Μαθηµα 3 0 Ενεργός διατοµή Χρυσός Κανόνας του Fermi (a) 16-3-2017
Μετρήσιμες ποσότητες Παρατηρώντας τη φύση για να καταλάβουμε ποιά είναι τα στοιχειώδη σωμάτια και πώς αλληλεπιδρούν μεταξύ τους, έχουμε τα εξής τρία πειραματικά εργαλεία (probes) για τις μετρήσεις μας: 1. Bound states of particles: δέσμιες καταστάσεις, π.χ., άτομο, μεσόνιο J/ψ (=c c-bar) Χρησιμοποιούμε μη σχετικιστική Κβαντομηχανική (Schroedinger s formulation) 2. Cross sections: ενεργές διατομές ->σκέδαση σωματιδίων 3. Particle decay rates (π.χ., π - μ - ν μ ) Για μελέτη των σκεδάσεων και των διασπάσεων σωματιδίων χρησιμοποιούμε την σχετικιστική Κβαντομηχανική (Feynman calculus-qft) 2
Διασπάσεις και ρυθµός διάσπασης 3
Ρυθμός διάσπασης σωματιδίου (Decay rate) Η πιθανότητα να διασπαστεί ( probability to decay ) ένα σωματίδιο στο αμέσως επόμενο χρονικό διάστημα dt είναι ανεξάρτητη από το πότε δημιουργήθηκε το σωμάτιο (ηλικία του σωματιδίου) Γ = πιθανότητα διάσπασης στη μονάδα χρόνου = decay rate = decay width dn = N(t+dt) - N(t) = - Γ N(t) dt N(t) = N(0) exp(-γt) Μέσος χρόνος ζωής = mean lifetime = τ = 1/Γ N(t) = N(0) exp(-t/τ) 4
Ρυθμός διάσπασης σωματιδίου (Decay rate) Μέσος χρόνος ζωής = mean lifetime = τ = 1/Γ Αν ένα σωματίδιο μπορεί να κάνει decay με πολλούς (= n) τρόπους, τότε ο ολικός ρυθμός διασπάσεών του (= total decay rate) θα είναι: Γ Τ Ο Τ = Γ 1 + Γ 2 + Γ 3 + + Γ n To lifetime είναι τ = 1/Γ Τ Ο Τ Το ποσοστό των σωματιδίων που κάνουν decay με τον τρόπο i, ονομάζεται branching ratio ή branching fraction Branching ratio for decay mode i = B i = Γ i / Γ Τ Ο Τ π.χ., φορτισμένο πιόνιο, π + (= u d) Μάζα π + = 139.6 MeV, Lifetime = 2.6 x 10-8 sec π + μ + ν μ BR= 99.99 % π + e + ν e BR = 1.2 x 10-4 BR φυσική των αλληλεπιδράσεων 5
Το εύρος Γ->τ από πείραµα 6
Το εύρος Γ του Ζ:-> τα είδη των νετρίνο είναι 3! π.χ το εύρος του µποζονίου Ζ µας υποδεικνύει ότι το Ζ έχει 3 επιλογές να διασπαστεί σε ζεύγη νετρίνων (αόρατα ->µη ανιχνεύσιµες πειραµατικά διασπάσεις) 7
Ενεργός διατομή αλληλεπίδρασης και ρυθμός μιας αλληλεπίδρασης 8
Ενεργός διατομή Όταν έχουμε σκέδαση δύο σωματιδίων, μιλάμε για την ενεργό διατομή της αλληλεπίδρασης Η ενεργός διατομή μπορεί να θεωρηθεί σαν η ενεργός επιφάνεια που παρουσιάζει σωμάτιο/πυρήνας/ Χ σε σημειακό επερχόμενο σωματίδιο α α σ t o t X R Αλλά δεν είναι το ίδιο! Δεν έχουμε hit or miss στην αλληλεπίδραση σωματιδίων. Βέβαια, η ενεργός διατομή δεν είναι γεωμετρικός παράγοντας, αλλά συλλογική ιδιότητα των δύο σωματιδίων που αλληλεπιδρούν. Εξαρτάται και από τον τύπο των σωματιδίων και από την ενέργειά τους 9
Παράδειγμα: ενεργός διατομή γ+d (d= 2 H= δευτέριο) 1 γ+p Η ενεργός διατομή είναι συλλογική ιδιότητα των δύο σωματιδίων που αλληλεπιδρούν: εξαρτάται από τον τύπο των σωματιδίων και την ενέργειά τους 10
Μιά αίσθηση μεγέθους ενεργών διατομών Ας πάρουμε τη γεωμετρική θεώρηση μιας σκέδασης α X σ R Σωματίδιο α σκεδάζεται από πυρήνα με ακτίνα r = 6 fm. Αν θεωρήσουμε το α σημειακό που πέφτει τυχαία οπουδήποτε στον μεγάλο κύκλο R, και επίσης θεωρήσουμε την επιφάνεια σ που παρουσιάζει ο πυρήνας σαν την ενεργό επιφάνεια αλληλεπίδρασης, τότε η ενεργός διατομή αλληλεπίδρασης είναι σ = π * r 2 = 113 fm 2 = 1.13 b H πιθανότητα το α να πέσει πάνω στον πυρήνα = π * r 2 / π * R 2 = σ / (π * R 2 ), με σ=1.13 b, που είναι η σωστή τάξη μεγέθους για ισχυρές πυρηνικές αλληλεπιδράσεις. 11
Διαφορική Ενεργός διατομή Αν το σωμάτιο προσπίστει με b+db η σκέδαση θα γίνει σε γωνία θ+dθ (αν περάσει από απειροστή επιφάνεια dσ θα σκεδαστεί σε στεραιά γωνία dω) Σωμάτιο (ηλεκτρόνιο) σκεδάζεται (soft) από δυναμικό (Coulomb, π.χ. πρωτόνιο), κατά γωνία θ Η σκέδαση αυτή είναι συνάρτηση της απόστασης b (impact parameter) H θ(b) εξαρτάται από το δυναμικό dσ = D(θ)dΩ Ο συντελεστής αναλογίας D(θ) ονομάζεται διαφορική ενεργός διατομή 12
Διαφορική Ενεργός διατομή dσ = b db dφ dω = sin(θ) dθ dφ 13
Σκέδαση Rutherford Αν το σωμάτιο/πυρήνας είναι σημειακό φοτίο: Rutherford approximatιοn 14
Ενεργός διατομή: επί μέρους και ολική Η ενεργός διατομή δεν είναι γεωμετρικός παράγοντας Εξαρτάται από τα σωματίδια που αλληλεπιδρούν και τις ενέργειές τους π.χ. σ(π+p) > σ(e+p) > σ(ν+p) Εξαρτάται επίσης και από τα παραγόμενα σωματίδια και τα χαρακτηριστικά τους Mπορούμε να ορίσουμε τις επί μέρους ενεργές διατομές = exclusive cross section ) = σ i π.χ., σ(pp W), σ(pp Z) ολική ενεργός διατομή = inclusive cross section = σ t o t = Σ σ i π.χ., σ tot (pp) = σ(pp W) + σ(pp Z) +... 15
Ενεργός διατομή και ρυθμός αλληλεπίδρασης Δέσμη σωματιδίων α, προσπίπτει με ταχύτητα υ σε υλικό με πυρήνες Χ Χ α ρ α = επιφανειακή πυκνότητα da δέσμης σωματιδίων α Επιφανειακή πυκνότητα της δέσμης α = ρ α = αριθμός σωματιδίων α, ανά μονάδα επιφάνειας υ*dt Ροή φ των σωματιδίων α : αριθμός σωματιδίων α, από επιφάνεια da σε χρόνο dt : ρ α * da * υ * dt. Αριθμός σωματιδίων α ανα μονάδα επιφάνειας, ανά μονάδα χρόνου: φ = ρ α * υ Αριθμός των α που διέρχεται από επιφάνεια π R 2 γύρω έναν πυρήνα Χ, στη μονάδα χρόνου (dt=1) : ρ α * υ * π R 2 Πιθανότητα αλληλεπίδρασης ενός α με έναν πυρήνα Χ = Ρυθμός (dn/dt) αλληλεπίδρασης σωματιδίων α με έναν πυρήνα Χ: (ρ α *υ*π R 2 )*(σ/ π R 2 ) = ρ α *υ*σ tot = ροή * ενεργός διατομή σ πr 2 16
Ενεργός διατομή και μέση ελεύθερη διαδρομή Δέσμη σωματιδίων α, προσπιτει με ταχύτητα υ σε υλικό με πυρήνες Χ Χ α ρ da Χ = επιφανειακή πυκνότητα πυρήνων Χ υ*dt Αντίστοιχα με την προηγούμενη σελίδα: Ρυθμός αντίδρασης (dn/dt) ενός σωματιδίου α με τους πυρήνες Χ του στόχου: ρ x *υ * σ tot (σαν να είμαι πάνω στο α και να βλέπω τους πυρήνες Χ να έρχονται με ταχύτητα υ, oπότε έχω: ροή των σωματιδίων Χ * ενεργός διατομή αλληλεπίδρασης) Για μία αλληλεπίδραση απαιτείται κατά μέσο όρο χρόνος τ = 1/(ρ x *υ * σ tot ) Μέση ελεύθερη διαδρομή = τ*υ = 1/(ρ x * σ tot ) 17
Ρυθµός αλληλεπίδρασης 18
Σκέδαση: α + b -> c + d b σωμάτια a b 19
Σκέδαση και ενεργός διατομή a b σ=κάτι σαν την επιφάνεια που παρουσίαζει το σωματίδιο b επερχόμενο σωματίδιο α στο Αλλά δεν είναι το ίδιο! Δεν έχουμε hit or miss στην αλληλεπίδραση σωματιδίων 20
Σκέδαση και ενεργός διατομή Ισύχει και για δέσμες σωματιδίων 21
Ο Χρυσός Κανόνας του Fermi O Χρυσός Κανόνας για την Διασπάση σωματιδίου πυκνότητα των καταστάσεων dn/de0 (Phase space) χώρος των φάσεων Phase space 22
Το εύρος Γ->τ από θεωρία 23
Χρυσός κανόνας του Fermi l M i f = <f H I N T i> = πλάτος της διαδικασίας ή martrix element l...ρ f = phase-space factor = παράγοντας του χώρου των φάσεων 24
Χώρος φάσεων Ίσα που γίνεται: Με τίποτα! 25
Κινηματική και Φυσική των αλληλεπιδράσεων Η πιθανότητα να συμβεί κάποια διάσπαση και η κατανομή των προϊόντων στο χώρο υπολογίζεται από τη φυσική της αλληλεπίδρασης Η ενέργεια και ορμή των προϊόντων μιάς διάσπασης είναι θέμα κινηματικής 26
Ισότροπη κατανομή στο χώρο (στερεά γωνία Ω) Αν δεν το υπαγορεύει η φυσική της αλληεπίδρασης η κατανομή των προϊόντων στον χώρο είναι ισοτροπική 27
Isotropic distribution of products 28
Χωρος φάσεων στη μη σχετικιστική QM l Χώρος φάσεων: χώρος ορμών και θέσεων των σωματιδίων l Κάθε σωματίδιο στο χώρο των φάσεων καταλαμβάνει όγκο h 3 Eρώτηση: πόσα σωματίδια σε αυθαίρετο όγκο V έχουν l ορμή με μέτρο μεταξύ p και p + dp l και βρίσκονται σε μια στερεά γωνία dω??? Απάντηση: dn = (V/h 3 ) * d 3 p, d 3 p= p 2 d p sinθ dθ dφ l dn = p 2 d p dω * V/ h 3 dn = V p 2 dp dω/ h 3 l dn = dω p 2 dp / h 3 αριθμ. τέτοιων σωματιδίων σε V=1 l Εφραγμογή στη σέδαση a + b c + d ρ f = dn/de o Πυκνότητα σωματιδίων στην τελική κατάσταση. ( Ε0 = ενέργεια στο κέντρο μάζας ) 29
Χωρος φάσεων στη μη σχετικιστική QM l Χώρος φάσεων: χώρος ορμών και θέσεων των σωματιδίων l Κάθε σωματίδιο στο χώρο των φάσεων καταλαμβάνει όγκο h 3 ή θεωρώντας το σωμάτιο σε κύβο πλευράς a και αν επιβάλουμε περιοδικές οριακές συνθήκες ο όγκος μιας καταστασης:(2π/α) 3 l a a a Η συνθήκη κανονικοποίησης της κυματοσυνάρτησης: a) H κυματοσυνάρτηση του σωματιδίου περιορίζεται σε κουτί πλευράς α (satisfies periodic boundary conditions - ακέραιο μήκος κύματος σε x, y, z) (ψ(x+α,y,z)=ψ(x,y,z) b) Οι επιτρεπτές καταστάσεις στο χώρο των ορμών (Από την περιοδικότητα της κυματοσυνάρτησης στο χώρο: ψ(x,y,z)=asin(p x x)sin(p y y)sin(p z z) (p x, p y, p z )= (n x, n y, n z )2π/α c) Toπλήθος των καταστάσεων μεταξύ p και p +dp σε δύο διαστάσεις d 3 p=d p x d p y d p z = p 2 d p sinθ dθ dφ (2π/α) 3 ο ογκος μιας κατάστασης στο χώρο των ορμών (αν επιβάλουμε περιοδικές οριακές συνθήκες) l dn = dω p 2 dp / h 3 αριθμ. τέτοιων σωματιδίων σε V=1 30
Χωρος φάσεων στη σχετικιστική QM l Τώρα ο όγκος κανονικοποίησης έχει υποστεί συστολή μήκους κατά την διεύθυνση κίνησης ως προς αδρανιακό σύστημα l Αν θελουμε να κανονικοποιήσουμε την ψ ώστε να έχουμε 1 σωμάτιο στη μονάδα του όγκου l και η ψ να έχει Lorentz-invariant normalisation, τότε η ψ θα έχει 2Ε σωμάτια στη μονάδα του όγκου για μία σκέδαση: Τα Lorentz-invariant στοιχεία του πίνακα σκέδασης στον κανόνα του Fermi είναι: 31
Χωρος φάσεων και ο Χρυσός κανόνας Μπορούμε να υπολογίσουμε το πλήθος των καταστάσεων dn με ενέργειες μεταξύ Ε -> Ε + de χρησιμοποιώντας την Dirac δ-function για την διατήρηση της ενέργειας l Οπότε ο Χρυσός κανόνας του Fermi για διασπάσεις γίνεται: αν π.χ. έχουμε διάσπαση: α-> 1 + 2 και για N-particle final state dn διάσπαση: α-> 1 + 2+ N 32
O Χρυσός κανόνας του Fermi στη Σχετικιστική QM (διασπάσεις) αν π.χ. έχουμε διάσπαση: α-> 1 + 2 παίρνουμε τον Lorentzinvariant πίνακα σκέδασης και το ολοκλήρωμα στο χώρο των φάσεων: Η ποσότητα d 3 p/e είναι Lorentz-invariant (να αποδειχθεί) l Οπότε ο Χρυσός κανόνας του Fermi για διασπάσεις γίνεται: 33
Μερικοί σχετικοί ιστότοποι Rutherford scattering: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/rutsca.html#c2 Ενεργός διατομή σκέδασης: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/nuclear/crosec.html#c5 Great experiments in Physics http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/grexp.html#c1 34
BACKUP SLIDES 35
Ο Πίνακας Σκέδασης απο Θεωρία Διαταραχών 36
Ο Πίνακας Σκέδασης απο Θεωρία Διαταραχών Φ Φ Φ Φ Φ Φ 37
Ο Πίνακας Σκέδασης απο Θεωρία Διαταραχών 38
H μορφή της συνάρτησης μετάπτωσης από την κατάσταση i στην f Η συνάρτηση είναι της μορφής: Η πιθανότητα μετάπτωσης είναι σημαντική όταν Εi ~ Ef Τ ο συνολικός χρόνος που διαρκεί η διαταραχή 39
Ο Χρυσός Κανόνας του Fermi Ενεργός Διατοµή και Ρυθµοί Διάσπασης (ρυθµός αλληλεπίδρασης/ρυθµός διάσπασης) Ενδιαφερόµαστε για αλληλεπιδράσεις και διασπάσεις σωµατιδίων, δηλαδή µεταπτώσεις µεταξύ καταστάσεων Υπολογίζουµε ρυθµούς µεταπτωσης µε τον Fermi s Golden Rule είναι ο αριθµός των µεταπτώσεων στην µονάδα του χρόνου από Την αρχική κατάσταση,, στην τελική κατάσταση Είναι το στοιχείο πίνακα (Matrix Element) η πυκνότητα τελικών καταστάσεων (density of states) is the perturbing Hamiltonian! Οι ρυθµοί εξαρτώνται από MATRIX ELEMENT και DENSITY OF STATES ME εµπεριέχει την δυναµική της αλληλεπίδρασης κινηµατική 40
Ρυθµός Διάσπασης Σωµατιδίου Ας θεωρήσουµε την «two-body» διάσπαση Θέλουµε να υπολογίσουµε τον ρυθµό διάσπασης σε πρώτης τάξης θεωρίας διαταραχών, περιγράφοντας τα αρχικά σωµάτια ως ελεύθερα, επίπεδα κύµατα (Born approximation): όπου N είναι παράγων κανονικοποίησης και µε 2 i 1 θ Για τους υπολογισµούς µας χρειαζόµαστε: παράγοντα κανονικοποίησης matrix element από θεωρία διαταραχών το phase space (density of states) σε Lorentz Invariant µορφή! Ας συζητήσουµε την κανονικοποίηση των καταστάσεων ΜΗ-Σχετικιστικά: κανονικοποιούµε για ένα σωµατιο (αρχικό) σε κύβο ακµής 41
Κλασικός (µη-σχετικιστικός) Χώρος Φάσεων Σωµάτιο εγκλεισµένο σε κύβο( ): Η κυµατοσυνάρτηση µηδενίζεται στα όρια, στάσιµα κύµατα κβάντωση της ορµής του σωµατιδίου: a a a Κάθε κατάσταση στο χώρο των ορμών καταλαμβάνει όγκο: ο αριθµός καταστάσεων σε ένα στοιχειώδη όγκο ( ) του χώρου των φάσεων: ο αριθµός καταστάσεων σε ένα στοιχειώδη όγκο του χώρου των φάσεων ανά µονάδα (φυσικού) χώρου: Συνεπώς η πυκνότητα καταστάσεων στον Golden rule: Αντικαθιστώντας στην σχέση 1 και E 2 = p 2 + m 2 2E de = 2p dp dp de = E p = 1 42
Χρόνος ζωής (τ) και πλάτος (Γ) σωµατιδίου 43
Σχετικιστική κινηματική: Σχετικιστική κινηματική E = mc 2 = η ενέργεια πού έχω επειδή απλά και μόνο έχω μάζα m ενέργεια μάζα c = ταχύτητα του φωτός Η μάζα είναι μια μορφή ενέργειας γενικά, µ ε κινητική ενέργεια Κ,έχουµε : E= Κ+m c 2 E= m γ c 2, όπου γ = 1 1 β 2, και β = υ/c, µ ευ= ταχύτητα σωµατιδίου p= m γ υ= m γ β c,όπου p= ορµή E 2 = ( pc) 2 +(m c 2 ) 2 E [MeV], p [MeV/c], m [MeV/c 2 ] Σηµείωση: µε c = 1, γράφουµε : E 2 = p 2 +m 2,κλπ. 44
c= 197 MeV fm, όπου = h 2π Μονάδες c= 3 10 8 m /s µονάδα ταχύτητας 1 µονάδα ενέργειας ev = 1.6 10 19 C b V = 1.6 10 19 Joule Συνήθως χρησιμοποιούμε το MeV (= 10 9 ev) Σταθερά του Plank = h = 6.626 x 10-3 4 J s α= e 2 e2 [ mks]= 4 πε 0 c c [cgs]= 1 137 α = η σταθερά λεπής υφής = 1/137 µονάδα δράσης (ενέργειας χρόνου) 1 Θα χρησιμοποιούμε παντού: ev για ενέργεια (ή MeV στην πυρηνική), 1/4πε 0 = 1 σε όλους τους τύπους, και θα βάζουμε: Μετράμε: c= 197 MeV fm Μάζα: MeV/c 2 (αφού Ε = mc 2 ) Ορμή: MeV/c (αφού p = mγβc) Χρόνο σε: 1/MeV (αφού η μονάδα δράσης = Ενέργεια * Xρόνος = 1) Μήκος σε: μονάδες χρόνου = 1/MeV (αφού η μονάδα ταχύτητας=1) 1 amu = 1/12 μάζας ουδέτρου ατόμου 12 C = 931.5 MeV/c 2 Mάζα ηλεκτρονίου = 0.511 MeV/c 2 Μάζα πρωτονίου = 938.3 MeV/c 2, Μάζα νετρονίου = 939.6 MeV/c 2 e 2 = α c, όπουα = 1 /137 45