Μεθοδολογίες στην Μηχανική των Ρευστών

Μεθοδολογίες στην Μηχανική των Ρευστών η Μεθοδολογία: «Ανυψωτήρας» Το υγρό του δοχείου κλείνεται με δύο έμβολα που βρίσκονται στην ίδια οριζόντιο. Στο έμβολο με επιφάνεια Α ασκείται δύναμη F. ον Η F ασκεί πρόσθετη πίεση στο υγρό ίση με P=F/A. Από αρχή του Pascal η P μεταφέρεται αναλλοίωτη σε όλα τα σημεία του υγρού άρα στην επιφάνεια εμβαδού Α θα ασκηθεί η F: F=P A F= F A/A (Με την βοήθεια της αρχής του Pascal μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε μια δύναμη) ον Επειδή τα υγρά είναι ασυμπίεστα οι μεταβολές των όγκων των υγρών στις δύο στήλες είναι ίσες: ΔV= ΔV A y= A y Τα ύψη είναι αντιστρόφως ανάλογα των εμβαδών διατομής 3 ον Τα έργα των δύο δυνάμεων είναι ίσα διότι: WF=F y=p A y=p ΔV WF=F y=p A y=p V Από αρχή Pascal P =P και ΔV =ΔV άρα W F= W F

η Μεθοδολογία: «Μέτρηση πίεσης σε διάφορα σημεία» Ένα ρευστό περιέχεται σε δοχεία που είναι κλεισμένο με έμβολο. Μέσω του εμβόλου δημιουργείται στο υγρό Ρεξ. Να συγκριθούν οι ενδείξεις των δύο μανόμετρων Μ και Μ όταν: α. το ρευστό είναι υγρό. β. το ρευστό είναι αέριο. ον Τα μανόμετρα μετρούν την ολική πίεση. Ρολ = Ρεξ + Ρυδρ () Σύμφωνα με την αρχή του Pascal η Ρεξ μεταφέρεται αναλλοίωτη σε όλα τα σημεία του υγρού. Άρα τα μανόμετρα δέχονται ίδιεs Ρεξ και η υδροστατική πίεση βρίσκεται από τη σχέση Ρυδρ=ρ g h Επειδή το μανόμετρο Μ βρίσκεται σε μεγαλύτερο βάθοs υγρού από το Μ θα έχω μεγαλύτερή υδροστατική πίεση. Με αντικατάσταση στη σχέση () προκύπτει ότι η ένδειξη του Μ είναι μεγαλύτερη από του Μ. Προσοχή!!! Αν το έμβολο έχει βάρος τότε στην πίεση που μετρά το μανόμετρο πρέπει να συνυπολογίσουμε και την πίεση από το βάρος P = Pυδρ() + Patm + Pβαρ = ρ g h + Patm + mg/a ον Στο αέριο η σχέση () γράφεται Pολ=Pεξ+Pαερ Όπου Ραερ=ρ g h και επειδή τα αέρια έχουν πολύ μικρή πυκνότητα, η μεταβολή της υψομετρικής πίεσης για μικρές αποστάσεις θεωρείται μηδενική. Έτσι τα μανόμετρα δέχονται την ίδια πίεση πρακτικά. 3 η Μεθοδολογία: «Μανόμετρο Torricelli» O Torricelli χρησιμοποίησε την παρακάτω διάταξη με σκοπό να μετρήσει την πίεση της ατμόσφαιρας το 644. Βύθισε σε ένα δοχείο με υδράργυρο έναν γυάλινο σωλήνα και παρατήρησε ότι η στάθμη του υδραργύρου ανέβηκε σε ύψος h μέσα στο σωλήνα όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. ον Η πίεση στο σημείο Γ είναι μηδενική εφόσον είναι κενός χώρος από πάνω: PΓ=0

ον Η πίεση στο σημείο Α ισούται με την ατμοσφαιρική: PA=Pατμ 3 ον Η πίεση στο σημείο Β είναι ίση με την πίεση στο σημείο Α εφόσον βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο: PB =PA P Β =P υδρ ρ g h =Pατμ h= Pατμ/ ρ g Το ύψος που μέτρησε είναι ίσο με 760mm και προς τιμήν του ορίστηκε η μονάδα μέτρησης της πίεσης torr=mmhg όπου atm=760torr=760mmhg. 4 η Μεθοδολογία: «Η πίεση σε σημεία ενός υγρού» Στο διπλανό σχήμα, ένα κυλινδρικό δοχείο ύψους h είναι γεμάτο με νερό, ενώ στη βάση του είναι συνδεδεμένος ένας σωλήνας, με κατακόρυφο τμήμα το οποίο περιέχει νερό μέχρι ύψος h. Τα σημεία Α και Β, είναι δυο σημεία του νερού πολύ κοντά στην κάτω και πάνω βάση του κυλίνδρου. Αν το σύστημα βρίσκεται στην επιφάνεια της Γης και το πάνω άκρο του σωλήνα είναι ανοιχτό, τότε η πίεση στο σημείο Γ είναι PΓ=Pατμ. Η διαφορά πίεσης, λόγω του βάρους του νερού μεταξύ δύο σημείων Α και Β τα οποία απέχουν κατακόρυφα κατά h είναι: PΑ-PΒ=ρ g h Επίσης ισχύει: PΒ=PΔ=PΓ+ ρ g h = Pατμ+ ρ g h και PΑ=PΕ=PΓ+ ρ g h =Pατμ+ ρ g h Με αφαίρεση κατά μέλη: PΑ- PΒ=Pατμ+ ρ g h - Pατμ - ρ g h = ρ g h

5 η Μεθοδολογία: «Τρία έμβολα στο ίδιο ρευστό» Στο διπλανό σχήμα έχουμε 3 συγκοινωνούντα δοχεία τα οποία είναι κλειστά με έμβολα βάρους W, W και W3 αντίστοιχα. ον Θέτουμε νοητή οριζόντια ευθεία που διέρχεται από τα σημεία Α, Β και Γ τα οποία βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο. Οι πιέσεις των σημείων θα είναι ίσες PA=PB=PΓ ον Από την ισορροπία του κάθε εμβόλου θα έχουμε: Fυγρ() =W+Fatm Διαιρώ με Α Pυγρ() =(W/A)+Patm (όπου Pυγρ() η πίεση του υγρού ακριβώς κάτω από το έμβολο) Στο σημείο Α θα έχουμε πίεση PA=Pυγρ()+Pυδρ PA=(W/A)+Patm+ρ g y Ομοίως PΒ=(W/A)+Patm+ρ g y και PΓ=(W3/A3)+Patm+ρ g y3 3 ον Εφόσον οι τρεις πιέσεις είναι ίσες τις εξισώνω και βρίσκω σχέση υψών ή σχέση των βαρών των εμβόλων. 6 η Μεθοδολογία: «Άνωση» Ένας ομογενής κύλινδρος βυθίζεται μέσα σε υγρό και ισορροπεί, με τον άξονά του κατακόρυφο, όπως στο διπλανό σχήμα. Για να υπολογίσω την συνισταμένη δύναμη που του ασκείται τότε: ον Σχεδιάζω τις δυνάμεις που ασκούνται από το υγρό όπως στο παρακάτω σχήμα ον Εφόσον ισορροπεί από τον ο νόμο του Νεύτωνα θα ισχύει : ΣFx=0 και ΣFy=0.

Στον χ χ οι δυνάμεις από το ρευστό λόγω υδροστατικής πίεσης αλληλοαναιρούνται Στον y y οι δυνάμεις που του ασκούνται είναι οι: F =P Α, όπου P = Pατμ+ Pυδρ = Pατμ+ ρ g h F =P Α, όπου P = Pατμ+ Pυδρ = Pατμ+ ρ g (h+h) Η Pατμ μεταφέρεται αναλλοίωτη σε όλη την έκταση του υγρού από αρχή του Pascal. Η Fυγρ θα ισούται με την διαφορά των F, F Fυγρ=ρ g h A Fυγρ=ρ g Vκυλ Αυτή η δύναμη ονομάζεται «Άνωση» και την ανακάλυψε ο Αρχιμήδης τον 3ο αιώνα π.χ. Ο Αρχιμήδης (87 π.χ.- π.χ.) ήταν ένας από τους μεγαλύτερους μαθηματικούς, φυσικούς και μηχανικούς της αρχαιότητας. Το έργο του Αρχιμήδη υπήρξε τεράστιο, τόσο ποιοτικά όσο και ποσοτικά, και η ερευνητική ματιά του κάλυψε πολλούς τομείς: γεωμετρία, οπτική (κατοπτρική), υδραυλική, μηχανική, αρχιτεκτονική και την πολιορκητική. Συνέδεσε το όνομά του με τη γένεση της μηχανικής στην αρχαία Ελλάδα, τη λύση περίφημων μαθηματικών προβλημάτων, καθώς και με τις αμυντικές εφευρέσεις του που χρησιμοποιήθηκαν όταν οι Ρωμαίοι πολιορκούσαν την πατρίδα του,τις Συρακούσες. Η Αρχή του Αρχιμήδη καθορίζει ότι: "Κάθε σώμα βυθισμένο σε ρευστό δέχεται άνωση ίση με το βάρος του ρευστού που εκτοπίζει." 7 η Μεθοδολογία: «Σωλήνας που διαρρέεται από ασυμπίεστο υγρό και έχει μεταβλητή διατομή» ον Εξίσωση της συνέχειας A u = A u ον Από την εξίσωση Bernoulli υπολογίζω την στατική πίεση αν μου ζητηθεί ρ u + P + ρ g y = ρ u + P + ρ g y Επειδή η φλέβα δεν μετατοπίζεται στον κατακόρυφο άξονα y y: y=y άρα ρ u + P = ρ u + P 3 ον Αν μου ζητηθεί χρόνος παροχής νερού και μου δίνει ποσότητα τότε : Π=ΔV/Δt A u = A u = ΔV/Δt σε m 3 /sec (Lit=0-3 m 3 )

8 η Μεθοδολογία: «Παροχή νερού από βρύση» ον Εξίσωση της συνέχειας A u = A u ον Από την εξίσωση Bernoulli υπολογίζω την στατική πίεση αν μου ζητηθεί ρ u + P + ρ g y = ρ u + P + ρ g y Προσοχή: Η φλέβα μετατοπίζεται στον κατακόρυφο άξονα y y: h=y-y άρα ρ u + P + ρ g h = ρ u + P 3 ον Αν μου ζητηθεί χρόνος παροχής νερού και μου δίνει ποσότητα τότε : Π=ΔV/Δt A u = A u =ΔV/Δt σε m 3 /sec (Lit=0-3 m 3 ) 9 η Μεθοδολογία: «Τρύπα σε δοχείο» ον Εφαρμόζω την εξίσωση Bernoulli για την ρευματική γραμμή (A Γ) ρ uα + PΑ + ρ g yα = ρ uγ + PΓ + ρ g yγ

Προσοχή: Αφού Α(Α)>>Α(Γ) θεωρώ ua 0 ΠΡΟΣΟΧΗ: Στο σημείο Γ όπου το νερό έρχεται σε επαφή με τον ατμοσφαιρικό αέρα η πίεση ισούται ΜΟΝΟ με την Pατμ (PΓ =Pατμ) ρ g Η + Pατμ = ρ uγ + ρ g (H-h) + Pατμ uγ = g h ον Από το σημείο Γ και μετά το ρευστό εκτελεί οριζόντια βολή και το βεληνεκές του είναι χ=uγ tπτ Όπου tπτ = (Η h) g (ο χρόνος πτώσης) Άρα χ = 4h (Η h) 3 ον Το βεληνεκές γίνεται μέγιστο όταν οι παράγοντες του γινομένου εξισώνονται, δηλαδή όταν: h=h-h h=h/ Άρα χmax = H 0 η Μεθοδολογία: «Ροόμετρο Venturi με ανοιχτές στήλες» ον Eξίσωση της συνέχειας : Α υ = Α υ υ = Α Α υ ον Οι πιέσεις στα σημεία Α και Β είναι: Ρ = Ρat + ρ g h και Ρ = Ρat + ρ g h, με h = h h.

3 ον Εξίσωση του Bernoulli από σημεία Α στο σημείο Β: Ρ + ρ υ² = Ρ + ρ υ² Ρατμ + ρ g h + ρ υ² = Ρατμ + ρ g h + ρ υ² ρ g h + ρ υ² = ρ g h + ρ υ² ρ g h ρ g h = ρ υ² ρ υ² ρ g (h h) = ρ (υ² υ²) η Μεθοδολογία: «Ροόμετρο Venturi με κλειστή στήλη» Το διπλανό σχήμα παριστάνει ένα ροόμετρο Venturi, (βεντουρίμετρο) που αποτελείται από τον οριζόντιο σωλήνα ο οποίος παρουσιάζει στένωση στο σημείο Β. Το ροόμετρο συνδέεται με ένα σωλήνα τύπου U στα σημεία Α και Β. Το κύριο μέρος του σωλήνα U που συνδέει τα σημεία Α και Β περιέχει υδράργυρο. Στο ροόμετρο διέρχεται νερό και η υψομετρική διαφορά που παρουσιάζει ο υδράργυρος οφείλεται στις διαφορετικές πιέσεις που παρουσιάζει το νερό στις διατομές Α και Β. ον Eξίσωση της συνέχειας : Α υ = Α υ υ = Α Α υ (Σχέση ) Από την εξίσωση του Bernoulli προκύπτει ότι στο σημείο η πίεση είναι μεγαλύτερη από ότι στο. Έτσι το νερό στο σημείο Α πιέζει τον υδράργυρο προς τα κάτω. Αντίθετα στο Β η πίεση είναι μικρότερη και έτσι ο υδράργυρος ανεβαίνει προς το Β. ον Εφαρμόζουμε την εξίσωση του Bernoulli στα σημεία και : ρν u + P + ρν g y = ρν u + P + ρν g y ρν (u - u ) = P - P (Σχέση )

3 ον Το τμήμα του υδραργύρου βρίσκεται σε ισορροπία. Σύμφωνα με την αρχή των συγκοινωνούντων δοχείων αν πάρουμε δύο σημεία Δ και Ε που βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο εντός του ίδιου υγρού, θα ισχύει PΔ = PΕ Οι πιέσεις όμως σε αυτά τα σημεία είναι: PΔ = ρν g h + P PΕ = ρν g h + ρhg g h + P Εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη θα πάρουμε: ρν g h + P = ρν g h + ρhg g h + P P - P= ρν g (h-h) + ρhg g h h h = h P - P= -ρν g h + ρhg g h P - P= g h (ρhg - ρν ) (Σχέση 3) 3 ον Από τις σχέσεις (),() και (3) βρίσκω ταχύτητες ή το h (ανάλογα τα δεδομένα της άσκησης) η Μεθοδολογία: «Δύναμη λόγω υποπίεσης» Για την φλέβα αέρα του διπλανού σχήματος εφαρμόζω την εξίσωση Bernoulli από Σ σε Σ : ρ u + ρ g y + P = ρ u + ρ g y + P Το Σ είναι σημείο μακρυά από την σκεπή και μπορώ να θεωρήσω ότι u 0. Επίσης η πίεση στο Σ είναι ίση με την Pατμ. Τα ύψη y και y θεωρούνται σχεδόν ίσα κατά προσέγγιση. Pατμ = ρ u + P P = Pατμ - ρ u Αποδείξαμε ότι η πίεση στο εξωτερικό σημείο της σκεπής είναι μικρότερη από την ατμοσφαιρική πίεση.

Αν το σπίτι έχει κλειστά τα παράθυρα τότε η πίεση στο εσωτερικό του είναι ίση με την ατμοσφαιρική και αυτό έχει ως αποτέλεσμα η σκεπή να δέχεται την δύναμη που φαίνεται στο σχήμα λόγω διαφοράς πίεσης. (Δύναμη λόγω υποπίεσης: F=ΔP/A). Η δύναμη υποπίεσης παίζει ρόλο στα οχήματα της Formula (και όχι μόνο) διότι βοηθά στο να συγκρατηθεί στο έδαφος το όχημα ακόμα και αν αναπτύσσει τεράστιες ταχύτητες. 3 η Μεθοδολογία: «Ψεκαστήρι νερού» Στο ψεκαστήρι του νερού έχουμε ένα έμβολο το οποίο προσδίδει ταχύτητα στον αέρα ακριβώς πάνω από το σωλήνάκι του οποίου το άλλο άκρο είναι βυθισμένο σε υγρό που ισορροπεί. Εμείς ψάχνουμε την ταχύτητα με την οποία πρέπει να εξέρχεται ο αέρας από το έμβολο ώστε το υγρό να ανέβει στο πάνω άκρο του σωλήνα για να παρασυρθεί από τον αέρα. ον Αν εφαρμόσουμε την εξίσωση Bernoulli για την ευθύγραμμη ρευματική γραμμή του αέρα από το σημείο Γ έως το σημείο Ζ θα έχουμε: ραερ uγ + ραερ g y + PΓ = ραερ uζ + ραερ g y + PΖ Στο Ζ σημείο που βρίσκεται μακρυά από το Γ μπορώ να θεωρήσω ότι uζ 0 και PΖ= Pατμ

Άρα θα χω: ραερ uγ + PΓ = Pατμ () ον Στα σημεία Α και Δ του δοχείου με το νερό έχουμε την ίδια πίεση εφόσον βρίσκονται στην ίδια οριζόντιο: PΑ= PΔ Pατμ= PΓ + Pυδρ Pατμ= PΓ + ρν g h () 3 ον Από τις σχέσεις () και () παίρνω: u Γ = ρ ν h ρ αερ 4 η Μεθοδολογία: «Αναρρόφηση νερού» Διαθέτουμε μια δεξαμενή με νερό. Για να αφαιρέσουμε μια ποσότητα νερού από την δεξαμενή, χρησιμοποιούμε έναν ελαστικό σωλήνα σταθερής διατομής Α, τον οποίο αφού λυγίσουμε, βυθίζουμε το ένα άκρο του Γ κατά y στο νερό. Με αναρρόφηση στο άλλο άκρο Α, το οποίο βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο με το Γ, πετυχαίνουμε την εκροή του νερού. Θέλουμε να βρούμε την πίεση στο άκρο Γ και στο ανώτερο σημείο Β του σωλήνα. ον Έστω μια ρευματική γραμμή, στο σχήμα με διακεκομμένη γραμμή. Εφαρμόζουμε το νόμο του Bernoulli, μεταξύ των σημείων Α και Δ, και παίρνουμε: P gy PA A Αλλά PΑ=PΔ=Pατ, ενώ δεχόμενοι μηδενική την ταχύτητα ροής στο Δ, (με βάση την εξίσωση της συνέχειας ΑΔ υδ=αα υα και αφού ΑΔ>>ΑΑ, θα έχουμε υδ<<υα), θα έχουμε: gy A A Από την εξίσωση της συνέχειας για τις διατομές του σωλήνα Α και Γ έχουμε: gy ΑΑ υα=αγ υγ υα=υγ.

Δηλαδή σε όλα τα σημεία του σωλήνα η ταχύτητα ροής παραμένει σταθερή. Εφαρμόζουμε ξανά το νόμο του Bernoulli, μεταξύ των σημείων Α και Γ, και παίρνουμε: P PA A P PA P a Με την ίδια λογική, μεταξύ Β και Α έχουμε: P B gh B P A A P B gh P A P B P A gh 5 η Μεθοδολογία: «Ταλάντωση Ρευστού» Γυάλινος σωλήνας, ανοιχτός στα δύο άκρα του περιέχει ρευστό σε ύψος h και έχει μάζα m. ον Αρχικά το ρευστό ισορροπεί στην θέση ισορροπίας όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. Εκτρέπω το υγρό από την μία μεριά κατά y και το αφήνω ελεύθερο. ον Σε μια στήλη υγρού ύψους y, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Οι δυνάμεις που ασκούνται στην στήλη του υγρού, είναι : Pατμ Α ασκούνται λόγω της ατμοσφαιρικής πίεσης από τα ανοιχτά άκρα Δm g Το βάρος της στήλης υγρού, 3 ον Εφαρμόζουμε τον ο νόμο του Νεύτωνα στο τμήμα του ρευστού ύψους y και μάζας Δm (θετικά θέτουμε προς τα πάνω) : ΣF = Pατμ Α dm g Pατμ Α ΣF = dm g ΣF = ρ dv g ΣF = ρ A y g ΣF = ( ρ Α g) y, Που είναι της μορφής ΣF = D y, άρα η στήλη υγρού ύψους h και μάζας m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, με D = ρ Α g, H περίοδος της ταλάντωσης : Τ = π h g Τ = π m D Τ = π ρ A h ρ Α g όπου ρ η πυκνότητα του υγρού,h το μήκος της στήλης του υγρού, Α η διατομή του σωλήνα, g η επιτάχυνση της βαρύτητας. Παρατηρήσεις: η Η δύναμη που δέχεται ένα τμήμα ρευστού κατά την ροή του είναι: F = dp = dm Δu dt Δt = ρ dv Δu Δt = ρ.π.δu = ρ.dv.δu η Ο ρυθμός με τον οποίο το ρευστό προσφέρει ενέργεια σε ένα στρόβιλο (π.χ. υδροηλεκτρικό φράγμα) είναι:

dε = (/) dm u dt Δt = ρ dv u Δt = ρ Π u = ρ Α u3 3 η Αν η παροχή είναι μεταβλητή, δηλαδή χρονική συνάρτηση, τότε το εμβαδόν του διαγράμματος ισούται αριθμητικά με τον όγκο του ρευστού που πέρασε από την διατομή Εμβ(τργ)=Vρευστού Κασβίκης Αθανάσιος Φυσικός