. Σήματα και Συστήματα

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download ". Σήματα και Συστήματα"

Μανασσῆς Αλεβιζόπουλος
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Σήματα και Συστήματα Βασίλειος Δαλάκας & Παναγιώτης Ριζομυλιώτης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σήματα και Συστήματα 1/14

2 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 27) Να υπολογιστεί η βασική περίοδος για καθένα από τα παρακάτω περιοδικά σήματα α) x 1 (t) = e j025πt β) x 2 (t) = cos(02πt) γ) x 3 (t) = 2 cos(01πt) + 2 sin(02πt) Σήματα και Συστήματα 2/14

3 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 27) Να υπολογιστεί η βασική περίοδος για καθένα από τα παρακάτω περιοδικά σήματα α) x 1 (t) = e j025πt β) x 2 (t) = cos(02πt) γ) x 3 (t) = 2 cos(01πt) + 2 sin(02πt) Λύση: α) Είναι x 1 (t) = e j 2π 8 t άρα η βασική περίοδος δίνεται από την σχέση Ω = 2π T και είναι T = 8 Σήματα και Συστήματα 2/14

4 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 27) Να υπολογιστεί η βασική περίοδος για καθένα από τα παρακάτω περιοδικά σήματα α) x 1 (t) = e j025πt β) x 2 (t) = cos(02πt) γ) x 3 (t) = 2 cos(01πt) + 2 sin(02πt) Λύση: α) Είναι x 1 (t) = e j 2π 8 t άρα η βασική περίοδος δίνεται από την σχέση Ω = 2π T και είναι T = 8 β) Είναι x 2 (t) = cos(02πt) = cos( 2π 10 t) άρα η βασική του περίοδος είναι T = 10 Σήματα και Συστήματα 2/14

5 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 27) γ) Το σήμα x 3 (t) είναι άθροισμα 2 άλλων σημάτων για τα οποία ισχύουν τα ακόλουθα: Σήματα και Συστήματα 3/14

6 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 27) γ) Το σήμα x 3 (t) είναι άθροισμα 2 άλλων σημάτων για τα οποία ισχύουν τα ακόλουθα: Έχουμε βασική περίοδο T 1 = 20 για το 2 cos(01πt) = 2 cos( 2π 20 t) Σήματα και Συστήματα 3/14

7 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 27) γ) Το σήμα x 3 (t) είναι άθροισμα 2 άλλων σημάτων για τα οποία ισχύουν τα ακόλουθα: Έχουμε βασική περίοδο T 1 = 20 για το 2 cos(01πt) = 2 cos( 2π 20 t) ενώ η βασική περίοδος για το 2 sin(02πt) = 2 sin( 2π 10 t) είναι T 2 = 10 Επειδή T 1 = k T 2, k Z η βασική περίοδος του x 3 (t) είναι ίση με 20 Σήματα και Συστήματα 3/14

8 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 28) Για καθένα από τα παρακάτω συστήματα: α) { 0, t < 0 x(t) + x(t 100), t 0 β) απαντήστε αν είναι: Στατικό ή δυναμικό { 0, x(t) < 0 x(t) + x(t 100), x(t) 0 Σήματα και Συστήματα 4/14

9 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 28) Για καθένα από τα παρακάτω συστήματα: α) { 0, t < 0 x(t) + x(t 100), t 0 β) απαντήστε αν είναι: Στατικό ή δυναμικό { 0, x(t) < 0 x(t) + x(t 100), x(t) 0 Λύση: Η έξοδος και των δύο συστημάτων την χρονική στιγμή t εξαρτάται και από τιμές της εισόδου σε χρονικές στιγμές διάφορες του t και για αυτό είναι δυναμικά Σήματα και Συστήματα 4/14

10 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 28) Για καθένα από τα παρακάτω συστήματα: α) { 0, t < 0 x(t) + x(t 100), t 0 β) απαντήστε αν είναι: { 0, x(t) < 0 x(t) + x(t 100), x(t) 0 Χρονικά αμετάβλητο ή μεταβαλλόμενο Σήματα και Συστήματα 5/14

11 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 28) Για καθένα από τα παρακάτω συστήματα: α) { 0, t < 0 x(t) + x(t 100), t 0 β) απαντήστε αν είναι: { 0, x(t) < 0 x(t) + x(t 100), x(t) 0 Χρονικά αμετάβλητο ή μεταβαλλόμενο Λύση: Το (α) είναι χρονικά μεταβαλλόμενο ενώ το (β) αμετάβλητο Σήματα και Συστήματα 5/14

12 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 28) Λύση : (α) Αν η είσοδος του συστήματος είναι x(t t 0 ) το σήμα εξόδου είναι F{x(t t 0 )} y(t t 0 ) { y(t 0, t t0 < 0 t < t ) = 0 x(t t 0 ) + x(t t 0 100), t t 0 0 t t 0 Σήματα και Συστήματα 6/14

13 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 28) Λύση : (α) Αν η είσοδος του συστήματος είναι x(t t 0 ) το σήμα εξόδου είναι F{x(t t 0 )} y(t t 0 ) { y(t 0, t t0 < 0 t < t ) = 0 x(t t 0 ) + x(t t 0 100), t t 0 0 t t 0 Ενώ για το (β) έχουμε F{x(t t 0 )} = y(t t 0 ) { y(t 0, x(t t0 ) < 0 ) = x(t t 0 ) + x(t t 0 100), x(t t 0 ) 0 Σήματα και Συστήματα 6/14

14 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 28) Για καθένα από τα παρακάτω συστήματα: α) { 0, t < 0 x(t) + x(t 100), t 0 β) απαντήστε αν είναι: Γραμμικό ή μη γραμμικό { 0, x(t) < 0 x(t) + x(t 100), x(t) 0 Σήματα και Συστήματα 7/14

15 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 28) Για καθένα από τα παρακάτω συστήματα: α) { 0, t < 0 x(t) + x(t 100), t 0 β) απαντήστε αν είναι: Γραμμικό ή μη γραμμικό { 0, x(t) < 0 x(t) + x(t 100), x(t) 0 Λύση: Το (α) είναι γραμμικό ενώ το (β) μη γραμμικό Σήματα και Συστήματα 7/14

16 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 28) Λύση : (α) Αν έχουμε δύο σήματα εισόδου x 1 (t), x 2 (t) για την περίπτωση t 0 η έξοδος είναι y 1 (t) = F{x 1 (t)} = x 1 (t) + x 1 (t 100) y 2 (t) = F{x 2 (t)} = x 2 (t) + x 2 (t 100) Σήματα και Συστήματα 8/14

17 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 28) Λύση : (α) Αν έχουμε δύο σήματα εισόδου x 1 (t), x 2 (t) για την περίπτωση t 0 η έξοδος είναι y 1 (t) = F{x 1 (t)} = x 1 (t) + x 1 (t 100) y 2 (t) = F{x 2 (t)} = x 2 (t) + x 2 (t 100) Αν η είσοδος είναι ο γραμμικός συνδυασμός ax 1 (t) + bx 2 (t), τότε η έξοδος είναι F{ax 1 (t) + bx 2 (t)} Σήματα και Συστήματα 8/14

18 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 28) Λύση : (α) Αν έχουμε δύο σήματα εισόδου x 1 (t), x 2 (t) για την περίπτωση t 0 η έξοδος είναι y 1 (t) = F{x 1 (t)} = x 1 (t) + x 1 (t 100) y 2 (t) = F{x 2 (t)} = x 2 (t) + x 2 (t 100) Αν η είσοδος είναι ο γραμμικός συνδυασμός ax 1 (t) + bx 2 (t), τότε η έξοδος είναι F{ax 1 (t) + bx 2 (t)} = ax 1 (t) + bx 2 (t) + ax 1 (t 100) + bx 2 (t 100) Σήματα και Συστήματα 8/14

19 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 28) Λύση : (α) Αν έχουμε δύο σήματα εισόδου x 1 (t), x 2 (t) για την περίπτωση t 0 η έξοδος είναι y 1 (t) = F{x 1 (t)} = x 1 (t) + x 1 (t 100) y 2 (t) = F{x 2 (t)} = x 2 (t) + x 2 (t 100) Αν η είσοδος είναι ο γραμμικός συνδυασμός ax 1 (t) + bx 2 (t), τότε η έξοδος είναι F{ax 1 (t) + bx 2 (t)} = ax 1 (t) + bx 2 (t) + ax 1 (t 100) + bx 2 (t 100) = a[x 1 (t) + x 1 (t 100)] + b[x 2 (t) + x 2 (t 100)] Σήματα και Συστήματα 8/14

20 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 28) Λύση : (α) Αν έχουμε δύο σήματα εισόδου x 1 (t), x 2 (t) για την περίπτωση t 0 η έξοδος είναι y 1 (t) = F{x 1 (t)} = x 1 (t) + x 1 (t 100) y 2 (t) = F{x 2 (t)} = x 2 (t) + x 2 (t 100) Αν η είσοδος είναι ο γραμμικός συνδυασμός ax 1 (t) + bx 2 (t), τότε η έξοδος είναι F{ax 1 (t) + bx 2 (t)} = ax 1 (t) + bx 2 (t) + ax 1 (t 100) + bx 2 (t 100) = a[x 1 (t) + x 1 (t 100)] + b[x 2 (t) + x 2 (t 100)] = ay 1 (t) + by 2 (t) Σήματα και Συστήματα 8/14

21 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 28) Εφόσον η απόκριση του συστήματος σε μία είσοδο, που είναι ο γραμμικός συνδυασμός των δύο σημάτων, είναι ίση με το γραμμικό συνδυασμό των αντίστοιχων αποκρίσεων του συστήματος στα σήματα αυτά το σύστημα είναι γραμμικό Σήματα και Συστήματα 9/14

22 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 28) Για καθένα από τα παρακάτω συστήματα: α) { 0, t < 0 x(t) + x(t 100), t 0 β) απαντήστε αν είναι: Αιτιατό ή μη αιτιατό { 0, x(t) < 0 x(t) + x(t 100), x(t) 0 Σήματα και Συστήματα 10/14

23 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 28) Για καθένα από τα παρακάτω συστήματα: α) { 0, t < 0 x(t) + x(t 100), t 0 β) απαντήστε αν είναι: Αιτιατό ή μη αιτιατό { 0, x(t) < 0 x(t) + x(t 100), x(t) 0 Λύση: Η έξοδος και των δύο συστημάτων εξαρτάται από την παρούσα και τις προηγούμενες τιμές του σήματος εισόδου άρα είναι αιτιατά Σήματα και Συστήματα 10/14

24 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 28) Για καθένα από τα παρακάτω συστήματα: α) { 0, t < 0 x(t) + x(t 100), t 0 β) απαντήστε αν είναι: Ευσταθές ή ασταθές τύπου ΦΕΦΕ { 0, x(t) < 0 x(t) + x(t 100), x(t) 0 Σήματα και Συστήματα 11/14

25 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 28) Για καθένα από τα παρακάτω συστήματα: α) { 0, t < 0 x(t) + x(t 100), t 0 β) απαντήστε αν είναι: Ευσταθές ή ασταθές τύπου ΦΕΦΕ { 0, x(t) < 0 x(t) + x(t 100), x(t) 0 Λύση: Τα δύο συστήματα είναι ευσταθή τύπου ΦΕΦΕ Σήματα και Συστήματα 11/14

26 Πρόβλημα 3 (βιβλίο σελίδα 28) Να δείξετε ότι η σύνδεση σε σειρά δύο ευσταθών συστημάτων τύπου ΦΕΦΕ είναι σύστημα ευσταθές τύπου ΦΕΦΕ Λύση: Εφόσον ένα σύστημα F( ) είναι ευσταθές, η έξοδός του y θα είναι φραγμένη για φραγμένη είσοδο x Αν η φραγμένη αυτή έξοδος χρησιμοποιηθεί ως είσοδος σε ένα άλλο ευσταθές σύστημα G( ), τότε και η έξοδος του τελευταίου z θα είναι φραγμένη και συνεπώς το συνολικό σύστημα G[F( )] θα είναι ευσταθές Σήματα και Συστήματα 12/14

27 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 29) Θεωρήστε ένα χρονικά αμετάβλητο σύστημα F( ) με είσοδο x(t) και έξοδο y(t) Δείξτε ότι εάν το x(t) είναι περιοδικό με περίοδο T, το ίδιο ισχύει και για το y(t) Σήματα και Συστήματα 13/14

28 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 29) Θεωρήστε ένα χρονικά αμετάβλητο σύστημα F( ) με είσοδο x(t) και έξοδο y(t) Δείξτε ότι εάν το x(t) είναι περιοδικό με περίοδο T, το ίδιο ισχύει και για το y(t) Λύση: Από την εκφώνηση προκύπτει ότι F[x(t)] Επειδή το σύστημα είναι και χρονικά αμετάβλητο μπορούμε να γράψουμε άρα η έξοδος είναι περιοδική y(t + T) = F[x(t + T)] = F[x(t)] = y(t) Σήματα και Συστήματα 13/14

29 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 29) Δώστε ένα παράδειγμα γραμμικού χρονικά μεταβαλλόμενου συστήματος και μιας περιοδικής εισόδου στο σύστημα αυτό για την οποία η αντίστοιχη έξοδος δεν είναι περιοδική Σήματα και Συστήματα 14/14

30 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 29) Δώστε ένα παράδειγμα γραμμικού χρονικά μεταβαλλόμενου συστήματος και μιας περιοδικής εισόδου στο σύστημα αυτό για την οποία η αντίστοιχη έξοδος δεν είναι περιοδική Λύση: Έστω η περιοδική είσοδος x(t) = cos(2πt) Αν το σύστημά μας ορίζεται από την σχέση G[x(t)] x(t 2 ) τότε η έξοδος δεν είναι περιοδική: cos(2πt 2 ) cos[2π(t + T) 2 ] = cos[2πt 2 + 4πtT + 2πT 2 ] αφού η ποσότητα 2Tt + T 2 / Z, t Σήματα και Συστήματα 14/14

Σχετικά έγγραφα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Περίληψη Ευστάθεια Συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτων σε Διεγέρσεις