Μέθοδος Φασματικής Ικανότητας Βασισμένη σε Ανελαστικά Φάσματα Απόκρισης για Κατασκευές με Αποσβεστήρες Ιξώδους

Μέθοδος Φασματικής Ικανότητας Βασισμένη σε Ανελαστικά Φάσματα Απόκρισης για Κατασκευές με Αποσβεστήρες Ιξώδους ΚοσμάςΜπαντίλας MSc, Πολ. Μηχανικός, Τμήμα. Πολιτικών Μηχανικών ΔΠΘ Ιωάννης Καββαδίας Υποψήφιος. Διδάκτωρ, Πολ. Μηχανικός, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΔΠΘ Λάζαρος Βασιλειάδης Επίκουρος Καθηγητής, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΔΠΘ Εισαγωγή Η φιλοσοφία των παθητικών συστημάτων απορρόφησης ενέργειας βασίζεται στη ιδέα της κατανάλωσης σεισμικής ενέργειας σε προκαθορισμένα πρόσθετα μέλη της κατασκευής (παθητικά συστήματα) τα οποία δεν αποτελούν τμήμα του συστήματος ανάληψης των κατακόρυφων φορτίων και μπορούν να αντικατασταθούν εύκολα σε περίπτωση βλάβης (Constantinou et al. 1993). Παθητικά συστήματα απορρόφησης σεισμικής ενέργειας υπό τη μορφή ιξωελαστικών αποσβεστήρων ή αποσβεστήρων ιξώδους απόσβεσης συντελούν στην αύξηση της ενεργού απόσβεσης της κατασκευής και επομένως στη μείωση των σεισμικών απαιτήσεων και η εφαρμογή τους μελετάται συστηματικά από τις αρχές τις δεκαετίας του 1990 όπου και αναπτύχθηκαν οι πρώτες κανονιστικές διατάξεις για την χρήση τέτοιων συστημάτων σε κατασκευές (Whitteker et al. 1993). Ωστόσο παρά τη βελτίωση της σεισμικής απόκρισης μέσω των παθητικών συστημάτων, βασική μέριμνα κατά την ανάλυση και τον αντισεισμικό σχεδιασμό των κατασκευών με ή χωρίς συστήματα απόσβεσης αποτελεί ο έλεγχος και ο περιορισμός των αναμενόμενων μετατοπίσεων. Δεδομένου ότι όλοι οι σύγχρονοι κανονισμοί τόσο για το σχεδιασμό όσο και την ενίσχυση υφιστάμενων κατασκευών δέχονται πως η κατασκευή θα αποκριθεί ανελαστικά, η ακριβέστερη μέθοδος ανάλυσης είναι η Μη Γραμμική Δυναμική Ανάλυση. Ωστόσο, οι κανονισμοί επιτρέπουν την εφαρμογή απλοποιημένων στατικών αναλύσεων όπως η Γραμμική Στατική Ανάλυση (FEMA 273, FEMA 368) και η Μη Γραμμική Στατική Ανάλυση (FEMA 273). Αν και η ακρίβεια των απλοποιητικών μεθόδων έχει εξεταστεί εκτενώς τόσο για τις ελαστικές μεθόδους (Sadek et al. 2000) όσο και τις ανελαστικές (Tsopelas et al. 1997, Ramirez et al. 2002), η μη γραμμική στατική ανάλυση παρέχει μια ακριβέστερη εκτίμηση της σεισμικής απόκρισης στις περιπτώσεις που η κατασκευή αναμένεται να αποκριθεί ανελαστικά. Η μη γραμμική στατική ανάλυση που παρουσιάζεται στον FEMA 274 (Method 2) βασίζεται στη Μέθοδο της Φασματικής Ικανότητας (ΜΦΙ) η οποία αναπτύχθηκε αρχικά από τον Freeman (1978). Στις περισσότερες σχεδόν διατυπώσεις της μη γραμμικής στατικής ανάλυσης που έχουν διερευνηθεί κατά καιρούς, με δεδομένο το φάσμα ικανότητας της κατασκευής και ένα ελαστικό φάσμα απαίτησης, συνήθως με απόσβεση ξ=5%, το σημείο επιτελεστικότητας προκύπτει από την εξισορρόπηση της απαίτησης με την ικανότητα, μέσω μιας επαναληπτικής διαδικασίας. Κατά την επαναληπτική διαδικασία εισάγεται ένας ισοδύναμος ελαστικός μονοβάθμιος ταλαντωτής με ιδιοπερίοδο Τ eff και ιξώδη απόσβεση ξ eff. Με προσδιορισμένο το μέγεθος της ενεργού απόσβεσης πραγματοποιείται απομείωση του ελαστικού φάσματος μέσω μειωτικών συντελεστών απόσβεσης (B). Τιμές του

συντελεστή Β υπάρχουν διαθέσιμες στη σχετική βιβλιογραφία για διάφορα επίπεδα απόσβεσης (Sadek et al. 2000, Ramirez et al. 2002, Palermo et al. 2013). Μια εναλλακτική μορφή της ΜΦΙ με χρήση ανελαστικών φασμάτων έχει διερευνηθεί από τους Chopra and Goel (1999) καθώς και τον Fajfar (1999) για κατασκευές χωρίς συστήματα απόσβεσης. Η μέθοδος διαφέρει από την κλασική μορφή της ΜΦΙ καθώς δεν χρησιμοποιείται η έννοια του ισοδύναμου ελαστικού μονοβάθμιου ταλαντωτή αλλά η απομείωση του φάσματος απαίτησης πραγματοποιείται μέσω προσεγγιστικών σχέσεων που συνδέουν τον συντελεστή συμπεριφοράς της κατασκευής R με την πλαστιμότητα μ. Σχέσεις αυτής της μορφής υπάρχουν διαθέσιμες στη βιβλιογραφία (Miranda and Bertero 1994) και συχνά αναφέρονται ως σχέσεις R μ Τ. Ωστόσο οι προτεινόμενες σχέσεις R μ T έχουν κατασκευαστεί για ποσοστό απόσβεσης 5%. Εξαίρεση αποτελεί η εργασία των Riddell and Newmark (1979) και Palermo et al. (2013) όπου προτείνονται σχέσεις R μ T για συστήματα με ιξώδη απόσβεση έως ξ=10%. Τέλος, οι Ramirez et al. (2002), χωρίς τη χρήση σχέσεων R μ T, συσχέτισαν την ελαστική μετατόπιση με την αναμενόμενη ανελαστική μέσω ενός συντελεστή C 1, λαμβάνοντας υπόψη την πρόσθετη απόσβεση. Με δεδομένο πως τα ανελαστικά φάσματα θεωρούνται ακριβέστερα από τα ελαστικά, ειδικά σε δύσκαμπτα συστήματα αλλά και στην περίπτωση υψηλών τιμών πλαστιμότητας (Chopra and Goel 1999, Fajfar 1999), στην παρούσα εργασία, για την εκτίμηση των αναμενόμενων παραμορφώσεων σε κατασκευές με αποσβεστήρες ιξώδους απόσβεσης χρησιμοποιείται η ΜΦΙ βασισμένη σε ανελαστικά φάσματα απόκρισης. Δεδομένου ότι βασική προϋπόθεση για την εφαρμογή της μεθόδου αποτελεί ο προσδιορισμός της ενεργού απόσβεσης της κατασκευής, διερευνάται μια απλοποιημένη ιδιομορφική ιξώδης απόσβεση, της οποίας η αξιοπιστία και αποτελεσματικότητα ελέγχεται μέσω της σύγκρισης των αποτελεσμάτων με αυτά που προκύπτουν από τις προτεινόμενες από τους κανονισμούς σχέσεις. Επίσης παρουσιάζονται μειωτικοί συντελεστές απόσβεσης (B) για τον προσδιορισμό της απαίτησης ελαστικών συστημάτων με υψηλή απόσβεση, καθώς και σχέσεις R μ Τ για συστήματα με ποσοστό απόσβεσης ως 50%. Επιπλέον, προτείνονται διορθωτικοί συντελεστές ψευδοταχύτητας (Β V ). Τέλος γίνεται εφαρμογή της ΦΜΙ με ανελαστικά φάσματα υψηλής απόσβεσης σε τετραώροφο πλαίσιο ωπλισμένου σκυροδέματος. 2. Φασματική μέθοδος αποτίμησης για κατασκευές με ιξώδης αποσβεστήρες Στη παρούσα εργασία για την αποτίμησης στης σεισμικής απόκρισης κατασκευών που εφοδιάζονται με επιπρόσθετους αποσβεστήρες ιξώδους απόσβεσης προτείνεται μία μέθοδος φασματικής ικανότητας βασισμένη σε ανελαστικά φάσματα διαρροής. Σύμφωνα με την προτεινόμενη μεθοδολογία το σημείο επιτελεστικότητας προκύπτει από τη σχέση μεταξύ του συντελεστή συμπεριφοράς R με την πλαστιμότητα παραμορφώσεων του συστήματος μ, χωρίς να χρειάζεται να ληφθεί υπόψη η υστερητική απόσβεση, πάρα μόνο το άθροισμα της ιξώδους με την επιπρόσθετη απόσβεση από τους αποσβεστήρες. Για αυτόν τον λόγο εξετάζεται μία απλοποιητική ιδιομορφική απόσβεση για τον προσδιορισμό της επιπρόσθετης απόσβεσης από τους αποσβεστήρες. Η ιδιομορφική ιξώδης απόσβεση υπολογίζεται μετασχηματίζοντας την εξίσωση κίνησης του πολυβάθμιου ταλαντωτή με απόσβεση με τα ιδιοδιανύσματα χωρίς απόσβεση. Για την εφαρμογή της μεθόδου απαιτείται η κατασκευή του φάσματος ικανότητας της κατασκευής μέσω στατικής ανελαστικής ανάλυσης καθώς και η μετατροπή του φάσματος σε ισοδύναμο διγραμμικό. Με δεδομένο το ελαστικό φάσμα απαίτησης για απόσβεση 5%, η ελαστική απαίτηση για ξ eff προσδιορίζεται εφαρμόζοντας μειωτικούς συντελεστές Β ως εξής:

Sd ( T,5%) Sd( T, eff ) BT (, eff ) (1) όπου S d (T,5%), είναι η απαιτούμενη μετατόπιση για απόσβεση 5%, S d (T,ξ eff ) είναι η απαιτούμενη μετατόπιση για απόσβεση ξ eff και B(T,ξ eff ) είναι ο μειωτικός συντελεστής για απόσβεση ξ eff. Μετέπειτα, το ανελαστικό φάσμα απαίτησης για απόσβεση ξ eff κατασκευάζεται με τη χρήση σχέσεων R μ Τ. Το ανελαστικό φάσμα σταθερής πλαστιμότητας κατασκευάζεται ως εξής: Sdel, ( T, eff) Sd, y( T, eff) (2) R(,, eff ) όπου S d,el (T, ξ eff ) είναι η απαιτούμενη μετατόπιση για ελαστική απόκριση και απόσβεση ξ eff, S d,y (T, ξ eff ) είναι η απαιτούμενη μετατόπιση στη διαρροή με απόσβεση ξ eff, και R (μ, T, ξ eff ) είναι ο συντελεστής συμπεριφοράς για πλαστιμότητα μετατοπίσεων μ και απόσβεση ξ eff. Τέλος, το σημείο επιτελεστικότητας υπολογίζεται από το ανελαστικό φάσμα στη διαρροή όπως έχει αναπτυχθεί από τους Aschheim and Black (2000). Το διάγραμμα ροής της προτεινόμενης μεθόδου φασματικής ικανότητας καθώς και η γραφική της απεικόνιση περιγράφεται στο παρακάτω σχήμα. Ιδιομορφική Ανάλυση Προσδιορισμός των ιδιοδιανυσμάτων και των ιδιοτιμών της κατασκευής Κατασκευή του ελαστικού φάσματος απαίτησης για απόσβεση 5% σε μορφή ADRS S a,5% Ελαστικό Φάσμα Απαίτησης (ξ = 5% Απόσβεση) Προσδιορισμός της ενεργού απόσβεσης (ξ eff ) της 1ης ιδιομορφής λόγω των συστημάτων απόσβεσης Ανάλυση Pushover Προσδιορισμός του φάσματος ικανότητας Απομείωση του ελαστικού φάσματος απαίτησης με βάση την ενεργό απόσβεση της κατασκευής ξ eff Προσδιορισμός της απαιτούμενης πλαστιμότητας μέσω του ανελαστικού φάσματος σταθερής πλαστιμότητας από τις σχέσεις R-μ-Τ Σχ. 1 Διάγραμμα ροής της προτεινόμενης μεθοδολογίας. Εκτός από τις αναμενόμενες μετατοπίσεις, απαραίτητος είναι και ο προσδιορισμός των αναμενόμενων δυνάμεων που αναπτύσσονται στους αποσβεστήρες. Με δεδομένο πως οι αποσβεστήρες ιξώδους απόσβεσης αποτελούν συσκευές εξαρτώμενες από την ταχύτητα φόρτισης, απαιτείται ο προσδιορισμός της σχετικής ταχύτητας των άκρων του αποσβεστήρα. Εάν η φασματική ταχύτητα S V που αντιστοιχεί στην ιδιοπερίοδο της κατασκευής είναι γνωστή τότε η δύναμη των αποσβεστήρων δίνεται από τη σχέση: * FDi, SvTijCicosi (3) όπου F D,i είναι η δύναμη απόσβεσης της συσκευής i, θ i η γωνία της συσκευής i με τον οριζόντιο άξονα, C i ο συντελεστής απόσβεσης της συσκευής i και φ ij οι ιδιομορφικές συντεταγμένες της πρώτης ιδιομορφής μεταξύ των ακρών της συσκευής i. Ωστόσο στην πράξη το φάσμα των ταχυτήτων δεν είναι γνωστό και αντί αυτού χρησιμοποιείται το ψευδοφάσμα των ταχυτήτων. Επομένως, η θεώρηση ισότητας μεταξύ ταχύτητας και ψευδοταχύτητας δεν ισχύει σε όλο το εύρος του φάσματος (Sadek et al. 2000). Για το λόγο αυτό η εκτίμηση της φασματικής ταχύτητας γίνεται μέσω ενός διορθωτικού συντελεστή Bv. Συμβατικές θεωρήσεις για τον υπολογισμό της ενεργού απόσβεσης S a,ξeff S a,ξeff / R(μ,Τ,ξ eff ) Ελαστικό Φάσμα Απαίτησης (ξ=ξ eff Απόσβεση) Εξιδανικευμένο Φάσμα Ικανότητας S d,y S d,5% / B S d,5% Ανελαστικό Φάσμα Σταθερής Πλαστιμότητας (ξ = ξ eff Απόσβεση)

Ο υπολογισμός της ιξώδους απόσβεσης που παρέχεται τόσο από το σύστημα απόσβεσης όσο και από την υστερητική απόκριση του ταλαντωτή προσδιορίζεται μέσω του λόγου της ενέργειας που καταναλώνεται σε ένα κύκλο φόρτισης W Diss προς το έργο των δυνάμεων επαναφοράς του ισοδύναμου ελαστικού ταλαντωτή W R μέσω της Σχέσης (4) (FEMA 273, Chopra 2001). 1 WDiss eff (4) 4 WR όπου στην περίπτωση των αποσβεστήρων ιξώδους η Σχέση (4) παίρνει τη μορφή: 2 2 2 2 Teff cj cos j rj Tel D cj cos j rj ή 2 D (5) 2 4 mii 4 mii όπου c j, ο συντελεστής απόσβεσης της συσκευής j ; θj, η κλίση που σχηματίζει με την οριζόντιο η συσκευή j ; φ rj, η σχετική φασματική μετατόπιση των άκρων της συσκευής j ; T eff, η ιδιοπερίοδος που αντιστοιχεί στην τέμνουσα δυσκαμψία για επίπεδο πλαστιμότητας μ. Από τη Σχέση (5) φαίνεται πως το μέγεθος της πρόσθετης απόσβεσης εξαρτάται από την ενεργό ιδιοπερίοδο του ισοδύναμου ελαστικού ταλαντωτή. Προτεινόμενη Μέθοδος για τον υπολογισμό της ενεργού απόσβεσης Κατ αντιστοιχία με τα γραμμικά συστήματα χωρίς απόσβεση, η απόκριση ενός πολυβάθμιου ταλαντωτή με απόσβεση μπορεί να προκύψει από την επαλληλία αποκρίσεων αρμονικών ταλαντώσεων ισοδύναμων μονοβάθμιων ταλαντωτών. Σε αυτή την περίπτωση το πρόβλημα των ιδιοτιμών παίρνει τη μορφή: 2 mck 0 (6) Το παραπάνω πρόβλημα αποτελεί ένα τετραγωνικό πρόβλημα ιδιοτιμών που η λύση του οδηγεί σε μιγαδικές ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα. Επειδή η διαδικασία επίλυσης του τετραγωνικού προβλήματος των ιδιοτιμών απαιτεί περίπου οκτώ φορές περισσότερους υπολογισμούς σε σχέση με το πρόβλημα των ιδιοτιμών συστημάτων χωρίς απόσβεση (Chopra 2001), ένας προσεγγιστικός τρόπος για την εκτίμηση της απόκρισης πολυβάθμιων ταλαντωτών με απόσβεση περιλαμβάνει τον μετασχηματισμό της εξίσωσης κίνησης του συστήματος με απόσβεση με τα ιδιοδιανύσματα της κίνησης χωρίς απόσβεση. Σε αυτή την περίπτωση η εξίσωση κίνησης σε όρους ιδιομορφικών συντεταγμένων παίρνει τη μορφή: * * * * Mq Cq KqLu g () t (7) όπου Μ * = Φ Τ m Φ, μητρώο γενικευμένης μάζας; C * = Φ Τ c Φ, μητρώο γενικευμένης απόσβεσης; K * = Φ Τ k Φ, μητρώο γενικευμένης δυσκαμψίας; L* = Φ Τ m δ, συντελεστές διέγερσης. Στην παραπάνω εξίσωση το μητρώο της γενικευμένης απόσβεσης δεν είναι απαραίτητα διαγώνιο, με αποτέλεσμα η παραπάνω διαδικασία να οδηγεί σε n συζευγμένους μονοβάθμιους ταλαντωτές (Chopra 2001). Στην πράξη μπορούν να παραληφθούν τα στοιχεία του πίνακα που βρίσκονται εκτός της διαγωνίου. Έτσι η διαφορική εξίσωση του ισοδύναμου μονοβάθμιου ταλαντωτή που αντιστοιχεί στην ιδιομορφή k ενός πολυβάθμιου συστήματος με γραμμική ιξώδη απόσβεση λόγω αποσβεστήρων (α = 1) και ιξοελαστική συμπεριφορά των δομικών στοιχείων δίνεται από τη σχέση * * * * * q C q K q u () t (8) k k k k k g όπου Μ * k = φ k,i m ij φ k,j, η γενικευμένη μάζα της k ιδιομορφής; C * k = φ k,i c ij φ k,j, η γενικευμένη απόσβεση της k ιδιομορφής; Κ * k = φ k,i k ij φ k,j, η γενικευμένη δυσκαμψία της k ιδιομορφής; L * k = φ k,i m ij δ j, συντελεστές διέγερσης της k ιδιομορφής.

Θεωρώντας πως η απόκριση του πολυβάθμιου συστήματος μπορεί να περιγραφεί ικανοποιητικά από την πρώτη ιδιομορφή, η ενεργός απόσβεση του ισοδύναμου μονοβάθμιου συστήματος μπορεί να υπολογιστεί από τη σχέση: * C1 eff o (9) * *2 2 M1, eff / 1 1 Όπου ξ ο, ποσοστό κρίσιμης απόσβεσης της κατασκευής χωρίς αποσβεστήρες; C 1 * = φ 1,i c ij φ 1,j, γενικευμένη απόσβεση της πρώτης ιδιομορφής; M 2 * * * 1,eff 1 1 M, ενεργός ιδιομορφική μάζα της πρώτης ιδιομορφής; Γ 1 * = L 1 */ Μ 1 *, ο συντελεστής συμμετοχής της πρώτης ιδιομορφής; ω 1, η κυκλική συχνότητα της πρώτης ιδιομορφής. Οι όροι c ij του μητρώου απόσβεσης C D, εκφράζουν τη δύναμη απόσβεσης στο βαθμό ελευθερίας i όταν επιβληθεί μοναδιαία ταχύτητα στο βαθμό ελευθερίας j. H δύναμη απόσβεσης F D δίνεται από τη σχέση: a F c u sgn( u ) (10) D D // // όπου c D, η σταθερά απόσβεσης του αποσβεστήρα; α, εκθέτης με τιμές 0.1 1; u η σχετική ταχύτητα // μετατόπισης των άκρων του αποσβεστήρα παράλληλα στη διεύθυνση του. Έστω ταλαντωτής με n βαθμούς ελευθερίας που η κάθε μάζα m i συνδέεται με την προηγούμενη με ιξώδη αποσβεστήρα ο οποίος διαθέτει σταθερά απόσβεσης c i και σχηματίζει γωνία με την οριζόντιο θ i. Το μητρώο απόσβεσης C D μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: κάθε φορά ένας βαθμός ελευθερίας κινείται με μοναδιαία ταχύτητα u 1 ενώ ταυτόχρονα οι υπόλοιποι βαθμοί ελευθερίας παραμένουν i ακίνητοι. Στην περίπτωση αυτή η ταχύτητα του αποσβεστήρα i παράλληλα στη διεύθυνσή του προκύπτει: u //,i =u i cosi = cosi (11) και η αντίστοιχη δύναμη: a Fd,i cicos i ui sgn( u ) cicos i (12) ενώ η οριζόντια προβολή της δύναμης του αποσβεστήρα προκύπτει: 1 a 1 Fdx,i cicos i ui sgn( u ) cicos i (13) Από την ισορροπία των δυνάμεων που ασκούνται σε κάθε μάζα m i λόγω των αποσβεστήρων προκύπτει πως οι όροι c D,ij του μητρώου απόσβεσης C D δίνονται από τη σχέση a1 a1 Για i=j C c cos c cos (14α) Για j=i+1 ή i-1 i, j i i i1 i1 1, cos a Ci j cj j (14β) Σε κάθε άλλη περίπτωση Ci, j 0 (14γ) Ελαστικά Φάσματα Υψηλής Απόσβεσης Η εφαρμογή της μεθόδου φασματικής ικανότητας προϋποθέτει τον προσδιορισμό του φάσματος απαίτησης της υπό εξέταση σεισμικής διέγερσης. Η ακριβέστερη οδός κατασκευής του (είτε του ελαστικού είτε του ανελαστικού φάσματος) είναι μέσω της ολοκλήρωσης της διαφορικής εξίσωσης της κίνησης ως προς το χρόνο. Στην πράξη ωστόσο για λόγους απλότητας χρησιμοποιούνται μειωτικοί συντελεστές μέσω των οποίων πραγματοποιείται η απομείωση του ελαστικού φάσματος με απόσβεση 5% ώστε να ληφθεί υπ όψη η επίδραση της πρόσθετης απόσβεσης της ανελαστικής

συμπεριφοράς. Στην περίπτωση των ελαστικών φασμάτων με υψηλή απόσβεση η απομείωση πραγματοποιείται μέσω ενός μειωτικού συντελεστή ο οποίος ορίζεται από τη Σχέση (1). Εκφράσεις του μειωτικού συντελεστή Β που υπάρχουν στη βιβλιογραφία και αναφέρονται σε κανονισμούς (FEMA 274, FEMA 368, EC-8, Sadek et al. 2000, Ramirez et al. 2002, Palermo et al. 2013), συνήθως ορίζονται από διγραμμικά η τριγραμμικά μοντέλα. Σε όλα τα μοντέλα η τιμή του μειωτικού συντελεστή παραμένει σταθερή μετά την περιοχή των σταθερών επιταχύνσεων του φάσματος απόκρισης. Πίνακας 1 Εξεταζόμενα σεισμικά γεγονότα Date Earthquake Ms Station Component 1941 Northern Calif-01 6.4 Ferndale City Hall 315 1951 Imperial Valley-03 5.6 El Centro Array #9 000 1952 Kern County 7.36 Taft Lincoln School 021 1961 Hollister-01 5.6 Hollister City Hall 271 1966 Parkfield 6.19 Cholame - Shandon Array #12 050 1967 Northern Calif-05 5.6 Ferndale City Hall 314 1968 Borrego Mtn 6.63 El Centro Array #9 180 1971 San Fernando 6.61 Castaic - Old Ridge Route 291 1973 Point Mugu 5.65 Port Hueneme 270 1976 Friuli Italy-01 6.50 Barcis 000 1978 Santa Barbara 5.92 Cachuma Dam Toe 250 1978 Tabas Iran 7.35 Dayhook L1 1979 Imperial Valley-06 6.53 Brawley Airport 225 1980 Livermore-01 5.80 APEEL 3E Hayward CSUH 146 1980 Mammoth Lakes-01 6.06 Long Valley Dam (Upr L Abut) 090 1980 Victoria Mexico 6.33 Cerro Prieto 315 1981 Taiwan SMART1(5) 5.90 SMART1 O07 EW 1981 Westmorland 5.90 Parachute Test Site 225 1984 Morgan Hill 6.19 San Juan Bautista_ 24 Polk St 213 1986 Mt. Lewis 5.60 Halls Valley 090 5.50 5.00 4.50 ξ=10% ξ=20% ξ=30% B 4.00 3.50 3.00 2.50 0 1.50 1.00 0.0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 T(s) Σχ. 2 Μέση απομείωση του ελαστικού φάσματος λόγω απόσβεσης Από αναλύσεις που έγιναν σε μία σειρά 20 σεισμικών διεγέρσεων οι οποίες παρουσιάζονται στον Πίνακα 1 και είχαν τροποποιηθεί κατάλληλα ώστε να είναι συμβατές με το φάσμα του EC 8 για κατηγορία εδάφους C, προέκυψε πως η απομείωση της απαίτησης δεν παραμένει σταθερή μετά την περιοχή της σταθερής φασματικής επιτάχυνσης αλλά αυτή φθίνει όπως φαίνεται και στο Σχήμα 2. Για το λόγο αυτό στην παρούσα εργασία επιχειρείται η κατασκευή μίας ενιαίας συνεχούς έκφρασης των μειωτικών συντελεστών απόσβεσης μέσω της οποίας θα λαμβάνεται υπόψη η απομείωση των συντελεστών για μεγάλες τιμές ιδιοπεριόδου. ξ=40% ξ=50% ξ=60% ξ=70% ξ=80% ξ=90% ξ=100%

Σχ. 3 Απομείωση του ελαστικού φάσματος λόγω απόσβεσης Στο Σχήμα 3 παρουσιάζονται οι αποκρίσεις δύο μονοβάθμιων ταλαντωτών με ιδιοπερίοδο Τ n και λόγους απόσβεσης 5% και ξ οι οποίοι υπόκεινται σε σεισμική διέγερση. Η μέγιστη επιτάχυνση του ταλαντωτή για την ίδια σεισμική διέγερση είναι λογικό να αναμένεται μικρότερη στο σύστημα με την μεγαλύτερη απόσβεση ξ. Για τον προσδιορισμό της μειωμένης απαίτησης λόγω απόσβεσης θεωρείται ότι η διαφορά της μέγιστης δυναμικής ενέργειας του συστήματος για ποσοστά απόσβεσης 5% (Ε P,0.05 ) και ξ (Ε P,ξ ) θα είναι ίση με την ενέργεια που αναλώθηκε στο σύστημα λόγω αύξησης της απόσβεσης κατά Δξ (Ε D,Δξ ), δηλαδή: E E E (15) P,0.05 P, D, Αρκεί λοιπόν να προσδιορισθεί το ποσό της ενέργειας που χάνεται λόγω αύξησης της απόσβεσης κατά Δξ. Για το σκοπό αυτό θεωρείται ότι ο μονοβάθμιος ταλαντωτής εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση λόγω εξωτερικής δύναμηςp(t)=p o sin(ωt). Η ενέργεια που καταναλώνεται σε ένα κύκλο φόρτισης λόγω ιξώδους απόσβεσης ξ * =Δξ προκύπτει: 2 2 2 2 2 2 * * cos( ) 2 D D o * o * o 0 0 n E f du c u dt c u t dt c u ku (16) Αναπτύσσοντας την Σχέση (15) και εισάγοντας την (16) προκύπτει: B Sa T n (17) Sa T 0.05 14 όπου Τ είναι η περίοδος της αρμονικής εξωτερικής δύναμης διέγερσης P(t) και Τ n η ιδιοπερίοδος του ταλαντωτή. Ωστόσο ο όρος Τ της Σχέσης (17) είναι δύσκολο να προσδιορισθεί λόγω τόσο της τυχηματικότητας των εδαφικών κινήσεων, αλλά κυρίως λόγω του γεγονότος ότι μια πραγματική σεισμική φόρτιση δεν έχει αρμονική μορφή. Για αυτόν το λόγο χρησιμοποιήθηκαν οι 20 σεισμικές διεγέρσεις του Πίνακα 1 έτσι ώστε να προσδιορισθεί μία συνάρτηση της μορφής f ( T, ξ ) η οποία να περιγράφει τον όρο Τ n / T. Ύστερα από βαθμονόμηση της Σχέσης (17) με τα αναλυτικά αποτελέσματα, η απομείωση του φάσματος δίνεται από τις παρακάτω σχέσεις B Sa 0.05 1 4 f ( T, ) (18) Sa T T b c T T f ( T, ) e e (19)

όπου α, b και c εξαρτώνται από το μέγεθος της απόσβεσης και δίνονται στον Πίνακα 2 και Τ ο η τιμή της ιδιοπεριόδου που αντιστοιχεί την έναρξη της περιοχής σταθερών φασματικών ταχυτήτων. Πίνακας 2 Συντελεστές a, b και c της Σχέσης (19) ξ 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 a 1.46 1.92 2.34 2.82 3.40 b -0.15-0.20-0.24-0.27-0.30 c -2.56-1.75-1.45-1.28-1.15 1.40 ξ =0.1 2.20 ξ=0.2 2.60 ξ=0.3 1.35 1.30 1.25 0 1.80 2.40 2.20 0 B 1.20 B 1.60 B 1.80 1.15 1.10 1.05 1.40 1.20 1.60 1.40 1.20 1.00 0.00 1.00 0 3.00 4.00 3.50 ξ=0.4 1.00 0.00 1.00 0 3.00 4.00 4.00 ξ=0.5 1.00 0.00 1.00 0 3.00 4.00 3.00 3.50 B 2.50 0 1.50 B 3.00 2.50 0 1.50 Mean Proposed Ramirez et al. 1.00 0.00 1.00 0 3.00 4.00 1.00 0.00 1.00 0 3.00 4.00 Σχ. 4 Διαγράμματα μειωτικών συντελεστών Β Στο Σχήμα 4 παρουσιάζονται συγκριτικά οι συντελεστές απομείωσης λόγω απόσβεσης που προέκυψαν από την Σχέση (18) και το αντίστοιχο μοντέλο των Ramirez et al. (2002), σε σχέση με την μέση απομείωση που υπολογίστηκε αναλυτικά μέσω των 20 αναλύσεων χρονοϊστορίας. Ένα ιδιαίτερο χαρακτηριστικό της προτεινόμενης συνεχούς μη γραμμικής σχέσης είναι ότι μπορεί να εφαρμοστεί σε όλο το εύρος τιμών των ιδιοπεριόδων. Επιπρόσθετα περιγράφει και την μείωση των συντελεστών πέρα από την περιοχή των σταθερών φασματικών επιταχύνσεων. Ανελαστικά Φάσματα Σταθερής Πλαστιμότητας και Υψηλής Απόσβεσης Στην περίπτωση των ανελαστικών φασμάτων στη βιβλιογραφία υπάρχουν αρκετές διαφορετικές μορφές των σχέσεων R μ T (Miranda and Bertero 1994) στις οποίες η ιξώδης απόσβεση του μονοβάθμιου ταλαντωτή κυμαίνεται μεταξύ του 1% 10%, στα πλαίσια δηλαδή της απόσβεσης του υλικού. Εντούτοις, με τη χρήση παθητικών συστημάτων απορρόφησης ενέργειας, η απόσβεση του ισοδύναμου μονοβάθμιου ταλαντωτή μπορεί να φτάσει στο 30% της κρίσιμης απόσβεσης του συστήματος. Έτσι με σκοπό την διερεύνηση της επίδρασης της απόσβεσης στα ανελαστικά φάσματα σταθερής πλαστιμότητας χρησιμοποιήθηκαν 20 σεισμικές διεγέρσεις (Πίνακας 1) για κάθε μία από τις

οποίες κατασκευάστηκαν αναλυτικά τα φάσματα σταθερής πλαστιμότητας για ποσοστά απόσβεσης ξ = 5 50% και τιμές πλαστιμότητας μ = 1.5, 2, 2.5, 3 και 4. Στη συνέχεια προσδιορίσθηκε ο μέσος συντελεστής συμπεριφοράς για κάθε ποσοστό απόσβεσης και κάθε επίπεδο πλαστιμότητας. Οι μέσοι συντελεστές συμπεριφοράς του ελαστικού φάσματος για τιμές απόσβεσης ξ = 0.05 0.5, παρουσιάζονται παρακάτω, στο Σχήμα 5. Στην παρούσα εργασία η απομείωση του φάσματος για τα διάφορα επίπεδα πλαστιμότητας και απόσβεσης δίνεται από τη Σχέση (20) η οποία έχει τη μορφή της σχέσης που προτείνεται από τους Hidalgo and Arias(1990). T R 1 T (20) at0 exp( bt ) c 1 όπου a, b και c συντελεστές που εξαρτώνται από την απόσβεση και δίνονται στον Πίνακα 3 και Τ ο η τιμή της ιδιοπεριόδου που αντιστοιχεί στην έναρξη της περιοχής σταθερών φασματικών ταχυτήτων. Πίνακας 3 Τιμές των συντελεστών a, b και c για διάφορα επίπεδα απόσβεσης ξ 0.05 0.10 0.20 a 0.31 0.25 0.24 b -0.97-0.47-0.13 c 1.00 0.95 0.94 5.0 ξ= 0.05 4.5 ξ= 0.10 4.5 ξ= 0.20 R 4.5 4.0 3.5 3.0 2.5 1.5 μ=4.0 μ=3.0 μ=2.5 μ= μ=1.5 4.0 3.5 3.0 2.5 1.5 μ=4.0 μ=3.0 μ=2.5 μ= μ=1.5 4.0 3.5 3.0 2.5 1.5 μ=4.0 μ=3.0 μ=2.5 μ= μ=1.5 1.0 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 ξ= 0.30 ξ= 0.40 4.5 4.5 1.0 4.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 ξ= 0.50 R 4.0 μ=4.0 4.0 μ=4.0 4.0 μ=4.0 3.5 3.5 3.5 3.0 μ=3.0 3.0 μ=3.0 3.0 μ=3.0 2.5 μ=2.5 2.5 μ=2.5 2.5 μ=2.5 μ= μ= μ= 1.5 μ=1.5 1.5 μ=1.5 1.5 μ=1.5 1.0 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0 Σχ. 5 Συντελεστές συμπεριφοράς R Η απόσβεση δεν επηρεάζει σημαντικά τις τιμές του συντελεστή συμπεριφοράς για την κατασκευή του ανελαστικού φάσματος σταθερής πλαστιμότητας. Είναι φανερό ότι για τιμές λόγου απόσβεσης πάνω από ξ=20% η απομείωση παραμένει σταθερή. Από το Σχήμα 5 φαίνεται ότι για μικρούς λογούς απόσβεσης (ξ=0.05) η θεώρηση ίσων μετατοπίσεων μεταξύ ελαστικής και ανελαστικής απόκρισης για κατασκευές υψηλών ιδιοπεριόδων επιβεβαιώνεται, ενώ για υψηλότερους λόγους απόσβεσης (ξ>0.1), η παραπάνω θεώρηση οδηγεί σε συντελεστή συμπεριφοράς R μικρότερο της πλαστιμότητας μ. Το 1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.5 3.0 3.5 4.0

παραπάνω λαμβάνεται υπόψη μέσω της εισαγωγής του συντελεστή c στη Σχέση (20) όπου για κατασκευές υψηλών ιδιοπεριόδων ο συντελεστής συμπεριφοράς παίρνει τιμή R = c μ. Διορθωτικοί συντελεστές ψευδοταχύτητας Η εκτίμηση των δυνάμεων που αναπτύσσονται στο σύστημα απόσβεσης αποτελεί βασικό παράγοντα για το σχεδιασμό του συστήματος κατανάλωσης ενέργειας προκειμένου να αποφευχθούν αστοχίες λόγω υπέρβασης της φέρουσας ικανότητας του συστήματος. Δεδομένου ότι οι αποσβεστήρες ιξώδους αποτελούν συσκευές εξαρτώμενες από την ταχύτητα, η εκτίμηση της μέγιστης σχετικής ταχύτητας των άκρων του αποσβεστήρα είναι απαραίτητη για τον προσδιορισμό της μέγιστης δύναμης απόσβεσης που αναπτύσσεται στη συσκευή. Η απλούστερη μέθοδος για την εκτίμηση της μέγιστης σχετικής ταχύτητας των άκρων ενός αποσβεστήρα περιλαμβάνει τη χρήση της ψευδοταχύτητας PS V του ισοδύναμου μονοβάθμιου ταλαντωτή και την κατανομή αυτής στους ορόφους της κατασκευής με βάση τη δεσπόζουσα ιδιομορφή. Η PS V υπολογίζεται από το φάσμα των μετατοπίσεων από τη σχέση: PSV Sd (21) ενώ στην περίπτωση των ανελαστικών συστημάτων λαμβάνει τη μορφή: PSV el Sd (22) Ωστόσο, ακόμα και σε ελαστικά συστήματα η θεώρηση ισότητας μεταξύ φασματικής ταχύτητας και της PS V ισχύει μόνο για ταλαντωτές με ιδιοπερίοδο κοντά στο 0.5s (Sadek et al. 2000). Για μεγαλύτερες τιμές ιδιοπεριόδου, η θεώρηση της ισότητας οδηγεί σε υποεκτίμηση της αναπτυσσόμενης ταχύτητας ενώ για μικρές τιμές η θεώρηση είναι συντηρητική. Για το λόγο αυτό χρησιμοποιήθηκαν οι σεισμικές διεγέρσεις του Πίνακα 1 για τον προσδιορισμό ενός διορθωτικού συντελεστή των ψευδοταχυτήτων. Ο διορθωτικός συντελεστής Β V ορίζεται ως εξής PSV el Sd v (23) SV SV Οι τιμές του διορθωτικού συντελεστή B V, όπως αυτές προέκυψαν από τις αναλύσεις, παρουσιάζονται στο Σχήμα 6 για διάφορα επίπεδα απόσβεσης και πλαστιμότητας. Από ανάλυση παλινδρόμησης των αναλυτικών αποτελεσμάτων, ο συντελεστής Β V δίνεται από τη σχέση 2 4 5 6 2 a a a v ( a1 a2 a3) T (24) όπου α 1 α 6, συντελεστές που δίνονται στον Πίνακα 4 για διάφορα επίπεδα απόσβεσης. Πίνακας 4 Τιμές των συντελεστών της Σχέσης (24) ξ α1 α2 α3 α4 α5 α6 0.05 0.014-0.089 1.058 0.008-0.095-0.043 0.10 0.015-0.105 1.056 0.006-0.083-0.098 0.20 0.020-0.169 1.080 0.014-0.140-0.131 0.30 0.013-0.106 1.002 0.000-0.038-0.272 0.40 0.012-0.104 0.984-0.004-0.014-0.338 0.50 0.006-0.072 0.946 0.000-0.031-0.375 Από τα αποτελέσματα του Σχήματος 6 είναι εμφανές ότι όσο αυξάνεται η απαιτούμενη πλαστιμότητα και η ενεργός απόσβεση, τόσο οι διορθωτικοί συντελεστές παίρνουν μεγαλύτερες τιμές για τις δύσκαμπτες κατασκευές και μικρότερες για τις εύκαμπτες. Πιο συγκεκριμένα για κατασκευές με λόγο απόσβεσης ξ=0.05 και πλαστιμότητα μ=1 ο συντελεστής Β V παίρνει τιμές 0.9-1.3, ενώ για λόγο απόσβεσης ξ=0.20 και πλαστιμότητα μ=4 ο διορθωτικός συντελεστής παίρνει τιμές 2.40-0.50.

2.8 2.4 ξ=0.05 μ=1 μ=1.5 μ=2 μ=2.5 μ=3.0 μ=4.0 μ=1(r) μ=1.5(r) μ=2(r) μ=2.5(r) μ=3.0(r) μ=4.0(r) 2.8 2.4 ξ=0.10 2.8 2.4 ξ=0.20 B v 1.6 1.2 B v 1.6 1.2 B v 1.6 1.2 0.8 0.8 0.8 0.4 0.0 0.5 1.0 1.5 2.5 2.8 ξ=0.30 2.4 0.4 0.0 0.5 1.0 1.5 2.5 2.8 ξ=0.40 2.4 0.4 0.0 0.5 1.0 1.5 2.5 2.8 ξ=0.50 2.4 B v 1.6 1.2 B v 1.6 1.2 B v 1.6 1.2 0.8 0.8 0.8 0.4 0.0 0.5 1.0 1.5 2.5 0.4 0.0 0.5 1.0 1.5 2.5 Σχ. 6 Διορθωτικοί συντελεστές Β V 0.4 0.0 0.5 1.0 1.5 2.5 Έλεγχος της προτεινόμενης μεθοδολογίας Με σκοπό την αξιολόγηση της ακρίβειας της Μεθόδου Φασματικής Ικανότητας με χρήση ανελαστικών φασμάτων σταθερής πλαστιμότητας και υψηλής απόσβεσης σε πολυβάθμια συστήματα με γραμμικούς αποσβεστήρες ιξώδους απόσβεσης, η μέθοδος εφαρμόστηκε σε τετραώροφο πλαίσιο ωπλισμένου σκυροδέματος (Σχήμα 7). B10 B11 B12 1600 3.00 C13 40/40 C14 45/45 C15 45/45 C16 40/40 1200 3.00 C9 45/45 B7 C10 50/50 B8 C11 50/50 B9 C12 45/45 Base Shear(kN) 800 400 3.00 3.00 C5 50/50 C1 50/50 B4 B1 6.00 C6 55/55 C2 60/60 B5 B2 6.00 B6 C7 C8 55/55 50/50 B3 C3 C4 60/60 50/50 6.00 Σχ. 7 Εξεταζόμενο πλαίσιο C D 0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Top Displacement (m) 3200 1600 0 0 1600 3200 1600 0 0 1600 3200 1600 0 0 1600 1600 Το κτήριο σχεδιάστηκε με βάση τους κανονισμούς EC-2 και EC-8. Όσον αφορά τα συστήματα επιπρόσθετης απόσβεσης θεωρήθηκαν αποσβεστήρες ιξώδους απόσβεσης με απόσβεση C=2000kNs/m τοποθετημένοι σε γωνία 26.56 ο από την οριζόντιο στο κεντρικό φάτνωμα κάθε ορόφου. Εφαρμόζοντας τις Σχέσεις (14α-γ) υπολογίζεται το μητρώο απόσβεσης C D. Εφαρμόζοντας την προτεινόμενη σχέση από τον FEMA (Σχέση (5)) για ελαστική απόκριση καθώς και την προτεινόμενη Σχέση (9) η ενεργός απόσβεση του εξεταζόμενου πλαισίου υπολογίστηκε και από τις δύο σχέσεις ίση με ξ eff =20.8%., γεγονός το οποίο καθιστά τις δύο σχέσεις ισοδύναμες.

Ωστόσο με βάση τη Σχέση (5), η ενεργός απόσβεση πρέπει να αναπροσαρμόζεται σύμφωνα με την ενεργό ιδιοπερίοδο της κατασκευής στην ανελαστική περιοχή. Δεδομένου ότι στην ΜΦΙ με χρήση ανελαστικών φασμάτων η όποια μεταβολή της ενεργού απόσβεσης λόγω μεταβολής της ενεργού ιδιοπεριόδου λαμβάνεται υπόψη στο ανελαστικό φάσμα, η θεώρηση μεταβαλλόμενης απόσβεσης φαντάζει πλεονάζουσα διαδικασία. Για την αξιολόγηση της υπόθεσης που αφορά την αναπροσαρμογή της ενεργού απόσβεσης, η μέθοδος εφαρμόστηκε τόσο με μεταβαλλόμενη απόσβεση όσο και με σταθερή. Για την ακριβέστερη αποτίμηση του υπολογισμού της ενεργού ιδιοπεριόδου, ο υπολογισμός του σημείου επιτελεστικότητας πραγματοποιείται με τη χρήση ανελαστικών φασμάτων σεισμικών διεγέρσεων και όχι με τις προσεγγιστικές σχέσεις Β(Τ, ξ) και R μ T οι οποίες παρουσιάστηκαν προηγουμένως. Η μέθοδος εφαρμόστηκε με 5 σεισμικά γεγονότα (Πίνακας 5). Σε κάθε ένα από τα σεισμικά γεγονότα εφαρμόστηκαν αυξητικοί συντελεστές με σκοπό την διερεύνηση της ακρίβειας της μεθόδου για διάφορα επίπεδα πλαστιμότητας μετατοπίσεων της κατασκευής. Πίνακας 5 Εξεταζόμενα σεισμικά γεγονότα και μεγεθυντικοί συντελεστές Earthquake Component Scale Factors Northern Calif-01 315 x1 x1.25 x1.50 x1.75 x2 x3 Kern County 21 x1 x1.25 x1.50 x1.75 x2 x3 Northern Calif-05 314 x1 x1.25 x1.50 x1.75 x2 San Fernando 291 x1 x1.25 x1.50 x1.75 x2 x3 Santa Barbara 250 x1 x1.25 x1.50 x1.75 x2 Τα αποτελέσματα των αναλύσεων παρουσιάζονται στον Πίνακες 6 σε ζεύγη τιμών. Η πρώτη τιμή αναφέρεται στα αποτελέσματα με την θεώρηση σταθερής ενεργού απόσβεσης, ενώ η δεύτερη στην παρένθεση σύμφωνα με την θεώρηση μεταβαλλόμενης ενεργού απόσβεσης. Ο Πίνακας 6 παρουσιάζει τους λόγους των εκτιμώμενων μετατοπίσεις κορυφής από την ΜΦΙ προς τις μετατοπίσεις κορυφής οι οποίες προκύπτουν από τις αναλύσεις χρονοϊστορίας, (Sd Push / Sd TH ). Επίσης ο Πίνακας 6 παρουσιάζει τον μέσο όρο των λόγων των σχετικών μετακινήσεων όλων των ορόφων (Drift Push / Drift TH ), καθώς και τον μέσο όρο των λόγων των δυνάμεων των αποσβεστήρων όλων των ορόφων (F D,Push /F D,TH ). Πίνακας 6 Αποτελέσματα μετατοπίσεων κορυφής, σχετικών μετακινήσεων και δυνάμεων απόσβεσης SdPush/SdTH Driftpush/DriftTH FD,Push/FD,TH Total Average 1.04 (0.99) 0.99 (0.95) 1.03 (0.99) Total Std. Dev. 0.078 (0.079) 0.11 (0.10) 0.09 (0.09) Σχετικά με τον υπολογισμό της ενεργού απόσβεσης, στην περίπτωση που το σημείο επιτελεστικότητας αντιστοιχεί στην ελαστική περιοχή του ταλαντωτή (μ=1) τα αποτελέσματα ταυτίζονται. Όταν η κατασκευή αναπτύσσει πλαστιμότητα μετατοπίσεων μ>1 τα αποτελέσματα της ΜΦΙ με βάση τις δυο διαφορετικές θεωρήσεις απόσβεσης αρχίζουν να διαφέρουν μεταξύ τους. Όσο η απαιτούμενη πλαστιμότητα αυξάνεται, αυξανόμενη τείνει και η διαφοροποίηση των αποτελεσμάτων. Πέρα όμως από τη μετατόπιση κορυφής, η μεταβαλλόμενη ενεργός απόσβεση οδηγεί σε εντονότερη υποεκτίμηση των σχετικών μετατοπίσεων των ορόφων, μέγεθος που αποτελεί καθοριστικό παράγοντα για τον προσδιορισμό των απαιτήσεων στα δομικά στοιχεία της κατασκευής. Επιπρόσθετα, η εκτίμηση των δυνάμεων απόσβεσης που προκύπτουν από την ΜΦΙ (Σχέση (3))και με τις δύο θεωρήσεις απόσβεσης κρίνεται αρκετά ικανοποιητική.

Σύμφωνα με τα αποτελέσματα, είναι φανερό ότι η ΜΦΙ εκτιμά με μεγάλη ακρίβεια την ανελαστική απόκριση κατασκευών που είναι εξοπλισμένες με αποσβεστήρες ιξώδους απόσβεσης. Επιπλέον η χρήση της αρχικής ιδιοπεριόδου για τον προσδιορισμό της ενεργού απόσβεσης αποτελεί μια πιο συμβατή προσέγγιση με τη προτεινόμενη ΜΦΙ, δεδομένου ότι η μέθοδος στηρίζεται σε σχέσεις που συνδέουν τον συντελεστή συμπεριφοράς (R) με την πλαστιμότητα μετατοπίσεων μ και έτσι δεν εμπλέκεται στην όλη διαδικασία η ιδέα του ισοδύναμου ελαστικού ταλαντωτή με δυσκαμψία K eff. Η παραδοχή της μεταβαλλόμενης ενεργού ιδιοπεριόδου οδηγεί σε υπερεκτίμηση της ενεργού απόσβεσης όταν απαιτούνται από την κατασκευή υψηλές τιμές πλαστιμότητας. Προκειμένου να αξιολογηθούν οι σχέσεις απομείωσεις του ελαστικού φάσματος λόγω υψηλής απόσβεσης (Σχέσεις (18)-(19)), όπως και οι σχέσεις R μ T (Σχέση (20)), εφαρμόστηκε η διαδικασία για το μέσο φάσμα απαίτησης που αντιστοιχεί σε κάθε αυξητικό συντελεστή. Τα αποτελέσματα των αναλύσεων παρουσιάζονται στον Πίνακα 7 και στο Σχήμα 8. Ο προσδιορισμός του σημείου επιτελεστικότητας έγινε γραφικά μέσω της πλαστιμότητας που αντιστοιχεί στο φάσμα απαίτησης που τέμνει το διγραμμικό φάσμα ικανότητας στο σημείο της διαρροής (Σχήμα 8). Από την εφαρμογή των προτεινόμενων σχέσεων προκύπτει ότι η εκτίμηση της μετατόπισης κορυφής σε σύγκριση με τη μέση τιμή της μετατόπισης που προέκυψε από τις αναλύσεις χρονοϊστορίας είναι αρκετά ικανοποιητική. Πίνακας 7 Φασματική μετατόπιση κορυφής χρησιμοποιώντας την προτεινόμενη σχέση R μ Τ Scale Factor x1 x1.25 x1.5 x1.75 x0 x3.00 Average S d / S d,ave 0.91 0.95 0.99 1.00 1.03 1.41 1.05 Proposed S d / S d,max 0.80 0.83 0.87 0.84 0.82 1.29 0.91 S a (m/s 2 ) 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ξ = 20.8% μ = 1 Scale Factor x1 ξ= 5% μ = 1 0 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 S d (m) Σχ. 8 Προσδιορισμός του σημείου επιτελεστικότητας με χρήση των προτεινόμενων σχέσεων Επιπρόσθετα, υπολογίζονται οι δυνάμεις των ιξωδών αποσβεστήρων με τη χρήση των Σχέσεων (23)- (24), ώστε να διορθωθούν οι τιμές της ψευδοταχύτητας PSv. Με γνωστή την πλαστιμότητα του ισοδύναμου μονοβάθμιου ταλαντωτή από την ΜΦΙ, οι δυνάμεις των αποσβεστήρων δίνονται από τη Σχέση (25): * D, i el d v ij icos i 5 ξ = 20.8% μ = 2.64 0 0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 S d [m] F S B C (25) Οι διορθωτικοί συντελεστές ψευδοταχυτήτων παρουσιάζονται στον Πίνακα 8. Λόγω της ιδιοπεριόδου της κατασκευής που είναι Τ = 0.61 s φαίνεται πως η PSv σχεδόν ταυτίζεται με την S V. Ο μέσος όρος του λόγου της δύναμης του αποσβεστήρα κάθε ορόφου που υπολογίστηκε από την διορθωμένη PSv S a [m/s 2 ] 30 25 20 15 10 ξ = 20.8% μ = 1 Scale Factor x3 ξ= 5% μ = 1

προς τη μέση και τη μέγιστη δύναμη, F d,ave και F d,max αντίστοιχα, των τιμών που προέκυψαν από τις αναλύσεις χρονοϊστορίας παρουσιάζεται στον Πίνακα 8. Πίνακας 8 Τιμές διορθωτικών συντελεστών B v, S v και των λόγων F d, Push / F d, TH Scale Factor x1 x1.25 x1.5 x1.75 x0 x3.00 Average μ 1.00 1.00 1.18 1.39 1.63 2.64 - Bv 1.06 1.06 1.04 1.02 1.01 0.94 - Sv 0.40 0.51 0.60 0.67 0.73 1.00 - Fd / Fd,Ave 0.90 0.95 1.00 0.98 0.96 0.95 0.96 Fd / Fd,Max 0.82 0.84 0.90 0.87 0.86 0.89 0.86 Συμπεράσματα Στην παρούσα εργασία εξετάστηκαν οι μέθοδοι φασματικής ικανότητας σε συνδυασμό με ανελαστικά φάσματα σταθερής πλαστιμότητας και υψηλής απόσβεσης για κατασκευές με συστήματα παθητικής προστασίας και συγκεκριμένα με αποσβεστήρες ιξώδους απόσβεσης. Η μελέτη επικεντρώθηκε κυρίως στις παραδοχές εκείνες που γίνονται για τον προσδιορισμό της ενεργού απόσβεσης της κατασκευής καθώς και στον τρόπο απομείωσης του ελαστικού φάσματος με 5% απόσβεση με σκοπό την κατασκευή ανελαστικού φάσματος σταθερής πλαστιμότητας και υψηλής απόσβεσης. Τέλος, η προτεινόμενη μέθοδος εφαρμόστηκε σε ένα πολυβάθμιο σύστημα με σκοπό την αξιολόγηση των αποτελεσμάτων. Η απομείωση του ελαστικού φάσματος για την κατασκευή ελαστικών φασμάτων με υψηλή απόσβεση δίνεται από μια μη γραμμική σχέση η οποία μπορεί να εφαρμοστεί σε όλο το φάσμα των ιδιοπεριόδων. Η μορφή της εξίσωσης είναι τέτοια ώστε να περιγράφει τον φθίνοντα κλάδο που παρατηρείται στους συντελεστές απομείωσης μετά την περιοχή της σταθερής φασματικής επιτάχυνσης. Στην περίπτωση των ανελαστικών φασμάτων με υψηλή απόσβεση φάνηκε πως το μέγεθος της απόσβεσης δεν επηρεάζει ιδιαίτερα την μορφή του φάσματος απομείωσης, με την απομείωση να παραμένει σταθερή για ποσοστά απόσβεσης μεγαλύτερα του 20%. Παρόμοια με τα ελαστικά φάσματα, στη περίπτωση των ανελαστικών φασμάτων παρουσιάστηκε μια μη γραμμική σχέση R μ T για την απομείωση του ελαστικού φάσματος, λαμβάνοντας υπόψη και το μέγεθος της απόσβεσης. Επιπλέον, με δεδομένο ότι οι ιξώδεις αποσβεστήρες είναι εξαρτώμενοι από την ταχύτητα φόρτισης τους, η ακριβής εκτίμηση της ταχύτητας έχει μεγάλη σημασία για τον υπολογισμό της δύναμης απόσβεσης. Προς το σκοπό αυτό παρουσιάστηκαν εκφράσεις που συνδέουν την ψευδοταχύτητα με την ταχύτητα εισάγοντας έναν διορθωτικό συντελεστή (Β V ) ο οποίος επηρεάζεται τόσο από την ενεργό απόσβεση όσο και από την απαιτούμενη πλαστιμότητα. Από τις αναλύσεις που έγιναν σε τετραώροφο πλαίσιο ωπλισμένου σκυροδέματος με αποσβεστήρες ιξώδους απόσβεσης φάνηκε πως η μέθοδος της φασματικής ικανότητας παρέχει μια καλή εκτίμηση τόσο των μετατοπίσεων όσο και των δυνάμεων απόσβεσης των συσκευών. Ο συνδυασμός της συγκεκριμένης μεθόδου με τις προτεινόμενες σχέσεις για τον υπολογισμό της ενεργού απόσβεση της κατασκευής όσο και της απομείωση του φάσματος απαίτησης φαίνεται να παρέχει μια γρήγορη και ικανοποιητική εκτίμηση της ανελαστικής απόκρισης της κατασκευής. Βιβλιογραφία

Aschheim, M. A., Black, E. F. (2000), Yield point spectra for seismic design and rehabilitation, Earthquake Spectra, Vol. 16, No. 2, 2000, pp. 317-35. Applied Technology Council (1997), NEHRP Guidelines for the Seismic Rehabilitation of Buildings and NEHRP Commentary on the Guidelines for the Seismic Rehabilitation of Buildings, FEMA 273 and 274, prepared for the Building Seismic Safety Council and published by the Federal Emergency Management Agency: Washington, D.C. Building Seismic Safety Council (2001), NEHRP Recommended Provisions for Seismic Regulations for New Buildings and Other Structures, 2000 edition, FEMA 368 and 369, Federal Emergency Management Agency: Washington, D.C. CEN Eurocode 2 (2004), Design of concrete structures Part 1 1: General rules and rules for buildings, EN 1992-1-1, Brussels, Belgium. CEN Eurocode 8 (2004), Design of structures for earthquake resistance - Part 1: general rules, seismic actions and rules for buildings, EN 1998-1, Brussels, Belgium. Chopra, A. K. (2001), Dynamics of Structures: Theory and Applications to Earthquake Engineering, 2nd edn, Prentice-Hall: Upper Saddle River, NJ, USA. Chopra, A. K. and Goel, R. K. (1999), Capacity Demand Diagram Methods for estimating Seismic Deformations of Inelastic Structures: SDF Systems. Report No. PEER-1999/02: Pacific Earthquake Engineering Research Center, University of California, Berkeley. Constantinou, M. C., Symans, M. D., Tsopelas, P. and Taylor, D. P. (1993), Fluid viscous dampers in applications of seismic energy dissipation and seismic isolation, Proceedings of the ATC 17-1 Seminar on Seismic Isolation, Passive Energy Dissipation and Active Control, Vol. 2, No. 1, 1993, pp. 581 591. Fajfar, P. (1999), Capacity spectrum method based on inelastic demand spectra, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 28, No. 9, 1999, pp. 979-993. Freeman, S. A. (1978), Prediction of Response of Concrete Buildings to Severe Earthquake Motion, Douglas McHenry International Symposium on Concrete and Concrete Structures, American Concrete Institute, Detroit. Hidalgo, P. A. and Arias, A. (1990), New Chilean Code for Earthquake Resistant Design of Buildings, Proc. 4th U.S. Nat. Conf. Earthquake Eng, Palm Springs, California. Miranda, E. and Bertero, V. V. (1994), Evaluation of strength reduction Factors for earthquake resistance design, Earthquake Spectra, Vol. 10, No. 2, 1994, pp. 357-379. Palermo, M., Silvestri, S., Trombetti, T. and Landi, L. (2013), Force reduction factor for building structures equipped with added viscous dampers, Bulletin of Earthquake Engineering, Vol. 11, No. 5, 2013, pp. 1661 1681. Ramirez, O. M., Constantinou, M. C., Gomez, J. D., Whittaker, A. S. and Chrysostomou, C. Z. (2002), Elastic and inelastic seismic response of buildings with damping systems, Earthquake Spectra, Vol. 18, No. 3, 2002, pp. 531 547. Riddell, R. and Newmark, N. M. (1979), Statistical analysis of the response of nonlinear systems subjected to Earthquakes, Structural Research series No. 468: Dept. of Civ. Eng., University of Illinois, Urbana. Sadek, F., Mohraz, B. and Riley, M. A. (2000), Linear procedures for structures with velocitydependent dampers, Journal of Structural Engineering, Vol. 126, No. 8, 2000, pp. 887 895. Tsopelas, P., Constantinou, M. C., Kircher, C. A. and Whittaker, A. S. (1997), Evaluation of Simplified Methods of Analysis for Yielding Structures, NCEER Report 97-0012: National Center for Earthquake Engineering Research, University at Buffalo, State University of New York, Buffalo, NY. Whittaker, A. S, Aiken, I.D., Bergman, D, Clark P. W., Cohen, J. M., Kelly, J. M. and Scholl, R. E. (1993) Code requirements for the design and implementation of passive energy dissipation systems. Proceedings, ATC-17-1 Seminar on Seismic Isolation, Passive Energy Dissipation, and Active Control. Vol. 2, ATC, Redwood City, CA, pp. 497 508.