Κινητικότητα στα στάσιμα ή μαντεύω και επαηθεύω Αντί να προσθέσω κάποιες ασκήσεις μαζί με τις εκατοντάδες των ασκήσεων που μέχρι τώρα έχετε δει, προτιμώ να δούμε μαζί μια μικρή μεέτη στις διάφορες μορφές και εξισώσεις του ενδιαφέροντος στάσιμου κύματος. Απευθύνομαι στους μαθητές, απόφοιτους και συναδέφους που με μεράκι και αγάπη ασχοούνται με τα χωρία της θεωρητικής Φυσικής και των αντίστοιχων εργαείων τους, τα μαθηματικά, που έχουν να κάνουν με την ύη της Γ υκείου. Για την πρωτοβουία του εγχειρήματος είναι ευπρόσδεκτες οι κριτικές και οι διορθώσεις όων σας. Φροντιστήρια Βακάη Επιμέεια: Βαάκας Θόδωρος
Το στάσιμο κύμα με εξίσωση 2A συν2π ημ2π που παρουσιάζεται στο T σχοικό βιβίο, όπως γνωρίζουμε δημιουργείται από τη συμβοή των αρμονικών κυμάτων με εξισώσεις: 1 A ημ2π και 2 A ημ2π T T κοιιών είναι κ κ και των δεσμών δ (2κ 1). 2 4. Οι θέσεις των Επιπέον στο σημείο 0 έχουμε την κοιία με κ 0 η οποία τη χρονική στιγμή 0 είναι στη Θ.Ι. με μέγιστη θετική ταχύτητα ω 2Α όπως και όες οι κοιίες με κ = άρτιο κ 2, 4.... Αντίθετα όες οι άες κοιίες με κ = περιττό κ 1, 3... την 0 είναι στη Θ.Ι. με αρνητική ταχύτητα ω 2Α. Στο σχοικό βιβίο, όμως, παρουσιάζεται το στιγμιότυπο ενός στάσιμου κύματος που το σημείο Ο, της θέσης 0, την 0 βρίσκεται στην άνω ακραία θέση 2A όπως το σχήμα που ακοουθεί. 2A = 0 O Η εξίσωση οιπόν αυτού του στάσιμου κύματος είναι της μορφής: π 2A συν2π ημ 2π T 2 (I) Εύκοα διαπιστώνουμε αν στην (I) θέσουμε = 0 και = 0 παίρνουμε: π 2A συν0 ημ 2Α 2 0 0 Φροντιστήρια Βακάη Επιμέεια: Βαάκας Θόδωρος
Έτσι, οιπόν, μπορούμε να πούμε ότι και μέσα στην ύη μας είναι και εκείνο το στάσιμο που η κοιία της θέσης O ( = 0) την = 0 είναι στη θέση ισορροπίας αά με αρνητική ταχύτητα όπως στο στιγμιότυπο που ακοουθεί: = 0 O Αυτό το στάσιμο κύμα έχει εξίσωση: 2A συν2π ημ2π T ή 2A συν2π ημ 2π T π (ΙΙ) Όντως αν θέσουμε = 0 παίρνουμε την εξίσωση του σημείου = 0: 2A ημ2π με ταχύτητα υ ω 2Α συν2π που την = 0 δίνει υ ω 2Α, T T όπως φαίνεται στο στιγμιότυπό του. Το κύμα αυτό εύκοα μπορούμε να διαπιστώσουμε ότι δημιουργείται από την συμβοή των αρμονικών κυμάτων 1, 2 με εξισώσεις: 1 A ημ2π και T A ημ2π. T 2 Δοκιμάστε χρησιμοποιώντας τη σχέση: Α Β Α Β ημα ημβ 2 συν ημ 2 2. Φροντιστήρια Βακάη Επιμέεια: Βαάκας Θόδωρος
Αν θέουμε να δούμε και ίγο πιο μακριά μπορούμε να εντάξουμε στη μεέτη μας και το στάσιμο με το επόμενο στιγμιότυπο την = 0: Α 2 = 0 Αυτό οιπόν που γρήγορα καταάβατε ότι έχει εξίσωση π 2A συν2π ημ 2π T 4 (με τη θέση και την ταχύτητα του σημείου = 0). (III) καό θα ήταν να το επαηθεύσετε Οι εξισώσεις (I), (II) και (ΙΙΙ) όες παρουσιάζουν στάσιμο κύμα που στη θέση Ο, = 0, έχουμε κοιία. Στο σχοικό βιβίο, όμως, στην επόμενη σείδα δίνεται το στιγμιότυπο ενός άου στάσιμου κύματος που στη θέση = 0 έχουμε δεσμό. Μας πηροφορεί ότι η εξίσωση 2Α συν2π ημ2π Τ χρειάζεται τροποποίηση, αά ίσως αφήνει σε μας να συνεχίσουμε. Το στιγμιότυπο οιπόν που δίνει την = 0 είναι το επόμενο: 2A = 0 Ο /4 Αυτό οιπόν έχει εξίσωση: π 2A ημ2π ημ 2π T 2 (IV) π π Όντως αν θέσουμε = /4 και = 0 η (IV) δίνει: 2Α ημ ημ 2Α. /4 2 2 0 Φροντιστήρια Βακάη Επιμέεια: Βαάκας Θόδωρος
Ανήκει στη γενική μορφή: 2Α ημ2π ημ(ω φ 0) όπου το πάτος είναι: Α' 2Α ημ2π με θέσεις δεσμών: δ κ και κοιιών κ (2κ 1). 2 4 Θεωρώ χρήσιμο να επαηθεύσετε και τριγωνομετρικά τις θέσεις δεσμών και κοιιών στο στάσιμο αυτό κύμα. Αν θεήσουμε να συνεχίσουμε το παιχνίδι με τις εξισώσεις των στάσιμων κυμάτων θα το τερματίζαμε μαντεύοντας την εξίσωση του στάσιμου κύματος με το ακόουθο στιγμιότυπο για την =0. = 0 /4 Αυτό οιπόν έχει εξίσωση 2Α ημ2π ημω Το σημείο με είναι η κοιία με κ=0, καθώς κ 2κ 1 4 4 / 4 έχει εξίσωση: 2Α ημ2π ημω 2Α ημω με προφανή εξίσωση /4 ταχύτητας: υ ω 2Α συνω, από όπου για =0 θα παίρναμε αυτό που /4 (V). βέπουμε στο στιγμιότυπο. Ότι: υ ω 2Α συν0 ω 2Α. /4 0 Όσοι καταφέρετε γρήγορα να βρείτε τις εξισώσεις των στάσιμων κυμάτων, που φαίνονται στα επόμενα στιγμιότυπα, και στη συνέχεια προσεκτικά να τις επαηθεύσετε, ασχοηθείτε με άο κεφάαιο της ύης σας. = 0 A 2 (α) Φροντιστήρια Βακάη Επιμέεια: Βαάκας Θόδωρος
T 4 (β) 2A = 0 (γ) Α 2 = 0 (δ) Ευχαριστώ για το χρόνο σας. Φροντιστήρια Βακάη Επιμέεια: Βαάκας Θόδωρος