Η εξίσωση Black-Scholes

8 Η εξίσωση Black-Scholes 8. Μια απλή αγορά Θεωρούμε ότι έχουμε μια αγορά που έχει μόνο δύο προϊόντα. Το ένα είναι η δυνατότητα κατάθεσης σε μια τράπεζα (ισοδύναμα, αγορά ομολόγων της τράπεζας) και το άλλο είναι μετοχές μιας εταιρίας. Συμβολίζουμε την τιμή της μονάδας για καθένα από αυτά τη χρονική στιγμή με β και S αντίστοιχα. Υποθέτουμε ότι οι τιμές αυτές εξελίσσονται ως εξής dβ = rβ d, (8.) ds = S µd + S σdb, (8.) όπου r, µ, σ > 0 δεδομένες σταθερές. Για την τιμή του ομολόγου μπορούμε να γράψουμε αμέσως β = β 0 e r για κάθε 0. Δηλαδή το ποσό β 0 ανατοκίζεται με συνεχή και σταθερό ρυθμό ανατοκισμού r. Κατανοούμε τον τρόπο εξέλιξης της τιμής της μετοχής αν γράψουμε ds S = µd + σdb. Η σχετική αλλαγή της τιμής S σε ένα μικρό χρονικό διάστημα [, + d] προέρχεται από μια ντετερμινιστική αύξηση κατά µd στην οποία προστίθεται μια τυχαία μεταβολή την οποία δεν ξέρουμε ακόμα τη χρονική στιμή. Ξέρουμε απλώς ότι έχει κατανομή N(0, σ d). Βέβαια, έχουμε λύσει πλήρως τη ΣΔΕ (8.) στο Παράδειγμα 4. και η λύση της είναι η γεωμετρική κίνηση Brown. Σημειώνουμε ότι από τη μορφή της λύσης προκύπτει ότι η S είναι θετική για όλους τους χρόνους (εφόσον S 0 > 0), πράγμα που δεν είναι προφανές από τη ΣΔΕ γιατί η εξίσωση εμπλέκει τον παράγοντα db, ο οποίος παίρνει και αρνητικές τιμές. Και αυτό είναι πολύ λογικό. Μια μετοχή το πολύ να μηδενιστεί, ποτέ όμως δεν θα πάρει αρνητική τιμή. 8. Παραγωγή της εξίσωσης Εστω ότι έχουμε ένα απλό συμβόλαιο Ευρωπαϊκού τύπου. Δηλαδή μια δεδομένη μελοντική χρονική στιγμή T δίνει το ποσό g(s T ) στον κάτοχό του. Κάνοντας κάποιες παραδοχές, θα προσδιορίσουμε τη σωστή τιμή του συμβολαίου οποιαδήποτε χρονική στιγμή [0, T]. Θεώρημα 8.. Εστω g : [0, ) συνεχής συνάρτηση για την οποία υπάρχουν θετικές σταθερές c, c και ρ < ώστε g(x) c e c log x ρ (8.3) για κάθε x > 0. Τότε η σωστή τιμή του Ευρωπαικού συμβολαίου g(s T ) με ημερομηνία λήξης T κατά οποιαδήποτε χρονική στιγμή [0, T] ισούται με V(S, ), όπου V : [0, ) [0, T] είναι η μοναδική λύση του προβλήματος (x, ) + σ x V (x, ) + rx (x, ) rv(x, ) = 0 x x στο (0, ) (0, T), (8.4) V(x, T) = g(x) στο [0, ) (8.5)

8. Παραγωγή της εξίσωσης 3 που επιπλέον ικανοποιεί τη συνθήκη: υπάρχουν C, C > 0 ώστε V(x, ) C e C (log x) για κάθε (x, ) [0, ) [0, T]. (8.6) Δεδομένου ότι δεν έχουμε δώσει ακριβή περιγραφή των αποδεκτών χαρτοφυλακίων, θα μπορέσουμε να δώσουμε μόνο ένα σχέδιο της απόδειξης. Πριν αρχίσουμε, θα πειραματιστούμε. Εστω X η σωστή τιμή του συμβολαίου τον χρόνο. Βέβαια η τιμή θα εξαρτάται από τις πληροφορίες που είναι γνωστές ως τότε, δηλαδή θα είναι F -μετρήσιμη συνάρτηση. Θα υποθέσουμε όμως επιπλέον ότι: X = V(S, ) για κάποια συνάρτηση V : [0, T]. V C, ( [0, T]). Δηλαδή η τιμή του συμβολαίου τη στιγμή εξαρτάται μόνο από την τιμή της μετοχής τη χρονική στιμή (η προηγούμενη ιστορία της τιμής είναι αδιάφορη) και βέβαια από τον χρόνο. Και αυτή η εξάρτηση είναι αρκετά λεία. Στόχος μας είναι να βρούμε τη συνάρτηση V. Υποθέτουμε ότι υπάρχει ένα αποδεκτό χαρτοφυλάκιο που είναι αναπαράγον για το συμβόλαιο και έστω ότι η σύνθεση του χαρτοφυλακίου τη χρονική στιμή είναι (a, b ), δηλαδή περιέχει a μετοχές και b ομόλογα. Από τα σχόλια που ακολουθούν τον Ορισμό 6.6 έπεται ότι για κάθε χρονική στιγμή [0, T] η τιμή του χαρτοφυλακίου ισούται με την τιμή του συμβολαίου εκείνη τη στιγμή. Δηλαδή Επειδή το χαρτοφυλάκιο είναι αυτοχρηματοδοτούμενο, θα πρέπει a S + b β = V(S, ). (8.7) dv(s, ) = a ds + b dβ. (8.8) Χρησιμοποιώντας τον τύπο του Iô και την έκφραση (8.) για το ds, γράφουμε το αριστερό μέλος της προηγούμενης σχέσης ως d + x ds + ( V x (ds ) = + µs x + σ S ) V d + σs x x db, και το δεξί ως Θα ισχύει η (8.8) αν έχουμε (a µs + rb β )d + a σs db. a = x, a µs + rb β = + µs x + σ S V x. Αντικαθιστούμε τώρα στην τελευταία σχέση την τιμή του a και την τιμή του b που δίνει η (8.7), δηλαδή b = (V(S, ) a S )/β, και παίρνουμε δηλαδή ( ) x µs + r V S = x + µs x + σ S V x, + σ S V x + rs x rv = 0.

4 Η εξίσωση Black-Scholes Στις τελευταίες σχέσεις παραλείψαμε το όρισμα της V, το οποίο είναι το (S, ). Επομένως, αν η V ικανοποιεί τις (8.4), (8.5), θα έχουμε ότι το (a, b ) [0,T] είναι αυτοχρηματοδοτούμενο και αναπαράγον [Η επιλογή του a και η (8.4) εξασφαλίζουν ότι είναι αυτοχρηματοδοτούμενο, ενώ η επιλογή του b και η (8.5) εξασφαλίζουν ότι είναι αναπαράγον]. Αν το χαρτοφυλάκιο είναι και επιτρεπτό, έπεται ότι η σωστή τιμή του συμβολαίου τη χρονική στιγμή θα είναι X = V(S, ). Σχέδιο απόδειξης του Θεωρήματος 8.. Θα δείξουμε στην Παράγραφο 8.4 ότι το πρόβλημα (8.4), (8.5) έχει μοναδική λύση f που να ικανοποιεί την (8.6). Για τώρα, υποθέτουμε ότι έχουμε στη διάθεσή μας τη μοναδική αυτή λύση. Θεωρούμε το χαρτοφυλάκιο (a, b ) [0,T] που ορίζεται ως εξής για κάθε [0, T]: Η αξία του κάθε στιγμή είναι f (S, ). Ισχυρισμος : Το χαρτοφυλάκιο είναι αναπαράγον. Πράγματι, αφού f (S T, T) = g(s T ) λόγω της (8.5). Ισχυρισμος : Το χαρτοφυλάκιο είναι αυτοχρηματοδοτούμενο. a : = f x (S, ), (8.9) b : = f (S, ) a S β. (8.0) Αυτό πρέπει να είναι σαφές από τον τρόπο που καταλήξαμε στην (8.4). Θα το ξανακάνουμε όμως. Για [0, T), υπολογίζουμε από τον τύπο του Iô, ( f d f (S, ) = + µs f x + σ S ) f f d + σs x x db ( ) f = r f rs x + µs f f d + σs x x db = r ( f a S ) d + a S (σ db + µ d) = rb β d + a ds = a ds + b dβ Στη δεύτερη ισότητα χρησιμοποιήσαμε ότι η f ικανοποιεί τη (8.4), στην τρίτη ισότητα τον τύπο (8.9) για το a, και στην τέταρτη ισότητα τους τύπους (8.0), (8.) για τα b, ds. Αρα f (S, ) f (S 0, 0) = 0 a s ds s + 0 b s dβ s για κάθε [0, T). Επειδή και τα δύο μέλη είναι συνεχείς συναρτήσεις του έπεται ότι η ισότητα ισχύει και για = T. Και ο ισχυρισμός αποδείχθηκε. Αποδεικνύεται επίσης ότι το χαρτοφυλάκιο είναι αποδεκτό, οπότε, με βάση όσα είπαμε στην Παράγραφο 6.6, η σωστή τιμή του συμβολαίου κάθε χρονική στιμή [0, T] ισούται με f (S, ). 8.3 Η εξίσωση θερμότητας Εξίσωση θερμότητας λέμε τη μερική διαφορική εξίσωση u = u, με u : U I, όπου U d είναι ένα ανοικτό σύνολο και I [0, ) ένα διάστημα. Ο τελεστής είναι η Λαπλασιανή του d, δηλαδή d f f (x) = x k= k

8.3 Η εξίσωση θερμότητας 5 για κάθε x d και f συνάρτηση με πραγματικές τιμές που ορίζεται σε περιοχή του x και έχει δεύτερες παραγώγους στο x. Σε αυτές τις σημειώσεις, μας ενδιαφέρει η περίπτωση d = και U I = [0, T] για κάποιο T > 0. Τότε η u είναι συνάρτηση δύο πραγματικών μεταβλητών (x, ) και η εξίσωση γράφεται u = u xx. Βέβαια, πάντοτε την εξίσωση συνοδεύουν και κατάλληλες αρχικές/συνοριακές συνθήκες. Για αυτή την εξίσωση θα διατυπώσουμε χωρίς απόδειξη δύο βασικά θεωρήματα. Το ένα δίνει μια έκφραση για μια λύση της και το άλλο εξασφαλίζει τη μοναδικότητα αυτής της λύσης μέσα σε μια αρκετά ευρεία κλάση συναρτήσεων. Τις αποδείξεις μπορεί να δει κανείς στις Παραγράφους (a), (b) του Κεφαλαίου 7 του John (98) όπως και σε άλλα βιβλία μερικών διαφορικών εξισώσεων. Θεωρούμε τη συνάρτηση : [0, ) με (x, ) = 4π e x /4 για x, > 0. Για σταθερό, η συνάρτηση x (x, ) είναι η πυκνότητα της κατανομής N(0, ). Θεώρημα 8.. Εστω g : συνεχής συνάρτηση για την οποία υπάρχουν σταθερές C, C > 0 και ρ < ώστε g(x) C e C x ρ (8.) για κάθε x. Τότε η συνάρτηση u : [0, ) με u(x, ) := g(y)(x y, ) dy = g(y) e (x y) /4 dy (8.) 4π x, > 0 ικανοποιεί τα εξής: (i) u C, ( (0, )). (ii) u = u xx στο (0, ). (iii) lim (x,) (x0,0) u(x, ) = g(x 0 ) για κάθε x 0. x,>0 Το (iii) λέει ότι η u επεκτείνεται μοναδικά στο σύνορο του (0, ) και οι τιμές της εκεί συμπίπτουν με την g. Συμβολίζουμε και την επέκταση με u. Η u πλέον λύνει το πρόβλημα αρχικών τιμών u u xx = 0 στο (0, ), (8.3) u(x, 0) = g(x) στο. (8.4) Σημειώνουμε ότι η (8.) γράφεται επίσης ως u(x, ) = E x g(b ) (η μέση τιμή αφορά την κίνηση Brown B η οποία έχει σημείο εκκίνησης B 0 = x) αφού η B έχει πυκνότητα y (y x). Με μικρές διαφορές στις υποθέσεις από τις οποίες προκύπτει, αυτός είναι ο ίδιος με τον τύπο (.7) στο Παράδειγμα.4. Η εξίσωση θερμότητας σε ένα χωρίο της μορφής [0, T] με T > 0 ή της μορφής [0, ), αν έχει τουλάχιστον μία λύση, τότε έχει άπειρες λύσεις όσο καλή και να είναι η αρχική συνθήκη g (δες Κεφάλαιο 7 του John (98), σχέσεις.9,.0). Από όλες όμως τις λύσεις το πολύ μία έχει ελεγχόμενο μέγεθος για μεγάλα x. Θεώρημα 8.3. Εστω u C, ( (0, T)) και συνεχής στο [0, T] για την οποία υπάρχουν σταθερές C, C > 0 ώστε u(x, ) C e C x (8.5)

6 Η εξίσωση Black-Scholes για κάθε (x, ) [0, T]. Αν τότε u 0. u u xx = 0 στο (0, T), (8.6) u(x, 0) = 0 στο, (8.7) Αν δύο συναρτήσεις u (), u () : [0, T] ικανοποιούν τις (8.6), (8.4), (8.5), τότε για τη διαφορά τους εφαρμόζεται το προηγούμενο θεώρημα και δίνει ότι u () u (). Δηλαδή το πρόβλημα των (8.6), (8.4) έχει το πολύ μιά λύση που ικανοποιεί την (8.5). Από την άλλη, σημειώνουμε ότι για g που ικανοποεί την (8.), η συνάρτηση u που δίνεται από τη (8.) ικανοποιεί τη (8.5) για κάθε T > 0. 8.4 Λύση της εξίσωσης Black-Scholes Θεώρημα 8.4. Εστω g όπως στο Θεώρημα 8.. Υπάρχει μοναδική λύση του προβλήματος (8.4), (8.5) που ικανοποιεί την (8.6), και δίνεται από τη σχέση για κάθε (x, ) [0, T]. V(x, ) = e r(t ) σ (T )(r g(xe )+zσ T ) e z / dz (8.8) Απόδειξη. Με κατάλληλους μετασχηματισμούς, θα αναγάγουμε την εξίσωση Black-Scholes στην εξίσωση θερμότητας. Εισάγουμε νέες μεταβλητές, τις τ, y με ως προς τις οποίες οι παλιές δίνονται από τις εκφράσεις και τη συνάρτηση τ := (T ) σ, y := log x, (8.9) = T v(y, τ) = V(x, ) = V για κάθε y και τ [0, Tσ /]. Ενας υπολογισμός δίνει τ σ /, x = ey, (8.0) ( e y, T τ ) σ / v τ = v yy + (λ )v y λv στο (0, Tσ /), v(y, 0) = g(e y ) στο, με λ := r/(σ /). Επειτα εισάγουμε τη συνάρτηση u : [0, Tσ /] με Τότε η u ικανοποιεί v(y, τ) = e (λ )y 4 (λ+)τ u(y, τ). u τ = u yy στο (0, Tσ /), u(y, 0) = e (λ )y g(e y ) στο. Η συνθήκη (8.3) σε συνδυασμό με τα Θεωρήματα 8., 8.3 δίνει ότι η μοναδική λύση του τελευταίου προβλήματος που ικανοποιεί την (8.6) δίνεται από τη σχέση u(y, τ) = 4πτ u(w, 0)e (y w) 4τ dw.

Αρα, 8.5 Ειδική περίπτωση. Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς 7 V(x, ) = e (λ )y 4 (λ+) τ 4πτ = 4πτ e (λ )y 4 (λ+) τ Ο εκθέτης μέσα στο τελευταίο ολοκλήρωμα είναι (y w) (λ )w 4τ = 4τ {w wy τ(λ )w + y } u(w, 0)e (y w) 4τ dw = 4τ {w (y + τ(λ ))} 4τ y + {y + τ(λ )} 4τ g(e w )e (λ )w e (y w) 4τ dw. (8.) = 4τ {w (y + τ(λ ))} + 4τ {τ (λ ) + yτ(λ )}. Προσθέτοντας σε αυτή την ποσότητα τον εκθέτη έξω από το ολοκλήρωμα, παίρνουμε 4τ {w (y + τ(λ ))} + 4 τ(λ ) 4 (λ + ) τ = 4τ {w (y + τ(λ ))} λτ. Παρατηρούμε ότι λτ = r(t ). Κάνουμε στο ολοκλήρωμα την αλλαγή μεταβλητής z := w (y + τ(λ )) τ. Τότε e w = e y e (λ )τ+z τ σ (T )(r = xe )+zσ T, και επομένως ο τύπος (8.) για τη V συμπίπτει με αυτόν στη διατύπωση του θεωρήματος. 8.5 Ειδική περίπτωση. Ευρωπαϊκό δικαίωμα αγοράς Θα εφαρμόσουμε τον τύπο του προηγούμενου θεωρήματος στην περίπτωση που g(x) = (x K) + για κάποιο K > 0. Αυτό θα δώσει την τιμή ενός Ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς με τιμή άσκησης K. Πρόταση 8.5. Η τιμή ενός Ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς με τιμή άσκησης K για τη μετοχή S στην αγορά (8.), (8.) ισούται με C(S, ), όπου για x > 0 και [0, T), C(x, ) := xφ(d (x, )) Ke r(t ) Φ(d (x, )), με Φ τη συνάρτηση κατανομής της N(0, ) και d (x, ) := {log σ xk (r T + + σ d (x, ) := {log σ xk (r T + σ Απόδειξη. Η g(x) = (x K) + ικανοποιεί την (8.3). Θέτουμε ) A := (T ) (r σ, B := σ T, L := (log K ) B x A = d (x, ). ) } (T ), ) } (T ).

8 Η εξίσωση Black-Scholes Ο τύπος (8.8) δίνει C(x, ) = e r(t ) (xe A+zB K) + e z / dz = e r(t ) (xe A+zB K) e z / dz = xe r(t )+A e zb z / dz K e r(t ) ( Φ(L)) = xe r(t )+A+B / L L e (z B) / dz K e r(t ) Φ( L). Το ολοκλήρωμα στην τελευταία γραμμή ισούται με { Φ(L B)} = Φ(B L). Ομως B L = d (x, ), L = d (x, ) και r(t ) + A + B / = 0. Ετσι προκύπτει η ζητούμενη σχέση. L Ασκήσεις 8. Στο ίδιο πλαίσιο και συμβολισμό όπως στην Πρόταση 8.5, να δειχθεί ότι η σωστή τιμή ενός Ευρωπαϊκού δικαιώματος πώλησης με τιμή άσκησης K ισούται με P(S, ), όπου για x > 0 και [0, T), P(x, ) := Ke r(t ) Φ( d (x, )) xφ( d (x, )).