ΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2011 ΘΕΜΑ 1 ο (α) Να αποδειχθεί ότι στον ίδιο ή σε ίσους κύκλους, ίσα αποστήµατα αντιστοιχούν σε ίσες χορδές. (β) Να αποδειχθεί ότι κάθε σηµείο της µεσοκαθέτου ενός ευθύγραµµου τµήµατος ισαπέχει από τα άκρα του ευθύγραµµου τµήµατος. (γ) Να αποδειχθεί ότι σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ), αν Α είναι το ύψος του, τότε το Α είναι και διάµεσος και διχοτόµος. ΘΕΜΑ 2 ο (α) ύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΖ έχουν ΑΓ= Ζ, ΑΒ= Ε και ΒΚ=ΕΛ όπου ΒΚ ΚΑΙ ΕΛ διάµεσοι. Να αποδειχθεί ότι τα τρίγωνα είναι ίσα. (β) Να αποδειχθεί ότι τα µέσα των ίσων πλευρών ισοσκελούς τριγώνου ισαπέχουν από τη βάση του. ΘΕΜΑ 3 ο Θεωρούµε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) και στις προεκτάσεις των ΑΒ, ΑΓ ( προς το µέρος των Β και Γ αντιστοίχως) θεωρούµε τα σηµεία, Ε αντιστοίχως ώστε να είναι Β = ΓΕ. Να αποδειχθεί ότι: (α) Γ=ΒΕ (β) ΓΕ=ΕΒ ˆ ˆ (γ) Αν η Ρ είναι η τοµή των Γ, ΒΕ, τότε η ΑΡ διχοτοµεί τη ˆ ΒΑΓ. Καλή Επιτυχία.
ΘΕΜΑ 1 Ο Σε ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ προεκτείνουµε τις ίσες πλευρές ΑΒ και ΑΓ κατά ίσα τµήµατα Β και ΓΕ. Να αποδείξετε ότι: η ΒΕ είναι ίση µε την Γ. ΘΕΜΑ 2 Ο Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε τη διάµεσο ΑΜ και τις προβολές των κορυφών Β και Γ πάνω στη διάµεσο τις οποίες ονοµάζουµε και Ε. Να αποδείξετε ότι οι κορυφές Β και Γ ισαπέχουν από τη διάµεσο. ΘΕΜΑ 3 Ο υο τρίγωνα ΑΒΓ και Α Β Γ έχουν τα ύψη Α και Α ίσα, τις διάµέσους ΑΜ και Α Μ ίσες, να αποδείξετε ότι τα τρίγωνα είναι ίσα.
ΘΕΜΑ 1 0 Α) Να αποδείξετε ότι αν δύο γωνίες είναι εφεξής και παραπληρωµατικές, τότε θα έχουν κάθετες διχοτόµους. Β)Είναι σωστό ή λάθος ότι: 1) Κάθε σηµείο ενός ευθύγραµµου τµήµατος είναι εσωτερικό σηµείου αυτού. 2)Κατακορυφήν γωνίες έχουν διχοτόµους αντικείµενες ηµιευθείες. Γ)Να διατάξετε τις παρακάτω γωνίες από την µικρότερη προς την µεγαλύτερη. Ορθή γωνία, ευθεία γωνία, οξεία γωνία, µηδενική γωνία, αµβλεία γωνία ΘΕΜΑ 2 0 Α)Α,Β, Γ τρία σηµεία µιας ευθείας κατά τη σειρά αυτή. Μ, Ν τα µέσα των ΑΒ και ΒΓ αντίστοιχα.να δείξετε ότι: ΜΝ = 2 1 ΑΓ. (µονάδες 10) ΑΓ 3 Β) ΑΒ ευθύγραµµο τµήµα και Γ σηµείο εσωτερικό αυτού τέτοιο ώστε =.Έστω σηµείο Μ ΓΒ 5 στην προέκταση του ΑΒ προς το Β. Αποδείξτε ότι : ΜΓ = 8 1 (3ΜΒ + 5ΜΑ) (µονάδες 15) ΘΕΜΑ 3 0 Α)Πόσων µοιρών είναι µία γωνία φ αν γνωρίζουµε ότι είναι τριπλάσια από την παραπληρωµατική της ; Β)ΑΟΒ και ΒΟΓ δύο εφεξής γωνίες µε διχοτόµους Οδ 1 και Οδ 2 αντίστοιχα. είξτε ότι: δ 1 Οδ 2 = 1 (ΑΟΒ +ΒΟΓ) 2
ΘΕΜΑ 4 0 Α)Σε ηµικύκλιο διαµέτρου ΑΒ και κέντρου Κ φέρουµε µία ακτίνα ΚΓ και τις διχοτόµους των γωνιών ΑΚΓ και ΒΚΓ οι οποίες τέµνουν το ηµικύκλιο στα σηµεία Μ και Ν. Να αποδείξετε ότι το τόξο ΜΝ είναι τεταρτοκύκλιο. Β)Σε κύκλο (Κ,α) θεωρούµε τα διαδοχικά τόξα ΑΒ, ΒΓ, Γ µε άθροισµα µικρότερο του ηµικυκλίου.αν Μ και Ν είναι αντίστοιχα τα µέσα των τόξων ΑΓ και Β να δείξετε ότι: MN = 2 1 (AB +Γ )
Θέµα 1ο Α) Αν σε τετράπλευρο ΑΒΓ είναι Αˆ =Γˆ και Βˆ = ˆ, να αποδείξετε ότι το ΑΒΓ είναι παραλληλόγραµµο. Β) Αν σε εξάγωνο ΑΒΓ ΕΖ είναι Αˆ = ˆ, Bˆ =Εˆ, Γˆ =Ζˆ, Η το σηµείο τοµής των ευθειών ΑΖ, Ε και Θ το σηµείο τοµής των ευθειών ΑΒ και Γ, να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο ΑΘ Η είναι παραλλολόγραµµο. Θέµα 2ο Α) Να συµπληρώσετε τα κενά στην ακόλουθη πρόταση: Το ευθύγραµµο τµήµα που συνδέει τα.δύο πλευρών τριγώνου είναι προς την..και.µε το. Β) Σε τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ<ΑΓ) θεωρούµε από το Β την κάθετη στη διχοτόµο Α, που τέµνει αυτή στο Ε και την πλευρά ΑΓ στο Ζ. Αν Μ είναι το µέσο της ΒΓ, να αποδείξετε ότι: 1) ΜΕ ΙΙ ΑΓ 2) ΜΕ= 2 1 (ΑΓ ΑΒ) Α Ε Ζ Β Μ Γ Θέµα 3ο Κατασκευάζουµε τετράπλευρο ΑΒΓ µε ΑΒΙΙΓ. Έστω Ε το µέσο της Α και Ζ το µέσο της ΒΓ. Η διχοτόµος της γωνίας Βˆ τέµνει την ΕΖ στο Η. 1) Το τετράπλευρο ΑΒΓ λέγεται. 2) Η ΕΖ λέγεται και ισούται µε.. 3) Συµπληρώστε την ισότητα ΗΖ= = 4) Αποδείξτε ότι το τρίγωνο ΒΗΖ είναι ισοσκελές. 5) Απόδείξτε ότι η ΓΗ είναι διχοτόµος της γωνίας Γˆ.