Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. Ημερομηνία: Κυριακή 30 Οκτωβρίου 2016 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Transcript

1 ΑΠΟ 6//26 ΕΩΣ 3//26 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Κυριακή 3 Οκτωβρίου 26 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α v v Α. Έστω το πολυώνυμο P ( ) αv αv... α α και R. Να αποδείξετε ότι lim ( ) ( ). o Μονάδες Α2. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες ; Μονάδες 5 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α) Κάθε συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη. β) Ισχύει ότι lim ημ. γ) Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy. δ) Αν η συνάρτηση f είναι - τότε ισχύει ΘΕΜΑ Β ε) Αν είναι lim f( ) f f για κάθε Df, τότε f( ) κοντά στο Δίνονται οι συναρτήσεις f ( ) e 5 και g( ) ln. Μονάδες Β. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g και στη συνέχεια να ορίσετε την συνάρτηση h f g. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 3

2 ΑΠΟ 6//26 ΕΩΣ 3//26 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ Β2. Αν h( ) ln 5 με : α. Να μελετήσετε τη συνάρτηση h ως προς τη μονοτονία. β. Να λύσετε την ανίσωση ln Μονάδες 7 Β3. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f αντιστρέφεται και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο (-4, ). Β4. Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ αν ΘΕΜΑ Γ e 2 e Έστω f : μία συνάρτηση με f, για την οποία ισχύει 3 f ( ) f ( ) e,. Γ. Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της συνάρτησης g( ) e,. Γ2. Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της συνάρτησης f. Γ3. Να δείξετε ότι η f αντιστρέφεται. Γ4. Να λύσετε την εξίσωση f f f ΘΕΜΑ Δ Έστω :, 3 ( ) ( ). Μονάδες 8 Μονάδες 4 Μονάδες 7 f μία συνάρτηση, για την οποία ισχύει ( f e ) e, για κάθε. Θεωρούμε επιπλέον τη συνάρτηση 5 : οποία ισχύει g 2 ( ) g( ) ln g( ), για κάθε. ( ) ln, Δ. Να δείξετε ότι f g με,. g, για την Δ2. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο πεδίο ορισμού της και f στη συνέχεια να λύσετε την ανίσωση e. Μονάδες 7 ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 2 ΑΠΟ 3

3 ΑΠΟ 6//26 ΕΩΣ 3//26 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ Δ3. Να δείξετε ότι η συνάρτηση g αντιστρέφεται και στη συνέχεια να βρείτε τη συνάρτηση g. Δ4. Να λύσετε την εξίσωση g f ( ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 3

4 ΑΠΟ 6//26 ΕΩΣ 3//26 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερομηνία: Κυριακή 3 Οκτωβρίου 26 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Απόδειξη Α2. Ορισμός Α3. α. Λάθος β. Σωστό γ. Σωστό δ. Σωστό ε. Λάθος ΘΕΜΑ Β Β. Df και Dg (, ). Για να ορίζεται η f g πρέπει: Dg και g( ) Df ή ισοδύναμα ln δηλαδή πρέπει. Επομένως ορίζεται η h f g και είναι ln h( ) ( f g)( ) f ( g( )) f (ln ) e ln 5 ln 5 για κάθε (, ). Β2. α) Για κάθε, 2(, ) με 2 έχουμε: ln ln 2 οπότε ln ln ln 5 ln 5 h( ) h( ) Άρα η h είναι γνησίως αύξουσα στο (, ). β) ln ln 5 4 h( ) h() 2 Β3. Για κάθε, 2 με 2 έχουμε e e οπότε 2 2 e e e e f f 5 5 ( ) ( ) ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: ΑΠΟ 4

5 ΑΠΟ 6//26 ΕΩΣ 3//26 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα επομένως -, άρα αντιστρέφεται. Αρκεί τώρα να δείξουμε ότι ισχύει. f ( 4) f () 4 e που Β e e 2 e ( 4) 5 e ( 2) 5 f f( 4) f( 2) ή 2. ΘΕΜΑ Γ Γ. Παρατηρούμε ότι g () e. 2 2 Για κάθε, 2 με 2 έχουμε e e οπότε e e 2 e e g g ( ) ( ). 2 2 Άρα η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα στο. 2 g g Για g( ) g() g( ) και για g( ) g() g( ). f ( ) f ( ) e f ( ) f ( ) e 3 2 Γ2. Έχουμε e f( ), 2 f ( ). Οι ρίζες και το πρόσημο της f είναι ίδια με τις ρίζες και το πρόσημο της g( ) e Οπότε f (). Για > είναι f()> και για < είναι f()<. Γ3. Είναι 3 3 f ( ) f ( ) e f ( ) f ( ) g( ),. Η συνάρτηση g είναι γνησίως αύξουσα άρα -. Έστω, 2 με f ( ) f ( 2) οπότε f ( ) f ( ) και επομένως ( ) ( ) ( 2) ( 2) ( ) ( 2) g 2 f f f f g g. Άρα η συνάρτηση f είναι - οπότε αντιστρέφεται. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 2 ΑΠΟ 4

6 ΑΠΟ 6//26 ΕΩΣ 3//26 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ Γ f f f f f f g ( ( ) ( )) ( ) ( ) () ( ) ΘΕΜΑ Δ Δ. Είναι ( f e ) e (). Θέτουμε e y e y, με y οπότε e και ln( y ) με y. y Η σχέση () γίνεται f ( y) ln y, y. y ( ) ln, Άρα f. Δ2. Για κάθε, 2(, ) με 2 έχουμε ln( ) ln( ) και ln( ) ln( 2) 2 2 ln( ) ln( ) 2 f ( ) f ( ). 2 Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. οπότε Έχουμε f f ( ) f ( ) f ( ) e e e f f f f () ln. ln ln ( ) ( ) (). g 2 ( ) g( ) ln g( ), () Δ3. Για κάθε, 2 με g( ) g( 2) έχουμε g ( ) g ( ) οπότε g ( ) g( ) g ( ) g( ) g ( ) g( ) g ( ) g( ) και ln g( ) ln g( 2). ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 3 ΑΠΟ 4

7 ΑΠΟ 6//26 ΕΩΣ 3//26 η ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ g ( ) g( ) ln g( ) g ( ) g( ) ln g( ). 2 2 Επομένως Άρα η συνάρτηση g είναι -, επομένως αντιστρέφεται. Θέτουμε g( ) y g ( y) οπότε: 2 2 ( y y )ln y g ( y) g ( y) ( y y )ln y, y () Άρα 2 g ( ) ( )ln,. Δ4. g f ( ) f ( ) g () f ( ) αφού f () και η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. ΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΡΟΟΡΙΖΟΝΤΑΙ ΓΙΑ ΑΠΟΚΛΕΙΣΤΙΚΗ ΧΡΗΣΗ ΤΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΩΝ Ωρίωνας ΣΕΛΙΔΑ: 4 ΑΠΟ 4