Σεισµική Φέρουσα Ικανότητα Επιφανειακού Θεµελίου µέσω Βελτιωµένου Μηχανισµού Οριακής Ισορροπίας

Σεισµική Φέρουσα Ικανότητα Επιφανειακού Θεµελίου µέσω Βελτιωµένου Μηχανισµού Οριακής Ισορροπίας Seismic Bearing Capacity of Surface Footings by Improved Limit Equilibrium Failure Mechanism ΕΛΕΖΟΓΛΟΥ, Θ-Κ. Μεταλλειολόγος Μηχανικός ΕΜΠ, M.Sc. Imperial College & Π.Π. ΚΛΟΥΚΙΝΑΣ, Π. Πολιτικός Μηχανικός, Μεταδιδάκτωρ Ερευνητής, Παν. Bristol ΜΥΛΩΝΑΚΗΣ, Γ.Ε. Πολιτικός Μηχανικός, Καθηγητής, Π.Π. ΠΕΡΙΛΗΨΗ : Παρουσιάζεται κινηµατική λύση του τύπου της Οριακής Ισορροπίας για τον υπολογισµό της φέρουσας ικανότητας θεµελίου σε δύο διαστάσεις, υπό γενικευµένη γεωµετρία και συνθήκες φόρτισης. Ο µηχανισµός αστοχίας αποτελείται από δύο επίπεδες επιφάνειες µε παρεµβαλλόµενη λογαριθµική σπείρα, ώστε να ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες των τάσεων. Η µέθοδος καταλήγει σε κλειστές εκφράσεις για τον συντελεστή φέρουσας ικανότητας λόγω ιδίου βάρους, Ν γ και τους συντελεστές λόγω επιφόρτισης και συνοχής, Ν q και Ν c αντίστοιχα. Οι προβλέψεις της λύσης βρίσκονται σε καλή συµφωνία µε καθιερωµένες λύσεις και µε αποτελέσµατα αριθµητικών αναλύσεων. ABSTRACT : An upper bound limit equilibrium solution is presented for determining the bearing capacity of surface footings in two dimensions under generalized geometric and loading conditions. The failure mechanisms are formed by combinations of planar and logspiral surfaces, pre-specified to satisfy the stress boundary conditions. The proposed method yields closed-form expressions for the bearing capacity coefficients due to self-weight, surcharge and cohesion (N γ, N q, N c. Numerical predictions from the proposed solution exhibit good agreement with established solutions from the literature and numerical analysis results obtained by the authors.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο υπολογισµός της φέρουσας ικανότητας λωριδωτού θεµελίου πλάτους Β, παραδοσιακά βασίζεται στους γνωστούς συντελεστές Ν q Ν c Ν γ, οι οποίοι πολλαπλασιάζουν τους όρους της επιφόρτισης, q, της συνοχής, c και του ιδίου βάρους του εδάφους, γ, στην κλασική εξίσωση της φέρουσας ικανότητας (Terzaghi, 94; Meyerhof, 96; Hansen, 970; Vesic, 97 P = NqqB + NccB + γ B N γ ( Στην περίπτωση αµιγώς βαρυτικής φόρτισης, οι συντελεστές Ν q, Ν c, Ν γ εξαρτώνται αποκλειστικά από τη γωνία τριβής φ (Γεωργιάδης & Γεωργιάδης, 009. Η Εξίσωση χρησιµοποιείται και για τον υπολογισµό της σεισµικής φέρουσας ικανότητας, µε τροποποιηµένους συντελεστές Ν qε, Ν cε και Ν γε οι οποίοι συµπεριλαµβάνουν τη σεισµική δράση. Για τον υπολογισµό αυτών των συντελεστών είναι διαθέσιµος µεγάλος αριθµός

λύσεων µε βάση τη µέθοδο της οριακής ισορροπίας ή της κινηµατικής οριακής ανάλυσης (Sarma & Iossifelis 990; Richards et al, 99; Buhdu & Al-Karni, 99; Soubra 997, 999; Sarma, 999; Zhu, 000. Οι λύσεις αυτές είναι συνήθως ηµι-αναλυτικές ή αριθµητικές, ειδικά στην περίπτωση του συντελεστή Ν γ για τον οποίο δεν υπάρχει ακριβής κλειστή λύση. Ακριβέστερες, αλλά αµιγώς αριθµητικές λύσεις έχουν παρουσιαστεί µε τη µέθοδο των χαρακτηριστικών (Caquot & Kerisel, 9; Sokolovskii, 96; Kumar & Rao 00, 00. Επιπλέον, οι προαναφερθείσες λύσεις δεν έχουν γενική εφαρµογή καθώς οι περισσότερες περιορίζονται στην απλή περίπτωση οριζόντιου εδάφους. Από αυτή τη σκοπιά, είναι χρήσιµη η ανάπτυξη απλών και εύχρηστων λύσεων κλειστής µορφής, οι οποίες παρέχουν ικανοποιητική ακρίβεια και µπορούν να εφαρµοστούν µέσω λογιστικού φύλλου. Στη συνέχεια παρουσιάζεται µια υβριδική λύση τύπου άνω ορίου, που αναπτύσσεται σύµφωνα µε τη µέθοδο της οριακής ισορροπίας, πλην όµως συµβατή µε τις συνοριακές συνθήκες των τάσεων, όπως αυτές προκύπτουν από τη µέθοδο κάτω ορίου. Σηµειώνεται ότι η παραπάνω συµβατότητα δεν εξασφαλίζει τη εύρεση ακριβούς λύσης, ούτε είναι ανγκαία για την εφαρµογή της µεθόδου της οριακής ισορροπίας. Υιοθετείται όµως για ευκολία µε την ελπίδα ότι θα οδηγήσει σε αρκετά ακριβή αποτελέσµατα.. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΛΥΣΗ Οι παράµετροι για το υπό εξέταση πρόβληµα και ο προτεινόµενος µηχανισµός αστοχίας απεικονίζονται στο Σχήµα. Το λωριδωτό θεµέλιο πλάτους Β, εδράζεται σε επικλινή επίπεδη επιφάνεια (κλίση ω µε το ένα άκρο του να βρίσκεται στο χείλος δεύτερης επικλινούς επιφάνειας (κλίση β. Τόσο η εδαφική µάζα, όσο και η επιφόρτιση q, καθώς και το φορτίο του θεµελίου υπόκεινται σε συνθήκες επίπεδης παραµόρφωσης υπό την επίδραση των οριζόντιων και κατακόρυφων σεισµικών δυνάµεων πεδίου (a h x g και (a v x g. Η συνισταµένη αδρανειακή δύναµη δρά υπό γωνία ψ e = tan - [a h /( a v ] ως προς την κατακόρυφη. To εδαφικό υλικό χαρακτηρίζεται από γωνία τριβής φ, συνοχή c και ειδικό βάρος γ. Επίσης, η διεπιφάνεια θεµελίου-εδάφους θεωρείται απόλυτα τραχιά (τραχύτητα δ = φ ώστε να αποτρέπεται η ολίσθηση του θεµελίου πριν την διαρροή της εδαφικής µάζας. Σχήµα. Μηχανισµός αστοχίας µε δύο ζώνες Rankine και παρεµβαλλόµενη λογαριθµική σπείρα, για το πρόβληµα της σεισµικής φέρουσας ικανότητας επιφανειακού θεµελίου υπό γενικευµένη γεωµετρία και συνθήκες φόρτισης Figure. Failure mechanism consisting of two Rankine zones and transition log-spiral, for the problem of seismic bearing capacity of surface footings under generalized geometry and loading conditions

Ο µηχανισµός αστοχίας αποτελείται από το ενεργητικό τριγωνικό πρίσµα Rankine κάτω από το θεµέλιο (ζώνη OCA, το παθητικό τριγωνικό πρίσµα Rankine στο ελεύθερο πρανές (ζώνη ΟED και µια παρεµβαλλόµενη λογαριθµική σπείρα (ζώνη ODC µε κέντρο στο σηµείο Ο, δηλαδή το άκρο του θεµελίου που βρίσκεται στο χείλος του πρανούς. Παρόµοιοι µηχανισµοί είναι διαθέσιµοι στη βιβλιογραφία, µε τη διαφορά ότι η γεωµετρία των πρισµάτων προκύπτει συνήθως µέσω βελτιστοποίησης. Στην προτεινόµενη λύση, οι κλίσεις των ευθύγραµµων επιπέδων αστοχίας στα πρίσµατα Rankine είναι προκαθορισµένες και ταυτίζονται µε τις χαρακτηριστικές των τάσεων, από τους αντίστοιχους τανυστές που περιγράφουν την εντατική κατάσταση σε κάθε περιοχή, οι οποίοι απεικονίζονται στο Σχήµα (Ελεζόγλου, 008. Πρίσµατα συµβατά µε τη θεωρία Rankine, για στατικές συνθήκες, έχουν χρησιµοποιηθεί σε λύσεις στο παρελθόν, όπως στην κλασική λύση του Terzaghi (94. Στην προτεινόµενη λύση, ο µηχανισµός αστοχίας ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες των τάσεων του προβλήµατος για σεισµικές συνθήκες. Σηµειώνεται ότι παρουσία ιδίου βάρους, το ενεργητικό πρίσµα Rankine αποτελεί προσέγγιση καθώς οι χαρακτηριστικές των τάσεων στην εν-λόγω περιοχή είναι καµπυλωµένες. τ α áñáêôçñéóôéêþ φ α áñáêôçñéóôéêþ ψ θ4 (σ β, τ β φ ψ β + ψ β ψ + β + ψ σ ψ ω åð éöüí åéá ð ñáí ï ýò S A θ6 θ τ β áñáêôçñéóôéêþ θ θ θ (ψ ω åð éöüí åéá ð ñáí ï ýò S Β ψ + (ψ ω (σ f, τ f σ Ðåñéï Þ ð ñáí ï ýò β áñáêôçñéóôéêþ Äéåð éöüí åéá èåì åëßï õ-åäüöï õò Σχήµα. Γεωµετρία τανυστή τάσεων στην περιοχή του ελεύθερου πρανούς (παθητικό πρίσµα και στη διεπιφάνεια θεµελίου-εδάφους (ενεργητικό πρίσµα Figure. Geometry of stress tensor in the free slope (passive wedge and soil-footing interface area (active wedge Από τη γεωµετρία των τανυστών του Σχήµατος, υπολογίζονται οι γωνίες θ,θ, θ 4 και θ του µηχανισµού αστοχίας (Εξισώσεις -4. θ π φ + ψ ω = + 4 π φ ψ ω π θ + = + + = + φ θ 4 θ 4 π φ ( ψ + β = 4 π φ ( ψ + β π θ = + = φ θ 4 4 Σηµειώνεται ότι οι γωνίες θ και θ 6 είναι οι γνωστές κλίσεις των χαρακτηριστικών θ = π/4 φ/, θ 6 = π/4+φ/, ενώ η γωνία που παρεµβάλλεται µεταξύ των δύο ζωνών Rankine (άνοιγµα λογαριθµικής σπείρας είναι θ ΑΒ = π β ω θ θ. Στις παραπάνω εξισώσεις, = - [(β+ψ e /φ] και = - [(ψ ω/φ] είναι βοηθητικές γωνίες Caquot. Η γεωµετρία του µηχανισµού αστοχίας υπολογίζεται ως εξής: Ξεκινώντας από το γνωστό πλάτος του θεµελίου Β, µε γνωστές τις γωνίες θ -θ, υπολογίζονται τα µήκη των πλευρών του τριγώνου OCA µε τη ( ( ( (4

βοήθεια του νόµου των ηµιτόνων. Μεταξύ των δύο τριγώνων χρησιµοποιείται λογαριθµική σπείρα της µορφής r = r 0 e θtanφ, η οποία αναπαριστά καµπύλη επιφάνεια αστοχίας, αφού σε κάθε σηµείο ισχύει τ/σ n =tanφ. Σε συνδυασµό µε την ιδιότητα ότι κάθε ακτίνα της σπείρας σχηµατίζει γωνία 90 φ µε την εφαπτοµένη στο ίδιο σηµείο, προκύπτει ότι η προέκταση του διανύσµατος της συνισταµένης εξωτερικής αντίδρασης σε κάθε σηµείο της σπείρας διέρχεται από το σηµείο Ο (Murthy, 00. Συνεπώς, η άγνωστη εξωτερική αντίδραση λόγω τριβής κατά µήκος της σπείρας, δεν παράγει ροπή ως προς το σηµείο Ο. Τέλος, µε γνωστή την πλευρά OD και τις γωνίες θ 4 -θ 6 υπολογίζονται οι υπόλοιπες πλευρές του τριγώνου OED. Στον γεωµετρικά ορισµένο πλέον µηχανισµό αστοχίας εφαρµόζεται ισορροπία ροπών των εξωτερικών δυνάµεων και δυνάµεων πεδίου ως προς το σηµείο Ο. Συγκεκριµένα, οι ροπές της συνισταµένης αδρανειακής δράσης σε κάθε πρίσµα είναι: γ B θ θ ω θ ψ ω ψ cos( + cos( M OCA = θ + ( 6 θ θ cosψ cosψ γ B θ θ θ β ψ β θ ψ 6 cos( + cos( + + θab tanφ MOED = θ6 + e (6 6 θ θ4 θ4 cosψ cosψ M γ B θ ODC = θ I Όπου Ι είναι το αποτέλεσµα της ολοκλήρωσης κατά µήκος της λογαριθµικής σπείρας tanφθαβ e [( θ + θαβ + ω + tanφ cos( θ + θαβ + ω ( θ + ω tanφ cos( θ + ω] I = + + 9 tan φ tanφθαβ cos( θ + ω tanφ ( θ + ω e [cos( θ + θαβ + ω tanφ ( θ + θαβ + ω] + a (8 h + 9 tan φ Αναφορικά µε τη ροπή που παράγουν οι εξωτερικές αντιδράσεις που δρουν στα όρια του µηχανισµού αστοχίας ως προς το σηµείο Ο, λαµβάνεται υπόψη µόνο η ροπή της διατµητικής αντίστασης λόγω συνοχής, η οποία οδηγεί στις σχέσεις: θ θ = θ θ θ AB tanφ M cb θ e (9 CA 6 M DE 4 θ θ θ = (0 cb θ AB θ θ φ θ tan θ tanφ = θ = AB M cb e d cb ( e cot φ ( CD 0 θ θ Τέλος, η ροπή του φορτίου του θεµελίου P και της επιφόρτισης q, συµπεριλαµβανοµένης της οριζόντιας σεισµικής συνιστώσας τους, είναι: cosω cos( ω ψ ( cos ω h ω cosω cosψ MP = pb + a = pb ( ( cos β h β cos β θ θ ( + θ φ cos β cos β ψ 6 AB tan Mq = qoe a = qb e ( θ θ4 cosψ όπου ΟΕ το µήκος του παθητικού πρίσµατος αστοχίας κατά µήκος της επιφάνειας του εδάφους. Με εξίσωση των ροπών του φορτίου του θεµελίου και των συνοριακών (7

αντιδράσεων και των δυνάµεων πεδίου ως προς το σηµείο Ο, προκύπτουν οι ακόλουθοι σεισµικοί συντελεστές (Ελεζόγλου, 008 ( ( cos β cos β + ψ θ θ 6 θab tanφ N e (4 qe = cosω cos ω ψ θ θ 4 cosψ θ θ tanφ θ θ θ θ φ AB AB tan N = ( e cot φ + + θ e ( ce 6 cosω cos( ω ψ θ θ θ 4 N γ E θ θ β ψ β θ ψ 6 cos( + cos( + + θab tanφ θ + e 6 cosψ θ θ4 θ4 cosψ cosψ = cosω cos( ω ψ θ θ θ ω + θ ψ ω ψ cos( cos( I θ + θ θ ψ ψ cos cos (6 Από τους παραπάνω συντελεστές, οι δύο πρώτοι είναι ακριβείς, ενώ ο τελευταίος προσεγγιστικός. Στην ειδική περίπτωση οριζόντιου εδάφους και αµιγώς βαρυτικής φόρτισης (ω = β = ψ = 0, η τελευταία σχέση απλοποιείται στην ακόλουθη µορφή: π tan φ I 0. Nγ = Kp e Kp 6cos tan ( Kp 0. (7 όπου Κ p =tan (π/4 + φ/, ο συντελεστής παθητικών εδαφικών ωθήσεων κατά Rankine. Βάσει της ιδέας των Budhu & Al-Karni (99, ο σεισµικός συντελεστής φέρουσας ικανότητας Ν γε µπορεί να εκφραστεί ως συνάρτηση του αντίστοιχου βαρυτικού συντελεστή Ν γ µέσω µηγραµµικής παλινδρόµησης µεταξύ των αποτελεσµάτων των Εξισώσεων 6 και 7. N γ E N γ e 00 + φ a h (8 όπου το φ µετριέται σε µοίρες και το a h σε g.. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΣΥΓΚΡΙΣΕΙΣ Στο Σχήµα παρουσιάζονται αποτελέσµατα για τη µεταβολή του συντελεστή φέρουσας ικανότητας Κ γ συναρτήσει της γωνίας τριβής, της σεισµικής επιτάχυνσης και των κλίσεων των πρανών β και ω. Φυσιολογικά, ο συντελεστής Ν γ µειώνεται µε την αύξηση της σεισµικής επιτάχυνσης και µε την αύξηση της κλίσης των πρανών, ενώ αυξάνεται µε την αύξηση της γωνίας τριβής του εδάφους. Επίσης, µόνο για την περίπτωση οριζόντιου εδάφους (ω=β=0, παρουσιάζονται αποτελέσµατα από καθιερωµένες λύσεις από τη βιβλιογραφία, για στατικές και σεισµικές συνθήκες, Γενικά παρατηρείται καλή συµφωνία για γωνίες τριβής µέχρι ο, για τις οποίες η προτεινόµενη λύση βρίσκεται περίπου στον µέσο όρο των υπόλοιπων λύσεων, ενώ για µεγαλύτερες γωνίες τριβής γίνεται προοδευτικά µη συντηρητική. Ωστόσο, τα αποτελέσµατα υπερέχουν έναντι άλλων απλοποιηµένων λύσεων κλειστής µορφής, όπως για παράδειγµα αυτής των Richards et al (99. Στο Σχήµα 4 παρουσιάζονται συγκρίσεις της προτεινόµενης λύσης µε αριθµητικά αποτελέσµατα ελαστοπλαστικών ανάλυσεων που πραγµατοποιήθηκαν µε το πρόγραµµα πεπερασµένων στοιχείων PLAXIS, για την περίπτωση της σεισµικής φέρουσας ικανότητας θεµελίου επί οριζοντίου εδάφους. Για την προσοµοίωση του εδάφους χρησιµοποιήθηκε το γραµµικό κριτήριο αστοχίας Mohr-Coulomb. Τα αποτελέσµατα τόσο για τον συντελεστή N q, όσο και για τον συντελεστή Ν γ βρίσκονται σε πολύ καλή συµφωνία µεταξύ τους, σε όλες τις εξεταζόµενες περιπτώσεις.

Σχήµα. Σύγκριση αποτελεσµάτων για τον συντελεστή φέρουσας ικανότητας λόγω ιδίου βάρους, Nγ υπό συνδυασµένη βαρυτική και σεισµική φόρτιση, για διάφορες γωνίες τριβής φ, κλίσης πρανούς και θεµελίου β, ω, και σεισµικής επιτάχυνσης ah. Figure. Comparison of results for the bearing capacity coefficient due to self-weight Nγ, under gravitational and seismic loading, for various soil friction angles, φ, slope inclinations β, ω and seismic accelerations ah.

Συντελεστής φέρουσας ικανότητας N q 0 0 ο 0 ο 0,0 0, 0, 0, 0,4 0, 0,6 ο Σεισµική επιτάχυνση, a h φ = 0 ο β=ω=0 ο Συντελεστής φέρουσας ικανότητας N γ 0 0 ο 0 ο Προτεινόµενη λύση PLAXIS ο β=ω=0 ο 0,0 0, 0, 0, 0,4 0, Σεισµική επιτάχυνση, a h Σχήµα 4. Σύγκριση αποτελεσµάτων για τους συντελεστές φέρουσας ικανότητας λόγω ιδίου βάρους N γ και επιφόρτισης Ν q, για γωνία τριβής φ=0 και διάφορες κλίσεις πρανών β, ω και τιµές της σεισµικής επιτάχυνσης a h, µε τα αριθµητικά αποτελέσµατα του λογισµικού PLAXIS. Figure 4. Comparison of results for the bearing capacity coefficients due to self-weight N γ and surcharge Ν q, for soil friction angle φ=0, various slope inclinations β, ω and various seismic acceleration levels a h, with numerical results from elastoplastic analyses ug PLAXIS code. 4. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Παρουσιάστηκε απλοποιηµένη λύση για τον υπολογισµό της σεισµικής φέρουσας ικανότητας θεµελίου υπό γενικευµένη γεωµετρία, συνθήκες φόρτισης και παραµέτρους διατµητικής αντοχής του εδάφους (τριβή και συνοχή. Η προτεινόµενη µέθοδος είναι συµβατή µε τη µέθοδο της Οριακής Ισορροπίας και εµπίπτει στην ευρύτερη οικογένεια των λύσεων άνω ορίου, µε τη διαφορά ότι στην προτεινόµενη λύση δεν πραγµατοποιείται βελτιστοποίηση του µηχανισµού αστοχίας, αλλά αντίθετα αυτός είναι προκαθορισµένος ώστε να ικανοποιεί τις συνοριακές συνθήκες των τάσεων και στα δύο άκρα του µηχανισµού, την ελεύθερη επιφάνεια του πρανούς και την διεπιφάνεια θεµελίου-εδάφους. Ουσιαστικά, η προτεινόµενη λύση έχει υβριδικό χαρακτηρα, επειδή χρησιµοποιεί στοιχεία οριακής ανάλυσης τάσεων. Η ανάλυση καταλήγει σε απλές µαθηµατικές εκφράσεις κλειστής µορφής, χωρίς ανάγκη βελτιστοποίησης, οι οποίες µπορούν πολύ εύκολα να χρησιµοποιηθούν για πρακτικές εφαρµογές, µε τη µορφή λογιστικού φύλλου. Παρόµοιες εκφράσεις για τους σεισµικούς συντελεστές φέρουσας ικανότητας N c, Ν q και N γ, για τη γενική περίπτωση που εξετάστηκε στην παρούσα εργασία δεν υπάρχουν στη βιβλιογραφία. Ειδικά για τον συντελεστή Ν γ, αξιόπιστες αναλυτικές εκφράσεις δεν είναι διαθέσιµες ούτε για την απλή περιπτώση του θεµελίου επί οριζόντιου εδάφους. Εκτός από την ευκολία στην εφαρµογή της, η προτεινόµενη λύση παρουσιάζει ικανοποιητική ακρίβεια, συγκρινόµενη µε καθιερωµένες λύσεις από τη βιβλιογραφία και µε αποτελέσµατα αριθµητικών αναλύσεων µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων.. ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Οι συγγραφείς θέλουν να ευχαριστήσουν τον Επ. Καθηγητή κ. Κωνσταντίνο Παπαντωνόπουλο και στον ρ. Πολιτικό Μηχανικό κ. Γεράσιµο Μουλίνο, για τη συµβολή τους κατά τη διάρκεια εκπόνησης της συγκεκριµένης έρευνας

. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Γεωργιάδης K., Γεωργιάδης M. (009. Στοιχεία Εδαφοµηχανικής, Εκδόσεις Ζήτη Ελεζόγλου Θ.-Κ. (008 Σεισµική Φέρουσα Ικανότητα Θεµελίου µε Ανάλυση Οριακών Τάσεων. ιατριβή για Μ..Ε., Τµήµα Πολιτικών Μηχανικών. Πανεπιστήµιο Πατρών Budhu M., Al-Karni A. (99. Seismic bearing capacity of soils. Geotechnique, Vol.4, No., pp.8-87 Caquot, A., Kerisel J. (9. Sur le terme de surface dans le calcul des fondations en milieu pulverulent. Proceedings of the rd International Conference on Soil Mechanics and Foundation Engineering, Zurich, Vol.I, pp.6-7 Hansen J.B. (970. A revised and extended formula for bearing capacity. Danish Geotechnical Institute, Bulletin 8, Copenhagen Kumar J., Mohan Rao V.B.K. (00. Seismic bearing capacity of foundations on slopes. Geotechnique, Vol., No., pp.47-6 Kumar J., Mohan Rao V.B.K. (00. Seismic bearing capacity factors for spread foundations. Geotechnique, Vol., No., pp.79-88 Meyerhof G.G. (96. Some recent research on the bearing capacity of foundations. Canadian Geotechnical Journal, Vol., No., pp.6-6 Michalowski R.L. (997. An estimate of the influence of soil weight on bearing capacity ug limit analysis. Soils and Foundations, Vol.7, No.4, pp.7-64 Murthy V.N.S. (00. Geotechnical Engineering. Principles and Practices of Soil Mechanics and Foundation Engineering. Marcel Dekker, Inc.,New York Richards Jr.R., Elms D.G., Budhu M. (99. Seismic bearing capacity and settlements of foundations. Journal of Geotechnical Engineering, ASCE, Vol.9, No.4, pp.66-674 Sarma S.K. (999. Seismic bearing capacity of shallow strip footings adjacent to a slope. Proceedings of the nd International Conference on Earthquake Geotechnical Engineering, Lisbon, Portugal, Balkema, Rotterdam, The Netherlands, pp.09. Sarma S.K., Iossifelis I.S. (990. Seismic bearing capacity factors of shallow strip footings. Geotechnique, Vol. 40, No., pp.6-7 Sokolovskii V.V. (96. Statics of granular media, Pergamon Press: New York Soubra A.-H. (999. Upper bound solutions for bearing capacity of foundations. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering, ASCE, Vol., No., pp.9-68 Soubra A.-H. (997. Seismic bearing capacity of shallow strip footings in seismic conditions. Proceedings of the Institution of Civil Engineers, Geotechnical Engineering, London, Vol., No.4, pp.0-4 Terzaghi K. (94. Theoretical soil mechanics. John Wiley & Sons Inc.: New York Vesic A.S. (97. Analysis of ultimate loads of shallow foundations. Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division, ASCE, Vol.99, No.SM, pp.4-7 Zhu D. (000. The least upper-bound solutions for bearing capacity factor Nγ. Soils and Foundations, Vol.40, No., pp.-9