Κατηγορία 1 η. Σταθερή συνάρτηση Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση f : 0, f '( x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο x του Δ

Transcript

1 Κατηγορία η Σταθερή συνάρτηση Τρόπος αντιμετώπισης: Για να αποδείξουμε ότι μια συνάρτηση είναι σταθερή σε ένα διάστημα Δ πρέπει: η συνάρτηση να είναι συνεχής στο Δ '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ 8. Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : 0, 3 ' για κάθε 0, Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση g ln είναι σταθερή στο ΛΥΣΗ για την οποία ισχύει ότι: 0,. Η συνάρτηση g είναι συνεχής στο διάστημα 0, ως πράξεις μεταξύ συνεχών συναρτήσεων. Για να αποδείξουμε ότι η g είναι σταθερή, αρκεί να αποδείξουμε ότι 0,. Έχουμε: g' ln ' ' ln ' ' g' 0 για κάθε 3 Όμως για κάθε 0, ισχύει ότι: ' ' 3 Άρα έχουμε: ' ' 3 g 37

2 0. Άρα η συνάρτηση g είναι σταθερή στο 0,. Παρατήρηση Αν μια συνάρτηση είναι συνεχής στο Δ και '( ) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ όμως το Δ δεν είναι διάστημα αλλά ένωση διαστημάτων τότε δεν είναι σίγουρο ότι η συνάρτηση είναι σταθερή. 8. Έστω, g συναρτήσεις παραγωγίσιμες στο, με g 0, για κάθε. Eπίσης για κάθε ισχύει: ' g g' g Να αποδειχθεί ότι υπάρχει σταθερά c, ώστε για κάθε να ισχύει: cg e. ΛΥΣΗ Έχουμε cg e ce c g g e Αρκεί να δείξουμε ότι η συνάρτηση h είναι σταθερή. g e Η συνάρτηση h είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων ' g e g' e g e h ge g e ' ' g g g g g 0 Άρα h ge 0. g e g e Οπότε h c. g e 38

3 Κατηγορία η Εύρεση τύπου συνάρτησης Τρόπος αντιμετώπισης: ος τρόπος Όταν θέλουμε να βρούμε τον τύπο της συνάρτησης τότε: Αποδεικνύουμε ότι η συνάρτηση είναι σταθερή. Άρα c. Αν γνωρίζουμε και την τιμή ενός 0 βρίσκουμε και το c αφού c Δίνονται οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις, g: g' για κάθε. 3 3 α) Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση h g β) Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης h, αν 0 και ΛΥΣΗ α) Για την συνάρτηση h έχουμε με ' g και είναι σταθερή στο. g 0. Η συνάρτηση h είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων στο και το πεδίο ορισμού της είναι διάστημα. 3 3 h' g ' 3 ' 3 g g' Άρα η συνάρτηση h είναι σταθερή. 3 g 3g 0 β) Για να βρούμε τον τύπο της h, αρκεί να βρούμε την τιμή της σε ένα 0, διότι η h είναι σταθερή. Όμως για 0 παίρνουμε: h g Άρα h 9 για κάθε

4 8.4 Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση : κάθε. Αν 0 και 0 για κάθε, να αποδειχθεί ότι: α) η συνάρτηση β) e για κάθε. ΛΥΣΗ α) Για την συνάρτηση G έχουμε έχει την ιδιότητα: ' G ln είναι σταθερή συνάρτηση στο, για Η συνάρτηση G είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων στο και το πεδίο ορισμού της είναι διάστημα. ' G' ln ' 0 για κάθε Άρα η G είναι σταθερή. G cln c β) Είναι: Στη σχέση αυτή θέτουμε 0 και έχουμε: ln 0 cc0 διότι ln 0 ln e για κάθε Άρα Έστω μια συνάρτηση : 0,, για την οποία ισχύει ' e κάθε 0 και e. Να δείξετε ότι e, 0. για ΛΥΣΗ Αρκεί να δείξουμε ότι e 0, για κάθε 0 δηλαδή σταθερή με c 0 Έστω η συνάρτηση g e, 0 Η συνάρτηση g είναι συνεχής ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων και το πεδίο ορισμού της είναι διάστημα. Για κάθε 0 έχουμε: ' e e g' ' e e ' e e 40

5 ' e e e 0 Άρα g c e c e c Όμως 0. Οπότε e e c e c e, 0. Τρόπος αντιμετώπισης: ος τρόπος Όταν θέλουμε να βρούμε τον τύπο της συνάρτησης τότε: Φέρνουμε την σχέση που μας δίνουν στην μορφή g όπου g συνάρτηση με γνωστό τύπο. Βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση της g δηλαδή μια συνάρτηση G για την οποία ισχύει οπότε έχουμε ( ) G g( ) G Από γνωστό θεώρημα προκύπτει ( ) G c. Αν γνωρίζουμε και την τιμή ενός 0 βρίσκουμε και το c αφού G c Να βρείτε το τύπο της συνάρτησης : όταν:, 0, και ' 3 3 ΛΥΣΗ. Για κάθε 0 έχουμε: ' 3 ' 3 ' ' ln ' 3 Οπότε ln c ln c c ln. ' 3 ln 4

6 Άρα 3 ln ln, Να βρείτε το τύπο της συνάρτησης : όταν:, και ' 0 ΛΥΣΗ Για κάθε έχουμε: ' ' ' ' ' ' c Είναι 0 0cc. Άρα 8.8 Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση, αν ισχύουν ' ln για κάθε 0, 0. ΛΥΣΗ Για κάθε 0 ισχύει ' ln ' ln ln ' ln '. Αφού Είναι 0c 0. Άρα ln. ' ln ' ln c, c. 8.9 α) Να βρεθεί η συνάρτηση που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύουν '' 0, 0 και 4 β) Να βρεθεί η συνάρτηση που είναι δύο φορές παραγωγίσιμη και ισχύουν '' 0, ' 0 και η συνάρτηση g 4 έχει ρίζα το -3. ΛΥΣΗ 4

7 α) Αφού '' 0, είναι ' και. Είναι Άρα, 5. β) Αφού '' 0, είναι ' και Είναι ' 0 0, άρα. Επειδή η συνάρτηση g 4 έχει ρίζα το 3 ισχύει g αφού Άρα Τρόπος αντιμετώπισης: 3 ος τρόπος Όταν θέλουμε να βρούμε τον τύπο της συνάρτησης εφαρμόσουμε τους παραπάνω τρόπους τότε: και δεν μπορούμε να Φέρνουμε την σχέση που μας δίνουν στην μορφή h g όπου g συνάρτηση με γνωστό τύπο και h συνάρτηση που περιέχει την ( ). Από γνωστό θεώρημα προκύπτει ( ) Λύνουμε ως προς ( ). h g c 8.0 Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση :, ln ' για κάθε και e ΛΥΣΗ Για κάθε ισχύει για την οποία ισχύει e. Να βρεθεί η. ln ' ' ln ' ln ln ' 0 43

8 :ln 0 αφού ln ' ln ln ' ln 0 είναι συνεχής ως πηλίκο συνεχών συναρτήσεων. Για e είναι e cln ec e. Άρα e ln. 8. Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση : ' 0 για κάθε c c ln ln ln. Αν με 0 και, να βρείτε τον τύπο της. ΛΥΣΗ Για κάθε ισχύει ' 0 ' ' ' c Αφού συνεχής. () 0 ) Για 0 προκύπτει 0 0cc 4. (αφού Άρα 4 0. Η είναι συνεχής και δε μηδενίζεται. Επομένως, η διατηρεί σταθερό πρόσημο. Είναι 0 0 οπότε 0 για κάθε. Άρα 4,, που είναι το ζητούμενο. 8. Έστω μια συνάρτηση : 0, με 0 και ' ln. Αν e. Αν e, για κάθε 0 ΛΥΣΗ, να βρείτε τον τύπο της. 44

9 ' έχουμε: ln ' 'ln Για κάθε 0 ' ln ln 0 ln ' 'ln 0 0 ln ln ' 0 cln c () ln Αφού συνεχής. Για η () γίνεται: ln cln e cc. ln e, 0 Άρα Τρόπος αντιμετώπισης: Όταν έχουμε μια σχέση της μορφής g ' 0 τότε Βρίσκουμε μια αρχική συνάρτηση G της g δηλαδή μια συνάρτηση G για την οποία ισχύει G( ) g( ). Πολλαπλασιάζουμε την εξίσωση με G( ) e και έχουμε G( ) G( ) G( ) G( ) ' e g e 0 ' e G( ) e 0 G( ) G( ) G( ) ' e e 0 e Με τον ίδιο τρόπο συμπεριφερόμαστε και αν έχουμε μια σχέση της μορφής 'g h 8.3 Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδειχθεί η ισοδυναμία ' g' 0 c e g, c σταθερά. ΛΥΣΗ 45

10 Για κάθε ισχύει g e g g g g g ' g' 0 ' e e g' 0 ' e e ' 0 e ' 0 Αφού e g συνεχής. Άρα αποδείχθηκε η ισοδυναμία ' ' 0 g g e c c e. g c e g,. 8.4 Να βρεθεί η συνάρτηση : ' και όταν για κάθε ισχύει: ΛΥΣΗ Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με e : ' ' e e e ' e ' e e c ce Αλλά cc, οπότε e. Τρόπος αντιμετώπισης: Αν συνάρτηση : c. τότε για κάθε ισχύει ( ) ( ) ( ) ce με 8.5 Έστω μια συνάρτηση :0, ', για κάθε 0 ΛΥΣΗ και η οποία είναι συνεχής και ισχύουν e. Να βρείτε την. Για κάθε 0 έχουμε: ' ' ' ' ' ' ' ' ' () 46

11 Άρα ce ce, 0 Είναι e c e e c. Άρα e, 0. Επειδή η είναι συνεχής στο 0 έχουμε: e Επομένως e, για κάθε 0,. 0 lim lim Κατηγορία 3 η Εύρεση τύπου συνάρτησης σε ένωση διαστημάτων Τρόπος αντιμετώπισης: Όταν θέλουμε να βρούμε τον τύπο της συνάρτησης σε ένωση διαστημάτων. Αν έχουμε 0 για κάθε a,, γράψουμε όμως δεν μπορούμε να c αφού το ανήκει σε ένωση διαστημάτων. Γράφουμε c, a,. c,, Όμοια αντιμετωπίζουμε και την περίπτωση g,, a. για κάθε 8.6 Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : 3 και ' για κάθε 0, για την οποία ισχύουν. α) Να αποδείξετε ότι για τη συνάρτηση g ισχύει β) Να βρείτε τον τύπο της. ΛΥΣΗ g' 0 για κάθε 47

12 α) Για κάθε,00, έχουμε: ' ' g ' 0 β) Για κάθε,00, ισχύει ότι ώστε: g Δηλαδή για 0 και για 0 c, 0 c, 0 είναι: g c c g' 0, άρα υπάρχουν σταθερές c και c, c c είναι: g c c Δηλαδή είναι: c c, 0., 0 Επίσης ισχύουν: c 3 3 c 3 c c 8 Τελικά είναι: 3, 0. 8, Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση : 3 3 και: ' για κάθε 0. Να βρείτε τον τύπο της. ΛΥΣΗ 4, για την οποία ισχύουν 48

13 Για κάθε,00, ισχύει ότι: 3 ' ' 3 ' 3ln 3 ln c, 0 Άρα υπάρχουν σταθερές c και c, ώστε: 3 ln c, 0 Όμως είναι: 43ln c 4 c 4 c 3 33ln c 3c 3c Τελικά είναι: 3ln 3, 0. 3ln, 0 Τρόπος αντιμετώπισης:. Αν η συνάρτηση ορίζεται σε ένα διάστημα a, και έχουμε 0 κάθε a,, τότε γράφουμε: 0 0 c, a, 0 c, 0. c, 0, για Αν επιπλέον η συνάρτηση είναι συνεχής στο a, τότε από την συνέχεια της στο 0 παίρνουμε lim lim c c c Όμοια αντιμετωπίζουμε και την περίπτωση g,, a. 0 0 για κάθε 49

14 8.8 Δίνεται η συνεχής συνάρτηση : α) Να αποδειχθεί ότι ' β) Αν 3 7, να βρεθεί ο τύπος της. για την οποία ισχύει: ' 5 για κάθε για κάθε. ΛΥΣΗ α) Για παίρνουμε: 5 ' ' β) Από το ερώτημα (α) έχουμε: ' ' για κάθε c για κάθε. Όμως το δεν είναι διάστημα και έτσι δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι Οπότε γράφουμε: c,, c, Η συνάρτηση είναι συνεχής στο, οπότε είναι συνεχής και στο 0. Έτσι έχουμε: lim lim c c, δηλαδή c c 3 793c 7c Έχουμε ακόμη: Επομένως c c c 3. και Τελικά προκύπτει ότι:, 3,,, 50

15 Κατηγορία 4 η Θεωρητικές - Συνδυαστικές 8.9 Έστω : και 0. μια συνάρτηση για την οποία ισχύει ', α) Να δείξετε ότι 0, β) Να βρείτε την. ΛΥΣΗ α) Για κάθε, έχουμε ' (), οπότε 0. Επειδή η είναι παραγωγίσιμη, είναι και συνεχής. Οπότε διατηρεί σταθερό πρόσημο. Αφού 0 0 είναι και 0, για κάθε β) Αν στη θέση του βάλουμε το, έχουμε Από () και () έχουμε: ' ' ' ' 0 ' ' 0 ' 0 c, ', () Για 0, έχουμε 0 0cc Άρα ' ' 0 Είναι 0c e c, άρα e, ce, 8.0 Έστω οι συναρτήσεις, g : για τις οποίες ισχύει '' g'' () για κάθε. Οι, τέμνονται πάνω στον άξονα y' y και οι εφαπτομένες τους στο 0 είναι g παράλληλες. Να λυθεί η ανίσωση g. ΛΥΣΗ 5

16 Επειδή οι, τέμνονται πάνω στον άξονα ' g y y, είναι 0 g0 Επειδή οι εφαπτομένες των, g στο 0 είναι παράλληλες ισχύει ' g' (3) Έχουμε τη σχέση (): '' g'' για κάθε Από την (4) για Από την (5) για 0 ' g' c (4) (5) g c c προκύπτει προκύπτει 3 ' g'c c. 0 g 0 c c 0. Επομένως, από την (5) προκύπτει g g (6) 6 (). Είναι g g0 0 0,0,. Σύνθετες ασκήσεις Τρόπος αντιμετώπισης: Ασκήσεις που θέλουμε να βρούμε τον τύπο της συνάρτησης και μας δίνεται η σχέση ος τρόπος g h με g,h γνωστές συναρτήσεις τότε: Λύνουμε την y g ως προς. Αντικαθιστούμε το που βρήκαμε στην αρχική σχέση οπότε γίνεται με κ γνωστή συνάρτηση Βρίσκουμε την συνάρτηση με τις μεθοδολογίες της κατηγορίας. 5

17 Τρόπος αντιμετώπισης: ος τρόπος Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της αρχικής σχέσης με g Δημιουργείται η σχέση g g g h g g h.. Βρίσκουμε την συνάρτηση με τις μεθοδολογίες της κατηγορίας. 8. Έστω μία παραγωγίσιμη συνάρτηση : ' Να βρεθεί η εφαπτομένη της () για κάθε και στο 0 για την οποία ισχύει 0. ΛΥΣΗ Η είναι παραγωγίσιμη, επομένως σε κάθε σημείο της ορίζεται εφαπτομένη ευθεία της Η εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας στο 0 είναι y ' Από την () για () προκύπτει ' 3. Θα υπολογίσουμε το Έχουμε ',. πολ/ζουμε με ' ' ' c 3 4 c, 3 Άρα.. 4 ' για 0 είναι 0cc. Άρα, 3 7 για προκύπτει. Άρα από τη () η εξίσωση της εφαπτομένης ευθείας είναι 3 y 7 3 y 7 36 y

18 8. Έστω η συνάρτηση : 0, ' 4, 4 Να βρεθεί η. ΛΥΣΗ Έχουμε 93 5 και '' 3 για κάθε. Πολ/ζουμε με ' ' '' 3 3 ' c δύο φορές παραγωγίσιμη για την οποία ισχύει '' 3 για κάθε. ' ' 6 3 ' ' ' Για Άρα είναι ' 3 ' 443cc. ' ' ' 3 ' ' c 4 c Για t προκύπτει t t t t c Για c c t t t t t t t t t t. 5 5 t είναι 5 Επομένως Με αλλαγή συμβολισμού είναι

19 8.3 Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση : περιπτώσεις: ' α) για κάθε, β) ' e e 0 για κάθε, σε καθεμία από τις παρακάτω ΛΥΣΗ α) Η μορφή των δεδομένων μπορεί να μας οδηγήσει σε λογικό λάθος. Πραγματικά, από τη σχέση ' δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι: 3 ' 3 0 για κάθε ή Για τον λόγο αυτό και επειδή 3 3, γράφουμε: 3 3 ' 0 c, 0 για κάθε ' ' 3 0 Αυτή για 0 δίνει 0 Άρα: c, διότι e e e e c, β) Επειδή ' e e ' και e e e, γράφουμε: ' e e 0 e ' e e 0 ' 0 ' 0 Αυτή για 0 δίνει 0 0. c, διότι Άρα 0 0 e e e. 8.4 Μια συνάρτηση : ' Αν η γραφική παράσταση είναι δύο φορές παραγωγίσιμη με: για κάθε α) να αποδειχθεί ότι '' για κάθε 0, β) να βρεθεί το σημείο επαφής των και της εφάπτεται στην ευθεία :4 y 0, γ) να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις με τη δοσμένη ιδιότητα. τότε: 55

20 ΛΥΣΗ α) Παραγωγίζουμε τη δοσμένη σχέση και παίρνουμε: ' ' ' ' '' ' 0 '' ''. β) Έστω ότι η εφάπτεται της ευθείας στο σημείο, ' 4 και 4 () Από την υπόθεση έχουμε: ' Αυτή για Άρα δίνει:. Τότε θα ισχύει: ' ή, ή,, δηλαδή το σημείο επαφής είναι ή το, 5, 3. γ) Η σχέση '' ισχύει για κάθε 0, δηλαδή για κάθε. Όμως το διάστημα και έτσι δεν μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ' c,. Για τον λόγο αυτό εργαζόμαστε ως εξής: '' ' ', 0 ή το δεν είναι οπότε: c, 0 ', 0 c, 0 Η Άρα ' είναι όμως συνεχής στο 0 0 (ως παραγωγίσιμη), οπότε: lim ' lim ' ' 0 c c 0 0 ' για κάθε. Έτσι ' ' ' c Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις:, 5 : Τότε 5 και επειδή ' 4, παίρνουμε: Επομένως ' c5c

21 , 3 : Επειδή 3 και Επομένως ' 4, θα είναι: ' c3c 0. Οι ζητούμενες συναρτήσεις είναι λοιπόν οι: και Μια παραγωγίσιμη συνάρτηση : έχει την ιδιότητα: ' e για κάθε Αν η έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων, να αποδειχθεί ότι: α) η ' είναι άρτια συνάρτηση, β) 0 0, γ) για κάθε. ΛΥΣΗ α) Από την υπόθεση είναι: ' Επειδή η e () έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων, θα ισχύει: () Παραγωγίζουμε τη σχέση αυτή: ' ' ' ' ' ' ' για κάθε Άρα η ' είναι άρτια. β) Στη σχέση () θέτουμε 0 και παίρνουμε: γ) Η σχέση () γράφεται: Για 0 αυτή δίνει 0 ' ' ' e e e e e e c e cc 0. Άρα e e. 57

22