HU215 - Frontist rio : Seirèc Fourier

HU5 - Frontist rio : Seirèc Fourier Epimèleia: Gi rgoc P. Kafentz c Upoy. Didˆktwr Tm m. H/U Panepist mio Kr thc MartÐou 4. Na sqediˆsete to fˆsma plˆtouc kai to fˆsma fˆshc tou s matoc xt + cosπt sinπt 3 cos3πt Ja qrhsimopoi soume tic sqèseic tou Euler: EÐnai cosθ ejθ + e jθ, sinθ ejθ e jθ j xt + cosπt sinπt 3 cos3πt + ejπt + e jπt ejπt e jπt j 3 ej3πt + e j3πt + ejπt + e jπt j ejπt + j e jπt 3 ej3πt 3 e j3πt 'Omwc h seirˆ Fourier prèpei na èqei touc suntelestèc thc grammènouc se morfh mètro-fˆsh. Gi' autì, oi ìroi kai mprosta apì ta ekjetikˆ prèpei na metatrapoôn se fˆsh. GnwrÐzete ìti j j j e±jπ/ kai e ±jπ. xt + ejπt + e jπt j ejπt + j e jπt 3 ej3πt 3 e j3πt + ejπt + e jπt + ejπ/ e jπt + e jπ/ e jπt + 3 ejπ e j3πt + 3 e jπ e j3πt 3 To fˆsma plˆtouc kai to fˆsma fˆshc faðnontai sta parakˆtw sq mata aþ kai bþ antðstoiqa. Gia th sqedðas touc qrhsimopoi same th gwniak suqnìthta ω πf se rad/sec kai ìqi th suqnìthta f se Hz. Protim ste opoia sac boleôei. Enallaktikìc trìpoc ja tan na qrhsimopoi soume tic tautìthtec: sinθ cosθ + π/, cosθ + π cosθ. 4 Ja metatrèyoume ta sin se cos kai ja frontðsoume ta prìshma na eðnai ìla jetikˆ, eisˆgontac ìpou qreiˆzetai thn katˆllhlh fˆsh. EÐnai: xt + cosπt sinπt 3 cos3πt + cosπt + cosπt + π/ + 3 cos3πt + π + ejπt + e jπt + ejπt e jπ/ + e jπt e jπ/ + 3 ej3πt e jπ + 3 e j3πt e jπ. 5 To fˆsma plˆtouc kai to fˆsma fˆshc faðnontai sta parakˆtw sq mata aþ kai bþ antðstoiqa.

aþ Fˆsma plˆtouc. bþ Fˆsma fˆshc. Sq ma : Fˆsma plˆtouc kai fˆshc 'Askhshc.. 'Estw to s ma xt sin 5πt cosπt AnaptÔxte to se ekjetik amfðpleurh - kai metˆ trigwnometrik monìpleurh - seirˆ Fourier kai breðte thn perðodo Gia na broôme thn perðodo, ja prèpei na grˆyoume to xt wc ˆjroisma hmitìnwn /kai sunhmitìnwn. 'Eqoume pˆnta upìyh mac ìti arnhtikˆ prìshma /j, j wc suntelestèc ekjetik n prèpei na metatrapoôn se fˆseic, otan jèloume apì thn amfðpleurh seirˆ na pˆme sth monìpleurh. Ja qrhsimopoi soume tic sqèseic tou Euler. EÐnai: xt sin 5πt cosπt j ej5πt j e j5πt ejπt + e jπt 4j ejπt j j ej5πt e j5πt + 4j e jπt ejπt + e jπt 4 ejπt + 4 e jπt ejπt + e jπt 8 ej3πt 8 e jπt + 4 ejπt + 4 e jπt 8 e j3πt 8 ejπt 8 ej3πt 8 e jπt + 4 ejπt + 4 e jπt 8 e j3πt 8 ejπt 8 ejπ e j3πt + 8 e jπ e jπt + 4 ejπt + 4 e jπt + 8 e jπ e j3πt + 8 ejπ e jπt ekjetik 4 cosπ6t + π + cosπt + cosπ6t + π trigwnometrik 6 4 'Enac diaforetikìc trìpoc lôshc ja tan na qrhsimopoi soume tic trigwnometrikèc tautìthtec: sin θ cosθ kai cosθ cosω cosθ + ω + cosθ ω

Tìte ja eðnai: cosπt cosπt cosπt cosπt cosπt cosπt + 4 cos3πt + π + cosπt + π 4 Profan c, h jemeli dhc suqnìthta ja eðnai: f MKD6,, 6. 'Ara f. 3. AnaptÔxte se Seirˆ Fourier to periodikì, me perðodo, s ma: {, t < xt t T, t < Sac dðnetai ìti: te αt dt eαt t, α α e αt dt α eαt Ja anaptôxoume to s ma katˆ thn ekjetik seirˆ Fourier. GnwrÐzoume ìti: X T xtdt kai X k T xte jπkft dt EÐnai qr simo na jumìmaste ìti f, e ±jπk, kai e jπk k. Ja eðnai loipìn: X T xtdt T T T dt + t + t T tdt T T + T T + t T T 3 T T 8 3 3 8 3 8 t dt tdt 3 6 8 3 4 7 'Ara telikˆ X T xtdt 3 4 8 3

EpÐshc, X k T xte jπkft dt e jπkft dt + e jπkf t jπkf e jπkf t jπkf A + A e jπkf t jπkf + T e jπkft dt T + e jπkf t jπkf + e jπkf t jπkf T T T te jπkft dt e jπkf t jπkf t jπk e jπk + e jπk e jπk jπkf jπkf jπk e jπk + jπk e jπk jπk jπk e jπk + e jπk jπk e jπk B e jπkf t T t jπkf jπkf te jπkft dt jπkf e jπk T e jπk T jπkf jπkf jπkf jπkf jπk T jπkf jπkf + e jπk jπk + e jπk T jπkf jπkf jπk π k + e jπk jπk + e jπk π k jπk e jπk π k e jπk 'Ara to X k ja einai telikˆ: A + A + B X k A + A + B jπk e jπk jπk e jπk π k e jπk jπk e jπk + e jπk π k e jπk jπk π k e jπk πk e j π π k e jπk. 9 Opìte telikˆ oi suntelestèc Fourier eðnai oi: X 3 4 kai X k πk e j π π k e jπk. 4

MporoÔme na grˆyoume t ra ìti: xt X + k,k 3 4 + + k,k 3 4 + + k,k X k e jπkf t 3 4 + πk e j π e jπkf t πk ejπkf t π + k,k k,k k,k ParathroÔme ìti e jπk k, ˆra: { e jπk, k perittoc, k ˆrtioc 'Ara ja eðnai: πk e j π π k e jπk e jπkf t π k e jπk e jπkf t π k e jπk e jπkf t. xt 3 4 + + k,k 3 4 + + k,k πk ejπkf t π πk ejπkf t π k perittìc k π k ejπkf t π k ejπk f t ìpou jèsame k k, gia na èqoume mìno perittoôc ìrouc diìti k perittìc gia kˆje k. An jèloume na proqwr soume akìma lðgo kai na anaptôxoume to s ma mac se monìpleurh seirˆ Fourier tìte ja èqoume: xt 3 4 + + 3 4 + + k,k k πk ejπkf t π k π k ejπk f t πk cosπkf t π + 4 π k cosπk f t giatð xèroume ìti gia touc suntelestèc tou monìpleurou anaptôgmatoc se seirˆ Fourier isqôei ìti: k A k X k 5

4. 'Estw èna pragmatikì, perittì kai periodikì s ma xt, pou anaptôssetai se seirˆ Fourier me suntelestèc X k. DeÐxte ìti X k X k To s ma mac eðnai perittì, ˆra ja isqôei xt x t. EÐnai: X k T xte jπkft dt T x te jπkft dt Jètw u t du dt. EpÐshc, u, u. 'Ara ja eðnai X k T xue jπkfu du xue jπ kf u du X k 3 5. DÐdontai tria pragmatikˆ, periodikˆ s mata me mikrì arijmì armonik n. Oi mh mhdenikoð suntelestèc gia k > dðdontai akoloôjwc: a x t :, X 5, X 3. b x t :, X j, X j, X 3 j 4, X 4 j 8. BreÐte ta x i t. AfoÔ ta s mata eðnai pragmatikˆ, autì shmaðnei ìti upˆrqoun suntelestèc X k kai gia k <, kai gia autoôc ja isqôei ìti X k X k. a EÐnai b EÐnai x t X 3 e jπ 3 t + X e jπ t + X e jπ+ t + X3 e jπ+3 t X 3e jπ3 t + X e jπ t + X e jπ t + X3 e jπ3 t e jπ3 t + 5e jπ t + 5e jπ t + e jπ3 t e j6πt + 5e jπt + 5e jπt + e j6πt e j6πt + e j6πt + 5e jπt + e jπt 4 cos6πt + cosπt. 4 x t X 4 e jπ 4 t + X 3 e jπ 3 t + + X3 e jπ+3 t + X4 e jπ+4 t X 4e jπ4 t + X 3 e jπ3 t + + X3 e jπ3 t + X4 e jπ4 t j 8 e jπ4 t j 4 e jπ3 t + j e jπ t + j ejπ t + j 4 ejπ3 t j 8 ejπ4 t j 8 e j4πt j 4 e j3πt + j e jπt je jπt + je jπt j ejπt + j 4 ej3πt j 8 ej4πt j 8 e j4πt e j4πt j 4 e j3πt e j3πt + j e jπt e jπt je jπt je jπt j 8 j sin4πt + j 4 j sin3πt j j sinπt + jj sinπt 4 sin4πt sin3πt + sinπt sinπt 5 6

6. AnaptÔxte se Seirˆ Fourier to periodikì, me perðodo, s ma: { e xt αt, t < T, t < Ja anaptôxoume to s ma katˆ thn ekjetik seirˆ Fourier. GnwrÐzoume ìti: Ja eðnai loipìn: X X T xtdt kai X k T xte jπkft dt T xtdt T T α e αt α e α X T e αt dt xtdt e α 6 α EpÐshc, X k T T α + jπkf α + jπkf xte jπkf t dt T e αt e jπkf t dt T e α+jπkft dt α + jπkf e α+jπkf t e α+jπkf e α +jπk α + jπkf e α e jπk e αt jπkf t dt e α e jπk 7 α + jπk 'Omwc xèroume ìti: e jπk cos πk j sin πk k, giatð gia kˆje k akèraio, to cos πk eðnai eðte gia ˆrtia k, eðte - gia perittˆ k, en to sin πk eðnai mhdèn gia kˆje k. 'Ara mporoôme na grˆyoume telikˆ ìti: X k k e α α + jπk Opìte telikˆ oi suntelestèc Fourier eðnai oi: X X k e α kai 8 α α + jπk 7 k e α 9

'Ara to s ma mac ja grˆfetai wc: xt k X k e jπkf t k k e α e jπkf t α + jπk 7. Oi suntelestèc sto anˆptugma se seirˆ Fourier enìc periodikoô s matoc èqoun upologisteð apì th sqèsh kai eðnai oi parakˆtw gia k > A k e jφ k T xte jπkft dt A k e jφ k A jπk [ k ] kai A. BreÐte to s ma se anˆptugma monìpleurhc seirˆc Fourier. Xèroume ìti h monìpleurh seirˆ Fourier dðnetai apì: xt A + Re{ A k e jφ k e jπkft } A + k ParathroÔme ìti to A k e jφ k eðnai mh mhdenikì kai Ðso me k. 'Ara to A k e jφ k mporeð na grafeð wc: A k e jφ k { A A k cosπkf t + φ k 3 k jπk A πk e j π, k odd, k even 'Ara eôkola sumperaðnoume ìti A k A πk kai φ k π, gia k perittˆ. 'Ara ja eðnai: A X A jkπ, gia perittˆ k, kai A ke jφ k gia ˆrtia xt k odd k A πk cosπkf t π A πk + cosπk + f t π k A πk + sinπk + f t A π k k + sinπk + f t 4 ShmeÐwsh: An dinìtan arqikˆ ìti X k A 4jπk [ k ] dhl. oi suntelestèc tou dðpleurou anaptôgmatoc, kai zhtoôse to monìpleuro anˆptugma, tìte polô aplˆ: X k gia k perittˆ, me ton Ðdio sullogismì me parapˆnw, kai ja eðqame: A πk e j π, 5 xt k odd k odd X k cosπkf t π + A πk sinπkf t A π k k odd A πk sinπkf t k + sinπk + f t 6 8

to Ðdio dhlad apotèlesma. 8. BreÐte thn perðodo tou s matoc: xt sin 5πt + φ + sin πt + φ Ja qreiasteð na grˆyoume to s ma mac wc ˆjroisma apl n hmitìnwn /kai sunhmitìnwn, ste na mporoôme na apofanjoôme gia thn periodikìthtˆ tou. EÐnai: xt sin 5πt + φ + sin πt + φ j ej5πt e jφ j e j5πt e jφ + j ejπt e jφ j e jπt e jφ 4 ejπt e jφ j j 4 e jπt e jφ 4 ej4πt e jφ j j 4 e j4πt e jφ 4 ejπt e jφ + e jπt e jφ 4 ej4πt e jφ + e j4πt e jφ + 4 cosπt + φ 4 cos4πt + φ cosπt + φ cos4πt + φ cosπ5t + φ cosπt + φ 7 'Ara h jemeli dhc suqnìthta tou s matoc ja eðnai f MKD{5, }. 'Ara f sec. Alli c, ja mporoôsame na poôme ìti EKP{ 5, } EKP{.,.5} sec. Parathr ste epðshc ìti afoô mac zhteðtai h periodikìthta, de qreiˆzetai na grˆyoume th seirˆ Fourier me ta jetikˆ thc proshma sta plˆth, giatð den paðzei kanèna rìlo sthn eôresh thc periìdou. An mac zhtoôse fˆsma plˆtouc fˆshc, tìte ja èprepe na gðnei h metatrop plˆtouc kˆje hmitìnou apì arnhtikì se jetikì, me prosj kh katˆllhlhc fˆshc. ShmeÐwsh: aþ An mac zhtoôse na deðxoume ìti to s ma eðnai periodikì, kai metˆ na upologðsoume thn perðodì tou, tìte ja èprepe gia na eðmaste apìluta swstoð na poôme ìti: T T 5 5, pou eðnai lìgoc akeraðwn arijm n, ˆra to s ma eðnai periodikì. 'Epeita, ja upologðzame thn perðodo me ìpoion trìpo jèlame. 'Ena kalì antiparˆdeigma sqetikˆ me aut th shmeðwsh, ja tan to xt + cosπt + φ cos4t φ Tìte, ja tan T T 5 π, to opoðo profan c DEN eðnai lìgoc akeraðwn arijm n, ˆra to π s ma DEN eðnai periodikì. bþ 'Opwc proanaferjhke, me th diadikasða pou akolouj same gia na lôsoume thn ˆskhsh, mporoôme amèswc èstw, me elˆqistec prˆxeic akìma : na apant soume se erwt mata sqedðashc fˆsmatoc plˆtouc kai fˆshc, klp. 'O,ti qreiazìmaste gia na apant soume se autˆ upˆrqei ètoimo sth lôsh parapˆnw! 9

9. 'Ena periodikì s ma xt A cosπf t me perðodo 5 sec jèloume na kajuster sei katˆ.5 sec. Pìsh ja eðnai h fˆsh metatìpis c tou? 'Estw t.5sec. To kajusterhmèno katˆ t s ma ekfrˆzetai wc: xt t A cosπf t t A cosπf t πf t A cosπf t + φ 'Ara φ πf t π t π.5.π 8 5 Profan c, an jèlame na prohgeðtai katˆ t.5sec, ja eðqame φ.π, me parìmoio sullogismì me parapˆnw ja zhtoôsame tìte to xt + t.. 'Estw to s ma xt + BreÐte thn perðodì tou. k β k cosk + πt + φ k Blèpoume ìti gia k, k, k 3, paðrnoume antðstoiqa suqnìthtec f, f 3, f 3 4. Profan c, ìlec autèc oi suqnìthtec eðnai pollaplˆsia miac jemeli douc, thc f. 'Ara h perðodoc eðnai f. Prosèxte, to gegonìc ìti den upˆrqei sunhmðtono me tètoia suqnìthta sthn parapˆnw anaparˆstash, de shmaðnei kˆti gia thn perðodo tou s matoc.. 'Ena chirp s ma monadiaðou plˆtouc xt metabˆllei th suqnìthtˆ tou apì 3 Hz se Hz se qrìno sec. a Sqediˆste thn anaparˆstash qrìnou-suqnìthtac gia to xt. b BreÐte th majhmatik morf tou s matoc. 'Ena chirp s ma s ma seir nac, sta ellhnikˆ : eðnai èna s ma to opoðo DE diathreð stajer suqnìthta me to pèrasma tou qrìnou ìpwc kˆnei to A cosπf t, pou èqei suqnìthta stajer kai Ðsh me f, allˆ ìso pernˆei o qrìnoc, h suqnìthta metabˆlletai grammikˆ wc proc to qrìno. S mata seir nac mporeðte na akoôsete se peripolikˆ, asjenofìra purosbestikˆ oq mata makriˆ apì mac kai ta tria :. To chirp s ma orðzetai wc xt cosθt, me θt πmt + πf t + φ, me m mia stajerˆ pou lègetai stajerˆ diamìrfwshc. H stigmiaða suqnìthta tou s matoc xt orðzetai wc: f i t dθt π dt mt + f. a 'Ena s ma pou metabˆllei grammikˆ th suqnìthtˆ tou apì 3 Hz wc Hz se sec, èqei anaparˆstash qrìnou-suqnìthtac ìpwc faðnetai sto sq ma. b AfoÔ to s ma metabˆlletai grammikˆ se qronikì diˆsthma T sec apì f 3 Hz wc f Hz, h stigmiaða tou suqnìthta ja eðnai: f i t f f t + f 3 + 3 5t + 3 T

Sq ma : S ma seir nac 'Askhshc.3 'Ara h fˆsh tou ja eðnai θt π t 5u + 3du + φ π 5 t + 3t + φ 5πt + 6πt + φ an den mporeðte na jumˆste ton tôpo thc f i t, mporeðte aplˆ na breðte thn exðswsh thc eujeðac pou pernˆei apì ta,3,, sto sq ma tou erwt matoc a. Aut ja eðnai h f i t. 'Ara telikˆ to s ma ja eðnai to xt cos 5πt + 6πt + φ.. AnaptÔxte se seirˆ Fourier to s ma xt sint + sin3t sint a Poiˆ eðnai h perðodoc tou s matoc? b Sqediˆste to fˆsma plˆtouc kai fˆsma fˆshc tou s matoc. AnaptÔssoume to s ma mac sômfwna me touc tôpouc tou Euler: xt sint + sin3t sint j ejt e jt + e j3t e j3t j ejt e jt e jt e jt ejt e jt + e j3t e j3t Ja qrhsimopoi soume t ra tic tautìthtec: a b a ba + b, 9 a 3 b 3 a ba + ab + b 3

aþ Fˆsma plˆtouc.4 bþ Fˆsma fˆshc.4 Sq ma 3: Fˆsma plˆtouc kai fˆshc 'Askhshc.4 gia ta ekjetikˆ tou arijmht. Ja eðnai loipìn: xt e jt e jt ejt e jt + e j3t e j3t e jt e jt [ejt e jt + e jt 3 e jt 3 ] e jt e jt [ejt e jt e jt + e jt + e jt e jt e jt + + e jt ] e jt e jt ejt e jt e jt + e jt + + e jt + e jt e jt + e jt + + e jt + e jt + cost + cost 3 a H perðodoc tou s matoc ja eðnai EKP{π, π} π. b To fˆsma plˆtouc kai fˆshc faðnontai sta sq mata 3. 3. AnaptÔxte se seirˆ Fourier to periodikì s ma to opoðo èqei perðodo. xt sinπf t 3 EÐnai X T xtdt T π π sin dt T πt π cos π + π πt dt cos π. 33

EpÐshc X k T xte jπkft dt T π T π cos πt πt cos e jπkf t π + π + π jπkf π jk π jk π jk π π + 4k T T sin πt T πt cos T sin π sin π + T 4k sin π + 4k X k e jπkf t dt + T π T cos πt sin e jπkft dt πt cos e jπkf t dt πt e jπkf t dt e jπkft dt πt e kπkf t dt e jπkf t + jk T π πt e jπkft dt πt e jπkf t dt jπk T πt sin e jπkft dt X k 4k X k π X k 4k π X k π 4k 34 'Ara ja eðnai xt π + π + π + 4 π k,k k π 4k ejπkf t 4 π 4k cosπkf t k 4k cosπkf t 35 3

4. DeÐxte ìti gia pragmatikˆ s mata isqôei: ˆ 'Artio s ma Q 'Artio s ma 'Artio s ma ˆ Perittì s ma Q Perittì s ma 'Artio s ma ˆ 'Artio s ma Q Perittì s ma Perittì s ma ˆ ˆ ˆ { An xt ˆrtio xt x t An yt ˆrtio yt y t pou dhl nei ìti to zt eðnai ˆrtio. { An xt perittì xt x t An yt perittì yt y t pou dhl nei ìti to zt eðnai ˆrtio. { An xt ˆrtio xt x t An yt perittì yt y t pou dhl nei ìti to zt eðnai perittì. } xtyt x ty t zt z t 36 } xtyt x ty t zt z t 37 } xtyt x ty t zt z t 38 5. 'Estw to periodikì s ma xt pou orðzetai se mia perðodo / t / wc: {, t tc xt, t c < t / me tc < /. AnaptÔxte to se seirˆ Fourier, gia t c /4 kai t c /. Ja anaptôxoume to periodikì s ma se seirˆ Fourier qwrðc antikatˆstash thc t c, h opoða ja gðnei sto tèloc. EÐnai: X T xtdt tc dt t tc t c + t c t c 39 t c t c kai X k T xte jπkft dt tc e jπkft dt t c e jπkf t tc jπkf t c e jπkf t c e jπkf t c jπk jπk j sinπkf t c sinπkf t c πk 4 4

ˆ Gia t c 4, èqoume X /4 X k sinπkf /4 πk sinπk/ πk 4 sinck/ 4 ˆ Gia t c, èqoume X / 5 X k sinπkf / πk sinπk/5 πk 43 sinck/5 44 5 5