Τρίωρο Διαγώνισμα στη Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Ύλη: Όλη η εξεταστέα ΘΕΜΑ ο Α. Για να απαντήσετε στις παρακάτω ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, αρκεί να γράψετε στο φύλλο απαντήσεων τον αριθµό της ερώτησης και δεξιά από αυτόν το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Το έργο της δύναµης που προκαλεί την απόσβεση σε µια φθίνουσα µηχανική ταλάντωση α) είναι πάντα θετικό. β) είναι πάντα αρνητικό. γ) σε κάποια χρονικά διαστήµατα µιας περιόδου είναι θετικό και σε κάποια άλλα αρνητικό. δ) έχει πάντα αντίθετο πρόσηµο από το πρόσηµο του έργου της δύναµης επαναφοράς.. Κατά τη σύνθεση δύο απλών αρµονικών ταλαντώσεων της ίδιας διεύθυνσης που γίνονται γύρω από το ίδιο σηµείο, προκύπτει απλή αρµονική ταλάντωση σταθερού πλάτους µόνο όταν οι επιµέρους ταλαντώσεις έχουν α) ίσες συχνότητες. β) παραπλήσιες συχνότητες. γ) διαφορετικές συχνότητες. δ) συχνότητες που η µία είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της άλλης.. Ένα στερεό σώµα στρέφεται γύρω από ένα σταθερό άξονα. Αν η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του σώµατος υποδιπλασιαστεί, τότε η κινητική του ενέργεια α) θα υποτετραπλασιαστεί. β) θα υποδιπλασιαστεί. γ) θα τετραπλασιαστεί. δ) δεν θα µεταβληθεί.
4. Σώµα µάζας m κινείται οριζόντια µε ταχύτητα µέτρου υ. Στην πορεία συγκρούεται µετωπικά µε άλλο σώµα και επιστρέφει κινούµενο µε ταχύτητα µέτρου υ. Το µέτρο της µεταβολής της ορµής του είναι α) 0 β) mυ γ) mυ δ) 4mυ. Β. Να χαρακτηρίσετε στο φύλλο απαντήσεων τις παρακάτω προτάσεις µε το γράµµα Σ, όσες από αυτές είναι σωστές, και µε το γράµµα Λ, όσες από αυτές είναι λανθασµένες. ) Η επιλογή ενός σταθµού σε ραδιοφωνικό δέκτη στηρίζεται στο φαινόµενο του συντονισµού. ) Σε ένα στάσιµο κύµα τα υλικά σηµεία µε µηδενικό πλάτος ταλάντωσης ονοµάζονται δεσµοί του στάσιµου κύµατος. ) Η ροπή αδράνειας εκφράζει στη µεταφορική κίνηση ό,τι εκφράζει η µάζα στη στροφική κίνηση. 4) Σε κάθε κρούση η συνολική κινητική ενέργεια του συστήµατος των σωµάτων που συγκρούονται παραµένει σταθερή. ) Με τη βοήθεια του φαινόµενου Dopple στα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα βγάζουµε συµπεράσµατα για την ταχύτητα µε την οποία κινείται ένα άστρο σε σχέση µε τη Γη. ΘΕΜΑ ο Α. Θεωρούµε έναν αρµονικό ταλαντωτή, στον οποίο εκτός από την ελαστική δύναµη επαναφοράς F -k x ενεργεί και δύναµη αντίστασης της µορφής F -b υ (b σταθ. > 0). Τη χρονική στιγµή t 0 ο ταλαντωτής έχει ενέργεια Ε ο και πλάτος Α ο. Το ποσοστό µεταβολής της ενέργειας του ταλαντωτή από τη χρονική στιγµή t 0 µέχρι τη ln χρονική στιγµή t (Λ συντελεστής απόσβεσης > 0) είναι Λ α. 7% β. 80% γ. 96% i) Να επιλέξετε το σωστό. ii) Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. (Μονάδες )
Β. Τρέχον αρµονικό κύµα µήκους κύµατος λ διαδίδεται προς τα δεξιά χωρίς αρχική φάση. Στο διάγραµµα δίνεται η γραφική παράσταση της φάσης των σηµείων του µέσου διάδοσης σε συνάρτηση µε την απόσταση x από την πηγή µία συγκεκριµένη χρονική στιγµή tt. Για την θέση x ισχύει: α) x λ. β) x 4λ. γ) x λ. i) Να επιλέξετε το σωστό. ii) Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. 0π 0 φ(ad) x x(m) (Μονάδες ) (Μονάδες 4) Γ. Η εξίσωση του ηλεκτρικού πεδίου ενός ηλεκτροµαγνητικού κύµατος δίνεται από τη σχέση [ π( 9 0 t 0 x) ] E(x, t) 0ηµ στο S.. α) Το κύµα διαδίδεται σε οπτικό µέσο µε δείκτη διάθλασης n>. β) Το κύµα διαδίδεται στο κενό. γ) Τα στοιχεία δεν είναι αρκετά για να αποφανθούµε, είναι απαραίτητη και η αντίστοιχη εξίσωση του µαγνητικού πεδίου. i) Να επιλέξετε το σωστό. (Μονάδες ) ii) Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. (Μονάδες 4) ίνεται η ταχύτητα των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων στο κενό c 0 8 m/.. Στη διάταξη του διπλανού σχήµατος η κάθε σφαίρα θεωρείται υλικό σηµείο µάζας m. Οι δυο ράβδοι έχουν µάζα m και µήκος l. Αν η ροπή αδράνειας ράβδου ως προς το κέντρο µάζας της m l ρ δίνεται από τη σχέση, να βρείτε τη συνολική ροπή αδράνειας του συστήµατος ως προς άξονα που περνάει από το Ο κάθετο στο επίπεδο του σχήµατος. m ρ l 4 m m ρ m 4 (Ο l 4 m m
ΘΕΜΑ ο Κατά µήκος γραµµικού οµογενούς ελαστικού µέσου διαδίδεται εγκάρσιο αρµονικό κύµα. Θεωρούµε ως t0 τη στιγµή που αρχίζει να ταλαντώνεται το σηµείο Ο(x0). H ταλάντωση του σηµείου Ο εκτελείται χωρίς αρχική φάση, ενώ το κύµα διαδίδεται προς τα δεξιά. Ένα υλικό σηµείο Α βρίσκεται στη θέση x A m. Η εξίσωση αποµάκρυνσης χρόνου για το σηµείο Α είναι y A 0,0ηµ(0πt π) (S) α) Να γίνει η γραφική παράσταση της φάσης του σηµείου Α σε συνάρτηση µε το χρόνο. β) Να υπολογίσετε τον αριθµό των κυµάτων που φθάνουν στο σηµείο Α ανά µονάδα χρόνου. γ) Τις χρονικές στιγµές που το σηµείο Α βρίσκεται σε θέση µε αποµάκρυνση y 0,0m να υπολογίσετε το µέτρο της ταχύτητας ταλάντωσής του. (Μονάδες 7) δ) Τις προηγούµενες χρονικές στιγµές να υπολογίσετε την αποµάκρυνση του σηµείου Ο(x0). ΘΕΜΑ 4 ο R Μια σφαίρα µάζας Μ Kg και ακτίνας R 0,m, που στο εσωτερικό της έχει µια σφαιρική κοιλότητα ακτίνας (0<<R) γύρω από το κέντρο συµµετρίας της, αφήνεται τη χρονική στιγµή t 0 ελεύθερη να κινηθεί από την κορυφή θ l- l κεκλιµένου επιπέδου γωνίας κλίσης θ (ηµθ 0,8) και µήκους l,m, όπως φαίνεται στο σχήµα. Κοντά στην κορυφή το κεκλιµένο επίπεδο είναι τραχύ, οπότε αρχικά η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και τη στιγµή t t, που έχει διανύσει µήκος 0R, εισέρχεται σε περιοχή όπου το κεκλιµένο επίπεδο είναι λείο, µε το κέντρο µάζας της να έχει ταχύτητα υ m/. 4
Α. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας της κοίλης σφαίρας ως προς άξονα παράλληλο προς το κεκλιµένο επίπεδο που διέρχεται από το κέντρο µάζας της. (O τύπος για τη ροπή αδράνειας του κυλιόµενου στερεού δεν θεωρείται γνωστός.) Β. Να υπολογίσετε το µέτρο του ρυθµού µεταβολής της στροφορµής της σφαίρας ως προς τον άξονα περιστροφής της, όταν αυτή κινείται και στο τραχύ και στο λείο κεκλιµένο επίπεδο. Γ. Να υπολογίσετε το µέτρο της στροφορµής της σφαίρας ως προς τον άξονα περιστροφής της µετά 0,4 από την είσοδο της σφαίρας στην περιοχή όπου το κεκλιµένο επίπεδο είναι λείο.. Να σχεδιάσετε σε βαθµολογηµένους άξονες το διάγραµµα του µέτρου της γωνιακής ταχύτητας της σφαίρας σε συνάρτηση µε το χρόνο από τη στιγµή t 0 µέχρι τη χρονική στιγµή t που η σφαίρα φτάνει στο τέλος του κεκλιµένου επιπέδου και να υπολογίσετε τον αριθµό των περιστροφών της σφαίρας από τη στιγµή t 0 που αυτή αφέθηκε ελεύθερη έως τη στιγµή t t που έφτασε στη βάση του κεκλιµένου επιπέδου. ίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g 0m/. (Μονάδες 7) Ευχόµαστε Επιτυχία!!!
ΘΕΜΑ ο Α.. β). α). α) 4. δ) Β. ) Σ ) Σ ) Λ 4) Λ ) Σ Επαναληπτικό ιαγώνισµα σε όλη την εξεταστέα ύλη ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. i) Σωστό είναι το γ. ii) Αιτιολόγηση: Η ενέργεια της φθίνουσας ταλάντωσης τη χρονική στιγµή t0 είναι: E o ka o () Το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης µειώνεται εκθετικά µε το χρόνο. ηλαδή Λt ισχύει: A A e ln o, οπότε για t είναι Λ ln A A e Λ Λ ln Ao Αο o ή A A o e ή A ή Α. ln e ln Η ενέργεια της ταλάντωσης για t είναι: Λ Aο E ka ή E k ή E ka ο, οπότε σύµφωνα µε τη σχέση (), προκύπτει E E o (). Για το ποσοστό µεταβολής της ενέργειας έχουµε Εο 4 Ε Ε Ε Ε () ο ο ο Π 00% Π 00% Π 00% Εο Εο Εο 4 Π 00% Π 4 4% Π 96%. 6
B. i) Σωστό είναι το α. ii) Αιτιολόγηση: t x Γνωρίζουµε ότι φ(x, t) π( ). T λ t Από το διάγραµµα βλέπουµε ότι για x 0φ 0π ad0π π t T. T Τ x x Επίσης για x xφ 0 0 π( ) x λ Τ λ λ Γ. i) Σωστό είναι το β. ii) Η εξίσωση του ηλεκτρικού πεδίου ενός Η/Μ κύµατος δίνεται από τη σχέση: t x E( x, t) E max ηµ π T λ Εποµένως: t f T 9 0 T t f 9 0 Hz και λ x 0 xλ 0 Από τη Θεµελιώδη εξίσωση της Κυµατικής έχουµε: 8 υ f λ 9 0 0 mυ 0 m / c. ec Άρα το Η/Μ κύµα διαδίδεται στο κενό. m. Η συνολική ροπή αδράνειας του συστήµατος θα είναι: (O) συστ. ρ + ρ + + + + 4 Αλλά: ρ ρ 4 mρ l l m l m 4 m l ml 4 m l 6 m l 6 Εποµένως: (O) m l συστ 6 m l + 4 m l + 6 m l + + m l 8 8+ + 4 (O) συστ ml 4 7
ΘΕΜΑ ο υ κυµ Ο(x0) Α(x A m) x Για την εξίσωση του κύµατος ισχύει: t x y Aηµ π( ), T λ οπότε µε σύγκριση προκύπτουν διαδοχικά οι εξής πληροφορίες: t xa t xa ya Aηµ π( ) ya Aηµ π( ). T λ T λ όµως y 0,0ηµ (0πt π) y 0,0ηµ π(t ) A A t A 0,0m, t T ή f Hz και λ m. T λ α) Για τη γραφική παράσταση φάσης χρόνου για το σηµείο Α δουλεύουµε ως εξής: φ Α ( t) 0πt π π(t ) (S) ή φ Α () φ Α 0, π(t ), t< t εφθ0π ω 0 θ t(ec) -π β) Ο αριθµός των κυµάτων που φθάνουν σε ένα σηµείο του µέσου ανά µονάδα χρόνου είναι η συχνότητα. ηλαδή f κύµατα /ec Hz γ) Εφαρµόζουµε Α..Ε. για την ταλάντωση του υλικού σηµείου Α (θεωρούµε υλικό σηµείο µάζας m). E T UΤ + Κ σταθ. DΑ Dy + mυ D mω mωα mω y + mυ υ ω ( Α y ) υ ω ( Α y ) υ πf ( Α y ) υ 0,π m / 8
δ) Παρατηρούµε ότι η απόσταση µεταξύ των σηµείων Ο και Α είναι ίση µε ένα µήκος κύµατος λ (x A m λ). Επειδή το µήκος κύµατος µπορεί να οριστεί και ως η απόσταση µεταξύ δύο διαδοχικών υλικών σηµείων του µέσου που έχουν την ίδια αποµάκρυνση και κινούνται κατά την ίδια φορά (ταλαντώνονται σε συµφωνία φάσης), ισχύει: y 0,0m y ( x 0) (x xa ). ΘΕΜΑ 4 ο υ ' w : w x M g ηµθ w y M g συνθ N t0 : υ ο 0, ω ο 0 l S (+) tt w (+) x N (A) υ ω ω tt w θ w J h y w (B) h x ( ) w θ w h U y g 0 θ S Α. Αφού το σφαιρικό στερεό µεταξύ των θέσεων Α και Β κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει, ισχύουν οι εξισώσεις: x x R φ (), R ω () και α R αγων () υ Αφού η στατική τριβή J δεν παράγει συνολικά έργο, εφαρµόζουµε το Θ..Μ.Ε. µεταξύ των θέσεων Α και Β. ηλαδή : () Μgh+ 0+ 0 Mgh + Mυ + ω () υ Μg(h h ) Mυ + R υ Mgh υ (M+ ) Mg S ηµθ (+ MR ) R R R gs + MR MgS ηµθι ΜR ( ηµθ ) ή υ υ 0 0 4 8 Ι ΜR ( ) ή MR Kg m (4) 0 6 9
dl Β. Για το ρυθµό µεταβολής της στροφορµής έχουµε dt Α Β: dl dt dl Στ τ J R () J Β : Στ 0, επειδή δεν υπάρχει πια τριβή. dt Για την κίνηση του στερεού µεταξύ των θέσεων Α και Β έχουµε: Σ F M α Mgηµθ J Mα (6) x (4) α Σ τ Ι αγων J R MR J Mα (7) () R ιαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (6) και (7) προκύπτει: Mg ηµθ J S.. 0 0,8 J J J 40 J J 0N 8J J N dl Kg m Επιστρέφοντας στην () υπολογίζουµε ότι,7. dt Γ. Η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας τη στιγµή που διέρχεται από το τραχύ στο λείο κεκλιµένο επίπεδο είναι υ () ω ω ή ω 0 R 0, Μετά το πέρασµα της κοίλης σφαίρας στη λεία περιοχή του πλαγίου επιπέδου είναι Στ 0, οπότε και α γων 0, δηλαδή ω ω(t ) 0/ σταθ. Εποµένως για τη στροφορµή της σφαίρας στην περιοχή όπου το κεκλιµένο επίπεδο είναι λείο έχουµε: L Ι ω ) (t σταθ. ή Kg m L Ι ω 0 ή 6 Kg m L,7.. Η γωνιακή επιτάχυνση του κυλιόµενου στερεού µεταξύ των σηµείων Α(t0) και Β(t t ) είναι α () α γων R, αλλά J m α, οπότε α γων 0. M Άρα ω α γων t ω 0 t, 0 t t. H χρονική στιγµή t t βρίσκεται ως εξής: υ υ α t t. α 0
Η επιτάχυνση του κέντρου µάζας του στερεού είναι ΣF Μ w M Mgηµφ Μ x x α gηµφ 8m / α µεταξύ των σηµείων Β και Με εφαρµογή του Θ.Μ.Κ.Ε. (B ) µπορούµε να υπολογίσουµε την ταχύτητα υ στη θέση της τροχιάς του στερεού. ηλαδή: Mυ Mυ Mgh + 0υ υ + gh υ υ + g( l S)ηµθυ [+ 0(, 0 0,) 0,8] m υ 69 υ m /. Εποµένως για τη χρονική στιγµή t έχουµε: υ + α (t t ) ή + 8(t ) ή t ec. υ m Για τη συνάρτηση ω ω(t) έχουµε ω(ad/ec) 0 t, 0 t ω 0, t (S..) 0 Λ Ζ φ ολ Ν 0 t(ec) Σύµφωνα µε το διάγραµµα ω-t έχουµε για τη συνολική γωνία στροφής της ακτίνας µιας κατακόρυφης τοµής του σφαιρικού στερεού: + 0 Eµβ. (ΟΛΖΝ 0 0. φ ολ ) Για το συνολικό αριθµό περιστροφών Ν ολ της σφαίρας ισχύει: N φολ 0 ή N o λ περ. π π π o λ