πότε µια συνάρτηση f λέµε ότι είναι παραγωγίσιµη σε ένα σηµείο του πεδίου ορισµού της Μονάδες 4 Α. Έστω συνάρτηση f : Α R. Πότε η f λέγεται συνάρτηση; Μονάδες 4 Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη. (i) Αν lim f( ) = και (ii) f > κοντά στο, τότε lim f =. Κάθε συνάρτηση διατηρεί σταθερό πρόσηµο στα διαστήµατα όπου οι διαδοχικές της ρίζες χωρίζουν το πεδίο ορισµού της. v = v v για κάθε v N (iii) Ισχύει (iv) Κάθε συνάρτηση f : A R η οποία είναι - είναι και γνησίως µονότονη στο Α. (v) Για κάθε R ισχύει ηµ>. Μονάδες ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

2 Ε_.ΜλΘΟ(ε) ΘΕΜΑ Β ίνονται οι συναρτήσεις 6 f =, g =, R. και e B. Να δείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε το σύνολο τιµών της. Β. Να αποδείξετε ότι η g αντιστρέφεται και να βρείτε την B. Να ορίσετε τη παράσταση f f. g. Μονάδες 8 Μονάδες 5 B4. Να αποδείξετε ότι για κάθε,, R µε α < < < < β υπάρχει α, β R τέτοιο ώστε µοναδικό g g g g = ΘΕΜΑ Γ ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R R για την οποία ισχύουν : ( ) f( ) = κ λ για κάθε R και για κάποια κ, λ R ( f ( ) 5) f( ) 9 lim 5 = 6 f( h) 5 lim = 6 h h Γ. Να αποδείξετε ότι: f( ) = 5 και Γ. Να αποδείξετε ότι κ = και λ = 7. f =. Γ. (i) Για κ = και λ = 7 να βρείτε τo τύπο της f. Μονάδες 5 Μονάδες (ii) Aν f( ) =, R να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f εφάπτεται στη γραφική παράσταση της g µε g( ) = ln( ), (, ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

3 Ε_.ΜλΘΟ(ε) Γ4. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h( ) = e µε (, ) γραφική παράσταση της gσε ένα µόνο σηµείο του άξονα. τέµνει τη ΘΕΜΑ ίνεται η συνεχής συνάρτηση f : R R και η παραγωγίσιµη συνάρτηση g µε πεδίο g A =, για τις οποίες ισχύουν : ορισµού (, ) Α = και το σύνολο τιµών ι f ( ) f ( ) ηµ για κάθε R g( ) α e g( ) = α για κάθε (, ) και α κάποιος πραγµατικός αριθµός f( ) lim = α, α R. Να δείξετε ότι α =. Αν α =. Να αποδείξετε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα και να βρείτε την αντιστροφή της. Μονάδες 7. Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτοµένης ευθείας της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο σηµείο της µε τετµηµένη = e. 4. Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της Α. η οποία διέρχεται από το σηµείο (,) g έχει µια τουλάχιστον εφαπτόµενη ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

4 Ε_.ΜλΘΟ(α) ΤΑΞΗ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ: ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥ ΩΝ / ΣΠΟΥ ΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ηµεροµηνία: Σάββατο 7 Ιανουαρίου 7 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Απόδειξη σχολικού βιβλίου σελίδα 6 Α. Ορισµός σχολικού βιβλίου σελίδα 95 Α. Ορισµός σχολικού βιβλίου σελίδα Α5. (i) Σωστό (ii) Λάθος (iii) Λάθος (iv) Λάθος (v) Λάθος ΘΕΜΑ Β Β. Για κάθε, R µε < έχουµε < e < e e < e e < e > e e < < g < g e e e e Εποµένως η g είναι γνησίως αύξουσα στο R. Η g συνεχής στο Α g =R ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων και γνησίως αύξουσα. Εποµένως το σύνολο τιµών της είναι : ιότι: Εφόσον lim e = ( g) g A = lim g, lim g =, lim g( ) = lim = = e ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

5 Ε_.ΜλΘΟ(α) lim g( ) = lim lim = = = e e e Εφόσον lim e = άρα lim = e Β. Εφόσον η g είναι γνησίως αύξουσα είναι και εποµένως αντιστρέφεται. Το πεδίο ορισµού της g είναι το σύνολο τιµών της g, δηλαδή Α =, g Για την εύρεση της αντίστροφης έχουµε y (, ) ( g = y = y y = y e ) = e e Εποµένως = = e e y y e y y y, y y e = = ln y y g = ln, µε B. Για να ορίζεται η f f πρέπει και f( ) Af A f ηλαδή και 6 6 4, ισχύει για κάθε Εποµένως Α f f = (,) (, ) Και ο τύπος της είναι : f( ) 6 6 ( f f)( ) = f( f( ) ) = = = = = f( ) Β4. Η g συνεχής στο [ α, β ] και γνησίως αύξουσα εποµένως : g ([ α, β ]) = g ( α),g( β) Άρα ισχύει: ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

6 Ε_.ΜλΘΟ(α) g: α < < β g α < g < g β g: α < < β g α < g < g β g: α < < β g α < g < g β Με πρόσθεση κατά µέλη προκύπτει : g( ) g( ) g( ) g( α ) < g( ) g( ) g( ) < g( β) g( α ) < < g β g( ) g( ) g( ) O αριθµός ανήκει στο σύνολο τιµών της g άρα υπάρχει α, β τέτοιο g g g g( ) = To µοναδικό διότι η g είναι γνησίως αύξουσα ΘΕΜΑ Γ Γ. ιακρίνουµε τις περιπτώσεις: f( ) 5 Αν f ( ) 5 f ( ) 5 και τότε το όριο γίνεται : f( ) 5 ( ) f 5 lim = lim ( f ( ) 5), f, 5 5, = ( f ( ) 5) ( ) = ή, f( ) ( 5,5 ) Σε κάθε περίπτωση είναι άτοπο διότι Αν ( ) f 5 f 9 lim = 5 6 f = 5 f 5 = f = 5 ή f( ) = 5 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ

7 Ε_.ΜλΘΟ(α) Αν f( ) = 5 το όριο γίνεται : lim lim 5 = = 6 Αν f( ) = 5 το όριο γίνεται : Εποµένως f( ) = lim = lim =5 6 Για το όριο ( ) ( ) f h 5 f h f lim = 6 lim = 6 h h h h A τρόπος θέτουµε u h h u u = lim h u = = = άρα Εποµένως η () γίνεται h f u f f u f lim = 6 lim = 6 u u u u f( u) f( ) lim = f ( ) = u u Β τρόπος u θέτουµε u = h h = άρα u = lim h u = h Εποµένως η () γίνεται ( ) ( ) f u f f u f lim = 6 lim = 6 u u u u f( u) f( ) lim = f ( ) = u u ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 4 ΑΠΟ

8 Ε_.ΜλΘΟ(α) Γ. Για f = κ λ = η σχέση Γίνεται: = 4κ λ λ = κ ( ) Για έχουµε κ λ f( ) = ( ) Και επειδή η f συνεχής στο R άρα και στο = οπότε θα ισχύει : ( ) κ λ lim f = f lim = 5 Αντικαθιστώντας την () στην () παίρνουµε : κ κ κ lim =5 lim = 5 lim κ = 5 κ = 5 κ = Εποµένως για κ = έχουµε από () ότι: λ = 7 Γ. (i) Για κ = και λ = 7 έχουµε ( ) f( ) 7 f( ) Εποµένως f( ) της f είναι : (ii) Έστω,g( ) (, ) 7 = = ( )( ) f = f =, = 5, = f( ) και επειδή ηfσυνεχής στο = άρα ο τύπος =, R Α σηµείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g µε H εξίσωση εφαπτοµένης της C g στο Α είναι: y g = g y = g g g Για να είναι η γραφική παράσταση της f µε f( ) = εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της gπρέπει το σύστηµα ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 5 ΑΠΟ

9 Ε_.ΜλΘΟ(α) g = και να έχει λύση. g( ) g ( ) = Η g παραγωγίσιµη στο (, ) µε g ( ) = Εποµένως g = = = = = Για = η εξίσωση g( ) g ( ) = επαληθεύεται διότι g g = ln = = Άρα η f( ) = εφάπτεται στη γραφική παράσταση της συνάρτησης g στο σηµείο Α,g δηλαδή στο σηµείο Α(, ) Γ4. = = = = h e e e e = = = e e ln e ln e ln e ln ln = ln = g = Εποµένως οι εξισώσεις h( ) = και g δηλαδή έχουν τις ίδιες λύσεις. Για κάθε, (, ) µε < έχουµε =, (, ) είναι ισοδύναµες < < ln < ln < < < g < g εποµένως η συνάρτηση g είναι Με πρόσθεση κατά µέλη προκύπτει ( ) γνησίως αύξουσα στο Α = (, ) Η g συνεχής στο Α και γνησίως αύξουσα εποµένως το σύνολο τιµών της είναι g( A) = lim g( ), lim g( ) =, διότι : lim g = lim ln = = Για το lim ln( ) θέτουµε u u = lim = = εποµένως όταν Εποµένως lim ln( ) = lim ln u = ενώ u lim = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 6 ΑΠΟ

10 Ε_.ΜλΘΟ(α) lim g = lim ln = = O αριθµός ανήκει στο σύνολο τιµών της g άρα υπάρχει (, ) g( ) = το οποίο είναι µοναδικό διότι η g είναι γνησίως αύξουσα, εποµένως και h( ) =. Εποµένως η C h τέµνει την C g τέµνει τον άξονα τέτοιο ώστε σε µοναδικό σηµείο (,) ΘΕΜΑ. Ισχύει f f f lim lim lim = α = = α Για > η σχέση f ( ) f ( ) ηµ γίνεται : f ( ) f ( ) f( ) f( ) ηµ ηµ f( ) f ηµ Εποµένως: lim, lim = α = α και lim = = f( ) f( ) ηµ Άρα: lim lim α α α α Η σχέση () γράφεται α α α α α Για < η σχέση f ( ) f ( ) ηµ γίνεται : f ( ) f ( ) f( ) f( ) ηµ ηµ f( ) f ηµ Εποµένως: lim, lim = α = α και lim = = f( ) f( ) ηµ lim lim α α α α α α α α α Η σχέση () γράφεται f Και επειδή το lim = α και το όριο είναι µοναδικό τότε α =. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 7 ΑΠΟ

11 Ε_.ΜλΘΟ(α). Για α = η σχέση γίνεται: g e g α = α g e g,, = A τρόπος Έστω ότι υπάρχουν, (, ) Β τρόπος µε g( ) g e e και g( ) g( ) < ώστε g( ) g( ) τότε εποµένως e g e g άτοπο. g g Άρα g( ) g( ) < εποµένως η g γνησίως αύξουσα. Θεωρούµε τη συνάρτηση h( ) = e, (, ) Για κάθε, (, ) µε < έχουµε : < e < e ( α ) και < < < β Με πρόσθεση των (α) και (β) προκύπτει h( ) h( ) αύξουσα. Το σύνολο τιµών της h είναι : Άρα η g γνησίως αύξουσα. < εποµένως η h γνησίως h, = lim h, lim h =, g e g h g,, = = ( ) h: < h g < h g g < g Εφόσον η g γνησίως αύξουσα είναι και - οπότε αντιστρέφεται g = y = g y, y > άρα : Θέτω g( ) y y e g( ) = e y = g ( ) e y = g ( y) Εποµένως η αντίστροφη της g είναι : g = e, >. Η εξίσωση της εφαπτοµένης της g στο σηµείο της µε τετµηµένη y g e = g e e A = e είναι ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 8 ΑΠΟ

12 Ε_.ΜλΘΟ(α) k g e k e g k e e k k = = = = προφανής ρίζα και επειδή η g είναι - η ρίζα µοναδική. g Παραγωγίζοντας την e g = έχουµε Για = e γίνεται g e g g = g g( e) e g ( e) g ( e) = eg ( e) g ( e) = eg ( e) g ( e) = g e g ( e)( e ) = g ( e) = e Με αντικατάσταση στην (Α) όπου g( e) = και g ( e) = e προκύπτει : y= e e ( ) 4. Έστω,g ( ) Μ σηµείο της C, η εξίσωση της εφαπτοµένης στο Μ είναι g y g = g Για να διέρχεται η εξίσωση από το σηµείο (, ) θα πρέπει να ισχύει = ( ) για κάποιο (, ) g g e = e e = e e e e = e ( ) = e = ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: 9 ΑΠΟ

13 Ε_.ΜλΘΟ(α) Θεωρούµε τη συνάρτηση ϕ = e,, H φ συνεχής στο [,4 ] ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων. Επίσης και ηλαδή ϕ = e < ϕ = = > e e ϕ ϕ ( 4) < Άρα από θεώρηµα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον (, 4) (, ) ώστε ϕ ( ) = τέτοιο ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΣΕΛΙ Α: ΑΠΟ